ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

Transkript

1 5 Eylül 00 Resmi Sınavı (rof Dr Ventsislav Dimitrov) Konu: Döngüsel süreçlerin ermodinamiği Soru Diyagramdaki döngüsel süreç iki izobar ve iki izotermal süreçten oluşuyor V V Eğer diyagramdaki - noktaları için α ve ise V V (burada α bir sabittir), ne kadardır? Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için nr olarak alalım, burada n mol sayısı R ise gaz sabitidir Buna göre bir n mol miktarda ideal gazın denklemi V şekline geliyor Diyagrama göre ve (- süreci bir izotermdir) Buradan V ynı şekilde V (- süreci bir izotermdir) Bu iki V V denklemden Verilere göre VV α, buradan α (Cevap) V V VV

2 Soru n mol miktarda olan helyum gazının V diyagramdaki döngüsel süreci bir izobardan (-) ve iki tane lineer süreçten oluşuyor İzobar sürecinde gaz W miktarda iş yapıyor ve sıcaklığı dört katına çıkıyor ve durumlarında sıcaklık aynıdır V diyagramda ve noktalarından geçen doğru koordinat sistemin başlangıç noktasından geçmektedir Bu verilere göre gazın sıcaklığı durum de ne kadardır? Bir döngüsel süreçte gazın yaptığı toplam iş ne kadardır? Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için nr olarak alalım Buna göre ideal gazın denklemi V nr t oluyor, burada t birimi enerji boyutunda olan mutlak t sıcaklıktır, yani Verilere göre t t V, buradanv V olduğu nr W gözleniyor Verilere göre W ( V V) t Buradan t ye olduğunu W buluruz Boyutlu şeklinde ise nr (Cevap) Doğru - başlangıç noktadan geçtiğine göre doğrunun denklemi av dir, burada t α bir sabittir Nokta için av av a, buradan a buluruz Nokta t t t için ise av a a Buradan at Gaz bir döngüde yaptığı iş sayısal olarak V diyagramdaki -- üçgenin alanına eşittir: t W W t ( )( V V) W t (Cevap)

3 Soru Bir mol miktarda helyum gazının V diyagramdaki -- döngüsel süreçte yaptığı işi bulunuz Süreç bir adiabat (-), bir izobar (- ) ve bir izokordan (-) oluşmaktadır diabat sürecinde en yüksek ile en düşük sıcaklık arasındaki fark dir İzobar sürecinde ise gazdan miktarda ısı alınıyor Çözüm: Birinci yasaya göre bir döngüsel süreçte bir sistemin yaptığı iş (W) sisteme verilen net ısıya ( t ) eşittir (veya verilen ısı eksi alınan ısıya eşittir) Diyagrama göre sisteme verilen net ısı W t C( ) ) + CV( ) ) + CV( ) ), () burada izobar süreçte gazdan alınan ısı miktarı, C ve ise C v sabit basınç ve sabit hacim koşullarında ısı kapasiteleridir Verilere göre () C γ V diabat denkleminden sıcaklığın hacmin monoton azalan bir fonksiyonu V olduğu gözleniyor, yani diyagramdaki adiabatik süreçte en yüksek sıcaklık, en düşük ise dir: verilere göre () Denk(-) ten + buluruz ve Denk() ye göre C CV C CV 5 W + + CV CV Helyum için C R ve C R C C Buradan W R (Cevap) 5

