ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ÇOKLU SENSÖR ÇOKLU HEDEF TAKİBİ İÇİN POLİNOM ZAMANLI ALGORİTMA GELİŞTİRİLMESİ

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERİTEİ FEN BİLİMLERİ ENTİTÜÜ OKTORA TEZİ ÇOKLU ENÖR ÇOKLU HEEF TAKİBİ İÇİN POLİNOM ZAMANLI ALGORİTMA GELİŞTİRİLMEİ Al Önder BOZOĞAN ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENİLİĞİ ANABİLİM ALI ANKARA 205 Her haı salıdır

2 TEZ ONAYI Al Önder BOZOĞAN tarafından hazırlanan Çolu ensör Çolu Hedef Tab İçn Polnom Zamanl Algortma Gelştrlmes adlı tez çalışması /02/205 tarhnde aşağıda jür tarafından oy brlğ le Anara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Eletr-Eletron Mühendslğ Anablm alı nda OKTORA TEZİ olara abul edlmştr. anışman : oç. r. Murat EFE Anara Ünverstes Eletr-Eletron Mühendslğ Anablm alı Jür Üyeler : Başan : Yrd. oç. r. Mehmet Bura GÜLOĞAN Turgut Özal Ünverstes Eletr-Eletron Mühendslğ Anablm alı Üye : oç. r. Çağatay CANAN Ortadoğu Ten Ünverstes Eletr-Eletron Mühendslğ Anablm alı Üye : oç. r. Murat EFE Anara Ünverstes Eletr-Eletron Mühendslğ Anablm alı Üye : Yrd. oç. r. elçu TAŞCIOĞLU Anara Ünverstes Eletr-Eletron Mühendslğ Anablm alı Üye : oç. r. Asım Egemen YILMAZ Anara Ünverstes Eletr-Eletron Mühendslğ Anablm alı Yuarıda sonucu onaylarım. Prof. r. İbrahm EMİR Ensttü Müdürü 2

3 ETİK Anara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü tez yazım urallarına uygun olara hazırladığım bu tez çnde bütün blglern doğru ve tam olduğunu, blglern üretlmes aşamasında blmsel etğe uygun davrandığımı, yararlandığım bütün aynaları atıf yapara belrttğm beyan ederm Al Önder Bozdoğan

4 ÖZET otora Tez ÇOKLU ENÖR ÇOKLU HEEF TAKİBİ İÇİN POLİNOM ZAMANLI ALGORİTMA GELİŞTİRİLMEİ Al Önder BOZOĞAN Anara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Eletr-Eletron Mühendslğ Anablm alı anışman: oç. r. Murat EFE Bayesç br hedef tap fltresnn, sonsal hedef sürecnde hedefler arası etleşmlern ncelenmes amacıyla l orelasyon fonsyonu ullanılmıştır. İl orelasyon fonsyonu le, PH fltres Bayes sonsal hedef sürecnn tc yapıda olduğunu ve uza hedefler arasında orelasyonun ölçüm olablrl fonsyonuyla orantılı olara sönümlendğ analt olara gösterlmştr. CPH ve JPA fltreler çn Bayes sonsal hedef sürecnn tamamen tc veya çec özellte olmadığı ortaya oyulmuştur. JPA fltres çn hedef ller arasında etleşm, ölçüm olablrl fonsyonu le uza hedef ller arasında sönümlenmetedr. CPH fltresnde Bayes sonsal süreç hedef ller arasında global etleşmler gözlenmştr. İndrgenmş Palm sürecnn olasılı türeten fonsyonel türetlmş ve ndrgenmş Palm sürec PH ve CPH fltreler gb hedef sürecnn uzayda dağılımını şddet fonsyonu le modelleyen fltreler çn hedefler ayrıştırıcı br z çıartıcı algortma türetmnde ullanılmıştır. İndrgenmş Palm sürec, yen, yalaşı çolu sensör PH ve CPH fltreler türetmete ullanılmıştır. Bernoull hedef sürec tabanlı yen br hedef tap algortması türetlmştr. Yapılan benzetmde, Bernoull fltresnn en yaın omşu ve JPAF yöntemlerne ıyasla MOPA statstğne göre daha başarılı olduğu gözlenmştr. JPA fltres ardışı Monte Carlo yöntemler le tatb edldğnde, türetlen yen yöntemden hedef aybı açısından yüse tespt olasılı sevyes çn daha başarılı sonuçlar ortaya oymuştur. Bununla brlte, orta ve düşü hedef tespt olasılı sevyeler çn yen yöntemn z aybı başarımı JPA metodundan üstündür. Şubat 205, 38 sayfa Anahtar Kelmeler: Hedef tab, Palm sürec, ndrgenmş Palm sürec, l orelasyon fonsyonu, PH fltres, CPH fltres, MeMBer fltres, Bernoull fltres

5 ABTRACT Ph.. Thess EVELOPING A POLYNOMIAL TIME ALGORITHM FOR MULTI-ENOR MULTI-TARGET TRACKING Al Önder BOZOĞAN AnaraUnversty Graduate chool of Natural and Appled cences epartment of Electrcal and Electroncs Engneerng upervsor: Assoc. Prof. r. Murat EFE Par correlaton functon s used to analyze parwse nteractons n the Bayes posteror target process for target tracng flters. It s shown that the Bayes posteror target process for the PH flter s a repulsve process. Parwse nteractons n the Bayes posteror process for the PH flter vansh wth respect to measurement lelhood for dstant target pars. On the other hand, the Bayes posteror of the CPH and the JPA flters are shown to be nether repulsve nor attractve. Whle, parwse nteractons n the Bayes posteror process for the JPA flter vansh for dstant target pars, the CPH flter has global nteractons between ts target pars. The probablty generatng functonal for the reduced Palm process s derved and used to develop a trac extracton algorthm that separates the Bayes posteror ntensty functon nto tracs. The new trac extracton algorthm s used to derve new approxmatons for the multsensor PH and CPH flters. A new target tracng flter, namely the Bernoull flter s derved. Numercal studes show that Bernoull flter outperforms JPAF n terms of MOPA statstc. The trac loss rate of the JPA mplemented by the sequental Monte Carlo methods s better than the proposed method for a hgh level of target detecton probablty. However, the new method outperforms the JPA n the number of lost tracs for medum and low target detecton probablty levels. February 205, 38 pages Key Words: Target tracng, Palm process, reduced Palm process, par correlaton functon, PH flter, CPH flter, MeMBer flter, Bernoull flter

6 TEŞEKKÜR Çalışmalarımı yönlendren, araştırmalarımın her aşamasında blg, öner ve yardımlarını esrgemeyen danışman hocam Murat Efe ye, onunun armaşı matematğn anlaşılır ılan Roy tret a, eryoşuma ve göz bebeğm İrs e Al Önder BOZOĞAN Anara, Şubat 205 v

7 İÇİNEKİLER TEZ ONAY AYFAI ETİK... ÖZET... ABTRACT... TEŞEKKÜR... v İMGELER İZİNİ... v ŞEKİLLER İZİNİ... x ÇİZELGELER İZİNİ... x. GİRİŞ KURAMAL TEMELLER Olasılı Türeten Fonsyonel Olasılı Türeten Fonsyoneln Türevler PGFL nn Fatöryel Momentler İ onlu Nota ürecne At PGFL Bayes onsal ürec İNİRGENMİŞ PALM ÜRECİ VE İKİLİ KORELAYON FONKİYONU İndrgenmş Palm ürec İndrgenmş Palm ürecne At PGFL Bayes onsal ürecne At İndrgenmş Palm Şddet Fonsyonu Örneler PH Fltres çn l orelasyon fonsyonu En fazla hedef durumu çn CPH fltres l orelasyon fonsyonu İ hedef durumu çn JPA fltres l orelasyon fonsyonu Nümer Örne... 5 v

8 4 İNİRGENMİŞ PALM ÜRECİNİN MOMENT TABANLI FİLTRE UYGULAMALARI İz Çıartma Kanon sayı estrme İndrgenmş Palm şddet fonsyonu le z çıartma Örne: PH fltres çn z çıartıcı algortma İndrgenmş Palm Yöntem İle Yalaşı Çolu ensör PH Fltres İndrgenmş Palm Yöntem İle Yalaşı Çolu ensör CPH Fltres Nümer Örne İNİRGENMİŞ PALM ÜRECİNİN BERNOULLİ FİLTRE UYGULAMAI Hedef Model Hedef Hareet Model Ölçüm-Hedef Orta ürec Bayes onsal Hedef ürec Özel urum - adece yen doğan hedef sürec Özel urum 2 -Tel Bernoull sürec Genel durum - İndrgenmş Palm sürec le Bayes sonsal hedef sürecnn çarpanlara ayrılması Bernoull Fltres Algortm Karmaşılığı Bernoull Fltres MeMBer Fltres Kıyaslaması Nümer Örne ONUÇLAR KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

