İstatistiksel Karar Verme

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İstatistiksel Karar Verme"

Transkript

1 İstatistiksel Karar Verme Yazar Doç.Dr. Ahmet ÖZMEN ÜNİTE 8 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; istatistiksel hipotezlerin kurulmasında ve test edilmesinde kullanılan kavramların tanıtımı istatistiksel hipotezlerin test edilmesi sürecinde yapılan işlemler hakkında gerekli bilgi verilmesi istatistiksel karar verme konusunda nitelik kazandırılmış olur. İçindekiler Giriş Hipotez Testi İle İlgili Kavramlar Hipotez Testi Sürecinde Adımlar Bazı Parametrelere İlişkin Test Uygulamaları Özet Değerlendirme Soruları Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar

2 Çalışma Önerileri Bu üniteyi kolayca anlayabilmek için örnekleme teorisi ve istatistiksel tahmin isimli üniteleri özümsemiş olmanız gerekir. Bir istatistik kitabından "dağılımlar" konusunu gözden geçirmenizde yarar vardır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

3 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME Giriş Örnekleme teorisi, evren parametrelerinin tahmin edilmesinin yanında istatistiksel hipotezlerin test edilmesine de imkan verir. Çünkü, günlük hayatımızda ve bilimsel araştırmalarda bir örneklemin hasaplanan değerlerini kullanarak evren parametreleri hakkında sık sık kararlar verilmeye çalışılmaktadır. Örneğin, üniversitemizde öğrenim gören öğrenciler arasında sigara içenlerin oranının en az %65 olduğu; A öğretim yönteminin B öğretim yönteminden daha etkin olduğu; x ekmek fabrikasında üretilen ekmeklerin ortalama ağırlığının 450 gram olduğu iddiaları doğru mudur? Bu soruların yanıtlanabilmesi, başka bir deyişle bu hipotezlerin örneklem istatistiklerinden yararlanarak test edilmesi amacıyla geliştirilmiş ve uzun yıllar başarıyla uygulanan yöntem, istatistiksel Hipotezlerin Testi yöntemidir. Bu yöntemde, üzerinde araştırma yapılacak olan evrenden rassal seçimle oluşturulmuş bir örneklemin birimleri üzerinden ilgilenilen değişken itibariyle bilgiler derlenir. Örneklem istatistikleri hesaplanır. Bu istatistiklerden yararlanarak araştırmaya başlamadan önce evren parametre değeri hakkında ileri sürülen hipotezin (iddianın) doğru, geçerli olup olmadığı konusunda karar verilmeye çalışılır. Verilecek karara istatistiksel karar adı verilmektedir. İstatistiksel kararın verilebilmesi, bir başka ifadeyle istatistiksel hipotezlerin testi sürecinde hipotezlerin kurulması, bu hipotezlerden birinin seçilmesi (kabul edilmesi) veya seçilmemesi (red edilmesi) için araştırmaya konu olan evren, bu evrenden alınan örneklem ve ilgilenilen evren parametre tahminleyicisinin dağılımı hakkında belirli varsayımların yapılması gerekir. Bu kısımda önce konuyla ilgili kavramlar açıklanacak daha sonra uygulamada sıkça ilgilenilen evren parametreleri µ, π, µ 2 - µ 1, π 2 - π 1 için hipotez sınamalarının nasıl yapıldığını göstermek suretiyle istatistiksel karar verme niteliği kazandırılmaya çalışılacaktır. 2. Hipotez Testi İle İlgili Kavramlar 2.1 İstatistiksel Hipotezler Üzerinde alıştırma yapılacak bir evrenin, ilgilendiğimiz bir θ (µ, π, µ 2 - µ 1, π 2 - π 1 ) parametresenin değeri hakkında ileri sürülen ve doğruluğu, geçerliliği olasılık ilkelerine göre araştırılabilen hipotezlere (ön savlara) istatistiksel hipotezler, adı verilir. İstatistiksel hipotezlerde hipotez bir frekans dağılımını ifade eder. Bir istatistiksel hipotez doğru ya da yanlış olabilir. Çünkü bu bir beyandır; deneyime ve/veya varsayıma dayanmaktadır. Gerçeği öğrenmek için tam sayım yapmak gerekir. Ancak örnekleme yapmayı gerekli kılan nedenlerden dolayı bu mümkün değildir. Bu durumda istatistiksel hipotezlerin geçerliliği, doğruluğu konusunda AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

