MAK669 LINEER ROBUST KONTROL

Transkript

1 MAK669 LINEER ROBUS KONROL Prof.Dr. Selim SİVRİOĞLU 7..4

2 Kararlılık analizi eorem :( Hurwitz) A Bu lineer sistemi sadece ve sadece bütün kökleri sol yarı düzlemde ise kararlıdır yani Re{ ( A)}, i i A gibi bir matris böyle bir özelliğe sahipse "kararlı" veya Hurwitz denir. Karekteristik denklemin kökleri si A bulunur.

3 Sistem kararlılığı d An essential issue in controlsystems design is the stability. An unstable system is of no practical value. his is because any control system is vulnerable to disturbances and noises in a real work environment, and the effect due to these signals would adversely affect the epected, normal system output in an unstable system. r + - e + u Ks () + Gs () y When a dynamic system is just described by its input/output relationship such as a transfer function (matri), the system is stable if it generates bounded outputs for any bounded inputs. his is called the bounded-input-bounded-output (BIBO) stability. For a linear, timeinvariant system modeled by a transfer function matri (G(s) ), the BIBO stability is guaranteed if and only if all the poles of G(s) are in the open-left-half comple plane, i.e. with negative real parts. G( s) C( si A) B D (I)

4 Sistem kararlılığı When a system is governed by a state-space model such as (II), a stability concept called asymptotic stability can be defined. A system is asymptotically stable if, for an identically zero input, the system state will converge to zero from any initial states. For a linear, timeinvariant system described by a model of (II), it is asymptotically stable if and only if all the eigenvalues of the state matri A are in the open-left-half comple plane, i.e. with positive real parts. ( t) A( t) Bu( t) y( t) C( t) Du( t) (II)

5 Lyapunov kararlılık tanımıyörüngesel kararlılık he concept of Lyapunov stability is one of the most prominent and fundamental in dynamics and control. It is primarily concerned with analyzing behavior of system trajectories near equilibrium but without eplicit computation of those solutions. System stability can be interpreted as a continuity of the system trajectories, with respect to initial conditions, over infinite time interval. he keywords here are over infinite time interval. hey highlight the difference between the notions of the stability and continuity on initial conditions. 5

6 Lyapunov kararlılık analizi Sistemin aşağıdaki şekilde tanımlandığını düşünelim. f (, t) () Burada durum vektörüdür ve f (, t) elemanlarının,,, ve t nin fonksiyonu olduğu bir n-vektördür. n Denklem () deki sistemin verilen bir başlangıç değerinde başlayan tek bir çözümü olsun. Bu çözümü t gözlemlenen zaman olmak üzere ( t ;, t ) olarak gösterelim. Burada, t t dir. Buradan ( t ;, t ) yazılabilir.

7 Lyapunov kararlılık analizi Denge durumu: () sisteminde gibi bir durum vektorü e f (, t) (bütün t değerleri için) () e sağlıyor ise sistem denge durumundadır denir. Eger sistem lineer ve zamandan bağımsız bir sistem ise f (, t) e A tek bir denge durumu vardr ı ( A singüler degil ise). Eger A singüler ise sonsuz sayıda denge durumu vardır. Nonlineer sistemlerde bir veya birden çok denge durumu olabilir. Bu durum değişkenleri sistemin sabit çözümlerine karşılık gelir ( bütün t değerleri için). e Denge durumlarının bulunması sistemin deferansiyel denklemini yani denklem () in çözümünü gerektirmez fakat sadece () denkleminin çözümünü gerektirir.

8 Lyapunov kararlılık analizi Lyapunov anlamında kararlılık: e gibi bir denge durumu etrafını yarıçapı k olan küresel bir bölge ile gösterelim. k e [( ) ( ) ( ) ] Euclidean norm / e e e n ne S( ) bölgesi aşağıdaki bütün noktalardan ibaret olsun: e S( ) e S( ) bölgesi de aşağıdaki bütün noktalardan ibaret olsun: S( ) ( t;, t ) t t için e 8

9 Lyapunov kararlılık analizi Kararlı ( t;, t ) Kararsız e () denklemindeki sistemin gibi bir denge durumu olsun. e Eger zaman t sonsuza doğru artarken S( ) bölgesinde başlayan S( ) bölgesini terk etmeyen S( ) yörüngesi var ise Lyapunov anlamında kararlıdır denir. reel sayısı genelde sayısına ve t bağlıdır. Eğer sayısı t bağlı değilse denge durumu uniform olarak kararlı denir. 9

10 Lyapunov kararlılık analizi Asimptotik Kararlı Asimptotik Karalılık: Zaman t sonsuza doğru artarken S( ) bölgesi içinde başlayan her çözüm S( ) terketmeden kararlıdır denir. ( t) t e yakınsıyor ise sistem asimptotik

