FULLY PLASTIC AND INELASTIC BIAXIAL BENDING OF CROSS-SECTIONS

Transkript

1 Eskişhir Osmangazi Ünivrsitsi ühnislik imarlık Fakültsi Drgisi Cilt : XXV, Saı :, 01 Jornal o Enginring an Architctr Faclt o Eskişhir Osmangazi Univrsit, Vol : XXV, No:, 01 akalnin Gliş Tarihi : akalnin Kal Tarihi : KESİTLERİN TA PLASTİK VE ELASTO-PLASTİK EĞİK EĞİLESİ Yaına hazırlaan. Rhi AYDN ÖZET : B azıa mrhm hocamız Pro. Orhan Ünsaç ın ( ) 1959 ılına İstanl Tknik Ünivrsitsi taraınan 415 saı nmarası il aınlanan Ksitlrin Tam Plastik v Elasto-Plastik Eğik Eğilmsi aşlıklı çalışmasının gnl ir takimi amaçlanmıştır. Aşağıa r alan Hülasa orijinal çalışmaan ann aktarılmıştır. Görülcği gii çalışma olkça kapsamlıır. Torik mkanik alanına önmli ir konmaır. B azıa konnn aha kola anlaşılır olması v rgi ait saa sınırlaması nni il sac ikörtgn ksitlr ait vrilr talı r vrili. Diğr lglara ait özt ilgilr snlmştr. Yazıa mümkün olğnca orijinal mtn ağlı kalını. Sac azı notason v irimlr gii konlara güncllmlr apılmıştır. Yazının ilim tarihimizki glişmlr air ir kanaat olştrmasını v torik mkanik alanına ilgi göstrn öğrnci v mslktaşlarımıza ararlı olmasını morm. ANAHTAR KELİELER : Plastisit, Elasto-plastik avranış, Eğik ğilm. FULLY PLASTC AND NELASTC BAXAL BENDNG OF CROSS-SECTONS ABSTRACT : This papr is prpar as a gnral prsntation o th st titl Unsmmtrical Fll Plastic an Elasto-Plastic Simpl Bning o Bams in 1959 plication o stanl Tchnical Univrsit with rrnc nmr 415 lat Prossor Orhan Ünsaç ( ). Prossor Orhan Ünsaç was or instrctor at th nivrsit; h was a istingish scintist an a tachr. Blow mntion astract titl hülasa (smmar) is cit rom th main st. As it can sn, th st is vr comprhnsiv an valal. Th topic o th st hols an important plac in th il o thortical an appli mchanics. This papr incl onl th ll plastic, lastic or inlastic havior o rctanglar cross-sctions sjct to iaial ning to simplicit o prsntation an nrstaning. A ri commntar is givn or th omitt atrs. This articl ollows th original st closl. Som pats or notations an nits wr ma. This articl will giv th ainc an opinion on th vlopmnts in histor o scinc o th thortical an appli mchanics, an hop it will nicial or stnts an collags. KEYWORDS : Plasticit, nlastic havior, Biaial ning. Eskişhir Osmangazi Ünivrsitsi, ühnislik imarlık Fakültsi, İnşaat ühnisliği Bölümü, şlik Kampüsü, 480 ESKİŞEHİR.