4 142 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME karar verebilmek için bu hipotezlerin q örneklem istatistiklerinden ve onların bölümleriyle ilgili bilgilerden yararlanarak test edilmesi gerekir. İstatistiksel hipotezlerin testinde iki hipotez sözkonusudur. Bunlar; sıfır hipotezi ve karşıt hipotez olarak isimlendirilirler Sıfır Hipotezi Bu hipotez H 0 sembolleriyle gösterilir ve hangi hipotezin test edileceğini ifade eder. H 0 hipotezi evren parametre değeri θ hakkında ileri sürülen ön savı göstermektedir. H 0 hipotezinin kurulmasında esas, test süreci tamamlayıncaya kadar örneklem istatistiği q değeri ile θ parametresinin değeri hakkında ileri sürülen belli bir θ 0 değeri arasındaki farkın örnekleme hatasından kaynaklanabileceği, bu iki değer arasında gerçekte bir fark bulunmadığı, farkın sıfır olduğu hususunun bir hipotez şeklinde doğru kabul edilmesidir. Bu açıklamaların ışığında H 0 hipotezi genel parametre θ için; H 0 : θ = θ 0 şeklinde kurulur. q değeri ile θ 0 değeri arasındaki farkın tam sayım yapılmamasından, örneklemeye başvurulmasından kaynaklandığının tayini statistiksel bir testin uygulamasını, yani H 0 hipotezinin test edilmesini gerektirir. Bu test sonucunda sözkonusu fark seçilen bir anlamlılık düzeyinde örnekleme hatalarından kaynaklanabilecek kadar küçük yani anlamsız ise H 0 hipotezi kabul edilir. Aksi halde H 0 hipotezi reddedilir Karşıt Hipotez H 0 hipotezinin test edilebilmesi için, bu hipotezden farklı başka bir hipotezin daha ileri sürülmesi gerekir. H 1 semboluyle gösterilen bu hipoteze karşıt hipotez adı verilir. Karşıt hipotez H 0 hipotezini çürüterek ve bu hipotezin reddedilmesi durumunda kabul edilecek olan hipotezdir. H 1 hipotezi, verilecek kararın niteliğine ve örneklem istatistiğinin değerine bağlı olarak çeşitli karar verme problemlerinde aşağıdaki üç farklı şekilden biri ile kurulur. H 1 : θ = θ 0 H 1 : θ > θ 0 H 1 : θ < θ 0 Hipotez testlerinde H 1 hipotezi, testin yönünü ve H 0 hipotezinin red bölgesinin yerini belirleyen hipotezdir. Bu konuyla ilgili bilgileri "hipotezlerin ifade edilmesi" başlığı altında görebilirsiniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

5 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 143 Bir istatistiksel testte, H 0 ve H 1 hipotezleri θ parametresinin gerçek değeri ile ilgili birer hipotez olarak birlikte düşünüleceği için, bunlara hipotezler adı verilmektedir. İzleyen kısımlarda "hipotezler" dendiğinde H 0 ve H 1 hipotez takımı anlaşılmış olacaktır İstatistiksel Hipotez Testi - İstatistiksel Karar Verme İstatistiksel hipotez testi ile istatistiksel karar verme arasında teorik esaslar yönünden bir fark yoktur; uygulamada istatistiksel testler istatistiksel karar verme amacıyla uygulanmaktadır. Bir hipotez veya onu çürütecek bir başka hipotezden birinin q (X, P 1, X 2 - X 1, P 1 - P 2 ) örneklem istatistiğinden yararlanmak suretiyle seçilmesine yönelik çalışmaya istatistiksel karar verme veya istatistik hipotez testi adı verilir. Örneklem istatistikleri aynı hacimli farklı örneklemlerde farklı değerler alabildiği için, q - θ > 0, q - θ = 0 ve q - θ < 0 gibi farklar olabilir. Bu nedenle istatistiksel test sonucu verilecek kararın isabetli olduğu konusunda kesin bir karar verilemez. Fakat olasılık teorisinden yararlanmak suretiyle, eğer hipotez doğru ise, örneklem istatistiklerinin hangi değerler arasında değer alabileceğini belirlemek mümkün olabileceği için, istatistiksel test ile hipotezin ne derece güvenle kabul veya reddedileceğini belirlemek olanaklı olmaktadır. Yani, burada önemli olan q - θ farklarının istatistiksel yönden anlamlı olup olmadığını belirlemektir. Başka bir anlatımla, farkların gerçek değişmeyi mi açıkladığı yoksa tesadüfi (rassal) olarak mı meydana geldiğini belirlemektir 2.3. I.Tip Hata ve II. Tip Hata Aynı evrenden rassal olarak oluşturulan aynı hacimli olası örneklemlerde örneklem istatistiğinin farklı değerler aldığı daha önce açıklanmıştı. Bu açıklama nedeniyle, bir evren parametresi olan θ hakkında kurulan hipotezler test edilirken örneklem istatistiği q kullanıldığı zaman iki tür yanlış karar verme riski vardır. Bir istatistiksel hipotez testinde yanlış karar verme sonucu işlenen hataya çıkarsama hatası adı verilir. Çıkarsama hataları I.tip hata ve II.tip hata adlarıyla anılmaktadır. H 0 hipotezi gerçekte doğru iken, örneklem istatistiğini kullanarak yapılan test sonucunda H 0 hipotezinin reddedilmesi durumunda işlenen hataya I.Tip hata adı verilir. I.Tip hata işleminin riskine (olasılığına) α riksi denir. Hipotez sınamalarında yapılabilecek diğer hata, II.tip hata ise, H 0 hipotezi gerçekte yanlış iken, H 0 hipotezinin kabul edilmesi durumunda işlenen hatadır. II.tip hata işleminin olasılığı β riski olarak isimlendirilir. I.tip hata ve II.tip hata matematiksel olarak hesaplanabilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