11 Lyapunov kararlılık analizi Kararlı Asimptotik Kararlı Kararsız

12 Lyapunov kararlılık analizi Küresel bölgede her bir durum değişkeninin ve tanımlı bölgelerin düzlem üzerindeki iz düşümü:

13 Lyapunov kararlılık analizi Let ( t; ) denote a solution of () with the initial condition ( t ). Suppose that this solution is unique and eists on a finite, possibly open-ended interval [ t, ). he continuity property of ( t; ) due to changes in can be described as follows: Given any positive constant, there must eist a sufficiently small positive constant >, such that for all perturbed initial conditions with, the corresponding perturbed solution ( t; ) deviates from the original by no more than, that is, ( t; ) ( t; ), for all t t. Figure illustrates the continuity property for a scalar system. 3

14 Lyapunov kararlılık analizi f (, t) f (, t) bütün t değerleri için sistemi eğer aşağıdaki şartları sağlayan bir Layapunov fonksiyonu var ise asimtotik kararlıdır. V ( ) V ( ) V ( ) V ( ) 4

15 Lyapunov kararlılık analizi Pozitif tanımlı(positive definite) skalar fonksiyon: V ( ) skalar fonksiyonu sıfır olmayan bütün durum değişkenleri için V ( ) sağlıyorsa pozitif tanımlıdır denir. Sadece durum uzayının orijininde V ( ). Negatif tanımlı skalar fonksiyon: Eğer V ( ) pozitif tanımlı ise V ( ) negatif tanımlıdır denir. Pozitif yarı tanımlı(positive semidefinite) skalar fonksiyon: V( ) fonksiyonu orijinde ve bazı durum değişkenlerinde sıfır olup diğer bütün durum değişkenlerinde pozitifse pozitif yarı tanımlıdır denir. anımsız skalar fonksiyon: Hem pozitif ve hemde negatif değerler alıyorsa V() tanımsız skalar fonksiyon denir. V ( ) pozitif tanımlı V ( ) ( ) pozitif yarı tanımlı V ( ) (3 ) negatif tanımlı V ( ) tanımsız 5

16 Lyapunov kararlılık analizi sisteminin asimtotik kararlı olduğunu gösteriniz. - ( ) ( ) sisteminin asimtotik kararlı bir sistem olup olmadığını gösteriniz. 6

17 Ödev - - ( ) ( ) sisteminin asimtotik kararlı bir sistem olup olmadığını gösteriniz. 6 5 sisteminin V 6 V 3V 3 aday Lyapunov fonksiyonlari icin asimtotik kararlı olup olmadiğini gösteriniz. 7

18 Lineer sistemlerin Lyapunov kararlılık analizi A (I) lineer bir sisteminin asimptotik kararlı olması için A matrisinin bütün özdeğerlerinin negatif reel kısımlara sahip olması veya karakteristik denklemin n n si A s as an s an kökleri negatif reel olmalıdır. Lyapunov yaklaşımı cebirsel bir yaklaşımdır ve karakteristik denklemin bulunmasını gerektirmez. Eğer A singüler olmayan bir matris ise ve bu durumda denge durumu sadece orijin dir. 8

19 Lineer sistemlerin Lyapunov kararlılık analizi Durum uzayı denklemi (I) için aşağıdaki Laypunov denklemini seçelim: V ( ) P V( ) pozitif tanımlı seçildiğinden asimptotik kararlılık için fonksiyonun türevi V( ) negatif tanımlı olmalıdır. Bu yüzden P pozitif tanımlı reel bir matris. reel bir vektör ve A reel bir matris olarak kabul ediyoruz. V( ) zamana bağlı türevi: V ( ) Q olacak şekilde seçilebilir. Bu durumda V ( ) P P ( A) P PA A P PA A P PA Q A P PA Q A P PA pozitif tanımlı 9

20 Lineer sistemlerin Lyapunov kararlılık analizi Verilen yaklaşımda: P Q pozitif tanımlı seçiliyor pozitif tanımlı mı diye kontrol ediliyor Eger Q pozitif tanımlı seçilir P nin pozitif tanımlı olup olmadığına karar verilirse AP PA Q Q I seçilirse A P PA I

21 Lineer sistemlerin Lyapunov kararlılık analizi Örnek: sisteminin kararlı olup olmadığını Lyapunov analizi ile bulunuz. V ( ) P A P PA I p p p p p p p p p p 3/ / p p / p p p p p p p p p p p p 3 3/ /, pozitif tanımlı / p p 3 p p p p p p p

