Pareto Dağılımının Parametrelerinin Đlerleyen Tür Tip-II Sağdan Sansürlü Örneklemlere Dayalı En Küçük Kareler Tahmini

Transkript

1 İstatistikçiler Dergisi 5 (202) Đstatistikçiler Dergisi Pareto Dağılııı Paraetrelerii Đlerleye Tür Tip-II Sağda Sasürlü Öreklelere Dayalı E Küçük Kareler Tahii Buğra Saraçoğlu Selçuk Üiversitesi Fe Fakültesi Đstatistik Bölüü Kapüs, Koya, Türkiye, bugrasarac@selcuk.edu.tr Özet Bu çalışada, Pareto dağılııı paraetrelerii ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü öreklelere dayalı e çok olabilirlik (EÇO) ve e küçük kareler (EKK) tahi edicilerii yaları, hata kareler ortalaaları ve varyasları Mote Carlo siülasyo çalışası yardııyla karşılaştırıldı. Ayrıca, değişik sasür şeaları içi Pareto dağılııı β paraetresi içi EÇO tahi edicisii kullaılası, λ paraetresi içi ise EKK tahi edicisii kullaılası gerektiği soucua ulaşılıştır. Aahtar Sözcükler: Đlerleye tür sasürlee, e çok olabilirlik (EÇO) tahi edicisi, e küçük kareler (EKK) tahi edicisi, Hata kareler ortalaası (HKO), Pareto dağılıı, Mote Carlo siülasyou. Abstract Least Squares Estiatio of Paraeters of Pareto Distributio Based o Progressive Type-II ight Cesored Saples I this study, bias, ea square error (MSE) ad variaces of axiu likelihood (ML) ad least squares (LS) estiators based o progressive type-ii right cesored saples for paraeters of Pareto distributio are coparised by usig Mote Carlo siulatio ethod. Moreover, it is cocluded that used MLE for paraeter β ad LSE for paraeter λ of Pareto distributio for various cesorig schees. Keywords: Progressive type-ii right cesorig, Maxiu likelihood estiator (MLE), Least squares (LS) estiator, Mea square error, Pareto distributio, Mote Carlo Siulatio.. Giriş Bir sistei güveilirliği içi souç çıkarıı yaparke sistei oluştura tü bileşeleri bozula zaalarıı gözleleek her zaa ükü olayabilir. Öreği; bir kliikte tedavi göre hastalara ilişki veriler, eksiksiz gözleeeyebilir veya pahalı bir elektroik parçaı yaşa zaaı hakkıda bilgi ediek içi yapıla yaşa testide, parçaları hepsii bozulalarıı gözleesi, aliyeti ve test zaaıı artıracağıda isteeyebilir. Bu tip durularda, deey yada gözle sorası sasürleiş veri

2 B. Saraçoğlu / İstatistikçiler Dergisi 5 (202) elde edilir. Tıp, biyoloji, sigortacılık, ühedislik, kalite kotrol ve bir çok alada sasürleiş verilerle karşılaşılaktadır. Deey ya da gözleler soucuda değişik sasür türleriyle karşılaşak üküdür. Birici tip sasürlee olarak adladırıla sasürlee odeli, t gibi öcede belirleiş bir zaada öce, sistedeki bozula birileri bozula zaaıı gözleesi duruudur. Đkici tip sasürlee olarak adladırıla sasürlee odeli, biride oluşa bir sistei bozula k biriii bozula zaaıı gözleesi duruudur. asgele sasürlee olarak adladırıla sasürlee odeli ise birileri bozula zaalarıı başka bir rasgele olayda dolayı sasürleesi duruudur ([7],[8]). Đkici tip sasürleei e popüler olaı, ilerleye tür tip-ii sağda sasürleedir. Bu sasürlee odeli şu şekilde izah edilebilir: sayıda bileşei (ayı yaşa zaaı dağılııa sahip) yaşa testie tabi tutulduğu düşüülsü. Sistede eydaa gele. bozula ile rasgele sayıda bileşei sistede çekildiğii, daha sora hayatta kala bileşede, 2. bozula ile rasgele 2 sayıda bileşei sistede çekildiğii ve böylece. bozula ile rasgele sayıda bileşei sistede çekilesiyle bileşei bozula zaaı gözleir. Bu şekilde elde edile hacili öreklee ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü örekle deir [2]. Burada = + i = sasür şeası olarak adladırılır. i biçiidedir ve = (, 2,, ) K : : 2: : < < : : Şekil. Đlerleye tür tip-ii sağda sasürlü örekle plâı < L, olasılık yoğuluk foksiyou f ve dağılı foksiyou F ola dağılıda alıa ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü örekle olak üzere i ortak olasılık yoğuluk foksiyou : :, 2: :,, : : i (, 2,..., ) A f ( x )[ ( )] < < < < < K i F xi, x x2 L x f x x x biçiide verilir, burada; = i= ( ) ( L ) 2 + : : < 2: : < L < : : () A = L (2) şeklidedir. () de = ( 0, K,0) = ( 0, K, ) alıırsa bilie sıra istatistiklerii ortak olasılık yoğuluk foksiyou, alıırsa tip-ii sağda sasürlü sıra istatistiklerii ortak olasılık yoğuluk foksiyou elde edilir. ~ s: :, ortalaalı üstel (stadart üstel) dağılıda alıış ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü s. sıra istatistiği olak üzere bu rasgele değişkee ilişki beklee değer, varyas ve kovaryaslar;

