biyoloji, psikoloji ve tıp, jeoloji, meteoroloji, ulaştırma, finans ve risk yönetimi, sigortacılık ve bankacılık alanlarında kullanılmaktadır.

Transkript

1 . GİRİŞ Bir olayın oluşumunu etkileyen çok sayıda faktör bulunmaktadır. Özellikle biyolojik olaylarda bu faktörler daha fazla ve etkileri karmaşıktır. Biyolojik olayların bu özelliklerinden dolayı, bir olay üzerine etkili olduğu düşünülen bir veya birkaç faktörün ele alınması, çoğu zaman olayın istatistiksel olarak açıklanabilmesinde yetersiz kalmaktadır. Bu yetersizlik, modele alınmayan faktör veya faktörlerin etkilerini göz önünde bulundurulmamış olması ve bu faktörler arasındaki ilişkiden kaynaklanmaktadır. Tarım alanında yapılan birçok çalışmada ekonomik öneme sahip bir veya, çoğu zaman birden fazla değişkene ait veriler elde edilmekte, bu verilerin tek değişkenli analiz yöntemleri kullanılarak yapılan analizlerinde, ele alınan faktörlerin etkileri tam olarak açıklamak mümkün olmamaktadır. Bundan dolayı çok değişkenli istatistiksel analiz yöntemleri geliştirilmiş ve bu yöntemler bütün bilim dallarında yapılan çalışmalarda kullanılmaktadır. Çok değişkenli istatistik analiz teknikleri olayların fazla sayıdaki değişkenler arasındaki ilişkilere dayanarak, değişkenlerin daha anlamlı, kolay anlaşılır ve özet biçiminde yorumlanmasını sağlamaktadır. Faktör analizi de, temel unsuru kendi aralarında önemli ilişkilere sahip özellikleri gruplamak olan çok faktörlü istatistik analiz tekniklerinden biridir. Faktör analizinin tarımsal araştırmalarda kullanılması, hem zaman kazandırıcı hem de daha az faktörle analize devam edilmesine imkan sağladığından, araştırıcıya kolaylık sağlamasına rağmen sık kullanılmadığı görülmektedir. Raven (994) bunu, faktör analizinin yeterince anlaşılmamış olmasına bağlamaktadır. Faktör analizi özellikle sosyal bilimlerde yapılan çalışmaların analizi için geliştirilmiş ve bu alanlarda uygulanmıştır ve sosyal bilimlerde faktör analizinin uygulanması ve yorumlanmasına ilişkin çok sayıda literatür bulunmaktadır. Önceleri genellikle sosyal bilimler alanında kullanılan faktör analizi daha sonra diğer bilim alanlarında da kullanılmaya başlanmış, bugün; uluslararası ilişkiler, sosyoloji, eğitim, ekonomi, insan makine sistemleri, trafik kazaları araştırmaları,

2 biyoloji, psikoloji ve tıp, jeoloji, meteoroloji, ulaştırma, finans ve risk yönetimi, sigortacılık ve bankacılık alanlarında kullanılmaktadır. Bu çalışmada faktör analizinin tarımsal araştırmalarda kullanılması konusundaki bilgi eksikliğinin giderilmesine katkı sağlamak amaçlanmış ve bu analiz yöntemi etraflıca incelenerek iki örnek üzerinde açıklanmaya çalışılmıştır.

3 3. KAYNAK ARAŞTIRASI.. Faktör Analizi Hakkında Genel Bilgi İlk olarak. yüzyılın başlarında Spearman tarafından geliştirilen Faktör analizinin yaygın kullanımı, bilgisayar teknolojisinde 97 li yıllarda yaşanan hızlı gelişme ile mümkün olabilmiştir. Altan (3), faktör analizi ile ilgili çalışmaların ilk olarak 95 yılında Green ve 956 yılında Hurst tarafından başlatıldığını, 96 yılında Hurley ve Cattell ın ilk bilgisayar programlarını yaptıklarını, 966 yılında Cliff, 97 yılında ise Schonemann ve Caroll faktör analizi çözüm yollarını genelleştirdiğini ve 975 yılında ise Glower ikiden fazla analiz neticesini aynı anda karşılaştırma tekniklerini geliştirdiğini bildirmiştir. Değişik kaynaklara göre faktör analizinin amaçları aşağıdaki gibi sıralanabilir: a) Faktör analizinin birinci amacı, değişkenler arasındaki ilişkileri en iyi açıklayan az sayıdaki ortak faktör sayısını belirlemektir. Çok sayıdaki değişken veya olaylar arasındaki karmaşık, analiz edilmesi mümkün olmayan ilişkilerin yapısını inceler. Yani faktör analizi, değişkenler arasındaki ilişkinin kökenini analiz etmeye yardım etmektedir (Hair ve ark. 998). Faktör analizi Çok sayıda ilişkili değişken Az sayıda bağımsız faktör Şekil.: Faktör Analizinin Şekille İfadesi (Tatlıdil, 996).

4 4 b) Faktör analizinde çok sayıda değişken analiz edilerek, en az bilgi kaybıyla olayı açıklayan daha az faktör adı verilen değişkenler türetilebilmektedir. Orijinal veri setinden üretilen faktörler diğer analizlerde kullanılabilir (Hair ve ark. 998). c) Faktör döndürmesi ile en kolay yorumlanabilir faktörler belirlenmektedir. d) Değişkenlerin faktör ve yapı ağırlıkları ile ortak ve spesifik varyansları tahmin edilebilmektedir. e) Ortak faktörün veya faktörlerin yorumu yapılabilmektedir. f) Gerekiyorsa faktör değerleri hesaplanabilmektedir (Albayrak 6). Albayrak (6), faktör analizinin birinci amacıyla sadece veri setinin temel boyutlarının, yani bu aşamada sadece her bir değişkenin her bir faktörle olan ilişkisinin belirlendiğini, ikinci amaçla birinci amaca dayanarak diğer analizlerde kullanılacak değişkenlerin belirlendiğini ifade etmektedir.... Faktör analizi ile temel bileşenler analizi arasındaki farklılık Temel bileşenler analizi genellikle faktör analizi ile karıştırılmaktadır. Hatta bazı istatistik paket programlarında temel bileşenler analizi faktör analizinin bir metodu olarak verilmekte bu da iki metodun aynı metot olduğu düşünülmesine sebep olmaktadır. Temel bileşenler analizi de faktör analizi gibi boyut azaltmayı amaçlayan çok değişkenli bir analiz tekniğidir. Fakat bu iki analiz tekniği arasında önemli farklılıklar bulunmaktadır. Temel bileşenler analizi aralarında korelasyon bulunan p sayıda değişkenin açıkladığı yapıyı, aralarında korelasyon bulunmayan ve sayıca orijinal değişken sayısından daha az sayıda orijinal değişkenlerin doğrusal bileşenleri olan

5 5 değişkenlerle ifade etme yöntemidir. Yeni bileşenleri maksimum varyansı verecek şekilde seçer. Temel bileşenler kendileri sonuç olmaktan ziyade daha geniş incelemeler için bir ara adım özelliği taşırlar. Örneğin kümeleme analizi için koşulları sağlamayan veri setleri temel bileşenlere dönüştürülerek kümeleme analizine uygun veriye dönüştürülebilir (Özdamar 4). Bu iki yaklaşım arasındaki temel farklılık; faktörler verilerin belli bileşenleri olarak ifade edilmezken, temel bileşenler verilerin belli bir matematiksel fonksiyonudur (Kim ve ueller 985). Bu iki analiz metodu arasındaki bir diğer önemli farklılık; temel bileşenler analizinde veriler üzerinde herhangi bir varsayım yapılmaksızın verilerin dönüşümü amaçlanırken, faktör analizinde verilerin bir modele uyduğu varsayılmaktadır. Faktör analizinin temel varsayımı seçilen değişkenler arkasında yatan gizli yapıların olduğunu varsaymaktır (Albayrak 6). Faktör analizi tüm değişkenlerin ve bu değişkenlerin tüm doğrusal kombinasyonlarının normal dağıldığını varsayar. Ortak faktörler ile artık faktörlerin, E(f)=, Var(f)=, E(u)=, Kov(u i, u j )=, Kov (f, u)= koşullarını sağlaması zorunludur (Tatlıdil, 996). Faktör analizinde veriler her bir faktörün varyansı olacak şekilde standartlaştırılır ve ölçekten bağımsızdır (Tatlıdil 996).... Örnek büyüklüğü Küçük örneklerle hesaplanan korelasyon katsayılarının güvenilirliğinin düşük olmasından dolayı, faktör analizinde örnek genişliği büyük önem taşımaktadır. Örnek genişliğinin ilişkilerin güvenilir bir şekilde belirlenebilmesini sağlayacak kadar geniş olması gerekir. Bu nedenle faktör analizinin güvenilirliği örnek büyüklüğüne de bağlıdır. Faktör analizinde örnek büyüklüğü ile ilgili çok sayıda farklı görüş bulunmaktadır. Bir görüşe göre örnek büyüklüğü (n) en az 5 ve mümkünse den