22 Lineer sistemlerin Lyapunov kararlılık analizi P yerine yazılırsa Lyapunov fonksiyonu: 3 V ( ) P (3 ) Lyapunov fonksiyonunun türevi elde edilirse: V( ) (3 ) ( ) (3 V d V dt d dt ) ( ) (3 ) ( ) ( ) ( ) A V ( ) ( )

23 Mekanik sistemler ve Lyapunov fonksiyonu m y k y c y k ( y y ) c ( y y ) m y k ( y y ) c ( y y ) m y c c c y k k k y m y c c y k k y y y c m m c k k Mq Cq Kq q y y KE ( m y m y ) [ PE k y k ( y y ) ] kinetik enerji denklemi potansiyel enerji denklemi E ( k y k ( y y ) m y m y ) toplam enerji denklemi

24 Mekanik sistemler ve Lyapunov fonksiyonu A q I, A q M K M C K V P, P pozitif tanımlı secilsin. M V y y y y k k k y k k y m y m y y y ( k k ) y k y k y k y m y m y y y ( k y k y k y y k y y k y m y m y ) ( k y k( y y ) m y m y ) k ( y y ) Lyapunov fonksiyonu mekanik sistemlerde örnekte oldugu gibi sistemin toplam enerji ile ilişkilendirilebilir. oplam enerji

25 Mekanik sistemler ve Lyapunov fonksiyonu Seçilen P ve sistem matrisi A aşağıdaki eşitliği sağlaması için Q: A P PA Q Q C Mekanik bir sistemde Lyapunov olarak bulunur. Bu sonuçtan Q pozitif fakat singuler fonksiyonunun türevinin olduğundan dolayı Lyapunov kararlılık kriteri olarak A sisteminin kararlı olduğunu ispatlm a az. V çok küçük bir sayı olmak üzere ve P aşağıdaki şekilde olması demek sistemin toplam seçilirse: enerjisinin azalması anlamındadır. K C M K C M P Dolayısı ile sistemin toplam M M M M P pozitif tanımlı bir matrit s ir. Bu durumda Q enerjisinin zamanla azalması kararlı bir sistem oldugunu gösterir. K Q C M olarak bulunur. Yeterince küçük için CM pozitif tanımlı aynı zamanda Q pozitif tanımlıdır. Bu nedenle A sistemi kararlıdır.

26 Kontrol edilebilirlik anım: A Bu şeklindeki dinamik bir sistem veya ( A, B) matris çifti herhangibir zamanında ve herhangibir () başlangıç şartında iken eğer sistem durum vektörünü t ( t ) gibi sonlu bir değere yaklaşmasını sağlayan ut ( ) gibi bir giriş varsa kontrol edilebilirdir. Diğer durumlarda ( A, B) kontrol edilebilir değildir. 6

27 Kontrol edilebilirlik Durum uzayı denkleminin cevabı ( t t ) t e t e Bu d A( tt ) At ( ) ( ) ( ) ( ) t t (A) t t zamanında t ( ) olmasını sağlayan özel bir giriş aşağıdaki şekilde olsun ut ( ) gibi A ( tt ) A t ( ) ( ) ( ) u t B e W t e A ( tt ) A t Be t e c ( e ) BB e A A d (B) Burada W c ( t) kontrol aşağıdaki şekilde tanımlıdır: edilebilirlik Gramian matrisidir ve t A A Wc ( t) e BB e d 7

28 Kontrol edilebilirlik (A) denkleminde (B) yerine yazılır ve t t, t, ( t ) At ( t ) e t A( t ) A ( t ) A t e BB e ( e ) d t A( t ) A ( t ) e BB e d t e e A t A t ( ) ( ) ( t ) 8

29 Kontrol edilebilirlik matrisinin elde edilmesi Bir önceki çözüm özel bir durum için yapıldı. Genel kontrol edilebilirlik için durum uzayı denkleminin çözümünü düşünelim: t e t e Bu d A( tt ) At ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t, t ve durum uzayının alacağı son değer t ( ) kabul edersek: At A( t ) ( t ) e () e Bu( ) d t At A( t ) e () e Bu( ) d t e e Bu At A( t ) () ( ) t d t A () e Bu( ) d elde edilir.