3 B. Saraçoğlu / İstatistikçiler Dergisi 5 (202) s E ( s: : ) =, s =,2,, i= i + K (3) i ( j= j ) 2 s Var ( s: : ) =, s,2,, i = K (4) i= ( j ) i + j= ( : : : : ) ( r s r: : ) Cov, = Var, r < s (5) şeklidedir [2]. Bir sistei güveilirliği iceleirke; ilgileile rasgele değişke yaşa zaaıdır. Bir rasgele değişkei dağılıı, yaşa zaaı dağılıı olarak adladırıla, Weibull, Gaa, Logoral, Pareto I ve Gopertz gibi dağılılar olabilektedir. Bazı dağılılar içi Đlerleye tür tip-ii sağda sasürlee altıda paraetre tahii ile ilgili bazı akaleler ve tezler [3],[4], [5], [6], [7], [8], [], [2] ve [6] olarak sıralaabilir. Đlerleye tür tipii sağda sasürlü örekle duruuda bir sistei yaşa zaaıı Pareto dağılııa sahip bir rasgele değişke olduğu düşüüldüğüde bu dağılıı paraetreleri içi e küçük kareler tahii elde edilesi ve bu tahi edicii e çok olabilirlik tahi edicisiyle karşılaştırılası ve hagi tahi edicii kullaılası gerektiğii öerek tahi problei içi çok öelidir. Pareto Dağılıı ilk olarak [3] tarafıda ortaya atılıştır. rasgele değişkei, Pareto I dağılııa sahip ise, sırasıyla, olasılık yoğuluk ve dağılı foksiyou, λ ( λ+ ) ( x) = λβ x f, x > β > 0, λ > 0 (6) λ λ ( x) = β x F (7) şeklidedir. Bu dağılı gerçekte Pearso Tip-VI dağılııı özel bir halidir. Hazard (bozula) oraı h x = λ x olup azaladır. Pareto I dağılııı beklee değer ve varyası, sırasıyla, ( ) ( ) = λβ( λ ), λ > E (8) { }, λ > ( ) = β λ ( λ ) ( λ 2) Var (9) biçiidedir. Pareto I dağılıı ayı zaada Loax dağılıı olarak da biliir. Pareto I dağılıı içi Pareto I( λ, β ) gösterii kullaılacaktır. Ta örekle duruuda, Pareto dağılııı paraetrelerii tahii kousuda birçok çalışa yapılıştır ([], [0] ve [5] ). Öreklei ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü olası duruuda ise Pareto dağılıı içi paraetre tahii kousuda yapıla bazı çalışalar [8], [9] [4] ve [7] biçiide gösterilebilir. Bu çalışada, Pareto dağılııı paraetrelerii ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü öreklelere dayalı e çok olabilirlik (EÇO) ve e küçük kareler (EKK) tahi edicilerii yaları, hata kareler ortalaaları ve varyasları Mote Carlo siülasyo çalışasıyla karşılaştırıldı. Bu çalışaı ikici bölüüde, I( λ, β ) Pareto dağılııı bilieye paraetrelerii ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü öreklee dayalı e çok olabilirlik ve e küçük kareler tahi edicileri elde ediliştir ve bu tahi edicileri karşılaştırılasıda Mote Carlo siulasyou kullaılıştır.

