ELECTRE Yöntemi 5/21/2015. x ij

Transkript

1 5//5 ELECTRE (ELiminationEt Choi Trauisant la REalité(ELiminationan Choice Epressin REality).) yöntemi ilk kez 966 yılına Beneyoun taraınan ortaya atılmış bir çou karar verme yöntemiir. Yöntem, her bir eğerlenirme aktörü için alternati karar noktaları arasına ikili üstünlük kıyaslamalarına ayanır. Yöntem 8 aıma çözüme ier (Triantaphyllou, ). Instructor: Dr. Yavuz Selim ÖZDEMİR, Assist. Pro. Aım :Karar Matrisinin (A) Oluşturulması Karar matrisinin satırlarına üstünlüeri sıralanmak istenen karar noktaları, sütunlarına ise karar vermee kullanılacak eğerlenirme aktörleri yer alır. A matrisi karar verici taraınan oluşturulan başlanıç matrisiir. Karar matrisi aşağıaki ibi österilir: a a... an a a... a n. Aij.. am a m amn Aım : Stanart Karar Matrisinin (X) Oluşturulması Stanart Karar Matrisi, A matrisinin elemanlarınan yararlanarak ve aşağıaki ormül (.) kullanılarak hesaplanır. ij a m ij k a kj (.) A ij matrisine m karar noktası sayısını, n eğerlenirme aktörü sayısını verir. 3 4

2 5//5 Örneğin X matrisinin elemanını hesaplamak için, A matrisinin a elemanı, matrisin sütun elemanlarının kareleri toplamının kareköküne bölünerek ele eilir. Buraa amaç, bir karar noktası ilili eğerlenirme aktörü ilişkilenirilirken, iğer karar noktaları açısınan ağırlıanırmaktır. Hesaplamalar sonuna X matrisi aşağıaki ibi ele eilir: X ij... m m n n... mn 5 Aım 3: Ağırlıı Stanart Karar Matrisinin(Y) Oluşturulması Değerlenirme aktörlerinin karar verici açısınan önemleri arı olabilir. Bu önem arılıarını ELECTRE çözümüne yansıtabilmek için Y matrisi hesaplanır. Karar verici n öncelieeğerlenirme aktörlerininağırlıarını( w i ) belirlemeliir ( ). DahasonraX matrisininher birsütununakielemanlar ilili eğeriileçarpılaraky matrisi oluşturulur. Y matrisi aşağıa österilmiştir: w w... wn w w... wn.. Yij.... w m wm... wn i w i n n mn 6 Aım 4 : Uyum( C ) ve Uyumsuzluk( D ) Setlerinin Belirlenmesi Uyum setlerinin belirlenebilmesi için Y matrisinen yararlanılır, karar noktaları birbirleriyle eğerlenirme aktörleri açısınan kıyaslanır ve setler aşağıaki ormüle österilen ilişki yarımıyla belirlenir: Formül temel olarak satır elemanlarının birbirlerine öre büyüüerinin karşılaştırılmasına ayanır. Bir çou karar problemineki uyum seti sayısı ( m. m m ) taneir. Çünkü uyum setleri oluşturulurken k ve l inisleri için k l olmalıır. Bir uyum setineki eleman sayısı ise en azla eğerlenirme aktörü sayısı (n ) tane olabilir. C { j y y }, kj lj (.) Örneğin k ve l için C uyum seti için Y matrisinin. ve. satır elemanları karşılıı olarak birbirleriyle kıyaslanır ve eğer buraa 4 eğerlenirme aktörü varsa C uyum seti en azla 4 elemanlı olacaktır. Verilen örnekte. ve. satır kıyaslamasına, 7 8

3 5//5 y > y y < y y 3 < y y 4 y 4 ELECTRE yöntemine her uyumsetine( C ) biruyumsuzlukseti( D ) karşılıkelir. Diğer bir eyişle uyum seti sayısı kaar uyumsuzluk seti sayısı varır. Uyumsuzluk seti elemanları, ilili uyum setine ait olmayan eğerlerinen oluşur. Verilen örnekte C {,4} ise D {,3} elemanlarınan oluşacaktır. ELECTRE yöntemine uyum setlerini oluştururken eğerlenirme aktörlerinin anlamlarına ikkat eilmeliir. Örneğin ilili eğerlenirme aktörü kar ise uyum seti için(.) ormülü kullanılacaktır. Ancak eğerlenirme aktörü maliyet ise bu uruma uyum seti için erek şart y < eşitsizliği olacaktır. kj y lj sonuçlarıyla karşılaşılmışsa (.) ormülüneki şarta j ve j 4 eğerleri uyacak ve C uyum seti C {,4} şeine oluşacaktır. 9 Aım 5 : Uyum(C) ve Uyumsuzluk Matrislerinin(D) Oluşturulması Uyummatrisinin(C) oluşturulmasıiçinuyumsetlerinenyararlanılır. C matrisi mm boyutluur ve k l için eğer almaz. C matrisinin elemanları aşağıaki ormüle österilen ilişki yarımıyla hesaplanır. c w j j C Örneğin {,4} C ise C matrisinin aşağıa österilmiştir: c. C.. c m c c m c c c 3 m3... c m... c m c elemanının eğeri, c w + w4 olacaktır. C matrisi 3

