8. S n f 3. Kitap - 75

Transkript

1 MTMT K STNRT SPM Herhangi iki veya daha fazla durum için hangisinin riskinin daha küçük oldu unu anlamak için standart sapmadan yararlan l r. Standart sapmas küçük olan durum için sapma ve risk az, büyük olan durum için ise sapma ve risk fazlad r. l ir veri grubunun standart sapmas n bulmak için flu ad mlar uygulan r. W Veri grubunun aritmetik ortalamas bulunur. W Her bir verinin aritmetik ortalama ile fark n n karelerinin toplam bulunur. W ulunan toplam, veri say n n bir eksi ine bölünerek, bölümün karekökü al n r. W ulunan sonuç veri grubunun standart sapmas d r. W ki veya daha çok veri grubunun standart sapmas incelenirken aç kl küçük olan n standart sapmas küçüktür. Örnek 5, 6, 8, 8, 8 say lar n n standart sapmas kaçt r? ir okuldaki iki farkl s n fa ortak bir s nav uyguland nda, iki s n fta bulunan ö rencilerin s nav sonuçlar tabloda verilmifltir. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Örnek 1. eneme 2. eneme 3. eneme Yukar daki tablo Selin'in girdi i 3 deneme s - nav nda matematik dersindeki netlerini göstermektedir. una göre Selin'in bu 3 deneme sonundaki matematik netlerinin standart sapmas kaçt r? Örnek Zeynep Miray Öykü o a Yukar da verilen tablo bir dersanede bulunan ö rencilerin baz lar n n üç denemedeki matematik netlerini göstermektedir. Tabloya göre, kimin netlerinin standart sapmas en düflüktür? s n f s n f

2 Örnek fiemada baz dizilerin izlenme oranlar n n yüzdeleri verilmifltir. zlenme oranlar na göre diziler yay ndan kald r labilir. una göre hangi dizinin yay ndan kald r lma riski en düflüktür? hafta hafta hafta hafta rka sokaklar Türk Mal rka s radakiler kasya ura statistiki ilgiler ir sonuca ulaflmak için gözlem ve araflt rma yolu ile toplanan bilgilerin say sal dökümüne istatistik denir. lde edilen veriler tablo ve grafiklerle yorumlan r. ir dershanede yap lan 3 s nav sonucundaki genel durumun tablosu 1. s nav 2. s nav 3. s nav STT ST KSL TMS L Ç MLR 1) Tablo S nava giren ) Histogram S nava girmeyen 3) Çizgi ve sütun grafi i P u a n l a r üzeri Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. MRKZ YYILM ÖLÇÜLR 1) Standart Sapma 2) ç kl k 3) Çeyrekler aç kl ritmetik Ortalama ir say dizisinin bütün terimlerinin toplam n n, terim say s na bölünmesiyle elde edilir. Medyan (Orta Say ortanca) ir dizinin terimlerinin küçükten büyü e do ru veya büyükten küçü e do ru s raland nda elde edilen orta terime veya ortadaki terimlerin aritmetik ortalamas na denir. 8, 6, 3, 8, 7, 6, 3, 5, 4, 9, 11, 1, 2 verilerinin meydan kaçt r? Mod (Tepe de er) ir dizi içinde en çok tekrarlanan say ya denir. Tekrarlanan say birden fazla ve eflit say da ise say lar n herbiri dizinin modudur. 8, 3, 4, 8, 5, 7, 8, 5 dizisinin modunu, medyan n ve aritmetik ortalamas n bulunuz. MRKZ L M ÖLÇÜLR 1) ritmetik ortalama 2) Ortanca (Medyan) 3) Tepe de eri (Mod) Çözüm : - 76

3 8, a, 7, c, 6, 8, 5 dizisinin aritmetik ortalamas 7 ise a, c, 4, 8, 5 dizisinin aritmetik ortalamas kaçt r? 2, 4, 3, 2, 4, 2, 3, 7, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 6 veri grubuna ait ortanca de eri, tepe de eri, aç kl k ve çeyrek aç kl n bulunuz. 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7 Çözüm : alt çeyrek ortanca de er (medyan) üst çeyrek ç kl k: Verilerin ald en büyük de erle en küçük de er aras ndaki farkt r. ç kl k, merkezi da l m ölçüsüdür. ir okulun 7. s n flar n n ö renci mevcutlar 26, 30, 35, 40 d r. u 7. s n f mevcutlar n n aç kl kaçt r? Çeyrekler ç kl : Üst çeyrek ile alt çeyrek aras ndaki farkt r. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Tepe de eri (mod) 4 tür. ç kl k 7 2 = 5 tir. Çeyrekler ç kl = 5 3 = 2 Örnek 1, 6, 6, 4, 6, 3, 2 verilerini kullanarak merkezi e ilim ve yay lma ölçülerini bulunuz. fla daki veriler bir köyde yaflayan 15 ailenin kaçar kifliden olufltu unu göstermektedir. - 77

4 STNRT SPM TST , 3, 8, 7, 12, 16 veri grubunun standart sapmas n n yaklafl k de eri afla dakilerden hangisidir? ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 4. fla daki grafikte insan vücudunda yafl durumuna göre farkl l k gösteren su yüzdeleri verilmifltir Vücuttaki su miktar (%) 2. fla dakilerden hangisi merkezi yay lma ölçülerindendir? ) ritmetik ortalama ) Ortanca ) Tepe de eri ) ç kl k 3. ört farkl ülkenin borsalar ndan birinde paras n de erlendirmek isteyen bir yat r mc afla- daki merkezi e ilim ve yay l m ölçülerinden hangisini kullan lmas yla riskin en az oldu u ülke borsas n tercih etmesi daha garantili olur? ) Standart sapma ) ç kl k ) ritmetik ortalama ) Medyan Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi ebek Çocuk Yetiflkin Yafll una göre dört farkl yafl grubunda vücutta bulunan su miktarlar n n standart sapmas hangi seçenekte do ru olarak verilmifltir? nsan ) 3 ) 3,3 ) 3,6 ) 3,8, ve flirketleri için yukar daki verilere göre standart sapmalar n n büyükten küçü e do ru s ralan fl afla dakilerden hangisidir? ) > > ) > > ) > > ) > >