6 6 büyük olmalıdır. Diğer bir görüş örnek büyüklüğünün analiz edilecek değişken sayısının 5 ile katı arasında olması gerektiğini ileri sürmektedir (accallum ve ark. 999). Yukarıda belirtilen önerilerin yanında bir araştırmada faktör analizinde kullanılması gereken en az birim sayısının analizde kullanılacak değişken sayısı (p) ve bu değişkenler arasındaki ilişkileri açıklayabilecek faktör sayısına (m) göre belirlenmesi önerilmektedir. Buna göre türetilecek her bir faktör için en az birim önerilmektedir (Tinsley ve Tinsley, 987)...3. Faktör analizi modeli Faktör analizi modeline geçmeden önce modelde kullanılan istatistikler incelenecektir (Atan ). İlk olarak veriye ilişkin temel istatistikler; i =, , n adet gözleme konu olan birey j =, , p adet değişken. X ji = Gözlem değerleri ( i nci bireyin j nci değişkenine ilişkin gözlem değeri) j. değişkenin örnek varyansı şöyle gösterilebilir; N ( x ji x) i= S j = j =,......, p (. ) n Gözlem değerlerini standartlaştırmak için her sapma değerini değişkenlerin örnek standart sapmasına bölünürse; z ji ( x x) ji = (. ) S j

7 7 olur. Bu z ji ( i =,......, n ) değerler kümesine standart formdaki z j değerleri denir. Örnek için korelasyon katsayısı şöyle tanımlanır; d xd y d x r jk = (.3) d y Bütün değişkenler arasındaki ilişki genellikle faktör analizinde başlangıç aşamasında hesaplanır. Faktör analizinde, standart formdaki z j değerlerinden oluşturulan Z pxn veri matrisi kullanılmaktır. Bu durumda, faktör analizi modelinin z j değişkenleri ile f,f, f m ortak faktörleri arasındaki ilişkiyi gösteren doğrusal bir modeldir. Faktör analizi modeli korelasyonu en yüksek olacak şekilde düzenler. Bu model genel olarak aşağıdaki biçimde ifade edilir. z = a + j j f + a j f a jm fm b ju j j=,,..,p (.4) İ=,,..m ve m<p Burada; a ji : j inci Değişkene ait i. faktör üzerindeki yükü f i : i inci ortak faktör u j : j inci değişkene ait özel (artık) faktör b j : j inci değişkene ait artık faktöre ilişkin katsayı Faktör analizinde asıl amaç pxm boyutlu A=(a jm ) yükler matrisinin elde edilmesidir. Ayrıca, j inci değişken ile i inci faktör arasındaki ilişkiyi gösteren matris de pxm boyutludur ve S olarak gösterilir. S matrisine faktör yapı matrisi ya da kısaca yapı matrisi denmektedir (Tatlıdil 996). Bağıntı (.4), Z=AF+BU (.5) şeklinde yazılabilir. Bağıntıda F: mxn boyutlu faktör matrisi, B: pxm boyutlu köşegen katsayıları matrisi, U: pxn boyutlu özel faktör matrisidir. Z ve A ise daha

8 8 önce tanımlandığı gibi sırasıyla, pxn boyutlu standartlaştırılmış veriler matrisi ve pxm boyutlu yükler matrisidir. Bu eşitlikteki BU kısmı ihmal edilerek eşitlik sağdan F ile çarpılıp n e bölünecek olursa, ZF ' FF' = A n n (.6) bağıntısı elde edilir. Faktör yapı matrisinin tanımından, ZF' S = (.7) n bulunur. Ayrıca aşağıdaki θ matrisi, FF' θ = (.8) n ise mxm boyutludur ve ortak faktörler arasındaki ilişkiyi gösteren ilişki (korelasyon) matrisidir. Bağıntı.6 dan, S=Aθ ya da A=Sθ - (.9) eşitliklerini yazmak mümkündür. Bu eşitliklerde verilen S faktör yapı matrisi ve özelikle A yükler matrisi, faktör analizinde bulunması amaçlanan matrislerdir. A yükler matrisi genellikle dik matris olarak elde edilir. Bu matrisin dik olmaması durumlarında ise Gram-Schmidt dikleştirme yöntemi ile pxm boyutlu dik (orthogonal) yük matrisine dönüştürülebilmektedir. D ile gösterilen dik matrisinin bulunması; D=AT (.) biçiminde olmaktadır. Burada T matrisi θ ilişki matrisinin alt üçgenidir ve θ = T T (.) biçiminde gösterilir (Tatlıdil, 996). Sonuç olarak iyi bir faktör dönüşümünden şu sonuçlar beklenmektedir (Tavşancıl, ): a) Boyut indirgenmiş olmalı b) Bağımsızlık sağlanmalı

9 9 c) Kavramsal anlamlılık olmalı. Bu sonuçlardan ilk ikisi yukarıdaki verilen ilk aşamanın kapsamına girerken üçüncü sonuç ikinci aşamada ele alınır. Şu halde A matrisinin katsayılarının bulunması ile faktör analizinin ilk aşaması tamamlanmış olur. Bu işlemlere faktörleştirme ya da faktör bulma adı verilmektedir (Tavşancıl )...4.Varyans ve elemanları Varyans bir değişkenin sayısal değerlerindeki dağılımın bir ölçüsüdür. Faktör analizinde kullanılan değişkenler standartlaştırıldığından her değişkenin ortalaması sıfır, varyansı bire eşittir. Faktörlerin birbirleriyle ve artık faktörle ilişkisiz olacağı varsayımı altında, z j standartlaştırılmış değişkenlerin varyansına ilişkin olarak aşağıdaki bağıntı yazılabilir. ( z j ) a j a jm + bj = hj bj Var = + (.) Bağıntıdaki h j j inci değişkenin ortak faktör varyansını ve b j terimi ise ortak faktörlerin açıklayamadıkları kısmı ifade eden hata varyansını göstermektedir. bahsedilebilir. Faktör analizinde varyansın açıklanması ile ilgili şu üç varyanstan a) Ortak faktör varyansı (communality): Ortak faktörlerce açıklanabilen varyansa ortak faktör varyansı denir. Yani x j değişkeninin diğer değişkenlerle ilişkili olan kısmıdır. Faktör ağırlıklarının karelerinin toplamına eşittir. Ortak faktör varyansı ile bir değişkenin varyansının yüzde kaçının hangi ortak faktörce açıklandığını saptamak mümkün olmaktadır.

10 Faktör türetme yöntemlerinin gereği olarak, ilk faktörün (F ) ağırlıklarının kareleri toplamı en yüksek değeri alır. İkinci faktörün (F ) ağırlıklarının kareleri toplamı ikinci büyük değer olmaktadır. Böylece, türetilen ilk faktörden en son faktöre gidildikçe faktörlerin açıkladığı varyans azalmaktadır. Yani birinci faktör değişkenlere ait varyansı en çok açıklayan ve dolayısıyla en önemli faktördür (Albayrak 6). b) Özel varyans: Özel varyans ilgili değişkenin toplam varyansından diğer değişkenlerle ilgili olmayan kısmını göstermektedir. Ortak faktör varyansı faktör analizinde ortak faktörlerin bilimsel olarak tahmininde büyük öneme sahiptir. Fakat özel varyans diğer hiçbir değişkenle ilgili olmadığı için bilimsel bir önem taşımaz (Frunchter 954). c) Hata varyansı: Bir değişkenin toplam varyansının ölçüm, sayım, örnekleme, veri toplama sürecinin güvensizliği vb. gibi çeşitli hatalardan dolayı oluşan kısmıdır. Yani veri setindeki varyansın açıklanamayan kısmıdır. Hata varyansı ve özel varyans tamamen birbirinden bağımsızdır. Ortak faktör varyansı ile özel varyansın toplamı analizin güvenilirliğini yorumlama da kullanılır...5.verilerin faktör analizine uygunluğunun belirlenmesi Faktör analizinde korelasyon matrisi için istatistik temellerin yanında faktör analizinin uygulanabilirliğini kanıtlamak için korelasyon matrisinin yeteri kadar anlamlı korelasyonlara sahip olması gerekir. Korelasyon katsayıları % 3 dan büyük

11 olmayan değişkenlerin büyük bir olasılıkla faktör analizinden çıkartılması uygun olacaktır (Hair ve ark. 998). Değişkenler arasındaki ilişkiler, kısmi korelasyon katsayıları hesaplanarak da incelenebilir. Analizde gerçek faktörlerin türetilebilmesi için kısmi korelasyon katsayılarının düşük olması gerekmektedir. Böylece değişkenler söz konusu faktörler tarafından açıklanabilir. Kısmi korelasyon katsayıları yüksekse, veri setini iyi temsil edemeyeceği için faktör analizinin uygulanmaması gerekir (SPSS Inc. 99 ve SAS Institute Inc. 99) Faktör analizinin uygunluğunu araştırmanın diğer bir yolu korelasyon matrisini toplu olarak sınamaktır. Bunun için Bartlett küresellik testi (bartlett test of sphericity) kullanılmaktadır (Bartlett 95). Test belirli bir olasılığa göre korelasyon matrisindeki korelasyonlardan en azından bir kaçının anlamlı olup olmadığını gösterir. Diğer bir anlatımla Bartlett testi korelasyon matrisinin birim bir matris olup olmadığını test etmektedir. %5 den büyük bir anlamlılık düzeyi söz konusu ise faktör analizi uygulanmamalıdır. Test örneklerin çok değişkenli normal dağılıma uyan bir populasyondan geldiğini varsaydığı gibi, genelde büyük örnekler (n>5) için geçerlidir. Bartlett küresellik testi, p(p-)/ serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uymaktadır. Ki-kare değeri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır. 6 ( p + 5) ( + p 6N ) χ = n n R = n R (.3) Değişkenler arasındaki korelasyonları ve faktör analizinin uygunluğunu ölçen diğer bir test Kaiser-eyer-Olkin örnek uygunluk testi (KO) dir. Testin değeri ile aralığında değişmektedir. KO değeri herhangi bir değişkenin diğer değişkenler tarafından hatasız tahmin edilmesi halinde e eşit olur. KO testi aşağıda gösterildiği gibi hesaplanan basit korelasyon katsayıları ile karşılaştırılmasıyla hesaplanmaktadır (Norusis ve SPSS Inc. 994). 6 i j i j KO = r + a ij r ij i j ij (.4)

12 Formülde KO, Kaiser-eyer-Olkin örnek uygunluk testini; r ij, i. ve j. değişken arasındaki basit korelasyon katsayısını; kısmi korelasyon katsayısını göstermektedir. a ij, i. ve j. değişken arasındaki Kısmi korelasyonların kareleri toplamı, basit korelasyon katsayıları kareleri toplamıyla karşılaştırıldığında kısmi korelasyon katsayılarının karelerinin toplamı küçükse KO değeri e yaklaşmaktadır. Değişken çiftleri arasındaki ilişkiler diğer değişkenler tarafından açıklanamadığı zaman KO değeri küçüleceğinden faktör analizi kullanılmaması gerekmektedir. Değişkenler arasındaki ortalama korelasyonların bir ölçüsünü veren test değişkenlerin homojenliğini ölçmektedir. KO ölçüsü istatistik bir test olmadığı için Kaiser ve Rice tarafından oran için aşağıdaki kriterler önerilmiştir (Kaiser ve Rice 974). Çizelge.: Kaiser-eyer-Olkin (KO)uygunluk testi için önerilen kriterler KO Ölçüsü Önerilen Düzey.9+ ükemmel.8+ Çok iyi.7+ İyi.6+ Orta.5+ Kötü.5- Kabul edilemez Benzer şekilde, her değişken için örnek uygunluk testi aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır. i j i j SAi = r + a ij r ij i j ij (.5) KO testi için önerilen kriterlere göre faktör analizine başlamadan önce her değişken için örnek uygunluk testi yapılmalı ve uygun olmayan değişkenler analizden çıkartılmalı ve daha sonra KO genel uygunluk testi değerlendirilerek analize devam edilmelidir (Albayrak 6).

13 3..6. Faktör yüklerinin belirlenesi Faktör analizinde faktör yüklerini içeren A matrisinin belirlenmesi faktör analizinin en önemli konusu olduğunu daha önce belirtmiştik. Çünkü faktörler bu katsayılara göre belirlenmektedir. Faktör yüklerinin belirlenmesinde birçok yöntem kullanılmaktadır. Bunlardan Ana Faktör Yöntemi, En Çok Olabilirlik ve Çoklu Gruplandırma Yöntemi en çok kullanılanlardır (Tatlıdil 996). Burada çoklu gruplandırma yöntemi verilecektir. Bu yöntemde işe korelasyon matrisindeki ilişki katsayısının incelenmesi ile başlanır. Örneğin, dört boyutlu uzay için aşağıdaki korelasyon matrisi tanımlanmış olsun. r R= r r r 3 4 r r r r 3 4 r r r r r r r r (.7) Burada birinci ile ikinci değişkenler arasındaki ilişkinin (r ) ve üçüncü ile dördüncü değişkenler arasındaki ilişkinin (r 34 ) en yüksek olduğu düşünülürse yazılabilecek işlemler şöyledir: İşlem : inci ve nci değişkenler bir grup oluştururlar. Yani faktör (f ) bu iki değişkenin doğrusal bileşkesidir. z ve z standartlaştırılmış değişkenler iken bu durum f = z +z biçiminde gösterilir. İşlem : 3 üncü ve 4 üncü değişkenler bir grup oluştururlar. Yani faktör (f ) bu iki değişkenin doğrusal bileşkesidir. z 3 ve z 4 standartlaştırılmış değişkenler iken bu durum f =z 3 +z 4 biçiminde gösterilir. Daha önce belirtildiği gibi j değişkeni ile k faktörü arasındaki yapı değeri, j değişkeni ile k faktörü arasındaki korelasyon olarak tanımlanır ve k ıncı grup değişkenlerinin toplamı biçiminde aşağıdaki gibi yazılır (Tatlıdil 996).

14 4 Kov( z j zk ) [( Var( z j )( Var( zk )] s = (.8) jk Burada toplam, k ıncı gruptaki değişken sayısı kadardır. Ayrıca eğer z j değişkenlerinin standart olduğu da düşünülecek olursa, Var(z j ) = dir. ( z j zk ) [ Var( zk )] Kov s = (.9) jk olarak yazılabilir. Örneğin; birinci faktör (k=) ile üçüncü değişken (j=3) arasındaki korelasyon, s 3 ( z3( z + z )) ( Var( z + z )) Kov = (.) biçiminde bulunur. Ayrıca, E(z j )= olduğu bilindiğine göre, s E ( z z + z z ) = (.) ( E( z + z z + z ) dir. E(z j z i )=r ji olduğundan, s 3 E( z3z ) + E( z3z ) r3 + r3 = ( E( z z ) + E( z z ) + E( z z )) ( r + r + r ) = (.) sonucuna ulaşılır. Sonuç olarak pay korelasyon matrisinin üçüncü satırın ilk iki elemanının toplamı, payda ise birinci ve ikinci satırların ilk iki elemanlarının toplamıdır. Bu biçimde (matris cebiri kullanılarak) tüm s jk değerleri bulunabilir. Şimdi tekrar yukarıda tanımlanan işlemlerde, birinci ve ikinci işlem sırasıyla h ve h ile ifade ederek vektör biçiminde yazalım: h = elde edilir. ( ) ( ) h = (.3) Aynı biçimde bu iki hipotez vektörünün birleşmesinden de H hipotez matrisi

15 5 H = (.4) Az önce s 3 in payının R matrisinin üçüncü satırının ilk iki elemanının toplamı olduğu belirtilmişti. Yani s 3 in payı R matrisinin üçüncü satırının, hipotez matrisinin ilk satırı ile skaler çarpımıdır ( r 3 h ). Payda ise R matrisinin birinci ve ikinci satırlarının ilk iki elemanlarının toplamının karekökü idi. Bu da ( h Rh ) / biçiminde yazılabilir. Sonuç olarak; s r h 3 3 = (.5) ( h Rh ) eşitliği yazılabilir. Ayrıca S matrisini bir bütün olarak da aynı yolla bulmak mümkündür. RH = = ( Köş( H RH )) / S RH (.6) [ Köş( H RH )] elde edilecek S matrisi pxm boyutludur. Sonuç olarak (.5) veya (.6) nolu eşitlikten elde edilen S yapı matrisi kullanılarak (.) eşitliği gereğince A yükler matrisine ulaşabilmek için mxm boyutlu θ ilişki matrisine ihtiyaç vardır. Örnek için x boyutlu ilişki matrisi, / / ( Köş( H RH )) ( H RH )( Köş( H )) θ = RH (.7) biçiminde bulunur. Yukarıda tanımlanan H işlemine göre birinci gruptaki değişkenlerin ikinci gruptaki değişkenlerden bağımsız oldukları söylenebilir. Bu durumda R ve S matrisleri aşağıdaki biçimde blok köşegen matrisleri olacaktır (Tatlıdil 996). a c.. b d.... e g.. f h

16 6 eşitliğinden; O halde Köş( H RH ) = H RH eşitliği yazılabilecektir. Bu nedenle (6.) / S = RH( H RH) (.8) yazılabilecektir. H RH matrisi simetrik bir matris olduğu için, S S = RH ( H RH ) H R (.9) yazılabilir. Bu eşitlik sağdan H matrisi ile çarpılacak olursa, S S H = RH (.3) sonucuna ulaşılır. Bu eşitlik de yine sağdan H - ile çarpılırsa, bulunur. S S = R (.3) olmadığı için Pratikte değişkenlerin tam anlamıyla birbirinden bağımsız olmaları mümkün S S matrisi R matrisine tam anlamıyla eşit olmamakta, ancak R matrisine yaklaşabilmektedir. (.3) eşitliği ile elde edilen R matrisine yeniden bulunmuş (reproduced) korelasyon matrisi adı verilir ve R h = SS (.3) biçiminde gösterilir. R asıl ilişki matrisi ile yukarıda tanımlanan R h matrisi arasındaki farka da artıklar matrisi (ya da artıklar korelasyon matrisi) adı verilir ve R c = R - R h (.33) biçiminde ifade edilir...7. Türetilecek ortak faktör sayısının belirlenmesi Faktörlerin açıkladığı varyans miktarına göre faktör sayısını belirleyen çeşitli kriterler vardır. Bunlardan en çok kullanılanları açıklanmıştır (Özdamar 4).

17 7 a) Kaiser Kriteri: Değişkenlerin kovaryans ve ya korelasyon matrisinin den büyük öz değer sayısı kadar faktör belirlemek. Yaygın olarak kullanılan bir kriterdir. b) Cattell Scree Test (Yamaç Eğim Testi): Bileşen sayısı,,,p biçiminde X ekseninde ve özdeğerler Y ekseninde olmak üzere özdeğerlerin büyüklük sırasına göre bir xy koordinat sisteminde çizgi eğim grafiği çizilir. Bileşen sayısı artıkça özdeğerlerin azalışını gösteren yamaç eğim grafiği çizilir. Çizgi grafiğinde eğimin kaybolmaya başladığı noktanın işaret ettiği bileşen sayısı hesaplanacak faktör sayısı olarak alınır. 6 5 Özdeğerler Bileşenler Şekil.: Yamaç eğim grafiği c) Açıklanan Varyans Kriteri: Özdeğerlerin açıkladıkları varyansın en az %8 olacak biçimde (%9, %95) özdeğer sayısı kadar faktör seçilmesi yöntemidir. Açıklanan varyansın toplam varyansın en az %8'i olması. Faktör analizinin uygulanması arzu edilen bazı durumlarda %67'den az olmamak üzere (açıklanan varyansın en az /3 ü) %8'den daha az açıklanan varyans ile çalışılabileceği ileri sürülmektedir.

18 8 d) Jolitfe Kriteri:.7 ve daha büyük değerli özdeğer sayısı kadar faktör alınmasının uygun olacağını ileri süren bir yaklaşımdır. Bu yaklaşım ile Kaiser kriterinden iki kat daha fazla faktör seçilebilmekte bu ise değişken sayısı az olduğu durumlarda faktörlerin mantıklı açıklamalarının yapılmasını güçleştirmektedir. e) Anlaşılabilirlik: Seçilecek faktör sayısının değişkenlerin doğası ile açıklanabilir olacak kadar seçilmesi yaklaşımıdır. Her bir faktörü açıklamakta etkin olan değişkenlerin oluşturduğu yapıların doğal durumlarla uyuşan, mantıklı olarak açıklanabilir olması gerekir. Bu koşul, verilerin birden fazla kez değişik sayıda (k>) faktör alarak faktör analizi yapılması ve uygun olan çözüme ulaşılması ile sağlanabilir. Pratik bir yaklaşım olarak faktör sayısına karar verirken verilerin incelenmesi ve açıklayıcılığı en iyi şekilde verecek bir faktör yapısının deneme ile elde edilmesi tercih edilebilir. Ancak faktör sayısı değiştirilerek, anlamlı bir faktör yapısı ortaya konulmalı ve doğal yapıya uygun çözümlere ulaşılmalıdır. Böylece orijinal değişken yapısına uygun bir faktör yapısı belirlemek, oluşan faktör yapılarını pratik uygulama alanına göre yorumlamak mümkün olabilir...8. Faktör döndürülmesi Araştırmacı, bir faktör analizi tekniğini uygulayarak elde ettiği m kadar önemli faktörü, daha kolay yorumlamak ve bağımsızlık sağlamak amacıyla bir eksen döndürmesine tabii tutabilir. Faktör döndürme, çözümün temel matematiksel özelliklerini değiştirmez. Eksenlerin döndürülmesi sonrasında değişkenlerin bir faktördeki yükü artarken diğer faktörlerdeki yükleri azalır. Böylece faktörler, kendileriyle yüksek ilişki veren değişkenleri bulurlar ve faktörler daha kolay yorumlanabilir (Büyüköztürk ).

19 9 Faktör döndürmesi, elde edilen faktörleri daha iyi yorum verebilecek biçimde (kavramsal anlamlılık) yeni faktörlere çevirme olarak ifade edilebilir. Kavramsal anlamlılık göreceli ve çok soyut bir kavramdır. Döndürmedeki amacı daha somut bir biçimde ifade edebilmek için Thurstone (947) tarafından geliştirilen basit yapı kavramından söz etmek gerekir. Basit yapı için önerilen beş koşul aşağıdaki gibidir. - Faktör matrisin her bir satırında en az bir tane sıfır değeri olmalıdır. - Faktör matrisinde m tane ortak faktör var ise her sütunda en az m tane sıfır değeri bulunmalıdır. - Faktör matrisindeki her bir faktör çiftinin birinde yük değeri görülürken ötekinde görülmemelidir. - Faktör matrisindeki her bir faktör çifti için (faktör sayısı dört ya da daha çok iken) değişkenlerin büyük çoğunluğunun yük değeri sıfır olmalıdır. - Faktör matrisindeki her bir faktör için (faktör sayısı dört ya da daha çok iken) sadece az sayıda değişkenin yük değeri olmalıdır (Tavşancıl ). Özellikle ilk üç tanesi çok önemli olan bu beş koşuldan aşağıdaki gibi hipotetik bir matrise ulaşılmaktadır. = H (.34) Faktör analizinde döndürmeler basit yapıya ulaşmayı garanti etmediği gibi döndürmeden sonra elde edilecek faktör sonuçları, elde edilen ilk faktör sonuçlarından daha kötü de (anlamsız) olabilmektedir (Tatlıdil 996).

20 Döndürme çalışmalarında basit yapıya ulaşmada iki farklı yol izlenir. Bunlardan ilki grafik yöntemi, ikincisi ise sayısal deneme yöntemidir. Şekil de basit yapının ne olduğu ve grafik yöntemi ile basit yapıya nasıl ulaşıldığı gösterilmektedir. F F F(.6;.6) - F (.;.6) F F(.8;.8)-F (.8; F Şekil.3: Grafik Yöntemiyle Faktör Döndürmesi Şekilde her değişken bir nokta ile ifade edilmekte ve iki faktör durumunu göstermektedir. Şekilden de anlaşılacağı gibi F ve F ile gösterilen ilk eksendeki yük değerleri F ve F ile gösterilen ikinci eksende bir hayli değişmektedir. Faktör sayısının ikiden çok olması durumunda da ikişer ikişer ele alınıp döndürülerek daha anlamlı sonuçlar elde edilmeye çalışılır (Tatlıdil 996). Döndürme için gerekli matrisin bulunması şu şekildedir. İkiden çok faktör olması durumunda (faktörlerden m- tanesi sabit tutularak) faktörler ikişerli olarak (m(m-)/ kez) istenildiği kadar döndürülebilir. Döndürme için gerekli olan θ açısı; tan 4θ = p ( a jia jk )( a ji a jk ) j= sin 4θ = p cos 4θ [ ( a ji a jk ) ( a jia jk ) ] j= (.35)

21 eşitliğinden bulunur. T dönüşüm matrisi saat yönünde bir rotasyon için; cosθ T = sinθ sinθ cosθ matrisi Saat yönü tersi bir rotasyon için; T cosθ = sinθ sinθ cosθ matrisi tercih edilir. Faktör döndürmesinde iki yöntem kullanılmaktadır. Bunlardan ilki eksenlerin konumlarını değiştirmeden, yani 9 o lik açı ile döndürmedir. Buna dik (orthogonal) döndürme adı verilir. İkinci yöntemde ise her faktör birbirinden bağımsız olarak döndürülür. Eğik (oblique) döndürme adı verilen bu yöntemde eksenlerin birbirine dik olması gerekli değildir (Tavşancıl ). Bu durumda, dik döndürmede sadece θ gibi bir döndürme açısına ihtiyaç duyulurken, eğik döndürmede θ ve θ gibi iki farklı açı bulunmaktadır. Sonuç olarak, iki döndürme yöntemi arasındaki en önemli istatistiksel farklılık; dik döndürmede faktörler ilişkisiz (dik bağımsız) iken, eğik döndürmede bu koşul göz önüne alınmamaktadır. Şekil.4, döndürme yöntemleri arasındaki farklılığı grafiksel olarak göstermektedir. F F F F θ F θ F F F a) Dik Döndürme b) Eğik Döndürme Şekil.4: Faktörlerin Dik ve Eğik Yöntemlerle Döndürülmesi

22 Pek çok ilişkili değişkenden az sayıda ilişkisiz ve kolay yorumlanabilir faktörlere ulaşmak, faktör analizinin temel amacı olduğuna göre, faktörler tarafından açıklanan varyans miktarının döndürmeden etkilenmemesi istenir. Bu istem dik dönüşümleri ön plana çıkartır. Ancak, bazı durumlarda dik döndürme en iyi faktör kümesine ulaşmakta yeterli olmamaktadır. Bu durum, araştırmacıların bekledikleri (hangi faktörlerin hangi değişkenlere ilişkin yükleri taşıması gerektiği) özellikleri tam olarak vermediği için döndürmeden amaçlanan basit yapıya ve anlamlı faktörlere ulaşılamamaktadır. Böyle durumlarda eğik döndürme gündeme gelmektedir. Sonuç olarak, faktörlerin dikliğinden belli ölçüde fedakarlık yapılması durumunda eğik döndürme ile daha anlamlı ve daha kolay yorumlanabilir basit yapı sonuçlarına ulaşılabilmektedir. Birçok araştırmacı eğik döndürmenin dik döndürmeden her zaman daha üstün olduğunu savunmakta ve bu üstünlükleri şöyle sıralamaktadır. Bazı durumlarda diklik bir koşul olmadığı için daha yüksek yüklü basit yapı verir. Dik faktörlerde yükler - ile + arasındadır. Eğik döndürmede bazı yüklerin birden büyük olması durumları ile de karşılaşılabilir. Bu değerler olarak değerlendirilir ve yüklerin mükemmel olduğu anlamına gelir. Eğik döndürmenin bu üstünlüklerinin yanı sıra bazı zayıf yönleri de bulunmaktadır. Bu yönler ise şöyle sıralanabilir; Değişkenlere ilişkin ortak varyans dik dönüşümlerde olduğu gibi doğrudan hesaplanamamaktadır. Her faktörün açıkladığı varyans miktarı dik dönüşümlerde olduğu gibi sütunlardaki yüklerin kareleri toplamından elde edilememektedir (Tatlıdil 996). Daha önce de belirtildiği gibi faktör döndürmede genel olarak iki yöntem izlenmektedir. Bunlardan ilki grafik ya da geometrik döndürmedir. Bu yöntem; zaman kaybettirici, subjektif ve şansa bağlı sonuçlar vermesi nedeniyle pek önerilmemektedir. Analitik döndürme olarak bilinen ikinci yol ise asıl döndürme yöntemi olarak bilinir. Bu gruba giren yöntemler dik ve eğik yöntemler olarak iki alt grupta incelenir.

23 3 Faktörleştirme yöntemlerinden herhangi biri kullanılarak diklik koşulu altında A ile gösterilen faktör yükleri matrisinin elde edilmesinden söz edilmişti. Elde edilen faktörlerin daha anlamlı sonuçlar vermesi için faktörlerden her seferinde m- tanesi sabit tutularak ikişer ikişer diklik özelliği bozulmayacak biçimde döndürülmesini sağlayan pek çok dik döndürme algoritmaları geliştirilmiştir. Bunlar arasında en yaygın kullanılanları; Quartimax, Varimax, Orthomax, Biquartimax ve Equamax algoritmalarıdır (Tatlıdil 996). Eğik döndürme yöntemleri son yıllarda çok kullanılan ve daha iyi sonuçlar verdikleri bildirilen yöntemlerdir. Eğik döndürmeye karar verilmesi durumunda (eksenlerin dik olmaması nedeniyle) araştırmacının faktör yüklerinin yorumlanmasında izleyeceği iki yol bulunmaktadır. Değişkenleri gösteren her bir noktanın döndürülmüş eksenler üzerindeki izdüşümlerinin yorumlanmasına ilişkin olan bu yollardan ilkinde; verilen noktaların eksenler üzerindeki izdüşümleri eksenlere paralel doğrularla bulunur ki bu yük değerlerine örüntü yükleri (pattern loadings) adı verilir. İkinci yolda ise noktaların eksenlere izdüşümleri bu eksenlere dik doğrularla bulunur ki bu durumda döndürülmüş eksenler üzerindeki yük değerlerine yapı yükleri (structure loadings) adı verilir ve orijinal değişkenlerle faktörler arasındaki gerçek ilişkiyi gösteren katsayılardır. Eğik döndürmede söz konusu olan örüntü ve yapı yüklerinin geometrik yükleri Şekil.5 de gösterilmektedir (Tatlıdil, 996).

24 4 F F Örüntü yükü Değişken Yapı yükü Değişken (;) Örüntü yükü F (;) Yapı yükü F a) Örüntü yükleri b) Yapı yükleri Şekil.5: Eğik Faktör Döndürme Yük Değerleri Eğik döndürmede, yukarıdaki gibi döndürmeden sonra elde edilen eksenlere temel eksenler adı verilir. Bu eksenler üzerindeki hangi yüklerin kullanılacağı araştırmacıya kalmıştır. Araştırmacı seçimini daha anlamlı bulduğu sonuçlara göre yapar. Ancak pek çok bilgisayar algoritmasında örüntü yükleri çıktı olarak verilmektedir. Bu durumda; A elde edilen ilk faktör yükleri matrisi, T temel eksene göre dönüşüm matrisi olmak üzere D=(d j ) temel eksen örüntü yükleri matrisi, D=AT=(d ji ); j=,,..,p ve i=,,.,m için (.4) biçiminde elde edilir (Tatlıdil, 996).. Eğik döndürmenin bir başka özelliği de, orijinal ya da temel eğik çözümlerden (temel eksenler üzerindeki yük değerleri) düzeltilmiş ya da kaynak eksenler oluşturulur. Kaynak eksen oluşturmadaki amaç, basit yapıya ulaşıldığında daha çok sayıda sıfır değerli elemanları olan bir matrisin elde edilmek istenmesidir. Kaynak eksenler, temel eksenlere dik yeni eksenlerdir. Temel eksenlerde olduğu gibi, kaynak eksenler üzerinde de örüntü ve yapı yükleri bulunmaktadır. Ancak temel eksenden farklı olarak burada kaynak örüntü yükleri gerçek ilişki katsayıları iken, kaynak yapı yükleri ilişki katsayıları değildir. Yani temel eksenlerin tersine bir durum söz konusudur. Aşağıdaki şekilde kaynak eksenlerin temel eksenlerden elde edilmesi gösterilmiştir (Tatlıdil, 996).

25 5 K K T Kaynak eksenler Temel eksenler T Şekil.6: Kaynak Eksenlerin Temel Eksenlerden Elde Edilmesi Gerçek ilişki katsayıları olmamalarına karşın, döndürülmüş eksenlerin yorumunda kaynak yapı yükleri daha sık kullanılmaktadır. A, elde edilen vektör yükleri matrisi, Λ kaynak eksen döndürme matrisi olmak üzere, V=(v j ) ile gösterilen kaynak eksen yapı yükleri matrisi, V=AΛ=(v ji ); j=,,.,p ve i=,,,m için (.4) bağıntısından bulunmaktadır. Temel ve kaynak eksenlerin kullanıldığı çok sayıda eğik döndürme algoritması bulunmaktadır. Bu yöntemler arasında en yaygın kullanılanları; Oblimax, Quartimin, Covarimin, Biquartimin, Oblimin ve Binoramin yöntemleridir (Tatlıdil, 996). Sonuç olarak, dik ve eğik döndürme yöntemlerinden hangisinin seçileceği ve hangi algoritmalarla döndürme yapılacağı konusunda kesin bir şey söylemek mümkün değildir. Bu nedenle, seçim büyük ölçüde araştırmacının deneyimine ve verilerin yapısına bağlıdır.

26 6..9. Faktör analizi sonuçlarının diğer analizlerde kullanılması Faktör analizinde son aşama ortaya çıkan faktörlerin yorumlanmasıdır. Yorum araştırıcının faktör analizi sonuçlarına anlam vermesi veya sınıflandırması metodudur. Öznelliğin azaltılması ve yoruma yol göstermesi için bazı kurallar vardır. Genellikle kullanılan bir kural bir faktörde.4 ve daha yüksek yüklü değişkenlerin göz önüne alınması gerektiğidir (Rummel 994). Araştırmanın amacına göre, faktör matrisi yorumlandıktan sonra analize son verilebilir veya faktör analizinin sonuçları diğer analizlerde kullanılabilir. Analizin amacı sadece değişkenlerin anlamlı boyutlarını ortaya çıkarmaksa, faktör matrisi yorumlanarak analiz tamamlanır. Amaç faktör analizi sonuçlarını diğer analizlerde kullanmaksa, bu amaçla temsili değişkenler veya faktör değerleri hesaplanabilir. Faktör analizinin amacı çok değişkenli analizlerde orijinal değişkenler yerine daha az sayıda ve tamamen farklı değişken seti (faktörler) kullanmaksa, her gözlem değeri için faktör değerleri, faktörler için grafikler elde etmek ve sapan birimleri ortaya çıkarmak amacıyla da kullanılmaktadır. Faktör değerlerinin hesaplanmasında en yaygın kullanılan yöntem çoklu regresyon yöntemidir. Faktör değerlerini hesaplamada regresyon yönteminin yanında başka yöntemlerde vardır. Her bir yöntem farklı varsayımlara dayanmakta ve farklı faktör değerleri hesaplanmaktadır. SPSS ile faktör analizinde faktör değerleri hesaplamak için üç farklı yöntem mevcuttur. Bu yöntemlerle hesaplanan faktör değerlerinin ortalaması sıfırdır. Faktör türetmede temel bileşenler yöntemi kullanılması halinde her üç yöntemle hesaplanan faktör değerleri birbirine eşittir (Norusis ve SPSS Inc. 998). Üç yöntemin genel özellikleri şöyledir: a) Regresyon yöntemi: Hesaplanan faktör değerleri sıfır ortalamaya ve gerçek faktör değerleri ile tahmin edilen faktör değerleri arasındaki çoklu korelasyon katsayısının karesine eşit varyansa sahiptir (Albayrak 6). ˆ F = X ( A R ) (.48)

27 7 Burada A faktör yükleri matrisi, X gözlenen veriler ve R verilerin korelasyon matrisidir (Kim ve ueller, 985). b) Bartlett yöntemi: Hesaplanan faktör değerlerinin ortalaması sıfır ve değişkenler arasındaki spesifik faktörlerin kareleri toplamı minimize edilmektedir (Albayrak 6). c) Anderson-Rubin yöntemi: Bartlett yöntemine benzeyen yöntem, tahmin edilen faktörler birbiriyle bağımlı olsa da hesaplanan faktör değerleri sıfır ortalama ve bir standart sapma ile birbirinden bağımsız olarak tahmin edilir (Norusis ve SPSS Inc. 998)... Tarımsal Araştırmalarda Faktör Analizi ile İlgili Çalışmalar Faktör analizinde büyük örnek genişliği ile çalışmak faktör analizinin güvenilirliğini artıracağından örnek sayısı mümkün olduğunca yüksek tutulmaya çalışılır. Tarımsal araştırmalarda da yeterli örnek bulmak çoğu zaman mümkün olmadığı için bu konuda çok fazla çalışma yapılmamıştır. Bu çalışmada faktör analizi ile ilgili elde edilen çalışmalar aşağıda özetlenmiştir. Sade ve ark. (5), Konya ekolojik şartlarında melez mısır çeşitlerinde tane verimi ve verim unsurları arasındaki ilişkileri incelemek amacıyla ve 3 yılları arasında bir deneme yürütmüşlerdir. Bu araştırmada tane verimi, bitki boyu, hasatta tane nemi, koçanda sıra sayısı, koçan uzunluğu, koçan ağırlığı, koçan çapı, yaprak sayısı, koçanda tane ağırlığı, bin tane ağırlığı, tane/koçan oranı, boyuna sıra sayısı, koçanda tane sayısı ve çiçeklenme süresi özellikleri belirlenmiş ve bu özellikler arasındaki ilişkiler korelasyon, path ve faktör analizi ile incelenmiştir. elez mısır çeşitlerinde tespit edilen tane verimi ve verim unsurlarına ait değerler hem hem de 3 yılında ayrı ayrı faktör analizine tabi tutulmuştur. yılında incelenen 4 özellik üç faktör grubuna ayrılmıştır. Bu üç faktör grubu ölçülen özelliklerin oluşturduğu varyasyonun % 95.9 unu açıklamaktadır. Bu değer oldukça büyük bir değer olup araştırmada meydana gelen varyansın tamamına yakının bu

28 8 özelliklerle açıklanabildiğini göstermektedir. Faktör ; koçanda sıra sayısı, çiçeklenme süresi, hasatta tane nemi, yaprak sayısı, koçan çapı, koçanda tane sayısı ve bin tane ağırlığı özelliklerinden oluşmakta ve toplam varyansın % 4.5 ini açıklamaktadır. Faktör koçanda tane ağırlığı, koçan ağırlığı, sırada tane sayısı ve koçan uzunluğu özelliklerinden oluşmakta ve toplam varyansın % 33.9 ini açıklamaktadır. Faktör 3 ise tane verimi, tane/koçan oranı ve bitki boyu özelliklerinden oluşmakta ve toplam varyansın %. sini açıklamaktadır. En yüksek ortak varyans değerleri koçanda dane ağırlığı (.89), koçan ağırlığı (.87), koçan uzunluğu (.763), ve koçanda tane sayısı (.753) na aittir. En düşük değerler ise bitki boyu, hasatta tane nemi ve bin tane ağırlığı özelliklerinde tespit edilmiştir. 3 yılında tespit edilen değerlere göre yapılan faktör analizinde incelenen 4 özellik iki faktör grubuna ayrılmıştır. Bu iki faktör toplam varyansın % 85.5 ini açıklamaktadır. Çiçeklenme süresi, koçan ağırlığı, koçanda tane sayısı, koçan çapı, hasatta tane nemi, bitki boyu, yaprak sayısı, tane verimi, koçanda sıra sayısı, tane/koçan oranı ve sırada tane sayısından oluşan faktör toplam varyansın % ünü oluşturmaktadır. Koçanda dane sayısı, koçan uzunluğu ve bin tane özelliklerinden oluşan faktör toplam varyansın % 6.73 ünü açıklamaktadır. Bu çalışma mısırda birkaç özelliğin tespit edilmesi ile genel karakterler hakkında bilgi edinilebileceğini göstermiştir. Budak ve ark. (997), farklı patates genotipini 995 ve 996 yıllarında yetiştirmiş ve 5 tarımsal ve fizyolojik özelliğe ilişkin veriler faktör analizi ile değerlendirilmiştir. Ölçülen 5 özellik 5 faktör grubuna indirgenmiştir. Bu 5 faktör toplam varyansın % 9. ini açıklamaktadır. Bitki boyu, hasat indeksi, yumru verimi/yeşil aksam ağırlığı, yandal sayısı ve yaprak sayısından oluşan faktör, toplam varyansın % 33.8 ini; verim, yumru verimi ve yumru sayısından oluşan faktör, toplam varyansın %.8 ini; tek yumru ağırlığı, yumru eni ve yaprak boyundan oluşan faktör 3, toplam varyansın % 7. ını; tek yumru ağırlığından oluşan faktör 4 toplam varyansın %. sini ve ana dal sayısı ile yaprak eninden oluşan faktör 5 ise toplam varyansın % 8. sini oluşturmaktadır. Faktör i oluşturan özellikler bitki fotosentez etkinliğini önemli ölçüde etkileyebilecek özelliklerdir. Aynı şekilde faktör 3 de fizyolojik özelliklerden oluşmuştur. Bu nedenle faktör ayrımlarının oldukça mantıklı olduğu görülmektedir.

29 9 Toker ve Cagırgan (4), nohutta yaptıkları bir araştırmada elde ettikleri sonuçlara faktör analizi uygulamışlar ve sonuçlar 3 faktör grubuna ayrılmıştır. Faktör biyolojik verim, ascochyta hastalığına tepki, bitki yüksekliği, tane verimi ve hasat indeksi özelliklerinden oluşmuş; faktör dal sayısı ve bitkide yüzde bakla sayısından oluşmuş; faktör 3 ise tane ağırlığından oluşmuştur. Faktörler toplam varyansın % 9.9 unu oluşturmuştur. Sieber ve ark. (988), holstein süt ineklerinde yaptıkları araştırmada fenotipik ve genotipik özellikleri araştırmışlar ve elde ettikleri sonuçlara faktör analizi uygulamışlardır. Genotipik özellikler 7 faktör grubuna fenotipik özellikler ise 8 faktör grubuna ayrılmıştır. Genotipik faktörler genotipik özelliklerden oluşan toplam varyansın % 79.3 ünü açıklamış; fenotipik faktörler fenotipik özelliklerden meydana gelen toplam varyansın % 69. ini açıklamışlardır. Akçura ve ark. (4), 3 buğday çeşidini 998 ve yılları arasında yetiştirmişlerdir. Buğdaylardan özellik ölçülmüş ve bu özellikler faktör analizine tabi tutulmuştur. özellik faktör analizi sonucunda faktör grubuna indirgenmiştir. Bu iki faktör toplam varyansın % 5.4 ünü açıklamıştır. Bitki boyu, başak uzunluğu, başaktaki başakçık sayısı, bayrak yaprak boyu, bin tane ağırlığı ve başaklanma süresinden oluşan faktör e büyüme faktörü adı verilmiş; başaktaki tane ağırlığı, tane verimi, başaktaki tane sayısı, bayrak yaprak genişliği ve metrekaredeki başak sayısında oluşan faktör ye ise tane verimi faktörü adı verilmiştir. Burada faktör in açıkladığı varyans % 3.6 ve faktör nin açıkladığı varyans da %.75 olmuştur. Küçükönder ve ark (4), 8 tane bal arısına ait morfolojik karakterler üzerinde çalışmışlar ve sonuçları faktör analizi ile yorumlamışlardır. Faktör analizi sonunda özellikler faktör grubuna ayrılmıştır. Birinci faktör toplam varyansın % 79 unu, ikinci faktör ise toplam varyansın % 5 ini ve her ikisi birlikte toplam varyansın % 94 ünü açıklamaktadır. Rushen (), geniş merada tavuk davranışlarının haftadan haftaya değişimini incelemiş ve sonuçları faktör analizi ile yorumlamıştır. Sonuçları 3 faktörle açıklamıştır. Faktör erken koşma ve dövüşmeyi içermiş, faktör nedensiz erkekler arasında atlamak, yatay boyun hareketlerini ve gagalama hareketlerini ve faktör 3 ise dişiler ve erkekler arasında gagalama davranışlarını içermiştir. Seksüel gelişme

30 3 faktör tarafından açıklanmış; bunlardan ilki erkeklerde seksüel gelişmeyi içermiş, ikincisi ise dişi ve erkek arasındaki seksüel etkileşimi içermiştir. Burak ve Broccoli (998), 8 mısır kültürü, ticari hibritler ve yerli serbest döllenen varyeteleri 7 muamele ile 3 tekerrürlü parselde 3 yıl yetiştirmişler ve sonuçlara faktör analizi uygulamışlardır. Özelliklerden santimetreküpteki tohum miktarı, büyüme şiddeti, tane sayısı faktör i; başak boyu, başak çapı, tane verimi, sırada yüzde tohum verimi, hasat verimi, koçan yüzdesi ise faktör yi oluşturmuşlardır. Tandesse ve Bekele (), çim (athyrus sativus.) in 5 genotipini özelliği üzerinde çalışmışlardır. Bu özellikler faktör analizi ile 3 faktöre ayrılmıştır. Faktör toplam varyansın %4 ını oluşturmuş ve biyokütle, ana dal sayısı, bitkide bakla sayısı, bitki ağırlığı ve tohum veriminden oluşmuştur. Faktör verimlilik faktörü olarak isimlendirilmiştir. Faktör toplam varyansın % sini oluşturmuş, üreme faktörü olarak isimlendirilmiş ve çiçekli günler, olgun günler ve meyvede tohum sayısı özelliklerinden oluşmuştur. Faktör 3 etkinlik faktörü olarak isimlendirilmiş ve sadece hasat verimi özelliğinden oluşmuştur. Vukasinovic ve ark. (997), İsviçre esmeri sığırlarda tür özellikleri ve sürü hayatı arasındaki ilişkini değerlendirilmesi için faktör analizini kullanmışlardır. Bu sığırlardan genotipik ve fenotipik 8 tür özelliği üzerinde çalışmışlardır. Veriler 74 isviçre esmeri atasının 94 dişi yavrusunda ilk laktasyon sırasında elde edilmiştir. Toplam fenotipik varyansın % 58 ini ve toplam genotipik varyansın % 74 ünü açıklayan 5 genotipik ve 5 fenotipik faktör elde edilmiştir. Genotipik faktörler için sürü hayatı toplam varyansın /3 ünü açıklamıştır. Khan ve ark. (), keten tohumunun genotipinin 5 özelliği üzerinde çalışmış ve bu özellikler 4 faktör grubuna indirgemişlerdir. Bu dört faktör toplam varyansın % 94 ünü açıklamaktadır. Faktör ; bitkinin dal sayısını, faktör ; meyvede tohum sayısını, faktör 3; tane ağırlığı ve bitki ağırlığını; faktör 4 ise bitkide bakla sayısını oluşturmaktadır. Dwyer ve ark. (999), koyunlarda anne yavru davranışlarının psikolojik ilişkisi üzerinde bir faktör analizi çalışması yapmışlardır. Araştırma sonunda bu özellikler üç faktör grubuna ayrılmıştır. Bu üç faktör toplam varyansın % 5 sini açıklamıştır.

31 3 Faktör kuzu davranışları, faktör ana koyun davranışları ve faktör 3 ise ana ve kuzu arasındaki emme ilişkileri olarak tanımlanmıştır. Sadek ve ark. (6), 49 aylıktan 98 aylık yaşa kadar olan 3 kısrak ve 43 aygırdan oluşan 66 arap atından 3 vücut ölçüsü verisi elde etmişler ve kısraklar ve aygırlar için ayrı ayrı faktör analizi uygulamışlardır. Analiz sonuçlarında her iki cinsiyetten de 3 er faktör elde etmişlerdir. Bu üç faktör toplam varyansın kısraklar için % 66 sını aygırlar için ise % 67 sini açıklamıştır. Kısraklar için ilk faktör toplam varyansın % 38 ini, ikinci faktör % 5 ini, üçüncü faktör ise % sini açıklamıştır. Faktör ; boyun kalınlığı, göğüs kalınlığı, göğüs genişliği ve sağrı genişliği değerlerini içermiştir, faktör ; ön ayak bukağılığı, arka ayak bukağılığı, ön ayak incik çevresi ve arka ayak çevresi değerlerini içermekte, faktör 3 ise: sırt çizgisi uzunluğu, vücut uzunluğu, göğüs derinliği, cidago yüksekliği ve sağrı yüksekliği değerlerini içermiştir. Bu nedenle birinci faktör vücut kalınlıkları, ikinci faktör bacak kalınlıkları ve üçüncü faktör de vücut boyutları olarak adlandırılmıştır. Aygırlar için ise faktör ; sırt çizgisi uzunluğu, ön ayak bukağılığı, arka ayak bukağılığı, ön ayak incik çevresi ve arka ayak çevresi değerlerini içermekte ve toplam varyansın % 38 ini oluşturmaktadır. Faktör ; göğüs kalınlığı, vücut uzunluğu, göğüs derinliği, cidago yüksekliği ve sağrı yüksekliği değerlerini içermiş ve toplam varyansın % 7 sini açıklamaktadır. Faktör 3 ise; boyun kalınlığı ve göğüs genişliği değerlerini içermekte ve toplam varyansın % sini açıklamaktadır. Aygırlarda faktör adlandırılması birinci faktör bacak kalınlıkları, ikinci faktör vücut boyutları ve üçüncü faktör ise vücut kalınlıkları şeklinde yapılmıştır.

32 3 3. ATERYA VE ETOT 3.. ateryal Bu çalışmada, Karabacak (7) tarafından 5 yerli koyun ırkından kuzuların besi performanslarının karşılaştırılması amacıyla yapılan çalışmadan elde edilen veriler kullanılmıştır. 3.. etot ateryal başlığı altında bahsedilen verilere faktör analizi tekniği önce çoklu gruplandırma yöntemi kullanılarak elle, daha sonra initab paket programı kullanılarak bilgisayarda uygulanmıştır. Çoklu gruplandırma yönteminde ilk olarak verilerin korelasyon matrisi elde edilmiştir. Korelasyon matrisinin özdeğerleri hesaplanmış ve kaiser kriteri kullanılarak faktör sayısı belirlenmiştir. Yani korelasyon matrisinin birden büyük özdeğer sayısı kadar faktör çıkarılması gerektiği belirlenmiştir. Daha sonra korelasyon matrisi incelenerek hangi değişkenlerin diğerlerine göre daha fazla ilişkili olduğu belirlenmiştir. Bu ilişkilere dayanarak hipotezler kurulmuş ve hipotez matrisi oluşturulmuştur. Daha önceki bölümlerde belirtilen faktör yapı matrisini (S) bulmak için; S=RH(Köş( H RH )) -/ (3.) formülünden S matrisi,

33 33 Daha sonra [ ] / / Köş( H RH ) ( H RH )[ Köş( H )] θ = RH (3.) formülünden Ө ilişki matrisi hesaplanmış ve bu matrisler yardımıyla A yükler matrisi hesaplanmıştır. A S (3.3) = θ A yükler matrisinin dik olması gerektiğinden dikleştirmek için Ө matrisinin alt üçgeni olan T matrisi ile çarpılarak dik matris olan D matrisi elde edilmiş ve D matrisinde değişkenlerin yükleri belirlenmiştir. Sonucu daha açık bir şekilde göstermek amacıyla faktör varyansları ve ortak faktörler tablosu oluşturulmuştur. Bu tablodan yararlanılarak faktörler yorumlanmıştır. Veriler elle yapılan analizden sonra bilgisayarda initab programında analiz edilmiştir. Veriler minitab veri sayfasına girilmiş daha sonra minitab komutlarıyla korelasyon matrisi ve özdeğerleri hesaplatılarak kaç faktör çıkarılacağına karar verilmiştir. Ekranda Stat>ultivariate>Factor Analysis seçenekleri tıklanarak açılan pencerede gerekli seçenekler işaretlenip, ilgili yerler doldurulduktan sonra OK seçeneği tıklanıp faktör analizi tamamlanmıştır. Son olarak faktör analizi çıktı penceresi yardımıyla sonuçlar yorumlanmıştır.

34 34 4. FAKTÖR ANAİZİNİN UYGUANASI 4.. Birinci Uygulama 46 koyundan elde edilen vücut ölçüsü değerleri üzerine faktör analizi uygulanmıştır. Bu denemede cidago yüksekliği, sağrı yüksekliği, göğüs derinliği, bel çevresi, kürekler arası göğüs genişliği, vücut uzunluğu, göğüs çevresi ve incik çevresi değerleri ölçülmüştür. Öncelikle bu verilerden kaç faktör elde edilebileceğinin bulunması gerekir. Burada uygun faktör sayısını belirlemede kullanılan yöntemlerden kaiser kriteri kullanılmıştır. Yani korelasyon matrisinin den büyük özdeğer sayısı kadar faktör çıkarılacaktır. Korelasyon matrisin den büyük tane özdeğeri vardır. Bunlar 5.4 ve.7 dir. Aynı şekilde scree plot grafiğini incelersek grafiğin eğiminin azaldığı yer. faktördür. Bu nedenlerden dolayı iki faktör belirlenmesi gerekmektedir. Scree Plot of CY;...; ÝÇ 5 4 Eigenvalue Factor Number Ekran 4.: Yamaç Eğim Grafiği

35 35 Çizelge 4.. Birinci Uygulamanın Korelasyon atrisi CY SY GD BÇ KAGG VU GÇ SY.943. GD BÇ KAGG VU GÇ İÇ İşlemlerin oluşturulabilmesi için korelasyon matrisindeki ilişkilerin incelenmesi gerekmektedir. Korelasyon matrisinde cidago yüksekliği, sağrı yüksekliği, göğüs derinliği ve bel çevresi değişkenlerinin birbirleri arasındaki ilişkiler ve kürekler arası göğüs genişliği, vücut uzunluğu, göğüs çevresi ve incik çevresi değişkenlerinin birbirleri arasındaki ilişkilerin daha yüksek olduğu görülmektedir. Bu bilgiler ışığında işlemler oluşturulur; İşlem : Cidago yüksekliği, sağrı yüksekliği, göğüs derinliği ve bel çevresi bir grup oluşturur ve tek faktör olarak kabul edilebilir. İşlem : Kürekler arası göğüs genişliği, vücut uzunluğu, göğüs çevresi ve incik çevresi bir grup oluştururlar ve tek faktör olarak kabul edilebilir. İşlemler aşağıda verilen şekilde işlem matrisi olarak ifade edilir; H = S yapı matrisini bulmak için Köş ( H RH ) ve RH matrisleri hesaplanır.

36 36 = ( RH ) H Köş = RH= = Bu matrisler formülde yerine koyularak S matrisi elde edilir. S=RH(Köş( RH H )) -/ = = Ө ilişki matrisi aşağıdaki formülden; [ ] [ ] / / ) ( ) ( ) ( = RH H Köş H RH H RH Köş θ

37 37.8 = =.67. şeklinde elde edilir. Daha sonra S ve Ө matrisleri A yükler matrisi formülünde yerine koyularak A matrisi elde edilir. A = Sθ = = A matrisi dik olarak elde edilmesi gerektiği için D matrisi; D=AT= = şeklinde elde edilir. Son elde edilen 8x boyutlu D matrisi, basit yapı durumunu gösteren dik matrise ulaşıldığını göstermektedir. Elde edilen sonuç özetlenecek olursa;

38 38 - Birinci faktörde,, 3 ve 4 üncü değişkenlerin yükleri yüksek olurken, 5, 6, 7 ve 8 inci değişkenlerin yükleri düşüktür. Bu nedenle, birinci hipotezin tutarlı olduğu ve ilk bulunan faktöre F adının verilebileceği söylenebilir. - İkinci faktörde ise 5, 6, 7 ve 8 inci değişkenlerin yükleri düşük,,, 3 ve 4 üncü değişkenlerin yüklerinin yüksek olması nedeniyle ikinci hipotezinde tutarlı olduğunu ve ikinci faktöre de F adı verilebileceği söylenebilir. Ulaşılan basit yapı sonucu faktör sonuçlarının iyi olduğu görülmektedir. Ancak daha açık bir şekilde görebilmek için ortak varyansların incelenmesi gerekir. Çizelge 4.: Birinci Uygulamanın Faktör Varyansları ve Ortak Varyanslar Değişkenler Faktörler a j f f Faktör varyansı % a j h j b j Tablodan görüldüğü gibi iki faktör toplam varyansın %98 ini açıklamaktadır ve buda faktör analizi sonuçlarının çok uygun olduğunu göstermektedir. Ayrıca ilk faktör toplam varyansın % 59 unu, ikinci faktör ise %39 unu açıklamaktadır. Aynı örneği initab da aşağıda verildiği şekilde analiz edilir. İlk olarak verilerin korelasyon matrisinden özdeğerler hesaplanır. Ekranda görüldüğü gibi bu örnekte den büyük özdeğer sayısı dir bu nedenle iki faktör çıkartılması uygundur.

39 39 Ekran 4.. Korelasyon atrisi ve Özdeğerlerin Bulunması Örneğe faktör analizini uygulamak için ilk olarak minitab ekranında Stat>ultivariate>Factor Analysis seçenekleri tıklanır.

40 4 Ekran 4.3. initabda Faktör Analizi Uygulama Seçenekleri Görüntülenen ekranda değişkenler variables alanına taşınır. Number of factor to extract alanına faktör çıkartmak istediğimiz için yazarız. ethod of exraction alanından principal companent işaretlenir. Type of rotation kısmıda varimax işaretlenir. Options seçeneği tıklanarak bu ekranda matrix to factor kısmıda correlation işaretlenir ve önceki ekrana geri dönülür.

41 4 Ekran 4.4. Faktör Analizi İşlem Penceresi Storage seçeneği tıklanır ve görüntülenen ekranda yüklerin, katsayıların ve skorların kaydolacağı sütun isimleri iki faktör seçileceği göz önüne alınarak ilgili alana girilir. İlk ekrana geri dönülür ve result seçeneği tıklanarak bu bölümde sort loading işaretlenir. Ekran 4.5. Storage İşlem Penceresi