9 İMGELER İZİNİ n n boyutlu omples uzay n n boyutlu reel uzay + Poztf tamsayılar ümes Hedef durum uzayı Ξ Hedef sürec Y Ölçüm uzayı Ölçüm sürec Olay uzayı. pn, s,..., s n,,..., n p n s s s,..., n sn n notanın orta olasılı dağılım fonsyonu pn,. Kanon sayı olasılı ütle fonsyonu n s s sıralı olayının olasılı dağılım fonsyonu,,..., n n, s,..., sn sırasız olayının(s sn ümes) olasılı dağılım fonsyonu F. PGF G. PGFL hs g y PGFL de hedef sürecne at grd fonsyonu PGFL de ölçüm sürecne at grd fonsyonu. Fonsyonel türev operatörü d. Normal türev operatörü. x notasında br dürtü çn rac delta fonsyonu x m. fatöryel moment N ( m, ) Ortalaması m, varyans/ovaryans matrs olan Gauss (normal) dağılımı N ( x; m, ) Ortalaması m, varyans/ovaryans matrs olan Gauss (normal) olasılı dağılım fonsyonu P Hedef tespt olasılığı L Ölçüm olablrl fonsyonu P e (.) f. Bernoull hedef sürecnde başarı (hedefn var olması) olasılığı Hedef sürec şddet fonsyonu. Yanlış alarm sürec şddet fonsyonu Br önce tarama anında var olan br hedefn br sonra tarama anında varlığını sürdürüyor olma olasılığı I boyutlu brm matrs Z l l boyutlu tüm elemanları sıfır olan matrs O l boyutlu tüm elemanları br olan matrs P s l v

10 . T Matrs devrme (transpose) operatörü Boş üme Kısaltmalar CBMeMBer CPH FIT GLMBP GMTI IICP IPA JIPA JPA EKF MAP MHT OPA PA PGF PGFL PH pdf pmf PPP rms MeMBer NR Hedef sayısı düzeltlmş ço hedef ço Bernoull (Cardnalty Balanced Mult-Object Mult-Bernoull) ayal olasılı hpotez yoğunluğu (Cardnalzed probablty hypothess densty) onlu üme statstğ (Fnte set statstcs) Genelleştrlmş şaretl çolu Bernoull sürec (Generalzed labeled mult-bernoull process) Yerde hareet eden hedef gösterges (Ground movng target ndcator) Bağımsız özdeşçe dağılmış öbe sürec (Independent dentcally dstrbuted (II) cluster process) Entegre edlmş olasılısal ver lşlendrme (Integrated probablstc data assocaton) Orta entegre edlmş olasılısal ver lşlendrme (Jont ntegrated probablstc data assocaton) Orta olasılısal ver lşlendrme (Jont probablstc data assocaton) Genşletlmş Kalman fltres (Extended Kalman flter) onsal dağılımın masmumu (Maxmum a posteror) Çolu hpotez tab (Multple hypothess tracng) Optmal alt motf atama (Optmal subpattern assgnment) Olasılısal ver lşlendrme (Probablstc data assocaton) Olasılı türeten fonsyon (Probablty generatng functon) Olasılı türeten fonsyonel (Probablty generatng functonal) Olasılı hpotez yoğunluğu (Probablty hypothess densty) Olasılı yoğunlu fonsyonu (Probablty densty functon) Olasılı ütle fonsyonu (Probablty mass functon) Posson nota sürece (Posson pont process) Kare hata ortalamasının areöü (Root mean square error) Ço hedef ço Bernoull (Multtarget mult Bernoull) nyal gürültü oranı (gnal to nose rato) v

11 ŞEKİLLER İZİNİ Şel 3. PH metodu 00 Monte Carlo ortalama l orelasyon sonuçları Şel 3.2 CPH metodu 00 Monte Carlo ortalama l orelasyon sonuçları Şel 3.3 JPA metodu 00 Monte Carlo ortalama l orelasyon sonuçları Şel 3.4 PH metodu 00 Monte Carlo ortalama l orelasyon sonuçları Şel 3.5 CPH metodu 00 Monte Carlo ortalama l orelasyon sonuçları Şel 3.6 JPA metodu 00 Monte Carlo ortalama l orelasyon sonuçları Şel 4. Hedef hareet senaryosu Şel 4.2 PH fltresnn ardışı Monte Carlo uygulaması Şel 4.3 PH fltresnn ardışı Monte Carlo uygulaması Şel 4.4 Tarama 5 sonuçları (000 rastgele parçacı) Şel 4.5 Tarama 6 sonuçları (000 rastgele parçacı) Şel 4.6 Tespt olasılığı 0.98 değer çn onum estrm hatası sonuçları Şel 4.7 Tespt olasılığı 0.80 değer çn onum estrm hatası sonuçları Şel 4.8 Tespt olasılığı 0.60 değer çn onum estrm hatası sonuçları Şel 4.9 Tespt olasılığı 0.98 değer çn ortalama hedef sayısı estrm sonuçları... 9 Şel 4.0 Tespt olasılığı 0.80 değer çn ortalama hedef sayısı estrm sonuçları... 9 Şel 4. Tespt olasılığı 0.60 değer çn ortalama hedef sayısı estrm sonuçları Şel 4.2 oğru ölçümle güncellenmş sonsal dağılımın fltre sonsal dağılımlarına Kullbac Lebler uzalığı Şel 5. Tespt olasılığı 0.98 değer çn ortalama MOPA statstğ sonuçları... Şel 5.2 Tespt olasılığı 0.98 değer çn Bernoull bleşen ortalama varlı olasılığı utu grafğ... 2 Şel 5.3 Tespt olasılığı 0.8 değer çn ortalama MOPA statstğ sonuçları... 3 Şel 5.4 Tespt olasılığı 0.8 değer çn Bernoull bleşen ortalama varlı olasılığı utu grafğ... 5 Şel 5.5 Tespt olasılığı 0.6 değer çn ortalama MOPA statstğ sonuçları... 6 Şel 5.6 Tespt olasılığı 0.6 değer çn Bernoull bleşen ortalama varlı olasılığı utu grafğ... 7 x

12 Şel 5.7 Şel 5.8 Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 500 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında JPA parçacı fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 500 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında Bernoull fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler Şel 5.9 Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 500 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında JPA Gauss fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler... 2 Şel 5.0 Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 500 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında atama fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler... 2 Şel 5. Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 300 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında JPA parçacı fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler Şel 5.2 Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 300 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında Bernoull fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler Şel 5.3 Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 300 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında JPA Gauss fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler Şel 5.4 Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 300 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında atama fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler Şel 5.5 Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 0 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında JPA parçacı fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler Şel 5.6 Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 0 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında Bernoull fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler Şel 5.7 Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 0 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında JPA Gauss fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler Şel 5.8 Tespt olasılığı 0.98, ortalama yanlış alarm sayısı 0 değerne göre gerçeleştrlen 200 Monte Carlo oşusu sırasında atama fltresnn yapmış olduğu hedef onum estrmler x

13 ÇİZELGELER İZİNİ Çzelge 4. İz çıartma algortması çn od benzer yöntem Çzelge 4.2 Çolu sensör tepe bulma algortması çn od benzer yöntem Çzelge 4.3 CPH fltres tepe bulma algortması çn od benzer yöntem Çzelge 5. Tespt olasılığı 0.98 değer çn başarısız taplern yüzdes... 8 Çzelge 5.2 Tespt olasılığı 0.8 değer çn başarısız taplern yüzdes... 9 Çzelge 5.2 Tespt olasılığı 0.6 değer çn başarısız taplern yüzdes... 9 x