2 80. Rhi AYDN HÜLASA: B azıa mhtli şkillri haiz lnan ksitlrin tam plastik v Elasto-Plastik ğilmsi inclnmktir. alzm (Elasto Plastik pklşmn ial cisim) alınmıştır. İlk olarak ik örtgn ksitlrin tam plastik v Elasto-Plastik ğik ğilm halin tam çözümlri vrilmiş nan sonra azı üçgn v trapz ksitlrin v köş miri, ptrl v U miri gii proillrin inclnmsin gçilmiş v n sona a ksit gomtrisi n gnl rma lnması halin graik çözümlr vrilmiştir.. GİRİŞ Eğik ğilm (iki ksnli ğilm) tkisinki ksitlrin lasto-plastik avranışları il ilgili olarak ilk çalışmalaran irinin 194 ılına P. Cozzon taraınan vrilmiş olan ir aklaşık öntm olğna air çalışmanın giriş ölümün ilgi vrilmktir v 1951 ıllarına H. A. Williams taraınan apılan inclmlr is gn aklaşık öntmlrin kllanılığınan söz ilmktir. Williams çalışmalarına tarasız ksn ğiminin plastisit ilrlikç sait kalığını varsaarak çözüm laşmıştır.. S. Aghaian v E.P. Popov 195 ılına aınlaıkları çalışmaa ir plastiklik rcsi kllanarak çözüm vrmişlrir. A. J. Barrtt in 195 ılı v sonraki çalışmalarına malzm ait grilm- irim şkil ğiştirm ilişkisi için ir kal apılmak srti il çözümlr snlmştr. B litratür taramasınan laşılan ilgi gör çalışmanın apılığı tariht ksin çözümlr lnmamaktaır. Çalışmaa ğik ğilm tkisi altınaki ksitlr ait aşağıaki gliştirmlr apılmıştır: Eğik ğilm tkisinki ksitlrin tam plastik momnt ğrlri ksin öntml l ilmktir, Vriln ir kvvt oğrlts (kvvt çizgisi) için tarasız ksnin konm, ir aşka işl plastik ölglrin lirlnmsi mümkün olmaktaır, Tam plastik hal ğişik kvvt oğrltları için l ilck tam plastik momntlrin gomtrik rin ait ğri il kvvt oğrltsnn ksim noktasınan ğri çizilck tğtin ğiminin tarasız ksnin ğimin şit olğ göstrilmiştir, Ksitin hrhangi ir rin ilk akmanın mana gliği snaaki momnt il (ilk akma momnti) kvvt oğrltsnn ğişimin ait ilişkilr vrilmiştir, Gnl ir ksit ormna sahip olan kapalı ksitlr için tam plastik v lasto- plastik ğilm hallrin ait graik ir çözüm r vrilmiştir.

3 Ksitlrin Tam Plastik V Elasto-Plastik Eğik Eğilmsi 81 Sistm v malzm il ilgili olarak aşağıaki kallr apılmaktaır: 1. Eğilm, asit ğilmir (ksnl kvvt tkisi oktr),. Tam plastik ğilm l ilmsin kaar ksitlr üzlm olarak kalır,. alzm pklşmn lasto-plastik ial cisim avranışı göstrir, 4. Çkm v asınç grilmlri altına malzmnin mkanik özlliklri arklılık göstrmz.. DİKDÖRTGEN KESİTLERİN EĞİK EĞİLESİ.1. Tam Plastik Eğilm Botları v ksn takımı göstriln ikörtgn ksitt vriln ir kvvt oğrlts için tam plastik ğilmnin Şkil 1 göstriliği gii mana gliğini varsaalım. Böl ir rma; 1. Tarasız ksnin v plastik ölglrin ksittki konm. Tam plastik momntin ğrinin hsaplanması grkliir. Şkil 1 n görülcği gii asınç v çkm ilşklrinin iririn şit olacağı ng koşl nni il tarasız ksnin ksitt aırığı ölglr iririn şit olmak zornaır. Hr irin ait ğrin A/ olğ şkiln görülmktir. Tam plastik momnt sinϕ A ρ sinϕ A ρ (1) Dnklmi il ia ilir. Braa A ksit alanı, akma grilmsi, C 1 v C ksittki çkm v asınç ölglrinin ağırlık mrkzlri, ρ çkm v asınç ilşklri arasınaki zaklık, φ tarasız ksn il kvvt oğrlts arasınaki açı, α tarasız ksnin ksni il aptığı açı, δ kvvt oğrltsnn ksni il aptığı açı,

4 8. Rhi AYDN η 1 v η tarasız ksnin zn knarı kstiği noktanın köşlr zaklıklarıır. kvvt oğrlts η 1 η A/ C O δ C 1 φ ρ α tarasız ksn A/ A/ ρsinφ A/ Şkil 1. Dikörtgn ksitt tam plastik ğilm halin ait kvvt oğrlts v tarasız ksn. v ksnlrinin poziti önlri şkil görülüğü giiir. Açıların trigonomtrik ğrlri ia ilirkn ilgili koorinatlarının işarti sas alınarak tanımlanmaktaır. Örnğin, Şkil 1 görüln tanα açısı ngati, tanδ açısı poziti işartliir. Tarasız ksnin ksit ağırlık mrkzinn gçmsi şart ğilir. Örnkt simtri nni il tarasız ksn ağırlık mrkzinn gçmktir. tan α olması halin (tarasız ksnin ikörtgnin ksnin parall knarını ksior olması hali) v momntlri Şkil 1 ki trapz ksit alanlarının ir üçgn v ir ikörtgn ölgn iart olğna ikkat ilrk azılailir. Bna gör; Üçgn ölg kvvtlr F 1 1 ( η η1) η η1 tanα Eksnlr zaklık 1 ; 1 tanα Dikörtgn ölg kvvtlr F 1 ; ksnlr zaklık η1 ; 0 η

5 Ksitlrin Tam Plastik V Elasto-Plastik Eğik Eğilmsi 8 tan α F1 1 + F + η1( η1) () tanα F1 1 () η1( η1) η1η ( tanα)( + tanα) ( tan α) olğ ikkat 4 4 alınarak () v () Dnklmlri tanα ğrlri ok ilrk irlştirilirs tan α için (4) 4 + Bnzr şkil tan α < v < tanα ksior olması hali) için (tarasız ksnin ikörtgnin ksnin parall knarını (5) 4 + nklmlri l ilir. (4) v (5) Dnklmlrinin özlliklri şölir: B nklmlr ait olkları ölglr ikinci rc ir ğri il tmsil ilirlr (Şkil ). tan α için () Dnklminn ğrlr (5) Dnklmini sağlar. v (4) Dnklminn Sonç olarak ikörtgnin köşgnini kstiklri noktalara hr iki ğri anı ğrir. l ilir. B Eğrilrin ksnini kstiklri noktaa ; 4 ksnini kstiklri noktaa ğrinir. 4 Tarasız ksnin konmna ağlı olarak lnacak olan v momnt ğrlri l iliktn sonra sonç plastik momnt

6 84. Rhi AYDN + () Dnklmi il lnr. C / D /4 / A /4 B Şkil. Dikörtgn ksitt tam plastik momnt ğişimi. Plastik momntlrin lnmasınan sonra tarasız ksnin ğiminin lnması grkir. Bnn için (1) Dnklmi momnti için azılırsa; ( A/ ) ρ va ρ A olr. (4) Dnklminin taraları A a ölünürs tan α için ρ ρ + 4 (7) Bnzr şkil tan α < v < tanα için ρ ρ + 4 (8) (7) v (8) Dnklmlri ölglrn irinin ağırlık mrkzinin koorinatlarını ia r. Dğişimlri Şkil t görülmktir. Vriln ir kvvt oğrltsnn ğrii kstiği çapı ağırlık mrkzlri arasınaki ρ zaklığını vrir. Sonç plastik momnt is (1) Dnklmi il l ilir.

7 Ksitlrin Tam Plastik V Elasto-Plastik Eğik Eğilmsi 85 () v () Dnklmlrinn tanδ oranı üznlnip grkli salştirmlr apılırsa tanδ tanα tan α (9) l ilir. Braa 0 tanδ için (9) Dnklminin ngati kökü, tanδ 0 için (9) Dnklminin poziti kökü kllanılacaktır. Blnan α açısı kvvt oğrltsnn Şkil tki ğrii kstiği noktaaki tğtin parall ğimir. Bnn kanıtlanması için (7) Dnklminin türvi alınırsa tanα [Dnklm ()] v ρ A [Dnklm (1)] olğ a ikkat alınarak ( ρ ( ρ / ) / ) ρ tanα (10) l ilir. Görülüor ki vriln ir kvvt oğrltsn Şkil tki ğrii kstiği noktaaki tğtinin ğimi tarasız ksnin ğimin şittir. A δ D kvvt oğrlts CDρ Aρ/ B α /4 / C tarasız ksn (AB parall) Şkil. Kvvt oğrlts, tarasız ksn ğimi v tam plastik momnt.

8 8. Rhi AYDN.. Tam Elastik Eğilm Tam lastik ğilm halin ikörtgn ksitt kvvt oğrlts il tarasız ksnin ksni il aptığı α açısı arasına aşağıaki ağıntı varır. tanα tan δ (11) İlk akma momntinin ilşnlri il akma grilmsi arasınaki ilişki is aşağıaki giiir., maks +, min (1) Braa, v, ilk akma momntinin v ksnlrinki ilşnlrini ia r. (1) Dnklmi ir oğr göstrir. Tam plastik v ilk akma momntlrinin ir ksitt karşılaştırılması Şkil 4 vrilmktir. Şkil 5 is tam plastik v ilk akma momntlri il tarasız ksnlr görülmktir. a /4 / / /4 Şkil 4. Dikörtgn ksit a) tam plastik v ) ilk akma momntlri... Elasto-Plastik Eğilm Tam plastik v tam lastik hallr arasına kalan ölgki lasto-plastik (inlastik) momnt ğrlri v tarasız ksn konmları a çalışmaa inclnmiştir. B hal ait arı konm söz konsr. Bnlar aşağıaki gii sıralanailir.

9 Ksitlrin Tam Plastik V Elasto-Plastik Eğik Eğilmsi 87 kvvt oğrlts D B A (AB) A (CD) lastik tarasız ksn C A tam plastik tarasız ksn Şkil 5. Dikörtgn ksit kvvt oğrlts, tarasız ksnlr v v...1. Üçgn Plastik Bölg Hali Şkil a görülüğü gii ksitt plastiklşn ölg üçgn şklinir. Plastiklşn ölgnin gnişliği n küçüktür. ξ η α 1 Şkil. Üçgn plastiklşn ölg v grilm ağılımı. Plastik ölg ait grilm ağılımı inclm kolalığı akımınan Şkil a görülüğü gii üçgn grilm ağılımlarının süprpozison olarak kal ilrk aşağıaki nklmlr l ilmiştir.

10 . Rhi AYDN 88 ( ) η ζη ζ η (1) ( ) η ζη ζ η (14) ζ η α tan (15) Braa ( ) cosα sinα ; ( ) α η α α cos sin cos 1 + alınacaktır.... Trapz Plastik Bölg Hali Ksittki plastiklşn ölgnin ir trapz olması hali Şkil 7 ki gii olacaktır. B hal gn tarasız ksn trapzin plastik ölg sınırına parall konma olacaktır. Şkil 7. Trapz v üçgn plastiklşn ölglr v grilm ağılımları. α η η 1 α η

11 Ksitlrin Tam Plastik V Elasto-Plastik Eğik Eğilmsi 89 Bna gör η η1 tanα (1) omntlr tan α için [ ( )] ( ) η + ( + ) + ( ) ( ) 1 + η η1 η η1 η η η1 + η1 + η (17) ( η η ) 1 (18) Özl hal: Plastik ölgnin ksitin gnişliğin üçgn ölg mana glior olması: rma (17) v (18) Dnklmlrin η 1 0 v η η olarak alınması trliir. ( η) η η + (19) η (0) Braa vriln nklmlr 0 tanδ hali için vrilmiştir. tanδ halin nklmlr v inislri il v r ğiştirmliir. (1) Dnklminn ρ A v ρ Dnklmlrin katılır v üznlnirs A olarak l iliği göz önün alınarak, ğrlr (19) v (0)

12 90. Rhi AYDN tanδ için ρ ( ρ ) + + ρ (1) tanδ 0 için 1 1 ρ ( ρ ) + ρ () tanδ için 1 1 ρ ( ρ ) + + ρ () 1 1 tan δ için ρ ( ρ ) + ρ (4) Blnan ğrlr ait graik göstrimlr Şkil 8 göstrilmktir. kvvt oğrlts Şkil 8. İlk akma, lasto-plastik v tam plastik hallr ait graik. Saısal Örnk: Şkil otları vrilmiş olan ikörtgn ksitt kvvtin oğrlts ksni il δ15 0 lik ir açı apmaktaır. 00 Pa ğrinir. 1) Ksitt mana glck olan tam plastik momntin ğrini v tarasız ksnin konmnn lirlnmsi.

13 Ksitlrin Tam Plastik V Elasto-Plastik Eğik Eğilmsi 91 Tarasız ksnin ksni il aptığı α açısının lirlnmsi tanδ tanα tan α tanα tan15 0 tan α 40 (9) Dnklmi kllanılmalıır. δ15 0 kvvt oğrlts η δ15 0 kvvt oğrlts η mm O 0 mm O α mm 40 mm tarasız ksn Sonç olarak; tan α için ir + işartli ir işartli kök l ilcktir. Ancak olğnan işartli olan tan α ğri kllanılacaktır. α tan15 40 momntinin lnması tanα ( ) Nmm (Dnklm ()) ρ v ρ ğrlrinin hsaı ( A / ) ρ olğ ikkat alınarak ρ 7. 5 mm A ρ 0 tan α için ρ mm (Dnklm (7))

14 9. Rhi AYDN momntinin lnması ( A / ) ρ Nmm Toplam momnt Nmm (Dnklm ()) ) Tam lastik ğilm, maks + min, (1) Dnklminn maks + min,,,, tan δ olğ a ikkat alınarak,, tan (40 0 /1) (0 40 /1), Nmm ;, tan, δ Nmm İlk akma momnti Nmm 0 Tarasız ksn ğimi tanα tanδ tan (Dnklm (11)) ) Elosto-plastik ğilm Ksitin 4010 Nmm ğrin ir momnt tkisin olğ hal ait çözüm. B rma önclikl plastik ölgnin üçgn a a trapz şkillrn hangisinin mana gliği lirlnmliir. Üçgn hal ait sınır ρ tan δ ilişkisi kllanılarak ρ ρ tanδ için ρ ( ρ ) + + tan ρ (Dnklm (1)) δ Dnklmn poziti kök olan ρ. 7 mm lnr.

15 Ksitlrin Tam Plastik V Elasto-Plastik Eğik Eğilmsi 9 ( A / ) ρ / Nmm ilşnin ilşk ğri < Nmm plastik ölg trapzir. sinδ sin15 sin δ sin Nmm tan α için ( η ) 0. η mm 1 ( η η ) 1 (18) ağıntısınan η η1 0. tanα (Dnklm (1)) 40 cos δ cos Nmm v ( η + η 1 ) ğri [ ( )] ( ) η + ( + ) + ( ) ( ) 1 + η η1 η η1 η η η1 + 0 η1 + η (Dnklm (17)) ( +η ) 1 η mm, η mm, η 0.5 mm lnr. 1. DİĞER KESİT TİPLERİNE UYGULAA VE SONUÇ Çalışmaa ikörtgn ksitlrl ilgili talı sonçların vrilmsinn sonra mühnislikt sık kllanılan şit koll köşntlr için tam plastik, lasto-plastik v lastik grilm hallrin ait analitik v graik çözümlr vrilmiştir. Farklı koll köşnt, v U mirlri için tam plastik hal ait sonçlar vrilmiştir. Çalışmanın son ölümün n gnl halki nksitlr için ir graik öntm snlmaktaır. B öntmin aşamaları şölir. Sçiln ksitt kal iln ir tarasız ksn oğrlts için ksitin alanı iki şit parçaa arılır. Bn sağlamak üzr ksit sçiln tarasız ksn parall küçük alanlara arılır. B alanlar kllanılarak toplam alanın iki ölünmsini sağlaan ir graik öntm vrilmktir. Ancak istnirs küçük alanların saısal ğrlrinn ararlanarak ir saısal çözüm apılailir.

