MAT223 AYRIK MATEMATİK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MAT223 AYRIK MATEMATİK"

Transkript

1 MAT223 AYRIK MATEMATİK Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni 3. Bölüm Emrah Ayar Anadolu Üniversitesi Fen Faültesi Matemati Bölümü, ESKİŞEHİR Öğretim Yılı

2 Binom Teoremi Binom Teoremi ( ) n 1. Derste sayılarına binom atsayıları denildiğini ifade etmişti. Şimdi bu adlandırmanın nereden aynalandığını açılayalım. Aşağıdai özdeşliler hepimizin iyi bildiği özdeşlilerdir. (x +y) 2 = x 2 + 2xy +y 2 (x +y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 +y 3 (x +y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 +y 4 Varsayım Bu eşitlilerin sağ tarafında yer alan atsayılar ( ) n sayılarıdır. 2/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

3 Binom Teoremi Gerçeten de, (x +y) 5 = (x +y)(x +y)(x +y)(x +y)(x +y) ifadesinin açılımını düşünelim. Bu ifadenin açılımında ortaya çıan terimler, her bir çarpandai ii terimden birinin seçilip, birbirleriyle çarpılması ile elde edilir. Örneğin, x 2 y 3 ü elde etme için, bu beş çarpanın iisinden x i (dolayısıyla da üçünden y yi) seçmemiz gereir. ( ) 5 Bu beş çarpanın üçünden ise y yi farlı şeilde seçebiliriz. O halde 3 ifadenin açılımı ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x +y) 5 = x 5 + x 4 y + x 3 y 2 + x 2 y 3 + xy 4 + y olacatır. 3/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

4 Binom Teoremi Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni Binom Teoremi Bu anlatılan yöntem genelleştirilece olursa, Binom Teoremi adı verilen aşağıdai teorem elde edilir. Teorem (Binom Teoremi) (x +y) n ifadesinin açılımında x n y nin atsayısı ifadeyle (x +y) n = olur. ( ) ( ) n n x n + x n 1 y ( ) n n + y n = n =0 ( ) n x n y ( ) n olur. Bir başa ( ) ( ) n n x n 2 y xy n 1 2 n 1 4/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

5 Binom Teoremi Bu önemli özdeşli ünlü Farslı şair, yazar, matematiçi, filozof ve astronom Ömer Hayyam tarafından eşfedilmiştir. Ömer Hayyam (1044? 1123?) Sevgili, seninle ben pergel gibiyiz; İi başımız var, bir te bedenimiz. Ne adar dönersem döneyim çevrende Er geç baş başa verece değil miyiz? Ömer HAYYAM Binom sözcüğü ii terim içeren ifadeler için ullanılan Yunanca binome sözcüğünden gelmetedir. 5/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

6 Binom Teoremi Şimdi Binom Teoreminin anıtını verelim (Alıştırma 3.1.1): Kanıtı tümevarım yöntemini ullanara yapalım. 0 ( ) 0 n = 0 için (x +y) 0 = 1 = x 0 y olur. =0 1 ( ) 1 n = 1 için (x +y) 1 = (x +y) = x 1 y olur. =0 n = m için eşit geçerli olsun (tümevarım hipotezi). n = m + 1 için eşitliğin geçerli olduğunu gösterelim. 6/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

7 Binom Teoremi Tümevarım hipotezini ullanırsa, (x +y) m+1 = (x +y)(x +y) m m ( ) m = (x +y) x m y = x m =0 ( m =0 olur. x ve y yi toplamların içine atarsa, elde edilir. (x +y) m+1 = m =0 ) x m y +y ( ) m x m +1 y + m =0 m =0 ( ) m x m y ( ) m x m y +1 7/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

8 Binom Teoremi Birinci toplamdan = 0 durumunu ayırırsa, (x +y) m+1 = x m+1 + m =1 olur. İinci toplamda = j 1 alırsa, (x +y) m+1 = x m+1 + m =1 ( ) m x m +1 y + ( ) m x m +1 y + m =0 m+1 j=1 ( ) m x m y +1 ( ) m x m j+1 y j j 1 bulunur. İinci toplamın da son terimini (j = m+1 durumunu) ayırırsa, (x +y) m+1 = x m+1 +y m+1 + elde edilir. m =1 ( ) m x m +1 y + m j=1 ( ) m x m j+1 y j j 1 8/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

9 Binom Teoremi Şimdi ii toplamı birleştirirse (aslında x m +1 y parantezine alırsa) (x +y) m+1 = x m+1 +y m+1 + m =1 [{( ) ( ] m m + )}x m +1 y 1 olur. 1. Derste ( ) ( m + m ) ( 1 = m+1 ) olduğunu anıtlamıştı. O halde m [( ] m+1 (x +y) m+1 = x m+1 +y m+1 + )x m +1 y =1 m+1 [( ] m+1 = )x m +1 y sonucuna ulaşırız. =0 Tümevarım yöntemi gereği eşitli her n doğal sayısı için doğru olacatır. 9/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

10 Binom Teoremi Örne 1. Derste ( ) n + 0 özdeşliğini anıtlamıştı. ( ) ( ) n n n 1 ( ) n = 2 n n Bu özdeşliği Binom Teoremini ullanara da anıtlayabiliriz. (x +y) n ifadesinin açılımında x = y = 1 alınırsa özdeşli olayca elde edilir. 10/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

