MARKOV ZİNCİRLERİ VE TRAFİK SİGORTASI HASARSIZLIK İNDİRİMİ VEYA ZAMLI PRİM SİSTEMİNİN MARKOV ZİNCİRİ İLE İFADE EDİLEREK ANALİZ EDİLMESİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MARKOV ZİNCİRLERİ VE TRAFİK SİGORTASI HASARSIZLIK İNDİRİMİ VEYA ZAMLI PRİM SİSTEMİNİN MARKOV ZİNCİRİ İLE İFADE EDİLEREK ANALİZ EDİLMESİ"

Transkript

1 T. C. İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ İŞLETME ANABİLİM DALI ÜRETİM BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİ VE TRAFİK SİGORTASI HASARSIZLIK İNDİRİMİ VEYA ZAMLI PRİM SİSTEMİNİN MARKOV ZİNCİRİ İLE İFADE EDİLEREK ANALİZ EDİLMESİ İBRAHİM ZEKİ AKYURT TEZ DANIŞMANI: DOÇ. DR. NECDET ÖZÇAKAR İSTANBUL, HAZİRAN 2005

2 ÖZ Bu tez çalışması kapsamında,, olasılık kavramı başlangıç kabul edilerek Markov zincirlerine ulaşılmış, ardından Markov zincirine ait özel durumlar ve analizler incelenmiş, daha sonra da uygulamaya geçilmiştir. Uygulamanın güncel olabilmesi açısından, Türkiye de zorunlu trafik sigortası priminin tespitinde yeni denilebilecek kadar kısa süre önce uygulanmaya başlanan Hasarsızlık İndirimi Zamlı Prim Sistemi uygulaması esas alınmış ve uygulama, araç cinsleri arasından otomobiller üzerine yapılmıştır. Öncelikle sistem kısaca tanıtılarak Markov zincirine uygun olduğu gösterilmiştir. Her poliçenin ne kadar prim ödeyeceğini gösteren basamaklar durum şeklinde ifade edilerek, geçiş matrisi oluşturulmuştur. Uygulamanın son kısmını ise zincirin analizi oluşturmaktadır. Uzun vadedeki kararlı hal yapısı incelenerek ileriki yıllarda Türkiye ekonomisine katkısı araştırılmış, ardından yılları arası basamak olasılık dağılımına yönelik tahmin yapılmış, en son olarak da ortalama ilk geçiş zamanları tespit edilmiştir. ABSTRACT In scope of this study, Markov Chains are procured from the probability concept as a starting point. After this procurement, special cases of Markov Chains and various analyses are examined. At the end of the study an application is implemented. In order to provide an up-to-date application, it is based on Bonus-Malus Automobile Insurance System used currently to establish the Turkish traffic insurance paid, and is performed on automobiles. Initially, the system is presented briefly, and it is shown that the system is appropriate for the Markov Chains. The steps showing the amount of premium to be paid by each insurance policy are explained as the states, and then the transition matrix is formed. Analysis of the chain constitutes the last part of the application. Steady state in long term is examined in terms of being of assistance to the Turkish economy in the future. Lastly, step probability distribution is estimated for the period from 2005 to 2009, and mean first passage time is determined. iii

3 ÖNSÖZ Türkiye deki sigorta sektöründe, zorunlu trafik sigortası, hem prim üretimi hem de hasar operasyonları açısından sektör faaliyetleri içerisinde çok önemli bir yer tutmaktadır. Trafik sigortasında özellikle hasar oranları yüksek olduğundan, trafik sigortasının, sigorta şirketlerine getirdiği kâr rakamı da bu doğrultuda oldukça düşüktür yılına kadar, ülkemizde kaçak veya gerçekçi olmayan bir çok poliçe düzenlenmiş ve bunlar, hem mal sahiplerine hem de karşı tarafa çok büyük maddi yük getirmiştir. Bu sebeple kurulan Trafik Sigorta Bilgi Merkezi aracılığıyla bu tür sorunlar çözülmeye çalışılmıştır. Trafik sigortasını yıllarca Kasko sigortasından ayıran şey trafik sigortasının kişilerin kaza yapmasını önleyici bir yapısının olmamasıydı. Trafik Sigorta Bilgi Merkezi nin kurulmasıyla hayata geçen İndirimli veya Zamlı uygulamasıyla ise bu yapı, araç kullanıcılarını kaza yapmaktan caydırıcı hale getirilmek istenmiştir. Türkiye deki mevcut gelişmeler çerçevesinde, Trafik Sigortası na ait basamaklı sistem, olasılıklı bir süreç olan Markov zinciriyle ifade edilerek, başlangıç olasılıkları tespit edilmiştir. Ardından Kararlı Hal ve Ortalama İlk Geçiş Zamanı analizleri uygulanmıştır. Çalışmam ve araştırmalarım sırasında beni yönlendiren ve katkılarını esirgemeyen değerli hocalarım Sayın Doç. Dr. Necdet Özçakar a, Sayın Yrd. Doç. Dr. Alp Baray a, Sayın Yrd. Doç. Dr. Faik Başaran a saygı ve şükranlarımı sunarım. Tüm çalışmam boyunca, bana her konuda yardımcı olan kardeşim Mehmet Ali Akyurt a da teşekkür etmeyi büyük bir borç bilirim. Ayrıca maddi ve manevi olarak her zaman yanımda hissettiğim, beni her konuda cesaretlendiren ve güçlü olmamı sağlayan biricik aileme; ve diğer asistan arkadaşlarıma katkılarından ötürü şükranlarımı arz ederim. Saygılarımla, İbrahim Zeki AKYURT iv

4 İÇİNDEKİLER ÖZ...III ABSTRACT...III ÖNSÖZ...IV İÇİNDEKİLER...V TABLOLAR LİSTESİ... VIII ŞEKİLLER LİSTESİ...X KISALTMALAR...XI GİRİŞ... 1 BÖLÜM 1. OLASILIK TEORİSİ: TEMEL KAVRAM VE GENEL BİLGİLER ÖRNEK UZAYI VE OLAY OLAYLAR ÜZERİNE TANIMLANMIŞ OLASILIKLAR KOŞULLU OLASILIK BAĞIMSIZ OLAYLAR RASSAL DEĞİŞKENLER KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLERE AİT OLASILIK DAĞILIMLARI BERNOULLI DAĞILIMI BİNOM DAĞILIMI GEOMETRİK DAĞILIM POISSON DAĞILIMI STOKASTİK SÜREÇLER BÖLÜM 2. MARKOV ZİNCİRLERİ GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR VE GENEL BİLGİLER v

5 2.3. MARKOV ÖZELLİĞİNİN TESPİTİ VE GEÇİŞ MATRİSİNİN OLUŞTURULMASI N-ADIMLI GEÇİŞ OLASILIKLARI CHAPMAN KOLMOGOROV DENKLEMİ BAŞLANGIÇTAKİ DURUMUN BELLİ OLMAMASI DURUMLARIN VE ZİNCİRLERİN SINIFLANDIRILMASI DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASIYLA ORTAYA ÇIKAN SONUÇLAR MARKOV ZİNCİRİNİN UZUN DÖNEMDEKİ HALİ KARARLI-HAL VEYA DENGE DURUMU OLASILIKLARI VE DAĞILIMI (STEADY-STATE PROBABILITIES) ORTALAMA İLK GEÇİŞ ZAMANI (MEAN FIRST PASSAGE TIME) UZUN VADELİ MARKOV UYGULAMASI PAZARLAMA ÖRNEĞİ YUTUCU MARKOV ZİNCİRİ ANALİZİ YUTULANA KADAR HER BİR GEÇİŞLİ DURUMDA KAÇ KEZ BULUNDUĞU SÜRECİN YUTULANA KADARKİ GEREKLİ ADIM SAYISI SÜRECİN YUTUCU DURUMDA YUTULMA OLASILIĞI MARKOV KARAR SÜRECİ MARKOV KARAR SÜRECİNİN MATEMATİK MODELİ İKİ DURUMLU MARKOV KARAR SÜRECİ UYGULAMASI ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR BÖLÜM 3. MARKOV ZİNCİRİNİN TÜRKİYE DEKİ KARAYOLLARI MOTORLU ARAÇLAR ZORUNLU MALİ SORUMLULUK SİGORTASI HASARSIZLIK İNDİRİMİ, ZAMLI PRİM SİSTEMİNE UYGULANMASI UYGULAMANIN AMACI VE İÇERİĞİ UYGULAMA VERİLERİ VE İŞLEYİŞİ KARAYOLLARI MOTORLU ARAÇLAR ZORUNLU MALİ SORUMLULUK SİGORTASI HASARSIZLIK İNDİRİMİ - ZAMLI PRİM UYGULAMASI HASARSIZLIK İNDİRİMİ VE ZAMLI PRİM BASAMAK TESPİTİ Poliçe Hasar Durumu Poliçe Yenileme Dönemi vi

6 Poliçe Dönemi Poliçe Geçmişi HASARSIZLIK İNDİRİMİ VE ZAMLI PRİM UYGULAMASI SİSTEMİNİN MARKOV ZİNCİRİ OLARAK GÖSTERİLMESİ MARKOV GEÇİŞ MATRİSİNİN OLUŞTURULMASI TÜRKİYE DE OTOMOBİLLERE AİT İSTATİSTİKLER BİR OTOMOBİL BAŞINA DÜŞEN YILLIK HASAR SAYISI YILLIK HASAR SAYISININ DAĞILIMININ TESPİTİ BASAMAKLAR ARASI GEÇİŞLERİN MATRİS OLARAK GÖSTERİMİ GEÇİŞ MATRİSİ OLASILIKLARININ BULUNMASI BAŞLANGIÇ OLASILIKLARI YILLIK PRİM TUTARLARI VE İNDİRİMLER ZİNCİRİN ANALİZ EDİLMESİ KARARLI HAL (STEADY STATE) ANALİZİ TÜRKİYE DE İLERİKİ BEŞ YIL İÇİN OTOMOBİLLERE AİT BASAMAK DAĞILIMI TAHMİNİ ORTALAMA İLK GEÇİŞ ZAMANI (MEAN FIRST PASSAGE TIME) TESPİTİ SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKÇA EKLER EK-1: TRAFİK SİGORTASI BİLGİ MERKEZİ YÖNETMELİĞİ EK-2: BASAMAKLAR ARASI GEÇİŞ MATRİSİNİN N DÖNEM SONRAKİ DURUMU vii

