Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI

Transkript

1 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır. Kümeye ait olan şeylere kümenin elemanı denir. Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve simgesi ile gösterilir. Küme üç türlü ifade edilir. EŞĐT KÜMELER Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir. Örneğin = {0, 1, 2, 3} ve = { x 0 x < 4, x Z } kümeleri eşit kümelerdir. ( = ) ir kümesinin eleman sayısı s() olarak belirlenir. s() = 4 gibi. Ya da n() ile belirlenir. 1. Liste Yöntemi : Kümeye ait olan şeyler iki paragraf parantezi içine liste olarak yazılır. (ir eleman küme de ancak bir kez yazılır.) Örneğin; {1, 2, 3, 4} {a, b, c, d, e} kümeleri liste ile yazılmıştır. LT KÜME kümesinin her elemanı kümesinin bir emelanı ise ya nin alt kümesi veya, kümesini kapsar denir. biçiminde gösterilir. Hata! Örneğin = {0, 2, 4} ve = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ise dir. 2. Koşullu Yöntem (Ortak Özellikli Yöntem) : Kümeyi oluşturan şeylerin ortak özellikleri varsa bu yöntemle yazılır. Kümeye ait olan şeyleri bir harfle gösterir, bir çizgi veya (:) koyarak ortak özelliği belirten gerek ve yeter koşuluna uyarız. unu da iki paragraf parantezi arasında gösteririz. = { x 0 < x < 5, x Z } (u kümeni elemanlarının olduğunu görüyoruz.) lt Kümenin Özellikleri : 1. Ø, Her kümesinin bir alt kümesidir. 2. Her küme kendisinin alt kümesidir., (yansıma özelliği) 3., C (geçişme özelliği) 4., = (Ters simetri özelliği) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2 n dir. 3. Şema Đle Gösterme : kümeye ait şeyleri bir kapalı eğri içinde yazarız. Örneğin = {1, 2, 3, 4} ise bunun şema ile gösterimi: şeklindedir. 1 2 Kümenin elemanı ( ) ile belirlenir. Örneğin yukarıdaki küme için 2, 3 gibi. 5 (5, nin elemanı değildir.) 4 3 ÖZ LT KÜME Kendinden başka alt kümelere öz alt küme denir. n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2 n 1 dir. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı: ( n n! r ) = (n r)! r! formülü ile kullanılır. NOT : n elemanlı bir kümede r elemanlı alt kümelerin sayısı n r elemanlı alt küme sayısına eşittir.

2 ir kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin sayısı iki elemanlı alt kümelerinin sayısına eşitse bu küme kaç elemanlıdır? n elemanlı kümede r elemanlı alt kümelerin sayısı n r elemanlı alt kümelerin sayısına eşittir. r = (n r) = n olduğu için = 5, kümesinin eleman sayısıdır. = {a, b, c} kümesinin kaç tane alt kümesi, kaç tane özalt kümesi vardır? lt küme sayısı 2 3 = 8, Öz alt küme sayısı = 7 dir. = {a, b, c, d, e, f} kümesnin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b elemanı vardır? ranılan alt kümelere {b,.,.} biçimindedir. (.) ların yerine kümenin b den başka 5 tane elemanından 2 tanesi gelecektir. O halde; ( 5 2 ) = 5! 3! 2! = tane üç elemanlı alt kümede b vardır. ir kümenin 3 den az elemanlı alt kümelerinin sayısı 16 ise o küme kaç elemanlıdır? 3 den az elemanlı,, bir elemanlı ve 2 elemanlı alt küme sayısı demektir. Küme n elemanlı ise ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) = 16 n! n! 0! + n! (n 1)! 1! 1 + n + n(n 1) 2 + = 16 n! (n 2)! 2! = 16, 2 + 2n + n 2 n = 32 n 2 + n 30 = 0 (n 5) (n + 6) = 0 n = +5 ve n = 6 eleman sayısı negatif olamaz. Kümenin eleman sayısı 5 dir. = { 1, 2, 3, 4, 5, x, y } kümesinin, içerisinde x, y elemanları bulunmayan, dört elemanlı alt kümesi kaç tanedir? x, y elemanları bulunan dört elemanlı alt küme sayısı ( 5 2 ) = 5! 3! 2! = 10. kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı: ( 7 4 ) = 7! 4! 3! = 35 dir. x, y elemanları bulunmayan dört elemanlı küme sayısı : = 25 dir. Dört elemanlı alt kümelerin sayısı, üç elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin kaç tane beş elemanlı alt kümesi vardır? Kümenin eleman sayısı: = 7 dir. O halde yedi elemanlı kümenin 5 elemanlı alt küme sayısı: ( 7 5 ) = 7! 5! 2! = 21 bulunur. SONLU KÜME Kendi öz alt kümelerinden hiçbiri ile 1 1 eşlenemeyen kümelere sonlu küme denir. Örneğin = {1, 2} kümesi sonlu kümedir. Öz alt küme sayısı 31 olan bir kümenin 3 elemanlı alt kümesi kaç tanedir? (u küme sonlu mudur?)