14 . GİRİŞ Çolu hedef tab onusu hem aser hem de svl alanda pe ço uygulamaya sahptr. Bu uygulamalara hava savunması, hava traf ontrolü, denz gözetm, ara taşıtlarının tab, navgasyon, robot, görüntü şleme, byomedal araştırmalar ve benzer örneler verleblr (Vo 2008). Hedef tap uygulamalarında arşılaşılan en büyü zorlu zlern doğru ölçümlerle eşleştrlmesdr. Örneğn, radar ve sonar sstemler her taramada ço sayıda nota ölçümü hedef tap algortmasına letr. Bu ölçümlerden bazıları hedef aynalıdır, bazıları se yanlış alarmdır. Hedef tap algortması, yanlış alarmları eleyere, tap edlen zler doğru ölçümler le güncelleme durumundadır. Hedef tap uygulamalarında yaygın olara varsayım yapılır (tret 203):. Hedefler notasaldır. 2. ensör her taramada br hedeften en fazla br adet ölçüm üreteblr. İ numaralı varsayım, ölçüm-hedef eşleştrmesn zorunlu ılar. Bayesç br hedef tap algortması, deal olara, tüm olası hedef-ölçüm eşleştrme durumlarını değerlendrme zorundadır. Bununla brlte, yanlış alarm yoğunluğuna bağlı olara, ölçüm hedef eşleştrme sayısı, te hedef problemnde dah zaman çersnde üstel ve sınırsız olara artış gösterr. Çolu hedef tab problem çn, ölçümlern farlı hedeflerle eşleşme ombnasyonlarının da değerlendrlmes geremetedr. Bu durum, hedef tab problemn daha da zorlu hale getrr. Bu açıdan, lteratürde ölçüm hedef eşleştrme şlemn gerçeleştrme çn en yaın omşu yöntemnden (Bar-halom ve L 995), çolu hpotez tab (Multple Hypothess Tracng, MHT) (Red 979) algortmasına adar farlı algortm armaşılığa sahp ço sayıda yalaşı yöntem önerlmştr. Blacman ve Popol (999) ve daha güncel olara Bar-halom vd. (20) le Koch (204) las hedef tap yöntemlernn genş brer özetn sunmatadır. Ölçümlern hedeflerle eşleştrlmesnn geretğ las hedef tap yöntemlerne ıyasla sonlu nota süreçlernn hedef tap problemne uygulanması görecel olara yendr. Lteratürde bu onuda yapılmış l çalışma Washburn (987) tarafından sabt ve blnen sayıda hedefn tab çn ortaya oyulmuştur. İzlenlen bölgede hareet eden hedef

15 sayısının blnmedğ, çolu hedef ve çolu sensör durumu çn sonlu nota sürec hedef model, Mahler tarafından sonlu üme statstğ (FInte et Tatstcs, FIT) adı altında sstematze edlmştr (Goodman vd. 997, Mahler 2007a, 204). Mahler (2003), FIT ısmen sonlu nota süreç teorsnn mühendslle barışı ( engneerng frendly ) formülzasyonu olara fade eder. FIT, las çolu hedef tap yöntemlerne ıyasla, sstemat ve matematsel olara tutarlı (rgorous), tamamen Bayesç ve Bayes-optmal özellleryle sunulmatadır (Mahler 2003, 2007a, 203). Vo (2008), bu özelllern yanı sıra FIT n hedef-ölçüm eşleştrmesne htyaç duyulmadan formülze edldğn de vurgulamıştır. FIT tabanlı optmal çolu hedef Bayes fltresnn ardışı Monte Carlo (sequental Monte Carlo) yalaşı uygulamalarına denbladh ve Wrander (2003), Vo vd. (2005) ve Reuter ve etmayer (20) örneler verleblr. Bununla beraber, optmal çolu hedef Bayes fltresnn gerçe zamanlı uygulaması, Mahler 2007a da belrtldğ üzere prat açıdan yalnızca az sayıda hedefn tab çn mümündür. olayısıyla, optmal fltrenn sstemat yalaşılarının türetlmes geremetedr (Mahler 2007a, 203, 204). Yalaşı fltreler arasında özellle Posson nota sürec (Posson Pont Process, PPP) hedef ve ölçüm modeln ullanan olasılı hpotez yoğunlu (Probablty Hypothess ensty, PH) fltres, m ölçüm, n hedef sayısı olma üzere Om n algortm armaşılığına sahp olması açısından dat çecdr. Burada, zaman çersnde ombnatoryal olara artış gösteren olası hedef-ölçüm eşleşmelernn değerlendrldğ MHT ve benzer yöntemlere ıyasla PH fltres algortm armaşılığının düşü olduğu, fltreleme şlem yüünün hem ölçüm hem de hedef sayısına göre doğrusal artış gösterdğ özellle vurgulanmalıdır. PH fltresnn yanı sıra Mahler 2007a ayrı yalaşı fltre ortaya oymuştur. Bu fltreler, bağımsız özdeşçe dağılmış öbe sürec (Independent Identcally strbuted Cluster Process, IICP) hedef ve ölçüm modeln ullanan sayal PH (Cardnalzed PH, CPH) fltres ve çolu Bernoull sürec (mult-bernoull process) hedef modeln ullanan ço hedef ço Bernoull fltresdr (Multtarget Mult Bernoull flter, MeMBer). PH fltresnn hedef sayısı estrmlern stablze eden CPH fltresnn algortm armaşılığı yüsetr. Fltre, hedef sayısıyla doğrusal, faat ölçüm sayısıyla üb artış 2

16 3 gösteren Om n şelde Om n armaşılığına sahptr. MeMBer fltres PH fltresyle benzer algortm armaşılığına sahptr. Bununla brlte, MeMBer fltresnde, çolu-bernoull sürecne her ölçüm güncellemesnde ölçüm sayısı adar yen bleşen elenere, zamanla ölçüm sayısıyla doğru orantılı olara artan sayıda Bernoull bleşenler üretlr. Bundan ötürü, düşü olasılılı Bernoull bleşenlern budanması, brbrlerne benzer bleşenlern brleştrlmes gb hpotez yönetm metodlarının MeMBer fltres çn de uygulanması geremetedr. MeMBer fltresnn yapmış olduğu hedef sayısı estrmnn yanlı olduğu Vo vd. (2009) da gösterlmş ve bu çalışmada fltrenn hedef sayısı estrmn yüse hedef tespt olasılığı varsayımı altında düzelten hedef sayısı düzeltlmş ço hedef ço Bernoull fltres (Cardnalty Balanced Multtarget Mult Bernoull flter, CBMeMBer) ortaya oyulmuştur. Vo ve Vo (20, 202 ve 203) çalışmaları, çolu Bernoull sürec hedef modeln ullanan CBMeMBer fltresn genelleştrlmş şaretl çolu Bernoull (Generalzed Labeled Mult-Bernoull Process, GLMBP) hedef model le gelştrmştr. GLMBP, PPP, IICP ve çolu Bernoull hedef modellernden farlı olara, şaretl hedef sürec model ullanmatadır. Fltrede, şaretl Bernoull bleşenler ullanılara hedef mller Bayes özynelemesnde orunmatadır. Anca, algortmanın armaşılığı yüsetr. Fltrey hesaplanablr tutma amacıyla en yüse olasılılı m hpotezn Murty (968) yöntem le bulunara taşınması Vo ve Vo (203) çalışmasında önerlmştr. Bununla beraber Vo ve Vo (203), uygulamada CPH fltresne ıyasla yen estrcnn br mertebe (order of magntude) daha armaşı olduğunu gözlemştr. Reuter vd. (204), yöntem çn hedef gruplaması, geçerll apılaması (valdaton gatng, Bar-halom 995), hedef marjnal şddet fonsyonunun taşınması gb algortma armaşılığını düşüren yalaşımlar önermştr. Lteratürde, sonlu nota sürec model ullanan hedef tap fltreler arasında FIT sstematğ ullanılmadan türetlen şddet fltreler (ntensty flters) de bulunmatadır. İl şddet fltres tret ve tone tarafından genşletlmş durum uzayında (augmented state space) türetlen Flter dır (tret ve tone 2008). Flter n, olasılı türeten fonsyonel ullanılara yenden türetlş ve PH fltresyle arşılaştırılması tret (203) te yapılmıştır. chora vd. (20), Flter n ardışı Monte Carlo uygulamasını 3