7 TABLOLAR LİSTESİ Tablo 1. Örnek 2.3 e ait n-basamaklı geçiş matrisi Tablo 2 Zorunlu Trafik Sigortası Basamak Hesabı Tablosu Tablo 3: Yenileme Döneminde Uygulanacak Basamak Numarası Tespiti- Mevcut Basamağın Bulunması Tablo 4: Yenileme Döneminde Uygulanacak Basamak Numarası Tespiti- Dönem başında 5. basamakta olan ve dönem içinde 3 adet hasarlı bir poliçe Tablo 5 Basamak numaralarına karşılık tanımlanan durumların tablosu Tablo 6: yılları arası otomobil sayısı ve bu sayının toplam araç sayısına oranı Tablo 7: yılları arası Türkiye Genelinde Trafik Kaza Adetleri Tablo 8: 2003 ve 2004 yılı kazaya karışan araç sayılarının, araç cinslerine göre dağılımı Tablo 9: 2003 ve 2004 yılında; hasar, kazaya karışan otomobil, kazaya karışan toplam araç, tescilli otomobil ve tescilli toplam araç sayıları Tablo 10: Basamaklar Arası Geçiş için tanımlanmış hasar sayıları Tablo 11: Yenileme Döneminde Basamaklar Arası Geçiş için gerekli olan sigorta şirketinden talep sayısı Tablo 12: Türkiye de bir aracın bir yıl içinde sigorta şirketinden talep isteğinde bulunma olasılıkları (Poisson Dağılımı na göre) Tablo 13 Uygulamaya ait Geçiş Matrisi (P) ve Olasılıkları Tablo 14: Aralık 2004 itibariyle Otomobillerin Basamak Dağılımı Tablo yılı Zorunlu Trafik Sigortası Prim Tutarları-Araç Cinsine Göre viii

8 Tablo Yılları Arası Otomobillere Ait Basamak Dağılımı Tablo 17 Basamaklar Arası Ortalama İlk Geçiş Zamanları Tablo 18 Durumlar (Basamaklar) Arası 2 Adımlı Geçiş Olasılıkları Tablo 19 Durumlar (Basamaklar) Arası 3 Adımlı Geçiş Olasılıkları Tablo 20 Durumlar (Basamaklar) Arası 4 Adımlı Geçiş Olasılıkları Tablo 21 Durumlar (Basamaklar) Arası 5 Adımlı Geçiş Olasılıkları Tablo 22 Durumlar (Basamaklar) Arası 10 Adımlı Geçiş Olasılıkları Tablo 23 Durumlar (Basamaklar) Arası 20 Adımlı Geçiş Olasılıkları Tablo 24 Durumlar (Basamaklar) Arası 25 Adımlı Geçiş Olasılıkları Tablo 25 Durumlar (Basamaklar) Arası 30 Adımlı Geçiş Olasılıkları Tablo 26 Durumlar (Basamaklar) Arası 40 Adımlı Geçiş Olasılıkları Tablo 27 Durumlar (Basamaklar) Arası 50 Adımlı Geçiş Olasılıkları ix

9 ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil 1. s*s Boyutlu Geçiş Matrisi Şekil 2. Örnek 2.2 ye ait geçiş olasılıkları grafiği Şekil 3 İçinde Yutucu Durum Bulunduran Geçiş Matrisinin Bölümlendirilmesi x

10 KISALTMALAR TRAMER DİE YTL YKr. Trafik Sigortası Bilgi Merkezi Devlet İstatistik Enstitüsü Yeni Türk Lirası Yeni Kuruş xi

11 GİRİŞ Yaşadığımız dünyada en büyük problemlerden biri de karar alma aşamasında ortaya çıkmaktadır. Öncelikle hakkında karar alınması gereken problem veya hedefin belirlenmesi ve ardından faktörlerinin veya etkileşimlerinin saptanması, kararın ne olacağının belirlenmesinden daha güçtür. Bu duruma sebep olan etkenler sıralanmak istenirse farklı sonuçların ortaya çıkacağı aşikardır. Bu farklı sonuçlar, farklı süreçler doğuracak ve farklı tanımlanan her sürecin oluşumu ve devam etmesi, içinde bulunulan duruma ulaşmayı sağlayacaktır. Kısacası içinde bulunulan duruma çok farklı yollardan geçilerek gelinmiş olunacaktır. Bu da olaylara yaşayan bir varlık gözüyle bakıldığında kesin etkileşimlerin ve dolayısıyla kesin sonuçların olamayacağının işareti olmaktadır. Bu konumu gereği insanın, gerçekleşen her olayı ve sonucunu olasılık süreci olarak görmesi kaçınılmazdır. Yine insanın varlığıyla oluşan, işletme ve işletme kararları da bu olasılık süreçlerinin bir alt birimi olarak düşünülmelidir. Karar almada kullanılacak etkenler veya etkileşimler olasılık tanımlarıyla süzgeçten geçirilmeli, böyle bir bakış açısıyla çözümlenmeye çalışılmalıdır. Zaten bilimlerin çözmekte zorlandığı ve dolayısıyla ağırlık verdiği nokta da burasıdır. Markov Süreçleri bu olasılık sürecinin zaman faktörüyle birleşiminden oluşan bir yapıdır. Diğer olasılık süreçleri gibi rassal değişkenlerden etkilenmesinin yanında, onu diğerlerinden ayıran özelliği yalnızca bir önceki zaman veya zaman aralığının mevcut duruma etki etmesidir. Bu süreçlerin alt başlığı olan Markov zincirleri, bu çalışmanın konusunu oluşturmaktadır. Yapılan tez çalışması üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, konuya esas oluşturan olasılık kavramı önce tanımsal ardından matematiksel olarak tanımlanmıştır. Fazla karmaşık bir yapının oluşmaması için olasılığın yalnızca kesikli yapısı incelenmiş, bölüm sonunda da bu tür olasılık dağılımlardan kısaca söz 1

12 edilerek stokastik süreç kavramına geçilmiş, tanımı ve özellikleri üzerinde durulmuştur. İkinci bölümde ilk olarak, tezin konusunu oluşturan Markov zincirlerine, mantık silsilesinin bozulmaması için birinci bölümün sonunda anlatılan stokastik süreçlerin devamı niteliğinde, giriş yapılmıştır. Yapılan tanımın ardından Markov zincirlerinin özellikleri verilmiştir. Bu özelliklerden yola çıkılarak hangi özellikteki zincire hangi analizin yapılabileceği belirtilmiştir. Markov zincirine ait bu analizler tek tek tanımlanarak literatürdeki uygulamalarına ait örnekler verilmiştir. Markov zincirlerine ek olarak çok kısa bir biçimde Markov karar prosesinden söz edilmiştir. Sürekli Markov süreçleri bu tez çalışmasının dışında tutulmuştur. Üçüncü bölümde, önceki bölümde teorik olarak açıklanmış olan bilgilerden yola çıkılarak uygulamaya geçilmiştir. Konu olarak Türkiye de Karayolları Motorlu Araçlar Zorunlu Mali Sorumluluk Sigortası veya diğer adıyla Trafik sigortası seçilmiştir yılı itibariyle bu sigorta kapsamında; Hasarsızlık İndirimi - Zamlı Prim uygulamasına tam anlamıyla geçilmiş ve poliçe başına ödenecek prim, oluşturulan 7 basamak üzerinden hesaplanmaya başlanmıştır. Bu bölümde basamaklar durum olarak tanımlanarak, geçiş matrisi, yalnızca otomobillere ait hasar gerçekleşme olasılıklarıyla oluşturulmuş ve bir Markov zinciri haline getirilmiştir. Burada kayıtlı bir otomobilin bir yıl içindeki hasar sayısı rassal değişken olarak alınmış, dağılımın ise poissona uygun olduğu varsayılmıştır. Oluşturulan bu zincirin özelliği ve Markov zincirlerinin uygulama alanının geniş olması nedeniyle, yalnızca Kararlı Hal veya Denge Durumu olarak adlandırılan alt bölüm üzerinde durulmuştur. Sonucunda denge durumu vektörüne ulaşılmış ve uzun vadede ortalama olarak bir aracın yüzde kaç olasılıkla hangi basamakta olacağı bulunmuştur.yapılan bu analiz sonucu, bir otomobil için elde edilen bilgi ve bulgular, Türkiye geneline vurulmuş, aynı zamanda ortalama bir prim tutarına ulaşılarak da sigorta şirketlerine alacakları stratejik kararlarda yardımcı olunmak istenmiştir. Başlangıç olasılık dağılımı bulunarak, arasını kapsayan 5 yıllık süreç için olasılık dağılımları tespit edilmiştir. Son olarak ise ilk geçiş olasılıklarına yer verilmiştir.en son; bu konuda çalışma yapacak akademisyen ve araştırmacılara öneriler getirilmiştir. 2

13 BÖLÜM 1. OLASILIK TEORİSİ: TEMEL KAVRAM VE GENEL BİLGİLER Karar problemleri genelde belirlilik, risk ve belirsizlik koşulları altında ortaya çıkmaktadır, söz konusu durumlardan risk ve belirsizlik hallerinin rakamlarla ifade edilmesi ise olasılık kavramıyla açıklanabilmektedir. Olasılık kavramı; belki, mümkün, muhtemel, olabilir, şans, olası vb. kelimelerle günlük yaşamda bir çok kez kullanılır (Harcar, 1992: 115). Bu kavramları kullanarak üzerine konuşulan konu hakkında kesin olmayan söylemler ortaya çıkmıştır. Burada önemli olan bir başka nokta ise kullanılan bu ifadelerdeki belirsizliğin veya belirliliğin derecelerinin birbirinden farklı olmasıdır. Bu noktada karar verici, bir olayın gerçekleşme ihtimalini tahmin ettiği müddetçe gerçeğe daha yakın karar vermesi muhtemeldir. Kısacası olasılık, belirsiz bir ortama ilişkin ifadeler kullanabilmek için geliştirilmiş bir dil olarak tanımlanabilir (Newbold, 2000: 82). Bilimsel anlamda olasılık tanımı; istenilen bir olayın beklenen bir şekilde gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi olasılığı, bu iki halden her birine ait nispi frekansın toplam frekansa oranı, olarak yapılabilir. Olasılık üzerine yapılan çalışmalar; deneylere dayandırılıp oransal frekanslar incelenerek, geçmiş tecrübelerden elde edilen frekanslara dayandırılarak veya inanç yolu ile sezgisel, sübjektif olarak yürütülebilir (Harcar, 1992: 120). Çalışmamızın konusu olan Markov a geçmeden önce, temel olasılık teoremi hakkında bazı kavramlara ve konulara değinmek yarar sağlayacaktır ÖRNEK UZAYI VE OLAY Örnek Uzayı, bir deneyin mümkün tüm sonuçlarını içeren bir kümedir, S ile gösterilir. Eğer örnek uzayına ait (i,j) gibi bir sonuç varsa, önce i olursa, sonra j 3