11 Hediyeleri Dağıtma Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni Hediyeleri Dağıtma Soru Sınıfça aldığınız n farlı hediyeyi çocu esirgeme urumuna gidip buradai çocuğa dağıtma istiyorsunuz. Hangi çocuğun aç tane hediye alabileceği urumun yetilileri tarafından önceden sizlere bildirilmiş. Bazı çocular hediye almayabilir (Hediye sayısı çocu sayısından az olabilir). Hediye sayısı çocu sayısından fazla olsa bile bazı çocular yine de hediye alamayabilir. Bu dağıtımı aç farlı şeilde yapabilirsiniz? n : hediye sayısı : çocu sayısı n :. çocuğun alacağı hediye sayısı (n 1 +n 2 + +n = n) 11/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

12 Hediyeleri Dağıtma 1. Yöntem: n hediyenin hepsini yanyana dizeriz. Sonra birinci çocuğu çağırır soldan n 1 tane hediye almasını isteriz. Daha sonra (hediye aldıysa) iinci çocuğu çağırır soldan n 2 tane hediye almasını isteriz. Bu şeilde devam edilere. çocuğu çağırır alan n hediye almasını isteriz. Böylece bütün hediyeler dağıtılmış olur. Pei bu işlem aç farlı şeilde yapılabilir? n hediyeyi n! farlı şeilde sıralayabileceğimizi biliyoruz. Diğer taraftan da. çocuğun aldığı n hediyenin endi içinde sırasının değişmesinin bir şeyi değiştirmeyeceği düşünülürse cevap olur. n! n 1!n 2! n! 12/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

13 Hediyeleri Dağıtma 2. Yöntem: Önce n tane hediye içerisinden n 1 hediye seçip birinci çocuğa verelim. Sonra alan n n 1 hediye içerisinden n 2 hediye seçip iinci çocuğa verelim. Bu şeilde tüm hediyeleri çoculara dağıtalım. Bu işlemi aç farlı şeilde yapabiliriz? ( )( ) ( ) n n n1 n n1 n 2 n 1 n 1 n 2 n n! (n n 1 )! = n 1!(n n 1 )! n 2!(n n 1 n 2 )! (n n 1 n 2 n 1 )! n!(n n 1 n 2 n )! n! = n 1!n 2! n! Her ii yöntemde de elde edilen sonuç aynıdır. 13/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

14 Anagramlar Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni Anagramlar Anagram, bir sözcüğün harflerinin değişi sırayla başa sözcüler oluşturmasıdır. KOMBİNATORİK KOMİK BARİTON, KİRA ON TOMBİK, ANTİKOR KOMBİ, KİM O KİBAR TON, BİN KOMİK ROTA, BİN MİKRO TOKA, MİKROBİK NOTA, MİKRO BOTANİK, KİRA BİN KOMOT, İKİ BOKTAN ROM KOMBİNATORİK sözcüğünden aç farlı anlamlı ya da anlamsız sözcü oluşturulabilir? (Bu sorunun cevabını aslında 1. derste vermişti. Şimdi hediyelerin dağıtım problemi gibi düşünere cevap vermeye çalışacağız) 14/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

15 Anagramlar n elemanlı bir sözcüten elde edilece anagramların sayısını bulmaya çalışalım. Elbette bu sayı sözcü içerisinde yer alan harflerin terar sayısına bağımlıdır. harften oluşan bir alfabe düşünelim (A,B,C,...,Z). Verilen sözcüte A harfi n 1 ez (n 1 = 0 olabilir), B harfi n 2 ez ve benzer olara Z harfi de n ez terar etsin. Açıtır i, n 1 +n 2 + +n = n olur. Şimdi verilen sözcü ile bir anagram oluşturma için A harfine n 1 pozisyon, B harfi için n 2 pozisyon ve bu şeilde devam edilirse Z harfi için de n pozisyonun seçilmesi gereir. Öyleyse bu problem aslında n farlı hediyenin tane çocuğa dağılım probleminden başa bir şey değildir. Öncei bölümde de bu şeildei farlı dağılımların sayısının olduğunu biliyoruz. n! n 1!n 2! n! 15/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

16 Paranın Dağıtımı Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni Paranın Dağıtımı Bu sefer çoculara hediye yerine para dağıtalım. Soru Acaba n tane özdeş madeni 1TL, tane çocuğa aç farlı şeilde dağıtılabilir (Bazı çocular hiç para almayabilir)? Örneğin, 10 tane 1TL yi 4 çocuğa aç farlı şeilde paylaştırabiliriz? }{{}}{{}}{{}}{{} 1. çocu 2. çocu 3. çocu 4. çocu. (1. çocu para almıyor) (2. çocu para almıyor) 16/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

17 Paranın Dağıtımı O halde 10 adet 1TL nin 4 çocuğa dağıtılması deme }{{}}{{} } 10 tane {{ 3 tane } 13 tane simgelerinin dizilimi demetir. Bu simgelerin farlı dizilimlerinin sayısının da ( ) (10+4 1)! = 10!(4 1)! 4 1 olduğunu biliyoruz. O halde genelleyece olursa, n adet 1TL tane çocuğa ( ) n+ 1 farlı biçimde dağıtılabilir. 1 17/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

18 Paranın Dağıtımı Soru Pei her çocuğun en az 1TL alma oşulunu oyarsa, bu durumda n adet 1TL tane çocuğa aç farlı biçimde dağıtılır? Bu sorunun cevabı olduça olaydır. Önce her bir çocuğa 1TL veririz ve alan n adet 1TL yi ise çocuğa az önce verdiğimiz yöntemle dağıtırız. n tane 1TL nin ise tane çocuğa ( ) ( ) (n )+ 1 n 1 = 1 1 farlı şeilde dağıtılabileceğini az önce gördü. 18/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

