BÖLÜM EN KÜÇÜK KARELER REGRESYONUNDA KARŞILAŞILAN PROBLEMLER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM EN KÜÇÜK KARELER REGRESYONUNDA KARŞILAŞILAN PROBLEMLER"

Transkript

1 BÖLÜM EN KÜÇÜK KARELER REGRESYONUNDA KARŞILAŞILAN PROBLEMLER En küçük kareler yöntemi, hataların eklenebilir, sabit varyansa sahip ve birbirinden bağımsız normal dağılış gösteren şans değişkenleri olması varsayımlarına dayanmaktadır. Bu varsayımlara dayanan en küçük kareler tahminlemesine sıradan en küçük kareler denir. Bağımsızlık ve sabit varyans varsayımları gerçekleştiğinde, en küçük kareler tahminleyicisi, tüm olası doğrusal sapmasız tahminleyiciler içerisinde en iyidir (minimum varyanslıdır). Normallik varsayımı sağlandığında en küçük kareler tahminleyicileri, aynı zamanda en yüksek olabilirlik tahminleyicileri olurlar. En küçük karelerde karşılaşılan problemlerden en önemli üç tanesi, temel varsayımlar olan normallik, sabit varyans ve hataların bağımsızlığı ile ilgilidir. Diğer problemler ise etkili gözlemler, sapan gözlemler, modelin fonksiyonel biçiminin zayıf belirlenmesi, bağımsız değişkenler arasındaki yakın doğrusal bağımlılık (çoklu doğrusal bağlantı) ve açıklayıcı değişkenlerdeki hatalardır. Bu bölümde, yukarıda belirtilen problemler anlatılmıştır ve ayrıca bu problemlerin nasıl tespit edildikleri ve önlenmeye çalışıldığına kısaca değinilmiştir. İzleyen bölümlerde problemlerin tespit edilmesi ve önlenmesi konuları daha detaylı olarak incelenmiştir. Varsayımların doğruluğunun, verilerin davranışının ve model yeterliliğinin kontrolü, her regresyon analizinde önemli bir adımdır. Buradaki amaç, kullanıcıları verilerdeki veya modeldeki problemlerden haberdar etmektir. Varsayımlar gerçekleşmediğinde en küçük kareler regresyonuna alternatif olarak dirençli (robust) regresyon yöntemleri kullanılabilir. (Burada robust kelimesi sağlam, dirençli anlamındadır. Dirençli regresyon, parametrik modelin varsayımlarının gerçekleşmemesi durumunda tahminlerin duyarlılığını azaltmak için tasarlanmış istatiksel prosedürlerin genel bir sınıfıdır. Örneğin, en küçük kareler regresyonunda, en küçük kareler yaklaşımının, verilerdeki aşırı hatalara veya sapan gözlemlere karşı duyarlı olduğu bilinmektedir. Bunun nedeni, en küçük karelerin karesel sapmaları minimize etmesidir. Bir dirençli regresyon prosedürü, büyük artıkların ağırlıklarının azaltılması ile bu tip hataların etkisini en aza indirgemeyi amaçlar. Bu artıkların etkisi, artık kareler toplam yerine mutlak artıkların toplamının minimize edilmesi ile azaltılabilir. Genel anlamda, sapan ve etkili gözlemlerin tespit edilmesi için kullanılan yaklaşımlar, dirençli regresyonun bir parçası olarak ele alınabilir. Yapılan kısa açıklama dışında, bu bölümde dirençli regresyon konusuna değinilmemiştir. Dirençli istatistikler ve regresyon için Huber (1981), Hampek, Ronchetti, Rousseevw ve Stahel (1986) ve Rowseeuw ve Leray (1987) ye başvurulabilir NORMALLİK VARSAYIMININ GERÇEKLEŞMEMESİ Hataların normal dağılış göstermesi, regresyon parametrelerinin tahminlenmesi ve toplam varyasyonun parçalanması için gerekli değildir. Normallik varsayımı, yalnızca parametrelerin güven aralıklarının kurulmasında ve anlamlılık testlerinde gerekmektedir. t-testi, F-testi ve ki-kare testleri şans değişkenlerinin normal dağılış gösterdiği varsayımı altında yapılır.

2 Normallik, birçok durumda makul bir varsayımdır. Bununla beraber, bazı durumlarda normallik varsayımının yapılması uygun değildir. Gözlenen bağımlı değişken Y, bir olayın gerçekleşme sayısı (frekansı) olduğunda, bu tip sayma verileri daha çok Poisson dağılışı gösterir. Eğer Y, sabit sayıda deneme sonucunda ortaya çıkan başarı sayısının oranı ve gözlemler birbirinden bağımsız ise, buradaki veriler Binom dağılışı gösterir. Güvenilirlik çalışmalarındaki iki başarısızlık arasındaki zaman (time to failire), üstel dağılış gösterme eğilimindedir ve bu yüzden normal dağılış göstermez. Normallik varsayımının sağlanmaması, parametrelerin tahminlenmesini etkilemez. Diğer varsayımlar sağlandığında en küçük kareler tahminleri en iyi doğrusal sapmasız tahminler olmaya devam ederler. Bununla beraber, anlamlılık testleri veya güven katsayıları ile ilgili olan olasılık seviyeleri genellikle geçerli olmazlar. F-testi ise genellikle normalliğin sağlanması durumuna karşı daha dirençlidir. Güven aralığı tahminleri, özellikle dağılış oldukça çarpık veya sabit sınırlara sahipse, normal olmama durumundan ciddi olarak etkilenirler. Eğer dağılış asimetrik ise, normallik varsayımına dayanan çift taraflı simetrik güven aralığı tahminleri, her iki tarafta eşit olasılıkla dağılmayacaktır ve hatta parametrelerin doğal sınırlarını bile zayıflatabilir. Örneğin, oran verilerinde normalliğin varlığı kabul edilirse, oranların güven aralığı tahminleri sıfırdan küçük veya birden büyük değerler olarak bulunabilir. Artıkların plotları, çarpıklık ve basıklık katsayıları, normal olmama durumunun tespit edilmesinde yardımcı olurlar. Çarpıklık katsayısı dağılımın asimetresini, basıklık katsayısı ise dağılış eğiliminin yassı veya sivri olup olmadığını ölçer. Normal dağılış için çarpıklık katsayısı sıfır, basıklık katsayısı üçtür. Bölüm 6 da belirtildiği gibi örnek hacmi yeterince büyük olduğunda, artıkların frekans dağılışı, simetri ve basıklık için karar vermede kullanılabilir. Normalliğin sağlanması durumunda bir doğru veren, bir tam normal veya yarı normal grafiğin kullanımı ise daha kolaydır. Bu grafikler, verilerden elde edilen, sıralanmış artıklar ile bir normal dağılıştan (sıfır ortalamalı ve birim varyanslı) elde edilen sıralanmış gözlemlerin beklenen değerlerini karşılaştırır. Tam-normal grafik, artıkları olduğu gibi, yarı-normal grafik ise artıkların mutlak değerlerini kullanır. Değişik normal grafik biçimleri, normallikten uzaklaşmanın değişik durumlarını açığa vurmaktadır. Bu plotlar ile ilgili ayrıntılı açıklamalar Bölüm 6 da verilmiştir. Bağımlı değişkenin başka bir yapıya dönüşümü (transformasyonu), normallik varsayımının sağlanması için sıkça uygulanan bir yöntemdir. İstatistik teorisine göre, orjinal bağımlı değişkenin dağılışı bilindiğinde bu tip bir dönüşüm yapılabilir. Birçok dönüşüm (arcsin, karekök, logaritmik ve lojistik dönüşümler gibi), şans değişkenlerinin bilinen bir dağılışa (normal olmayan) sahip olduğu beklentisi altında geliştirilmiştir. Birçok uygulamada, örnek verileri, normalliğin sağlanması için uygun olan dönüşümün bulunması ile ilgili gerekli bilgiyi sağlar. Artık plotları, uygun dönüşüm ile ilgili fikir verebilir. Bundan başka birden çok sayıda dönüşüm denenerek normallik varsayımını en iyi sağlayan bir tanesi seçilebilir. Bunlara alternatif olarak, Box ve Cox (1964) tarafından önerilen, kuvvet dönüşümü yöntemi kullanılabilir. Dönüşümler ile ilgili ayrıntılı açıklamalar Bölüm 1 de verilmiştir.

3 10. FARKLI (HETEROJEN)VARYANSLILIK Sabit varyans varsayımı, bağımlı değişkendeki her gözlemin, eşit miktarda bilgiyi içerdiği anlamına gelmektedir. Diğer bir ifadeyle, sıradan en küçük karelerdeki tüm gözlemler eşit ağırlıktadır. Diğer taraftan, farklı varyanslılığın ortaya çıkması durumunda, bazı gözlemler diğerlerinden daha fazla bilgiyi içermektedir. Sıradan en küçük kareler tahminleyicilerinin minimum varyans özelliği bu varsayıma doğrudan bağımlıdır. Gözlemler sıradan en küçük kareler ile eşit ağırlıklandırıldığında, eğer varyanslar eşit değilse, parametre tahminleri minimum varyans özelliğini taşımazlar. Sıradan en küçük karelerde farklı varyanslar, doğrudan tahminlerin hassasiyet kaybına neden olmaktadır. Bu hassasiyet kaybı ancak, farklı varyanslılık dikkate alınarak elde edilen tahminlerin hassasiyetleri ile dikkate alınmadan elde edilen tahminlerin hassasiyetleri karşılaştırılarak görülebilir. Normal olmama durumunda olduğu gibi, farklı varyanslılığın da verilerden kaynaklanması beklenir. Normal olmayan dağılışları veren aynı durumlar, farklı varyanslılığa da neden olurlar. Bunun nedeni, normal olmayan diğer dağılışlarda varyansın, dağılış ortalaması ile ilişkili olmasıdır. Bununla beraber, verilerin kendi içindeki gruplar ayrı ayrı normal dağılış gösterseler bile, bu dağılışların varyansları gruptan gruba değişiklik gösterebilir. Genel olarak, büyük varyanslar, büyük ortalamalara sahip gruplar ile birlikte ortaya çıkmaktadır. Çeşitli artık grafıkleri farklı varyanslılığı tespit etmek için kullanılabilir. Farklı varyanslılığın önlenmesi için iki ayrı yaklaşım vardır. Bunlar, bağımlı değişkenin dönüşümü ve ağırlıklı en küçük kareler (AEKK) yöntemleridir. Bağımlı değişkenin dönüşümü yaklaşımı daha yaygındır (Rawlings,1988). Buradaki dönüşüm, dönüşüm sonucunda elde edilen şans değişkeninin varyansı eşit (homojen) olacak şekilde seçilir. Bağımlı değişkenin olasılık dağılışı hakkındaki bir ön bilgi veya ortalama ile varyans arasındaki ilişki hakkındaki deneysel bilgi, dönüşümün yapısı hakkında bilgi verir. Örneğin arcsin dönüşümü, bağımlı değişken binom dağılışı gösterdiği durumlarda, varyansı sabit hale getirmek için tasarlanmıştır. Ağırlıklı en küçük kareler ise, bağımlı değişkenin orijinal metriğini kullanır. Ancak, içerdiği bilginin miktarına göre her bir gözlemi ağırlıklandırır. Bağımlı değişkenin transformasyonu ve ağırlıklı en küçük kareler ile ilgili ayrıntılı açıklamalar Bölüm 1 de verilmiştir HATALAR ARASINDA KORELASYON OLMASI (OTOKORELASYON) Hataların arasındaki korelasyonun (otokorelasyon) birçok kaynağı olabilir. Bir zaman serisinde toplanan verilerin korelasyonlu hatalara sahip olması sıkça rastlanan bir durumdur. Bir zaman noktasındaki gözlem ile ortaya çıkan hata, bir önceki gözlem ile ortaya çıkan hata ile korelasyonlu olma eğilimi gösterebilir. Zaman içerisinde sürekli olan bir fiziksel süreç, serisel korelasyon gösterebilir. Örneğin, bir fabrika bacasından çıkan, havayı kirleten kimyasal maddelerin yayılması üzerindeki saatlik ölçümler, yüksek derecede serisel korelasyona sahip olacaktır. Aynı birimler üzerinde, zaman içerisinde tekrarlı ölçümlerin yapıldığı biyolojik araştırmalarda da (tarla mahsulleri