14 gerçekleşecek anlamındadır. Olay ise örnek uzayına ait herhangi bir altkümedir. E ile gösterilir. Örnek 1.1: İki madeni paranın atılması deneyiyle ilgileniyorsak, örnek uzayı, toplam 4 nokta olaydan oluşacaktır: {(, ),(, ),(, ),(, )} S = T T T Y Y T Y Y Bu örnek uzayında ilk atılan madeni paranın tura gelmesi olayı şu şekilde gösterilecektir: {(, ),(, )} E = TT TY Örnek 1.2: Yapılan deney bir aracın ömrünü ölçmeye yönelikse bu kez örnek uzayı negatif olmayan gerçek sayılardan oluşacaktır: S = [ 0, ) Aracın ömrünün 2 ile 6 yıl arasında olma olayı ise: E = ( 2,6) şeklinde gösterilebilir. E ve F olarak tanımlanan iki olay varsa, E veya F iki olayının olması olayına Birleşim denmekte ve E F şeklinde gösterilmektedir. Bu iki olayın her ikisinin de olması olayı ise Kesişim ile ifade edilir ve E F şeklinde gösterilir. Bu, aslında EF olarak gösterilen yeni bir olayı tanımlar (Ross, 2003: 3). 4

15 Eğer bu iki olayın kesişimler kümesi, boş kümeyi ifade ediyorsa, iki olay Ayrık Olaylar veya Bağdaşmaz Olaylar olarak tanımlanır (mutually exclusive), matematiksel olarak; EF = olması gerekir. Bu tanımlardan yola çıkarak E, E, E, olayları gösteriyor, tüm bu olayların n= 1 n n = 1 n E birleşimi; ile, kesişimi ise ile gösterebilir. E Herhangi bir E olayı için, bu olayda olmayıp, geri kalan örnek uzayının tamamını ifade eden, yani E olayı ile birleşimi örnek uzayını veren, c E veya E ile gösterilen olaya, E nin Bütünleyicisi veya Tümleyicisi denir. Burada; c E E = S ve E E c = olması gerekmektedir OLAYLAR ÜZERİNE TANIMLANMIŞ OLASILIKLAR Örnek uzayı S olan bir deneyde, her E olayı için, olayın olma olasılığı olan P(E) aşağıdaki 3 koşul ile tanımlanır: i. 0 PE ( ) ii. PS ( ) = 1 1 iii. Her sıralı ve kendi aralarında ayrık olan, E, E, E,... olarak tanımlanmış olaylar için; P En = P( En) n= 1 n= 1 gerçekleşir. E ve c E her zaman ayrık olaylar olacaktır ve birleşimleri örnek uzayı oluşturacaktır, örnek uzayındaki tüm olayların da olma olasılıklarının toplamı 1 olduğundan; c PE ( ) = 1 PE ( ) (1.1) Denklem, bir olayın gerçekleşmesi olasılığı ile gerçekleşmemesi olasılığı toplamın 5

16 bire eşit olduğunu göstermektedir. Yukarıdaki 3. koşul (iii) ele alındığında, E ve F olarak tanımlanan iki olayın, birleşim olasılığı ile her birinin ayrı ayrı olma olasılıklarının toplamının birbirine eşit olduğu görülmektedir, bu iki olayın ayrık olmadığı durumlarda ise iki olayın ayrı ayrı olma olasılıkları toplamında kesişim sonuçları iki kez tekrarlanmış olacağından; PE ( ) + PF ( ) = PE ( F) + PEF ( ) (1.2) 1.2. KOŞULLU OLASILIK Örnek uzayı S de E olayının, F olayının gerçekleştiği durumdaki olasılığına, E nin F koşulluğu olasılığı denir ve PEF) ( olarak gösterilir. F gerçekleştikten sonra E nin de gerçekleşebilmesi için E ve F de bulunan en az bir sonuç olmalıdır. F olayı gerçekleştikten sonra bunun içinde E olayı arandığından, F yeni örnek uzay olacaktır (Ross, 2003 ; 7). Buradan; PEF ( ) = PEF ( ) PF ( ) (1.3) denklemi yazılabilir BAĞIMSIZ OLAYLAR E ve F olayları için ancak ve ancak PE ( F) = PEPF ( ) ( ) koşulu sağlanıyorsa bu iki olay bağımsızdır denebilir. Koşullu olasılıkta kullanılan 1.3 formülüne konduğunda ise aşağıdaki iki koşul ortaya çıkacaktır: 6

17 PEF ( ) = P( E) PFE ( ) = PF ( ) (1.4) Koşullu olasılık kavramında verilen genel formülde, F nin gerçekleşmesi, E nin gerçekleşmesini etkiliyordu, burada ise E olayının gerçekleşebilmesi için F olayının gerçekleşip gerçekleşmediği bilgisi hiçbir anlam ifade etmemektedir, E olayının gerçekleşme olasılığı, F olayı gerçekleşse de gerçekleşmese de aynı kalacaktır. İki veya daha fazla olayın bağımsız olması ayrık olduğunu göstermemektedir, iki olay aynı anda gerçekleşmiyorsa buna ayrık olay denmektedir, kesişimleri 0 olmalıdır, bağımsız olayların özelliği ise kesişimlerinin olasılıklarının tekil olasılıklarının çarpımına eşit olmasıdır (Newbold, 2000: 111). Örneğin İstanbul trafiğinin yoğun olmasıyla, Marmara Denizi nin su seviyesi olayları bağımsız iki olaydır fakat bu iki olayın aynı anda gerçekleşemeyeceği söylenemez, bu sebeple ayrık değillerdir RASSAL DEĞİŞKENLER Bir deney yapıldığında, deneyin sonuçlarından ziyade sonuçların bazı işlevleriyle ilgilenilir. Örneğin iki zarın atılması deneyinde zarların gelen değerlerinin toplamının 7 olmasıyla ilgileniliyorsa, sonuçların tek tek ne olduğu önemli değildir. Kısacası sonuçlar (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); ( 6,1) olabilir fakat ilgilenilen şey zarların toplamının 7 gelmesidir (Ross, 2003: 23). Rassal değişken, rassal bir denemenin sonuçlarına göre belirlenen sayısal değerleri alan bir değişkendir (Newbold, 2000: 139). Bu açıklamadan çıkacak önemli olan bir sonuç ise rassal değişkene ait olasılık durumudur. Rassal değişkene ait değer, kapsadığı sonuçlarla ilişkili olduğundan olasılığı da sonuçların olasılığının toplamıyla tanımlanabilir. Matematiksel ifade ile; 7

18 X değişkeni x1, x2, x3,... x n gibi değerler alıyorsa, bu değerler de sırasıyla p1, p2, p3,... p n gibi olasılıklarla gerçekleşme ihtimaline bağlıysa X e rassal değişken denir. Burada P( X ) rassal değişkenin olasılığını gösterirse p( x ) de sonuçların olasılığı olacaktır. Örnek 1.3: X iki zarın atılmasıyla oluşan sayı toplamını gösteriyorsa; X rassal değişkenine ait olasılıklar aşağıdaki gibi oluşacaktır: 1 P{ X = 2} = P{ ( 1,1 )} =, 36 2 P{ X = 3} = P{ ( 1,2 ),( 2,1 )} =, 36 3 P{ X = 4} = P{ ( 1,3 ),( 2,2 ),( 3,1 )} =, 36 6 P{ X = 7} = P{ ( 1,6 ),( 2,5 ),( 3,4 ),( 4,3 ),( 5,2 ),( 6,1 )} =, 36 5 P{ X = 8} = P{ ( 2,6,3,5,4,4,5,3,6,2 ) ( ) ( ) ( ) ( )} =, 36 1 P{ X = 12} = P{ ( 6, 6 )} =. 36 Bu örnekten çıkan sonuç aşağıdaki denklemi verecektir: = P { X = n} = P{ X =n} (1.5) i= 2 n= 2 Örnek 1.4: Madeni bir paranın atılmasında tura gelme olasılığı p olarak tanımlanmıştır. N rassal değişkeni de bu madeni paranın arka arkaya atılması deneyinde, ilk tura gelene kadar gerekli olan atılma (çevirme) sayısını göstermektedir. Bu takdirde N rassal değişkeni, her biri kendi olasılıklarına sahip 1,2,3,... değerler alacaktır (Ross, 2003: 2). 8

19 { = 1} = { } = { } {( )} { } {( )} P N P T p P N = 2 = P Y, T = (1 p) p 2 P N = 3 = P Y, Y, T = (1 p) p { } { } P N = n = P Y Y Y T = p p n n 1 (,,...,, ) (1 ), 1 n KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Rassal değişkenlerin olasılık dağılımlarına geçmeden önce iki kavramın açıklanması gerekecektir; Olasılık Dağılımları (Probability Distribution) ve Olasılık Fonksiyonu (Probability Function). Rassal değişkenlerin alabileceği tüm mümkün değerlerin olasılıklarının sunumuna Olasılık Dağılımları, bu değerlerin yatay eksende olasılıklarının da dikey eksende gösterildiği grafiklerde noktaların birleştirilmesiyle elde edilen kesikli veya sürekli eğriye de Olasılık Fonksiyonu denir (Orhunbilge, 2000 : 191). Bir rassal değişken olan X belirli değerleri temsil ettiğinde ve bu değerler veya sonuçlar belirli olasılıklarla ortaya çıktığında X e kesikli rassal değişken denmektedir. Değişkenin alabileceği değerler belirli sayıdadır. Kısacası yalnızca sayılabilir sayıda değerler alan değişkene denmektedir. Kesikli rassal değişkenlerin ve dağılımlarının incelenebilmeleri için aşağıda verilen tanımların ve kavramların bilinmesi önemlidir. Kesikli rassal değişken X in olasılık dağılımı, p(a) olasılık kütle fonksiyonu (probability mass function) ile tanımlanabilir, a ifadesi X e ait a değerleridir: { } p( a) = P X = a (1.6) şeklinde gösterilebilir (Ross, 2003: 27). 9

