DERS 12. Belirli İntegral

Transkript

1 DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i f fonksionu veilmiş olsun ve e [, ] için f olduğunu kul edelim. f in gfiği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz elili integl kvmı çok kındn ilişkilidi. f Şekildeki tlı ölgenin lnının esı elili integlle pılı. Belili integle geçmeden öne, i süekli eği ile -ekseni sınd kln lnın klşık olk esın i önek veelim. Önek. [, ] lığı üzeinde eğisi ile -ekseni sınd kln ölgenin lnı olsun. [, ] lığı nın ot noktsı oln sısını kullnk [, ] lığını ikie ölelim ve ndki şekilde göüldüğü gii tnı u iki pç otun dikdötgenlei düşünelim. Hesplmğ çlıştığımız lnın klşık değe olk, lnın içinde kln iki küçük dikdötgenin lnlı toplmı oln ve lnı öten iki dikdötgenin lnlı toplmı oln 5. 8 lınili: [, ] kplı lığı d küçük lıkl ölüneek lnının geçek değeine d kın değele ulunileeği çıktı. /

2 Des 9.. Belili integl, Riemnn Toplmlı. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i f fonksionu veilmiş olsun. [, ] lığınd < < < <... < n- < n- < n olk içimde,,..., n-, n sılı llım. Bu sıl [, ] lığını küçük lıklltlıkl öle. Bu şekilde seçilmiş < < <... < n- < n- < n sılın [, ] lığının i pçlnışı deni., f n- n- n n- n- n- n f Şimdi, e k,,...,n için k [ k -, k ] seçelim ve [ k -, k ] lığının uzunluğunu k ile gösteelim: şğıd ifde edilen k k k-, k n. T n n f f n n f k k f L k T n toplmın f fonksionunun < < < <... < n- < n- < n pçlnışı için Riemnn Toplmı deni. Bud k ldn e ii sıfı klşıken ki u duumd n sısı sınısız olk t, ni sonsuz ıks T n Riemnn Toplmı nın limit değeinin mevut olduğu knıtlnili. İşte u limit değee f fonksionunun [, ] kplı lığı üzeinde elili integli deni ve u integl f d semolü ile gösteili. Bu gösteimde sısın elili integlin ltsınıı, sısın d üstsınıı deni. f d ifdesine, elisiz integlde olduğu gii, integnd deni.

3 Belili İntegl.. 9 f fonksionunun [, ] kplı lığı üzeinde elili integli f d lim k lim k T n f f L f içiminde ifde edileili. Belili integlin ukıdki tnımındn, eğe f fonksionu [, ] lığınd süekli ve e [, ] için f ise, f d elili integlinin [, ] lığı üzeinde f in gfiği ile ekseni sınd kln ölgenin lnını vediği sonuunu çıkiliiz. Geçekten u duumd, T n Riemnn toplmındki e i f k k teiminin tn uzunluğu k ve üksekliği f k oln dikdötgenin lnını ifde etmekte olduğu; u lnlın toplmı oln T n toplmlının limitinin de [, ] lığı üzeinde f in gfiği ile -ekseni sınd kln ölgenin lnı olduğunu gömek zo değildi. n n f f d Benze düşüne ile, eğe f fonksionu [, ] kplı lığınd süekli ve e [, ] için f ise, f d elili integli [, ] lığı üzeinde f in gfiği ile ekseni sındki ölgenin lnının tes işetlisi oln negtif sıı vei. Bşk i deimle, [, ] lığı üzeinde f in gfiği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı, f d di. f d f Yukıd çıklnn iki duum ileştiileek [, ] kplı lığınd süekli i f fonksionunun gfiği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı elili integl insinden, d kşıt olk, f nin [, ] kplı lığı üzeinde elili integli f nin gfiği ile

4 Des 9 ekseni sınd kln ölgenin lnı insinden ifde edileili. Öneğin, f nin [, ] kplı lığı üzeinde gfiği şğıdki şekilde gösteildiği gii ise, B d C f u tkdide, [, ] kplı lığı üzeinde eği ile -ekseni sınd kln ölgenin lnı, [, d] kplı lığı üzeinde eği ile -ekseni sınd kln ölgenin lnı B ve [d, ] kplı lığı üzeinde eği ile -ekseni sınd kln ölgenin lnı C ile gösteilmek üzee f d B C di. Bşk i ifde ile, [, ] kplı lığı üzeinde eği ile -ekseni sınd kln ölgenin tmmının lnı di. d f d d f f d Belili integlin, tnımı, ukıdki ln oumu ve limit özelliklei kullnılk knıtln ileek zı özellikleini şğı listeliouz.. f d. f d k k f d. m g d f d m f g d. < < için f d f d f d. 5. f d f d d

5 Belili İntegl Klkülüs ün Temel Teoemi. Btı çıkışlı knkld fonksionl ve onlın limit, tüev ve integlleini, ni u desimizin konulını işleen dese klkülüslulus dı veilmektedi. Şimdi Bu kesimde ele lğımız teoem, klkülüs desinin temel teoemidi. Bu teoem elili integl ile elisiz integl sındki ilişkii vei: Klkülüs ün Temel Teoemi. f fonksionu [, ] kplı lığınd süekli ve f nin i tes tüevi ise, d f di. Bundn öle, fkı için şğıdki gösteimi kullnğız.. Bölee, eni gösteimle, ' d f f C d f d f. Önek.. d Önek. d. Bölee şlngıçt zı klşık değeleini ulduğumuz şğıdki tlı ölgenin lnının geçek değeini elilemiş olduk. Önek. şğıdki integli d öne elisiz integl olk esplmıştık.. ln ln ln e e e e e d e. d

6 Des 9 5 Önek. d. elili integlinin değeini ulmk için öne değişken değiştime öntemi ile d elisiz integlini esplıp d son elili integle geçeiliiz. u seçilise, du d olu ve söz konusu elisiz integl şğıdki gii esplnı: Dolısıl, d du lnu ln C. u 5 5 d ln ln5 ln ln.5... Belili integlde değişken değiştime ve kısmî integson. Son öneğimizde elili integli esplken, tes tüevin, ni elisiz integlin elilenmesinde değişken değiştime öntemini kullndık. Bu öntemi doğudn doğu elili integl üzeinde de uguliliiz. Htt u pıldığı tkdide zmn kznılğı d söleneili. ' g g' d gii i elili integli esplmk için, u integl elisiz integl olk düşünülüp u g seçiline du g' d olduğu ve integlin u insinden ifde edildiğini nımsınız. Belili integlde değişkeni ile sınd değişmektedi. Bu duumd, u değişkeni de g ile g sınd değişeeğinden, şğıdki eşitliği ziliiz: ' g g' d g g ' u du. Sğ tftki ' u nun tes tüevi u u iliosk, esımızı ' g g' d g g ' u du. u g g g g içiminde südüüp sonuçlndııız. O lde, elili integle değişken değiştime öntemi ugulken u g seçiminden son du g' d ile ilikte g ve g değelei de esplnıp u değele eni değişken u insinden zılmış oln integl için lt ve üst sınıl olk lını ve eni integl de elili integl olk eni sınılı ile esplnmış olu.

7 Belili İntegl.. 95 Yukıdki son öneğimizi u oll plım: Önek. d ln ln 5 ln ln.5. du u u u, du d u ; 5 u 5 Öneğimizde, değişkenine göe veilmiş oln integlin ltsınıı oln kşılık u değişkenine göe zılmış integlin u ltsınıı ve değişkenine göe veilmiş oln integlin üstsınıı oln 5 e kşılık u değişkenine göe zılmış integlin u 5 5 üst sınıının kullnıldığın dikkt ediniz. Bu önekte olduğu gii şğıdki öneklede de u nun seçimi ve eni sınılın esı kutu içinde gösteilmişti. 6 Önek. d u du u 8. 6 u u, du 6 d, d /6 du u ; u e Önek. e e d u du u e. u e u e, du e d, e d / du u ; u e - e Önek Ugulm. Hftd televizon ünitesi üeten i işletmenin ftlık mjinl kâı, YTL olk, K 65 -., içiminde veilio. Şu nd ftd 5 ünite üeten fim, ftlık üetimini tımk istio. Hftlık üetimini 6 e çıkıs, ftlık kâındki değişim ne olktı? Çözüm. Kâdki tış 6 K 6 K5 K K' d d

8 Des 96 Son ifdede değele eleştiiline, K 6 K YTL olk elde edili. D öne elisiz integl esınd kullndığımız kısmî integson öntemini elili integl esplken de kullniliiz. Öne kşılık gelen elisiz integlesplnı ve en sonund sınıl eleştiileek elili integl ulunu. Önek 5. e d u dv uv vdu e e d e e. u, dv e d du d, v e Bzı integllein esınd değişken değiştime ve kısmî integson öntemlei ilikte kullnılili. Önek 6. ln d lnt dt lnt dt t ln t t dt t t, dt d, d / dt t, t u ln t, dv dt du /t dt, v t t t ln t ln ln ln. t t t t t t Önek 7. e d te dt te dt te e dt te e. t, dt d, d t, t dtt dt. t u t, dv e dt t du dt, v e

9 Belili İntegl Otlm Değele. Bi fonksionun sonlu sıd değei veildiği zmn u değelein otlmsını nsıl espldığımızı nımslım. Öneğin, f fonksionunun değeleinin otlmsı olk tnımlnı. f, f, K, f n f f L f n n f fonksionu i [, ] kplı lığınd tnımlı ise, f nin u lıkt ldığı tüm değelein otlmsı nsıl esplnili? Eğe f fonksionu [, ] kplı lığınd süekli ise, u otlm değe şğıdki teoem ışığınd integl dımı ile esplnili. Teoemİntegl için otlm değe teoemi. f fonksionu [, ] kplı lığınd süekli ise, öle i, vdı ki di. f f d Teoemin ifdesindeki eşitlik f d f içiminde zılıs, ndki şekilden de izleneileeği üzee u eşitlik, f nin gfiği ile -ekseni sınd kln ölgenin lnının, tn uzunluğu ve üksekliği f oln dikdötgenin lnın eşit olduğunu ifde etmektedi., f f nin gfiği ile -ekseni sınd kln ölgenin lnı, k, f nin [, ] kplı lığınd ldığı tüm değelein toplmı olk düşünülüse, f fonksionunun [, ] lığı üzeinde otlm değeinin f f d olk tnımlnileeği göülü.

10 Des 98 Önek. f - nin [-, ] lığı üzeinde otlm değei f d 8 5 di.. Önek. it-tlep fonksionu p 5e olk veilmişse, [, ] tlep lığı üzeinde otlm fitın ne olduğunuytl olk elileelim. Veilen lıktki otlm fit p ile gösteilise, p 5e. 5 d 5e.. e d 5. 5e. 5 e e.75 YTL olu..6. ln Hesı. Bi eği ile -ekseni sınd kln ln ile elili integl sındki ilişkii desimizin şlngıınd gömüştük. Eğe eğinin tmmı -ekseninin ukısınd ise f f d

11 Belili İntegl.. 99 Eğe eğinin tmmı -ekseninin şğısınd ise f f d Eğe eğinin i kısmı eğinin -ekseninin ukısınd i kısmı d -ekseninin şğısınd ise f d f d f d tlı ölgenin lnı d d f Şimdi ln esın zı somut önekle veeeğiz. Önek. f 6, ile veilen ölgenin lnı. 6 6 d 6 5.

12 Des Önek. f -, ile veilen ölgenin lnı. Önek. f -, - ile veilen ölgenin lnı. d 8. 7 d d -.

13 Belili İntegl...7. İki Eği sınd Kln Bölgenin lnı. f ve g [, ] lığınd süekli fonksionl, e [, ] için g f olsun. Bu duumd f in gfiği g in gfiğinin ukısınddı ve [, ] lığı üzeinde u iki eği sınd kln ln integl olk şöle ifde edili: f f g d g Önek. f, g -, ile veilen ölgenin lnı. d d 8. -

14 Des İki eği sınd kln ölgenin lnı esplnıken, f in gfiğinin i kısmı g in gfiğinin ukısınd, i kısmı d şğısınd olili. Bu duumd söz konusu lık lt lıkl ölüneek ln esplnı. Önek olk şğıdki şekilde gösteilen ölgenin lnın klım. Önek. f -, g -, ile veilen ölgenin lnı. d d d d 8 : Tlı ölgenin lnı d f g d g f f g - -

15 Belili İntegl...8. Him Hesı, Dönel Cisimlein Hmi. Düzlemde i ölgenin -ekseni etfınd döndüülmesile medn gelen ismin mi integl dımıl esplnili. [, ] lığı üzeinde f in gfiği ile ekseni sınd kln ölgenin ekseni etfınd döndüüldüğünü düşünelim. Yndki şekilde göülene enze i ktı isim ot çıkktı. Bu ktı ismin mini elili integl kullnk espliliiz. Geçekten, f tn uzunluğu d ve üksekliği f oln dikdötgen ekseni etf fınd döndüülüse i silindişekilde kımızı olk çizilen silindi elde edili. Bu silindiin mi d dv π f d di ve integl tnımı göz önüne lınk şekildeki ktı ismin minin V π f d olduğu sonuu çıkılili. Önek. f, ile veilen ölgei - ekseni etfınd döndüüne medn gelen ismin mini espllım. V π d π π 5 5 d π 5

16 Des Önek Küenin mi. Yıçpı iim oln küe, ıçpı iim oln i ım çemein çpı etfınd döndüülmesile elde edili. Dolısıl, sözü edilen im f - /, - eğisinin - ekseni etfınd döndüülmesile elde edili. π d V d π π π. π Önek Koninin mi. Tn ıçpı iim ve üksekliği iim oln koni, f /, eğisinin - ekseni etfınd döndüülmesile elde edili. π d V / d π π π π.. - /

17 Belili İntegl.. 5 Polemle. şğıdki şekilde veilen lnlı elili integlle olk ifde ediniz: f d [, ] lığı ile gfik sındki ln. [, ] lığı ile gfik sındki ln. [, d] lığı ile gfik sındki ln. ç [, ] lığı ile gfik sındki ln. d [, d] lığı ile gfik sındki ln. e [, d] lığı ile gfik sındki ln.. şğıdki elili integllei esplınız. 5 d d d ç d e e d d e d f e d g ln e d. şğıdki elili integllei değişken değiştime öntemi ile esplınız. 5 5 d d e 5 d d e e e d.5 d ç d 7 f d

18 Des 6. şğıdki elili integllei esplınız. e d ln d e ln d ç d d. e d e e e d 5. Dğ isikleti üeten i fimnın ştım deptmnı, mjinl gide fonksionunu, d det isiklet üetilmesi duumund, Gi 5, olk elilio. isikletlik i üetim seviesinden 9 isikletlik i üetim seviesine geçilmesi duumund toplm gidede ne kd tış olğını i elili integl olk ifde edip esplınız. 6. şğıd veilen eğile ile veilen lık üzeinde çevelenmiş ölgelein lnlını ulunuz., ;, ;, ; ç e, ; d, ;.5 t e 8, ; t f, ; g, ; 7. şğıd veilen iki eği sınd kln ölgenin lnını ulunuz.,, 5, ç, d, e 6, 9 8. lıştım 6 d veilen ölgelein ekseni etfınd döndüülmesile elde edilen isimlein imleini ulunuz.