4 ve hayvan geliştirme çalışmaları veya klinik deneyler gibi), genellikle korelasyonlu artıklar ortaya çıkar. Korelasyonlu hataların sıradan en küçük kareler sonuçları üzerindeki etkisi, farklı varyanslılığın etkisi gibi, tahminlerin hassasiyet derecesinde kayba neden olmasıdır. Analiz yapılırken farkedilmeyen korelasyonlu hatalar, varyansların tahminlerinde sapmaya yol açar. Böylece tahminlerin hassasiyetlerinin tüm ölçümleri sapmalı olur ve anlamlılık testleri geçerliliklerini kaybederler. Verilerin yapısı, bazen korelasyonlu hataların varlığının önerebilir. Zaman sırasında toplanmış herhangi bir veri seti, kuşkuyla ele alınmaktadır ve korelasyonunun önemsiz olduğu gösterilmedikçe zaman serisi gibi görülmelidir. Bir deneyin rassallığındaki yetersizlikten veya rassallık planındaki bir hatadan kaynaklanan korelasyonlu hataların tespit edilmesi ise zordur. Bu tip durumlarda, aşırı derecedeki küçük hata varyansları bir fikir verebilir. Diğer durumlarda ise, verilerin toplandıkları sıraya bağlı olarak, artıkların grafiğinin çizilmesi otokorelasyonunun olup olmadığını belirlemek amacıyla kullanılabilir. Otokorelasyonun tespit edilmesi amacıyla kullanılan artık grafikleri Bölüm 6 da verilmiştir. Otokorelasyon probleminin çözümü, verilerdeki korelasyon yapısını hesaba katan bir modelin kullanılmasıdır. Çeşitli zaman serisi modelleri ve analizleri, belirli yapılardaki korelasyonlu hataları dikkate alarak kurulmuştur. Genelleştirilmiş en küçük kareler (GEKK) korelasyonlu hatalara sahip verilerin analizi için genel bir yaklaşımdır. Burada da ağırlıklı en küçük karelerde olduğu gibi artıkların başlangıç varyans-kovaryans matrisi kullanılmaktadır. Ancak artıklar arasındaki kovaryanslar genellikle bilinmemektedir ve verilerden tahminlenmesi gerekmektedir. Eğer korelasyon yapısı basit değilse tahminlenmesi zordur ve korelasyon matrisinin zayıf tahminlenmesi, hassasiyet kaybına neden olur, Rawlings(1988). Genelleştirilmiş en küçük kareler Bölüm 1 de anlatılmıştır ETKİLİ VERİ NOKTALARI VE SAPANLAR Sıradan en küçük kareler yöntemi, her bir gözleme eşit ağırlık vermektedir. Bununla beraber, her gözlem, çeşitli en küçük kareler sonuçları üzerinde eşit etkiye sahip değildir. Örneğin, basit doğrusal regresyon probleminde eğim en çok, ortalamadan en uzakta bulunan bağımsız değişken değerlerine sahip gözlemlerden etkilenmektedir. Diğer veri noktalarından uzak olan tek bir nokta, regresyon sonuçları üzerinde, hemen hemen tüm diğer noktaların toplamı kadar bir etkiye sahip olabilir. Bu tip gözlemler etkili noktalar (influential points) olarak adlandırılır. Sapan terimi, veri setindeki kalan gözlemlerle karşılaştırıldığında tutarsız olarak görünen gözlem için kullanılır. Bir gözlem, bağımlı değişken veya bir ya da daha fazla sayıdaki bağımsız değişkenin, beklenen limitleri dışında değerler alması nedeniyle sapan gözlem olabilir. Yüksek etki noktası (potansiyel etkili gözlem) terimi, bir ya da daha fazla sayıdaki bağımsız değişkendeki sapan gözlem için kullanılır. Sapan terimi, bağımlı değişken değerleri içerisinde, diğer gözlemler ile karşılaştırıldığında tutarsız olan gözlem için kullanılır. Artıklardaki Sapan terimi ise, gözlenen artığın, beklenen varyasyonundan daha büyük olduğu veri noktası için kullanılır. Burada sapan terimi bağımlı değişken veya artığın değerine karşılık gelecek şekilde kullanılmıştır.

5 Bir veri noktası, çalışmanın yürütülmesindeki hatalardan (makinaların görevini tam yapmaması;kayıt, kodlama veya veri girişi hataları; deneysel planı izlemedeki başarısızlar) veya veri noktasının başka bir anakütleden gelmesinden dolayı sapan ya da yüksek etki noktası olabilir. Veri noktasının başka bir anakütleden gelmesine, örnek olarak sistemin ülke dışına çıkmasından dolayı meydana gelen yönetim değişiklikleri veya tipik olmayan çevre koşullarının ortaya çıkması gibi olaylar gösterilebilir. Kullanılan model süreci yeterli derecede temsil etmiyorsa, aslında doğru olan bir nokta, sapan artığa sahip bir sapan olarak görülebilir. Diğer taraftan, gerçek bir sapan, etkili nokta ise sapan artığa sahip olmayabilir. Etkili veri noktaları regresyon doğrusunu zorlama eğilimindedirler ve bu yüzden genellikle küçük artıklara sahiptirler. Etkili noktaların ve sapanların tespit edilmesi gerekmektedir. Çünkü yalnızca birkaç gözlemin etkisinde olan regresyon sonuçları güvenilir olmazlar. Doğrulanması gereken ilk şüphe, bu veri noktalarının doğru olup olmadığıdır. Açık bir şekilde farkedilebilen hatalar, eğer mümkünse düzeltilmelidir. Aksi halde, veri setinden çıkarılmalıdır. Açık bir şekilde hata olarak tanımlanamayan veya üzerinde çalışılan sistem hakkında içerdiği bilgi nedeniyle, dikkatli bir şekilde incelenmesi gereken doğru bir nokta olabilir. Acaba, bu noktalar üzerinde çalışılan model veya tasarımdaki yetersizlikleri mi yansıtmaktadır? Sapanlar ve etkili veri noktaları, rastgele çıkartılmamalıdır. Öyle ki, bir sapan, çalışmadaki en çok bilgi verici gözlem bile olabilir. Potansiyel olarak daha etkili olan noktalar, kestirim matrisi H nin köşegen elemanlarının kontrol edilmesiyle bulunabilir. H nin köşegen elemanları, örnek noktaları ile örnek X-uzayının merkezi arasındaki öklid uzaklığının ölçüsünü verir. Ancak bir potansiyel etkili noktanın, gerçekte etkili olup olmadığı, her bir veri noktasının regresyon sonuçları üzerindeki etkisi doğrudan ölçülerek bulunur. Bazı etkili gözlem istatistikleri Bölüm 11 de verilmiştir. Sapanlar, gözlenen artıkların analizi ile tespit edilebilir. Genellikle artıkların genel bir varyansa sahip olmaları için önce standardize edilmeleri tavsiye edilir. Bazı yazarlar ise tekrarlı (recursive) artıkların kullanılmasını tavsiye etmiştirler. Sıfırdan birkaç standart sapma uzaklığında olan bir artık, dikkatlice gözden geçirilmesi gereken bir gözlem noktasına işaret etmektedir. Normallik ve varyans homojenliği varsayımlarının sağlanıp sağlanmadığını tespit etme amacı ile kullanılan artıklarının plotları, sapanları tespit etme de etkilidirler. Sapanların tespit edilmesi Bölüm 11 de anlatılmıştır MODEL YETERSİZLİKLERİ Eğer model doğru ise, sıradan en küçük kareler tahminleyicileri sapmasızdır. Ancak bazı nedenlerden dolayı doğru değilse sapmalı olurlar. Örneğin, önemli bir bağımsız değişken modelde ihmal edilmişse, artık kareler ortalaması, nin (pozitif) sapmalı bir tahmini olur. Ayrıca regresyon katsayıları da sapmalı olur, (ihmal edilen değişken, modeldeki diğer değişkenlere ortogonal değilse). Bağımsız değişkenlerin yalnızca birinci kuvvetlerini kullanan genel doğrusal model, Y nin her bir bağımsız değişken ile olan ilişkinin doğrusal olduğunu ve her bir bağımsız değişkenin etkisinin diğer değişkenlerden bağımsız olduğunu varsayar. Önemli olan daha yüksek dereceli polinom terimlerin

6 (etkileşim terimleri de dahil olmak üzere) ihmal edilmesinin etkisi, önemli bir bağımsız değişkenin ihmal edilmesinin etkisi ile aynıdır. Karmaşık yapıdaki bir fiziksel, kimyasal veya biyolojik sürecin, parametreleri açısından doğrusal olması genellikle beklenmez. Bu durumda, yüksek dereceli polinom terimleri içeren doğrusal model, gerçek süreç modelinin bir yaklaşımı olarak ele alınmalıdır. Gerçek ilişkinin doğrusal olmadığı durumlarda doğrusal bir model kullanılmasındaki temel düşünce, doğrusal olmayan fonksiyona, istenilen bir doğruluk derecesinde, uygun sayıda polinom terimleri olan doğrusal bir model ile yaklaşılabileceğidir. Böylece, doğrusal model, ilgilenilen sınırlı bir bölgede tatmin edici bir yaklaşım sağlar. Yaklaşımın yeterli olmaması durumunda, en küçük kareler sonuçları, önemli bir değişkenin ihmal edilmesi durumunda olduğu gibi sapmalı olacaktır. Süreç modellerine doğrusal modeller ile yaklaşılması Cevap Yüzeyi Yöntem Bilimi (Respanse Surface Methodology) ile ilgili olup, bu kitabın kapsamı dışında tutulmuştur. Cevap Yüzeyi Yöntem Bilimi ile ilgili ayrıntılar Box ve Draper (1987) ve Kluriz ve Cornell (1987) de bulunmaktadır. Model yetersizliklerinin tespit edilmesi problemin yapısına ve sistemden elde edilebilen bilginin miktarına bağlıdır. Artık kareler ortalamasındaki sapma ve dolayısıyla ihmal edilen terimin varlığı, nin bağımsız bir tahmini, birçok tasarlanmış deneyde olduğu gibi, elde edilebiliyorsa tespit edilebilir. Diğer durumlarda, önceki deneyimler nin büyüklüğü hakkında bir fikir vermişse, artık kareler ortalaması içinde sapmanın olup olmadığına karar verilebilir. Dikkate alınmayan yüksek dereceli polinom terimler uygun artık plotları ile kolayca görülebilir. Tümüyle ihmal edilmiş bağımsız değişkenlerin tespit edilmesi ise daha zordur. Artıklardaki standart olmayan durumlar bir takım ipuçları verebilir. Doğrusal yaklaşımlara alternatif olarak daha gerçekçi olan doğrusal olmayan modeller kullanılabilir. Bazı doğrusal olmayan modeller, bağımlı değişkenin uygun bir dönüşümü ile doğrusallaştırılabilir. Bu tip modeller aslında doğrusal modeller olarak adlandırılır. Dönüşümden sonra hatalar üzerindeki varsayımlar sağlanıyorsa, doğrusallaştırılmış modele sıradan en küçük kareler uygulanabilir. Aslında doğrusal olmayan modeller, parametrelerin tahminlenmesi için doğrusal olmayan en küçük karelerin kullanılmasını gerektirir. En küçük kareler varsayımlarını daha yakın sağlayacağına inanılıyorsa, aslında doğrusal modellerin doğrusal olmayan formları tercih edilebilir. Doğrusal olmayan modeller bu kitabın kapsama alanı dışında tutulmuştur. Konu ile ilgili ayrıntılar Bates ve Watts (1988) ve Seber ve Wid (1989) da bulunmaktadır DOĞRUSAL BAĞLANTI PROBLEMİ X matrisinin tekilliği, X matrisinin bazı sütunlarının doğrusal fonksiyonun kesin olarak sıfır vektörüne eşit olması durumunda çıkar. Böyle durumlar en küçük kareler analizinde (X T X) 1 mevcut olmadığında belli olur. Daha sıkıntılı bir durum ise X matrisi tekile yakın olduğunda, yani vektörlerin doğrusal fonksiyonu sıfıra yakın olduğunda ortaya çıkar. Gereğinden fazla olan değişkenler (aynı bilgiyi değişik formlarda açıklamaktadır), X matrisinin tekile yakın olmasına neden olurlar. Bir

7 sistemde birbirine yakın olarak bağlanmış (link edilmiş), birbirine bağımlı değişkenler X matrisindeki yaklaşık tekilliğe neden olabilir. Yaklaşık tekillik durumlarında normal eşitliklerin tek bir çözümü mevcuttur; ancak bu çözüm oldukça kararsızdır. Böyle bir durumda Y veya x deki küçük değişikler (şansa bağlı gürültü), regresyon katsayılarının tahminlerinde şiddetli değişmelere neden olabilir. Ayrıca regresyon katsayılarının varyansları oldukça büyük olurlar. Aslında, X matrisinin yaklaşık tekil olmasından kaynaklanan problemler doğrusal bağlantı problemi olarak adlandırılır. Doğrusal bağlantı problemi Bölüm 13 de tanımlanmıştır. Doğrusal bağlantının en küçük kareler üzerindeki etkisi, eğer regresyon katsayıları ile tek tek ilgileniliyorsa veya amacımız süreçteki önemli değişkenleri ortaya çıkarmaksa, oldukça ciddidir. Regresyon katsayılarının tahminleri, tahminlenmiş oldukları parametreden büyük farklılıklar gösterebilir; hatta yanlış işarete bile sahip olabilir. Regresyon eşitliğinin kestirim amacıyla kullanılması, örnekte gözlenen korelasyon yapısı kestirim anakütlesinde de kalıyorsa ve kestirim, örnek X-uzayında sınırlandırılmışsa, doğrusal bağlantıdan ciddi bir şekilde etkilenmez. Bununla beraber, örnek uzayının dışında sistem için kestirim yapıldığında sonuçlar yanıltıcı olabilir. Yaklaşık doğrusal bağlantının varlığı durumunda örnek X-uzayı oldukça dar olur. Böylece bu dar bölgenin dışında kestirim noktaları seçilmesi olasılığı vardır ve bunu tespit etmek oldukça zordur. Bağımsız değişken değerlerinin limitleri içindeki noktalar örnek uzayından uzakta bir yerde olabilir. Birçok istatistik bilgisayar programı, doğrusal bağlantının varlığı durumunda kullanıcıyı uyarmak üzere tasarlanmıştır (MINITAB doğrusal bağlantının varlığı durumunda kullanıcıyı uyarmaktadır). Bununla beraber bazı ipuçları gözlenebilir. Bunlar: regresyon katsayıları için mantıksız değerler, büyük standart hatalar, model mantıklı bir uyum sağladığı halde anlamsız olan kısmi regresyon katsayıları ve regresyon sonuçlarında önemsiz görülen ancak önemli olduğu bilinen değişkenler. Doğrusal bağlantının tespit edilmesi doğrudan X matrisininin tekil değer ayrışımı veya X T X matrisininin özdeğer-özvektör analizi ile sağlanabilir. Bu durumlar Bölüm 13 de incelenmiştir. Bunların doğrusal bağlantıyı tespit etmek amacıyla kullanılması ve diğer doğrusal bağlantı tanıları Bölüm 13 de incelenmiştir. Doğrusal bağlantı probleminin çözümü, modelin kurulmasındaki amaca bağlıdır. Eğer amaç kestirim ise, örnek X-uzayında doğrusal bağlantı ciddi bir problem yaratmaz. Bununla beraber, yukarıda tartışılan sınırlamalar dikkate alınmalıdır. Eğer en önemli amaç regresyon katsayılarının tahminlenmesi ise, sapmalı regresyon yöntemlerinden birisi kullanılabilir (bkz.bölüm13). Daha iyi bir çözüm ise, eğer mümkünse, yeni veya ek verilerin elde edilmesi ve böylece örnek X-uzayının yaklaşık tekilliği ortadan kaldırmak için genişletilmesidir. Söz konusu amaç bir sistemdeki önemli değişkenleri tanımak veya sistemi modellemek ise, kuvvetli doğrusal bağlantının olması durumunda regresyon sonuçları fazla yardımcı olmazlar ve yanıltıcı olabilirler. Burada, değişkenlerin korelasyon yapısını anlamak ve bağımlı değişkenin bu yapıya nasıl