20 X e ait kesikli olasılık dağılımını Denklem 1.6 haricinde, { } P ( x) = P X = x (1.7) X şeklinde göstermek de mümkündür. ( x), X in x değerini alma olasılığını x in fonksiyonu cinsinden ifade eder (Newbold, 2000: 141). PX Kesikli rassal değişkenlerin olasılık dağılımının, Olasılık kütle fonksiyonu p(a) ile tanımlanmasının sebebi, bu sayılabilir a nın değerleri için pozitif olması, sıfırdan farklı olmasındandır. X in; farz edildiğinde ; x, x, x, gibi değerler aldığı px ( ) > 0, i= 1,2,... i p( x) = 0, x' indiğer değerleri (1.8) Denklem 1.8 de X; x i değerlerinden herhangi birini alacağından; px ( i ) = 1 (1.9) i= 1 olasılık özelliği sağlanacaktır. Kesikli rassal değişkenlerinin kümülatif (birikimli) olasılık fonksiyonu (cumulative distribution function) F; X ' in herhangi bir değerinin a değerini aşmamasının olasılığının F(a) fonksiyonu cinsinden gösterirsek; { } F( a) = P X a (1.10) ve kümülatif olasılık fonksiyonuyla, olasılık kütle fonksiyonu arasındaki ilişki şu şekilde olacaktır: 10

21 Fa ( ) = px ( ). (1.11) xi a i Kesikli rassal değişkenleri incelerken üzerinde durulması gereken bir diğer ana başlık ise oluşturulan olasılık dağılımının merkezine ait ölçünün bulunmasıdır, bu ölçü Beklenen Değer veya Matematik Ümidi (Expected Value) olarak ifade edilir.bir tesadüfi değişkenin alabileceği bütün olasılıkların çarpımıdır (Orhunbilge, 2000:179). Beklenen değer, rassal değişkenin çok sayıda denemede alacağı değerlerin uzun dönem ortalamasıdır (Newbold, 2000: 147). Beklenen değerin aritmetik ortalamadan farkı ise olasılıklı olmasından gelmektedir. Beklenen değer E[ X ] veya µ x veya kısaca µ ile gösterilebilir. X kesikli rassal değişkeni, p(x) olasılık kütle fonksiyonuna sahipse, X in beklenen değeri E[ X ] şu şekilde bulunur: [ ] xp( x) E X =. (1.12) x Beklenen değer kavramı yalnızca rassal değişkenlerle sınırlı değildir, bilinen X rassal değişkenine ait g(x) gibi bir fonksiyonun beklenen değeri de hesaplanabilir. Burada g(x) de bir rassal değişken olarak düşünülür, kendine ait olasılık dağılımı bulunmaktadır (Ross, 2003: 43). Örneğin bir firma aldığı projeyi bitirme süresi bir belirsizlik gösteriyorsa, işin başlamasından bitimine kadar geçecek zaman değerleri rassal değişkeni verir, yalnız firma için önemli olan bu süreyle oluşan maliyet olduğundan burada maliyet süreye ilişkin bir fonksiyondur, beklenen maliyeti bulmak için bitirme süresi rassal değişkeninin bu fonksiyonunun beklenen değerini bulmak gerekecektir (Newbold, 2000: 148) g(x) fonksiyonu yukarıdaki denklemde yerine konursa: 11

22 [ ] E g( X) = g( x) p( x) (1.13) x sonucu elde edilir. Burada önemli olan bir nokta vardır, X in fonksiyonunun beklenen değeri, X in beklenen değeriyle, X ve X in fonksiyonunun arasındaki bağ ile aynı değildir, örneğin X in fonksiyonu Y=X 2 olduğunda, 2 ( E[ X] ) E X 2 dir. Rassal değişkenin fonksiyonlarının beklenen değerini hesaplamak için kullanılan denklemden ortaya çıkan doğal iki sonuç vardır: E [ ax + b] = ae[ X ] + b a veb sabit sayılar (1.14) ve n n E X = x p( x). (1.15) x Denklem 1.15 de (Ross, 2003: 46). n E X, X in n. Momenti olarak adlandırılır Rassal değişkenin varyansı demek, X in ortalamadan sapmalarının 2 karelerinin beklenen değeri anlamına gelir, Var(X) veya σ x olarak gösterilir: ( [ ]) ( ) Var( X) = σ x = E X E X = E X µ 2 ( ) E X 2 µ x p( x) µ 2 2 = = x (1.16) Varyansı hesaplamaktaki amaç ortalamadan farklı değerlerin ne derecede gerçekleşebileceğini göstermektedir. 12

23 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLERE AİT OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli rassal değişkenlere ait yapılan incelemeden sonra, bu rassal değişkenleri, olasılık kütle fonksiyonlarına kısacası olasılık dağılımlarına göre incelenmesi de yarar sağlayacaktır. Rassal değişkenlerin olasılık dağılımlarını incelerken bir önceki bölümde tanımlanan; beklenen değer, varyans, olasılık dağılımına ait denklemler gösterilecektir BERNOULLI DAĞILIMI Jacob Bernoulli tarafından bulunan bu dağılım diğer olasılık dağılımlarına temel oluşturması açısından büyük önem taşır (Harcar, 1992: 159). Kesikli bir rassal değişkenle yapılan bir deney sonucunda, başarı ve başarısızlık diye adlandırılan, ayrık ve bütünü kapsayan iki sonuç söz konusu olduğunda bu dağılıma Bernoulli Dağılımı denir (Newbold, 2000: 170). Rassal değişken X, başarı için 1, başarısız sonuç için 0 ile tanımlanır. Başarı olma olasılığı p ise başarısızlığın olasılığı 1-p olur. Olasılık dağılımı; { } { } p(0) = P X = 0 = 1 p, p(1) = P X = 1 = p. (1.17) Beklenen değeri; E[ X] = 0(1 p) + 1( p) = p (1.18) 13

24 Varyansı; Var X = σ = p p (1.19) 2 ( ) X (1 ) denklemleriyle ifade edilir BİNOM DAĞILIMI Binom Dağılımı da Bernoulli Dağılımı gibi iki bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcı sonuç olduğunda kullanılır, fakat iki olası sonuç veren deneyin çok kez tekrarlandığı farz edilir. Dağılımın Binom olması için, iki sonuç olması, olasılıkların değişmemesi, deneme sayılarının değişmemesi ve bu denemelerin bağımsız olması gerekmektedir (Harcar, 1992: 161). Bağımsız deneme sayısı n kadar yapıldığında ve başarı olasılığı p; başarısızlık olasılığı 1-p olduğunda, X rassal değişkeni de n deneme içindeki başarı sayısını gösterirse, bu rassal değişken (n,p) parametreli binomdur veya dağılım binom dağılımıdır (Ross, 2003: 29). Dağılımda x tane p (başarı), n-x tane 1-p (başarısızlık) olacaktır, bu belli dizilimin olasılığı x p (1 ) n p x olacaktır fakat amaç belli bir dizilimin gerçekleşme olasılığı değil, diziliş önemli olmaksızın, x tane başarının olasılığıdır.bu çeşitli dizilişler n nesnenin x taneli kombinasyonları kadar olacaktır. Bu dizilişler de birbiri ile bağdaşmaz olduğundan, aynı anda gerçekleşemezler, o takdirde n denemede x tane başarı olayının, her birinin olasılığı x p (1 ) n x p olan; n in x tane kombinasyonları kadar gerçekleşebileceği açıktır (Newbold, 2000: 171). Bu açıklamadan sonra başarıyı i ile gösterirsek dağılım; i n i n i p() i = nc i p (1 p) = p (1 p) i n i (1.20) 14

25 burada: n C i n n! = = i ( n i)! i! dir. (1.21) Binom dağılımının beklenen değeri: E[ X] = np (1.22) Varyansı: Var X = = np p (1.23) 2 ( ) σ X (1 ) şeklinde olacaktır GEOMETRİK DAĞILIM Başarı olasılığı p olan, birbirinden bağımsız deneyler yapılmakta ve bu deneyler başarı oluşana kadar devam etmektedir. X rassal değişkeni ilk başarıya kadar gerekli olan deney/deneme sayısı olarak tanımlanırsa, bu rassal değişkene p parametreli rassal değişken dağılıma geometrik dağılım denir. Örnek 1.4 geometrik dağılıma uymaktadır. Geometrik dağılımın, olasılık kütle dağılımı veya olasılık dağılımı: n 1 { } pn ( ) = P X= n = (1 p) p, n= 1, 2,... (1.24) olacaktır. Denklem 1.24 de n. denemede başarılı olunmuştur. Başarıya ulaşabilmek için gerekli deney sayısının beklenen değeri ise Denklem 1.25 deki gibi olacaktır (Ross, 2003: 41). [ ] E X 1 = (1.25) p 15