3 n elemanlı kümenin öz alt kümesi 2 n 1 = 31 2 n = 32 = 2 5 n = 5 bulunur. u küme sonludur. 5 elemanlı kümenin üç elemanlı alt küme sayısı ise ( 5 3 ) = 5! 3! 2! = 10 bulunur. ĐRLEŞĐM ( ) : KÜMELERDE ĐŞLEMLER Tanım : ve kümelerinin birleşimi : = { x : x veya x } dir. Örneğin = {a, b, c} = {a, b, c, d, x, y} dir. Şema ile a b = {c, d, x, y} ise taralı bölge dir. ĐRLEŞĐMĐN ÖZELLĐKLERĐ ( ) 1. = 2. = (Değişme) c d x 3. ( ) C = ( C) (irleşme) 4. = = 5. ( ) = 6. ( ) ( C) ( C) (Her C için) 7. ( ) ( C) (Her C için) 8. ( = ) ( C) = ( C) (Her c için) 9. ( C) = ( C) olması = olmasını gerektirmez. 10. ( C) ( C) olması olmasını gerektirmez. (9. ve 10. da görüldüğü gibi birleşimde sadeleşme özelliği yoktur.) y dır. KESĐŞĐMĐN ÖZELLĐKLERĐ ( ) 1. = 2. = = 3. = (Değişme) 4. ( ) C = ( C) (irleşme) 5. (Α ) = 6. ( ) ( C) ( C) ( C, için) 7. ( ) ( C) ( C, için) 8. ( ) ( C) ( D) ( C, D için) 9. ( = ) ( C) = ( C) ( C, için) 10. ( C) = ( C) olması = olmasını gerektirmez. 11. ( C) ( C) olması olmasını gerektirmez. Not: Kesişimin eşitlik ya da alt küme olmada sadeleşme özelliği yoktur. Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği vardır. «(» C) = ( «)» ( «C) irleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği vardır.» ( «C) = (» ) «(» C) ve kümelerinin birleşimlerinin eleman sayıları s(» ) = s() + s() s( «) KESĐŞĐM ( ) ve kümelerinin kesişimi: = { x x ve x } Örneğin = { 1, 2, 3, 4} ve = {1, 3, 5, 7, 9} = {1, 3} tür. Şema ile nin gösterimi,, C kümelerinin birleşiminin eleman sayısı : C s(»»c)=s()+s()+s(c) s(«) s(«c) s(«c)+s(««c)