8 uyumunun yapılacağını araştırmak daha verimli olur. Ana bileşenler analizi ve ana bileşenler regresyonu bu yapıyı anlamada yardımcı olurlar. Bu konular Bölüm 13 de tartışılmıştır BAĞIMSIZ DEĞİŞKENLERDEKİ HATALAR Orijinal model, bağımsız değişkenlerin hatasız olarak ölçüldüğünü varsaymaktadır. Regresyon modelinde bağımsız değişkenler sabit olarak ele alınmaktadır. Ölçüm hassasiyetine bağlı olarak, ısı basınç, kişinin yaşı gibi bağımsız değişkenler ölçülerken hata yapılabilir. Değişkenleri hatalı olan modellerde, bağımsız değişkenlerin gerçek değerleri ölçüm hataları ile maskelenmektedir. Böylece gözlenen X i i =X i + i (10.1) olur. Burada i, X i nin gözlenmeyen gerçek değeri ve i, ölçüm hatasıdır. Hatanın sıfır ortalamaya ve sabit varyans ye sahip olduğu varsayılır. Regresyon modeli Y i nin gerçek değer i nin bir fonksiyonu olduğunu varsaymaktadır. Basit regresyon modeli için, Y X i 0 1 i i ve sadece X i gözlendiği için Y i 0 1 i i i i 0 1 i i 1 i Y (10.) Bu model bağımsız değişkeni X i ve hata terimi (ε i - 1 σ i ) olan bir regresyon modeli olarak görülse de değildir. Bağımsız değişken şans değişkeni olup hata terimi ile ilişkilidir. X in rassal değişken olduğu modeller için de rassal bağımsız değişken hata teriminden bağımsız olmalıdır. Modeli belirlemek için aşağıdaki varsayımlar yapılabilir. E( i )=0 E(ε i )=0 E(ε i i )=0 Bunun sonucu olarak, E X E i i i i bulunur. Kovaryans ise, ; X i i 1 i 1 i (10.3a) (10.3b) (10.3c) (10.4) eşitliği ile tanımlanır, bkz Alıştırma Eğer açıklayıcı değişkenlerde ölçüm hatası varsa ortaya çıkan iki önemli problem açıklayıcı değişken ile hata arasında çıkan kovaryans yapısı ve parametre tahminlerinde oluşan sapmadır.eğer X ve Y arasında bir regresyon ilişkisi varsa eşitlik (10.4) ile verilen kovaryans sıfır olamaz. Eğer model (10.) ye EKK uygulanırsa b i parametre tahminleri sapmalı olacaktır ve kararlılık özelliğini kaybedeceklerdir. Sapmasız tahminleyicileri elde etmek için kullanılabilecek iki temel yaklaşım: Eşitlik (10.3) de belirtildiği gibi i nın dağılımı ve i ile i arasındaki kovaryans üzerine güçlü varsayımlar yapılır. İkinci yaklaşım ise X in gerçek değeri ile ilişkisi bilinen fakat ölçüm hatasına sahip olmayan değişkenleri (alet instrumental) kullanmaktır.

9 Bu probleme sıradan en küçük kareler uygulandığında, gözlenmeyen i nin yerine X i kullanılırsa, nın sapmalı bir tahmini elde edilir. Genel olarak b, gerçek eğimin mutlak değerini, olması gerekenin altında tahminler. Eğer ölçüm hataları i ler i den bağımsız ise b nın beklenen değeri yaklaşık olarak E b 1 n Xi (10.3) şeklinde bulunur. Eşitlik (10.3) ün paydası ölçüm hatası mevcut olduğunda, >0, her zaman 1 den büyük olur. Eğer değeri X i n e göre küçük ise, sapmada küçük olur. Bu koşullar altında nın tahminlenmesi için birkaç yöntem geliştirilmiştir. Fakat bu yöntemlerin hiç biri tamamen tatmin edici yöntemler değildir. Riggs, Guanieri ve Addelman (1978) bilgisayar benzetim (simulation) çalışmaları ile tahminleyicilerin davranışlarını araştırmışlardır. Daha açık çözümlerden bir tanesi ise değerinin bilindiğini varsayıp sapma için X i değerini kullanarak b tahminini düzeltmeye çalışan yöntemdir, (Madansky, 1959). Riggs ve diğerleri bu yöntemin hataların oldukça büyük olduğu durumlarda kullanılmamasını tavsiye etmişlerdir. Bir diğer öneri veri setinin ikiye (Wald 1940) ya da üçe (Bartlett 1949) ayrılıp daha sonra uç grupların aritmetik ortalama değerlerinin bir ortalama eğim hesaplamak için kullanılmasıdır. Wald ve Bartlett yaklaşımlarının performansı birbirine yakın olup sıradan EKK yöntemine göre sapmayı biraz azaltır buna karşın varyansda biraz artış oluşturur. Daha detaylı bilgi Riggs, Guanieri ve Addelman (1978) çalışmasında bulunabilir. Açıklayıcı değişkenlerdeki hata problemine farklı bir yaklaşım ise i ile ilişkili fakat i ile ilişkili olmayan başka bir değişkendeki bilgiyi kullanarak nın kararlı bir tahminini elde etmektir. Bu tür değişkenler alet (instrumental) değişkeni olarak adlandırılır. Alet değişkenlerin kullanılması regresyon parametrelerinin tutarlı tahminlerinin elde edilmesine imkan sağlar. Alet değişkenler ile ilgili daha detaylı bilgi Feldstein (1974) ile Carter ve Fuller (1980) çalışmalarında bulunabilir. Değişkenlerdeki ölçüm hatası konusu regresyon analizi problemini daha karmaşık hale getirmektedir. Tüm durumlara çözüm olacak şekilde bir yaklaşımın mevcut olmadığı görülmektedir. Mümkün olduğu durumlarda bu problemi göz ardı etmek en iyi çözüm olarak görülmektedir. Sıradan EKK tahminlerinde oluşan sapma değerinin X n değerine oranına bağımlıdır. Bu nedenle problem i X değişkeninin yayılımının ölçüm hatasına göre göreceli olarak büyük bir şekilde bir tasarımın belirlenmesi ile en küçüklenebilir. Böyle bir X matrisi ile sıradan EKK tahminleri yeterli hassasiyete sahip olacaktır. X in ölçüm hatasına sahip olduğu durum ile x in şans değişkeni olduğu durum arasındaki fark: X şans değişkeni ise analizcinin kontrolü dışındadır ve deneyden deneye şansa bağlı olarak değişir. Bu durumda X ölçüm hatasına sahip değilse kesin olarak (verilen bir deneme için) ölçümlenir. Bazı

10 araştırmalarda ise X belirli değerlerde sabitlenir. Örneğin ısı ve basınç gibi. Fakat bu değişkenleri istenen hassasiyette sabitlemek mümkün olmadığından X ölçüm hatalı olarak adlandırılır. Ölçüm hatalı modeller bu kitabın kapsamı dışında tutulup, ayrıntılar Fuller(1987) de bulunmaktadır.

İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ...

İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1. Regresyon Analizi... 1 1.2. Uygulama Alanları ve Veri Setleri... 2 1.3. Regresyon Analizinde Adımlar... 3 1.3.1. Problemin İfadesi... 3 1.3.2. Konu ile İlgili Potansiyel

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

DİNAMİK PANEL VERİ MODELLERİ. FYT Panel Veri Ekonometrisi 1

DİNAMİK PANEL VERİ MODELLERİ. FYT Panel Veri Ekonometrisi 1 DİNAMİK PANEL VERİ MODELLERİ FYT Panel Veri Ekonometrisi 1 Dinamik panel veri modeli (tek gecikme için) aşağıdaki gibi gösterilebilir; y it y it 1 x v it ' it i Gecikmeli bağımlı değişkenden başka açıklayıcı

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

2. BASİT DOĞRUSAL REGRESYON 12

2. BASİT DOĞRUSAL REGRESYON 12 1. GİRİŞ 1 1.1 Regresyon ve Model Kurma / 1 1.2 Veri Toplama / 5 1.3 Regresyonun Kullanım Alanları / 9 1.4 Bilgisayarın Rolü / 10 2. BASİT DOĞRUSAL REGRESYON 12 2.1 Basit Doğrusal Regresyon Modeli / 12

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK

Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK İçindekiler Test İstatistikleri Merkezi Eğilim Tepe Değer (Mod) Ortanca (Medyan) Aritmetik Ortalama Merkezi Dağılım Dizi Genişliği (Ranj) Standart Sapma Varyans Çarpıklık

Detaylı

KONULAR. 14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi

KONULAR. 14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi ÇOKLU REGRESYON ANALİZİNDE EK KONULAR Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

009 BS 400- İstatistik sonılannın cevaplanmasında gerekli olabilecek tablolar ve formüller bu kitapçığın sonunda verilmiştir. 1. şağıdakilerden hangisi doğal birimdir? l TV alıcısı Bl Trafik kazası CL

Detaylı

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Temel İstatistik Tanımlayıcı İstatistik Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011 DAĞILIM / YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ Verilerin değişkenlik durumu ve dağılışın şeklini

Detaylı

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ 1 1. GİRİŞ Trent, serinin genelinde yukarıya ya da aşağıya doğru olan hareketlere denmektedir. Bu hareket bazen düz bir doğru şeklinde olmaktadır. Bu tür harekete sahip

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

İSTATİSTİKSEL VERİ ANALİZİ

İSTATİSTİKSEL VERİ ANALİZİ İSTATİSTİKSEL VERİ ANALİZİ Prof. Dr. Gül ERGÜN Hacettepe Üniversitesi Kasım 2013 İstatistik Nedir? İSTATİSTİK Belirli bir konuda toplanan sayısal değerlerdir. Buna göre, 2012 yılında Türkiye de kayıtlı

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler Bölüm 3 Tanımlayıcı İstatistikler 1 Tanımlayıcı İstatistikler Bir veri setini tanımak veya birden fazla veri setini karşılaştırmak için kullanılan ve ayrıca örnek verilerinden hareket ile frekans dağılışlarını

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

İçindekiler vii Yazarların Ön Sözü xiii Çevirenin Ön Sözü xiv Teşekkürler xvi Semboller Listesi xvii. Ölçme, İstatistik ve Araştırma...

İçindekiler vii Yazarların Ön Sözü xiii Çevirenin Ön Sözü xiv Teşekkürler xvi Semboller Listesi xvii. Ölçme, İstatistik ve Araştırma... İçindekiler İçindekiler vii Yazarların Ön Sözü xiii Çevirenin Ön Sözü xiv Teşekkürler xvi Semboller Listesi xvii BÖLÜM 1 Ölçme, İstatistik ve Araştırma...1 Ölçme Nedir?... 3 Ölçme Süreci... 3 Değişkenler

Detaylı

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 1 Karşılaştırma istatistiği Temel kavramlar: Örneklem ve evren:

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

OLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler

OLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler 1 SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.

Detaylı

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON ANALİZİ: ÇIKARSAMA Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri

Detaylı

Zaman Serileri. IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören

Zaman Serileri. IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören Zaman Serileri IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören Zaman Serisi nedir? Kronolojik sırayla elde edilen verilere sahip değișkenlere zaman serisi adı verilmektedir. Genel olarak zaman serisi,

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. Tanım Hipotez, bir veya daha fazla anakütle hakkında ileri sürülen, ancak doğruluğu önceden bilinmeyen iddialardır. Ortaya atılan iddiaların, örnekten elde edilen

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

BÖLÜM-1.BİLİM NEDİR? Tanımı...1 Bilimselliğin Ölçütleri...2 Bilimin İşlevleri...3

BÖLÜM-1.BİLİM NEDİR? Tanımı...1 Bilimselliğin Ölçütleri...2 Bilimin İşlevleri...3 KİTABIN İÇİNDEKİLER BÖLÜM-1.BİLİM NEDİR? Tanımı...1 Bilimselliğin Ölçütleri...2 Bilimin İşlevleri...3 BÖLÜM-2.BİLİMSEL ARAŞTIRMA Belgesel Araştırmalar...7 Görgül Araştırmalar Tarama Tipi Araştırma...8

Detaylı

Korelasyon, Korelasyon Türleri ve Regresyon

Korelasyon, Korelasyon Türleri ve Regresyon Korelasyon, Korelasyon Türleri ve Regresyon İçerik Korelasyon Korelasyon Türleri Korelasyon Katsayısı Regresyon KORELASYON Korelasyon iki ya da daha fazla değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi gösterir.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler

Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüsü, bir veri setindeki merkezi, yada tipik, tek bir değeri ifade eder. Nicel veriler için, reel sayı çizgisindeki

Detaylı

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek,

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, İSTATİSTİK 8.Hafta Değişkenlik Ölçüleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, Serilerin birbirlerine değişkenliklerini yorumlayabileceksiniz. 2

Detaylı

Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder.

Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder. Yayılma Ölçütleri Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder. Bir başka ifade ile, bir veri setinin,

Detaylı

VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ

VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ Outlier : Veri setinde normal olmayan değerler olarak tanımlanır. Ders: Kantitatif Yöntemler 1 VERİ SETİNE GENEL BAKIŞ Veri setinden değerlendirme başlamadan çıkarılabilir. Yazım

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK DERSLERİ AMAÇ VE HEDEFLERİ

BİYOİSTATİSTİK DERSLERİ AMAÇ VE HEDEFLERİ BİYOİSTATİSTİK DERSLERİ AMAÇ VE HEDEFLERİ DÖNEM I-I. DERS KURULU Konu: Bilimsel yöntem ve istatistik Amaç: Biyoistatistiğin tıptaki önemini kavrar ve sonraki dersler için gerekli terminolojiye hakim olur.

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME BETİMLEYİCİ İSTATİSTİK VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME Bir amaç için derlenen verilerin tamamının olduğu, veri kümesindeki birimlerin sayısal değerlerinden faydalanarak açık ve net bir şekilde ilgilenilen özellik

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans

Detaylı

Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER

Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER Gözden Geçirilmiş ve Genişletilmiş 8. Baskı Frekans Dağılımları Varyans Analizi Merkezsel

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel

Detaylı

BÖLÜM 1: YAşAM ÇÖzÜMLEMEsİNE GİRİş... 1

BÖLÜM 1: YAşAM ÇÖzÜMLEMEsİNE GİRİş... 1 ÖN SÖZ...iii BÖLÜM 1: Yaşam Çözümlemesine Giriş... 1 1.1. Giriş... 1 1.2. Yaşam Süresi... 2 1.2.1. Yaşam süresi verilerinin çözümlenmesinde kullanılan fonksiyonlar... 3 1.2.1.1. Olasılık yoğunluk fonksiyonu...

Detaylı

İSTATİSTİK-II. Korelasyon ve Regresyon

İSTATİSTİK-II. Korelasyon ve Regresyon İSTATİSTİK-II Korelasyon ve Regresyon 1 Korelasyon ve Regresyon Genel Bakış Korelasyon Regresyon Belirleme katsayısı Varyans analizi Kestirimler için aralık tahminlemesi 2 Genel Bakış İkili veriler aralarında

Detaylı

LOJİSTİK REGRESYON ANALİZİ

LOJİSTİK REGRESYON ANALİZİ LOJİSTİK REGRESYON ANALİZİ Lojistik Regresyon Analizini daha kolay izleyebilmek için bazı terimleri tanımlayalım: 1. Değişken (incelenen özellik): Bireyden bireye farklı değerler alabilen özellik, fenomen

Detaylı

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci Tek Değişkenli Zaman Serisi Modelleri Ekonomik verilerin analizi ile ekonomik değişkenlerin gelecekte alabilecekleri

Detaylı

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 1 Konum ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri Verilerin ortalamaya göre olan gruplanması nasıl?

Detaylı

SPSS Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistik Teknikleri

SPSS Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistik Teknikleri ÖNSÖZ Gerçekte herhangi bir olguyu etkileyen dinamikler çok karmaşıktır ve her alanda olayların akışını etkileyen faktörler çok sayıda (genellikle sonsuz sayıda) özellik tarafından belirlendiğinden çok

Detaylı

ortalama ve ˆ ˆ, j 0,1,..., k

ortalama ve ˆ ˆ, j 0,1,..., k ÇOKLU REGRESYONDA GÜVEN ARALIKLARI Regresyon Katsayılarının Güven Aralıkları y ( i,,..., n) gözlemlerinin, xi ortalama ve i k ve normal dağıldığı varsayılsın. Herhangi bir ortalamalı ve C varyanslı normal

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

Zaman Serileri-1. If you have to forecast, forecast often. EDGAR R. FIEDLER, American economist. IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr.

Zaman Serileri-1. If you have to forecast, forecast often. EDGAR R. FIEDLER, American economist. IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Zaman Serileri-1 If you have to forecast, forecast often. EDGAR R. FIEDLER, American economist IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören Zaman Serisi nedir? Kronolojik sırayla elde edilen verilere

Detaylı

KORELASYON VE REGRESYON ANALİZİ. Doç. Dr. Bahar TAŞDELEN

KORELASYON VE REGRESYON ANALİZİ. Doç. Dr. Bahar TAŞDELEN KORELASYON VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Bahar TAŞDELEN Günlük hayattan birkaç örnek Gelişim dönemindeki bir çocuğun boyu ile kilosu arasındaki ilişki Bir ailenin tükettiği günlük ekmek sayısı ile ailenin

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... Örneklem Genişliğinin Elde edilmesi... 1

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... Örneklem Genişliğinin Elde edilmesi... 1 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... v 1. BÖLÜM Örneklem Genişliğinin Elde edilmesi... 1 1.1. Kitle ve Parametre... 1 1.2. Örneklem ve Tahmin Edici... 2 1.3. Basit Rastgele Örnekleme... 3 1.4. Tabakalı Rastgele Örnekleme...

Detaylı

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ Bu bölüme kadar anlatılan yöntemler zaman içinde değişmeyen parametre varsayımına uygun serilerin tahminlerinde kullanılmaktaydı. Bu tür seriler deterministik

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

İLERİ ARAŞTIRMA SORU HAVUZU

İLERİ ARAŞTIRMA SORU HAVUZU 1 ) Bir ölçümde bağımlı değişkenlerdeki farklılıkların bağımsız değişkenlerdeki farklılıkları nasıl etkilediğini aşağıdakilerden hangisi ölçer? A) Bağımlı Değişken B) Bağımsız Değişken C) Boş Değişken

Detaylı

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( ) İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL İSTATİSTİKSEL TAHMİN Örnekten anakütle parametrelerinin tahmin edilmesidir. İki tür tahminleme yöntemi vardır:

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ TANIMLAR VE VERİ SINIFLAMASI

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ TANIMLAR VE VERİ SINIFLAMASI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ TANIMLAR VE VERİ SINIFLAMASI DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL TANIMLAR VE VERİ SINIFLAMASI Olasılık, ilgilenilen olay/olayların meydana gelme olabilirliğinin ölçülmesidir.

Detaylı

İSTATİSTİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ (2009 2010)

İSTATİSTİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ (2009 2010) İSTATİSTİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ (2009 2010) BİRİNCİ YIL Güz Dönemi (1. Yarıyıl) STAT 101 Temel İstatistik I (3 2 4) İstatistik bilimi. Verilerin görsel sunumu. Frekans tablosu oluşturma. Gövde yaprak

Detaylı

Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri. Giriş Veri kümesi. Ortalamalar iki grupta incelenir. A. Duyarlı olan ortalama. B. Duyarlı olmayan ortalama

Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri. Giriş Veri kümesi. Ortalamalar iki grupta incelenir. A. Duyarlı olan ortalama. B. Duyarlı olmayan ortalama GM-220 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Safa KARAMAN 1 2 Giriş Veri kümesi Verileri betimlemenin ve özetlemenin bir diğer yolu da verilerin bir

Detaylı

Tekrarlı Ölçümler ANOVA

Tekrarlı Ölçümler ANOVA Tekrarlı Ölçümler ANOVA Repeated Measures ANOVA Aynı veya ilişkili örneklemlerin tekrarlı ölçümlerinin ortalamalarının aynı olup olmadığını test eder. Farklı zamanlardaki ölçümlerde aynı (ilişkili) kişiler

Detaylı

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0 YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye

Detaylı

Kullanılacak İstatistikleri Belirleme Ölçütleri. Değişkenin Ölçek Türü ya da Yapısı

Kullanılacak İstatistikleri Belirleme Ölçütleri. Değişkenin Ölçek Türü ya da Yapısı ARAŞTIRMA MODELLİLERİNDE KULLANILACAK İSTATİSTİKLERİ BELİRLEME ÖLÇÜTLERİ Parametrik mi Parametrik Olmayan mı? Kullanılacak İstatistikleri Belirleme Ölçütleri Değişken Sayısı Tek değişkenli (X) İki değişkenli

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel sayma

Detaylı

İSTATİSTİK STATISTICS (2+0) Yrd.Doç.Dr. Nil TOPLAN SAÜ.MÜH. FAK. METALURJİ VE MALZEME MÜH. BÖLÜMÜ ÖĞRETİM ÜYESİ ÖĞRETİM YILI

İSTATİSTİK STATISTICS (2+0) Yrd.Doç.Dr. Nil TOPLAN SAÜ.MÜH. FAK. METALURJİ VE MALZEME MÜH. BÖLÜMÜ ÖĞRETİM ÜYESİ ÖĞRETİM YILI İSTATİSTİK STATISTICS (+) Yrd.Doç.Dr. Nil TOPLAN SAÜ.MÜH. FAK. METALURJİ VE MALZEME MÜH. BÖLÜMÜ ÖĞRETİM ÜYESİ ÖĞRETİM YILI KONU BAŞLIKLARI :. İSTATİSTİĞE GİRİŞ. VERİLERİN DÜZENLENMESİ. MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ.

Detaylı

BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ

BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ 1 BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ Bilimsel yöntem aşamalarıyla tanımlanmış sistematik bir bilgi üretme biçimidir. Bilimsel yöntemin aşamaları aşağıdaki gibi sıralanabilmektedir (Karasar, 2012): 1. Bir problemin

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014

HİPOTEZ TESTLERİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Doç. Dr. Nihal ERGİNEL 2014 HİPOTEZ TESTLERİ Pek çok problemde bazı parametrelere bağlı bir ifadeyi kabul yada red etmek için karar

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Daha önce incelediğimiz testler, normal dağılmış ana kütleden örneklerin

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

İstatistiksel Yorumlama

İstatistiksel Yorumlama İstatistiksel Yorumlama Amaç, popülasyon hakkında yorumlamalar yapmaktadır. Populasyon Parametre Karar Vermek Örnek İstatistik Tahmin 1 Tahmin Olaylar hakkında tahminlerde bulunmak ve karar vermek zorundayız

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 ANAKÜTLE Anakütle kavramı insan, yer ve şeyler toplulugunu ifade etmek için kullanır. İlgi alanına gore, araştırmacı hangi topluluk üzerinde

Detaylı

A t a b e y M e s l e k Y ü k s e k O k u l u İstatistik Sunum 4 Öğr.Gör. Şükrü L/O/G/O KAYA www.sukrukaya.org www.themegallery.com 1 Yer Ölçüleri Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

A İSTATİSTİK. 1. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir.

A İSTATİSTİK. 1. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir. . nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir. Buna göre, n C r + n C r toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) n + C r B)

Detaylı

9. ARDIŞIK BAĞIMLILIK SORUNU (AUTOCORRELATION) 9.1. Ardışık Bağımlılık Sorunu Nedir?

9. ARDIŞIK BAĞIMLILIK SORUNU (AUTOCORRELATION) 9.1. Ardışık Bağımlılık Sorunu Nedir? 9. ARDIŞIK BAĞIMLILIK SORUNU (AUTOCORRELATION) 9.1. Ardışık Bağımlılık Sorunu Nedir? Ardışık bağımlılık sorunu, hata terimleri arasında ilişki olmadığı (E(u i,u j ) = 0, i j) varsayımının geçerli olmamasıdır.

Detaylı

Sürelerine Göre Tahmin Tipleri

Sürelerine Göre Tahmin Tipleri Girişimcilik Bölüm 5: Talep Tahmini scebi@ktu.edu.tr 5.1. Talep Tahmini Tahmin: Gelecek olayları önceden kestirme bilim ve sanatı. İstatistiksel Tahmin: Geçmiş verileri matematiksel modellerde kullanarak

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler İÇERİK o Giriş ovaryansı Bilinen Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler P-değerleri: II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi Örnekleme Büyüklüğü

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON ANALİZİNDE VARSAYIMLARDAN SAPMALARIN İNCELENMESİ

ÇOKLU REGRESYON ANALİZİNDE VARSAYIMLARDAN SAPMALARIN İNCELENMESİ ÇOKLU REGRESYON ANALİZİNDE VARSAYIMLARDAN SAPMALARIN İNCELENMESİ 1. ÇOKLU REGRESYON ANALİZİ VE VARSAYIMALARDAN SAPMALAR 1.1. Çoklu Regresyon modeli Varsayımları 1.2. Tahmincilerin anlamlılığının sınanması

Detaylı

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan 1 Ders Planı 1. Karar Problemleri i. Karar problemlerinin bileşenleri ii. Değerler, amaçlar, bağlam iii. Etki diagramları 2. Model Girdilerinde Belirsizlik

Detaylı