26 POISSON DAĞILIMI Belirli bir zaman aralığında az sayıda gerçekleşen rassal değişkenlerin dağılımıdır (Orhunbilge, 2000: 202). İlgilenilen olayın gerçekleşme ihtimali düşük, buna karşılık gözlem sayısı büyükse, Binom dağılımı özel bir şekil alır. Bu özel şekle de Poisson dağılımı denir (Harcar, 1992: 170). Poisson dağılımı özelilikle, yöneylem araştırması, stok kontrolü, kuyruk modelleri gibi çeşitli sistemlerde kullanım alanı bulmuştur. Örneğin, üretilen bir maldaki kusurların sayısı, kaza ve sağlık sigortası, telefon santraline gelen çağrıların yapısı; 100 yaşından fazla yaşayanların, bir ülkede meydana gelen sel baskınlarının olasılığı ve ender yaşanan bu gibi pek çok konu bu dağılım kullanılarak incelenebilir (Serper, 1986: 14). Poisson dağılımının varsayımları; Olayın belirli bir zaman veya alan aralığında gerçekleşme sayıları birbirinden bağımsızdır, Bu aralıkta olayın iki veya daha fazla sayıda gerçekleşme olasılığı, bir kez gerçekleşme olasılığına oranla önemsiz denecek düzeyde düşüktür, Tanımlanan aralıktaki gerçekleşme sayısı tüm benzer aralıklarla aynıdır, Bu aralıklarda olayın bir kez gerçekleşme olasılığı yaklaşık olarak ilgili zaman veya alan aralığıyla orantılıdır (Orhunbilge, 2000: 203). Bu varsayımlara uyan X rassal değişkeni nin olasılık dağılımı; { } i λ λ pi ( ) = P X= i = e i= 0,1,2,... (1.26) i! şeklinde gösterilir (Ross, 2003: 32). λ belirli bir zaman veya alan aralığında olayın gerçekleşme sayısının ortalamasını gösterir, sıfırdan büyük bir sayıdır. e ise tabii logaritma tabanıdır ve 2,71828 e eşittir. 16

27 Bu dağılımın ortalaması; E[ X] = λ (1.27) varyansı; 2 σ X = λ dır. (1.28) 1.5. STOKASTİK SÜREÇLER Stokastik Süreç teoremi fizikçilerin ihtiyaçlarından ortaya çıkmıştır. Fiziksel olayların zaman içerisinde değişen rassal olaylar olarak tanımlanması ile başlamıştır (Medhi, 2003: 1). Stokastik süreç, zaman boyunca devam eden ve olasılığın kurallarına uyan bir olasılık sürecidir (Doob, 1953; 46). t; T kümesinin bir parametresi olarak varsayılırsa, X t her t T için rassal veya stokastik değişkeni ifade eder. { X (), t t T} rassal değişkenler ailesine stokastik süreç denir (Mehdi, 2003; 1). Kısacası zaman parametreli rassal değişkenlerden oluşur { x, t T} t. x t t zamanındaki sonuçtur, T ise zaman aralığıdır (Doob, 1953; 46). X t için sürecin t zamanındaki durumu (state) denebilir. T zamanında bir süper markete girenlerin sayısı, bulunanların sayısı,yine bu süper marketteki t zamanında satışların miktarı olabilir (Ross, 2003: 83). Lineer küme olan T, sayılabilir veya sayılamaz şeklinde iki alternatiften oluşabilir. { X (), t t T} stokastik süreci, parametreleri sayılabilir ise kesikli-parametreli süreç, eğer parametreler bir aralık ifade ediyorsa da sürekli-parametreli süreç olarak adlandırılır (Mehdi, 2003; 1). Stokastik süreçlerde parametre zaman olarak ifade edildiğinden; T, eğer sıralı t olarak tanımlanırsa kesikli-zaman süreci (discrete-time 17

28 process), bir aralık olarak tanımlanırsa da sürekli-zaman sürecini (continuous-time process) oluşturur. Önceki bölümlerde, X t rassal değişkenlerinin alabileceği tüm değerler durum uzayı olarak adlandırılmıştı. Bu da aynı zaman gibi sayılabilir veya sayılamaz olabilmektedir. Eğer durumlar da sonlu ve sayılabilir ise kesikli-durum süreci, sayılamaz ise de sürekli-durum süreci denir. Bu bilgilerden stokastik süreç 4 şekilde oluşabilmektedir; Kesikli-zaman, kesikli-durum uzayı, Kesikli-zaman, sürekli-durum uzayı, Sürekli-zaman, kesikli-durum uzayı, Sürekli-zaman, sürekli-durum uzayı (Medhi, 2003; 1). Kesikli durum süreçleri; zincir (chain) olarak adlandırılır. Bu takdirde yukarıda sıralanan 4 stokastik süreçten, birincisi, kesikli-zaman zinciri, üçüncüsü de süreklizaman zinciri şeklinde ifade edilir. 18

29 BÖLÜM 2. MARKOV ZİNCİRLERİ 2.1. GİRİŞ Klasik olasılık teorisinin temeli, birbirinden bağımsız olarak yapılan deneylerden oluşmuş süreçlere dayanmaktadır. Böyle bir deneyde mümkün tüm çıktılar ve bunlara ait olasılıklar eşittir. Ayrıca geçmiş deneylerin sonuçlarının da gelecekteki deneyin sonucunu etkilemediği görülmektedir. Bağımsız deneylere ilişkin olasılıklar rahatlıkla bulunabilir ve hesaplanabilir. Modern olasılık teorisi çalışmaları ise geçmişte yapılan deneylerin sonuçlarının, gelecekteki deneyleri etkilediği rassal süreçler üzerine yapılmıştır. Kısacası geçmişten veri olarak alınan sonuçlar gelecekteki sonuçları etkilemektedir. Böyle bir durumda geleceğe ilişkin olasılık tahmini yapmak hayli zor olacaktır (Gringstead ve Snell, 1997: 405). Bu gelişme doğrultusunda; 1907 yılında A. A. Markov kendi adıyla anılan yeni bir stokastik süreç üzerine çalışmaya başlamıştır. Çalışmaları; gelecekteki sonuçların yalnızca şu andaki sonuçtan etkilenmesi üzerine kurulmuştur. Markov süreci olarak tanınan bu yöntem daha sonraki yıllarda bir çok alanda uygulanma fırsatı bulmuştur TEMEL KAVRAMLAR VE GENEL BİLGİLER Örnek uzayı S ye ait tüm rassal değişkenlerden oluşan; stokastik sürece ait X(t) veya X n olarak tanımlanmış olan { n t 0,1, 2,... } = = kümenin,durumları sonlu ve sayılabilirse, bu sürece, kesikli-durum süreci denir. Zincir ifadesiyle de söylenebilir. Sayılamaz ise, sürekli-durum süreci denir. 19

30 { X (), t t T} Stokastik süreci, s t olduğunda, > s X değeri, verilen X t değerinden etkileniyor, u < t şartını sağlayan X u değerinden etkilenmiyorsa Markov süreci olarak adlandırılır. Tanım ile, sürecin gelecekteki durumuna ilişkin olasılığın değeri, bilinen mevcut duruma bağlı ve önceki durumların bilinmesini gerektirmeden bulunabiliyorsa bu sürece Markov süreci denir (Taylor ve Karlin, 1984; 67). Yani Markov süreci bir stokastik süreçtir ve sürecin gelecekteki davranışı yalnızca şimdiki durumdan etkilenir, önceki durumlara bağlı değildir (Saldana ve Changho, 200: 204). N sayıda zaman noktasının herhangi bir t1, t2, t3, t4,..., t n kümesi için X t n nin koşullu olasılığı; değerine bağlıysa, X, X, X,..., X. nin verilen değerlerinden yalnızca t1 t2 t3 t n 1 X t n nin 1 X t stokastik sürecine Markov Süreci denir, Markov Özelliği olarak da ifade edilebilir (Cinemre, 1997: 356). Markov süreci, aynı stokastik süreçler gibi, kesikli-durum, kesikli-zaman; kesiklidurum, sürekli-zaman; sürekli-durum, kesikli-zaman; sürekli-durum, sürekli zaman olarak dört şekilde sınıflandırılabilir. Bir stokastik kesikli-durum süreci; bu süreçte bir sonraki durum yalnızca mevcut duruma bağlıysa, daha önceki durumlarla ilişiği yoksa, Markov Zinciri olarak anılır. Bu zincir; 2 ardışık durum arasındaki zaman; üssel dağılmışsa Sürekli-Zaman Markov Zinciri, geometrik dağılmışsa Kesikli-Zaman Markov Zinciri olarak adlandırılır (Dayar, 1994: 2). Markov özelliği gösteren bir stokastik süreçteki rassal değişkenlere ait değerlere durum (state) denmektedir. Bunun sebebi ise şartlı olasılığın sadece bir önceki zamana bağlı olmasıdır (Leon-Garcia, 1994: 460). Bir süreç içinde oluşabilecek tüm mümkün şartlar durum olarak ifade edilir. Örneğin bir makine herhangi bir zaman noktasında düzgün veya hatalı olarak çalışabileceğinden bu süreç içerisinde oluşabilecek iki durum bulunmaktadır. Burada 20

31 olayların birbirinden ayrık olması gerekmektedir. Kısacası durumlardan biri oluştuğu anda diğer durum oluşamaz, makine aynı anda hem düzgün hem de hatalı çalışamaz (Render ve Stair, 1997; 706). Süreç zincire ait durumlardan herhangi birinden başlayarak ardışık olarak tekrar aynı veya diğer durumlardan birine hareket eder. Her bir harekete adım(step) denir (Gringstead ve Snell, 1997: 405). π () t t zamanındaki durumların olasılıkları göstermek üzere, n adet durum söz konusu olduğunda π ( t) = π1, π2,..., πn) şeklinde ifade edilen t zamanındaki 1 den n e kadar tüm durumların olasılık dağılımıdır. Sürecin veya zincirin tüm mümkün değerleri negatif olmayan tamsayılarla sembolize edilmiştir.burada X t =i t ise: { t+ 1 t+ 1 t t,..., 0 0} { t+ 1 t+ 1 t t} P X = i X = i X = i = P X = i X = i (2. 1) şeklinde gösterilen denklem Markov Zinciri olacaktır. Burada, bir sonraki zamanda oluşacak durum, yalnızca şimdiki zamandan yani X t durumundan etkilenecektir, geçmiş zamanlardaki durumlardan tamamen bağımsız olacaktır (Ross, 2003: 181). X n in i durumunda olduğu bilindiğinde; n 1 X + de j durumunda olma olasılığı tekadımlı geçiş olasılığı (one-step transition probability) olarak adlandırılır (Taylor ve Karlin, 1984; 68) ve şu şekilde gösterilir: { + 1 } P = P X = j X = i (2.2) nn, + 1 ij n n Tek-adımlı geçiş olasılığı zaman parametresinden bağımsız olduğundan, Markov zincirinin durağan geçiş olasılığına (stationary transition probability) sahip olduğu söylenir ve şu şekilde de yazılabilir: 21