4 Soru Bilinen bir miktarda helyum gazı pistonu hareketli olan bir silindir içinde bulunmaktadır Sabit basınç altında gaz durum den durum ye kadar ısıtılıyor (şekildeki V diyagrama göre) Bu süreçte gaz miktarı kadar iş yapıyor rdından - sürecinde gazın üzerine - miktarında iş yaparak (- >0) gaz basıncı hacimle orantılı olarak şeklinde sıkıştırılıyor Son olarak - adiabatik sürecinde gaz sıkıştırılıyor ve başlangıç duruma getiriliyor - adiabatik sürecinde gazın yaptığı işi ( ) bulunuz Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için nr alınmıştır, buna göre ideal gazın denklemi V oluyor Bir döngüsel süreçte sistemin yaptığı net iş () sisteme verilen net ısıya () eşittir: Örnekte () - süreci adiabatik olduğuna göre 0 - süreci ise izobardır C( ) ermodinamiğin birinci yasasına ve verilere göre C ( ) U U + C ( (U sistemin iç enerjisidir) V ) + C Buradan C( ) C C V CV () C CV 5 (Helyum gazı için C V nr vec nr dir) - sürecinde verilere göre av burada α bir sabittir veya V av av Bu süreçte sistemin yaptığı iş dv avdv δ d( av ) d, yani ( ) Birinci yasaya göre U U + CV ( + ) CV ) CV ( () Denk() ye göre ( ) + ( ) + (Cevap)

5 Soru 5 Döngüsü - izoterminden, - izokorundan ve - adiabatından oluşan bir ısı makinen verimi η dir, döngünün en yüksek ve en düşük sıcaklıkları arasındaki fark ise dir Buna göre n mol miktarda olan bir atomlu ideal gaz izoterm sürecinde ne kadar iş yapacaktır? Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için nr alınmıştır, buna göre ideal gazın 5 denklemi V, ısı kapasiteleri ise C ve CV oluyor Verilere göre makine sadece izoterm süreçte V ln V () miktarda ısı alıyor ve sadece izokor süreçte açığa CV( ) () miktarda ısı veriyor Verimin tanımına göre η Buradan η veya nr, boyutlu şeklinde ise (Cevap) η η ( )

6 Soru 6 V diyagramdaki --- döngüsünün verimi η, --- in ise η dir ---- döngüsünün verimini bulunuz - ve - süreçleri izokor, - izobar, - ve - ise basıncın hacmin lineer fonksiyonu olduğu süreçlerdir Döngülerde süreçlerin yönü saat yönündedir Makinede çalışan gaz ideal gazdır Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için nr alınmıştır, buna göre ideal gazın 5 denklemi V, ısı kapasiteleri ise C ve CV oluyor Önceden farklı süreçlerde makine ısı aldığı almadığını açıklayalım - ve - lineer süreçle için a+ bv burada a ve b negatif olmayan sabitlerdir Buna göre av + bv ve a+bv 0, yani hacimle artan bir fonksiyondur Buradan CV + > 0 ( lineer süreçte yapılan pozitif iştir) - sürecinde sisteme verilen ısı, - de ve - sürecinde ise olsun --- döngüsünde yapılan iş, --- döngüsünde ise olsun - ve - süreçlerinde sistemden ısı alınmaktadır Bu açıklamalara göre ve verimin tanımına göre η + η () + η + ynı anda birinci yasaya göre dönge --- için + ( η) Buradan + η+ η η+ η( η) ( η+ η ηη) Denk() re göre η η+ η ηη (Cevap)

7 Soru 7 Bilinen bir miktarda olan gazın yaptığı döngüsel süreç iki izobar ve iki izokor süreçlerden oluşuyor (şekildeki gibi) Bu süreçler,, ve noktalarında kesişiyor ve noktalarında sırasıyla sıcaklık ve eşittir, ve noktalardan geçen doğru koordinat sistemin başlangıç noktasından geçiyor Bu verilere göre ve noktalardaki sıcaklığı bulunuz Çözüm : Yazıları daha kısa yazmak için nr birim olarak alalım Verilere göre O- - doğrultusunda av burada α bir sabittir Buna göre av ve V av V veya V V () İdeal gaz denklemine göre () Denk() de kullanılırsa buluruz Denk() den () V V V Yani, (Cevap) Çözüm : Yazıları daha kısa yazmak için, V ve nr sırasıyla basınç, hacim ve gaz sabiti birimi olarak alalım Buradan ve nokta eğimi olan doğrultuda olduğuna göre V ye eşittir Gaz denklemine göre V, buradan V Buradan ve V Boyutlu şeklinde ise (Cevap)