17 gerçeleştrmş ve ncelenen senaryoda PH fltresnden daha başarılı sonuç ürettğn göstermştr. Te sensör, çolu hedef tab çn türetlen Flter Om n algortm armaşılığına sahptr. Blnen sayıda hedefn tab çn şaretlenmş çolu hedef şddet fltres (mared multtarget ntensty flter) tret (200b) de türetlmştr. Heterojen sensör ağları çn tret (202) nn ortaya oyduğu traf fltres, sensör ve ölçüm sayısı le doğrusal artış gösteren algortm armaşılığına sahp sonlu nota sürec tabanlı br şddet fltresdr. Bu tez çalışmasında çolu sensör, çolu hedef tap problem çn polnom düzeyde algortm armaşılığa sahp br algortma türetlmes amaçlanmıştır. Bu bölümün başında ortaya onan sensör modelne lşn numaralı varsayım, çolu hedef tabnn yapısal olara ombnasyonel br problem olduğunu göstermetedr. Genel br ombnasyonel problem esn olara çözeblece br algortmanın polnom armaşılıta ve/veya sınırlı hafızaya sahp olableceğn düşünme çn yeterl br neden yotur. Bu nedenle, bu tez çalışmasında prat açıdan ullanışlı, yalaşı br yöntem gelştrme hedeflenmştr. Bu amaçla nota sürec hedef model ullanan fltreler ncelenmştr. onlu nota sürec fltrelernde, genellle, hedef sürec, brnc moment olan şddet fonsyonu le yalaşı olara fade edlmetedr. Şddet fonsyonu, brm hacme düşen ortalama hedef sayısını belrtr. Orta hedef dağılımının şddet fonsyonu le yalaşı olara fades, hedef mllernn ve hedef sürecnn daha üst mertebe momentlernde bulunan hedefler arası etleşm blglernn hmal edlmes anlamına gelmetedr. Bu çalışmada, öncelle Bayes sonsal süreçte hedefler arası etleşmlern ncelenmes amacıyla l orelasyon fonsyonu (par correlaton functon, Baddeley (2007)) ullanılmıştır. İl orelasyon fonsyonu le, PH fltres Bayes sonsal hedef sürecnn tc yapıda olduğunu ve uza hedefler arasında orelasyonun ölçüm olablrl fonsyonuyla orantılı olara sönümlendğ analt olara gösterlmştr (Bozdoğan vd. 203). Bu durum, PH fltres çn ölçüm çözünürlüğüne göre brbrlerne yeternce uza bölgelerde hedeflern bağımsız olara değerlendrlebleceğne şaret etmetedr. PH fltresnn asne, CPH fltres Bayes Traf fltres br hedef tap fltres değldr. Hedef durum uzayının farlı bölgelernn traf (hedef tespt etme olanağı) üretme oranı hartalanır. Br sensör ağında yüse traf üreten bölgeler hedeflern bulunduğu bölgelerle lntldr. 4

18 sonsal hedef sürecnn tamamen tc veya çec özellte olmadığı nümer br örnete, l orelasyon fonsyonu graflenere ortaya oyulmuştur. Nümer örne, CPH fltres Bayes sonsal sürecnn hedef uzayının ölçüm çözünürlüğüne göre uza bölgelernde dah etleşmler olduğunu göstermştr. aha açı br şelde fade edlrse, ölçüm çözünürlüğüne göre brbrlerne uza bölgelerde CPH fltres fatöryel momentler bağıntılıdır. Bu durum, Franen vd. (2009) da CPH fltres çn gözlenen uzata tuhaf et (spooy acton at dstance) durumunu açılamatadır. Benzer şelde, orta olasılısal ver lşlendrme fltresne (jont probablstc data assocaton flter, JPAF) (Bar-halom 995) at Bayes sonsal hedef sürecnn tamamen tc veya çec yapıda olmadığı Bayes sonsal sürecne at l orelasyon fonsyonu türetlere, nümer örne üzernde gösterlmştr. Bununla brlte, JPAF Bayes sonsal hedef sürecnn yaın hedefler çn çoğunlula tc özellte olduğu gözlenmştr. Bu durum, yaın hedefler çn JPAF nn y blnen zler brleştrme özellğnn Bayes sonsal hedef sürec aynalı olmadığına şaret etmetedr. JPAF fltresnde de PH fltresne benzer şelde ölçüm çözünürlüğüne göre brbrlerne uza bölgelerde etleşm gözlenmemştr. olayısıyla her fltrede de ölçüm çözünürlüğüne göre uzata bulunan hedefler bağımsız br şelde şleneblr. İl orelasyon fonsyonuna yaın br avram Palm ve ndrgenmş Palm süreçlerdr (Palm 943, aley ve Vere-Jones 2003, 2008). Palm sürec, sonlu nota süreç teorsnde oşullu olasılı avramının arşılığıdır. Palm dağılımı, sonlu nota sürecnn ürettğ tüm olaylarda blnen br notanın (veya notaların) var olması şartı altında oluşturulablece tüm olayların dağılımını matematsel olara tanımlar. Hedef tab problem çn Palm dağılımı, var olduğu blnen br hedefe at durum vetörünü çeren tüm hedef ümelernn olasılı dağılım fonsyonunu vermetedr. Palm sürecyle le yaından lgl br başa sonlu nota sürec ndrgenmş Palm sürecdr. İndrgenmş Palm dağılımı, oşullama sırasında ullanılan zole edlmş nota (veya notalar) harcnde notaları çeren olayların dağılımını tanımlamatadır. Hedef tab problem çn ndrgenmş Palm dağılımı, var olduğu blnen br (veya brden ço) hedef çermeyen hedef ümelernn dağılım fonsyonunu vermetedr. ğer br deyşle, ndrgenmş Palm sürec, sonlu nota hedef süreç modelnde blnen br veya brden ço hedefn zole edlere ayrılması amacıyla ullanılablece br araçtır. Bu tez 5

19 çalışmasında, ndrgenmş Palm sürecnn olasılı türeten fonsyonel türetlmş ve ndrgenmş Palm sürec, PH ve CPH fltreler gb hedef sürecnn uzayda dağılımını şddet fonsyonu le modelleyen fltreler çn hedefler ayrıştırıcı br z çıartıcı algortma türetmnde ullanılmıştır. Türetlen algortma aşamalıdır 2. Brnc aşamada hedef sayısının maxmum a posteror (MAP) estrm yapılır. İnc aşamada, Bayes sonsal sürecnde hedef durumları çn yalaşı MAP estrm yapılır. Yöntemde, hedef durum estrm çn gereen ço boyutlu masmzasyon problem, te boyutlu ardışı optmzasyonlar le yalaşı olara çözülmetedr. Bu amaçla, ndrgenmş Palm şddet fonsyonu tepeler özynelemel (recursve) olara aranmatadır. İ aşamalı estrm sonucunda elde edlen olay MAP benzer (pseudo MAP) (Braca vd. 203) estrm olara adlandırılmıştır. MAP benzer estrm yapıldıtan sonra hedeflern marjnal dağılım fonsyonları ndrgenmş Palm dağılımı le elde edlmetedr. Bu açıdan yöntem, hedef durumlarının yalnızca nota estrmlern üretmez, aynı zamanda ayrı hedef dağılım fonsyonları da hesaplanablr. Türetlen z çıartma algortması, PH fltres çn formülze edlmş ve yaın hedefn PH fltresnn ardışı Monte Carlo uygulaması le tab problemnde ullanılmıştır. eney sonuçları, yöntem başarımının, hedef sayısı estrmnn doğruluğu ve Bayes sonsal süreç tepelernn stabltes le bağlantılı olduğunu ortaya oymuştur. Yüse snyal gürültü oranı (gnal to Nose Rato, NR) varsayımı altında türetlen PH fltresnn, düşü NR durumu çn ararlı br hedef sayısı estrm gerçeleştrmedğ gözlenmştr. Aynı zamanda, düşü NR durumu çn Bayes sonsal sürec tepeler oynatır. Bu problemlere rağmen, ndrgenmş Palm sürecnn br beyazlatıcı fltre gb çalıştığı, tespt edlen hedefler etrafında Bayes sonsal şddet fonsyonunun sönümlendğ gözlenmştr. Bu sonucun doğrudan br uygulaması olara ndrgenmş Palm sürec, çolu sensör PH ve CPH fltreler çn yen br yalaşı yöntem türetmete ullanılmıştır. Türetlen yen yöntemde, ardışı z çıartıcı algortma yalnızca Bayes sonsal sürecn tepe notalarını bulma çn değl, tepe notalarına oşullu anon sayı dağılımını yalaşı olara hesaplamata da ullanılmatadır. Bu açıdan, türetlen yen yöntem, CPH fltres çn te sensör problemnde de ullanılablece şlem yüü açısından cazp br alternatf sunar. Yapılan deneyde, yen metodunun te sensör hedef tap fltresnn farlı sensör 2 İz çıartmada te aşamalı (hem hedef sayısını hem de hedef durum(larını) br arada estren) MAP estrm matematsel olara tanımlı değldr. Bunun neden farlı sayıda hedef çeren olayların farlı brmlere sahp olmasıdır. İ aşamalı estrm MAP benzer (pseudo MAP) olara adlandırılmıştır. 6