32 { } P Xn = j Xn 1 = i = pij i, j S, n 1. (2. 3) Hangi notasyonun kullanıldığı önemli olmaksızın, t zamanı bağımsızken tüm durumları i ve j harfleri ile ifade ettiğimizde P{ Xt+ 1 j Xt i} olacaktır. Bu varsayımdan yola çıkarak { t 1 t } = = varsayımı doğru P X = j X = i = p dendiğinde; sistemin t + ij zamanındaki i durumundan, t+1 zamanındaki j durumuna geçişinin olasılığını p ij ifade etmektedir. Bu sebeple p ij ler Markov zincirinde geçiş olasılıkları olarak adlandırılır. p ij geçiş olasılığı tek-adımlı geçiş olasılığıdır. Buradan çıkan başka bir varsayım ise geçiş olasılığının zamandan etkilenmeden durağan olduğudur yani aşağıdaki varsayımlar da kabul edilir: p ij ler sabittir, buna kesin olasılıklar denmektedir. Ayrıca n p 0 i, j 0; P = 1 i= 0,1,... ij ij. (2. 4) j= 0 Aşağıda gösterilen, bütün geçiş olasılıklarının ifade edildiği s x s boyutlu matrise ise P geçiş matrisi denir. Şekil 1. s*s Boyutlu Geçiş Matrisi P = Bu matris sabit ve zamandan bağımsız p 11 p 1 s p s1 p ss. p ij geçiş olasılıklarını içerdiğinden, P matrisi homojen geçiş matrisi veya stokastik matris adı ile anılır (Taha, 2002: 726). 22

33 Kısacası, Markov süreci, X n rassal değişkeninin şartlı olasılığı; X n-1, X n-2, X n-3... rassal değişkenlerinin içinden yalnızca X n-1 ile sağlanıyorsa oluşur (Papoulis, 1984: ). Yalnızca bir önceki zamandaki rassal değişkenle koşullu olasılığı olan rassal değişkenin varlığında oluşan bir stokastik süreçtir. Süreç bu şekilde Markov özelliği gösterir denir. Markov sürecinin durum uzayı kesikli olduğunda bu özel hale Markov zinciri denir. Markov zinciri de zaman parametresine göre kesikli ve sürekli hal alabilir. Çalışmanın bundan sonraki bölümlerindeki açıklamalar kesikli-zaman Markov zincirleri üzerine yapılacaktır. Çalışmalar yine durağanlık koşulu üzerine yani geçiş matrisinin sabit kalması varsayımı ile devam edecektir MARKOV ÖZELLİĞİNİN TESPİTİ VE GEÇİŞ MATRİSİNİN OLUŞTURULMASI Önceki bölümde açıklandığı gibi, bir stokastik süreçte gelecek durum yalnızca bir öncekinden etkileniyorsa ve zamandan bağımsızsa bu süreç Markov özelliği göstermektedir. Ayrıca bu durumlar arası sabit kalan bir geçiş matrisi yani bir durumdan ötekine bir periyot sonra geçme olasılıkları bulunmaktadır. Markov zinciri, kendisine ait tek-adımlı geçiş olasılıklarını veren geçiş matrisi ve 0 zaman noktasındaki sürece ait durumun olasılık dağılımının bilinmesiyle oluşmaktadır (Taylor ve Karlin, 1984; 70). Sonraki çalışmalar bu bilgilerin üstüne kurulmaktadır. Markov özelliğinin ve durumların tespiti ile geçiş matrisinin bulunmasında Markov zincirlerine temel olacak iki modelin üzerinde, ileriki açıklamalarda da kullanılacağından durmak yarar sağlayacaktır. Örnek 2.1 : (Rassal Yürüyüş Modeli A random walk model) Bir Markov zincirinin durum uzayı; i = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... gibi tamsayılarla gösterilip olasılıkları da P = p= 1 P, 0< p<1 ii, + 1 ii, 1 şeklinde ifade edilirse bu Markov 23

34 zincirine rassal yürüyüş modeli denir. Bir sonraki periyottaki durumun bir önceki periyoda bağlı olduğu açıktır, bu sebeple Markov özelliği gösterir. Burada bir bireyin düz bir çizgi üzerinde sürekli sağa ve sola adım attığı düşünülebilir. Sağa adım atma olasılığı p ile tanımlanırsa, sola adım atma olasılığı da 1-p veya q ile tanımlanır. Denklemde i+1 sağa adım, i-1 de sola adım olarak gösterilmiştir. Rassal yürüyüş modelinin ileri uygulamaları, özellikle finans alanında hisse senedi fiyatının davranışının modellenmesi hususunda geniş bir uygulama alanı bulmuştur (Sayan vd., 2001: 2). Bu model doğrultusundaki yaklaşıma göre, piyasadaki ardışık fiyat getirileri bağımsızdır ve ardışık getiriler aynı dağılıma sahiptir. Çünkü diğer yöntemler kullanıldığında (spektral analiz gibi); hisse senedi fiyatlarındaki hareketlerin keşfi mümkün olmamıştır, elde edilen yapılar piyasa dataları tarafından reddedilmiştir. Bunun sebebi fiyatların rassal dağılımıdır. Bu yaklaşım Fama nın Efektif Pazar Hipotezi ne temel oluşturmuştur. Örnek 2.2: (Kumar modeli - Gambling model): Bir kumarbazın her oyunda bir para birimi kazanma olasılığı p, bir para birimi kaybetme olasılığı da 1-p ile tanımlanmıştır. Kumarbaz oyunu ancak iki şartla bırakır; ya elindeki para sıfıra düşecektir (iflas) yada N para birimine ulaşacaktır. buradan sonuçla Markov zincirinin geçiş olasılığı şu şekilde oluşacaktır: P = p= 1 P, i= 1,2,3,... N 1 ii, + 1 ii, 1 P 00 = P = 1 NN Denkleme göz önüne alındığında, rassal yürüyüş modeliyle 0 ve N durumları haricinde uyuşmakta, fakat oyun N veya 0 durumuna girdiğinde bir daha buradan çıkamamaktadır, bu iki duruma yutucu durum denir. 24

35 Örneğin; bir kumarbazın elinde 0 zamanında 2 Yeni Türk Lirası (YTL) kadar para vardır. Her seferinde 1 YTL yatırabilecek bir oyun oynandığında, kazanılırsa yatırılan 1 YTL ve bir o kadar para daha alınıyor, kaybedilmesi durumunda ise yatırılan para veriliyor. Oyun, 4 YTL ulaşıldığında veya para bitince, sona eriyor. Kazanma olasılığı p, kaybetme olasılığı 1-p ile gösterilmiştir. Dikkat edilecek olursa t+1 oyun sonra elde olan para miktarı, t oyunundan sonraki elde kalan para miktarına bağlıdır. Bu da bu durumun bir Markov zinciri olduğunu göstermektedir.oyunun kuralları da zaman içinde değişmediğinden durağan Markov zinciridir. Bu örnekte elde 2 YTL ile başlanıyor, eğer kazanılırsa 3 YTL, kaybedilirse 1 YTL ile oyuna devam edilir. Ta ki 0 veya 4 YTL kalana kadar oyun devam eder. Aşağıda gösterilen geçiş matrisinde, durum olarak tanımlanan elde bulunan paradır: 0YTL 1YTL 2YTL 3YTL 4YTL p 0 p 0 0 P = p 0 p p 0 p Geçiş matrisinde, p 00 = p44 = 1 olduğu görülmektedir, yani 0 veya 4 YTL para birimine ulaşıldığında oyun bitmektedir, durum değişmemektedir. Diğer durumlarda ise kaybetmenin olasılığı 1-p kazanmanın olasılığı ise p olduğu görülmektedir. Geçiş matrisinin grafiği Şekil 1 de görülmektedir, soldan sağa doğru 0,1,2,3 ve 4 durumları düğümlerde gösterilmiştir. 25

36 Şekil 2. Örnek 2.2 ye ait geçiş olasılıkları grafiği 2.4. N-ADIMLI GEÇİŞ OLASILIKLARI CHAPMAN KOLMOGOROV DENKLEMİ Şimdiye kadar i durumundan j durumuna bir adımda geçiş olasılıkları üzerinde durulmuştur. Bazen de m zamanında i durumunda olan bir zincirin, n zaman sonra j durumunda bulunma olasılığı önemli olmaktadır (Cinemre, 1997: 363). Bu bölümde konuya ilişkin kısa bir tanımdan sonra istenen sonuca ulaşmak için gerekli denklem(ler) elde edilecek, konu Örnek 2.3 ile örneklenecektir. Örnek çalışma öncelikle denklem üzerine oturtulacak ardından da ispatı verilecektir. Bir Markov zinciri m zamanında i durumundayken, n periyot sonra j durumunda olma olasılığı nedir (Winston, 2004: 928)? Bu sorunun yanıtını verebilmek için yani n-adımlı geçiş olasılıklarını bulabilmek için Chapman-Kolmogorov denklemi bir metot geliştirmiştir (Ross, 2003: 185): n+ m n m ij = Pik Pkj k = 0 P (2.5) Durağan bir Markov zinciri olduğundan yani geçiş olasılıkları zamanla değişmediğinden söz konusu olasılık m zamanından bağımsız olacağı için denklem 2.6. daki gibi yazılabilir (Winston, 2004: 186): 26

