z=-1+ i 3 sayısının kutupsal biçimini bulunu z. w w w. m a t b a z. c o m Çözüm z = ( 1) =2, işaretlerin mutlak değerinden
|
|
- Umut Közen
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 5+ KARMAŞIK SAYILARDA TRİGNMETRİ KUTUPSALA (TRİGNMETRİK BİÇİME) ÇEVİRME Örnek... : +i saısının kutupsal biçimini bulunuz..ol +i saısına düzlemde A(,) noktası karşılık gelsin. Şekli incele iniz z=+i saıları z= z. cisθ olarak azılabildiğinden ( z =modül ; arg(z)=θ) olacağından + i= cis45 olarak elde edilir..ol 45 o z=+i saısının önce modülü R +I = + = bulunur. A Sonra sanal kısım, reel kısım ve argümenti oluşturan açıı birbirine bağlaan tanθ= İm Re = ifadesinden açının tanjant değeri ( farklı açı değeri ) ve verilen saının koordinat sisteminde bölgesi de dikk ate al ınarak argüm ent hesaplanır. Burada tanθ= = θ=45o vea 5 o olarak elde edilir. Koordinatların her ikisi de pozitif olacağından açı 45 o ve dolaısıla +i= cis45 olarak elde edilir..bölge.bölge 3.bölge 4.bölge tanθ Bazı gerekli değerler 0 o 30 o 45 o 60 o tanθ 0 3 = 3 3 sin θ 0 cosθ 3 3 = = Şimdi iki farklı tanjant değeri bulmak erine işareti. adımda dikkate alacağımız eni bir ol bulalım. Açıı tanjant değerinden bulurken önce işaretine bakmaksızın sanal kısmı reel kısma bölerek mutlak değerce hangi dar açının tanjantına baktığımızı buluruz. Sonra z saısına karşılık gelen noktanın bölgesini kullanarak açının gerçek değerini buluruz. Bunun için ı ilk elde ettiğimiz dar açıı 80 e ekler / çıkartır vea 360 dan çıkartırız. Örneğin açının tanjantının mutlak değerinden ölçüsü 45 o bulunmuş ve açıı. bölgede istiorsak ; 3. bölgede istiorsak ; 4. bölgede istiorsak olarak azarız. Unutmaın 90 ve 70 ile azılan açılar isim değişikliğine sebep oluordu dolaısıla açı bulurken 90 ve 70 e bulaşılmaz. ( tan (90+45)=-cot35 gibi) Örnek... : z=-+ i 3 saısının kutupsal biçimini bulunu z. z = ( ) + 3 =, işaretlerin mutlak değerinden tanθ = = 3 θ=60o ve z saısı. bölgede olduğundan açı 80-60=0 o olarak hesaplanır z=-+ i 3 =cis 0 Örnek...3 : z=-4-4i saısının kutupsal biçimini bulunuz. z = ( 4) +( 4) =4 3 tanθ = =4 4 = θ=45o ve z saısı 3. bölgede olduğundan açı 80+45=5 o olarak hesaplanır z=-4-4i= 4 cis 5. Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü /8
2 5+ Örnek...4 : Z= i saısının kutupsal biçimini bulunuz. z = (5) +(5 3) =0, tanθ = = = 3 θ=60o ve z saısı 4. bölgede olduğundan açı =300 o olarak hesaplanır İNDİRGEME (TRİGNMETRİK ÖZDEŞLİKLER) ölçüsü π±θ π±θ π ±θ 3π ±θ biçiminde olan açılar, trigonometrik değer içinde hesaplanırken π içeren kısımdan k urtulabilm ek için Adım Eklenen vea çıkan açı dar kabul edilerek fonksionun istenen bölgedeki işareti bulunur iki gereksiz örnek!! Bu örneklerde verilen saılar eksen üzerinde olduğundan çizim ile apmak vea sadece düşünerek apmak daha ugun olabilir. Örnek...5 : z=-6 saısının kutupsal biçimini bulunuz. z = ( 6) =6, tanθ = =0 6 =0 θ=0o z saısı eksen üzerinde ve negatif tarafta olduğundan açı 80-0 =80 o olarak hesaplanır. (Kabul edelim işi gereksiz uzattık) Örnek...6 : z=. i 3 sa ısının kutupsal biçim ini bulunu z. z = ( 3) = 3, tanθ = 3 = 0 = θ=90o z saısı eksen üzerinde