4 B. Saraçoğlu / İstatistikçiler Dergisi 5 (202) Pareto Dağılııı Paraetrelerii Đlerleye Tür Tip-II Sağda Sasürlü Öreklelere Dayalı Tahii Bu bölüde, Pareto dağılııı paraetrelerii ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü öreklelere dayalı e çok olabilirlik ve e küçük kareler tahii kousu iceleecektir. 2.. E çok olabilirlik tahii < L I( λ, β ) : : 2: : < < : : Pareto dağılııa sahip bir kitlede alıış ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü örekle olak üzere () ve (6) kullaılarak log-olabilirlik foksiyou aşağıdaki gibi elde edilir. ( β λ ) log L, x = i= ( ( ) ) ( ) log A + log λ + λlog β λ + log x, β < x < x < L < x Burada x ( x ::,x 2::,,x:: ) i i: : : : 2: : : : = K ve A, (2) de taıladığı gibidir. Log-olabilirlik foksiyouu λ ve β ya göre türevlerii 0 a eşitleesi soucuda λ ve β paraetrelerii e çok olabilirlik tahi edicileri sırasıyla aşağıdaki gibidir. ˆ β = () : : (0) ˆ λ = i = i i: : ( + ) log( ) log( ˆ β ) (2) biçiidedir [] E küçük kareler tahii Z rasgele değişkei, ortalaalı üstel (stadart üstel) dağılıa sahip bir rasgele değişke olur., Pareto I( λ, β ) dağılııa sahip bir rasgele değişke ise = λ log( ) λ log( β ), I( λ, β ) s: : Pareto dağılııda alıış ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü s. sıra istatistiği olak üzere Z λ log ( ) λ log ( β ) =, stadart üstel dağılıda alıış ilerleye tür tip-ii sağda s: : s: : sasürlü s. sıra istatistiğidir. x, x,..., x, Pareto I( λ, β ) dağılııda alıa ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü öreklei : : 2: : : : gözlee değerleri olsu. Bu çalışada aaç I( λ, β ) tahi etektir. Buu içi Z ( x ) log ( ) s: : s: : s Pareto dağılııı λ ve β paraetrelerii = λ log λ β + ε (3) regresyo deklei göz öüe alısı. egresyo dekleii tahi etek içi gerekli ola z : : örekle değeri, bilieye λ ve β paraetrelerie bağlı olduğuda z s: : değeri gözleeez acak s

5 B. Saraçoğlu / İstatistikçiler Dergisi 5 (202) z s: : değeri yerie tahi değeri kullaılabilir. Bu çalışada z s: : i tahi değeri olarak stadart üstel dağılıda alıış ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü sıra istatistiklerii beklee değerleri z E Z E Z değerleri (3) eşitliği ile kullaılıştır. Yai, s: : = ( s: : ) şeklidedir. Burada ( s: : ) hesaplaabilir. Weibull dağılııı paraetrelerii tahii içi geliştirile yötede [] faydalaarak λ ve β paraetreleri tahi edilebilir. (3) ile verile regresyo deklei paraetrelerie göre lieer değildir. Bu çalışada λ ve β paraetrelerii e küçük kareler tahilerii elde edileside Marquardt algoritası [] kullaılıştır. 3. Siülasyo Çalışası (, ) Pareto λ β dağılııda ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü örekle elde etek içi [3] tarafıda öerile algorita kullaılabilir. Bu algorita aşağıda veriliştir., W, 2 K W bağısız ve ( 0,) W, Düzgü dağılııda alıış birilik bir örekle ve + i j j = i + Vi = Wi, i =,2, K, (4) olak üzere U = V V LV, i =,2, K, (5) i: : i+ biçiide U rasgele değişkei taılası. Bu duruda i: : dağılııda alıış ( ), 2,, olaktadır. So olarak i ( i ) U < U < < U : : 2: : : : L Düzgü ( 0,) = K sasür şealı ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü örekle : : F U : :, i,2,, F, sayı üretilek isteile sürekli dağılıı, dağılı foksiyouu tersidir. O zaa : : < 2: : < L < : :, sürekli F dağılııda alıış sasür şealı ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü örekle olaktadır [3]. = = K rasgele değişkei taılası. Burada ( ) Pareto dağılııı paraetrelerii ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü öreklelere dayalı e çok olabilirlik ve e küçük kareler tahi edicilerii perforaslarıı ya, varyas ve HKO bakııda iceleek ve karşılaştırak içi, λ, β,,, Pareto λ, β dağılııda ilerleye ve k değerleri içi ( ) tür tip-ii sağda sasürlü örekle alıarak 5000 tekrarlı siülasyo çalışası soucuda elde edile souçlar Çizelge ve Çizelge 2 de veriliştir. Bu tablolarda elde edile souçlar aşağıda veriliştir. 4. Souç ve öeriler Bu çalışada, Pareto dağılııı paraetrelerii ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü öreklelere dayalı e çok olabilirlik (EÇO) ve e küçük kareler (EKK) tahi edicilerii ya, HKO ve varyaslarıa ilişki bir Mote Carlo siülasyo çalışası yapıldı ve elde edile souçlar Ekler bölüüdeki Çizelge ve Çizelge 2 de veriliştir. Bu tablolarda elde edile souçlar aşağıda veriliştir. sabit tutulup arttırıldığıda, λ ve β paraetresii EÇO ve EKK tahi edicilerii yaları ve HKO ları azalaktadır.

6 B. Saraçoğlu / İstatistikçiler Dergisi 5 (202) Bütü sasür şeaları içi, β ı EKK tahi edicisii yaı ve HKO sı, EÇO tahi edicisii yaıa ve HKO sıa göre daha büyük elde ediliştir. Dolayısıyla değişik sasür şeaları içi β içi EÇO tahi edicisii kullaılası gerektiği öerilebilir. Bütü sasür şeaları içi, λ ı EKK tahi edicisii yaı ve HKO sı, EÇO tahi edicisii yaıa ve HKO sıa göre daha küçük elde ediliştir. Dolayısıyla değişik sasür şeaları içi λ içi EKK tahi edicisii kullaılası gerektiği öerilebilir. Kayaklar [] B.. Asrabadi, 990, Estiatio i the Pareto distributio, Metrika, 37, [2] N. Balakrisha,. Aggarwala, 2000, Progressive Cesorig: Theory, Methods Ad Applicatios, Birkhauser, Bosto. [3] N. Balakrisha,. A. Sadhu, 995, A Siple Siulatio Algorith For Geeratig Progressively Type-II Cesored Saple, Aerica Statisticia, 49,2, [4] A.C. Cohe, N.J. Norgaard, 975. Progressively Cesored Saplig i the Three- Gaa Distributio Techoetrics [5] A.C. Cohe, 976. Progressively Cesored Saplig i the Three Paraeter Log-Noral Distributio. Techoetrics [6] Z.F. Jahee, Predictio of Progressive Cesored Data Fro the Gopertz Model, Couicatios i Stat.-Siul Cop [7] Kale, B., Đlerleye Tür Sasürleiş Sıra Đstatistikleri:Dağılı Özellikleri Ve Uygulaalar. Yüksek Lisas Tezi, Akara Üiversitesi Fe Bilileri Estitüsü. [8] C. Kus, 2004, Bazı yaşa zaaı dağılılarıı paraetrelerii ta ve sasürlü verilere dayalı tahii, S.Ü. Fe Bilileri Estitüsü, Doktora tezi. [9] C. Kus, C., M.F. Kaya, 2007, Estiatio for the Paraeters of The Pareto Distributio uder Progressive Cesorig, Couicatio i Statistics: Theory ad Methods, 36, 7, [0] H. J. Malik, 970, Estiatio of the Paraeters of the Pareto Distributio, Metrika, 5, [] D. W. Marquardt, 963, A Algorith for Least-Squares Estiatio of Noliear Paraeters, Joural of the Society for Idustrial ad Applied Matheatics, Vol., No. 2, [2] N.. Ma, 97. Best Liear Ivariat Estiatio For Weibull Paraeters Uder Progressive Cesorig. Techoetrics [3] V. Pareto, 897, Cours d ecooie Politique, Vol II, F. ouge, Lausae. [4] S. Parsi, M. Gajali, N. S. Farsipour, 200, Siultaeous Cofidece Itervals for the Paraeters of Pareto Distributio uder Progressive Cesorig, Couicatios i Statistics- Theory ad Methods 39, [5]. E. Quadt, 966, Old ad New Methods of Estiatio ad the Pareto Distributio. Metrika, 0, [6] J. S. White, 969, The Moets of Log-Weibull Order Statistics, Techoetrics, [7] S. J. Wu, 2003, Estiatio For the Two-Paraeter Pareto Distributio Uder Progressive Vesorig with Uifor eovals. J. Statist. Cop.Siul. 73, 2,

7 EKLE B. Saraçoğlu / İstatistikçiler Dergisi 5 (202)

8 B. Saraçoğlu / İstatistikçiler Dergisi 5 (202)