5 6. ylar Ocak fiubat Mart 1. ile ile Yukar daki tabloda 2 farkl ailenin ocak, flubat ve mart ay na ait gelir da l m verilmifltir. una göre bu iki ailenin gelir durumuna ait verilerin standart sapmalar n n yaklafl k de erleri do ru olarak hangi seçenekte verilmifltir? 1. ile 2. ile ) 1 3 ) 1 2 ) 3 1 ) ve hisse senetlerinin 3 ayl k fiyatlar n gösteren tablo afla da verilmifltir una göre bu iki hissenin risk hesab afla dakilerden hangisini kullanarak en k sa yoldan bulunur? ) ç kl k ) Standart sapma ) ritmetik orta ) Medyan 8. ylara göre kaza say lar Yukar daki tablo 4 farkl firmada y l n 12 ay nda meydana meydana gelen kaza say lar n göstermektedir. una göre hangi firmada çal flmak daha güvenlidir? ) ) ) ) Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 9. Kalecilerin oynad klar süre ve kurtar fl ortalamalar Süre Kurtar fl ortalamas Yukar daki tabloya göre hangi kaleci az oynam fl ve daha çok kurtar fl yapm flt r? ) ) ) ) 10. inal ersanesinde y llara göre ö rencilerinin s nav kazanma yüzdeleri verilmifltir. u verilere ait standart sapma kaçt r? Y llar Kazanma yüzdeleri ) 11,1 ) 19 ) 13 ) 8,4 11. fla da verilenlerden kaç tanesi merkezi e ilim ölçülerindendir? I. ritmetik ortalama II. ç kl k III. Medyan IV. Mod V. Standart sapma ) 1 ) 2 ) 3 ) 4-79

6 12. fla daki tabloda 4 farkl tak m n bir turnuvada yedi i gol say lar verilmifltir u tabloya göre hangi tak m n standart sapmas di erlerinden farkl d r? ) ) ) ) 13. ir ö rencinin bir kitapta çözdü ü testlerdeki do ru say lar afla daki tabloda verilmifltir. o ru say s Test 1 Test 2 Test 3 Test 4 Test una göre bu tablodaki verilerin standart sapmas n n en yak n oldu u tam say kaçt r? ) 1 ) 2 ) 3 ) Ocak Nisan Temmuz kim fiubat May s ustos Kas m Mart Haziran ylül ral k kkonak Karacaören Karam k Pazara aç Yukar daki tabloda bir ildeki 4 ayr kavflak noktas ve bir y l içersinde 3 er ayl k dönemlerde bu noktalarda yaflanan trafik kazalar verilmifltir. u noktalardan birine trafik lambas yapmaya karar veren T..K ekibi standart sapmas en büyük olan noktay seçti ine göre bu kavflak afla dakilerden hangisi olur? Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. ) kkonak ) Karacaören ) Karam k ) Pazara aç - 80

7 ÜÇGNLR TTÜRK V GOMTR 8. S n f 3. Kitap Türk il Kurumu bafluzman olan ve kendisine Mustafa Kemal taraf ndan ilaçar soyad verilen gop ilaçar a göre; Geometri kitab n tatürk, ölümünden bir buçuk y l kadar önce, y l k fl aylar nda olmabahçe saray nda kendi elleriyle yazm flt r. skerlik oca ndan gelen tatürk ayn anda büyük bir e itimci de olup yurdun kültür sorunlar yla da fazlas yla ilgilenmifltir. Tarih boyunca yabanc ülkelerde büyük san n kazanan asker devlet baflkanlar, uluslar na e itim alan nda da önderlik etmifller, kendi kalemleriyle e itici yap tlar meydana getirmifllerdir. ngilizlerin büyük lfredi(lfred the Great, ) ve lmanlar n büyük riedrichi(reidrich der Grosse, ) bu gerçe in iki büyük kan t d r. Geometri kitab n n kapa nda önemle belirtildi i üzere, tatürk ün bu yap t, geometri ö retenlerle, bu konuda kitap yazacaklara k lavuz olarak Kültür akanl nca neflredilmifltir. Kapakta yazar ad yoktur, fakat yaz n n ruhu ve tutumu, onun tatürk ün elinden ç km fl oldu unu apaç k gösterir. Geometri, eski terimle Hendese, e itim sistemimizde önemli bir yer tuttu u halde, terimleri çok a dal ve çaprafl kt. rapça ve arsça okul program ndan kald r lm fl, fakat rapça üzerine kurulmufl olan terimler kalm flt. Örne in, müselles-i mütesaviyül adlay hangi ö renci anlayabilirdi ki. tatürk, ö rencinin anlay fl yolundaki t kan kl açmak için bu terimi eflkenar üçgene çevirdi. flte bu 44 sayfal k küçük kitapta boyut, uzay, yüzey, düzey, çap, yar çap, kesek, kesit, yay, çember, te et, aç, aç ortay, içters aç, d flters aç, taban, e ik, k r k, çekül, yatay, düfley, dikey, yöndefl, konum, üçgen, dörtgen, beflgen, köflegen, eflkenar, ikizkenar, paralelkenar, yanal, yamuk, art, eksi, çarp, bölü, eflit, toplam, oran, orant, türev, alan, varsay, gerekçe gibi terimler hep bu amaçla tatürk taraf ndan türetilip daha sonra da Türkçeye yerleflmifllerdir. tatürk elefltirileri daima memnunlukla karfl lam fl ve ortaya koydu u yeni sözcük ve terimlere bir deneme hakk tan d n belirtmifltir. mac daima daha uyguna do ru ilerlemek olmufl, önerilen de ifliklikleri akla uygun görünce hemen benimsemifltir. tatürk ün ortaya koydu u terimlerden birkaç bugün kullan l fltan ç km fl, yerlerini daha uygunlar na b rakm fllard r. Tümey aç yerine tümler aç, bütey aç yerine bütünler aç bunlara örnektir. Mustafa Kemal ilke insan oldu u için bunlar hofl görmüfl, hatta sevinmifltir de. Yeter ki ortaya koydu u ilkeler sars lmas n ve yine zaviyetan- mütekabiletan- dahiletan ( = içters aç lar) gibi terimlere dönülmesin. fiimdi bu kitaptan baz al nt lar yapal m: Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi GOMTR : Çizgilerin, yüzeylerin ve hacimlerin belli bir ölçü ile genliklerini ölçmeyi ö reten bir ilimdir. ÇMR: 1- Çember, düzey üzerinde öyle kapal bir e ridir ki üzerindeki her nokta, onun içinde bulunan ve merkez denilen bir noktadan ayn uzakl ktad r. 2- Çemberin kapad düzeye daire denir. Çember yerine birçok defalar daire dendi i de olur. 3- Yay çemberin herhangi bir parças d r. 4- Çember, 360 eflit parçaya ayr l r. unlardan her birine derece denir. Her derece dahi 60 eflit parçaya ayr l r. unlardan her birine dakka denir. akka da 60 eflit parçaya ayr l r. unlar n her birine saniye denir. ereceyi göstermek için, dereceyi bildiren rakam n sa üstüne küçük bir s f r konur. akka, rakam n n sa üstüne, sa dan sola e ik küçük bir çizgi ile ve saniye de, böyle yan yana konmufl iki çizgi ile gösterilir. Misal: 54 derece, 45 dakika, 18 saniye flöyle yaz l r: Çember ve daire ile ilgili çizgiler flunlard r: Y Çap, dayirenin merkezinden geçerek çemberin iki noktas na ulaflan bir do ru çizgidir. Y Yar çap, merkezi, çemberin bir noktas na ba l yan bir do ru çizgidir. Y Yay, çemberin herhangi bir parças d r. Y Kirifl, yay n uçlar n birlefltiren do ru çizgidir. Y Ok, yay n ortas n, kiriflin ortas na ba l yan bir do ru çizgidir. Y Kesek, daireyi herhangi iki parçaya ay ran bir do ru çizgidir. Y e me, bir çizginin çemberin herhangi bir noktas na de mesine denir. O noktaya de me noktas, de en çizgiye de te et denir. POL GONLR: ol, yani birçok kenarlarla çitlenmifl olan bir düzey parças na Poligon denir. Üçgen, üç kenarl bir poligondur. örtgen, dört kenarl bir poligondur.