4 5//5 Uyumsuzluk matrisinin (D) elemanları ise aşağıaki ormül yarımıyla hesaplanır: may y kj j D kj j lj may y lj (.4) Örneğin Y matrisinin. ve. satır elemanlarının kıyaslamasınan ( k ve l ) elemanı ele eilir. için, (.4) ormülünün pay kısmına D {,3} uyumsuzluk setini oluşturan j ve j 3 eğerleri ikkate alınır ve y y ve y3 y mutlak ararınan büyük olanı seçilir. Formülün paya kısmı için ise Y matrisinin. ve. satırlarınaki tüm elemanların karşılıı mutlak ararı bulunarak bunlaran en büyük olanı seçilir. 3 4 C matrisi ibi D matrisi e mm boyutluur ve k l için eğer almaz. D matrisi aşağıa österilmiştir:. D.. m m 3 m3... m... m Aım 6 : Uyum Üstünlük (F) ve Uyumsuzluk Üstünlük (G) Matrislerinin Oluşturulması Uyum üstünlük matrisi (F) mm boyutluur ve matrisin elemanları uyum eşik eğerinin (c ) uyum matrisinin elemanlarıyla ( c ) karşılaştırılmasınan ele eilir. Uyum eşik eğerinin (c ) aşağıaki ormül yarımıyla ele eilir: c m( m) m m c k l (.5) 5 6 4

5 5//5 Formüleki m karar noktası sayısını östermekteir. Daha açık bir anlatımla c eğeri, ile C matrisini oluşturan elemanların toplamının çarpımına eşittir. m( m) F matrisinin elemanları ( ), ya ya a eğerini alır ve matrisin köşeeni üzerine aynı karar noktalarını österiğinen eğer yoktur. Eğer c c, eğer c < c ır. Uyumsuzluk üstünlük matrisi (G) e mm boyutluur ve F matrisine benzer şekile oluşturulur. Uyumsuzluk eşik eğeri ( ) aşağıaki ormül yarımıyla ele eilir: mm ( ) m m k l (.6) Diğer bir eyişle eğeri, ile D matrisini oluşturan elemanların toplamının çarpımına mm ( ) eşittir. 7 8 G matrisinin elemanları a ( ), ya ya a eğerini alır ve matrisin köşeeni üzerine aynı karar noktalarını österiğinen eğer yoktur. Eğer, eğer < ır. Aım 7 : Toplam Baskınlık Matrisinin(E) Oluşturulması Toplam Baskınlık Matrisinin(E) elemanları( e) aşağıaki ormüle österiliği ibi ve elemanlarınınkarşılııkarşılaştırılmasına eşittir. BuraaE matrisic ved matrislerinebağlıolarakmmboyutluurveyine yaa eğerlerinenoluşur. 9 5

6 5//5 Aım 8 : Karar Noktalarının Önem Sırasının Belirlenmesi E matrisininsatırvesütunlarıkararnoktalarınıösterir. ÖrneğinE matrisi aşağıaki ibi hesaplanmışsa, E e, e ve e eğerlerini alır. Bu ise. karar noktasının. karar noktasına 3. karar 3 3 noktasının. karar noktasına ve 3. karar noktasının a. karar noktasına mutlak üstünlüğünü österir. Bu uruma karar noktaları A ( i,,..., m ) sembolüyle iae eilirse, karar noktalarının önem sırası A 3, A ve A şeine oluşacaktır. i ElectreI ile ancak çekirek çözüm hesaplanabilir. Bu yönteme en iyi alternatiin hanisi oluğunu belirlemek bazı koşullara mümkün eğilir. En iyi alternatiin belirlenmesi için ElectreII, ElectreIII ve ElectreIV yöntemleri kullanılabilir. ElectreI yöntemi için, uyumluluk ve uyumsuzluk matrislerine öre uyumluluk ve uyumsuzluk sıralaması yapılabilir. -Örnek Bir çou karar problemine 3 karar noktası ve 4 eğerlenirme aktörü bulunmaktaır. Karar verici karar matrisini aşağıaki ibi oluşturmuş ve eğerlenirme aktörlerine ilişkin ağırlıarı ise w,, w, 35, 4 w, 3 ve w, 4 5şeine belirlemiştir. 85 A Karar verici, karar noktalarının önem sırasını nasıl oluşturacaktır? 4 6