8 Soru 8 n mol miktarda olan helyum gazı V diyagramdaki döngüsel süreçte yer almaktadır Süreç iki izobar ve iki izokordan oluşuyor - izokor sürecinde gaza miktarda ısı aktarılıyor ve bu süreçte gazın sıcaklığı katına çıkıyor Durum ve te sıcaklıklar aynıdır, doğru - ise koordinat sistemin başlangıç noktasından geçiyor Bu verilere göre durum de gazın sıcaklığını ve gazın döngüsel süreçte yaptığı işi bulunuz Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için, V ve nr sırasıyla basınç, hacim ve gaz sabiti birimi olarak alalım (Buna göre E 0, 0 sırasıyla enerji ve sıcaklık birimi, ısı kapasitesi ise C V nr oluyor) denkleminden Nokta, --0 doğrultusunda bulunduğuna göre eğimi ve V Verilere göre 9 Gaza - sürecinde verilen ısı CV ( ) ) dir 9, boyutlu biçiminde ise 9nR (Cevap) Gaz denklemine göre durum için V, buradan V Durum için ise Buradan -- üçgenin alanı ( )( V V), boyutlu biçiminde ise nr (Cevap) 9

9 Soru 9 - adiabatından, - izoterminden ve - izobarından oluşan süreçte (şekildeki gibi) bir miktar helyum gazı miktarda iş yapmaktadır Eğer süreçteki en yüksek ve en düşük sıcaklık arasında fark ise gaz izoterm sürecinde ne kadar iş yapıyor? Çözüm: - izoterm sürecinde termodinamiğin birinci yasasına göre δdv <0 çünkü bu süreçte hacım azalıyor, yani sistemden ısı alınıyor İzoterm sürecinde sistemden alınan ısı miktarı olsun İzobar sürecinde ise (-) sisteme verilen ısı miktarı 5 ( ) C R > 0 () V çünkü denklemine göre hacim artınca sıcaklık ta artıyor - adiabat R sürecinde ise sistemin sıcaklığı devamlı azalıyor: ermodinamiğin birinci yasasına göre () İzoterm süreçte () 5 Denk(-) ten R (Cevap)

10 Soru 0 Bilinen bir miktarda helyum gazı pistonu hareketli olan bir silindir içinde bulunmaktadır Gaz üzerine W (W >0) miktarda iş yapılarak gaz - adiabatik sürecinde durum den durum ye kadar sıkıştırılıyor (V diyagramdaki gibi) rdından gaz - izoterm sürecinde durum den durum çe kadar genişliyor Son olarak gaz durum ten basıncı hacmine orantılı olarak şeklinde ilk duruma kadar sıkıştırılıyor Eğer tüm --- sürecinde gaz miktarda iş yaparsa gaz - izoterm sürecinde ne kadar iş ( ) yapacaktır? Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için, V ve nr sırasıyla basınç, hacim ve gaz sabiti birimi olarak alalım (Buna göre E 0, 0 sırasıyla enerji ve sıcaklık birimi, ısı kapasitesi ise C V nr oluyor) denkleminden V Nokta, --0 doğrultusunda bulunduğuna göre eğimi ve V Verilere göre - izoterm sürecinde gaza verilen ısı () - lineer sürecinde sistemden alınan ısı ise olsun: CV +, () ( ) Burada ( + )( V V ) ( + )( ), yani ( ) () ( ) + ( ) ( ) (), buradan ( ) (5) ermodinamiğin birinci yasasına göre ( ) Sistemin yaptığı toplam iş: + + W + W + buradan W veya + W (Cevap) ( ) W +,