16 94. Rhi AYDN Tüm alanın ağırlık mrkzi v iki arılan alanların ağırlık mrkzlri olan C, C 1 v C noktaları saısal olarak l ilir. C, C 1 v C noktaları ir oğr il irlştirilir. B srtl aımlaran iri tamamlanmış olr. Sçiln iğr tarasız ksn konmları için nzr işlmlr apılarak nksit ait C 1 v C noktalarının gomtrik ri l ilir. B aşamaan sonra sçiln kvvt oğrlts için ğrin alınacak ρ ğrlri kllanılarak (1) Dnklmi kllanılarak tam plastik momntlr l ilir. A ρ Braa graik çözüm aalı ir öntm il l iln sonçların ksin olmaığı, aklaşık olğ soncna varılamaz. Zira akınsaklığın arttırıp azaltılması on glaanın sçimin ağlı olğ hallr ait öntmlr ksin öntm olarak kal ilirlr. Bna air n tipik örnk mühnislrin sıkça kllanıkları sonl lmanlar öntmiir. Yaklaşık öntmlrin özlliği öntmin apısı nni il hr zaman ir hataı içrmsiir. B nnl gnl halki ksitlr ait l iln sonçlar aklaşık ğil ksinir. Gnl olmaan ksitlr ait sonçlar is zatn analitik ialr il stklnmktir. Prosör Orhan Ünsaç Orhan Ünsaç 1917 Yılına Üsküar'a oğ Baası Hünkar Yavri Hasan Dtraroğl r. Kaataş Erkk Lissini itiri. 19 ılına giriği Yüksk ühnis mktinin Yol Şsinn 199 ılına üstün aşarılı ir öğrnci olarak mzn ol. ıl k salık vrsinn sonra 194 ılına Yüksk ühnis ktin asistan atanı. kavmt v Yapı Statiği rslri vrn Pro. Fikri Santr n arımcılığını apmaa aşlaı ılına oçnt ol ılına Amrika Birlşik Dvltlrin gönrili. Caliornia aki Stanor Ünivrsitsi n Pro. Timoshnko il iki ıl onca çalıştı. Daha sonra ir ıl a Univrsit o İllinois a Pro. Langhaar il çalıştı. Amrika'a stailit v nrji öntmlri üzrin ağırlaştırığı çalışmalarının ir vrimi Pro. Fikri Santr için çıkarılan anma kitaına ğri ksnli ir çğn rklması konsna azığı makal knini göstrir Tknik kanik v Gnl kavmt Doçntliğin atanan Orhan Ünsaç 195 anı kürsü Prosör ol ıllarına Rho slan aki Brown Ünivrsitsin Fllright prosör ü olarak ln. B sıralara plastisit v viskolastisit konlarına çalışmakta ii. 197 ılına Pro. Dr. staa İnan ın vatınan kni istği il mkli arılığı 198 ılına kaar Kürsünün v 198 önüştüğü kanik Anailim Dalı nın aşkanlığını aptı.

17 Ksitlrin Tam Plastik V Elasto-Plastik Eğik Eğilmsi 95 Pro. Dr. Orhan Ünsaç ın on altı ğrli ilimsl aını varır. Fakat aha önmli sri inci gii ir azı v ctvll çizilmişçsin üzgün şkillr il olrğ kara tahta önün n güzl ir Türkç il tan tan anlattığı Tknik mkanik rslrini inlmk mtllğna rişmiş öğrncilriir. Çok gniş öğrnci kitlsin rs vrmiş olan Pro. Ünsaç gün rslrin aşarılı olmş olmamış ütün öğrncilri taraınan grçktn üük ir hoca olarak anılmaktaır. Pro. Orhan Ünsaç 5 art 1995 tarihin vat tmiştir. Not: B iograi Yük. üh. Brat Karaa ın intrnt sitsinn alıntılanmıştır. Üst sıra: Asis. Tran Arıtan, Pro. Orhan Ünsaç, Pro.Dr. staa İnan. Pro.Dr. Stan Timoshnko, Pro.Dr. D.Harol Yong. Alt Sıra: Ail Cngiz, oro Frsko, Sivio tal, ammr Yltn, İlhami Tzlaş, Yılmaz F.Taanlı v kaı olmaa gln ni öğrnci Zia Özkan.

18 9. Rhi AYDN