30 Kontrol edilebilirlik matrisinin elde edilmesi At e ( t) I ( t) A ( t) A ( t) A, ( k,,, m ) oldugundan m m e A n k k ( ) A yazılabilir. k t A k () e Bu( ) d () ( ) A Bu( ) d n k () A B ( ) u( ) d t k n k t ( ) u( ) d kabul edilirse () k A B n B AB A B Kontrol edilebilirlik matrisi n k k t n k k

31 Kontrol edilebilirlik matrisi Bir sistemin kontrol edilebilir olduğunu test etmenin bir çok yolu olmakla birlikte birinci yöntem kontrol edilebilirlik matrisinin rankına bakmaktır. ( AB, ) sisteminin kontrol edilebilir olması için edilebilirlik matrisi sadece ve sadece kontrol n M B AB A B rankının n (tam rank) olması gerekir. Burada n durum değişkeni sayısıdır. 3

32 Kontrol edilebilirlik Gramian matrisi Bir sistemin kontrol edilebilirligini hesaplamanin diger bir yolu kontrol Gramian matrisinin hesaplanmasıdır. ( A, B) sisteminin kontrol edilebilir olması için t herhangibir zaman için sadece ve sadece Gramian matrisi Wc ( t) nin tam rank(pozitif tanımlı) olması gerekir. Kararlı bir sistem için P W c ( ) şeklinde kabul edebiliriz yani ( AB, ) sisteminin kontrol edilebilir ise kontrol edilebilirlik Gramian: t A A P e BB e d pozitif tanımlı P ve tam ranka sahiptir. P aşağıdaki Lyapunov denkleminin çözümünden elde edilir. AP PA BB

33 Kontrol edilebilirlik Örnek : u 3 5 y AB n 3 n M B A B rank(m)= sistem kontrol edilebilirdir.

34 Kontrol edilebilirlik u 3 5 y Örnek : kontrol edilebilirligini kontrol Gramian matrisi ile bulunuz. % ornek A=[ - ; 3-5]; B=[;]; C=[ -]; D=; %Kontrol edilebilirlik sys=ss(a,b,[],[]); Wc=gram(sys,'c') n=rank(wc) % Lyapunov denklemi kullanarak Wc=lyap(A,B*B') n=rank(wc)

35 Çıkış kontrol edilebilirlik A Bu y C Du Eger u(t) kontrol girişi t t t zaman aralığında verilen herhangi bir y( t ) başlangıç çıkış değerinden y( t ) herhangi bir sonlu çıkış değerine transer ediyorsa kontrol sistemi çıkış olarak kontrol edilebilirdir. n M C CB CAB CA B CA B D çıkış kontrol edilebilir olması için M n olmalıdır. C m( n) matrisinin rankı

36 Ölçülebilirlik anım: A Bu y C Du şeklindeki dinamik bir sistem veya ( A, C) matris çifti eğer herhangibir t zamanındaki () baslangıç şartı olmak uzere [, t ] zaman aralığında giriş u( t) ve çıkış yt ( ) nin zaman geçmişinden bulunabiliyorsa ölçülebilir denir. Aksi durumlarda ( A, C) ölçülebilir değildir.

37 Ölçülebilirlik matrisi ve Gramianı ( AC, ) sistemi olculebilirlik matrisinin ranki n ise olculebilirdir. C CA N n- CA Ölçülebilirlik Gramiani: t A A W () t e C Ce d o QW o ( ) t A A Q e C Ce d Lyapunov denklemi: A Q QA C C

38 Ölçülebilirlik matrisinin elde edilmesi [, t ] zaman aralığında verilen bir u( t) girişi ve baslangıç şartı için sistemin çıkış cevabı: t y t Ce t Ce Bu d Du t A( tt ) At ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t u( t), t = kabul edilirse: At y( t) Ce () e At n k k ( t) A olduğundan n k y( t) ( t) CA () k k k y t t C t CA t CA n ( ) ( ) () ( ) () n ( ) () C CA y( t) ( t) ( t) n ( t) () n CA

39 Kontrol edilebilirlik ve ölçülebilirliğin fiziksel olarak anlaşılması Sensör Aktüatör. Mod. Mod 3. Mod Sensör ve aktüatorün 3. Modun nodal noktasına yerleştirilmesinden dolayı 3. Modun hem kontrol edilebilirliği hemde ölçülebilirliği yoktur.

40 Ölçülebilirlik örneği Şekildeki sistem birbirine yay ile tutturulmuş iki kütleyi göstermektedir. Kütleler sürtünmesi olmayan bir yüzey üzerinde hareket etmektedir. Hareket denklemi: 3 4 mq k( q q ) mq k( q q ) q, q, q, q degisken donusumu yapilirsa: A 3 k / m k / m 3 k / m k / m 4 4 İki farklı ölçüm matrisi durumu için ölçülebilirliği hesaplayalım. y 3 y N C CA CA 3 CA rank( N) Ölçülebilir değil N Yari tanımlı(semidefinite) sistem q m k C CA CA CA -4 4 rank( N) 4 q m Sistemde kütle olmasına rağmen tek kütle gibi hareket etme durumu olan sistemlerdir. Bu nedenle yarı tanımlı sistemler olarak isimlendirilmektedir.