37 { } { } n P Xm+ n= j Xm= i = P Xn= j X0 = i = pij( n) = p (2.6) Herhangi bir m zamanından n zaman sonra sistemin i durumundan j durumuna geçme olasılığını hesaplayabilmek için zaman sonra j durumuna geçiş ise m ij zamanı 0 zaman noktası kabul edilir, p ij (n) olarak gösterilir. Buradaki p ij (n), i durumundan j durumuna n-adımda geçiş olasılığı olarak adlandırılır. n P ( n) n, n-adımlı geçiş olasılıları matrisi olan gösterirse, (2.5) denkleminden: P ij P = P. P (2. 7) ( n + m ) n m olacaktır. p ij (1)= p ij olduğu açıkça bellidir. p ij (2) ise sistemin şu anda veya herhangi bir zaman noktasında i durumunda olduğu ve 2 periyot sonunda j durumunda olma ihtimalidir. Öncelikle i durumundan bir periyot sonra k gibi durum(lar)a geçiş yapılacak, k durumundan ise j durumuna geçilecektir. Buradan şu eşitlik yazılabilir: p ij (2) k= s = k= 1 ( i durumundank durum( lar) una geçişolasılığı) x ( k durumundan j durumuna geçiş olasılığı) (2. 8) Bu da; p (2) k= s = p xp ij ik kj k= 1 (2. 9) anlamına gelir. Dikkat edilmesi gereken nokta k nin birden fazla durumu içerebileceğidir, çünkü her k durumundan ayrı ayrı j durumuna geçiş olasılıklarının da hesaplanması gerekmektedir. Yukarıdaki eşitliğin sağ tarafı P matrisinin i satırı ile j sütununun 27

38 skaler (sayıl) çarpımıdır. Buradan p ij (2) 2 P matrisinin ij elemanıdır, yani p ij (2), 2 P matrisinin i satırıyla j sütununun kesiştiği yerdir. Sonuçta; 1 ( ) sin n n Pij n = P matri inij elemanı 1 ; n= 0 Pij(0) = 0 ; j = i j i (2. 10) olacaktır (Winston, 2004:186). Örnek 2.3: Mevcut kola pazarında 2 adet ürünün varolduğunu düşünelim. En son 1. kolayı alan bir müşterinin tekrar 1. kolayı alma olasılığı 0.90, en son 2. koladan alan bir müşterinin yine 2. kolayı tercih etme olasılığı ise 0.80 dir (Winston, 2004: 929). Bu örneğin geçiş matrisi aşağıdaki gibi olacaktır: 1. Kola 2. Kola 1. Kola Kola a) Eğer bir müşterinin en son 2. kolayı aldığını düşünürsek, 2 alış sonra 1. kolayı alma olasılığı nedir? P X = 1 X = 2 = p (2) Yani bulunmak istenen olasılık: { } Kısacası P matrisinin 2. durum satırıyla 1. durum satırının bileşkesidir P = =

39 Buradan p 21 (2) = 0.34 olduğu bulunacaktır, kısacası şu anda 2. kolayı almış olan bir müşterinin 2 alım sonrasında 1.kolayı alma olasılığı 0.34 olacaktır. Bu işlem; olasılığın çarpma ve toplama kuralı kullanılarak da yapılıp ispatlanabilir, bunun için: p (2) = p = p p + p p (2.11) bulunabilir. Eşitliğin sağ tarafı; 2. durumdan bir geçiş sonra tekrar 2. duruma, ardından 2. durumda bulunan sistemin tekrar bir geçiş sonra 1. duruma gelişi ile 2. durumdaki sistemin 1. duruma oradan da tekrar 1. duruma geçiş olasılıkları toplanarak bulunmuştur. Durum uzayında iki adet rassal değişken bulunduğundan zincir ya birinci yada ikinci duruma girebilir. Örnekteki ilgili olasılıkları bir adımlı geçiş matrisinden alarak: p ( ) ( ) (2) = p = 0,8 0, 2 + 0, 2 0,9 = 0,16 + 0,18 = 0,34 problemi çözebiliriz. b) Şu anda 1. kolayı alan bir müşterinin 3 alım sonrasında yine 1. kolayı alma olasılığı nedir? Burada da bulmak istediğimiz p 3 11 (3) tür. Bu da P matrisinin 11 elemanıdır P = P( P ) = = Yukarıdaki sonuçtan, p 11 (3) = olduğu görülmektedir. 29

40 2.5. BAŞLANGIÇTAKİ DURUMUN BELLİ OLMAMASI Bir Markov süreci, durumlara ait geçiş matrisi ve başlangıç durumu X 0 ile tanımlanır, bu ikisinin belirlenmesinin ardından uygulamaya geçilebilir. Buradaki başlangıç durumu bilinmediğinde yerine başlangıç durumlarının dağılımını gösteren, başlangıç olasılık vektörü (initial probability vector) kullanılabilir (Karlin ve Taylor, 1984: 68). Baş langıç olasılık vektörü, literatürde PX ( 0 = i) = pi veya { } π = π π π π (Medhi, 2003: 3) şekillerinde gösterilebilir. (0) 0, 1, 3,..., n {,, i X i } P X0 = i0 X1 = i1 X2 = 2,... n = n prosesinin hesaplanabilmesi için, koşullu olasılık tanımından; { 0 = 0, 1 = 1, 2 = 2,... n = n} = P{ X = i, X = i, X = i,... X = i } P X i X i X i X i n 1 n 1 { n n 0 0, 1 1, 2 2,... n 1 n 1} P X = i X = i X = i X = i X = i (2.12) bulunması gerekir. (2.12) denkleminin en alt kısmı, Markov tanımından ötürü; { n = n 0 = 0, 1 = 1, 2 = 2,... n 1 = n 1} = P{ Xn = in Xn 1 = in 1 } = Pi n 1, in P X i X i X i X i X i (2.13) olacaktır. (2.12) ve (2.13) denklemleri beraber çözülürse; { =, =, =,... = } P X i X i X i X i = pp... P P i0 i0, i1 in 2, in 1 in 1, in n n (2.14) 30

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI STOKASTİK (RASSAL) SÜREÇLER Bazen rassal değişkenlerin zamanla nasıl değiştiğiyle ilgileniriz. Örneğin

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri-

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- Hazırlayan Yrd. Doç. Selçuk Üniversitesi Mühendislik Fakültesi - Endüstri Mühendisliği Bölümü Giriş Zaman içerisinde tamamen önceden kestirilemeyecek şekilde

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller

Simülasyonda İstatiksel Modeller Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun

Detaylı

Rastlantı Değişkenleri

Rastlantı Değişkenleri Rastlantı Değişkenleri Olasılık Kütle Fonk. Example: A shipment of 8 similar microcomputers to a retail outlet contains 3 that are defective. If a school makes a random purchase of 2 of these computers,

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ SORU : Ortalaması, varyansı olan bir raslantı değişkeninin, k ile k arasında değer alması olasılığının en az 0,96 olmasını sağlayacak en küçük k değeri aşağıdakilerden hangisidir? A),5 B) C) 3,75 D) 5

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJENİN ADI: OYUN TEORİSİ İLE İSTANBUL TRAFİĞİNİN İNCELENMESİ HAZIRLAYANLAR: ECE TUNÇKOL-BERKE OĞUZ AKIN MEV KOLEJİ ÖZEL

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

SIRA İSTATİSTİKLERİ VE UYGULAMA ALANLARINDAN BİR ÖRNEĞİN DEĞERLENDİRMESİ

SIRA İSTATİSTİKLERİ VE UYGULAMA ALANLARINDAN BİR ÖRNEĞİN DEĞERLENDİRMESİ Sıra İstatistikleri ve Uygulama Alanlarından Bir Örneğin Değerlendirmesi 89 SIRA İSTATİSTİKLERİ VE UYGULAMA ALANLARINDAN BİR ÖRNEĞİN DEĞERLENDİRMESİ Esin Cumhur PİRİNÇCİLER Araş. Gör. Dr., Çanakkale Onsekiz

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

ÜNİTE ÜNİTE. RİSK YÖNETİMİ Doç. Dr. İbrahim Doğan İÇİNDEKİLER HEDEFLER KANTİTATİF RİSK DEĞERLENDİRME TEKNİKLERİ

ÜNİTE ÜNİTE. RİSK YÖNETİMİ Doç. Dr. İbrahim Doğan İÇİNDEKİLER HEDEFLER KANTİTATİF RİSK DEĞERLENDİRME TEKNİKLERİ HEDEFLER İÇİNDEKİLER KANTİTATİF RİSK DEĞERLENDİRME TEKNİKLERİ Giriş İstatiksel Kavramlar Olasılık Şartlı Olasılık Rassal Değişken Beklenen Değer Varyans Histogram Kantitatif Risk Değerlendirme Teknikleri

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Çıkarımsal İstatistik (Inferential Statistics) : Örneklemden yola çıkarak ana kütleyle (popülasyonla) ilgili çıkarımlarda bulunmak (Smidt, 2001) İstatistiksel

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi. İlhan AYDIN

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi. İlhan AYDIN BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme Kesikli Olay Benzetimi İlhan AYDIN KESİKLİ-OLAY BENZETİMİ Kesikli olay benzetimi, durum değişkenlerinin zaman içinde belirli noktalarda değiştiği sistemlerin modellenmesi

Detaylı

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ SAKARYA ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ Hafta 7 Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan

Detaylı

Veri Ağlarında Gecikme Modeli

Veri Ağlarında Gecikme Modeli Veri Ağlarında Gecikme Modeli Giriş Veri ağlarındaki en önemli performans ölçütlerinden biri paketlerin ortalama gecikmesidir. Ağdaki iletişim gecikmeleri 4 farklı gecikmeden kaynaklanır: 1. İşleme Gecikmesi:

Detaylı

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ SORU : Ortalaması, varyansı olan bir raslantı değişkeninin, k ile k arasında değer alması olasılığının en az 0,96 olmasını sağlayacak en küçük k değeri aşağıdakilerden hangisidir? A),5 B) C) 3,75 D) 5

Detaylı

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 SORU 2: Motosiklet sigortası pazarlamak isteyen bir şirket, motosiklet kaza istatistiklerine bakarak, poliçe başına yılda ortalama 0,095 kaza olacağını tahmin

Detaylı

ÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ. 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız.

ÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ. 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız. OLASILIĞA GİRİŞ IDERSİ ÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız. A B = A (B A) =A (B A c ) A B C = A (B A) (C (A B)) = A (B A c ) (C B

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:2 Simülasyon Örnekleri

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:2 Simülasyon Örnekleri 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ.DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:2 GIRIŞ Bu derste elle ya da bir çalışma sayfası yardımıyla oluşturulacak bir simülasyon tablosunun kullanımıyla yapılabilecek simülasyon

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ 1 1. GİRİŞ Trent, serinin genelinde yukarıya ya da aşağıya doğru olan hareketlere denmektedir. Bu hareket bazen düz bir doğru şeklinde olmaktadır. Bu tür harekete sahip

Detaylı

ĐST 474 Bayesci Đstatistik

ĐST 474 Bayesci Đstatistik ĐST 474 Bayesci Đstatistik Ders Sorumlusu: Dr. Haydar Demirhan haydarde@hacettepe.edu.tr Đnternet Sitesi: http://yunus.hacettepe.edu.tr/~haydarde Đçerik: Olasılık kuramının temel kavramları Bazı özel olasılık

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

Doç. Dr. Dilek ALTAŞ İSTATİSTİKSEL ANALİZ

Doç. Dr. Dilek ALTAŞ İSTATİSTİKSEL ANALİZ I Doç. Dr. Dilek ALTAŞ İSTATİSTİKSEL ANALİZ II Yayın No : 2845 Teknik Dizisi : 158 1. Baskı Şubat 2013 İSTANBUL ISBN 978-605 - 377 868-4 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları BETA

Detaylı

istatistik 4. Bir frekans dağılımına ilişkin birikimli seriler 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi

istatistik 4. Bir frekans dağılımına ilişkin birikimli seriler 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi 2010 S 4200- İstatistik sorulannın cevap l anmasında gerekli olabilecek t ablolar ve f ormüller bu kitapçığın sonunda verilmiştir. 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıstır? ) Maddesel

Detaylı

İŞLETMENİN GELİR- GİDER VE KÂR HEDEFLERİ

İŞLETMENİN GELİR- GİDER VE KÂR HEDEFLERİ İŞLETMENİN GELİR- GİDER VE KÂR HEDEFLERİ İşletme yöneticileri belli bir dönem sonunda belli miktarda kâr elde etmeyi hedeflerler. Kâr = Gelirler - Giderler Olduğuna göre, kârı yönetmek aslında gelirler

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJE ADI: TÜRKİYE DEKİ GELECEKTEKİ DOKTOR İHTİYACINI YÖNEYLEM ARASTIRMASI İLE BELİRLEMEK MEV KOLEJİ BASINKÖY OKULLARI

Detaylı

A t a b e y M e s l e k Y ü k s e k O k u l u İstatistik Sunum 4 Öğr.Gör. Şükrü L/O/G/O KAYA www.sukrukaya.org www.themegallery.com 1 Yer Ölçüleri Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını

Detaylı

İstatistik Nedir? İstatistiğin Önemi Nedir? Tanımlayıcı ve Çıkarımcı İstatistik ttitik Tanımlayıcı İstatistik Türleri Çıkarımcı İstatistiğin i iği

İstatistik Nedir? İstatistiğin Önemi Nedir? Tanımlayıcı ve Çıkarımcı İstatistik ttitik Tanımlayıcı İstatistik Türleri Çıkarımcı İstatistiğin i iği İSTATİSTİK E GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR İstatistik Nedir? İstatistiğin Önemi Nedir? Tanımlayıcı ve Çıkarımcı İstatistik ttitik Tanımlayıcı İstatistik Türleri Çıkarımcı İstatistiğin i iği Elemanlarıl AMAÇ İstatistiğe

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması

Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Poisson dağılımı kesikli dağılımlar içinde Binom dağılımından

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Prof. Dr. KARACABEY Yrd. Doç. Dr. GÖKGÖZ. Yatırım süreci beş temel aşamadan oluşmaktadır:

Prof. Dr. KARACABEY Yrd. Doç. Dr. GÖKGÖZ. Yatırım süreci beş temel aşamadan oluşmaktadır: Risk ve Getiri Konsepti Prof. Dr. Argun KARACABEY Yrd. Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Yatırım süreci beş temel aşamadan oluşmaktadır: 1.Yatırım Politikasının belirlenmesi,.menkul kıymet analizinin yapılması,

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

ENM 316 BENZETİM DERS 3 KUYRUK SİSTEMİ. Operasyon yönetiminde önemli bir alana sahiptir.

ENM 316 BENZETİM DERS 3 KUYRUK SİSTEMİ. Operasyon yönetiminde önemli bir alana sahiptir. ENM 316 BENZETİM DERS 3 KUYRUK SİSTEMİ Kuyruk sistemleri, Operasyon yönetiminde önemli bir alana sahiptir. Üretimde, atölye çevresi kuyruk şebekelerinin karmaşık bir ilişkisi olarak düşünülebilir. Bir

Detaylı

BASEL II. RİSK AĞIRLIK FONKSİYONLARI (Beklenmeyen Kayıplar)

BASEL II. RİSK AĞIRLIK FONKSİYONLARI (Beklenmeyen Kayıplar) BASEL II RİSK AĞIRLIK FONKSİYONLARI (Beklenmeyen Kayıplar) Temerrüde düşmemiş krediler için Basel II düzenlemelerinde Korelasyon Katsayısı, Vade ayarlaması, Sermaye Yükümlülüğü oranı, Sermaye yükümlülüğü

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İçerik Tanımlar

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

SPSS E GİRİŞ SPSS TE TEMEL İŞLEMLER. Abdullah Can

SPSS E GİRİŞ SPSS TE TEMEL İŞLEMLER. Abdullah Can SPSS E GİRİŞ SPSS TE TEMEL İŞLEMLER SPSS in üzerinde işlem yapılabilecek iki ana ekran görünümü vardır. DATA VIEW (VERİ görünümü) VARIABLE VIEW (DEĞİŞKEN görünümü) 1 DATA VIEW (VERİ görünümü) İstatistiksel

Detaylı

15.433 YATIRIM. Ders 2: Menkul Kıymetler ve Wall Street de Rassal Yürüyüş. Bahar 2003

15.433 YATIRIM. Ders 2: Menkul Kıymetler ve Wall Street de Rassal Yürüyüş. Bahar 2003 15.433 YATIRIM Ders 2: Menkul Kıymetler ve Wall Street de Rassal Yürüyüş Bahar 2003 İçerik Olasılık Teorisi Olasılık dağılımlarının kısa bir gözden geçirmesi Rassal olayları normal olaylarla değerlendirmek

Detaylı

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN Giriş Bilgi teknolojisindeki gelişmeler ve verilerin dijital ortamda saklanmaya başlanması ile yeryüzündeki bilgi miktarı her 20 ayda iki katına

Detaylı

Microsoft Office Excel 2007

Microsoft Office Excel 2007 2014 Microsoft Office Excel 2007 Öğr. Gör. Serkan KORKMAZ Harran Üniversitesi Birecik Meslek Yüksekokulu İçindekiler MİCROSOFT OFFİCE EXCEL 2007... 4 EXCEL ORTAMINDA ÇALIŞMAK... 4 EXCEL ÇALIŞMA SAYFASI...

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Kontrol Sistemlerinin Analizi

Kontrol Sistemlerinin Analizi Sistemlerin analizi Kontrol Sistemlerinin Analizi Otomatik kontrol mühendisinin görevi sisteme uygun kontrolör tasarlamaktır. Bunun için öncelikle sistemin analiz edilmesi gerekir. Bunun için test sinyalleri

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Olasılığa Giriş Koşullu Olasılık Bayes Kuralı

Olasılığa Giriş Koşullu Olasılık Bayes Kuralı Olasılığa Giriş Koşullu Olasılık Bayes Kuralı Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Olasılığa Giriş Bundan önceki bölümlerde veri setini özetleyen,

Detaylı

http://www.cengizonder.com Temel Finans Matematiği Örnek Soru Çözümleri Sayfa. 1 Eylül 2009

http://www.cengizonder.com Temel Finans Matematiği Örnek Soru Çözümleri Sayfa. 1 Eylül 2009 http://www.cengizonder.com Temel Finans Matematiği Örnek Soru Çözümleri Sayfa. 1 SORU - 1 31.12.2009 itibariyle, AIC Şirketi'nin çıkarılmış sermayesi 750.000.000 TL olup şirket sermayesini temsil eden

Detaylı

Sigorta priminin benzetim yöntemi ile belirlenmesi ve otomobil sigortası örneği

Sigorta priminin benzetim yöntemi ile belirlenmesi ve otomobil sigortası örneği www.istatistikciler.org İstatistikçiler Dergisi: İstatistik&Aktüerya 7 (2014) 20-28 Đstatistikçiler Dergisi: Đstatistik&Aktüerya Sigorta priminin benzetim yöntemi ile belirlenmesi ve otomobil sigortası

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Zaman Serileri. IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören

Zaman Serileri. IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören Zaman Serileri IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören Zaman Serisi nedir? Kronolojik sırayla elde edilen verilere sahip değișkenlere zaman serisi adı verilmektedir. Genel olarak zaman serisi,

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

Alternatif Akım Devre Analizi

Alternatif Akım Devre Analizi Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Emre ÖZER Alternatif Akımın Tanımı Zamaniçerisindeyönüveşiddeti belli bir düzen içerisinde (periyodik) değişen akıma alternatif akımdenir. En bilinen alternatif akım

Detaylı

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir. BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar. 9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 1 Konum ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri Verilerin ortalamaya göre olan gruplanması nasıl?

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Projenin Adı: İstatistik yardımıyla YGS ye hazırlık için soru çözme planlaması

Projenin Adı: İstatistik yardımıyla YGS ye hazırlık için soru çözme planlaması Projenin Adı: İstatistik yardımıyla YGS ye hazırlık için soru çözme planlaması Projenin Amacı : YGS de başarılı olmak isteyen bir öğrencinin, istatistiksel yöntemler çerçevesinde, sınavda çıkan soru sayısını,

Detaylı

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık 1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,

Detaylı

Örneğin bir önceki soruda verilen rüzgâr santralinin kapasite faktörünü bulmak istersek

Örneğin bir önceki soruda verilen rüzgâr santralinin kapasite faktörünü bulmak istersek KAPASİTE FAKTÖRÜ VE ENERJİ TAHMİNİ Kapasite faktörü (KF) bir santralin ne kadar verimli kullanıldığını gösteren bir parametredir. Santralin nominal gücü ile yıllık sağladığı enerji miktarı arasında ilişki

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME

EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME GİRİŞ Bu bölümde benzetim için excel örnekleri önerilmektedir. Örnekler excel ile yapılabileceği gibi el ile de yapılabilir. Benzetim örnekleri

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı