BİRDEN ÇOK DEĞİŞ ĞİŞKEN DURUMUNDA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BİRDEN ÇOK DEĞİŞ ĞİŞKEN DURUMUNDA"

Transkript

1 BİRDEN ÇOK DEĞİŞ ĞİŞKEN DURUMUNDA OPTİMİZASYON

2 Şekil.1 i dikkate alalım. Maksimum nokta olan A ve minimum nokta olan B de z=f(x) fonksiyonunun bir durgunluk değeri vardır. Bir başka ifadeyle, z nin bir uçdeğerinin (minimum ya da maksimum) olabilmesi için, x değişirken dz= olmalıdır. Ancak bu koşul tek başına bir minimum ya da maksimum için yeterli değildir. Örneğin Şekil.1 de C noktasında dz= olmakla beraber, bir uçdeğer oluşmamaktadır. Birinci sıra koşula göre, f (x)= olmalıdır. Bunu diferansiyel denklem yoluyla şöyle ifade edebiliriz: dz = f ( x) dx =, dx

3 Şekil.1 Durgunluk Noktaları 3 z A dz = C dz = z = f ( x ) B dz = x

4 Şekil.1 de A noktasının soluna (dx<) ve sağına (dx>) 4 gidildiğinde her iki durumda da z nin değeri azalmaktadır (dz<). Diğer bir ifadeyle, farklı x değerleri için d(dz)< ya da d z< dır diyebiliriz. d z< koşulu, maksimum için ikinci sıra koşulun (yeterlik koşulu) diferansiyelidir. Bunu şöyle gösterebiliriz: ddzdx ( ) dx dz = = f ( x) <, dx dx d z = f ( x) dx < (-) (+)

5 d z ifadesini açarak yazalım ve dx ( (dx) ) teriminin bir karesel terim (dolayısıyla pozitif) olduğunu görelim. 5 ( ) [ ] ( ) d z = d( dz) = d f ( x) dx = df ( x) dx d z = f ( x) dx dx = f ( x)( dx) Dolayısıyla maksimizasyon için yeterli olan d z< ikinci sıra koşulu ile f (x)< eşdeğerdir.

6 6 Yukarıdaki incelemeyi şöyle genelleştirebiliriz : z nin maksimumu için i in : z nin minimumu için i in : f f ( x) ( x) ya da z nin maksimumu için i in : d z z nin minimumu için i in : d z

7 İki değişkenli bir fonksiyonu şöyle ifade edebiliriz : 7 z = f ( x, y) İkisi birden sıfır olmamak koşuluyla farklı dx ve dy değerleri için dz= birinci sıra koşulu oluşturur. Fonksiyonun birinci sıra toplam diferansiyelini yazalım: dz = f dx + f dy =, dx, dy x y Yukarıdaki koşul altında, diferansiyel denklemin sıfır olabilmesi yani dz= olabilmesi için; f x z = = x ve f y z = = y olmalıdır.

8 Şekil. İki Seçim Değişkenli Modelde Maksimum 8 z A y x

9 Şekil.3 İki Seçim Değişkenli Modelde Minimum 9 z y x B

10 Şekil.4 İki Seçim Değişkenli Modelde Eyer Noktası C z x 5 y 1

11 Yukarıdaki Şekil.,.3 ve.4 ü birinci sıra koşul açısından inceleyelim. Şekil. de A noktasında, Şekil.3 de B 11 noktasında ve Şekil.4 de C noktasında dz= birinci sıra koşulu sağlanmaktadır. Bu noktalarda, f x = f = ya da y z x z = = y sağlanmaktadır. Ancak birinci sıra koşul uçdeğer için gerekli olmakla birlikte yeterli değildir.

12 Şekil. ve.3 te sırasıyla maksimum ve minimum oluşmasına rağmen, Şekil.4 te bir eyer noktası oluşmaktadır. Şekil.4 at eğerine benzemesinden ötürü bu biçimde adlandırılmaktadır. z, x e göre bir maksimum vermekle birlikte, y e göre bir minimumdur. 1 Şimdi ikinci sıra koşuluna bakalım. Öncelikle ikinci dereceden kısmi türev kavramını inceleyelim. z=f(x,y) fonksiyonunun iki tane birinci dereceden kısmi türevi vardır: f x z =, fy = x z y

13 y sabit kalırken, f x in x e göre türevi, x in ikinci dereceden kısmi 13 türevidir. f xx ( z x) z = = x x Benzer tanımı y için de yapabiliriz. x sabit kalırken, f y in y e göre türevi, y nin ikinci dereceden kısmi türevidir. f yy ( z y) z = = y y

14 Ayrıca f x ve f y nin hem x hem de y nin birer fonksiyonu olduğunu da göz önünde tutarsak, şu çapraz ikinci derece kısmi türevleri de elde ederiz. 14 f xy ( z y) z = = x x y Young Teoremi: f yx ( z x) z = = y y x f xy = f yx

15 Örnek 1: Aşağıdaki fonksiyona ilişkin kısmi türevleri bulalım. z = x 3 + 5xy y Birinci derece kısmi türevler : 15 z f = = 3x + 5 y, f = = 5x y x x y y z Bunların bir kere daha x ve y e göre kısmi türevlerini alırsak, ikinci dereceden kısmi türevleri elde etmiş oluruz. z z z fxx = = 6 x, f, 5 yy = = f xy = fyx = = x y x y

16 16 Örnek : Aşağıdaki fonksiyona ilişkin kısmi türevleri bulalım. z = y xe Birinci derece ve ikinci derece kısmi türevler : z z f = = xe y, f = = xe x x y y y z z f e y, f xe xx x yy y = = = = y z f = f = = xe xy yx x y y

17 İkinci Sıra S Toplam Diferansiyel 17 dz nin diferansiyelini alarak, d z ikinci sıra toplam diferansiyelini elde ederiz. ( dz) ( dz) x y d z = d( dz) = dx+ dy ( fxdx+ fydy) ( fxdx+ fydy) = dx + x y dy = f dx + f dy dx + f dx + f dy dy xx xy yx yy = f dx + f dydx + f dxdy + f dy xx xy yx yy d z = f dx + f dxdy + f dy xx xy yy

18 18 3 Örnek 3: fonksiyonunun birinci sıra ve ikinci z = x + 5xy y sıra toplam diferansiyellerini bulalım. dz = f dx + f dy x y f = 3x + 5 y, f = 5x y x y ( 3 5 ) ( 5 ) dz = x + y dx + x y dy = + + xx xy yy d z f dx f dxdy f dy d z = 6xdx + 1dxdy dy

19 Şekil.5 İki Seçim Değişkenli Modelde Maksimum

20 Şekil.5 de kırmızı noktayla işaretlenen yerde birinci sıra koşulların sağlanmış olduğunu varsayalım. Eğer dx ve dy rasgele farklı değerler alırken, dz sürekli azalıyorsa (yani d z<), bu noktada bir maksimum vardır diyebiliriz. Tersi durumda bir minimum vardır. Ancak bazı durumlarda d z= olabileceğini de göz önünde bulundurarak, genel kuralı şöyle yazabiliriz : ( dz = f = f = ) x y z nin maksimum değeri eri için i in : z nin minimum değeri eri için i in : d z d z

21 1 Uç değeri belirlemek için kullanacağımız yukarıdaki kuralı şimdilik ispat vermeksizin ikinci derece kısmi türevler cinsinden açık olarak yazalım. xx yy xx yy xy f <, f <, f f > f d z< xx yy xx yy xy f >, f >, f f > f d z>

22 Şekil.5 de şeklin durgunluk noktasında çizilen doğu-batı ve kuzey-güney yönlü oklardaki hareketler bu koşullarda f xx ve f yy ikinci derece kısmi türevleriyle gösterilmektedir. Ancak dx ve dy rasgele değişirken bir uç değerin garanti altına alınabilmesi için, diğer olası yönlerde de dz nin ya sürekli azalıyor (maksimum için) ya da sürekli artıyor (minimum için) olması gerekir. Bu, f xy çapraz türevi ile simgelenmiştir.

23 Şimdi bir uç değeri belirlemek için kullanacağımız birinci sıra ve ikinci sıra koşulları topluca aşağıdaki tabloda verelim. 3 Koşul Maksimum Minimum Birinci Sıra Koşul f x = f = f = f = y x y İkinci Sıra Koşul f xx <, f < f f > f yy xx yy xy f xx >, f > f f > f yy xx yy xy

24 z = x + xy x + y Örnek 4 : fonksiyonunun uçdeğerlerini bulalım. Bunun için öncelikle fonksiyonun birinci derece ve ikinci derece tüm kısmi türevlerini buluruz ve yukarıda verdiğimiz tablodaki koşulları kullanarak uçdeğerin var olup olmadığını sınayabiliriz. f = 4x + y 6 x, f = x+ y x f = 48x 6, f =, f = f = xx yy xy yx y

25 Birinci sıra koşul gereği f x ve f y denklemlerini sıfıra eşitleyelim, x ve y için çözelim. 5 f = x + y x = x 4 6 f = x+ y = y x =, y =, z = * * * * 1 * 1 * 3 x =, y =, z = 3 3 7

26 Şekil.6 da bu fonksiyonun çizimi yer almaktadır. Yukarıda bulduğumuz durgunluk değerlerini Şekil 6 da iki ayrı nokta ile 6 gösterdik. Bu noktalarda dz= olmaktadır. Şimdi de bu noktalardaki durgunlukların birer uçdeğer oluşturup oluşturmadıklarına bakalım. Bunun için, birinci sıra koşulları sıfıra eşitleyerek bulduğumuz x * ve y * değerlerini, ikinci derece türevlerini değerlendirmede kullanırız ve ikinci sıra koşulların işaret incelemesini yaparız.

27 7 x =, y = * * 1 1 f f f xx yy xy = 6< = > = Bu nokta, bir eyer noktasıdır. x 1 1 =, y = 3 3 * * f f f xx yy xy = 1 > = > = f f f xx yy =, xy = 4 f f > f xx yy xy Bu nokta, bir minimum noktasıdır.

28 Şekil.6 UçdeU değerin erin Belirlenmesi (Örnek( 4) 8 z = x + xy x + y * 1 * 1 * 3 x =, y =, z = x =, y =, z = * * * y -.5 z x

29 x z = x+ ey e e y Örnek 5 : fonksiyonunun uçdeğerlerini bulalım. Örnek 4 de uyguladığımız yöntemi burada da 9 kullanalım. f x y x = 1 e = f = e e = y * * 1 * x =, y =, z = 1 x =, y = * * 1 f xx yy xy x = e = 1< f = e = e< f = y 4 4 f f = e f = xx yy 4, xy f f > f xx yy xy Bu nokta, bir maksimum noktasıdır.

30 Şekil.7 UçdeU değerin erin Belirlenmesi (Örnek( 5) 3 x z = x+ ey e e y * * 1 * x =, y =, z = 1 z y x -.5-1

31 Örnek 6a: bulalım ( x x y ) z = e + 31 fonksiyonunun uçdeğerlerini ( ) ( x + x y ) f = 1 x e = x f y ( ) ( x + x y ) = y e = * * * x = 1, y =, z = 1.95 * * * x = 1, y =, z =.51

32 3 ( f 1 ) xx = x x e + ( 1 3 x x y 3 ) x x y * y * * * = 1 fxx = = = = 1 f xx e 3 = e 3 3 ( x x y ) fyy = 4y e x x y * y * * * = 1 fyy = e = = = 1 f yy = e 3 3

33 33 ( 1 ) ( ) ( 1 3 x x y 3 ) f = f = x y e + xy yx x x y * y * * * = 1 f xy = = = 1 = f = xy

34 34 ( x, y, z) = ( 1,,.51) f xx 3 = e > xx yy xy 3 xx yy xy ( )( ) 3 3 f f > f e e < ( x, y, z) = (1,,1.95) f xx = e < ( )( ) 3 3 f f > f e e > Bu nokta bir eyer noktasıdır. Bu nokta bir maksimum noktasıdır.

35 Şekil.8 UçdeU değerin erin Belirlenmesi (Örnek( 6a) ( x x y ) z = e

36 Örnek 6b: bulalım. 4 4 ( ) ( 3) z = x + y 36 fonksiyonunun uçdeğerlerini f f x y = = 3 4( x ) = = 3 4( y 3) * * * x =, y = 3, z = fxx = = 1( x ) x =, y = 3 * * f yy f xy = = = 1( y 3) d z = Bu durum, uçdeğer sınaması için şu ana kadar kullandığımız koşulları sağlamamakla birlikte, noktasında bir minimuma sahiptir. * * * x =, y = 3, z =

37 Şekil.9 UçdeU değerin erin Belirlenmesi (Örnek( 6b) ( ) ( 3) z = x + y * * * x =, y = 3, z = y -5 z -1 x

38 d z teriminin işaretinin pozitif mi, negatif mi olduğunu belirlemek için, karesel biçim kavramını kullanarak, iki ya da daha çok seçim değişkeninin yer aldığı modellerde uçdeğer sınamasını daha kolaylıkla yapabileceğimiz kurallara ulaşacağız. 38 Önce biçim ve karesel biçim kavramlarını tanıyalım. Her bir terimin aynı derecen olduğu polinoma, biçim diyoruz. Örneğin 4x-9y+z polinomu, üç değişkenli doğrusal bir biçimdir. 4x -xy+3y polinomu da, ikinci dereceden (karesel) bir biçimdir.

39 39 Şimdi ifadesini karesel biçim d z = f dx + f dxdy+ f dy xx xy yy çerçevesinde inceleyelim. Şu kısaltmaları kullanalım: q d z, u dx, v dy, a f xx b f, h f = f yy xy yx Anımsarsak, ikinci sıra uç değer koşula göre, dx ve dy nin kendisinin ve değişimlerinin hangi değer aldıklarından bağımsız olarak, bir minimum için d z>, bir maksimum için d z< olmalıdır. Bu durumda, q> ya da q< elde edebilmek için, u ve v herhangi değerler alabilirken, a, b ve h katsayılarına hangi kısıtlamaları koymalıyız.

40 q karesel biçimindeki değişkenlerin değeri ne olursa olsun (tümü aynı anda sıfır olmamak koşuluyla); 4 q> ise pozitif belirli q ise pozitif yarı belirli q< ise negatif belirli q ise negatif yarı belirli Değişkenler farklı değerler alırken q işaret değiştiriyorsa, q belirsizdir deriz. q=d z belirsiz ise, bir eyer noktası vardır.

41 İki seçim değişkenli durum için determinant sınamasını elde edebilmek için, q karesel biçimini kullanacağız : q= au + huv+ bv u ve v pozitif olduklarından, a ve b katsayılarının işaretlerine konulacak kısıtlamalardan işaretin rahatça ne olabileceğini söyleyebiliriz. Ancak bu haliyle huv teriminin işaretiyle ilgili kesin bir şey söyleyemeyiz. Bu nedenle de q nun kesin negatif belirli mi ya da pozitif belirli mi olduğunu söyleyemeyiz. Bu belirsizlikten kurtulmak için bazı matematik işlemler yapalım. q karesel biçimine h v /a terimini ekleyip çıkaralım. 41

42 hv q = au + huv + + bv a hv a 4 Eşitliğin sağındaki ilk üç terimi a ortak parantezine, son iki terimi de v ortak parantezine alıp düzenleyelim. h h h q= a u + uv+ v + b v a a a h ab h q= a u+ v + v a a a ve değişkenleri birer kare ifade olduklarından, q nun işareti tümüyle a, b ve h katsayılarının işaretine bağlıdır.

43 43 a > ve ab-h > ise q > (pozitif belirli) a < ve ab-h > ise q < (negatif belirli). Bu genel koşulu determinant yoluyla ifade edelim. Bunun için q karesel biçimini aşağıdaki gibi yeniden yazalım. q = au + huv + bv q = au + huv + huv + bv q = a( u ) + h( uv) a h u q = [ u v] + huv ( ) + bv ( ) h b v D diyelim.

44 44 a > ve ab-h > ise q > (pozitif belirli) a < ve ab-h > ise q < (negatif belirli). Matris biçimini kullanarak, işaret belirliliği kuralını yeniden yazalım. a h a > ve D ab h ise h b = = > q > a h a < ve D ab h ise h b = = > q <

45 45 a terimini de D determinantının bir alt determinantı (birinci ana minör determinantı) olarak düşünebiliriz ve D 1 şeklinde yazabiliriz. İşaret belirliliği koşullarını buna göre yazalım. D > ve D > ise q > 1 D < ve D > 1 ise q <

46 Matris biçimiyle verdiğimiz q karesel biçiminin kısaltmalarını yerlerine yazarak yeniden düzenleyelim. f [ ] xx f xy dx d z = dx dy f yx f yy dy Hessian Matris Hessian matris, bir denklem sisteminin ikinci derece kısmi türevlerinden oluşan matristir. Hessian matrisi kullanarak, 46 d z nin işaret belirliliği için bir şeyler söyleyebiliriz. f > ve xx f f xx xy = f xx f yy f xy > f yx f yy

47 47 f xx f xy f H = f xx f yy xy f f = f > xx > ise ve d z > yx yy f xx f xy f H = f xx f yy xy f f = f > xx < ise ve d z < yx yy Burada f xx terimini, bir alt Hessian determinant olarak düşünebiliriz ve q 1 biçiminde gösterebiliriz.

48 Yukarıda iki seçim değişkenli model için verdiğimiz karesel biçimlerden hareketle işaret belirliliği ve uç değerin bulunmasını şimdi de üç değişkenli bir durum için uygulayalım ve bir basamak daha yukarıdaki genel işaret belirliliği ve uçdeğer sınama koşullarını elde edelim. Daha sonra bunu n değişkenli duruma genelleştirelim. u 1, u ve u 3 gibi üç değişkenli bir karesel biçimi şöyle yazabiliriz : 48 q = ( u, u, u ) = d ( u ) + d ( u u ) + d ( u u ) d ( u u ) + d ( u ) + d ( u u ) d ( u u ) + d ( u u ) + d ( u )

49 Bu üç değişkenli karesel biçimi şimdi de matris biçimde ifade edelim : d11 d1 d13 u1 q= ( u1, u, u3) = u1 u u3 d1 d d3 u u = Du d d d u u D matrisinden kendisi de olmak üzere üç determinant elde edilir. D u 49 tane ana minör d d d d d D d D D D d d d = 11, =, 3 = = 1 3 d1 d d31 d3 d33

50 Üç seçim değişkenli bir modelde q nun işaret belirliliği için koşulları D determinantlarını kullanarak yazalım: 5 D 1 > D > D 3 = D > ise, q pozitif belirlidir. D 1 < D > D 3 = D < ise, q negatif belirlidir.

51 Örnek 7: q = u + 6u + 3u u u 4u u karesel biçiminin pozitif belirli mi, negatif belirli mi olduğunu inceleyelim. Bu karesel biçimi matris görüntü olarak ifade etmeye çalışalım. q = ( u, u, u ) = 1( u ) 1( u u ) + ( u u ) ( uu) + 6( u ) ( uu) ( uu) ( uu) + 3( u ) u q = ( u, u, u ) = u u u 1 6 u 3 u 3

52 5 D 1 = 1> D D = = 5> = D = 1 6 = 11> 3 olduğundan, q pozitif belirlidir.

53 n değişkenli karesel biçimi, doğrudan D matrisinin ana minörlerini yazarak gösterelim ve işaret belirliliği için genel koşulu oluşturalım. 53 D d D = 11, =,..., d1 d d d D n = D = d d... d n d d... d 1 n d d... d n1 n nn

54 Pozitif belirlilik için tüm ana minörlerin determinantları pozitif olmalıdır. 54 D >, D >,..., D = D > 1 n Negatif belirlilik için tüm ana minörlerin determinantlarının işaretleri aşağıdaki gibi olmalıdır. D <, D >,..., D = D > 1 n D n. ana minör, eğer n çift sayı ise pozitif, tek sayı ise negatif olmalıdır.. n = D

55 u'du karesel biçiminin işaret belirliliği için karakteristik kök yöntemi denilen bir yöntemi de kullanabiliriz. D bir kare matris olmak üzere; 55 Dx = rx Matris denklemini sağlayacak bir u'du vektörü ve r skaleri bulmak mümkünse, r skalerine matrisinin karakteristik kökü (eigenvalue), x vektörüne de karakteristik vektör (eigenvector) denilmektedir. Bu denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazarak düzenleyelim. ( ) Dx = rix Dx rix = D ri x =

56 56 x vektörü, sıfır olmayan bir vektör olacağından, D-rI = olmalıdır. D ri d r d... d n d d r... d 1 n = = d d... d r n1 n nn

57 57 D-rI = denklemine, D matrisinin karakteristik denklemi denir. Bu denklem, n. Dereceden bir polinomdur ve n tane köke (r 1, r,..., r n ) sahiptir. Ancak r i köküne karşılık sonsuz karakteristik vektör oluşur ( D-rI = olması nedeniyle). Bu nedenle normalleştirme işlemi yapılarak, r i ye bir tane vektörün karşılık gelmesi sağlanabilir.

58 Örnek 8: D = 1 vektörlerini bulalım. 58 matrisinin karakteristik köklerini ve d r d r = = = 6= d d r 1 r 11 1 D ri r r 1 r r 6= r1 = 3, r = Karakteristik K Karakteristik Kökler r 1 =3 kökünü kullanarak ( D-rI ) x = denklemini oluşturalım. 3 x1 1 x1 1 3 x = = 4 x

59 1 x1 = 4 x D ri 59 (D-rI)= olması nedeniyle, x 1 ve x için sonsuz olası çözüm vardır. Çözüm sayısını bire indirmek için x 1 + x = 1 normalleştirmesini kullanalım. Bu durumda x 1 ve x için şu iki denklem oluşur. x + x = 1 x x 1 1 x =, x = =

60 Bu sonuca göre, birinci karakteristik vektör şöyle oluştu: 6 v 1 x 5 1 = x = 1 5 Birinci Karakteristik Vektör r =- kökünü kullanarak ikinci karakteristik vektörü bulalım. ( ) x1 4 x1 1 ( ) x = = 1 x x + x = x1 =, x = x1 + x = v x = x = 5 İkinci Karakteristik Vektör

61 Karakteristik vektörlerin iki özelliği vardır: 61 vv i i 1. skaler çarpımı bire eşittir. Bu özellik, normalleştirmeden kaynaklanmaktadır. x1 x vv x x x x n 1 i i = = i = 1 i= 1 x 1 vv. skaler çarpımı sıfıra eşittir (iπj). i j

62 İkinci özellikteki duruma orthogonal (dik) vektörler diyoruz. Her iki özellik birlikte dikkate alınırsa, vektörler orthonormaldir. 6 Şimdi D matrisinin karakteristik köklerinin ve vektörlerinin, u'du karesel biçiminin işaretini belirlemede nasıl kullanılabileceğine bakalım. Bu yaklaşımın da amacı, yukarıda gördüğümüz kareyi tamamlama yöntemiyle aynıdır. v 1, v,..., v n karakteristik vektörlerini bir T matrisinin sütunları olarak düşünelim. T = v1 v... vn

63 Şimdi T matrisini kullanarak, ana köşegeni (diyagonal) karakteristik köklerden oluşan bir matris elde edeceğimiz dönüştürmeyi yapalım. 63 u = Ty Burada y herhangi bir vektör. udu == ( Ty) DTy ( ) = ytdty R = TDT diyelim. v1 v =... n vn R D v1 v v

64 Ayrıca şunu da biliyoruz: 64 D v v... v = Dv Dv... Dv = r v r v... r v 1 n 1 n 1 1 n n v1 v =... vn R rv 1 1 rv rv n n R rvv rvv 1... rvv n 1 rv v rv v... rv v rv v rv v... rv v 1 1 n n = 1 n 1 n n n n n

65 65 R r1... r rn = 1 1 r1... y 1... n 1 1 n n... udu = yry = y y y r r... r y udu = ry + r y r y r y n

66 66 R=T'DT dönüşümü, D matrisini R köşegen matrisine çevirmemizi sağlıyor. Yani köşegenleştirme işlemini yapmış olduk. Son denklemde tüm y terimleri kare olduklarından, u'du karesel biçiminin işareti, karakteristik köklerin işaretlerine bağlıdır.

67 Örnek 9: D = 1 matrisini köşegenleştirelim. Bu matrisi 67 daha önce örnek 8 de çözerek karakteristik vektörlerini bulmuştuk T = v1 v = Bu karakteristik vektörler matrisinden hareketle köşegenleştirme şöyle yapılır:

68 68 R R = TDT = =

69 n n udu = ry + r y + + r y 69 Buna göre şu sonuçları çıkartabiliriz. u'du karesel biçimini işareti; 1. Ancak ve ancak D nin tüm karakteristik kökleri pozitif ise, pozitif belirlidir.. Ancak ve ancak D nin tüm karakteristik kökleri negatif ise, negatif belirlidir. 3. Ancak ve ancak D nin tüm karakteristik kökleri negatif olmayan ise ve en azından bir kök sıfır ise pozitif yarı belirlidir.

70 4. Ancak ve ancak D nin tüm karakteristik kökleri pozitif olmayan ise ve en azından bir kök sıfır ise negatif yarı belirlidir Ancak ve ancak D nin tüm karakteristik köklerinin bazıları negatif, bazıları pozitif ise, belirli değildir.

71 Örnek 1: 4 D = 3 vektörlerini bulalım. 71 matrisinin karakteristik köklerini ve D ri d r d 4 r 11 1 = = d d r 3 r 1 = + = r 7r 8 r =, r = 1

72 7 4 r1 x1 = 3 r x x x = x x =

73 x1 + x = x1 =, x = 4 4 x1 + x = 1 v 1 ( ) x1 = x = ( )

74 74 4 r x1 = 3 r x x x = x1 + x = x } 1 1 x1 = 1, x = 1 v = x = 1 x1 + x = 1

75 Birinci Sıra S Koşullar 75 z = f( x1, x, x3) gibi üç seçim değişkenli bir fonksiyonu ele alalım. Bu fonksiyonun birinci sıra koşulunu belirlemek için, öncelikle toplam diferansiyelini alır, sıfıra eşitleriz. z z z dz = dx + dx + dx = f dx + f dx + f dx = x x x dx, dx, dx 1 3 f = f = f = 1 3 Buna birinci sıra koşul diyoruz.

76 76 İkinci Sıra S Koşullar Birinci sıra koşulu sağlayan x 1, x, x 3 değerlerinin bulunması, ilgili noktada (ya da noktalarda) durgunluğun oluştuğunu gösterir. Ancak birinci sıra koşul, bu durgunluğun bir uçdeğer ya da eyer noktası olduğunu söylemek için yeterli değildir. Bunu açığa çıkartmak için ikinci sıra koşula gerek duyarız. İkinci sıra koşul, dz diferansiyelinin bir kere daha diferansiyeli alınarak, işaretinin incelenmesini gerektirir.

77 ( dz) ( dz) ( dz) ddz ( ) = dx+ dx + dx x x x dz = z z z ( dx + dx + dx ) x x x dx x 1 z z z ( dx1+ dx + dx3) x1 x x3 + dx x z z z ( dx1+ dx + dx3) x1 x x3 + dx x 3 1 3

78 78 z z z d z = dx 1+ dx + dx3 dx1 x1 x1 x x1 x3 z z z + dx + dx + dx dx x x x x x z z z + dx + dx + dx dx x x x x x

79 79 d z = f dx + f dx + f dx dx f dx + f dx + f dx dx f dx + f dx + f dx dx = d z f dx f dx dx f dx dx f dxdx + f dx + f dxdx f dx dx + f dx dx + f dx

80 d z ifadesi bir karesel biçim olduğundan, yukarıda verdiğimiz genel işaret belirleme koşullarını burada da kullanarak d z nin işaretinin belirleyebilir ve uçdeğer oluşumu konusunda bir şeyler söyleyebiliriz. Bunun için, yukarıda en son yazdığımız karesel biçimdeki denklemden Hessian matrisi oluşturalım. 8 f f f H = f f f 1 3 f f f

81 Hessian determinantın ana minörleri de şöyledir : 81 f f H = f, H =, H = H f1 f Buna göre, işaret belirliliği için ikinci sıra koşullar şöyle olacaktır : H 1 < H > ise d z < Yani z * bir maksimum H 3 <

82 8 H 1 > H > ise d z > Yani z * bir minimum H 3 > Yukarıdaki ana minörlerin sayısal değerini belirlerken, durgunluk noktasındaki x değerlerini (x * ) dikkate alarak işlem yapıyoruz. Bu sınamayı karakteristik kökleri kullanarak da yapmamız mümkündür.

83 z = x + x x + 4x + x x + x + Örnek 11: fonksiyonunun uçdeğerlerini araştıralım z = f1 = 4x1 + x + x3 = x 1 z = f = x1 + 8x = x z = f3 = x1 + x3 = x 3 x = x = x = z * * * 1 3 * =

84 * * * * x1 = x = x3 =, z = Bu sonuç, noktasında bir durgunluk olduğunu söylüyor. Bu durgunluk noktasının bir uçdeğer 84 mi, eyer noktası mı olduğunu belirlemek için ikinci sıra koşullara bakalım. İkinci sıra koşul için Hessian determinantı oluşturalım. z z z = f = 4, = f = 8, = f = x x x

85 85 z z = f = = f = x x x x z z = f = = f = x x x x Young Teoremi Young Teoremi gereği z z = f = = f = x x x x

86 f f f H = f f f = 1 3 f f f Ana minörler : H H H = f = 4> f f 11 1 = = = > f f 1 = H = 54 > Bu sonuca göre, tüm ana minörler pozitif olduğundan, d z> yani pozitif belirlidir. Bu nedenle, bulduğumuz durgunluk noktasında bir minimum vardır.

87 Örnek 1: fonksiyonunun uçdeğerlerini araştıralım. z = x + 3x x + x x 3x z = f1 = 3x1 + 3x3 = x 1 z = f = x = x z = f3 = 3x1 6x3 = x 3 x =, x = 1, x = z = 1 * * * * 1 3 * 1 * * 1 * 17 x1 =, x = 1, x3 = z = 4 16

88 Bu sonuç, yukarıda bulduğumuz iki noktada durgunluk olduğunu söylüyor. Bu durgunluk noktalarının bir uçdeğer mi, eyer noktası mı olduğunu belirlemek için ikinci sıra koşullara bakalım. İkinci sıra koşul için Hessian determinantı oluşturalım. 88 * z x1 = için f11 = = f 11 = 6x1 * x1 x1 =.5 için f11 = 3 z x z x 3 = f = = f = 6 33

89 z z = f = = f = x x x x z z = f = = f = x x x x z z = f = = f = x x x x H = ve H =

90 9 Birinci Hessian için ana minörler : H 1 = f 11 =, H = =, 3 18 H = H = > Bu sonuca göre, H 1 = olduğundan, d z nin işareti belirsizdir. Bu nedenle, aşağıdaki durgunluk noktasında bir eyer (dönüm) vardır. x =, x = 1, x =, z = 1 * * * * 1 3

91 İkinci Hessian için ana minörler : 91 3 H1 = 3<, H = = 6>, H3 = H = 18< Bu sonuca göre, H 1 = olduğundan, d z nin işareti negatiftir. Bu nedenle, aşağıdaki durgunluk noktasında bir maksimum vardır. * 1 * * 1 * 17 x1 =, x = 1, x3 =, z = 4 16

92 Şimdi örnek 1 deki soruyu karakteristik kök yöntemiyle çözelim. 9 r H ri = r = r + r + r = 3 6 r 3 r H ri = r = r r r = 3 6 r

93 3 r r r = [ + ] = r r r r r r 1 3 = < = 3+ 7 > = 3 7 < 93 3 r r r = [ ] = r r r r r r 1 3 = < 3 = < 3 = 3 5 <

94 94 Birinci çözümde karakteristik kökler aynı işarete sahip x =, x = 1, x =, z = 1 * * * * 1 3 olmadıklarından, noktasında eyer (dönüm) noktasının var olduğunu; ikinci çözümde ise tüm karakteristik köklerin negatif olması nedeniyle * 1 * * 1 * 17 x1 =, x = 1, x3 =, z = 4 16 noktasında bir maksimumun oluştuğunu söyleyebiliriz.

95 Amaç fonksiyonumuz n tane seçim değişkenine sahip olsun. 95 z = f( x, x,..., x ) 1 n n seçim değişkenine sahip fonksiyonunun uçdeğerlerine ilişkin genel sınama koşulları şöyledir: Koşul Maksimum Minimum Birinci Sıra Koşul f1 = f =... = f n = f1 = f =... = f n = İkinci Sıra Koşul H H 1 3 <, H >, n <,...,( 1) H > n H H 1 3 >, H >, >,..., H > n

96 Örnek 13: fonksiyonunun uçdeğerlerini araştıralım. ( ) x y w w z = e + e + e x+ e y 96 f f x y x e y = e + 1= w w f = we e = w = = * * * x =, y =, w = 1 z * = e

97 Bu sonuç, yukarıda bulduğumuz bir noktada durgunluk olduğunu söylüyor. Bu durgunluk noktasının bir uçdeğer mi, eyer noktası mı olduğunu belirlemek için ikinci sıra koşullara bakalım. İkinci sıra koşul için Hessian determinantı oluşturalım. 97 f = e = f = e = xx x y 4 4, yy 1 w w w fww = e + 4w e e = 4e f = f = f = f = f = f = xy yx xw wx yw wy H = 4 1 4e

98 98 Ana minörler : 4 H1 = 4>, H = = 4>, H3 = H = 16e> 1 Bu sonuca göre, tüm ana minörler pozitif olduğundan, d z nin işareti pozitif belirlidir. Bu nedenle, * * * * x =, y =, w = 1, z = e noktasında bir minimum vardır.

99 Tam Rekabet Piyasasında Firma Dengesi 99 Tam rekabet piyasasında çalışan ve iki mal üreten bir firma varsayalım. Firmanın toplam gelir ve toplam maliyet fonksiyonları sırasıyla şöyledir: TR = P q + P q TC = q + q q + q

100 Toplam maliyet fonksiyonundan hareketle her bir mala ilişkin 1 marjinal maliyet fonksiyonlarını elde edersek, bu iki malın üretiminin teknik olarak birbiriyle bağlantılı olduğunu görebiliriz. Firmanın amacı toplam kârını maksimize etmektir. Bunun için kâr fonksiyonunu oluşturalım. ( ) ( ) π = TR TC = P q + P q q + q q + q

101 Amacımız, π yi maksimize edecek olan q 1 ve q düzeylerini belirlemektir. Bunun için ilk olarak birinci sıra koşulları inceleriz. π π = TR TC = P 4q q = q π π = TR TC = P q 4q = q q 1 4P P P 4P =, q = * 1 *

102 Bulduğumuz bu üretim düzeylerinin, firma kârını maksimize edip etmediğini kesinleştirebilmemiz için, ikinci sıra koşullara bakmalıyız. 1 π π π π = 4, π = 4, π =π = 1 q q q q H H H π π =π 11 = 4<, = = = = 15> π1 π 1 4 * q 1 * q Bu sonuç, ve üretim düzeylerinin firma kârını maksimize ettiğini göstermektedir.

103 13 Tekel Piyasasında Firma Dengesi Tam rekabet piyasası incelediğimiz yukarıdaki örneği şimdi de tekel konumundaki bir firma için inceleyelim. Firmanın üretip sattığı iki ürünün talep fonksiyonları ve maliyet fonksiyonu şöyledir: Q = 4 P + P 1 1 Q = 15 + P P 1 TC = Q + Q Q + Q 1 1

104 14 Tam rekabet piyasası uygulamasında yaptığımız gibi, amacımız tekelci firmanın kârını maksimize eden üretim düzeylerini belirlemek ve bu üretim düzeylerinin kârı maksimize ettiğinden emin olacağımız sınamaları uygulamaktır. Kâr fonksiyonunu oluşturmadan önce, yukarıda verilmiş olan talep fonksiyonlarından, ters talep fonksiyonlarına ulaşalım.

105 15 Q = 4 P + P 1 1 P = Q 4 + P 1 1 Q = 15 + P P 1 ( ) Q = 15 + P Q 4 + P Q = 55 P Q P1 = 55 Q1 Q 1 1 ( ) P = Q Q Q 1 1 Ters Talep P = 7 Q Q 1 Ters Talep Fonksiyonları

106 16 ( ) ( ) π= TR TC = P Q + P Q Q + Q Q + Q ( ) ( ) ( 55 Q Q Q 7 Q Q Q Q QQ Q ) = = 55Q + 7Q 3QQ Q 3Q Birinci sıra koşullar: π = π 1 = 55 3Q 4Q1 = Q 1 Q * 1 = 8 π = π = 7 3Q1 6Q = Q Q * = 7.67

107 İkinci sıra koşullar: 17 π = 4, π = 6, π = π = H =π = 4< 1 11 H H π π = = = = > π π

108 Şekil.1 Tekelci Piyasada Kâr K r Maksimizasyonu 18 π= 55Q + 7Q 3QQ Q 3Q Q Q * 1 * 1 = 8 = 7.67 π = π Q 1 Q 5

109 Tekelci Piyasada Fiyat Farklıla laştırması Tekel konumundaki bir firmanın, üretip sattığı 19 malı, fiyat farklılaştırması uygulamasıyla üç ayrı piyasada, üç farklı fiyatla satmak istemektedir. Buna göre, aşağıda verilen her alt piyasanın talep fonksiyonlarını ve firmanın toplam maliyet fonksiyonunu kullanarak, firmanın kârını maksimize edecek olan alt piyasa satış miktarlarını ve fiyatlarını belirleyelim. P = 63 4Q 1 1 TC = + 15Q P P = 15 5Q = 75 6Q 3 3 Q= Q + Q + Q 1 3

110 11 ( ) 15( ) π= TR TC = P Q + P Q + P Q + Q + Q + Q ( 63 4Q ) Q ( 15 5Q ) Q ( 75 6Q ) Q 15( Q Q Q ) π= π= 48Q + 9Q + 6Q 4Q 5Q 6Q Birinci sıra s koşullar: π = 48 8Q = 1 1 π = 9 1Q = π = 6 1Q = 3 Q Q Q * 1 * * 3 = 6 = 9 = 5

111 İkinci sıra s koşullar: 111 π = 8, π = 1, π = π = π =, π = π =, π = π = H =π = 8< 1 11 H π π = = = > π π H π π π = H = π π π = 1 = 96 < π π π

112 P = 63 4Q = 63 4(6) = 39 * * P P = 15 5Q = 15 5(9) = 6 * * = 75 6Q = 75 6(5) = 45 * * 3 3 Bu sonuç, firmanın her alt piyasaya, yukarıda bulduğumuz satış fiyatlarını uyguladığında, kârını maksimize edebileceğini göstermektedir. Fiyat farklılaştırmasındaki temel özellik, esnekliğin düşük olduğu alt piyasaya yüksek fiyat, yüksek olduğu alt piyasaya da düşük fiyat uygulanmasıdır.

113 113 Tam Rekabetçi i Firmanın n Optimal Girdi Kararı Tam rekabet piyasasında çalışan, Dt (t 1 -t ) zaman biriminde tek ürün üreten ve girdi olarak sermaye (K) ve işgücü (L) kullanan bir firmayı dikkate alalım. Firmanın üretim fonksiyonu ve toplam maliyeti şöyledir: Q = Q( K, L) TC = rk + wl

114 Bu firmanın amacı, t anında üretimine başladığı ve t 1 anında 114 üretimini tamamlayarak sattığı (yani firma toplam gelirini t 1 anında elde ediyor) malın üretim sürecinde kullandığı optimal sermaye ve işgücü bileşimini belirlemesidir. Bu nedenle firma t anındaki marjinal girdi maliyeti ile t 1 anında elde edeceği marjinal ürün gelirinin t anına indirgenmiş değerini karşılaştıracaktır.

115 115 TR = PQ( K, L) Bu, t 1 anında firmanın elde edeceği toplam gelirdir. Bunu t anına indirgeyerek yazalım. TR = PQ( K, L) e rt Şimdi de firmanın maksimize etmeye çalışacağı kâr fonksiyonunu yazalım. rt π= TR TC = PQ( K, L) e rk wl

116 Birinci Sıra S Koşullar: 116 π K Q rt rt π K = P e r = PQKe r = K PQ e K rt = r π L Q rt rt π L = P e w = PQLe w = L PQ e L rt = w PQK e rt : Sermayenin İndirgenmiş Marjinal Ürün Değeri PQLe rt r : İşgücünün İndirgenmiş Marjinal Ürün Değeri : Sermayenin Marjinal ürün Maliyeti w : İşgücünün Marjinal ürün Maliyeti

117 Diğer yandan eşürün eğrisine ilişkin şu koşulun da yerine gelmesi gerekir. Bunun için üretim fonksiyonunun toplam 117 diferansiyelini alalım ve üretim miktarı değişmezken, girdi bileşimindeki değişmeyi inceleyelim. Aşağıdaki sonuç, eşürün eğrisinin negatif eğime sahip olası gerektiğini söylemektedir. Q = (, ) Q K L dq = Q dk + Q dl = K L dk dl QL = = MRTSKL, QL >, QK > Q K

118 118 Şekil.11 Tam Rekabetçi i Firmanın n Optimal Girdi Kullanımı K K E * E Q Q 1 L Q1 Q L

119 İkinci Sıra S Koşullar: 119 π K Q K rt rt π KK = P e = PQ KKe π L Q L rt rt π LL = P e = PQ LLe π π Q rt π KL = π LK = P e = PQKLe K L L K K L rt İkinci derece türevleri kullanarak, Hessian determinantı oluşturalım ve ikinci sıra koşul sınamaları yapalım.

120 1 H 1 =π < KK H rt π π PQ e PQ e = H = = > rt π PQ e PQ e rt KK KL KK KL rt LK πll LK LL H 1 =π < Q < π < KK KK KK H = H > Q Q > Q π π > π KK LL KL KK LL KL

121 Yukarıda elde ettiğimiz ikinci sıra koşullar, sermayenin ve işgücünün marjinal verimliliklerinin azalması ve eşürün eğrilerinin kesin dışbükey olması gerektiğini söylemektedir. 11 Bunu görebilmek için, marjinal teknik ikame oranının L ye göre türevini yeniden inceleriz. Q Q Q d Q Q L L K K L d K QK L L = = dl dl QK

122 1 Q = Q ( K, L) K K Q = Q ( K, L) L L Q K ve Q L nin her ikisinin de K ve L nin fonksiyonu olacağına dikkat ediniz.

123 13 QL QL dk QL dl dk = + = QKL + L K dl L dl dl Q LL QK QK dk QK dl dk = + = QKK + L K dl L dl dl Q LK L L K K L d K QK L L = = dl dl QK d K dl Q Q Q d Q Q Q Q Q + Q Q Q + Q Q = Q L L KL LL K KK LK L QK QK K

124 = QLLQK QKLQL QLKQL + QKKQL dl QK Q d K K d K dl 1 = Q Q Q Q Q + Q Q Q 3 K LL K KL L K KK L Köşeli parantezde yer alan terim Q K ve Q L değişkenlerinin bir karesel biçimi olduğundan, ikinci sıra koşul sağlanıyorsa;

125 15 Q LL < ve Q Q > Q KK LL KL ise, Q Q Q Q Q + Q Q LL K KL L K KK L negatif belirli olacak, dolayısıyla; d K dl > olacaktır. Bu sonuç, negatif eğimli eşürün eğrisinin kesin dışbükey olmasını garanti altına almaktadır.

126 Örnek 14: 16 Firma girdi kararıyla ilgili, açık fonksiyon bir örnek verelim. Firmanın üretim fonksiyonu, mal fiyatı ve girdi fiyatları aşağıda yer almaktadır. Bu bilgilere göre, firmanın optimal sermaye ve işgücü istihdam düzeyleri ne olacaktır? Q = Q K L = K L r = w = P =.5.5 (, ), 4, 5, 6 TC = rk + wl π= TR TC = PQ( K, L) rk WL.5.5 = 6K L 4K 5L

127 17 Birinci Sıra S Koşullar: π π K = = K (.5) K L 4 π π L = K L = L.5.5 6(.5) 5 K = 5.1, L = 81 * *

128 İkinci Sıra S Koşullar: 18 π π KK = K L = K π π LL = K L = L π K L KL 15(.75) 5.9 3(.5).31 π π = π LK = = L K (.5) K L.47 H H 1 =π = 5.9 < KK πkk πkl = H = = =.13 > π π LK LL

129 Şekil.1 Tam Rekabetçi i Firmanın n Optimal Girdi Kullanımı (Örnek 14) π= 6K L 4K 5L π L 5 5 K 1

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını OPTİMİZASYON İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam

Detaylı

MATRİS İŞLEMLER LEMLERİ

MATRİS İŞLEMLER LEMLERİ MTRİS İŞLEMLER LEMLERİ Temel matris işlemlerinin doğrudan matematik açılımını 2 yapmadan önce, bir eşanlı denklem sisteminin matris işlemleri kullanılarak nasıl daha kolay ve sistematik bir çözüm verdiğini,

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ

İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ İKTİSADİ DİNAMİKLİK K VE İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ 2 İktisat biliminde dinamiklik kavramı, değişkenlerin değişim süreçlerini, dengeye geliş ya da uzaklaşmalarını içeren bir analiz tipidir. Daha önce karşılaştırmalı

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.5. Doğrusal olmayan fonksiyonların eğimi Doğrusal fonksiyonlarda eğim her noktada sabittir

Detaylı

KARŞILAŞTIRMALI DURAĞANLIK VE TÜREV

KARŞILAŞTIRMALI DURAĞANLIK VE TÜREV KARŞILA ILAŞTIRMALI DURAĞANLIK ANLIK VE TÜREV Karşılaştırmalı durağanlık, dışsal değişkenlerin ya da parametrelerin farklı değerler alması durumunda oluşabilecek farklı denge değerlerini karşılaştırılarak

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

10. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

10. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 10. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.9. TEKEL (MONOPOL) Piyasada bir satıcı ve çok sayıda alıcının bulunmasıdır. Piyasaya başka

Detaylı

Üretim Girdilerinin lması

Üretim Girdilerinin lması Üretim Girdilerinin Fiyatlandırılmas lması 2 Tam Rekabet Piyasasında Girdi Talebi Tek Değişken Girdi Durumu İlk olarak firmanın tek girdisinin işgücü () olduğu durumu inceleyelim. Değişken üretim girdisi

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

K ve L arasında ikame yoktur. Bu üretim fonksiyonu Şekil

K ve L arasında ikame yoktur. Bu üretim fonksiyonu Şekil MALİYET TEORİSİ 2 Maliyet fonksiyonunun biçimi, üretim fonksiyonunun biçimine bağlıdır. Bir an için reçel üreticisinin, bir birim kavanoz ve bir birim meyve toplayıcısı ile bir birim çıktı elde ettiği

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

TAM REKABET PİYASASI

TAM REKABET PİYASASI TAM REKABET PİYASASI 2 Bu bölümde, tam rekabet piyasasında çalışan firmaların fiyatlarını nasıl oluşturduklarını, ne kadar üreteceklerine nasıl karar verdiklerini ve piyasadaki fiyat ile miktarın nasıl

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

SORU SETİ 10 MALİYET TEORİSİ - UZUN DÖNEM MALİYETLER VE TAM REKABET PİYASASINDA ÇIKTI KARARLARI - TEKEL

SORU SETİ 10 MALİYET TEORİSİ - UZUN DÖNEM MALİYETLER VE TAM REKABET PİYASASINDA ÇIKTI KARARLARI - TEKEL SORU SETİ 10 MALİYET TEORİSİ - UZUN DÖNEM MALİYETLER VE TAM REKABET PİYASASINDA ÇIKTI KARARLARI - TEKEL Problem 1 (KMS-2001) Bir endüstride iktisadi kârın varlığı, aşağıdakilerden hangisini gösterir? A)

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için

Detaylı

= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz.

= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz. Siyasal Bilgiler Fakültesi İktisat Bölümü Matematiksel İktisat Ders Notu Prof. Dr. Hasan Şahin Faz Diyagramı Çizimi Açıklamarı = 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 1 16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğru cevaplandığında 100 puan alındığına göre testte

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

MATEMATİK-II dersi. Bankacılık ve Finans, İşletme, Uluslararası Ticaret. Bölümleri için FİNAL Çalışma Soruları

MATEMATİK-II dersi. Bankacılık ve Finans, İşletme, Uluslararası Ticaret. Bölümleri için FİNAL Çalışma Soruları MATEMATİK-II dersi Bankacılık ve Finans, İşletme, Uluslararası Ticaret Bölümleri için FİNAL Çalışma Soruları ] e d =? = u d= du du d= udu u u e d= e d= e = edu= e + c= e + c ] e d =? = + = e + c e d e

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

7. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

7. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 7. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.7. MALİYET TEORİSİ: YENİDEN Sabit Maliyetler (FC): Üretim miktarından bağımsız olan maliyetleri

Detaylı

IKTI 101 (Yaz Okulu) 04 Ağustos, 2010 Gazi Üniversitesi İktisat Bölümü DERS NOTU 05 ÜRETİCİ TEORİSİ

IKTI 101 (Yaz Okulu) 04 Ağustos, 2010 Gazi Üniversitesi İktisat Bölümü DERS NOTU 05 ÜRETİCİ TEORİSİ DERS NOTU 05 ÜRETİCİ TEORİSİ Bugünki dersin işleniş planı: 1. Kârını Maksimize Eden Firma Davranışı... 1 2. Üretim Fonksiyonu ve Üretici Dengesi... 5 3. Maliyeti Minimize Eden Denge Koşulu... 15 4. Eşürün

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

IKT Kasım, 2008 Gazi Üniversitesi, İktisat Bölümü. DERS NOTU 5 (Bölüm 7-8) ÜRETİCİ TEORİSİ

IKT Kasım, 2008 Gazi Üniversitesi, İktisat Bölümü. DERS NOTU 5 (Bölüm 7-8) ÜRETİCİ TEORİSİ DERS NOTU 5 (Bölüm 7-8) ÜRETİCİ TEORİSİ Bugünkü ders planı: 1. Kârını Maksimize Eden Firma Davranışı...1 2. Üretim Fonksiyonu ve Üretici Dengesi...5 3. Maliyeti Minimize Eden Denge Koşulu...15 4. Maliyet

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi

Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi 1) Giriş Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi Pendulum Deneyi.../../2015 Bu deneyde amaç Linear Quadratic Regulator (LQR) ile döner ters sarkaç (rotary inverted

Detaylı

3 x = ax a by b cet ce (1) t y = rx r + sy s qe q x = ax by (2) y = rx + sy x = ax bxy (3) y = rx + sxy

3 x = ax a by b cet ce (1) t y = rx r + sy s qe q x = ax by (2) y = rx + sy x = ax bxy (3) y = rx + sxy Daha önce beşinci bölümde denklemlerini ele almıştık. Burada tek değişken durumunda fark değişken sayısının iki ya da daha fazla olduğu diferansiyel denklemlerden oluşan bir sistemin çözümü üzerinde duracağız.

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

Elektromanyetik Dalga Teorisi

Elektromanyetik Dalga Teorisi Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-2 Dalga Denkleminin Çözümü Düzlem Elektromanyetik Dalgalar Enine Elektromanyetik Dalgalar Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar Düzlem Dalgaların Polarizasyonu Dalga Denkleminin

Detaylı

1. Kısa Dönemde Maliyetler

1. Kısa Dönemde Maliyetler DERS NOTU 05 MALİYET TEORİSİ: KISA VE UZUN DÖNEM Bugünki dersin işleniş planı: 1. Kısa Dönemde Maliyetler... 1 2. Kâr Maksimizasyonu (Bütün Piyasalar İçin)... 9 3. Kâr Maksimizasyonu (Tam Rekabet Piyasası

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2 DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

Karşılaştırmalı Durağan Analiz ve Türev kavramı. 6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri

Karşılaştırmalı Durağan Analiz ve Türev kavramı. 6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri Karşılaştırmalı Durağan Analiz ve Türev kavramı 6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri 1 Karşılaştırmalı durağan analiz 6. Karşılaştırmalı Durağanlıklar ve Türev Kavramı 6.1 doğası

Detaylı

9. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

9. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 9. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.8. TAM REKABET PİYASALARI A.8.1. Temel Varsayımları Atomisite Koşulu: Piyasada alıcı ve satıcılar,

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

Monopol. (Tekel) Piyasası

Monopol. (Tekel) Piyasası Monopol (Tekel) Piyasası Sonsuz sayıda alıcı karşısında tek satıcının olduğu piyasa yapısına tekel diyoruz. Tekelci firmanın sattığı malın ikamesi yoktur ya da tanım gereği piyasaya giriş engellenmiştir.

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 06 IS/LM EĞRİLERİ VE BAZI ESNEKLİKLER PARA VE MALİYE POLİTİKALARININ ETKİNLİKLERİ TOPLAM TALEP (AD) Bugünki dersin içeriği: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 2. LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİNİN

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

Mikroiktisat Final Sorularý

Mikroiktisat Final Sorularý Mikroiktisat Final Sorularý MERSĐN ÜNĐVERSĐTESĐ ĐKTĐSADĐ VE ĐDARĐ BĐLĐMLER FAKÜLTESĐ MALĐYE VE ĐŞLETME BÖLÜMLERĐ MĐKROĐKTĐSAT FĐNAL SINAVI 10.01.2011 Saat: 13:00 Çoktan Seçmeli Sorular: Sorunun Yanıtı

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT

.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT Halil İbrahim CEBECİ BÖLÜM I 1. Matris Cebirine Giriş MATRİS VE DETERMİNANT Sayıların, değişkenlerin veya parametrelerin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

4. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

4. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 4. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 B.3.2. Taban Fiyat Uygulaması Devletin bir malın piyasasında oluşan denge fiyatına müdahalesi,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E)

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E) İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir?

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim.

Detaylı