4 YRIK KÜMELER = ve ayrık kümedir. yrık kümelerde s(» ) = s() + s() EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME Verilen kümeyi alt küme kabul eden kümeye onun evrensel kümesi denir. E ile gösterilir. Örneğin, = {0, 1,2 3, 4} ise E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, veya E = {x x 0 x < 20, x N} ya da E = N olarak alınabilir. ir sınıfta bulunan öğrencilerin tümü voleybol veya basketboldan en az birini oynamaktadır. 21 öğrenci voleybol, 24 öğrenci basketbol ve 7 öğrenci de herikisini de oynadığına göre bu sınıfta kaç öğrenci vardır? V: Voleybol oynayanların kümesi, : asketbol oynayanların kümesi ise, s(v ) = s(v) + s() s(v ) = = 38 bulunur. Venn şeması ile çözün: Önce ikisini oynayanlar yaz l r. Not: Evrensel küme verilmemiş ise biz en dar olanını tercih ederiz. TÜMLEME ir kümesinin elemanı olmayıp da onun evrensel kümesinin elemanlarından oluşan kümeye nın tümleyeni denir. Ve ' yada ~ biçiminde gösterilir. ' E V (S() = = 17) (S(V) = = 14) E = {0, 1, 2, 3,, 5} ve = {0, 2, 4} ise nın tümleyeni; ' = {1, 3, 5} kümesidir. s(v ) = = 38 bulunur. ir spor kulübünde futbol oynayan 60, voleybol oynayan 42 ve basketbol oynayan 40 kişi vardır. u kulüpte futbol voleybol oynayan 18, futbol basketbol oynayan 16, her üçünü de oynayan 14 kişi bulunuyor. u kulüpte kaç sporcu vardır? s(f V) = = 102 sporcu Venn şeması ile çözüm: Venn şeması ile çözümde daima en çok kesişen bölgeden başlanır. Oyuncu sayıları şekilde görüldüğü gibi yerleştirilir. Toplamı = 102 bulunur. F V TÜMLEME ÖZELLĐKLERĐ 1. (')' = 2. ' = E 3. E' = 4. ( )' = ' ' 5. ( )' = ' ' 6. ' ' 7. = = ' ve ' 8. ' = E 9. ' =

5 FRK KÜMELERĐ ve kümelerinin farkı \ = {x x ve x } olarak tanımlanır. Örneğin; = {1, 2, 3, 4} ve = {1, 3, 4} ise \ = {2, 4} ( \ ) \ C nin eşiti aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) ' C' ) \ ( C) C) ( C)' D) ( \ ) C' E) C' \ / = {x 2 x < 7, x R} = {x 5 < x 11, x R} ise \ kümesini bulunuz? (\) \ C = ( \ ) C' = ( ') C' = (' C') = ( C)' = \ ( C) urada bulunan eşitlikler,, C, D seçeneklerinde var. O halde Cevap : E dir. ve kümelerini reel sayı ekseninde gösterelim C \ = {x 2 x 5 x R} unu x [2; 5] şeklinde de gösterebiliriz. Taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir? ) C ) ( C)' C) ( C)' C D) ( C)' E) ( C)' FRK KÜMELERĐNDE ÖZELLĐKLER 1. \ = 2. \ = 3. \ = 4. \ = ' 5. (\) = 6. ( \ ) = 7. ( \ )' = ' 8. ( \ ) ( \ ) = ( ) \ ( ) 9. ( \ ) = \ 10. ( \ ) = 11. ( \ ) ( ) = Taralı bölge nin içinde ile C nin dışında olduğu için ( C)' cevapdır. Cevap : D s( \ ) = 5, s( ) = 2 ise s() nın eşiti nedir? ) 3 ) 4 C) 5 D) 6 E) 7

6 5 2 ( \ ) ( ) = olduğu için s() = = 7 bulunur. Cevap : E s(') = 13, s(') = 10 ve s() = 8 ise s() kaçtır? s() + s(') = s(e) O halde s(e) = = 21 dir. s() + s(') = s(e) olduğundan s() = = 11 bulunur. s() = 2s(), s( \ ) = 10 ve s( ) nin alt kümelerinin sayısı 16 ise kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 15 ) 16 C) 17 D) 18 E) 20 KONU TESTĐ = {a, b, c, {a, b} } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) {a, b} ) { {a, b} } C) {a, b} D) {a, b, c} E) {a} ( \ ) ( ) = olduğu için = s() ve s() = 1 2 s() olduğundan s() = 7; s( \ ) = 3 bulunur. unları Venn şemasına yerleştirirsek s( ) = 17 Cevap : C 2. {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde üç elemanlı alt küme kaç tanedir? ) 6 ) 10 C) 15 D) 18 E) 32 ir E evrensel kümesinde verilen ve kümeleri için s() + s(') = 18, s() + s(') = 24 ise bu evrensel küme kaç elemanlıdır? ) 20 ) 21 C) 22 D) 23 E) {1, 2, 3, 4, e} kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde e elemanı vardır? ) 4 ) 5 C) 6 D) 10 E) 15 S() + s(') = s(e) ve s() + s(') = E olduğu için verilenleri taraf tarafa toplayalım. s() + s( ) = 18 + s( ) +s() = 24 s() + s( ) + s() + ( ) = {a, b, c, d, e, x, y} kümesinin beş elemanı alt kümelerinin kaç tanesinde x ve y elemanı yoktur? ) 10 ) 11 C) 12 D) 14 E) 16 2 s(e) = 24 s(t) = 21 bulunur. Cevap : 5. Üçten az elemanlı alt kümelerinin sayısı 22 olan küme kaç elemanlıdır? ) 9 ) 8 C) 7 D) 6 E) 5

7 6.,, C kümeleri için aşağıdaki gerektirmelerden hangisi yanlıştır? ) ( C) ) ( C) C C) C D) ( C) ( C) E) ( ) = ( C) = 11. ir kümenin iki elemanlı alt kümelerinin sayısı üç elemanlı alt kümelerinin sayısına eşitse bu küme kaç elemanlıdır? ) 3 ) 4 C) 5 D) 6 E) 8 7. s() = s( ) ise aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. = II. = III. IV. V. = 12. Öz alt küme sayısı 127 olan bir kümenin üç elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? ) 8 ) 21 C) 35 D) 36 E) 42 ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. ir sınıfta bulunan öğrenciler futbol ve voleyboldan en az birini oynuyor. u sınıfta 27 kişi futbol, 20 kişi voleybol ve 11 kişi de her ikisini de oynuyor. Futbol oynamayan yalnız voleybol oynayan öğrenciler, tüm sınıfın kaçta kaçıdır? ) 1 3 ) 1 4 C) 1 5 D) 2 5 E) Öz alt küme sayısı 63 olan bir kümesinde a, b, c elemanları vardır. kümesinin beş elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a, b, c elemanları vardır? ) 1 ) 3 C) 4 D) 5 E) 6 9. ve dersanelerine giden 136 öğrenciden 60 ı dersanesine gidiyor. dersanesine gitmeyen 40 kız öğrenci vardır. dersanesine giden kaç erkek öğrenci vardır? ) 26 ) 30 C) 36 D) 40 E) = {1, 2, 3, 4}, = { x 2 < x < 7, x N} ise kümesi hangisidir? ) {x 0 < x < 7 x N} ) {x 1 < x 6 x N} C) {1, 2, 3, 4, 5} D) {x 0 < x < 7 x R} E) {x 0 < x < 7 x R} 10. = {x (x 5) (x 2 1) = 0 x R} kümesinin boş olmayan öz alt küme sayısı kaçtır? ) 6 ) 7 C) 8 D) 14 E) dan 317 ye kadar (317 dahil) sayılardan kaç tanesi 3 veya 7 ile bölünebilir? ) 13 ) 41 C) 95 D) 123 E) 126

8 16. ir yolcu bulunan bir uçakta 20 si Đngilizce, 16 sı Fransızca ve 13 üde lmanca biliyor. ncak bunlardan 7 si Đngilizce ve Fransızca, 6 sı Fransızca ve lmanca bilmekte. 5yolcu da bu üç dilden hiç birini bilmiyor. u uçakta üç dili bilen kaç yolcu vardır? ) 2 ) 3 C) 4 D) 5 E) (' ) kümesinin eşiti hangisidir? ) ) ' C) ' D) E) 18. s( ) s() = s() ise aşağdakilerden hangisi doğrudur? ) = ) = C) = D) = E) = 19. Şekilde taralı bölge hangisidir? ) C ) ( C) ' C) ( ) C' D) ( ) C' E) C C 20. = [ 1, 4], = (2, 8] ise \ kümesi hangisidir? ) [ 1, 2] ) [ 1, 2) C) [2, 4] D) (4, 8] E) [ 1, 8]