8 eflgen, befl kenarl bir poligondur. lt gen, alt kenarl bir poligondur v.b. ir poligonun çevresi, onu çevreleyen k r k çizgidir. ayirenin çevresi çemberdir. Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y ir poligonun köflegeni, o poligonun yan yana olmayan köflelerini birlefltiren do ru çizgilerdir. Yüzey: ki boyutlu olarak, yay ld, geniflledi i düflünülen bir uzamd r. u boyutlar uzunluk ve geniflliktir. ir yüzey de erini ölçmek için, o yüzey, birim olmak üzere seçilmifl bir yüzeyle oranlan r. Yüzey birimi, genel olarak, metrekaredir. Metrekare, her kenar bir metre olan karedir. ikey dörtgen: ikey dörtgenin alan taban ile yüksekli inin çarp m na eflittir. Misal: Taban 6 metre ve yüksekli i 3 metre olan bir dikey dörtgen düflünelim. Onun taban olan 6 metreyi, yüksekli i olan 3 metre ile çarparsak elde edece imiz 18 metrekare, bu dikey dörtgenin alan olur. Paralelkenar: Paralelkenar n alan, taban ile yüksekli inin çarp m na eflittir. Misal: Taban 24 metre ve yüksekli i 16 metre olan bir paralelkenar düflünelim. 24 ile 16n n çarp m olan 384 metrekare, bu paralelkenar n alan d r. Kare: Karenin alan, bir kenar n n kendisi ile olan çarp m na eflittir. Misal: Kenar 4 metre olan bir kare düflünelim. 4ü 4le çarpar z. lde edece imiz 16 metrekare, bu karenin alan olur. flkenar dörtgen: flkenar dörtgenin alan, onun iki köflegeninin çarp m n n yar s na eflittir. Misal: Köflegenleri 6 metre ve 10 metre uzunlu- unda olan bir eflkenar dörtgende 10un 6 ile çarp m olan 60 n yar s al n rsa elde edilen 30 metrekare bu eflkenar dörtgenin alan olur. Üçgen: ir üçgenin alan taban ile yar yüksekli inin çarp m na eflittir. hut ta bir üçgenin alan yüksekli i ile yar taban n n çarp m na eflittir. Misal: Taban 14 metre ve yüksekli i 6 metre olan bir üçgen düflünelim. Taban n yüksekli inin yar s ile çarpar z ve flunu elde ederiz: 14 X 3 = 42 metrekare Yüksekli ini, taban n n yar s ile çarpar z ve flunu elde ederiz: 6 X 7 = 42 metrekare Yamuk: ir yamu un alan, iki taban toplam n n yar s ile yüksekli inin çarp m na eflittir. Misal: Yüksekli i 7 metre ve tabanlar 10 ve 16 metre olan bir yamuk düflünelim: ki taban toplam n n yar s fluna eflittir. (16+10)/2 = 13. Yamu un alan da 13 7 = 91 metrekaredir. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Y Y Y Herhangi bir poligon: Herhangi bir poligonun alan, birçok yollarla elde edilir. yol: Poligon üçgenlere parçalan r, her üçgenin alan ayr araflt r l r ve bu alanlar n toplam bulunur. yol: Poligon dik üçgenlere ve dik yamuklara parçalan r. unun için, poligonun iki uzak köflesini birlefltiririz ve di er köflelerden bu do ru çizgi üzerine dikeyler çizeriz. Ortaya ç kacak dik üçgenler vedik yamuklar n alanlar n buluruz ve bunlar n toplam n hesaplar z. üzgün Poligon: ir düzgün poligonun alan, iç te et çemberinin yar çap n n yar s ile çevresinin çarp m na eflittir. Misal: Kenarlar 7 metre ve iç te et çemberinin yar çap 6 metre olan düzgün bir alt geni göz önüne alal m. Çevresi 7 6 = 42 metredir. Çevresi ile iç te et çemberinin yar çap n n yar s n n çarp m 42 (6/2) = 42 3 = 126d r. u düzgün alt genin alan 126 metrekaredir. Osmanl cas tatürk ün önerdi i u ud boyut mekan uzay sat h yüzey kutur çap n sf- kutur yar çap kavis yay muhit-i daire çember mümâs te et zâviye aç re sen mütekabil zâviyeler ters aç lar zâviyetan mütabâdiletân- dâhiletan iç ters aç lar kaaide taban ufkî yatay flâkulî düfley amûd dikey zâviyetân- mütevâf katân yöndefl aç lar va zîyet konum mustatîl dikdörtgen muhammes beflgen müselles-i mütesâviyü l-adlâ eflkenar üçgen müselles-i mütesâviyü ssâkeyn - ikizkenar üçgen flibh-i münharif yamuk mecmû toplam - 82

9 nisbet oran tenasüb orant mesâha-i sathiyye alan müfltak türev müsavi eflit mahrut koni faraziye varsay hat çizgi mukavves e ri seviye düzey d l kenar muvazi paralel-koflut menflur pürüzma hatt mail e ik veter kirifl re s köfle zaviyei hadde dar aç hatt munass f aç ortay muhit çevre kaim zaviyeli müselles dikey üçgen tamaml yan zaviye tümey aç murabba kare mümaselet imsiy umumi totale ökül küre yüre tatürk, 1937 y l n n 29 Mart nda, ceyb (sinüs) ve teceyb (cosinüs) terimlerinin karfl l klar n n bulunmas için Ulus Gazetesi ne ilan verdirerek bir yar flma açt. aha sonra, haz rlanan tüm terimler üç ayl k Türk ili elleten ergisi nin kim 1937 tarihli say s nda yer ald. 26 ylül de yap lan 5. Türk il ayram etkinlerinin de yer ald say da; matematik, fizik, kimya, biyoloji, zooloji, botanik, jeoloji terimlerinin Türkçe karfl l klar, Osmanl ca ve rans zca adlar bulunmaktad r. Terim çal flmalar n n ülkedeki etkilerini tatürk, fiili olarak da inceledi. Ülkedeki pek çok okulu ziyaret ederek öncelikle matematik derslerine girdi ve ö rencilerin dersteki baflar lar n gözlemledi y l nda Kültür akan Saffet r kan, çiflleri akan fiükrü Kaya, Sabiha Gökçen, smail Hakk Tekçe ve yaveri Naflit Mengü eflli inde bir heyetle Sivas Lisesi ne gitmiflti. Lisenin 9- s n f nda programdaki geometri (o zaman ki ad yla hendese) dersine girmifl bu derste bir k z ö renciyi tahtaya kald rm flt. Ö renci, tahtada çizdi i koflut iki çizginin, Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. baflka iki koflut çizgiyle kesiflmesinden oluflan aç - lar n rapça adlar n söylemekte zorluk çekip yanl fll klar yap nca durumdan etkilenen tatürk tepki gösterdi. u anlafl lmaz rapça terimlerle, ö rencilere bilgi verilemez. ersler, Türkçe yeni terimlerle anlat lmal d r. diyerek tebefliri eline ald, tahtada çizimlerle zaviye nin karfl l olarak aç, d l n n karfl l olarak kenar, müselles in karfl l olarak üçgen gibi Türkçe yeni terimleri kullanarak, birtak m geometri konular n bu arada Pisagor teoremini anlatt. TTÜRK, Sivas Lisesinde Matematik dersi vermifltir. - 83

10 ÜÇGN : o rusal olmayan,, noktalar verilsin. u üç noktay birlefltiren [], [] ve [] do ru parçalar n n birlefliminden oluflan flekle üçgen denir. c a b una göre s() kaçt r? Çözüm : Δ Yandaki s() = 2a, s() = 3a ve s() = a d r. nde [] [] [] = Üçgenin elemanlar : a) Kenarlar : = a, = b, = c b) ç aç lar : =, =, = c) fl aç lar : =, =, = ÜÇGN ÇI INTILRI 1) ir üçgenin iç aç lar toplam 180 dir. s() + s() + s() = 180 2) ir üçgenin d fl aç lar toplam 360 dir. s( ) + s( ) + s( ) = 360 3) ir d fl aç kendisine komflu olmayan iki iç aç n n toplam na eflittir. s( ) = s() + s() s( ) = s() + s() s( ) = s() + s() Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi Yukar daki flekilde s() = 30, s() = 80 ve s() = 70 dir. una göre s() kaç derecedir? 4) ir üçgende ayn köfledeki iç ve d fl aç lar toplam 180 dir. s() + s( ) = 180 s() + s( ) = 180 s() + s( ) =

11 n = (5 25) n n c n = n = n (5 25) (3 5) ç ortay üzerindeki her nokta aç n n kenarlar ndan eflit uzakl ktad r. Yukar da verilen üçgeninde s() kaç derecedir? Çözüm : ÜÇGN N R LMNLRI 1) Yükseklik : ir üçgende herhangi bir köfleden karfl s ndaki kenara indirilen dik do ru parças na denir. h a h b h b h a h c h c h a h a = h b = h c = h b h c Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. ç ortay n özellikleri : K = K O = O s(ko) = s(ko) s(ko) = s(ko) O 120 Δ nde; [] do ru parças n n, [] do ru parças nin ve [] do ru parças n n aç ortay d r. s() = 120 ise, s() kaç derecedir? K 2) ç ortay : ir üçgenin herhangi bir iç aç s n iki efl aç ya bölen fl n n, aç n n köflesi ile fl n n karfl kenar kesti i nokta aras nda kalan do ru parças na denir. - 85

12 [O, O nin aç ortay d r. =2 3 cm ve = + 6 cm oldu una göre, kaç cm dir? 3) Kenarortay : Üçgende kenarlar n orta noktalar n karfl s ndaki köflelere birlefltiren do ru parçalar d r. Kenarortaylar n kesiflti i nokta üçgenin a rl k merkezini oluflturur. V b V a = V b = V c = ir üçgende kenarortaylar n kesim noktas n n bir köfleye uzakl, o köfleden geçen kenarortay V a G Δ ninde G a rl k merkezidir. G = 4 cm, G = 3 cm ve = 12 cm oldu una göre G + G + G kaç cm dir? V c 2 uzunlu unun üne eflittir. 3 G 2 = 3 una göre, bir üçgende a rl k merkezi köfleye iki birim, köflenin karfl s ndaki kenar n orta noktas na bir birim uzakl ktad r. O G Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 4) Kenar orta dikme: ir üçgenin herhangi bir kenar n n ortas ndan, kenara dik ç kan fl na denir. üçgeninde [HT] [] ise [HT] ye [] kenar n n kenar orta dikmesidir. Yukar daki üçgeninde kenarlar n kenar orta dikmelerini çiziniz. I- ÇILRIN GÖR ÜÇGN Çfi TLR a) ar aç l üçgen : Üç iç aç s n n ölçüsü de 90 den küçük olan üçgenlerdir. b) ik aç l üçgen : ç aç lar ndan bir tanesinin ölçüsü 90 olan üçgendir. c) Genifl aç l üçgen : ç aç lar ndan birinin ölçüsü 90 den büyük olan üçgendir. 44 II- KNRLRIN GÖR ÜÇGN Çfi TLR a) Çeflitkenar üçgen : Üç kenar uzunlu u da birbirinden farkl olan üçgendir Hipotenüs K R H T P c=3cm b=5cm a=6cm - 86

13 b) kizkenar üçgen : ki kenar uzunlu u eflit olan üçgenlerdir. = s() = s() h a = n = V a d r. Tepeden indirilen yükseklik ayn zamanda taban n kenarortay ve tepe aç s n n aç ortay d r. ( 7) cm ( + 5) cm c) flkenar üçgen : Üç kenar uzunlu u da eflit olan üçgenlerdir. = = = a s() = s() = s() = 60 Not: flkenar üçgenlerde her kenara ait yükseklik, aç ortay ve kenarortaylar birbirine eflittir. ÜÇGN N ÇVRS a Çevre : ütün üçgenlerde üç kenar uzunlu unun toplam d r. Çeflitkenar üçgen : Ç = a + b + c kizkenar üçgen : Ç = a + b + b = a+2b flkenar üçgen : Ç = a + a + a = 3a a a Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. fiekildeki üçgeninde [], aç s n n aç ortay ; [] []; = (3 7) cm ve = ( + 5) cm oldu una göre kaç cm'dir? fiekildeki üçgeninde s() = 30, s() = 3, s() = s() = ise s() kaç derecedir?

14 K 2a 60 5a L M N KLM üçgeninde s(klm) = 60, s(lkm) = (2a) üçgeninde ve s(kmn) = (5a) oldu una göre a kaç derecedir? cm 2 cm 14 cm 35 Yukar da verilen üçgeninde afla dakilerden hangisi yanl flt r? Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. s() = s() = s( ) = 34 ise s() kaç derecedir? afla daki ifadelerden hangisi do rudur? fiekildeki Δ 'ninde s() = + 20, s() = 2 50, c() = + 30 oldu una göre, 1) Δ dar aç l ikizkenar üçgendir. 2) Δ genifl aç l çeflitkenar üçgendir. 3) Δ dik aç l ikizkenar üçgendir. Δ 4) dar aç l çeflitkenar üçgendir. - 88

15 eflkenar üçgeninde [] aç ortay = Yukar daki verilenlere göre s() kaç derecedir? Çözüm Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. fiekildeki s() = 18, s() = 24, oldu una göre, s( ) kaç derecedir? Çözüm - 89

16 ÜÇGN ÇI KNR INTILRI V ÜÇGN Ç Z M ÜÇGN KNR INTILRI ir üçgende her bir kenar n uzunlu u di er iki kenar n uzunluklar toplam ndan küçük, fark n n mutlak de erinden büyüktür. c b b c < a < b+c a c < b < a + c a b < c < a + b c a b Yandaki üçgende s() = 58, s() = 63 dir. Δ una göre, nin kenar uzunluklar - n küçükten büyü- e do ru s ralay - n z. c a ÜÇGN ÇI ve KNR INTILRI b üçgeninde = 4 cm, = 5 cm dir. una göre, Δ nin çevresinin alabilece i en büyük tamsay de eri kaçt r? ir üçgende büyük aç karfl s nda büyük kenar, küçük aç karfl s nda küçük kenar, eflit aç lar karfl - s nda da eflit kenarlar bulunur. 1) > > ise a > b > c dir. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. ÜÇGN Ç Z M fla daki koflullardan bir tanesini tafl yan bir üçgen, cetvel, aç ölçer ve pergel kullan larak sadece 1 üçgen çizilebilir. 1) Üç kenar uzunlu u bilinen 2) ki kenar uzunlu u ve bu kenarlar aras ndaki aç s bilinen 3) ir kenar ve herhangi iki aç s bilinen Uyar : 1. Üç aç s verilen kenar uzunluklar birbirinden farkl sonsuz say da üçgen çizilebilir. 2. ki aç s ve bir kenar verilen çok say da farkl üçgen çizilebilir. 3. ki kenar ve bir aç s verilen çok say da farkl üçgen çizilebilir. = 8 cm, = 6 cm s() = 70 olan bir Δ Önce [] n çizelim. 6 cm çizelim. a noktas n merkez alarak aç ölçerle ölçüsü 70 olan n çizelim. 2) a > b > c ise s() > s() > s() 3) a > b = c ise s() > s() = s() dir

17 Uzunlu u 8 cm olan [] n çizelim. fla daki üçgenlerden hangileri bir üçgen çizmek için yeterli bilgi içerir. 8 cm 70 6 cm ve noktalar n bir do ru parças yla birlefltirelim ve Δ ni elde edelim. I. a = 4 cm, b = 5 cm ve c = 7 cm II. a = 3 cm, b = 5 cm ve s() = 40 III. a = 4 cm, s() = 50 ve s() = 80 IV. a = 4 cm, s() = 60 ve b = 6 cm u kurala uyan sadece 1 tane üçgeni vard r cm 6 cm = 5 cm, s() = 50 ve s() = 60 ölçüleri verilen Δ ni çizelim. Önce 5 cm lik [] çizilir. 5 cm ç ölçer yard m yla do ru parças n n ucundan 60 lik, ucundan 50 lik aç çizilir cm [ ve [ n n kesiflti i nokta noktas olarak al n r. 60 Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Yukar daki flekilde en uzun kenar ve en k sa kenar bulunuz Δ çizilmifl olur. u kurala uyan sadece 1 tane üçgeni vard r. - 91

18 fla dakilerden kaç tanesindeki bilgilerle sadece 1 tane üçgen çizilir? I. a = 6 cm, b = 7 cm ve c = 8 cm II. a = 5 cm, s() = 60 ve s() = 80 III. a = b = 6 cm ve s() = 60 IV. a = b =7 cm ve c = 10 cm V. s() = 80, s() = 60, s() = cm 8 cm 12 cm Yukar daki üçgende kaç farkl de er al r? 6 cm 8 cm Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. üçgeninde () s en büyük aç ise [] nin alaca kaç tamsay de eri vard r? Yukar daki flekilde verilen bilgilere göre [] alaca kaç tamsay de eri vard r? 8 cm 7 cm 11 cm 10 cm üçgeni s en büyük aç ise [] nin alaca en büyük tamsay de eri kaçt r? - 92

19 ÜÇGN Ç Z M TST 2 1. fla daki elemanlar verilen üçgenlerden hangileri çizilebilir? I. a = 4, b = 8, c = 2 3 cm 5 cm II. s() = 100, b = 8, c = 5 7 cm III. s() = 95, c = 9, a = 12 IV. a = 6, b = 7, c = 10 ) I, II ) II, IV ) I, IV ) I, II, III 2. fla daki üçgenlerden kaç tanesi çizilebilir? I. = 3 cm, = 5 cm, = 6 cm Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi sl 80 6 cm Songül 4 cm Nazl 5 cm 6 cm 7 cm lkgül Yukar da sl, Nazl, Songül ve lkgül'ün düflündü ü üçgenlerden hangisini çizmek mümkün de ildir? ) lkgül ) sl ) Nazl ) Songül = 6 cm, s() = 80, s() = 65 = 5 cm, = 10 cm, = 7 cm II. s() = 90, = 9 cm, = 12 cm = 7 cm, = 6 cm, s() = 50 III. s() = 50, s() = 60, = 2 cm = 8 cm s() = 90, = 10 cm IV. = 5 cm, = 6 cm, s() = 50 Yukar da elemanlar verilen üçgenlerinden kaç tanesi çizilemez? ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4-93

20 5. I. m() = 40, m() = 50, m() = II. a = 4 cm, b = 6 cm, c = 12 cm 7 6 III. m() = 30, m() = 40, a = 8 cm 13 Yukar da tablodaki gruplardan hangisi ya da hangilerinde verilen elemanlar sadece bir üçgen belirtir? ) Yaln z I ) Yaln z III ) I II ) II III 6. fla da verilmifl olan elemanlardan kaç tanesi ile sadece bir üçgen çizilebilir? 7. I. = 5 cm, = 8 cm, = 9 cm II. = 7 cm, = 7 cm, = 10 cm III. s() = 65, = 10 cm, = 8 cm IV. s() = 80, s() = 70, = 6 cm V. = 12 cm, = 4 cm, = 16 cm ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 I. a = 8 cm, b = 12 cm, c = 16 cm II. s() = 60, s() = 80, s() = 40 III. s() = 20, b = 10 cm, c = 5 cm IV. a = 12 cm, b = 12 cm, c = 25 cm Yukar da verilen bilgilerin hangileri ile sadece bir üçgen çizilebilir? Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. amla Ö retmen amla Ö retmen, tahtaya Δ ini çizmifl ve verilen kenar ölçülerine göre bu üçgenin çizilemeyece ini aç klam flt r. S n fa üçgende nas l bir de ifliklik yap l rsa bu üçgenin çizilebilece i sorusunu yöneltmifl ve dört ö rencinin verdi i yan tlar afla daki gibi olmufltur. una göre hangi ö rencinin verdi i yan t do rudur? ) ) = 3 cm Leyla ) ) = 11 cm Nefle = 4 cm sra = 2 cm erna 9. fla da verilmifl olan elemenlardan kaç tanesi ile sadece bir üçgen çizilebilir? I. a = 5 cm, b = 2 cm, c = 3 cm II. a = 6 cm, s() = 70, s() = 60 III. s() = 40, s() = 75, s() = 65 IV. a = 10 cm, b = 10 cm, c = 2 cm ) I ve II ) II ve III ) I ve IV ) I ve III - 94 V. s() = s() ve s () = 60 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4

21 ÜÇGN ÇI KNR INTILRI TST a 60 d e 400 m 700 m b 80 c 2. fiekilde verilenlere göre en uzun kenar afla - dakilerden hangisidir? ) a ) b ) c ) d 7 10 Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi m Yukar daki parkurda dan bafllayarak ye oklar takip ederek koflacak olan bir koflucunun kofltu u mesafenin tam say de eri en fazla kaç m olur? ) 1499 ) 1699 ) 1899 ) m 500 m y fiekildeki = 7 cm, = 10 cm, z 36 k = (2 5) cm dir. üçgenin kenar uzunluklar birbirinden farkl oldu una göre, in alabilece i kaç farkl tamsay de eri vard r? Yukar daki flekilde verilenlere göre en k sa kenar afla dakilerden hangisidir? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) ) y ) m ) k - 95

22 K 48 a e d 4 8 fiekilde verilen uzunluklara göre = için afla dakilerden hangisi do rudur? L b M c N fiekildeki KLN üçgeninde verilenlere göre afla dakilerden hangisi do rudur? ) 5 < < 19 ) 4 < < 12 ) 4 < < 9 ) 5 < < 12 59, y, z uzunluklar aras ndaki do ru s ralama afla dakilerden hangisidir? ) y < < z ) y < z < ) < z < y ) z < < y 11 cm z cm y Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. ) a > b > e ) d > c > e ) a < d < b + c ) d < e < a Yandaki flekilde verilen aç ölçülerine göre, en uzun kenar hangisidir? ) [] ) [] ) [] ) [] fiekildeki üçgeninde; = 11cm, = 20 cm ve = (2+1) cm dir. pozitif bir tam say oldu una göre, üçgeninin çevresi en çok kaç cm olabilir? Yukar da verilenlere göre nin alabilece i tamsay de erleri toplam kaçt r? ) 90 ) 75 ) 60 ) 45 ) 15 ) 18 ) 21 ) 25-96

23 O cm 8 cm P R cm OPR üçgeninde s(por) > s(opr), OP = 4 br, Yukar da verilen Δ çeflitkenar üçgendir. una göre 'in alabilece i kaç tane tam say de eri vard r? OR = 17 birim oldu una göre, PR nin en küçük tam say de eri ile en büyük tam say de erinin toplam kaç birimdir? ) 11 ) 9 ) 8 ) 7 fiekildeki üçgenine göre afla dakilerden hangisi do rudur? ) c < a < b ) a < b < c ) c < b < a ) b < a < c c 66 a b 8 cm 11 cm 12 cm 136 Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi ) 18 ) 20 ) 34 ) Yukar daki flekilde, ve noktalar do rusald r. ve tam say oldu una göre verilenlere göre nin en büyük tamsay de eri kaçt r? ) 19 ) 20 ) 21 ) 22 Yonca'n n evi ce'nin evi Melisa'n n evi sl 'n n evi Zeynep'in evi fiekildeki kenarlar tam say olan dörtgeni ikizkenar yamuktur. =, = 8 cm, = 12 cm ve = 11 cm oldu una göre, ikizkenar yamu unun çevresinin uzunlu unun en küçük tamsay de eri kaçt r? Yukar daki krokide 5 arkadafl n evleri aras ndaki do rusal yollar n oluflturdu u aç lar verilmifltir. una göre hangi iki ö rencinin evleri aras ndaki mesafe en k sad r? ) ce Melisa ) sl Zeynep ) 22 ) 24 ) 28 ) 29 ) Melisa Yonca ) Yonca ce - 97

24 K ÜÇGN P SGOR INTISI ir dik üçgende dik kenarlar n uzunluklar n n kareleri toplam hipotenüsün uzunlu unun karesine eflittir. K 26 cm c (ik kenar) b (ik kenar) a (Hipotenüs) a 2 = b 2 + c 2 dir. L 24 cm fiekildeki dik üçgende verilenlere göre, KL = kaç cm dir? M 6 cm 13 cm Verilen dik üçgenine göre kaç cm dir? 4 cm 3 2 cm Verilen dik üçgenine göre kaç cm dir? Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Çözüm : fiekildeki dik üçgende verilenlere göre = kaç cm dir?

25 Not: Muhteflem Üçlü Kural 20 cm V a fiekildeki dik üçgende verilenlere göre uzunlu u kaç cm dir? Örnek fiekildeki dikdörtgeninin köflegeninin uzunlu u k sa kenar n n uzunlu unun iki kat oldu- una göre kaç cm dir? 5 cm Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. ir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay n uzunlu u hipotenüsün uzunlu unun yar s na eflittir. fiekilde = = dir. Verilen dik üçgeninde [], kenar n n kenar ortay d r. una göre kaç cm dir? 6 cm 6 cm - 99

26 Kenarlar n n tamam tamsay olan dik üçgenler 1) 3 4 ve 5 dik üçgeni 2) 5 12 ve 13 dik üçgeni cm 6 cm Verilenlere göre kaç cm dir? y 12 cm 16 cm Verilenlere göre y kaç cm dir? Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 10 cm 24 cm Verilenlere göre kaç cm dir? 39 cm y 36 cm Verilenlere göre y kaç cm dir? - 100

27 3) 8 15 ve 17 dik üçgeni 4) 7 24 ve 25 dik üçgeni cm 15 cm Verilenlere göre kaç cm dir? 1,6 m 3 m Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Verilenlere göre kaç cm dir? cm 14 cm 48 cm (+2) cm ( + 4) cm Verilenlere göre diküçgenin çevre uzunlu u kaç cm dir? Verilenlere göre kaç cm dir? - 101

28 10 cm 12 cm 10 cm 15 cm (+1) cm Yukar da verilen iki do ru parças ile afla daki do ru parçalar ndan hangisi birlefltirilirse oluflan üçgen genifl aç l olur? 26 cm y ) 10 cm Verilenlere göre y kaç cm dir? ) 8 cm ) 12 cm Verilen dik üçgeninde a 2 + b 2 +c 2 = 128 ise a kaçt r? b a c Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. ) 4 cm - 102

29 8. S n f 3. Kitap Örnek fla daki üçgenlerin dar, dik veya genifl aç l olduklar n bulup altlar na yaz n z. 6 cm 8 cm 8 cm 7 cm 7 cm 10 cm 12 cm Yukar daki üçgende; a) s() > 90 ise [] nin alaca de erleri bulunuz. b) s() < 90 ise [] nin alaca de erleri bulunuz. c) s() > 90 ise [] nin alaca de erleri bulunuz. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 5 cm 2 3 cm 3 2 cm 4 cm 5 cm 13 cm 6 cm 9 cm 5 cm 9 cm - 103

30 P SGOR INTISI ÇLIfiM TST y y z 5 y 2. Yukar daki dik üçgenlere göre z nin de erini bulunuz. 20 cm 20 cm? Uzunluklar eflit olan iki ç ta birbirine dik olacak flekilde yap flt r l p bir elbise ask s yap l yor. Ç - talar n uzunluklar 20 cm oldu una göre alt na yap flt r lacak parçan n uzunlu u kaç cm olmal d r? 3. 1 Yandaki flekilde verilenlere göre in de- 1 erini bulunuz. 1 1 Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 5. ir oyun park ndaki kayd rakta oynayan Zeynep her seferinde yere dik duran 150 cm uzunlu undaki merdivene t rman p kay yor. Tekrar kayabilmesi için uzunlu u 250 cm olan kayd ra- n bitiminden merdivene kadar kaç m yürümelidir? cm Yukar daki flekilde [] [] ve [] [] dir. = 3 cm, = 4 cm, = 2 cm oldu- una göre kaç cm dir? 6. ir kar nca yuvas ndan 4 m güneye, 24 m do- uya ve 3 m tekrar güneye yürürse annesinin yuvas na var yor. Yukar da verilenlere göre, kar ncan n evinden annesinin yuvas na en k sa uzakl k kaç m dir? 2-104

31 m m fiekildeki noktas ndan noktas na ulaflmak isteyen bir sincab n alaca en k sa yol kaç m dir? 3 m üçgeninde = 17 cm, ve = 28 cm dir. noktas n n [] na en k sa uzakl 15 cm ise kaç cm dir? K 8 fiekildeki üçgeninde s(k) = 90 ve K = 3 cm, = 5 cm ve K = 8 cm ise = uzunlu unu hesaplay n z. 4 2 Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi Yukar daki flekilde bir dik üçgen [] [] ve = 17 cm, = 15 cm, = 12 cm oldu una göre = kaç cm dir? 6 cm 8 cm fiekildeki üçgeninde [] [] dir. = 5 cm, = 4 cm ve = 2 cm ise kaç cm dir? Yukar daki flekilde ve dik üçgenlerinde = 3 cm ve = 5 cm oldu una göre kaç cm dir? - 105

32 13. Yandaki flekilde [] [] 16. y 5 10 [] [] dir. = 5 10 br, Kaz m 12 5 = 12 br ve = 5 br ise 1 dm 1 dm 1 dm 14. ( + y) toplam kaç br dir? fiekilde verilenlere göre i hesaplay n. 15. Yandaki flekilde [] [], [] [] dir. = 3 cm, = 2 cm, = 6 cm Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 17. Kaz m el arabas ndaki yükü yüksekli i 1 dm, geniflli i 1 dm olan flekildeki 4 basamakl merdivenin üzerine tahta koyarak tafl mak istiyor. Kaz m merdivenlerin üzerine en az kaç dm uzunlu unda bir tahta koymal d r? 2 cm 7 cm fiekilde s() = s() = 90, = 2 cm, = 7 cm, 5 cm = 5 cm ise 2 kaç cm dir? oldu una göre, uzunlu unu hesaplay n

33 ÜÇGNLR fil K ve NZRL K 8. S n f 3. Kitap fl Üçgenler : ki üçgen aras nda yap lan birebir efllemeye göre karfl l kl kenarlar ve karfl l kl aç lar efl olan üçgenlere denir. ve üçgenlerinin eflli i biçiminde gösterilir. 2) K özelli i : Karfl l kl ikifler aç lar ile bu aç - lar aras ndaki kenarlar efl olan üçgenler efltir. Üçgenlerde fllik Özellikleri : 1) KK özelli i : Karfl l kl ikifler kenar ile bu kenarlar aras ndaki aç lar efl olan üçgenler efltir. efllemesine göre =, = ve s() = s() ise dir. Yukar daki verilenlere göre kaç cm dir? 50 6 cm 10 cm 7 cm 6 cm 10 cm 50 Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. efllemesine göre s() = s(), s() = s() ve = ise dir cm 6 cm Yukar daki verilenlere göre kaç cm dir? 13 cm cm

34 3) KKK özelli i : Karfl l kl kenarlar efl olan üçgenler efltir. Üçgenlerde enzerlik Özellikleri : 1) Temel benzerlik özelli i : ir üçgenin kenarlar ndan birine çizilen paralel do runun oluflturdu u üçgenler ilk üçgene benzerdir. efllemesine göre =, =, = ise dir. I. flekil II. flekil 8 cm 5 cm Verilenlere göre iki üçgen aras ndaki efllik ba- nt s n yaz n z. 11 cm enzer Üçgenler : ki üçgen aras nda yap lan birebir efllemeye göre karfl l kl aç lar efl ve karfl l kl kenarlar orant l olan üçgenlere denir. 8 cm 11 cm Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. []//[] ise []//[] ise = ; = = = = dir. [NP] // [M] dir. Verilenlere göre iki üçgen aras ndki benzerlik ba nt s n yaz n z. M N K P L ve üçgenlerinin efllemesine göre benzerli i biçiminde gösterilir. enzer iki üçgenin karfl l kl kenarlar n n oran olan k pozitif reel say s na benzerlik oran denir

35 12 cm 8 cm 10 cm [] // [KL] dir. Verilenlere göre iki üçgen aras ndaki benzerlik ba nt s n yaz n z. [] // [] dir. Verilenlere göre kaç cm dir? L 4 cm 6 cm 6 cm K Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. [] // [] dir. Verilenlere göre kaç cm dir? 2) benzerlik özelli i : Karfl l kl ikifler aç s efl olan üçgenler benzerdir. efllemesine göre s() = s() ve s() = s() ise dir. [] // [] dir. = 5 2 ise kaçt r? - 109

36 16 cm 9 cm 8 cm Yukar da verilenlere göre kaç cm dir? 3) KK benzerlik özeli i : Karfl l kl iki kenar uzunluklar orant l, bu kenarlar aras ndaki aç lar efl olan üçgenler benzerdir. c 12 cm efllemesine göre; b = ve s() = s() ise e dir. 6 cm 6 cm a d a b 80 f d 60 e Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Verienlere göre kaç cm dir? Verilenlere göre kaç cm dir? 70 4) KKK benzerlik özeli i : Karfl l kl üçer kenar - n n uzunluklar orant l olan üçgenler benzerdir. c 50 efllemesine göre; b c = = = k ise e f dir. 18 cm cm 10 cm a b 20 cm f 50 6 cm d e cm - 110

37 16 cm 10 cm 5 cm 8 cm 8 cm 4 cm Yukar da verilenlere göre iki üçgen aras ndaki benzerlik ba nt n yaz n z fiekilde s() = s(), = 12 cm, = 9 cm ve = 6 cm ise kaç cm dir? Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Δ Δ ve 8 cm Ç( Δ ) = 2Ç( Δ ) ve 12 cm 10 cm 15 cm fiekilde s() = s() dir. Verilenlere göre = kaç cm dir? Not: enzer iki üçgenin çevreleri, yükseklikleri, kenarortaylar, aç ortaylar oran benzerlik oran na; alanlar oran ise benzerlik oran - n n karesine eflittir. ( Δ ) = 12 cm 2 ise () kaç cm 2 dir? 6 fiekilde s() = s() dir. = 6 cm ve = 3 ise kaç cm dir? 5-111

38 ÜÇGNLR fil K ve NZRL K LIfiTIRM V ÇLIfiM SORULRI fiekilde; [] // [] dir. = 3 cm, = 7cm, =, = +2 ise kaç cm dir? Yukar daki flekilde; [] // [] dir. = 18 cm, = 24 cm ve = 28 cm oldu una göre kaç cm dir? Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 4. fiekilde [] [] ve [] // [] dir. = 6 cm, = 12 cm ve = 12 cm ise kaç cm dir? 8 cm Yukar daki flekilde s() = s(), [] [] ve [] [] dir. = 8 cm ve = 10 cm ise kaç cm dir? 10 cm - 112

39 fiekilde s() = s() = s() = 90 = 3 cm, = 9 cm, = 5 cm ise kaç cm dir? Yukar daki üçgeninde; [] aç ortay, [] // [], = 4 cm, = 8 cm ise kaç cm dir? 6. Yukar da verilen üçgeninde s() = s() = 4 cm, = cm = 12 cm ve = + 2 cm oldu una göre kaçt r? Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi üçgeninde; s() = s(), = 6 cm ve = 2 cm ise = kaç cm dir? - 113

40 m m fiekilde [] // [], = 6 cm, = 4 cm, = 11 cm ve [] aç ortay ise kaç cm dir? Yukar daki flekilde k sa a ac n gölgesinin uzunlu u 5 metredir. una göre, iki a aç aras mesafe kaç m dir? 10. Kenar uzunluklar 6 cm, 6 cm ve 9 cm olan bir üçgene benzer olan ikinci bir üçgenin çevresi 14 cm oldu una göre bu üçgenin kenar uzunluklar n bulunuz? Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 12. G fiekildeki üçgeninde [] // [], 5 G = 3 G, = 16 br ise G kaç br dir? - 114

41 13. 7 cm cm fiekilde [] // [] // [] olmak üzere; = 7 cm = 35 cm ve = kaç cm dir? = 2 5 ise fiekilde [] // [] // [] dir. = 5 ve = 12 cm oldu una göre + kaçt r? 14. K Yukar daki flekilde [] // [K], = 6 cm ve = = ise K kaç cm dir? Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi cm 2 cm 8 cm Yukar daki flekilde [] [] ve [] [] dir. = 8 cm, = 2 cm ve = 6 cm oldu una göre üçgeninin çevresinin uzunlu unu hesaplay n z

42 cm y Yol 4 6 cm 40 m 30 m 50 m 4 cm Yukar daki flekilde [] // [] dir. Verilenlere göre + y kaçt r? 18. Yukar da verilen krokide li yol kenar ndaki trafik fl n n karfl s nda durmaktad r. Verilenlere göre yolun geniflli i kaç m dir? (3 5) 70 cm (4a 2) cm Yukar daki ve üçgenleri efl üçgenler ise ve a kaçt r? 70 Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi cm 15 cm 5 cm 4 cm Yukar daki flekilde s() = s() ve = 12 cm, =15 cm, = 21 cm, = 5 cm, = 4 cm oldu una göre kaç cm dir? - 116

43 ÜÇGNLR fil K ve NZRL K TST cm cm y fiekildeki üçgeninde 2. fiekilde, = 8 cm = 12 cm, = 18 cm dir. [] // [] olmas için kaç cm olmal d r? ) 9 ) 10 ) 12 ) fiekilde [] // [] dir. = 9 cm, = 3 cm ve = 12 cm ise, = kaç cm dir? 3 Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 4. s() = s() dir. Verilenlere göre y kaçt r? ) 7 ) 9 ) 12 ) fiekilde s() = s() dir. = 3 cm = 2 cm, = 4 cm, = 6 cm ise, = kaç cm dir? 6 ) 7 ) 6 ) 5 ) 4 ) 7 ) 8 ) 9 )

44 5. 7. cm cm 3 cm Yukar daki flekilde [] // [] = 2. s() = s() = s() ve = 4 cm ise kaç cm dir? fiekildeki üçgeninde,, noktalar kenarlar üzerinde olup paralelkenard r. = 2 cm, = 2 2 cm ve = 3 cm ise kaç cm dir? ) 6 ) 9 ) 18 ) ) 4 ) 8 ) 12 ) fiekilde verilenlere göre uzunlu u afla - dakilerden hangisidir? ) 10 ) 12 ) 14 ) 16 8 Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 8. Yukar daki flekilde, // // dir. = 2 cm, = 3 cm, = 4 cm ise = kaç cm dir? ) ) 4 ) 8 )

45 cm K 4 cm L fiekildeki üçgeninde; [] // [] ve [] // [] dir. = 5 cm, = 10 cm ise fiekilde [] // [KL] // [] dir. kaç cm dir? = 12 cm, KL = 4 cm oldu una göre, kaç cm dir? ) 10 ) 15 ) 20 ) ) 3 ) 4 ) 6 ) 8 12 cm 3 cm [] [], [] [] dir.,, noktalar ayn do ru üzerinde olmak üzere, s() = s(), = 12 cm, = 3 cm ve = 20 cm oldu una göre, kaç cm olur? ) 10 ) 12 ) 16 ) 18 Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi fiekilde [] [] ve [] [] dir. = 2 cm, = 3 cm ve = 5 cm ise = kaç cm dir? ) 10 ) 9 ) 8 ) 7-119

46 G 16/3 Yukar daki flekilde s() = s(), = 9 cm, = 6 cm, = 16 cm ise 3 kaç cm dir? fiekilde [] // [], [G] // [], = 3 4 ve G = 3 cm ise = kaç cm dir? 14. ) 12 ) 10 ) 9 ) 8 G fiekilde [] // [], G = 2. = 2. G ve = 8 cm ise kaç cm olur? ) 9 ) 10 ) 11 ) 12 8 cm Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 16. ) 6 ) 9 ) 12 ) Yukar daki flekilde [] [], [] [], [] [] dir. = 12 cm, = 5 cm, = 4 cm ise = kaç cm dir? ) 8 ) 9 ) 10 )

47 dik üçgeninde s() = 90 ve [] [] dir. = 12 cm, = = 8 cm ise kaç cm dir? fiekilde; s() = s() = s() = 90 dir. 18. ) 3,6 ) 4,2 ) 4,8 ) 5,4 6 4 fiekilde; = 4 cm = 6 cm = 12 cm ise ( Δ ) kaç cm 2 dir? ) 108 ) 115 ) 121 ) Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. Y Özel inal ersanesi flletmecili i.fi. 20. = 5 cm, = 12,5 cm ve = 30 cm ise + kaç cm dir? ) 67,5 ) 54,5 ) 45,5 ) 43,5 Ifl k Gürkan Hoca Gürkan Hoca'n n Gölgesi fiekilde Ifl k ile Gürkan Hoca aras ndaki mesafe 40 cm, Ifl k ile perde aras ndaki mesafe 120 cm dir. Gürkan Hoca'n n boyu 1.80 m oldu una göre; perdeki gölgesinin uzunlu u kaç cm dir? Perde ) 180 ) 240 ) 540 )