19 Paranın Dağıtımı Böylece aşağıdai teoremleri ifade edebiliriz. Teorem n tane özdeş objenin tane farlı utuya, her utuda en az bir obje olaca şeildei farlı dağılımlarının sayısı ( ) n 1 1 olur. Teorem n tane özdeş objenin tane farlı utuya farlı dağılımlarının sayısı ( ) n+ 1 olur. 1 19/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

20 Paranın Dağıtımı Artı Binom Teoreminin genelleştirilmişi olan Multinomial Teoremini verebiliriz. Teorem (Multinomial Teoremi) (x 1 +x 2 + +x ) n ifadesinin açılımında x n 1 atsayısı n! n 1!n 2!n 3! n! 1 xn 2 2 xn xn ifadesinin olur. Burada i = 1,2,..., için 0 n i < n ve n 1 +n 2 + +n = n dir. Çoğu zaman ( ) n! n 1!n 2!n 3! n! = n n 1,n 2,...,n gösterimi de ullanılır ve bu sayılara multinomial atsayısı denir. 20/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

21 Paranın Dağıtımı Kanıt. (x 1 +x 2 + +x ) n = (x 1 +x 2 + +x ) (x 1 +x 2 + +x ) }{{} n tane açılımında x n 1 1 xn 2 2 xn xn ifadesini elde etme için sağ taraftai n tane çarpanın n 1 tanesinden x 1, geriye alan n n 1 tanesinden x 2 ve böyle devam edilirse geriye alan n n 1 n 2 n 1 tanesinden x nin seçilmesi gereir. Bu ise hediyelerin dağıtımında sözünü ettiğimiz iinci yöntemden başa bir şey değildir. Böylece anıt biter. 21/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

22 Pascal Üçgeni Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni Pascal Üçgeni Blaise Pascal ( ) Fransız matematiçi, fiziçi ve düşünür. ( 0 )( 0) 1 )( 1) 2 )( 2) 3 )( 3 )( 2 3) 4 )( 4 )( 3 4) 5 )( 5 )( )( 5) 6 6) ( 1 ( 0 2 )( 2 ( )( 3 ( )( 4 )( 4 ( )( 5 )( 5 ( )( 6 )( 6 )( 6 )( 6 )( /54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

23 Pascal Üçgeninin Özdeşlileri Pascal Üçgeninin Özdeşlileri ( ) n = ( ) n ( ) n 1 özdeşliğini 1. Derste anıtlamıştı. Bu özdeşli yardımıyla ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n + + +( 1) n 0( 1) [( 2 ) 3 ( )] [( n ) n 1 n 1 n 1 n 1 = [( 0 ) ( 1 )] 1 ( n 1 n 1 n 1 + +( 1) n 1 + +( 1) n n 2 n 1 n 1 yani ( ) n 0 özdeşliği elde edilir. ( ) n + 1 ( ) n 2 ( ) ( ) n n + +( 1) n = 0 3 n ( )] n 1 ) 2 = 0 23/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

24 Pascal Üçgeninin Özdeşlileri Yuarıdai işlemlerden toplam n ye adar değil de bir sayısına ( < n) devam ettiğinde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n ( 1) = ( 1) olacağı olayca görülür. 24/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

25 Pascal Üçgeninin Özdeşlileri Şimdi Pascal üçgeninin il bir aç satırındai elemanların arelerinin toplamına baalım: = = = = = 70. Varsayım: ( ) n ( ) n ( ) n 2 ( ) n n 1 ( ) n 2 = n ( ) 2n n 25/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

26 Pascal Üçgeninin Özdeşlileri Açıtır i, eşitliğin sağ tarafı 2n elemanlı bir ümenin n elemanlı alt ümelerinin sayısıdır. Anca eşitliğin sol tarafı ço açı değil! S = {1, 2, 3,..., 2n} ümesinin {1, 2,..., n} ümesinden tam olara tane eleman içeren n elemanlı alt ümelerin sayısını düşünelim. S ümesinin böyle bir alt ümesini seçme için önce {1, 2,..., n} ümesinden tane eleman alır, sonra alan n elemanı ise {n+1,n + 2,...,2n} ümesinden alırız. O halde böyle bir alt üme ( n )( n n ) = ( ) n 2 farlı biçimde seçilebilir. O zaman eşitliğin sol tarafındai her bir terim S = {1, 2, 3,..., 2n} ümesinin {1,2,...,n} ümesinden tam olara = 0,1,2,...,n tane eleman içeren n elemanlı alt ümelerin sayısıdır. Yani, 2n elemanlı S ümesinin n elemanlı tüm alt ümelerinin sayısıdır. 26/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

27 Pascal Üçgeninin Özdeşlileri Şimdi de Pascal üçgeninde diagonal toplamlara baalım: Varsayım (n ) ( ) ( ) ( ) ( ) n+ 1 n+2 n+ n = /54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

