için oluyorsa sürece Markov Süreci denir.

Transkript

1 Ve Biraz Đsaisik Biraz Fizik ve Biraz Maemeik başlıklı yazımızı: Gerçek dünya, olgu, model, sanal dünya, benzeim, biraz Maemaik ve biraz Fizik. Hangisi nerede? Ya Đsaisik? sözleri ile biirmişik. Bu yazıda Đsaisik nedir sorusunu irdelemeye çalışacacız. Sorunun cevabını vereceğiz demiyorum. Đrdeleyeceğiz. Ancak, irdelemeye geçmeden önce hareke ile ilgili bir örnek daha ele alalım ve işin içine Đsaisiği de karışıralım. Dik Aışı ve Düşme harekelerini Newon Đlkeleri çerçevesinde modellemeye (anlama-anlamaya) çalışık. Bu herekelerin sebebi yer çekimi kuvveidir. Sebep-sonuç kesinliği, yani deerminizm (nesnellik) çerçevesinde harekeleri modelledik. Modeller ikinci dereceden diferansiyel denklemler oldu. Şimdi, gözle görülebilen çok küçük ve yoğunluğu suyun yoğunluğuna yakın olan bir aneciğin su içinde harekeini anlamaya çalışalım. Böyle bir deneyi, lise öğrencisi iken, bir su bardağının içine dolma kalemimizden çok az (su renklenmeyecek kadar az) mürekkep bırakarak yapıyorduk. Bazı mavi anecikler suyun içinde oraya buraya zıplıyordu. Bu harekee Brown Harekei demişi fizik öğremenimiz. Deneydeki amacın da su moleküllerinin ermal (ısı emelli) herekelerini gözlemlemek olduğunu şöylemişi. Biz molekül ve aomların varlığından haberdardık. Brown bu harekei 187 yılında polen aneciklerinde mikroskop alında gözlemişir. Brown Harekei, ilk çağlardan beri oz aneciklerinde gözlenen ve sıvıların aomik yapıda olduğunun öne sürülmesinde delil olarak kullanılan bir olgudur. Polen aneciğine çarpan çok sayıdaki su molekülünün oraya çıkardığı bileşke kuvve harekein sebebi olsa gerek. Bu bileşke kuvve her an yön ve büyüklük olarak değişmekedir. Harekei sağlayan bu bileşke kuvveen yola çıkarak (Dik Aışa yapığımız gibi) olgunun modellenemiyeceği orada. Brown Harekei Alber Einsein (195 yılında) ve Marian Smoluchowski (196 yılında) arafından fiziksel olarak irdelenip modellenmişir (Wikipedia ansiklopedisine bakabilirsiniz)..

2 Polen aneciğinin harekei üç boyulu bir koordina siseminde izlenebilir. Eksenlerden her hangi bir anesi y ile göserilip, bu eksende aneciğin konumu zamana bağlı olarak y() olsun. Bu eksen üzerindeki konumun, belli bir an için bir rasgele değişken ve zamana bağlı olarak bir Sokasik Süreç olduğu apaçık. Herekein bir Markov Süreci olarak modellenebileceği düşüncesi ağır basmakadır. Markov Sürecini haırlayalım. { Y, [, )} bir sokasik süreç olsun. Her n doğal sayısı ve 1< <... < n 1< n için f ( y y, y,..., y ) = f ( y y ) n 1 n 1 n n 1 oluyorsa sürece Markov Süreci denir. Bir sokasik sürecin bilinmesi demek üm sonlu boyulu dağılımların bilinmesi demekir. Bir Markov Sürecinin bilinmesi demek, i) f ( y ) (başlangıçaki dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu (o.y.f.)) ii) f ( y y ), s s > (koşullu geçiş dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu) dağılımlarının bilinmesi demekir. Markov Sürecinde sonlu boyulu dağılımlar, örneğin 1 < < 3 için dır. f ( y, y, y ) = f ( y ) f ( y y ) f ( y y )

3 Bazı göserimler: f ( y ) f ( y, ), f ( y, ) f ( y, ) 3 1/1 n n n f1( y ) bir değişkenli o.y.f. f( y, ys) iki değişkenli o.y.f. f ( y, y, y ) üç değişkenli o.y.f. f 1 3 Bu göserimler alında, olmak üzere, ( y / y ) koşullu o.y.f. s f ( y, y, y ) = f ( y ) f ( y y ) f ( y y ) 3 1 1/1 1/ f ( y, y ) f ( y ) f ( y y ) f ( y, y, y ) dy = = 1 1/ n f ( y ) f ( y y ) = f ( y, y, y ) dy = f ( y ) f ( y y ) f ( y y ) dy 1/ /1 1/ = f ( y, y, ) f ( y, y, ) f ( y, y, ) dy 1/ /1 1 1/ elde edilir (Chapman-Kolmogorov Denklemi). Bu inegral denklemin bir özel çözümü, s ( y y ) 1 ( s) s f1/1 ( y, y, s) = e, < y< ( > s) π( s) dır. Ayrıca, olmak üzere, f ( y, ) = f ( y, s, y, )) dy = f ( y, s) f ( y, y, s) dy 1 s s 1 s 1/1 s s = f ( y, ) f ( y, s) f ( y, y, s) dy 1 1 s 1/1 s s inegral denklemi elde edilir. f1/1 ( y, y, s ) fonksiyonu yerine yukarıdaki ifadesi yazılırsa, inegral denklemin çözümü olarak, elde edilir. y 1 f y e y π 1(, ) =, < < ( > ) lim f1 y = δ y + (, ) ( ) s

4 Sonlu boyulu dağılımları Normal Dağılım olan bir Markov Sürecine Wiener Süreci denir. Wiener Süreçleri için aşağıdaki karakerizsyon genellikle anım olarak da kullanılmakadır. Wiener Süreci { W [ ) } ( ),, Sokasik Süreç 1) W () = ) > s için W ( ) W ( s) arışları i) bağımsız ii) durağan iii) N(, - s) dağılımlı Wiener sürecinin kendisi durağan değildir, çünkü Cov( W ( ), W ( )) = min {, } dır. 1 1 Şimdi, Brown un yapığı deneye dönelim. Polen parçacığının harekei bağımsız arışlı bir süreç olarak düşünülebilir. Yapılan gözlemler arışların normal dağılımlı olduğunu deseklemekedir. Böylece, Brown Harekei bir Wiener Süreci olarak modellenebilir. Modelde sıvı orama ve parçacığa özgü paramereler de bulunabilir. Anlaımdaki basiliği sağlamak için bunlar ihmal edildi. Bir Brown Harekeini modelleyen Wiener Sürecinin kendisine de Brown Süreci denir. Brown süreci, sonlu boyulu dağılımları Normal Dağılım (Gauss Dağılımı) olan bir Markov Sürecidir. Brown Süreci { W ( ), [, )} veya { B( ), [, )} biçiminde göserilir.

5 Brown Süreci ile ilgili bazı sonuçlar: E B B = B > s olmak üzere{ B } Brown Harekei bir maringale'dir ( / ),,. s s Bir olasılıkla 1 lim 1 ( = n ) dır. n B ln ln Yörüngeler hemen hemen kesin olarak süreklidir. Malab da 15 yörüngelik bir Brown Harekei benzeimi (simülasyonu). clc;clear all;close all =1;dela=.1;n=/dela; for j=1:15 y=; for i=1:n au=randn(1,1)*sqr(dela);y=y+au; w(i)=y; end =dela:dela:;plo(,w) hold on end Malab da sonlu boyulu dağılımları Sandar Normal olan Beyaz Gürülü Süreci benzeimi: =1;dela=.1;n=/dela; for i=1:n;w(i)=randn(1,1); end =dela:dela:;plo(,w)

6 Bir Brown Harekei, B= α ϕ ( ) d n n n= 1 biçiminde ifade edilebilir (Wiener-Lévy Teoremi). Burada, α1, α,..., α n,... ler bağımsız ve herbiri N (,1) dağılımlı rasgele değişkenler ve ϕ1, ϕ,..., ϕ n,... ler oronormal fonksiyonlardır. { X ( ), } bir sokasik süreç ve :, : olmak üzere, ( ) ( ) g R R h R R reel değerli fonksiyonlar dx ( ) = g( X ( ), ) + h( X ( ), ) ξ ({ ξ, } Beyaz Gürülü Süreci) d dx ( ) = g X ( ), d+ h X ( ), ξ d sokasik diferansiyel denkleminin çözümü, ( ) ( ) X ( ) = X () + g X ( ), d+ h X ( ), db Riemann inegrali Io inegrali dır. Brown harekei ile ilgili başka birçok özellik söz konusudur. Başaki sorumuza dönelim. Đsaisik nedir? diye sormuşuk. Bu soruyu Đsaisik Bilimi nedir? şeklinde soralım. Đsaisik Bilimi nedir? sorusunun herkes arafından kabul gören bir cevabı oraya çıkmış olsaydı, farklı anımlamalar kiaplar oluşurmazdı. Benim en çok sevdiğim ve senelerce öğrencilerime akardığım, biri uzunca biri çok kısa olan iki anımlama aşağıdaki gibidir. Đsaisik, rasgelelik içeren olaylar, süreçler, sisemler hakkında modeller kurmada, gözlemlere dayanarak bu modellerin geçerliliğini sınamada ve bu modellerden sonuç çıkarmada gerekli bazı bilgi ve yönemleri sağlayan bir bilim dalıdır. Đsaisik, rasgeleliğin bilimidir.

7 Đsaisik Bilimini anlayabileceğinden umulu olmadığınız okumuşlara: Đsaisik, yalan söylemenin bilimsel yoludur deyiverin. Bilimsel sözcüğünden olsa gerek, işe yarıyor. Đsaisik araç mıdır, amaç mıdır? sorusu üzerine kafa yormayın. Tüm emel bilimler bu sorunun muhaabı ve mağdurudur. Yunus un deyimi ile: Bilen bilir bizi, bilmeyen nereden bilsin. Đsaisik Bilimi nin en önemli kavramlarından biri Đsaisik diğeri de paramere (öeölçüm) olduğu söylenebilir. Đsaisik Bölümü öğrencileri Örneklemin bir fonksiyonuna Đsaisik denir anımı ile birinci sınıfa karşılaşmakadır. Daha sonra Đsaisiklerin birer Borel ölçülebilir fonksiyon, yani birer rasgele değişken, rasgele vekör veya rasgele eleman (lisansüsü eğiimde) olduklarını öğrenmekedirler. Đsaisiklerin bazıları verileri beimlemek, bazıları paramereleri ahmin emek, bazıları hipoezleri es emek, bazıları öngörü yapmak için kullanılır. Đsaisikçilerin ömrü Đsaisikler ile uğraşmakla geçer. Elindeki Đsaisiğin olasılık dağılımını bulan bir Đsaisikçi mulu sonuca çok az kaldığını bilir. Bu her zaman mümkün olmaz. Bazen Đsaisiğin beklenen değeri, momenleri, asimpoik dağılımı ile yeinir. Bunları da elde edemezse Mone Carlo değerlendirmesi denen bir ür benzeim çalışması yapar. Bunun gibi işlerle uğraşır durur. Ancak, kendisinden beklenenler sadece bunlar değildir. Araşırmalar için gerekli Đsaisik Yönemlerin gelişirilmesinden de sorumludur. Ayrıca, araşırmalarda hem danışılan bir kişi, hem de araşırmanın veri oplama, analizi ve sonuç çıkarım kısmından sorumlu kişisi olmak zorundadır. Đsaisiksiz hiç bir şey yapılamıyacağını çok basi bir örnekle açıklayalım. Gerçek dünyadaki nesnelerde ilgimizi çeken en önemli özellik küledir. Küle nedir? sorusunun cevabı bir arafa (fizikçilere sorun) gram, kilogram gibi birimler ve erazi denen aleler ile ölçüldüğünü biliyoruz. Her hangi bir nesnenin, dilim varmıyor ama külesini bulmaya çalışalım. Bu nesneyi, varsa, evimizdeki bir erazi ile ölçelim. Sonra bir kuyumcuya, hemen yanıbaşındaki kuyumcuya, bir fizik veya kimya laborauarına gidip ölçelim. Gözlemler çok şaşırıcı olacakır. Gözlemlerden hiç birisi için nesnenin külesidir diyemeyiz. Nesnenin külesi bir parameredir (öeölçümdür). Paramereler sadece ahmin edilebilir, bulunamaz.

8 Hiçbir zaman, hiçbir kimse, her hangi bir nesnenin külesini bulamaz. Haaların rasgele (gelişigüzel) olması, ölçme işleminin Đsaisik Bilimi olmadan anlaşılamayacak olması demekir. X1, X,..., X n ler ölçme aleinin verdiği gözlemler, X bunların oralaması olmak üzere, haanın varyansının, S n i= 1 = ( X X ) i n 1 formülü ile ifade edildiğini Đsaisik bilmeden anlayamazsınız. Paydadaki n 1 neyin nesi? Kısaca: Đsaisiksiz OLMAZ. Đsaisik kendi ilkeleri olan (yeerlilik, olabilirlik, değişmezlik gibi) karar kuramı şemsiyesi alında doğadaki rasgeleliği (gelişigüzelliği) kendine konu edinmiş bir bilim dalıdır. Đsaisik bilimi rasgelelik oramında hesap yapabilmemizi sağlıyor, maemaiğin sebep-sonuç ilişkileri kesin olan durumlarda yapığı gibi. Gerçek dünyadaki olguları anlamaya-anlamaya, yani modellemeye kalkışığımızda, dilden sonra, aklımızın kullandığı ifade araçlarından en önde gelenleri maemaik ve isaisikir. Maemaik, aksiyomaik bir meodolojiye sahip manık şemsiyesi alında soyu bir bilim dalıdır. Maemaik bilmek, aksiyomlardan sonra kavramlar-anımlar, eoremler-ispalar bilmek demekir. Problem çözme yeeneği ve maemaiksel sezgi de kimin daha iyi Maemeikçi olduğunu oraya çıkarmakadır. Fizik, Kimya, Biyoloji gibi doğa bilimleri gerçek dünyadan kendisine konu edindiği olgular için öne sürdüğü prensipler (ilkeler) üzerine kurulu, deneysel bir bilim dalıdır. Doğa sevgisi ve laborauar çilekeşliği de kimin daha iyi doğa bilimci olduğunu oraya çıkarmakadır. Doğanın esasının gelişigüzellik olduğunu hisseden kişiler de Đsaisikçilerdir. Her araf Đsaisikir. Veri aramaya çıkıpa bulamayan Đsaisikçileri oldum olası anlayamamışımdır. Verinin parasal değeri madeni paranın değerini aşmasa da bir madeni para ile her ür veri üreilebilir. Fizikçiler, kimyacılar, biyologlar, asronomlar, ekonomisler, ekonomericiler, sosyologlar, kamu yöneicileri, ıpçılar, mühendisler, sigoracılar, finansçılar, meerologlar, yokmuş gibi, onların problemlerini onlardan daha iyi çözeriz düşüncesiyle oraya çıkan Đsaisikçileri de anlamak mümkün değil. Ülkemizde, Đsaisik Bilimi nin gelişimi değişik dönemlerde ekonomeri, biyoisaisik, yöneylem, bilgi işlem ile iç içe girmiş olsa da zamanla kendi yolunu bulmuşur. Son 3 yılın moda konusu olan kaos karışıklığından da kendini çok kolay kurarmışır. C.R.Rao nun dediği gibi Rasgelelik olgusu ile uğraşanlar düzensizliğin içinde düzen ararlar. Kaos ile uğraşanlar düzen içinde düzensizlik ararlar. C.R.Rao nun vurguladığı gibi Đsaisikçiler rasgelelik ile uğraşır. Đsaisik, rasgeleliğin bilimidir diyelim geçelim. Ya rasgelelik nedir? 1 Ekim 11