ve pozitif tarafta olduğundan açı =90 o olarak hesaplanır. Adım İsim değişikliği olup olmadığı bulunur. Bu değişiklik sadece π ±θ 3π ±θ ifadelerinde cos sin ve cot tan biçimindedir. π±θ π±θ İçin isim değişm ez Uarı: eklenen/ çıkan,3,5,0 olsada f arketm ez, dar kabul edilir!! Al ıştırm alar sin(90+5)=+cos5 (. bolge ve isim değiş) cot(80+3)=cot3 (3. bolge ve isim anı)) cos(70+4)=+sin4 (4. bolge ve isim değiş) tan(70-7)=+cot7 (3. bolge ve isim değiş) sin(360-3)=-sin3 (4. bolge ve isim anı) gibi Arıca bilinmeen içermeen açılar da dar aç ılar cinsinden elde edilebilir sin40= sin(80+60)=-sin60= 3 sin40= sin(70-30)=-cos30= 3 tan5= tan (80+45)=tan45= vea tan5= tan (70-45)=cot45= gibi vea Karmaşık saılarda genellikle işlemin tersine ihtiaç duarız. Mesela -cos40 o ifadesinde den nasıl kurtulurum ve standart biçimdeki +cos gibi bir ifade elde ederim sorusunu kendimize sorar ız. Burada bahsedilen örnekte -cos40, kosinüsün negatif olduğu bölge olduğundan 40 o ' i değiştirmeen 80 o vea 360 o kullanılarak istenen bölgee taşınabilir. Burada bölgei bilmediğimizden cos(80-40) vea cos(80+40) kullanılabilir. (Sorularda tam olarak ne istediğim izi biliriz.). Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü /8
3 İndirgeme (trigonometrik özdeşlik) kullanma Örnek...7 : z=(cos0 isin0) ise z karmaşık saısının standart biçimini bulunz standart kutupsal biçim r>0 için z=r.cisθ idi burada önce sırasıla. modül 0 dan büük olmalı;. başta i siz kısım kosinüslü olarak bulunmalı, 3. i' li kısım sinüsle çarpılmalı 4. açı ölçü değerleri anı, 5. ortadaki işaret de + olacak şekilde bulunmalıdır. Aksi takdirde aşağıdaki adımlar takip edilir Örnek...8 : z=-6(sin65 isin5) ise z karmaşık saısının standart biçimini bulunz 5+ adım önce -6 nın negatifini içeri dağıtalım (modül pozitif olmalı) z=6.(-sin65+isin5) adım açıların ölçü olarak anı olması için ve isimlerin standart sıraı tutması için sin65 erine cos 5 azalım z=6.(-cos5+isin5) adım3 son olarak kosinüsün başındaki işaretinden kurtulmak için kosinüsün negatif sinüsün pozitif olduğu bölgei bulup 5 derecei değiştirmeen ölçüle kullanalım. Aranan. bölge olup 5 i değiştirmeen saı 80 dir. z=6.(cos(80-5)+isin(80-5)) =6cis 55 adım modülde varsa bu trigonometrik değerlere dağıtılır adım sinüs ve kosinüs değerinde kullanılan açılar gerekiorsa indirgeme (trigonometrik özdeşlikler) bağıntıları kullanılarak dar açı olarak elde edilir. adım3 sinüs ve kosinüs ifadeleri erlerinde değilse 90 dereceden çıkarılarak tekrar azılır adım4 bölgelere göre işaretler dikkate alınarak bir önceki adımda elde edilen dar açı argümenti oluşturacak şekilde güncellenir.(bu adımda adım 3 de bulunan açı 80 vea 360 derece kullanılarak istenilen bölgee taşınır) z=(cos0 isin0) ifadesinde modül pozitif, kosinüs ve sinüs erli erinde ve anı açısal değerlere sahip ( 0 derece) apmamız gereken aradaki işareti pozitif apmak için açıı değiştirmek : kosinüsün pozitif, sinüsün negatif olduğu bölge 4. bölge olup 0 derecenin değişmemesi için 360 ile kullanalım dolaısıla z= (cos (360-0)+i.sin(360-0)) azılarak işlem tamamlanır Örnek...9 : z=8(cos40 +isin(-40)) ise z karmaşık saısının standart biçimini bulunz cos40 =cos(80-40)=-cos40 sin(-40)=-sin40 olduğundan z=8(-cos40 -isin40) olur. Aranan sinüs ve kosinüsün negatif olduğu bölge ani 3.bölgedir. 40 derecei değiştirmeen ile beraber z=8(cos0 +isin(0)) elde edilir. Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 3/8