28 Pascal Üçgeninin Özdeşlileri Kanıtı üzerinden tümevarım yöntemini ullanara yapalım: = 0 için ( ) ( n 0 = n+1 ) 0 olduğundan eşitli doğrudur. = 1 için ( n ( 0) + n+1 ) ( 1 = 1+n+1 = n+ 2 = n+1+1 ) 1 olduğundan eşitli doğrudur ( = 1 durumunun incelenmesine aslında gere yotu). için eşitli doğru olsun. + 1 için de eşitliğin doğru olduğunu gösterelim. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n+1 n+2 n+ n }{{} ( tümevarım ) ( hipotezinden ) ( n++1 ) n+ + 1 n+ + 1 = + ( ) + 1 n+ + 2 = + 1 O halde tümevarım yöntemi gereği her için eşitli doğrudur. 28/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

29 Pascal Üçgeninin Özdeşlileri Pascal üçgeninde yer alan te sayıları çift sayıları ise sembolü ile değiştirirse Sierpinsi üçgenini elde ederiz. 29/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

30 Pascal Üçgeninin Özdeşlileri Pascal Üçgeninin Altıgenli Özelliği Pascal üçgeninin herhangi bir elemanını çevreleyen (öşeleri pascal üçgeninin 6 eleman ile oluşturulan) altıgende omşu olmayan öşelerin çarpımı eşittir. Örneğin, }{{} }{{} 2100 = }{{} 12 = }{{} /54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

31 Pascal Üçgeninin Özdeşlileri Genel olara Pascal üçgeninin elemanı çevreleyen altıgen, düzgün altıgen olma zorunda değildir. Yani, Teorem Pascal üçgeninin bir ( m n) elemanı alındığında, r1 ve r 2 pozitif tamsayılar olma üzere, ( )( )( ) ( )( )( ) m m r1 m+r2 m r1 m+r2 m = n r 2 n n+r 1 n r 2 n n+r 1 olur. 31/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

32 Pascal Üçgeninin Özdeşlileri Anca biz işlemlerde ısalı açısından r 1 = r 2 = 1 durumunu yani ( )( )( ) ( )( )( ) m m 1 m+1 m 1 m+1 m = n 1 n n+ 1 n 1 n n+1 eşitliğini anıtlayacağız. Kanıt. = ( m n 1 )( m 1 n )( ) m+1 n+1 m! (m 1)! (m+1)! (n 1)!(m n+1)! n!(m n 1)! (n+1)!(m n)! ( )( )( ) m 1 m+1 m = n 1 n n+1 32/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

33 Pascal Üçgeninin Özdeşlileri = = = = = ? ( ) ( ) ( ) = (10+1) 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) Elbette ( n ) > 9 olduğunda yuarıdai ural geçerli olmayacatır. Örneğin, 11 5 = /54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

34 Kuş Baışı Pascal Üçgeni Kuş Baışı Pascal Üçgeni Pascal üçgenine il baışta görünen özelliler aşağıdailerdir. Simetri! n çift ise n. satırda bir te orta eleman var, n te ise ii tane eşit orta eleman var. Keyfi bir satırda değerler ortaya adar artıyor, sonra azalıyor. Bu son özelliği anıtlayalım. 34/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

35 Kuş Baışı Pascal Üçgeni Pascal üçgeninin n. satırındai ii ardışı elemanı arşılaştıralım. O halde, ( ) ( ) n n? < n 1 ( ) ( ) n n ise < n! n!?!(n )! ( + 1)!(n 1)! = n 1 ( ) ( ) n n ise = ? n + 1 > n 1 ( ) ( ) n n ise > n 1? + 1 olur. + 1? n 2? n 1 n 1? 2 35/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

36 Kuş Baışı Pascal Üçgeni Şimdi Pascal üçgeninin herhangi bir satırındai ardışı elemanların birbirinden ne adar farlı olduğunu inceleyelim. Soldan iinci eleman il elemanın n atıdır. Üçüncü eleman ise iinci elemanın n 1 2 atıdır. Genel olara, ( n ) +1 ) = n + 1 olduğundan + 1. eleman. elemanın n +1 atıdır. ( n 36/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

37 Kuş Baışı Pascal Üçgeni 250 1e e e e e Şeil: n = 10 ve n = 100 için Pascal üçgeninin n. satırındai elemanlar için grafiler 37/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

38 Kuş Baışı Pascal Üçgeni Az öncei grafilerden aşağıdai yorumlar yapılabilir: En büyü sayı, n büyüdüçe ço fazla büyüyor. Sayılar ortaya adar büyüyüp sonra azalmala almıyor, il ve son raamlara göre ciddi anlamda farlı. Örneğin, n = 100 için yuarıdai grafite sadece ( 100) ( 25, 100 ) ( 26,..., ) sayılarına arşılı gelen veriler görüntülenebilmiştir. n nin farlı değerlerine arşılı elde edilece grafiler benzerdir. Bu gözlemlere şimdi daha detaylı baalım. Bunun için işlemlerde olaylı olması baımından n sayısını genelliği bozmasızın çift sayı olara abul edeceğiz. 38/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

39 Kuş Baışı Pascal Üçgeni Pascal üçgeninin n. satırındai en büyü sayının ortadai eleman ( ) n n/2 olduğunu diğer sayıların ise daha üçü olduğunu biliyoruz. Pei bu sayı ne adar büyü bir sayı? Bu sayı için ala gelen il üst sınır 2 n olur (Çünü n. satırdai tüm sayıların toplamı). O halde ( ) n < 2 n n/2 olur. n. satırdai en büyü sayı bu satırdai tüm sayıların aritmeti ortalamasından daha büyü veya eşit olacağından ( ) n > 2n n/2 n+1 alt sınırını elde ederiz. 39/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

40 Kuş Baışı Pascal Üçgeni 2 n ( ) n n+1 < < 2 n n/2 değerlendirmesi ne adar iyi bir değerlendirme? Örneğin, bu değerlendirme yardımıyla ( ) sayısının aç basamalı olduğunu bulmaya çalışalım < ( ) < eşitsizliğinin 10 tabanında logaritmasını alırsa, ( ) log 2 log 501 < log < 500log olur.o halde 1. Dersten sayının basama sayısının 148 ile 151 arasında olduğunu söyleyebiliriz (gerçete 150 basamalı). Olduça iyi! 40/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

41 Kuş Baışı Pascal Üçgeni ( n n/2) sayısı için daha iyi bir değerlendirme verme istiyorsa Stirling formülünü ullanabiliriz. ve ( n n/2 ) = n! (n/2)!(n n/2)! = n! (n/2)!(n/2)! n! ( n n 2πn e) olduğundan (n/2)! ( n n/2 πn 2e) olur. O halde ( ) n n/2 olur. ( 2πn n n e) ( πn n ) n/2 ( 2e πn n n/2 = 2e) ( 2πn n n e) πn ( ) n n = 2e 2 πn 2n 41/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

42 Kuş Baışı Pascal Üçgeni Artı, Pascal üçgeninin n. satırındai en büyü elemanın ortadai eleman olduğunu iyi biliyoruz. Ayrıca bu elemanın ne adar büyü bir sayı olduğunu da inceledi. Hatta ortadai elemandan sağa ya da sola doğru giderse sayıların azalacağını da biliyoruz. Pei bu sayılar hangi hızda azalır? 42/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

43 Kuş Baışı Pascal Üçgeni Pascal üçgeninin 55. satırındai il biraç eleman: 1, 55, 1485, 26235, , , , , , , ,... Ardışı elemanların oranları: 55., 27., 17.67, 13., 10.20, 8.333, 7., 6., 5.222, 4.600, 4.091, 3.667, 3.308, 3., 2.733, 2.500, 2.294, 2.111, 1.947, 1.800, 1.667, 1.545, 1.435, 1.333, 1.240, 1.154, 1.074, 1.,.9310,.8667,... Sayılar artaren oran azalıyor. Ortadai elemandan sonra ise oran 1 den üçü olara azalmaya devam ediyor. Gerçeten de daha önce de hesapladığımız gibi ardışı ii elemanın oranını ( n ) +1 ) = n = n ( n şelinde yazarsa, arttığında bu oranın azalacağını hemen söyleyebiliriz. 43/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

44 Kartal Baışı Pascal Üçgeni Kartal Baışı Pascal Üçgeni Bu bölümde de genelliği bozmasızın yine n sayısının çift olduğunu abul edeceğiz. Bu durumda pozitif bir m tamsayısı için n = 2m alabiliriz. Pascal üçgeninin n. satırının ortasında yer alan ve bu satırdai en büyü sayı olan ( 2m m) sayısı ile bu sayıdan t adar sağda ya da solda olan binom atsayısını arşılaştırıldığında aşağıdai formül elde edilir: ( 2m m) ( 2m ) e t2 /m m t Bu formül bize yapılan hatanın ne ölçüde olduğunu söylemez. Anca aşağıdai değerlendirme olduça ullanışlıdır. ) e t2 /(m t+1) ( 2m m t ( 2m m ) e t2 /(m+t) Daha iyi değerlendirmeler de verilebilir. 44/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

45 Alıştırmalar Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni Alıştırmalar Alıştırma 7 sorunun bulunduğu bir sınav ağıdı her soru beş ve beşin tam atları ile puanlanaca olursa aç farlı şeilde puanlandırılabilir? (Her soru mutlaa puanlandırılmalıdır ve sınav 100 üzerinden değerlendirilecetir.) Her bir 5 puanı bir obje olara düşünece olursa soru, 20 (100/5 = 20) özdeş objenin 7 utuya her utuya en az 1 obje gelece şeilde dağılımı problemine dönüşür. Bu sayının da ( ) 20 1 = olduğunu biliyoruz. 45/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

46 Alıştırmalar Alıştırma Farlı 6 utuya 8 top, il ii utuda toplamda en fazla 4 top olma oşuluyla 1 toplar özdeş ien, 2 toplar birbirinden farlı ien aç farlı şeilde yerleştirilebilir? 46/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

47 Alıştırmalar Tam olara (0 8) tane özdeş top il ii utuya ( ) ( ) = farlı şeilde, geriye alan 8 top ise diğer 4 utuya ( ) ( ) (8 ) = farlı şeilde yerleştirildiğinden, il ii utuda tam olara tane top olaca şeilde 8 özdeş top 6 utuya ( )( ) farlı şeilde yerleştirilebilir. Buna göre = 0, 1, 2, 3, 4 durumları için 4 ( )( ) = elde edilir. =0 47/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

48 Alıştırmalar Yine il ii utuda toplamda en fazla ayırt edilebilir top için hesaplayalım. Bunun için il ii utuda hangi (ayırdedilebilir/özdeş olmayan) topun bulunacağını belirlemeliyiz. Bu sayı ise ) ( 8 }{{} il ii utu için 8 toptan tanesi 2 }{{} topun her birisi için ii durum söz onusu (1. utu, 2. utu) olur. Geriye alan 8 özdeş olmayan top ise alan 4 utuya farlı şeilde yerleştirilecetir /54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

49 Alıştırmalar O halde il ii utuda toplamda tam olara özdeş olmayan top bulunaca şeilde 8 top, ( ) farlı şeilde 6 utuya yerleştirilebilir. Yine = 0, 1, 2, 3, 4 durumlarını ayrı ayrı toplarsa, sonuç bulunur. 4 =0 ( ) = /54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

50 Alıştırmalar Alıştırma x 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 15 denleminin 2 x 1 6, 2 x 2 1, 0 x 3 6, 3 x 4 8 oşulları altında tamsayılar ümesinde aç farlı çözümü vardır? y 1 = x 1 2, y 2 = x 2 + 2, y 3 = x 3, ve y 4 = x 4 3 değişen değişimi yaparsa problem 0 y 1 4, 0 y 2 3, 0 y 3 6, 0 y 4 5 oşulları altında y 1 +y 2 +y 3 +y 4 = 12 denleminin tamsayılar ümesindei çözümlerinin sayısını bulma problemine dönüşür. 50/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

51 Alıştırmalar Denlemin negatif olmayan tüm çözümlerinin ümesini S ile gösterece olursa, ( ) ( ) S = = = olur. c 1 ile y 1 5 oşulunu, c 2 ile y 2 4 oşulunu, c 3 ile y 3 7 oşulunu ve c 4 ile ise y 4 6 oşulunu sağlayan çözümleri gösterelim. Bu durumda olur. c 1 = ( (12 5)+4 1) ( 4 1 = 10 ) 3 = 120 c 2 = ( ) ( (12 4)+4 1 = 11 ) 3 = 165 c 3 = ( (12 7)+4 1) ( = 8 ) 3 = 56 c 4 = ( (12 6)+4 1) ( 4 1 = 9 ) 3 = 84 51/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

52 Benzer şeilde Binom Katsayıları ve Pascal Üçgeni Alıştırmalar elde edilir. Son olara c 1 c 2 = ( ) ( (12 9)+4 1 = 6 ) 3 = 20 c 1 c 3 = ( (12 12)+4 1) ( = 3 ) 3 = 1 c 1 c 4 = ( (12 11)+4 1) ( = 4 ) 3 = 4 c 2 c 3 = ( (12 11)+4 1) ( = 4 ) 3 = 4 c 2 c 4 = ( (12 10)+4 1) ( 4 1 = 5 ) 3 = 10 c 3 c 4 = 0 c 1 c 2 c 3 = c 1 c 2 c 4 = c 2 c 3 c 4 = c 1 c 2 c 3 c 4 = 0 olur. O halde İçerme Dışlama prensibinden, c 1 c 2 c 3 c 4 = S ( c 1 + c 2 + c 3 + c 4 )+ ( c 1 c 2 + c 1 c 3 + c 1 c 4 + c 2 c 3 + c 2 c 4 + c 3 c 4 ) = 455 ( )+( ) = 69 sonucuna ulaşılır. 52/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

53 Alıştırmalar Alıştırma (2w x + 3y +z 2) 12 ifadesinin açılımında 1 Kaç terim vardır? 2 w 2 x 2 y 2 z 2 teriminin atsayısı nedir? Multinomial Teoreminden (x 1 +x 2 + +x ) n = olduğunu biliyoruz. n 1,n 2,...,n 0 n 1 +n 2 + +n =n ( n n 1,n 2,...,n ) x n 1 1 xn 2 2 xn 53/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

54 Alıştırmalar Buna göre, 1 Terim sayısını bulma için n 1 +n 2 +n 3 +n 4 +n 5 = 12 denleminin çözümlerinin sayısını bulmalıyız. Bu sayının ise ( ) ( ) = = olduğunu biliyoruz. 2 Yuarıdai formülden w 2 x 2 y 2 z 2 teriminin atsayısını ( ) 12 (2) 2 ( 1) 2 (3) 2 (1) 2 ( 2) 4 = ,2,2,2,4 elde ederiz. 54/54 AYRIK MATEMATİK Anadolu Üniversitesi

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0 SİERPİNSKİ ÜÇGENİ Polonyalı matematiçi Waclaw Sierpinsi (1882-1969) yılında Sierpinsi üçgeni veya Sierpinsi şapası denilen bir fratal tanıttı. Sierpinsi üçgeni fratalların il örneğidir ve tremalarla oluşturulur.

Detaylı

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008 Cahit Arf Liseler Arası Matemati Yarışması 2008 İinci Aşama 11 Mayıs 2008 Notlar: Birnci tasla. 1. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı fonsiyonlar ümesi üzerinde şöyle bir operatörü tanımlayalım: f(x)

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 13. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 13. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 1. x,y,z pozitif tam sayılardır. 1 11 x + = 8 y + z olduğuna göre, x.y.z açtır? 3 B) 4 C) 6 D)1 3 1 4. {,1,1,1,...,1 } 1 ümesinin en büyü elemanının diğer 1 elemanın toplamına oranı, hangi tam sayıya en

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matemat Deneme Sınavı. ii basamalı doğal saıdır. 6 en büü saısı ile en üçü saısının toplamı açtır? 8 89 8 6. için, 9 ( ) ifadesinin sonucu aşağıdailerden hangisidir? 6. ile saıları arasındai çift saıların

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER

= 646 ] (n+2) 2 1 = n 2 + 4n+4 1 = (n 2 1)+4(n+1) MAT223 AYRIK MATEMATİK DERSİ 2.ARA SINAVI ÇÖZÜMLER MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 18.1.009 ÇÖZÜMLER 1. G çizgesinin silindiğinde kalan çizge tek parça olacak şekildeki kenarlarını birer birer silelim (G yoldan farklı olduğundan en az bir böyle bir

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Doç. Dr. Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2011 2012 Güz Dönemi Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik

Detaylı

doğru orantı doğru orantı örnek: örnek:

doğru orantı doğru orantı örnek: örnek: doğru orantı Kazanım :Doğru orantılı ii çolu arasındai ilişiyi tablo veya denlem olara ifade eder. Doğru orantılı ii çoluğa ait orantı sabitini belirler ve yorumlar. doğru orantı İi çolutan biri artaren

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

Yoksulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin

Yoksulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin Yosulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin B u yazıda yosulu azandıracağız. Küçü bir olasılıla da olsa, yosul azanabilece. Oyunu açılamadan önce, Sonlu Oyunlar adlı yazımızdai oyunu anımsayalım: İi oyuncu

Detaylı

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız.

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız. MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları

Detaylı

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160

A GRUBU Noktaları adlandırılmış K 6 tam çizgesinin tam olarak 3 noktalı kaç tane alt çizgesi vardır? A) 9 B) 20 C) 24 D) 60 E) 160 A GRUBU.. Numarası :............................................. Adı Soyadı :............................................. SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT3 AYRIK MATEMATİK 4 Ders Doç Dr Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 00 0 Güz Dönemi 3 yüzyılda İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci aşağıdaki soruyu ortaya atmıştır:

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu Üretken Fonksiyonlar Ali İlker Bağrıaçık Üretken fonksiyonlar sayma problemlerinin çözümünde kullanılan önemli yöntemlerden biridir. Üretken fonksiyonların temeli Moivre nin 1720 yıllarındaki çalışmalarına

Detaylı

A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48

A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ 2. K 5 tam çizgesinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 İşaretlemelerinizde kurşun

Detaylı

Biyoistatistik (Ders 7: Bağımlı Gruplarda İkiden Çok Örneklem Testleri)

Biyoistatistik (Ders 7: Bağımlı Gruplarda İkiden Çok Örneklem Testleri) ÖRNEKLEM TESTLERİ BAĞIMLI GRUPLARDA ÖRNEKLEM TESTLERİ Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Saarya Üniversitesi Tıp Faültesi Biyoistatisti Anabilim Dalı uerormaz@saarya.edu.tr BAĞIMLI İKİDEN ÇOK GRUBUN KARŞILAŞTIRILMASINA

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Euler Formülü 12. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Saldıraya Uğrayan Gezegen Euler Formülü Saldıraya Uğrayan

Detaylı

3. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur?

3. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız.

Detaylı

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.06.01 Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir

Detaylı

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJENİN AMACI: Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom açılımı kullanmak suretiyle sorulara

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Gezgin Satıcı Problemi 9. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Gezgin Satıcı Problemi Soru n tane şehri olan bir

Detaylı

ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER

ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER MATEMATİK PROJESİ DANIŞMAN YASEMİN YAVAŞ İSTANBUL-2014 İÇİNDEKİLER AMAÇ... 3 GİRİŞ... 4 TEOREMLER...

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss.39-49. olletif Ris Modellemesinde anér Yöntemi ervin BAYAN İRVEN Güçan YAAR Özet Hayat dışı sigortalarda, olletif

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

c

c L ıneer Denklemler ın Tamsayı Çözümler ı Ol ımp ıyat Çalışma Kağıdı c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Özellikle Bilgisayar Olimpiyatları sınavlarına hazırlanan öğrenci arkadaşların

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları

Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları 1.) 1, 1, 1,., 1 sayıları tahtaya yazılıyor. Burak x ve y gibi iki sayı seçip bunları siliyor ve 1 2 3 2010 x+y+xy sayısını yazıyor. Burak bu işleme tahtada tek sayı

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Ağaçlar 8. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ağacın Tanımı Ağaçlar Ağacın Tanımı Tanım Döngüsü olmayan tekparça

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.(9.8 8 1) 7!.(9.8+ 8+ 1) 6 81 9 7. 4, π, π π,14

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =?

SINAV YÖNERGESİ. Numarası : CEVAP. Adı Soyadı : ANAHTARI A) 512 B) 513 C) 256 D) 1024 E) 1025 A) 252 B) 256 C) 3024 D) 126 E) =? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 16 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri 24 E) <

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 16 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri 24 E) < Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal I / 6 Kasım 2008 Matematik Soruları ve Çözümleri. Aşağıdaki kesirlerin en büyüğü hangisidir? 0 A) B) 2 2 C) 3 2 D) 22 24 E)

Detaylı

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI:

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI: FOURIER SERİERİ GİRİŞ Elastisite probleminin çözümünde en büyü zorlu sınır şartlarının sağlatılmasındadır. Bu zorluğu gidermenin yollarından biride sınır yülerini Fourier serilerine açmatır. Fourier serilerinin

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Bu deneyin amacı Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır.

Bu deneyin amacı Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır. Deney : Ayrı Fourier Dönüşümü (DFT) & Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) Amaç Bu deneyin amacı Ayrı Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır. Giriş Bir öncei deneyde ayrı-zamanlı

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

Kİ KARE TESTLERİ. Biyoistatistik (Ders 2: Ki Kare Testleri) Kİ-KARE TESTLERİ. Sağlıktan Yakınma Sigara Var Yok Toplam. İçen. İçmeyen.

Kİ KARE TESTLERİ. Biyoistatistik (Ders 2: Ki Kare Testleri) Kİ-KARE TESTLERİ. Sağlıktan Yakınma Sigara Var Yok Toplam. İçen. İçmeyen. Biyoistatisti (Ders : Ki Kare Testleri) Kİ KARE TESTLERİ Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Saarya Üniversitesi Tıp Faültesi Biyoistatisti Anabilim Dalı uerormaz@saarya.edu.tr Kİ-KARE TESTLERİ 1. Ki-are testleri

Detaylı

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları 2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

19. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI A A A A A A A

19. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI A A A A A A A KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 19. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEHİR :... SINIF :...ÖĞRETMEN :... eposta :... İMZ :... SINV TRİHİ VESTİ:4Mayıs 2014 - Pazar 10.00-12.30 Bu

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri

Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri Ders : MATLAB ile Matris İşlemleri Kapsam Vetörlerin ve matrislerin tanıtılması Vetör ve matris operasyonları Lineer denlem taımlarının çözümü Vetörler Vetörler te boyutlu sayı dizileridir. Elemanlarının

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

16. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI

16. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 16. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2008 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 27 Nisan 2008 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI

14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI 14. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI EKİP FİNAL SORULARI - 008 SORU -1 1 0.7 0.1 0.48 = 0.018 0.8 0. eşitliğini sağlayan sayısı kaçtır? [ 0.15] SORU - c d d c a b 4 c d b b a ifadesinin i i sayısal ldeğeri

Detaylı

2. Dereceden Denklemler

2. Dereceden Denklemler . Dereceden Denklemler Yazım hataları olabilir. Tam olarak tashih edilmemiştir. Hataları osmanekiz000@gmail.com mail adresine bildirilseniz makbule geçer.. a + b + 5c = c(a + b) ise a b =? C: 9. ( 4) (

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav

Detaylı

Cebir Notları. Kombinasyon. www.mustafayagci.com, 2005. Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com

Cebir Notları. Kombinasyon. www.mustafayagci.com, 2005. Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com ve ve n tane farlı elemanan oluşan bir ümenin altümelerine birer ombinasyon enir. n, r 0 r n olma üzere, n elemanlı A ümesinin r elemanlı altümelerinen her birine A ümesinin r li bir ombinasyonu enir ve

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI

İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI MATEMATİK SBELIAN Bu çalışma notunda İstanbul Bilim Olimpiyatı matematik sorularının bir bölümünün soru metinleri ve çözümleri verilmiştir. Soruların tamamının yayın hakkı

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25 1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12 OLASILIK ÇIKMIŞ SORULAR 1.SORU İçinde top bulunan iki torbadan birincisinde beyaz, siyah ve ikincisinde beyaz, 5 siyah top vardır. Birinci torbadan bir top çekilip rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor.

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1.

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1. SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin çözümlenmiş biçimidir? A) ab B) a0b C) a0b0 D) ab0 E) ab00 1000a 10b 1000.a 100.0 10.b 1.0 a0b0 Doğru Cevap:

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr

Detaylı

FAKTÖRİYEL. TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur.

FAKTÖRİYEL. TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur. FAKTÖRİYEL TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı 1.2.3 n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur. 1!=1 2!=1.2=2 3!=1.2.3=6 4!=1.2.3.4=24 5!=1.2.3.4.5=120 gibi. Özel olarak; 0! = 1 olarak tanımlanmıştır.

Detaylı

ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde

ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde ÖABT LİSE KPSS 2016 Pegem Aademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu olaylıla çözebildiğini açıladı. MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yaısına uygun freansta oluşum gösteren değişendir. Şans Değişenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesili Şans

Detaylı

Cebir Notları. Nesnelerin Dağılımları Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Nesnelerin Dağılımları Mustafa YAĞCI, www.mustafayagci.com, 2006 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları Bu yazımızda, r ve n birer sayma sayısı olmak üzere, r tane nesneyi n farklı kutuya belli şartlar altında

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS MTEMTĐK ĐM YILLR 00 003 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - HREKET PROLEMLERĐ Hız msaa verildiğinden süre de saa olmalıdır lınan yol : x Hız: Zaman : ir araç x yolunu hızıyla sürede alır Yol Hız

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

0 dan matematik. Bora Arslantürk. çalışma kitabı

0 dan matematik. Bora Arslantürk. çalışma kitabı 0 dan matematik 0 dan matematik çalışma kitabı Sıfırdan başlanarak matematik ile ilgili sıkıntı yaşayan herkese hitap etmesi, Akıllı renklendirme ile göz yoran değil ayrım yapmayı, istenileni bulmayı kolaylaştıran

Detaylı

TAM SAYILARDA ÇARPMA BÖLME İŞLEMLERİ ESRA ÇAKIR

TAM SAYILARDA ÇARPMA BÖLME İŞLEMLERİ ESRA ÇAKIR Kazanım: Tam sayılarla çarpma ve bölme işlemleri yapar. Tam sayılarla işlemler yapmayı gerektiren problemleri çözer. HATIRLATMA :TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ Aynı işaretli tam sayılar toplanırken işaretleri

Detaylı

KONTROL SİSTEMLERİ YIL İÇİ UYGULAMA. Problem No

KONTROL SİSTEMLERİ YIL İÇİ UYGULAMA. Problem No KONTRO SİSTEMERİ YI İÇİ UYGUAMA Problem No AD SOYAD 10 haneli öğrenci NO Şeil 1 Şeil 1 dei sistem için transfer fonsiyonunu bulalım. Sistem ii serbestli derecesine sahiptir.her bir ütle diğerinin sabit

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı