DERS 7. En Küçük Kareler Yöntemi

Transkript

1 DERS 7 E Küçü Kareler Yöte 7.. E Küçü Kareler Yöte. Gerçe aşaı çeştl alalarıda herhag r ugulaa le toplaa verler talo şele getrlere celer ve toplaa ver odellee r foso uluaa çalışılır. Çoğu zaa u ver talosua ta olara ua r foso ula üü olaz; ver talosua e ua foso elrleee çalışılır. Br ver talosua e ua fosou ula sürece regreso aalz der. Regreso aalz apare e ço ullaıla ötelerde r e üçü areler ötedr. Büü ateatç C. F. Gauss u 8 aşıdae 79 gelştrdğ u öte, l ez 80 de Cres astrod örüges elrleesde ullaılış ve l ez Gauss u toplu eserler aıladığı cltlerde csde 809 ılıda aılaıştır. Frasız ateatç A. Legedre 80 ve Aeralı ateatç R. Adra de 808 ıllarıda aı öte Gauss da haersz ve ağısız olara eşfetşlerdr. E üçü areler öte, tıp, fas, ühedsl, zraat, oloj ve sosoloj g çeştl l dallarıda çeştl değşeler arasıda lşler elrlere ullaıla e öel araçlar arasıdadır. Bell ölçüler soucuda,,..., ç, verler elde edlş olsu. Burada, her r e ağlı olara değştğ varsaılatadır., düzlede otalar olara düşüüldüğüde, pratte u otalar düzgü r eğr üzerde, aşa r dele, le r fosou grafğ üzerde uluazlar. Hatta azı durularda,, ler arasıda e tür r ağıtı uluduğu dah leelr. Aca, apıla ölçüler doğası gereğ, her,,..., ç f olaca çde r fosou var olduğu, ölçülerde apıla hata edele u eştller azıları vea heps sağlaadığı aul edlelr. Bu düşücele, ölçüle değer f ç alaşı değer aul edlere u alaşıda hataı u olduğu f fosou elrleee çalışılır. Bu aacı gerçeleştre ç f fosouu r taı paraetrelere ağlı r fades uluduğu varsaılıp elde verler ardııla u paraetreler elrleee çalışılır. Öreğ, f fosou f fadesde olduğu g r doğrusal foso vea f a c fadesde olduğu g r aresel foso olalr u duruda elrlees geree paraetereler a,, c, dr.

2 Ders değer f ç alaşı değer, f, aul edlce apıla hata - f dr ve aaç, u hatalar u olaca şelde r f fosou ulatıraşağıda şelde zlez. - f {,, } f f {,, Taı. - f farlarıda her re r artı der. E üçü areler ötede araa foso, a da ou paraetreler, tü artıları areler toplaı ola f f L f fades u apaca şelde elrler. Bu, ötee ede e üçü areler öte dedğ açılar. Sözü edle areler toplaıı u olası ç her r hataı üçü olası geretğe dat edz. Bu derszde, r ver talosua e ua doğrusal fosoları uluasıda üçü areler öte asıl ullaıldığıı örelerle göreceğz. e Taı. Br ver talosua e ua doğrusal fosou grafğ ola doğrua regreso doğrusu vea e üçü areler doğrusu der.

3 E Küçü Kareler Yöte Regreso doğrusu. Her,,..., ç, verlş olsu. Şd, u verlere e ua f fosouu elrledğ doğruu a regreso doğrusuu asıl ulacağıızı göreceğz. Öce f artı değerler uluara uları areler toplaı ola F, L fosou oluşturulur. Her ve ç F, 0 olduğuda ve f doğrusu verle otalarda uzalaştıça F, sosuza ırasaacağıda, F, r utla u değer vardır ve u u değer F, fosouu r rt otasıda ortaa çıar. Öre. Br üretc, ürettğ ürüü çeştl üret seveler ç alet elrlor ve aşağıda talou oluşturuor: Ürü saısı üz 6 9 Malet YTL Bu üretc ç gder fosouu uarıda taloa e ua doğrusal foso olara elrleel. Elzde ver talosu, düzlede şu, otalarıı verr:,,,6, 6,7 ve 9,8. Bu otaları heps üzerde uludura r doğru otur. Aacıız, u otalara e ua doğruu, a regreso doğrusuu ulatır. Regreso doğrusuu dele ve elrleere uluacatır. C Artıları hesaplaalı ve ver talouzu aşağıda g geşletel. Ürü saısı üz 6 9 Malet YTL _

4 Ders Artıları areler toplaı aşağıda değşel fosou taılar: F, Bu fosou hag ve değerler ç u değer aldığıı elrleelz. Kıs türevler hesaplaalı: F, , F, Br tar artet şlede sora aşağıda dele sste elde edlr: 6 Bu sste oete öte le çözel. İc dele -/ le çarpılıp rc delee toplaırsa ve u değer c delede ere oulursa elde edlr. Görüldüğü g, sste te çözüü vardır: 0.8, ve u değerler ç F, u olduğuu loruz. O halde regreso doğrusu dur. Başa r dele, regreso aalz soucu ortaa çıa gder fosou C Dele le verlee fosodur. Üretc, öreğ, ürü üretce gder e olacağıı tah edelr : C Bu örele lgl olara ver otalarıı ve regreso doğrusuu göstere r grafğ r sora safada görelrsz.

5 E Küçü Kareler Yöte. 03 Öre ver talosu ç ulduğuuz regreso doğrusu ver otaları le rlte aşağıda grafte gösterlştr., 6,7 9.8,

6 Ders Öce örete zlee ol geel durua ugulaara ve doğruda hesaplaasıı sağlaaca forüller elde edlelr. Artıları areler toplaı olara taılaa, F L fosouu rt otaları, F 0, F 0 a da dele sste çözülere uluur. Bu dele sste daa te r çözüü uluduğua dat edz.,. İc öreğzde uarıda forüller ullaacağız. Öre. 0, 6.,,.6,, 0., 3, 0.6 ve, 0.3 ver otalarıa e ua doğruu dele uluuz. Çözü. Araıla doğruu dele ola üzere ver otalarıa arşılı gele aşağıda talou oluşturalı: ve uarıda forüllerde elde edele ç u forülde her r ter değer uluruz. Öcelle, olduğua dat edere

7 E Küçü Kareler Yöte , , Bölece, , O halde stele doğruu dele dr Öre ve Öre de görüldüğü üzere regreso doğrusuu uluasıda ol zleelr. Brc ol, ver otalarıda artılar ve artıları areler hesaplaara F, fosouu ulup F, u apa ve değerler uluasıdır. İc ol se rc olu geel durua ugulaasıla ve ç ulua forüller ullaasıdır. Aşağıda regreso doğrusuu hesaplaası ç azı durularda daha elverşl ola r öte daha uluduğuu göreceğz Deteratla Çözü. Regreso doğrusuu uluasıda ortaa çıa dele sste, geel duruda, Craer Kuralı le çözülere, doğruu dele ç hesapları olalaştırıcı r forül elede ete üüdür. Artıları areler toplaı ola değşel F, L

8 Ders fosouu ıs türevler sıfıra eştleere ortaa çıa dele sste Craer Kuralı le çözülürse,, elde edlr so fades elde edlş zlez. Bölece, F, ta r tae rt otası uluduğua ve uu da verlere e ua fosou elrledğe dat edz. O halde araa foso, vea 0

9 E Küçü Kareler Yöte. 07 dele le elrleetedr. So forülü sol tarafı, aşağıda 3 3 deteratı rc satıra göre açılıı olduğuda u dele 0 çde fade edlelr. Dolaısıla, regreso doğrusuu elrlee ç uarıda deteratı so satırıda grdler uluup ere azılara deterat açılr ve arzu edle dele ortaa çıar. Öre. Daha öce çözdüğüüz r prole ver talosu ola aşağıda talo ç e üçü areler doğrusuu deterat ullaara ulalı. Çözüde ullaacağıız 0 deteratı c ve üçücü satırlarıda grdler, sırasıla, ulalı , , , 9 6,

10 Ders Bölece, ve urada, e üçü areler doğrusuu dele a da olara elde edlr. Öre. Aşağıda ver talosu ç e üçü areler doğrusuregreso doğrusuu uluuz ve ç tah edz Bu taloa arşılı gele ota ües tür., -,....,-, 6,0, 0,8,,, 8, Bölece, , , , , ,.

11 E Küçü Kareler Yöte. 09 Elde edle değerler deterat forülüde erlere azılıca ve urada uluur. Bölece, regreso doğrusuu dele. 6 olduğu görülür. ç 8 6 olur. E üçü areler öte le çözülelece r fat aalz prole öreğ veroruz. Öre 3. Br üü ağaza zcr pazar araştıraları ölüü ell r ürüü fatıı her a değştrere a ouca alı tale adett ve ada ver talosuu elde ett. Burada,, r parap olara satış fatıı;, alı aç adet talep olduğuu gösteretedr. a E üçü areler öte ullaara fat-talep dele uluuz Br adet ürüü alet p se, alı ârı asu olası ç satış fatı e olalıdır? Çözü. a So elde ettğz deterat forülüü ullaalı. Prolez ç 0 deteratı c ve üçücü satırlarıda grdler

12 Ders , , , , , tr. Bu değerler erleştrlce ve urada elde edlr. Bölece fat talep dele fatı ve tale göstere üzere olara elde edlr Br ürüü alet p se, aşa gder oladığı varsaılara, topla gder, C p olur. Topla gelr se R olacağıda, âr fosou P R C olur. Kârı asu olası ç P ' , satış fatı alaşı olara 6.6 p olalı.

13 E Küçü Kareler Yöte. Proleler 7. Aşağıda ver talolarıda her r ç e üçü areler doğrusuregreso doğrusuu uluuz. Ver talosua arşılı gele otaları ve regreso doğrusuu grafle gösterz. a c ç Aşağıda ver talolarıda her r ç e üçü areler doğrusuregreso doğrusuu uluuz ve verle değer ç tah edz. a ç tah edz ç tah edz c ç ç tah edz ç tah edz

14 Ders Br üü ağaza zcr pazar araştıraları ölüü ell r ürüü fatıı her a değştrere a ouca alı tale adett ve aşağıda ver talosuu elde ett. Burada,, YTL olara satış fatıı;, alı aç adet talep olduğuu gösteretedr a E üçü areler öte ullaara fat-talep dele uluuz. Br adet ürüü alet 7 YTL se, alı ârı asu olası ç satış fatı e olalıdır?. Br ateat sııfıda öğreclerde 0 uu döe ç ot ortalaaları le döe sou sıavıda aldıları otlar aşağıda taloda verlştr: Döe İç Döe Sou Bu talo ç regreso doğrusuu uluuz. Döe ç ot ortalaası 70 ola r öğrec döe sou sıavıda alacağı otu tah edz..,.,, 0.8, 3,.7,, 3.8 ve, 7.6 ver otalarıa e ua doğruu dele uluuz. 6. 0, 7.,, 3.6,,., 3, 0.6 ve,.3 ver otalarıa e ua doğruu dele uluuz. 7. Br ateat ders l arasıavıda 7 öğrec aldığı otlar aşağıda taloda gösterlştr. Brc arasıav : İc arasıav : a Bu verlere e u doğrusal foso ç ve rc odalı asaağıa uvarlaara uluuz. Br arasıavda 9 alış ve c arasıavı açırış r öğrec, c arasıava grş olsadı u sıavda aç pua alası elerd?