4 5+ KUTUPSAL BİÇİMDE ÇARPMA, BÖLME VE KUVVET ALMA Örnek...0 : z =.cis0 0 ve z =6.cis70 0 ise z.z kaçtır? KUTUPSAL BİÇİMDE TPLAMA VE ÇIKARMA Örnek...4 : z = cis8 ve w= cis ise z +w =? Hatırlatma z =r cisɵ ve z =r cisɵ saıları için ) z.z =r.r cis(ɵ +Ɵ ) ) z n =r n cis(n.ɵ ) 3) z z = r r cis(ɵ Ɵ ) olduğundan z.z =.6.cis (0+70)=3 cis90=3(0+i)=3i olarak elde edilir. ol cos+cos=cos( + ). cos ( ) sin+sin=sin( + ) (.cos ) olduğundan verilen kutupsal biçimdeki ifadeleri açar toplarız cis8+cis=cos8+isin8+cos+isin =cos8+cos+i(sin8+sin) = cos( 8+ ).cos ( 8 ) +i sin ( 8+ ).cos ( 8 =cos5.cos30+i.sin5.cos30 =cos30(cos5+isin5)=. 3 cis5= 3.cis5 ) Örnek... : z =00.cis6 0 ve z =4.cis7 0 ise z z kaçtır? z = 00 z 4 cis(6 7)=50 cis45=50( + i)=5 (+i) Örnek... : z =( )cis(5) ise z kaçtır? Genel bir çözüm olmamakla birlikte toplamanın vektörel orumu işimizi bazı durumlarda oldukça kolalaştırabilir. Önce cis 8 ve cis düzlemde gösterilir. Sonra vektöre toplama için paralel kenar oluşturulur. (Modüller eşit olduğundan oluşacak şekil eşkenar dörtgen ve vektörlerin toplamı (fizik dersinden öğrendiğimiz paralel kenar öntemine göre )köşegen (şeklin eşkenar dörtgen olmasından dolaı açıorta) üzerinde olur. Burada çıkan üçgeninde uzun kenar 3 birim olur. Açı ise +30=5 derece olacağından toplam 3 cis5 olarak elde edilir.) Şekli inceleiniz w=cis8 z+w z =( ) cis(5.)= 6 cis80=64 ( +0i)= o 30 o o z=cis Örnek...3 : z =cis4 0 ve z =8cis 0 ise z 6 z =? 6 z z = 6 cis4.6 8 cis. =cis(44 4)=cis0= + 3i z = cis8 ve w= cis ise z +w = 3. cis5 (Umarım beğenmişsinizdir!! Malesef özel koşulların oluşmadığı durumlarda bu çözüm erine trigonometrik çözümü apmak durumundaız). Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 4/8
5 5+ Örnek...5 : z = 4cis5 ve w= 4cis05 ise z z =? Örnek...6 : 4 açısı dar bir açı olmak üzere, z=+cos4+isin4 ise Arg(z)=? arım açı bağıntılarını kullanarak cos cos= sin( + ). sin ( ) sin sin =sin( ) (. cos + ) olduğundan verilen kutupsal biçimdeki ifadeleri açar ve çıkarırız 4cis5-4cis05=4cos5+4isin05-4cos05-4isin05 =4(cos5-cos05)+4i(sin5-sin05) = 4. sin( 5+05 ). sin ( 5 05 ) + 4i.sin ( 5 05 ).cos ( 5+05 =-8.sin60.sin(-45)+8i.sin(-45).cos60 =8sin60sin45-8isin45cos60 = i.. = 6 i ) Önce w= 4 cis05 ve z=4 cis5 saılarını erleştiririz. Z-w i bulmak için z+(-w) işleminden ararlanmak için -w i eksene erleştiririz. Sonra bir önceki sorudaki gibi paralelkenarı (burada şekil kare olmaktadır) oluşturup köşegeni çizerek z+(-w) elde edilir w=4cis o 0 5 o 45 o 4 5 o 30 o -w=-4cis05 z=4 cis5 şekle göre z+(-w)= 4 cis( 30)=4 (cos( 30)+i.sin( 30)) = 4 (cos(30) i.sin(30))=4 ( 3 i ) = 6 i. olarak elde edilir. z+(-w) cos cosθ={ θ sin θ ve sin θ=sinθcos θ cos θ sin θ olduğundan i ok edecek biçimde işlem apalım z=+cos4+isin4 = +cos +sin.cos =cos( cos+isin) olduğundan z=cos. Cis azılırsa Arg(z)= olarak elde edilir. vektörel Artık öğrenmiş olmalısınız :) z=cis4 ve w= olsun. Vektörel toplam apalım. (z nin ve w nin modülü birimdir) Şekli inceleiniz 4 z=.cis4 w= Buradaki çözümde iç ters açıların eşitliği ve ikizkenar üçgen anahtar roldedir. Şekle göre argüment olur Örnek...7 : 4 dar açı olsun z = +cos4 +isin4 olduğuna göre z sa ısının m odülünü bulunuz. arım açı bağıntılarına hazır bulaşmışken bu soruu da araa ekleelim. z = (+cos4) +sin 4= +cos4+cos 4+sin 4 +cos4+= +cos4= ( +cos4 ) (+cos4)= (+cos ) ( i ok edelim) 4 cos = cos =cos z w z+w. Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 5/8
6 5+ DÖNDÜRMELER Örnek...8 : z= 3+i saısının orijin etrafında pozitif önde 30 o döndürülmesile elde edilen karmaşık saıı bulunuz. z = r.cis orijin etrafında pozitif önde a kadar döndürülmesile elde edilen eni karmaşık saı w ise w =z.cısa olacaktır. w =z.cısa=r.cis.cisa=r.cis(+a) olarak elde edilir Şekli inceleiniz İm (z) Sorua dönersek istenen 3+i.cis30 olup cis30 u +i biçimine döndürüp çarpmaı apalım. 3+i.cis30= ( 3+i)(cos30+isin30)=( 3+i)( 3 + i ). 3 +i 3 +i 3 + i =+ 3i a UYARI Benzer bir mantıkla z = r.cis orijin etrafında negatif önde a kadar döndürülmesile elde edilen eni karmaşık saı w ise w=z.cıs(-a) olacaktır. Örnek...9 : + i saısını orjin etrafında negatif önde 60 derece döndürünüz istenen (+i).cis(-60)= (+i)(cos( 60)+isin( 60)) (+i)(cos(60) isin(60))=(+i)( i. 3 ) w z Re (z) KARIŞIK BİRKAÇ UYGULAMA Biraz da trigonometrinin başka fadaları Hatırlatma. ( a) +( b) =r ifadesi düzlemde merkezi M(a,b) ve arıçapı r olan çember belirtir.. Her açısı için sin +cos = özdeşliği geçerlidir Örnek...0 : =5+sin3t =cos3t 6 parametrik denklemi ile verilen çemberi z z 0 =c şeklinde ifade ediniz. 5=sin3t buradan ( 5) =4sin 3t +6=cos3t (+6) =4cos 3t ve taraf tarafa toplanarak ( 5) +(+6) =4(sin 3t+cos 3t)=4 olarak elde edilir bu ise merkezi (5,-6) ve arıçapı birim olan çemberdir. Bunu da (5,-6) saısının temsil ettiği 5-6i saısına uzaklığı birim olan karmaşık saı olarak orumlaıp z (5 6i)i = olarak azabiliriz. Örnek... : Arg(z 3+i)= 45 0 eşitliğini sağlaan z karmaşık saılarını noktaları düzlemde gösteriniz z=+i olsun Arg(z 3+i)=Arg(+i 3+i)= 45 0 ve buradan tan(arg)= imajiner bağıntısıla sanal tan45= + +, = ve içler dışlar sonunda = doğrusu elde edilir. Son olarak eni elde edilen (-3)+i.(+) saısının argümenti 45 ise saı.bölgede olmalıdır. Bu ise 3>0, +>0 olmasıla mümkündür. Bu ise doğru denkleminin düzeltilerek arı doğrua dönüşmesini sağlar. Şekli inceleiniz =-5 ise doğrunun geçtiği noktalar (0,-5) ve (5,0) 3 i. + i 3 i =+ 3 +i.( 3 ). Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 6/8
7 5+ Örnek... : Arg(z+5-4i)= 38 0 eşitliğini sağlaan z karmaşık saılarını noktaları düzlemde gösteriniz K(3,-) z saıları bu arı doğru üzerindedir Arg(z+5-4i)=Arg(z-(-5+4i)) ve nokta K(-5,4) o z saıları bu arı doğru üzerindedir K(-5,4) 4 şimdi doğru üzerinde bir nokta alıp olaa bakalım. =-5 ifadesinden =4 ve =- olsun. Z saısı 4-i olur. -5 Soruda verilen Arg(z 3+i)=Arg((4-i) 3+i)=Arg(+i) olur ki bu da zaten 45 derecedir!!! NT z o=a+ib karmaşık saısının düzlemdeki görüntüsü K(a,b) ise Arg (z z o) =α koşulunu sağlaan z saıları ]KP arı doğrusu üzerindedir. P z 0 K(a,b) α Yani trigonometrie bulaşmadan da bu tür soruları çözebilirsiniz Adım Arg (z z o) =α standard biçiminde ifade azılır Adım z o düzlemde işaretlenir. Adım 3 bu noktada sahte bir eksen oluşturulur ve standart pozisonda verilen α açısı kadar açı alınarak arı doğru oluşturulur.. Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 7/8
8 Örnek...3 : z i = İse Arg(z)=α nın en büük değeri için tanα=? Örnek...4 : += π 3 z=cos cos+i(sin+sin) ise z. z kaçtır? 5+ z i = uzaklık ifadesini çembere dönüştürelim z (+i) = merkezi M(,) ve arıçapı olan çemberdir. Şekli inceleiniz hatırlatma cos(+)= coscos-sin.sin cos(-)=coscos+sin.sin sin(+)=sincos+sincos sin(-)=sincos-sincos z saıları bu çember üzerindedir M(,) z. z= z idi z = (cos cos) +(sin+sin) z = cos +cos coscos+sin +sin +sinsin z = coscos+sinsin= (coscos sinsin) z = cos ( +), z = cos π 3 =. = = z = z = z Arg(z) en çok olması için z buradadır M L m ML= için Arg(z)= olacağından istenen tan tir. tan= tan Yarım açı tan bağıntısıla Örnek...5 : 4+4 3i saısının küpkökleri düzlemde birleştirilirse oluşacak çokgenin alanı kaç birim kare olur? Kutupsal biçimde kök alalım 4+4 3i =8cis60 küpkökler rcis ise r 3. cis3=8cis60 eşitliğinden z 0 = cis 0, z = cis (0+0) = cis40 z = cis (0+0+0) = cis60 ve bu noktalar bir eşkenar üçgenin köşeleridir. Şekli inceleiniz z z o z 3 tan=. ( ) =4 3 olarak elde edilir. z 0 o z z = z z 0 = z 0 z = 3. Aranan bir kenarı 3 olan eşkenar üçgenin alanıdır. Bu ise ( 3) 3 4 =3 3br z o. Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 8/8
θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i
KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ z = a + bi y karmaşık sayısının kartezyen bi koordinatları z=(a, b) dir. Ya da görüntüsü A noktasıdır. A Alıştırmalar Karmaş ık sa yıs ın ın kutupsal
DetaylıÖrnek...3 : β θ. Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 4. w i. = n z { i=0,1,2,...,(n 1) } Adım 1. Adım 2. Adım 3
KARMAŞIK SAYININ ORJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ z = a + bi karmaşık sayısını, uzunluğunu değiştirmeden orijin etrafında pozitif yönde β kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni karm aşık sa yı w olsun. İm
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
DetaylıÖrnek...1 : Birim çember kullanarak aşağıdaki ifadeleri hesapla yın ız. Örnek...2 : sin 2 12+cos sin 67+cos 34. sin41 işleminin sonucu kaçtır?
RİGNMERİ İR AÇININ KSİNÜS VE SİNÜS DEĞERLERİ Merk ezi orijin ve arıçapı birim olan çem bere birim çem ber denir. Standart pozisonda (Köşesi orijinde, başlangıç kenarı ve Kosinüs Sinüs önü pozitif ön olan
Detaylı2.2 Bazıözel fonksiyonlar
. Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()
DetaylıCebir Notları. Karmaşık sayılar TEST I. Gökhan DEMĐR, 2006
MC Karmaşık saılar www.matematikclub.cm, 006 Cebir Ntları Gökhan DEMĐR, gdemir@ah.cm.tr TEST I. i 897 + i 975 + i 997 i 995 tplamının snucu i B) i C) i D) i E) 5i 8. Z = i nin kutupsal biçimi (cs0 + isin0)
DetaylıÖrnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?
KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve
DetaylıNOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ
NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ Başlangıç noktasında birbirine dik olan iki saı doğrusunun oluşturduğu sisteme "Dik Koordinat Sistemi" denir. Dik Koordinat Sisteminin belirttiği
DetaylıKARMAŞIK SAYILAR Test -1
KARMAŞIK SAYILAR Test -. i olmak üere, i olduğuna göre, Re() kaçtır? B) C) 0 D) E). i olmak üere, 00 0 06 i i i işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine i B) i C) i + D) E) i. i olmak üere, i olduğuna
Detaylı+ i. i. i. Z =, Z 1 olarak verilmiştir. A B grafiğini çizin. Z 2 = Z sistemini sağlayan. = ise. Argz. B = Z olduğuna göre, Arg
ĐFL Karmaşık Sayılar Çalışma Soruları: (Ekim 7) (+i) -(-i) +(+i) +(+i) + i + i +? + i i i + i?? i (+i) +(x-yi) +y ise x+y bir karmaşık sayı olmak üere, -ii(i-) olduğuna göre, Re() 7 Şekildeki kompleks
Detaylı6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)
6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen
Detaylı1997 ÖSS Soruları. 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir?
997 ÖSS Soruları. ( ) + ( ).( ) işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) ) 8 6 ) 6. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büük doğal saı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir? ) ) 9 ) 6 )
DetaylıPOLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.
POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?
DetaylıBÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5
DetaylıNLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Örnek 0 nalitik düzlemde üçgen [] açıorta [] // [] (6 0 (6 (6 (6 0 [H] [] [K] [] H = K = br K ile H üçgenl
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm lan Örnek 0 nalitik düzlemde ( 0 c h b h a h c b ( 0 ( 0 a a h b h a b c h lan( = = = c Yukarıdaki verilenlere göre lan( kaç birimkaredir? 6 8 9 E c b Taban:
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a
DetaylıSayfa No. Test No İÇİNDEKİLER TRİGONOMETRİ
TRİGONOMETRİ İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No YÖNLÜ AÇI VE YÖNLÜ YAY KAVRAMI -AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ...00-00.... BİRİM ÇEMBER...00-00.... BİR AÇININ ESAS ÖLÇÜSÜ...00-00.... BİR AÇININ TRİGONOMETRİK ORANLARININ
DetaylıTRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY
TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI
DetaylıBÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü
Detaylı1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere
KOMPLEKS FONKSİYONLAR TEORİSİ UYGULAMA SORULARI- Problem. Aşağıdaki (a) ve (b) de olmak üere (a) olduklarını gösterini. (b) (c) Imi Re Çöüm (a) i olsun. i i (b) i olsun. i i i i i i i i i i Im i Re i (c)
DetaylıETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ ADIM m(ëa) + m(b) = m(ëa) = ise 2.m(ëA ) = =
ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ DIM 0. m(ë) 0 0 7 ise.m(ë ) 80 60 8 0.m(ë) m(ë) 8 0 8 7 99 7 66 60. m(ë) m() 8 60 08 dir. 08 R 80 08. R 80 radandır. 99 8 6. 60 06 9 8 60 0 79 8 6 79 8 6 7. irim çemberin üzerindeki
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,
DetaylıMustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması
www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar
DetaylıTRİGONOMETRİ Test -1
TRİGONOMETRİ Test -. y. y K O O. nalitik düzlemde verilen O merkezli birim çemberde hangi noktanın koordinatları (0, ) dir? (O noktası orijindir.) O y [OK] açıortay olmak üzere, nalitik düzlemde verilen
Detaylı( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.
BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde
DetaylıChapter 1 İçindekiler
Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan
DetaylıGerilme Dönüşümü. Bölüm Hedefleri
Gerilme Dönüşümü Bölüm Hedefleri Bu bölümde, belirli bir koordinat sisteminde tanımlı gerilme bileşenlerinin, farklı eğimlere sahip koordinat sistemlerine nasıl dönüştürüleceği üzerinde durulacaktır. Gerekli
DetaylıPARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği
Detaylı7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.
Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.
Detaylı[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1
..3 Ters Trigonometrik Fonksionlar Önceki kesimde belirtilen bütün trigonometrik fonksionlar perodik olduklarından görüntü kümesindeki her değeri sonsuz noktada alırlar. Bölece trigonometrik fonksionlar
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
Detaylı1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?
996 ÖYS. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin saısı kaçtır? 8 C) 6 D) E) 6. Saatteki hızı V olan bir hareketti A ve B arasındaki olu
Detaylı- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a
İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri
Detaylız z Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni
GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Q z Genel ükleme durumunda, bir Q noktasını üç boutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni gösterilebilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z.
DetaylıVEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU
VEKTÖRLER KT YRD.DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaları ölçmekte a da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büüklükler: Skaler büüklük: sadece bir saısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif
DetaylıTRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ A. PERİYODİK FONKSİYONLAR A, düna ve güneşin hareketleri, a ve güneş tutulmaları her 7 ılda bir Halle kuruklu ıldızının dünamızı ziareti periodik olarak medana gelen
DetaylıAralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
DetaylıÖ.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x
Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin
Detaylı1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.
-A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi
DetaylıCebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR,
, 00 M ebir Notları Gökhan EMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Trigonometri. TEST I π 'ün esas ölçüsü kaçtır? ) p ) p ) p ) π p. tanθ = ) ) olduğuna göre, sinθ değeri kaçtır? ) ). 0 'nin esas ölçüsü kaçtır?. θ
DetaylıYARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ
YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 4 Haziran 9 Matematik II Soruları ve Çözümleri. pozitif gerçel saısı için olduğuna göre, kaçtır? ( )² ifadesinin değeri A) B) 4 C) 4 D) 6 E) 6 5 Çözüm ( )² ifadesinde ( ) erine
Detaylı2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.
4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.
DetaylıTÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z
DetaylıMATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08
LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi
Detaylı7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56
, 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri
DetaylıİÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07
UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...
Detaylı7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı
) 3 4 5 3 0 A) B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 0 Not : a 0 3 4 5 3 4 5 3 3 3.3.3... ÜSLÜ SAYILAR QUİZİ VE CEVAPLARI 6 4 4 3 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı 0 ) n bir doğal saı olmak üzere, ( ) ( ) n ( ) n n n A) 4
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +
Detaylı1986 ÖYS. 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 A) 11 B) 10 C) 3 D) 8 E) 7 E) 2
8 ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 8 7. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı 8 cm Buna göre CEB üçgeninin
Detaylı( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+
ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni
DetaylıTÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK
TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna
Detaylı9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI
9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki
DetaylıDOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ
Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen
DetaylıANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,
DetaylıKUTUPSAL KOORDİNATLAR
KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.
DetaylıLYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI
LYS GNL KTILIMLI TÜRKİY GNLİ NLİN NM SINVI GMTRİ (M-TM) 1. u testte Geometri ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için arılan kısmına işaretleiniz. 3. u test için süreniz
DetaylıÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi
DetaylıNitelik Yayınları 279/18
Soru ankası Sinan YILMZ (sinanmaths@gmail.com) Ertan GÜLER (asil_sai@hotmail.com) İlker VURL (ilker.vural@dpu.edu.tr) Yalçın ENİK (alcincenik9@gmail.com) Nitelik Yaınları 79/8 YKS Ters-Yüz Tekrar Testleri
DetaylıEĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ
EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini
DetaylıÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Trigonometrik Fonksiyonlar tanx. 1 cos x sinx ifadesi, aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ÖĞRENİNİN I SOYI: NUMRSI: ersin dı KONU: Trignmetrik Fnksiynlar ersin Knusu. cs x sinx ifadesi, aşağıdakilerden. cs x ct x sin x sec x + sec x ) cs x csec x + csec x ) cs x. ct x cs ec x ct x. sec x csec
DetaylıKonikler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN
Konikler Yazar Doç.Dr. Hüsein AZCAN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu ünitei çalıştıktan sonra; lise ıllarından da tanıdığınız çember, elips, parabol ve hiperbol gibi konik kesitleri olarak adlandırılan geometrik nesneleri
Detaylı12. SINIF. Uzayda Vektörler-1 TEST. 1. Uzaydaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
1. SINIF Uada Vektörler-1 1. Uadaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi anlıştır? Akırı doğru parçaları farklı dülemlerdedir. Akırı doğru parçaları farklı doğrultudadır. İki doğru parçasının
DetaylıTrigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik
DetaylıMATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ
NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti
DetaylıDik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da
DetaylıProjenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması
Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS 1 GOMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. [ [ [ [] []
DetaylıTÜREV TÜREV. Kurallar. Konu Kavrama Çalışması. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
f()= 6 ise f ı ()=6. 6 =6 5 Cevap: 6 5 TÜREV TÜREV Bu bölümde fonksionların türevlerinin nasıl alınacağını öğrenmee başlıoruz. = f() fonksionunun türevi f ı (), d(f()) vea d ile gösterilebilir. d d Kurallar
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)
Detaylı6. loga log3a log5a log4a. 7. x,y R olmak üzere;
log. 5 5 0 olduğuna göre, değeri kaçtır? A) 5 B) 0 C) 6 8 E) 6. loga loga log5a loga eşitliğini sağlaan a değeri kaçtır? 5 A) 5 5 B) 5 5 C) 5 E) 5. loga logb logc ifadesinin eşiti aşağıdakilerden a c A)
DetaylıBasým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674
kapak safası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE FNKSİYNLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI Fonksionların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri... 4 Tek ve Çift Fonksionlar... 4 Fonksionlarda İşlemler... 6 Konu Testleri -...
DetaylıÖrnek...1 : 3x 8<0 eşitsizliğini çözünüz. f(x)=3x-8 fonksiyonunun işaretini x değişkeninin değişim ine göre incele yini z. (-,8/3)
DENKLEM VE -3 f () 0, f () 0, f ()>0, f()
DetaylıSunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistematik. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kaanımlara ayrılmış, kaanımlar tek tek çöümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Öellikle bu kısmın sınıf
DetaylıMC TEST-I Aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz π 2π
MC TEST-I Aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz π π 1) 4 sin.sin +.sin + = sin ) π π 4 cos.cos +.cos + = cos www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr TRĐGONOMETRĐ
DetaylıLYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular
LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu
DetaylıAYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. 1 ai i a i 1 ai ai i. 1 ai ai 1 ai ai 0 2ai a 0 olmalıdır.
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. ai ai i ai ai aii ai ai ai ai 0 ai a 0 olmalıdır. Cevap : E 8 in asal çarpanları ve 3 tür. 8.3 3 40 ın asal çarpanları ve 5 tir. 40.5 İkisinde
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
Detaylı11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar
11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.
DetaylıDERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI
DetaylıÖrnek...1 : A ( 2, 8) B (2, 5) C (7, 7) D ( 1, 1) noktalarını köşe kabul eden ABCD dörtgenini
ÖRTGNR ( ÖRTGN TNII ÖRTGN ÖZİRİ ĞRNİRR ) ÖRTGN TNII üzlemde herhangi üçü doğrusal olmaan dört noktanın birleştirilme sile elde edilen kapalı şekle dörtgen denir. Temel elemanlar : 4 ÇI, 4 ÖŞ, 4 NR dır.
DetaylıFONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT
FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT. Kazanım : Gerçek saılar üzerinde tanımlanmış fonksion kavramını açıklar. Tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi kavramlarını açıklar.. Kazanım : Fonksionların
DetaylıDers: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.
Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri
1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar
DetaylıFonksiyonlar ve Grafikleri
Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (
DetaylıBİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ
BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME 3D durumda, bir noktadaki birim şekil değiştirme durumu 3 normal birim şekildeğiştirme bileşeni,, z, ve 3 kesme birim şekildeğiştirme bileşeninden,
Detaylı1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?
HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i
Detaylı1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E)
ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 0. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı cm Buna göre CEB üçgeninin
DetaylıTEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.
11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?
DetaylıBölüm 2: Kuvvet Vektörleri. Mühendislik Mekaniği: Statik
Bölüm 2: Kuvvet Vektörleri Mühendislik Mekaniği: Statik Hedefler Kuvvetleri toplama, bileşenlerini ve bileşke kuvvetlerini Paralelogram Kuralı kullanarak belirleme. Diktörtgen (Cartesian) koordinat sistemi
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıÖRNEK 3712 nin esas ölçüsünü bulunuz. ÇÖZÜM esas ölçüsü 112 olur. ÖRNEK ÇÖZÜM cos 1, 1 sin 1
MTEMTİK TRİGONOMETRİ - I irim Çember II III sin I IV 0 nin esas ölçüsünü bulunuz 0 00 0 00 + olduğundan, esas ölçüsü olur I ölge (0 < < II ölge ( ) < < ) III ölge ( < < IV ölge ( ) < < ) sin tan cot +
Detaylı4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.
LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak
DetaylıVektörler. Skaler büyüklükler. Vektörlerin 2 ve 3 boyutta gösterimi. Vektörel büyüklükler. 1. Şekil I de A vektörü gösterilmiştir.
1 Vektörler Skaler büüklükler 1. de A vektörü gösterilmiştir. Özellikler: Sadece büüklüğü (şiddeti) vardır. Negatif olabilir. Skaler fiziksel büüklüklerin birimi vardır. Örnekler: Zaman Kütle Hacim Özkütle
Detaylı