20 ölçümlern ardışı br şelde güncelledğ teratf düzeltc (teratve corrector, Mahler 200) yöntemne ıyasla daha başarılı sonuçlar ortaya oyduğu gözlenmştr. Bununla brlte, çalışmada rms (root mean squared) hata açısından sensör ölçümlernn orta şlenmes le bağımsız br şelde ard arda şlenmes arasında prat açıdan anlamlı br azanç gözlenmemştr. PH fltres çn ndrgenmş Palm sürec hesaplanıren yapılan ten analz, Bayes sonsal hedef sürecnn tespt edlmeyen hedefler çn PPP, tesptler çnse bağımsız Bernoull bleşenlernden meydana geldğn ortaya oymuştur. PH fltres, Bayes özynelemesn apatıren, sonsal sürec aynı şddet fonsyonuna sahp br PPP sürec le yalaşılamatadır. olayısıyla, Bayes sonsal sürecn htva ettğ Bernoull bleşenlernn yalnızca toplam şddet fonsyonu sonsal sürece taşınmatadır. Bu yalaşılamanın doğrudan br sonucu, PH fltres çn hedef ölümü problemdr (Erdnç vd. 2005). PH fltresnde tespt edlmeyen hedefler gereğnden hızlı br şelde sönümlenmetedr. Bu açıdan PH fltresnn hedef sayısı estrmne at varyans özellle düşü hedef tespt olasılığı durumu çn olduça yüsetr (elande vd. 204). CPH fltres, PH fltresnn anon sayı estrm varyasyonunu, anon sayı dağılımını da Bayes özynelemesnde taşıma suretyle stablze etmetedr. Bununla brlte, CPH fltresnn ullandığı IICP hedef modelnn Bayes sonsal süreçte global etleşmlere neden olduğu blnmetedr. Bu durumun doğrudan br sonucu olara CPH fltresnde hedef ölümü problem Franen vd. (2009) da gösterldğ üzere daha arışı br form almıştır. CPH fltresnde tespt edlmeyen hedefler çevresnde Bayes sonsal şddet fonsyonu sönümlenmele beraber, sonsal şddet fonsyou tespt edlen hedefler çevresnde yüselmetedr (Vo ve Vo 202). Bu çalışmada, hedefler arasında tuhaf etleşmler çermeyen ve aynı zamanda hedef ölümü problemne sahp olmayan Bernoull hedef sürec tabanlı yen br yöntem türetlmştr. Türetlen yöntemde doğan hedef sürec çn PPP, devam eden hedef sürec bağımsız Bernoull süreçler le modellenmştr. Çolu Bernoull sürec hedef model ullanan MeMBer ve CBMeMBer fltrelernden farlı olara, yen yöntemde devam eden Bernoull süreç bleşenlern bağımsız uzaylarda tanımlanmıştır. olayısıyla, hedef mller Bayes özynelemesnde doğrudan orunmatadır. Bu açıdan yen yöntem las hedef tap yöntemler le arabadır. Bununla beraber, hedef mllern taşımanın doğal sonucu, 7

21 Bayes özynelemesnn apatılmasının JPAF fltresne olduğu gb ombnatoryal br problem halne dönüşmesdr. İndrgenmş Palm sürec, Bayes özynelemesnn geretrdğ marjnalzasyon yerne oşullama le özynelemenn yalaşı olara apatılmasında ullanılmıştır. Yöntemde, öncelle ölçümler Bernoull bleşenlerne atanara Bayes sonsal sürece at en y hedef-ölçüm onfgürasyonu belrlenr. aha sonra bu onfgürasyonda hedef sürec tepelerne oşullu olara Bernoull bleşenlern dğer bleşenlerden bağımsız br şelde ölçüm güncellemesne tab tutulur. olayısıyla, yen yöntem algortm armaşılığı en düşü hedef tap yöntem olan en yaın omşu yöntem le hedef dağılımlarını marjnalze eden ombnatoryal br algortma olan JPA fltres arasındadır. Yapılan deneyde, yöntemn parçacı fltres uygulamasının en yaın omşu ve standart JPAF yöntemlerne ıyasla daha başarılı olduğu gözlenmştr. JPA fltresnn ardışı Monte Carlo yöntemler le tatb, türetlen yen yöntemden yüse tespt olasılığı çn hedef aybı açısından daha başarılı sonuçlar ortaya oymuştur. Bununla brlte, yen yöntem, orta ve düşü tespt olasılığı değerler çn z aybı açısından JPA fltresnden başarılı sonuçlar ortaya oymuştur. Aynı zamanda, MOPA statstğ açısından yen yöntem başarımının JPAF algortmasının ardışı Monte Carlo tatbnden üstün olduğu, özellle yaın hedefler çn yen yöntemn sağladığı estrmlern JPAF estrmlerne ıyasla daha ayrı ve daha doğru olduğu gözlenmştr. olayısıyla, yen yöntem le en yaın omşu yöntemnn yanlış alarmlara arşı hassasyet problem büyü oranda azaltılmış, JPAF fltresnn zler brleştrme sorunu ısmen düzeltlmştr. Aynı zamanda yöntemn algortm armaşılığının atama algortması armaşılığı le sınırlı olduğu vurgulanmalıdır. Bununla brlte, yen yöntemn çolu sensör problemne uygulanması çn en y onfgürasyon tepelernn bulunması, ço boyutlu atama problemnn çözülmesn geretrmetedr. Ço boyutlu atama problemnn determnst olmayan polnom zamanlı (Non-determnstc Polynomal tme hard, NP hard) zorlu sınıfında br problem olduğu y blnmetedr (Pattpat vd. 992). Pratte, ço boyutlu atama yalaşı yöntemler (örn. assgnment (Pattpat vd. 992), arınca olons optmzasyonu (Bozdogan ve Efe 2008)) le çözülmetedr. İteratf düzeltc, çolu sensör problem çn prat açıdan başarılı sonuçlar oyan algortm armaşılığı düşü yalaşı br yöntemdr (Mahler 200). 8

22 Bu tez çalışmasının lteratüre özgün atıları aşağıda gb özetleneblr: İl orelasyon fonsyonu ullanılara PH, CPH ve JPA fltrelernn Bayes sonsal hedef süreçler analz edlmştr: o PH fltresnn ullandığı PPP hedef modelnde Bayes sonsal hedef sürecnn tc yapıda olduğu analt olara gösterlmştr. o CPH fltres tarafından ullanılan IICP hedef modelnn ve JPAF fltres hedef modelnn tc veya çec yapıda olmadığı nümer br örnele gösterlmştr. o CPH fltresnde Bayes sonsal sürecn global etleşmler çerdğ gösterlmştr. İndrgenmş Palm sürec, hedef tab problemnde l defa tatb edlmştr. İndrgenmş Palm sürec ullanılara: o Hedef sürecn şddet fonsyonu le yalaşı olara fade eden fltreler çn yen br z çıartıcı algortma türetlmştr. o Yalaşı çolu sensör PH ve CPH fltreler türetlmştr. o Bernoull fltres türetlmştr. Tez planı aşağıda verlmştr: Bölüm 2 de tez çalışmasında ullanılan metodlar açılanmış, sonra bölümlerde ullanılan türetmler yapılmıştır. Bölüm 3 te ndrgenmş Palm sürec ve l orelasyon fonsyonu açılanmıştır. Bölüm 4 te ndrgenmş Palm sürec, moment tabanlı fltreler çn z çıartıcı br algortma türetmnde ullanılmıştır. İz çıartıcı algortma le yen yalaşı çolu sensör PH ve çolu sensör CPH fltreler türetlmştr. Bölüm 5 te Bernoull fltres türetlmştr. Bölüm 6 da sonuçlar tartışılmıştır. 9

23 2. KURAMAL TEMELLER onlu nota süreçler rastgele nota motflerdr. Örneğn, br telefon santralne gelen arama zamanları veya br şehr hartasında traf azalarının onumları sonlu nota süreçler le modelleneblr. onlu nota sürecn tanımlama çn üç genel oşulun sağlanması gereldr (aley ve Vere-Jones (2003), Condtons 5.3.I): Genel Koşullar I Notalar tam, ayrılablr, br metr uzayında (complete separable metrc space) yer alır (örn. n = ). Popülasyonda bulunan toplam nota sayısını belrleyen br olasılı ütle dağılımı pn,. n 0,,... tanımlıdır ve pn,. şartı sağlanır. n0 Her n ( n ) tam sayısı çn, (n)... º Borel ümeler çn. olasılı dağılımı tanımlıdır ve bu dağılım n sayıda notanın orta onum dağılımını belrler. n Örneğn,. pn,. br Posson olasılı ütle fonsyonudur (probablty mass functon, pmf) (örn., pn,. e n n! ve m + Î ). 2. n çn s,..., s s n n n geçerldr. Br ve numaralı şartı sağlayan nota sürec PPP dr (Baddeley 2007). Herhang br pn,. olasılı ütle fonsyonu çn nc şartta belrtlen bağımsızlı lşs geçerl se süreç IICP dr. n çn pn,. 0 se süreç, Bernoull sürec olara adlandırılır. 0