7 5//5 -Örnek Öncelie (.) ormülü yarımıyla ( 3 4 ) boyutlu Stanart Karar Matrisi (X) oluşturulmuştur. Buraa eğeri, ,8479 olarak ele eilmiştir. Benzer şekile iğer ij eğerleri hesaplanarak aşağıa österilen X -Örnek,8479 X,349,399,936,398,6459,6965,747,597,5744,54,7898 matrisi tamamlanmıştır Örnek. aıma Ağırlıı Stanart Karar Matrisi (Y) oluşturulmuştur. Bunun için X matrisinin sütunlarınaki eğerler ilili eğerlenirme aktörü ağırlık eğerleri ile çarpılmış ve Y matrisinin sütunları hesaplanmıştır. Örneğin Y matrisinin. sütun eğerleri, y w.,.,8479,696 y w.,.,349,698 y 3 w. 3,.,399,798 -Örnek,696,8,59 Y,698,6,786,798,466,88,87,8,395 şeine bulunabilir. Benzer şekile iğer y ij eğerleri hesaplanarak aşağıa österilen Y matrisi tamamlanmıştır

8 5//5 -Örnek 3. aıma uyum ( C ) ve uyumsuzluk ( D ) setleri oluşturulmuştur. Örneğin k ve j için C uyum seti (.) ormülü kullanılarak aşağıa hesaplanmıştır. y,696> y,698 oluğunan C nin bir elemanıır. j y,8< y,6 oluğunan C nin bir elemanı eğilir. j y,59< y,786 oluğunan 3 C nin bir elemanı eğilir. 3 j y,87> y,8 oluğunan 4 C nin bir elemanıır. 4 4 Bu uruma oluşacaktır. C uyum seti, {,4} j C ve D uyumsuzluk seti {,3} D şeine 9 -Örnek Diğer uyum ve uyumsuzluk setleri aşağıa hesaplanmıştır. k, l 3 {} k, C ve D {,3,4} 3 3 l C {,3} ve D {,4} k, l 3 {} 3 k 3, k 3, C ve D {,,4} l {,3,4} 3 C ve D {} l {,,4} 3 C 3 ve D {} Örnek 4. aıma uyum (C) ve uyumsuzluk (D) matrisleri oluşturulmuştur. C matrisinin elemanları (.3) ormülü yarımıyla hesaplanmıştır. Bu ormüle öre, C matrisinin. satırını oluşturan c elemanı c w + w,+,5, 5 ve c w, olarak bulunabilir. Benzer 4 3 şekile iğer satırlar a hesaplanmış ve C matrisi aşağıaki ibi oluşturulmuştur. -Örnek D matrisinin hesaplanmasına ise uyumsuzluk setlerinen ve (.4) ormülünen yararlanılmıştır. Örneğin için D {,3} uyumsuzluk seti ikkate alınmalıır. Formülün pay kısmı için, j y y,8,6, 3 j 3 y y,59,786, 94 paya kısmı için ise, 3 C,75,8,5,6,,4 3 j y y,696,698, 998 j y y,8,6, 3 j 3 y y,59,786, 94 3 j 4 y y,87,8, hesaplanır. 8

9 5//5 -Örnek Bu uruma, ma ma{,3;,94} {,998;,3;,94;,79},3,3 eğeri ele eilir. Benzer şekile iğer eğerleri e hesaplanarak D matrisi aşağıaki ibi tamamlanmıştır. D,889,64, Örnek 5. aıma uyum üstünlük (F) ve uyumsuzluk üstünlük (G) matrisleri oluşturulmuştur. Öncelie (.5) ormülü yarımıyla c eşik eğeri, c 3.(3 3 (,5+,+,75+,4+,8+,6),5 ) 6 olarak bulunmuş ve F matrisinin elemanları ( ) için kıyaslamalar aşağıaki ibi yapılmıştır. 34 -Örnek,5<,5 3,<,5 3,75>,5,4<,5 3,8>,5 3 -Örnek Bu uruma F matrisi aşağıaki ibi oluşacaktır. F Benzer şekile eşik eğeri e aşağıaki ibi hesaplanabilir. 5,545 (+ +,889+,75+,64+ ),859 3.(3) 6 3,6>, olarak bulunmuş ve G matrisinin elemanları ( ) için kıyaslamalar aşağıaki ibi yapılmıştır. 36 9

10 -Örnek 37 5//5 >,859 3 >,859 3,889 <,859,75 <,859 3,64 <, >, Örnek 39 -Örnek Bu uruma G matrisi aşağıaki ibi oluşacaktır. G 38 Son aıma ise Toplam Üstünlük Matrisi (E) ve elemanları karşılıı olarak birbirleriyle çarpılarak aşağıaki ibi ele eilmiştir. E Bu uruma karar verici karar noktalarının önem sırasını A 3 A > A şeine belirleyecektir. Review & Questions 4