24 tret (203, 204) br Ξ nota sürecnn olay uzayını, n, s,, sn şelnde sıralı ller le fade eder. (Bu bölümde yer alan türetmler ve gösterm sstem tret (203, 204) aynalarına ve tret (203) ullanılara türetlen Bozdoğan vd. (203) ve Bozdoğan (basılmamış) a dayanmatadır. Bölüm çersnde bu aynalar ayrı ayrı referanslanmayacatır.) genellle s notaları uzayındadır (hedef tap problemlernde n = uzayının br alt ümesdr). n 0 çn olay 0, ls le fade edlr. n çn n, s,, sn ls n! eş olasılılı ns,,, s n sıralı olaya arşılı gelr. Burada, ymn dr ve ymn l n poztf tamsayının tüm permütasyonlarını çeren ümedr. Fz lteratüründe, herhang br n nota sayısı (anon sayı, canoncal number) çn mümün olan tüm olayların ümes anon toplulu (canoncal ensamble); olası tüm nota sayıları çn mümün olan tüm olayların ümes se büyü anon toplulu (grand canoncal ensamble) olara adlandırılmatadır. 2. Olasılı Türeten Fonsyonel Fonsyonel, grds br fonsyon, çıtısı reel veya omples br sayı olan br operatördür. Örneğn, sınırları belrl entegral br fonsyoneldr. onlu nota süreçler çn olasılı türeten fonsyonel (probablty generatng functonal, PGFL), Moyal (962) tarafından ortaya oyulmuştur. PGFL, olasılı türeten fonsyonu (probablty generatng functon, PGF) genelleştrr. Moyal (962), PGFL fonsyonel türevlernn smetr dağılımlı sonlu nota süreçlern belrlendğn göstermştr. Tanım I: U : omples değerl, hs şartını sağlayan Borel ölçüleblr fonsyonlar ümesn belrtsn. Ξ nota sürecnn PGFL ı, hu tanımlanmıştır (aley ve Vere-Jones (2003)): fonsyonu çn Eştl 2. le

25 Ξ G h E h E h s N n,,, n h s p n s sn dsds n0 n (2.) Eştl 2. de hs n çarpımı 0 n durumu çn br abul edlr. Örne : Posson nota sürec PPP çn PGFL Eştl 2.2 de hesaplanmıştır. e s PPP G h h s ds n! n0 n0 hs f s s h s ds exp exp n! exp n ds n n hs s ds (2.2) Eştl 2. de f s s dır ve f s lteratürde şddet fonsyonu adını alır. Örne 2: Bağımsız özdeşçe dağılmış öbe sürec IICP çn PGFL Eştl 2.3 te verlmştr. IICP G h pn,. hs ds n0 n s h s F s ds (2.3) Eştl (2.3) te pn,. nota sayısı olasılı ütle fonsyonunu ve F. olasılı türeten fonsyonu (örn.,. n F z p n z ) belrtr. ortalamalı br Posson dağılımının n0 2

26 olasılı türeten fonsyonunun Fz exp z 2.2 de verlen sonuca Eştl 2.3 ullanılara ulaşılablr: olduğu hesaba atılırsa, Eştl exp exp s f s ds PPP PPP G h F h s s ds h s ds hs (2.4) Örne 3: Bernoull sürec Bernoull sürec çn PGFL Eştl 2.5 te verlmştr. 0,.,. s s P h s ds (2.5) Bernoull G h p p h s ds P e e Eştl (2.5) te P p,. e dr ( P e Bernoull rastgele değşennn başarı olasılığını (hedef tab açısından hedefn var olma olasılığını) belrtr). 2.2 Olasılı Türeten Fonsyoneln Türevler Varyasyon fonsyonu w, w : tanımlı ve sınırlı (örn. s çn ws B şartını br B sayısı çn sağlayan) br fonsyon olsun. Varyasyonlar hesabını ullanara (calculus of varatons), Gh olasılı türeten fonsyonelnn varyasyon w ye göre türev Eştl 2.6 da tanımlanmıştır (fonsyonel türevler çn. (örn. G ), normal türevler çn d. (örn. df ) smges ullanılacatır). G w h Gh w d lm lm G h w G h 0 d 0 (2.6) Eştl 2. de yerne yazara Gh w 3

27 n n n (2.7) n0 n,,, G h w h s w s p n s s ds ds Eştl 2.7 le verlr. Moyal (962), Gh w nn omples uzayda, merez apsayan açı br bölge çn nn analt br fonsyonu olduğunu göstermştr. Analtl, türevn dış toplamın çersne alınablmesne man tanır. olayısıyla, w varyasyon fonsyonuna göre PGFL nn fonsyonel türev Eştl 2.8 de verlmştr: n n G h w s h s p n, s,, s n ds ds n w (2.8) n n, x w ( s), t=,2,... t, rac delta fonsyonu ( x s, x ) çn br test fonsyon dzs x olsun. Örneğn, () æ ö t w s = N x, e t ç 2 = çè t ø 2p - ( ) 2 2 s-x t 2 dzsnn her term sınırlı analt br fonsyondur ve Lghthll (958) bu dznn lmtte Eştl 2.9 u sağladığını göstermştr. s f sds lm w x s f sds f x x t t (2.9) Bu durumda, rac delta fonsyonu yerne normal dağılım dzs ullanılır (varyasyon fonsyonunun sınırlı olması geremetedr) ve lmt alınırsa, x notasında br dürtüye göre fonsyonel türev Eştl 2.0 le tanımlanmıştır. n n G h c lm w t s h s p n, s,, s n ds ds n w t n n, n n s h s p n s s ds ds,,, x n n n n, (2.0) 4

28 pns,,, s n dönüşür. dağılımının smetr yapıda olmasından ötürü Eştl 2.0, Eştl 2. e G h n h s p n x s s ds ds x n,, 2,, n 2 n (2.) n n 2 Farlı notalarda ( j x xj ) dürtüye göre PGFL nn ıncı mertebe fonsyonel türev Eştl 2.2 de verlen özynelemel hesaba göre yapılır: G x x h n nnn hs p nx,,, x, s,, sds ds n n n n (2.2) PGFL nn dürtülere göre fonsyonel türevler, nota sürecn tanımlayan dağılımın elde edlmesnde ullanılablr. Örneğn, PGFL nn mertebel fonsyonel türevnde (bu çalışmada, fonsyonel türevlerde ullanılan varyasyon fonsyonu rac delta fonsyonudur.) h 0 dağılımı elde edlr: fonsyonunun grd olara ullanılması le sürecn olasılı G x x 0! p, x,, x p, x,, x (2.3) PGFL de h(.) z grdsnn ullanılması, anon sayı PGF sn verr: n,. F z G h z p n (2.4) h. z n0 5

29 PGF nn brnc (normal) türev z çn değerlendrlrse, sürecn belenen anon d sayı değer hesaplanır ( EN [ ] = dz Fz ( ) ). z = 2.3 PGFL nn Fatöryel Momentler PGFL nn brnc fonsyonel türevnde h. fonsyonunun grd olara ullanılması sürecn l momentn verr. G m x n p n x s s ds ds,, 2,, n 2 n x (2.5) n n onlu nota sürec lteratüründe sürecn brnc moment şddet fonsyonu olara adlandırılır. Hedef tab lteratüründe ten ve Wnter (993) e referansla, şddet fonsyonu olasılı hpotez yoğunluğu (PH) olara adlandırılmıştır (Mahler 2007a). m x, uzayının brm hacmne düşen ortalama nota sayısını verr. PGFL nn farlı notalarda dürtülere göre fonsyonel türevlernde fonsyonunun grd olara ullanılması sürecn fatöryel momentlern verr 3. G m x x x x,, n! n n n n n p n, x,, x, s,, s ds ds n n n! p n, x,, x, s,, s ds ds n n n n (2.6) 3 ürecn momentler de (momentler, fatöryel momentlerden farlı olara nota terarı çereblr) aynı p nx,,, x, s,, s mean yöntem ullanılara elde edleblr. Bununla beraber, Eştl 2.6 da çersnde bulunan n pozsyona farlı notanın yerleştrleblme sayısını veren! terarı durumunda daha arışı br form alır (Moyal, 962). n! değer, nota 6

30 2.4 İ onlu Nota ürecne At PGFL, Y ölçüm uzayında my y Y,,, m olaylarını üreten br sonlu nota sürec olsun (genellle, Y ölçüm uzayı hedef durum uzayından farlıdır. Örn. boyutlu 4 br radar uygulamasında polar radar ölçümler le te tanımlı hedef durum vetörü.). Eştl 2. de tanımlı PGFL Y çarpım uzayında olay üreten, Ξ orta sonlu nota sürecne genşletlrse, Eştl 2.7 de tanımlanan orta PGFL elde edlr. G ΥΞ g, h n m ΥΞ (2.7) hsgy j p m, y,, ym, n, s,, sndydym dsdsn n0m0 m n Y j n m hs ve gyj çarpımları, m = 0 ve n = 0 durumları çn br abul j edlmştr. Eştl 2.7 de h. veya g. durumu çn orta PGFL tel PGFL e dönüştüğü görülür. ΥΞ ve G h G Υ, h Υ G g G g, Ξ Ξ (2.8) ΥΞ Υ Ξ Aynı zamanda, p my,,, y, ns,,, s p my,,, y p ns,,, s ΥΞ Ξ Υ bağımsızlığı varsa, G g, h G hg g m n m n süreçler çn orta PGFL, tel süreç PGFL lernn çarpımına eşttr. olduğu gözlenr. olayısıyla, bağımsız,,,,,,,,,,,,,,,, p m y y n s s p m y y n s s p n s s ΥΞ Υ Ξ Ξ m n m n n yazılır, toplam ve entegrallern yerler değştrlrse Eştl 2.9 elde edlr. şelnde 7

31 G ΥΞ g, h n m Υ Ξ hs gy j p m, y,, ym n, s,, sndydym n0 n m 0 m Y j p n, s,, s ds ds n0 n n n n Υ Ξ hs G g s,, s pn, s,, s ds ds n n n (2.9) n Υ Ξ Υ Ξ Özellle, G g. çarpanlara ayrılıyorsa (örn. G g s,, sn Tg s ) orta PGFL dallanan süreç (branchng process) (Harrs (963)) formunda özynelemel br şel alır. n ΥΞ G g, h hst g s p n, s,, sndsdsn n0 n Ξ G ht g. (2.20) Bu çalışmada ncelenen hedef tap fltrelernn orta hedef-ölçüm süreç PGFL ler aşağıda verlen örnelerde türetlmştr. Örne (Entegre edlmş) olasılısal ver lşlendrme metodu - PPP yanlış alarm model Olasılısal ver lşlendrme metodu (Bar-halom (995)) te hedef tabnde ullanılan yöntemlerden brdr. Aşağıda varsayımlara dayanılara türetlmştr: Ortamda br hedef vardır. Hedef durumu blnen br pdf le ( p x, x ) modellenmştr (Bar-halom (995) hedef durumu normal dağılım le modeller.). Alıcı, blnen br tespt olasılığına ( P, probablty of detecton) göre hedeften ölçüm üretlr. Hedef aynalı ölçüm, blnen br olablrl fonsyonuna ( y py x, z Y, x ) göre üretlr. 8

32 Alıcı, olası hedef ölçümünün yanı sıra yanlış alarmlar da üretr. Yanlış alarmlar hedef ve hedef aynalı ölçümden bağımsız olara üretlr. Yanlış alarm sürec PPP le modellenmştr. e Bu şartlar altında hedef dejenere Bernoull sürec ( P ) le modelleneblr 4. Buna göre: Ξ e e s s (2.2) G h P Ph s d Hedef aynalı ölçüm sürec Bernoull sürecdr: g x y Υ T Ξ G P x P x g p y x d Y y (2.22) Eştl 2.20 ullanılara hedef hedef aynalı ölçüm orta sürec Eştl 2.23 le tanımlanmıştır. Ξ ΥT Ξ g h g ΥTΞ G, G hg. Pe Pe hs P sp sgy py sdy sds Y Pe Pe hs P s sds hsgyp s py s sdsdy Y (2.23) Yanlış alarm sürec hedef ve hedef aynalı ölçümden bağımsız br PPP sürec le modellenmştr. Eştl 2.24 te tanımlanmıştır. y yanlış alarm şddet fonsyonunu belrtrse, bu sürece at PGFL 4 Hedefn varlığı esn olara blnmyorsa, hedef sürec Bernoull dr. Bu şart altında PA, IPA (entegre edlmş, ntegrated) PA, (Musc vd. 994) metoduna dönüşür (Musc vd. 204). Eştl 2.2 de her metodu arşılayaca şelde P term açıça yazılmıştır. PA metodunda P durumu, IPA metodunda Pe durumu geçerldr. e e 9

33 (2.24) Y g y ΥC G exp y g dy onuç olara, Eştl 2.25 te verlen PGFL hedef-ölçüm orta sürecn tanımlar. ΥT ΥC Ξ ΥT Ξ Υ C,, h g ΥΞ G g h G g h G g G, hs P s s ds Pe P e hsgyp s py s sdsdy Y exp ygy dy Y (2.25) Örne 2 PH fltres PH fltres türetlren aşağıda varsayımlar yapılmıştır: Hedef sürec PPP dr. ensör, blnen br tespt olasılığına göre hedeflerden ölçüm üretlr. Hedef aynalı ölçümler blnen br olablrl fonsyonuna göre üretlr. Hedef aynalı ölçümler, hedef durumlarına oşullu bağımsızdır. Alıcı, olası hedef ölçümünün yanı sıra yanlış alarmlar da üretr. Yanlış alarmlar hedef ve hedef aynalı ölçümlerden bağımsızdır. PPP yanlış alarm model ullanılmıştır. Bu şartlar altında hedef sürec PGFL s Eştl 2.26 da tanımlanmıştır. Burada hedef sürec şddet fonsyonunu belrtr f s 20

34 G hexp f shsds (2.26) Hedef hedef aynalı ölçüm orta sürec PGFL s Eştl 2.27 de tanımlıdır. Ξ T Ξ g, h g. ΥTΞ Υ G G hg exp f s hs P s P sgy py sdy ds Y (2.27) Eştl 2.28 hedef-ölçüm orta sürec PGFL sn tanımlar. ΥT ΥC Ξ ΥT Ξ Υ C g, h g, h g, h g ΥΞ G G G G f shs P sds f sds yg y dy Y exp f shsgyp s py sdsdy Y (2.28) Örne 3 Çolu sensör PH fltres Çolu sensör PH fltresnde aynı anda brden fazla sensörden ölçüm alınır. ensörler, PH fltres modeln ullanır. Hedef durumuna oşullu farlı sensörlere at ölçümler brbrnden bağımsızdır. Bu durumda hedef-hedef aynalı ölçüm orta PGFL s Eştl 2.29 le tanımlanmıştır. L Υ T...ΥTΞ L Ξ L ΥT G g,..., g, h G Ξ h G g. L exp f s hs P s P s g y p y s dy ds Y (2.29) Eştl 2.30 da verlen PGFL, hedef-ölçüm orta sürecn tanımlar. 2

35 L L Υ T...ΥTΞ L L Υ C,...,,,...,, L Υ...Υ Ξ G g g h G g g h G g L f sds yg y dy Y exp L f shs P s P s g y p y s dy ds Y (2.30) Örne 4 ayal PH fltres (CPH) CPH fltres IICP hedef ve yanlış alarm sürec ullanır. Hedef aynalı ölçümler çn varsayımlar PH fltres le aynıdır. Eştl 2.3 te tanımlanan IICP modelne göre hedef ve yanlış alarm süreçlerne at PGFL ler Eştl 2.3 de verlmştr. s s s n G p, N n,. h s ds F h s h s s ds n0 2 s Υ 2 g y y ΥC G F g dy y f f y y f ds y Υ dy (2.3) Hedef ölçüm orta sürecn tanımlayan PGFL Eştl 2.32 de tanımlanmıştır. y s Υ G gh, F hs P s P sgy py sdy ds Y Υ F gy dy Υ f (2.32) 22

36 Örne 5 Orta (entegre edlmş) olasılısal ver lşlendrme metodu (JPA) - PPP saçıntı model JPA metodu (Bar-halom (995)) çolu hedef tabnde ullanılan yöntemlerden brdr. Ortamda blnen sayıda hedefn bulunduğu varsayar. Te hedef durumu çn JPA, PA metoduna dönüşür. Hedef sayısının esn olara blnmedğ durum çn entegre edlmş JPA (JIPA) metodu (Musc ve Evans 2004) JPA metoduna dönüşür. JPA bağımsız dejenere Bernoull süreçler le modelleneblr. r tane hedef çn hedef sürec 5 Eştl 2.33 te verlen PGFL ye sahptr. r... r Ξ Ξ r G h,..., h P e Pe h s s ds (2.33) Hedef ölçüm orta sürecn tanımlayan PGFL Eştl 2.34 te verlmştr. r Υ Ξ... Ξ r G g, h,..., h r P e Pe h s P s P s g p y s d s Y exp ygy dy Y y y ds (2.34) Örne 6 MeMBer Fltres Fltrede hedef sürec çolu Bernoull sürec, yanlış alarm sürec se PPP le modellenr. Hedef aynalı ölçüm varsayımı dğer fltrelerle aynıdır. Hedef sürecnn r adet Bernoull bleşen çerdğ varsayımı altında hedef sürec Eştl 2.35 le verlr. 5 JIPA metodunu JPA le brlte gösterme amacıyla yazılmıştır. JPA metodu çn P P dr. 2 e e P ve e 2 Pe hedef varlı olasılıları açıça 23

37 r Ξ G h P e Pe h s s ds (2.35) Hedef ölçüm orta sürec Eştl 2.36 le tanımlıdır. G ΥΞ g, h r P e Pe h s P s P s g y p y s dy s ds Y exp ygydy Y (2.36) 2.5 Bayes onsal ürec Hedef tabnde ölçümlere oşullu hedef durumunun estrlmes amaçlanmatadır.,,, ΥΞ z z ölçüm olayına oşullu hedef sürecnn bulunması amacıyla, G g, h orta süreç PGFL snn fonsyonel türevler alınır ve g. 0 yazılırsa Eştl 2.37 elde edlr. ΥΞ n G ΥΞ 0, h! hs p, z,, z, n, s,, s ds ds z z g. 0 n0 n n n (2.37) Eştl 2.37 de h. ullanılması durumunda sürecnn herhang br,,, z z olayı çn olasılı dağılım fonsyonunun değer elde edlr: ΥΞ G z z 0,! p, z,, z (2.38) Gerçeleşmş (, { z,, z }) n = ¼ olayına oşullu Ξ Υ sürecnn dağılım fonsyonu Eştl 2.39 da belrtlmştr. 24

38 p Ξ p, ( ) p (2.39) Buradan, n olayına oşullu Bayes sonsal süreç PGFL s Eştl 2.40 ta tanımlanmıştır. G ΥΞ G z z h G z z Ξ Υ ΥΞ 0, h 0, (2.40) Örne (Entegre edlmş) olasılısal ver lşlendrme metodu-ppp saçıntı model Bayes sonsal sürecn bulunması Eştl 2.25 te tanımlanan orta sürecn fonsyonel türevler alınara Eştl 2.4 elde edlr. ΥΞ G z z gh, z P P hsp s sdsp Y e e e hsp spz s sds z (2.4) Buradan, Bayes sonsal hedef sürec Eştl 2.42 G ΥΞ G z z h G z z Ξ Υ ΥΞ s 0, h 0, Pe Pe h s P s sds C C P P P s ds e e e Y P P Pe hsp spz s sds Y z sp s z s ds z (2.42) 25

39 ve Bayes sonsal hedef sürecne at şddet fonsyonu Eştl 2.43 te tanımlanmıştır. m Ξ Υ x Pe P s sds C G x s Pe P s p z s ds Y z (2.43) Örne 2 PH fltres Bayes sonsal sürecn bulunması çn Eştl 2.28 de tanımlanan orta sürecn fonsyonel türevler alınırsa: G Ξ Υ Ξ 0, ΥΞ ΥΞ G h z h s P s p z s f s ds G Ξ 0, ΥΞ G z P s p z s f s ds ΥΞ h ΥΞ G z z G z z 0, h 0, Ξ 0, h z hsp s p( z s) f sds 0, ( ) ΥΞ G Ξ z P s p z s f sds (2.44) elde edlr. Eştl 2.44 te, G G ΥΞ ΥΞ 0, h 0, Ξ exp hs P s f sds (2.45) 26

40 oranının nceltlmş (thnned) PPP hedef sürecne at PGFL olduğu görüleblr. Eştl 2.44 te tanımlanan PGFL + termn çarpımı formundadır. Bu durum, Bayes sonsal hedef sürecnn + bağımsız sürecn üst üste oyulması (superposton) le oluştuğunu göstermetedr. Bu süreçlerden l PGFL s Eştl 2.45 te tanımlanan PPP sürec olup, tespt edlmemş hedeflere attr. ğer süreç ölçümlere arşılı gelen Bernoull süreçlerdr. Bernoull süreçlernn başarı olasılığı, lgl ölçümün br hedeften aynalanmış olma olasılığına arşılı gelr. z ölçümü çn Bernoull sürec PGFL s Eştl 2.46 da verlmştr. G z Ξ ( ) Ξ z P s p( z s) f sds z h s P s p z s f s ds [ h] (2.46) Bu durumda sonsal şddet fonsyonu Eştl 2.47 le hesaplanır. m G x Ξ Υ x Ξ P x f x Ξ P x p( z x) f x Ξ z P s p( z s) f s ds (2.47) Örne 3 Çolu sensör PH fltres Bayes sonsal sürecn bulunması çn Eştl 2.30 da tanımlanan orta sürecn ölçümlere göre fonsyonel türevlernn alınması geremetedr. Bu şlem, farlı sensörlern ürettğ tüm ölçüm ombnasyonlarının değerlendrlmesne htyaç duyar. Bu açıdan Mahler (2003) çolu sensör PH fltresn hesaplanablrl açısından zorlu (ntractable) olara değerlendrmştr. elande vd. (20) hedef uzayını parçalara ayırma yolu le çolu sensör PH fltresn gerçelemştr. Bununla brlte, sensör tarama bölgelernn üst üste bndğ durumlarda optmal PH fltresnn şlem geresnm yüsetr. Bu bölümde, gösterm amacıyla sensör ve üç adet ölçüm çn Bayes sonsal süreç 27

41 hesaplanacatır. z brnc sensör tarafından üretlen br adet ölçümü ve z, z nc sensör tarafından üretlen adet ölçümü belrtmetedr. Bu durumda Bayes sonsal sürecn bulunması çn Eştl 2.48 n hesaplanması geremetedr. G 2 ΥΥ Ξ 3 G 0,0, h Ξ z z z (2.48) G 0,0, z z z ΥΥ 2 2 h, 2 3 ΥΥΞ Başlangıç olara hedef-ölçüm orta süreç PGFL s Eştl 2.49 da tanımlanmıştır: 2 ΥΥΞ 2 G g, g, h 2 f sds yg ydy Y exp 2 f shs P s P s g y p y s dy ds Y (2.49) Öncelle brnc sensör tarafından üretlen ölçüme göre türev alınır ve g. 0yapılırsa Eştl 2.50 elde edlr: G z 2 ΥΥ Ξ 2 2 ΥΥ Ξ 2 2 0, g, h G 0, g, h Ah, g (2.50) Burada A h, g 2 fonsyonu Eştl 2.5 de tanımlanmıştır. 28

42 z f shsp spz s 2 A h, g 2 P2 s P2 sg yp2y sdyds 2 Y (2.5) aha sonra z 2 ölçümüne göre türev alınırsa Eştl 2.52 elde edlr. 2 2 ΥΥ Ξ G z z ΥΥ Ξ , g, h G 0, g, h Ah, g B h, g (2.52) Burada B h, g 2 fonsyonu Eştl 2.53 te tanımlanmıştır: 2 A h, g 2 2 ΥΥΞ 2 2 G 2 z 2 2 z z A h, g B h, g 0, g, h z f shs P sp2 s p2z sds 2 f shsp s pz sp2 s p2z sds 2 Ah, g (2.53) 2 on olara z ölçümüne göre türev alınır ve 2 g 2. 0eştlenrse: 2 3 ΥΥ Ξ G z z z ΥΥ Ξ 0,0, h G 0,0, hah,0 Bh,0 C h C2 h C3 h (2.54) elde edlr. Eştl 2.54 te ullanılan tanımlanmıştır: C. h fonsyonları Eştl 2.55 te 29