6 144 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME Bir hipotez testinde amaç, H 0 hipotezini ya kabul etmek ya da reddetmektir. H 1 hipotezinin kabul edilmesi veya reddedilmesi dolayısıyla ortaya çıkan karardır. Bu nedenle aynı hipotez testinde I.tip ve II.tip hatadan yalnız biri söz konusu olabilir. Yani iki tür hatayı birlikte işlemek mümkün değildir.? Araştırmalarda hem α riskinin hem de β riskinin küçük olması istenir. α, β ve örneklem hacmi n arasında sıkı ilişki vardır. Genel olarak α büyüdüğünde β küçülür. Fakat n büyüdüğünde hem α hem de β küçülür. Ancak n araştırmanın başlangıcında belirlendiği ve araştırmalarda I.tip hata daha çok kontrol edilmek istendiği için α riski sabit tutulur. Yani test sonucu verilecek kararın etkilenmemesi için araştırma başlamadan önce α'nın olasılık değeri araştırmacı tarafından belirlenir. α değerinin belirlenmesi konusu ile ilgili açıklamalar anlamlılık düzeyi kavramı açıklanırken ele alınacaktır. I. tip hata, 2. tip hata ve örnek büyüklüğü arasında ne tür bir ilişki vardır? 2.4. Anlamlılık Düzeyi I.tip hata yapmanın olasılığına (riskine) anlamlılık düzeyi adı verilir daha önce ifade edildiği gibi α simgesiyle gösterilir. Test edilecek bir hipotez için, anlamlılık düzeyi α'nın olasılık değerini belirleme konusunda çeşitli istatistiksel teknikler mevcuttur. Ancak araştırmacı I.tip ve II.tip hatalara vereceği önemi de dikkate alarak α anlamlılık düzeyini keyfi olarak belirler. Araştırma sonuçları bilindiğinde ortaya çıkabilecek yanlılıktan sakınmak amacıyla α'nın değeri örneklem oluşturulmadan önce belirlenmelidir, uygulamada genellikle kullanılan anlamlılık düzeyleri 0.05 ve 0.01 dir. Bu düzeylerin anlamı kabul edilmesi gereken H 0 hipotezinin reddedilmesi sansı sırasıyla %5 ve %1 dir. Başka bir deyişle test sonucu verilecek kararın güven düzeyi (1-α) sırasıyla %95 ve %99 dur. Araştırmanın konusuna bağlı olarak başka anlamlılık düzeyleri de kullanılabilir. Evren parametresi değerinden daha küçük değerli ya da daha büyük değerli örneklem istatistiklerinin H 0 'ın kabul bölgesi içine alınması istenirse α'nın değerini küçük seçmek gerekir. Anlamlılık düzeyi α'nın belirlenmesi ile H 0 hipotezinin red bölgesinin büyüklüğü alanı tesbit edilmiş olur İki ve Tek Yönlü Testler H 0 hipotezinin ve ona bağlı olarak kurulan H 1 hipotezinin kuruluş şekline göre testler "İki yönlü test, tek yönlü üst kuyruk testi ve tek yönlü alt kuyruk testi olarak ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 145 uygulanırlar. Bu test uygulamalarında hipotezler aşağıda gösterildiği gibi formüle edilirler: İki yönlü hipotezleri: H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ θ 0 Tek yönlü üst-kuyruk hipotezleri: H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ > θ 0 Tek yönlü alt-kuyruk hipotezleri: H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ < θ 0 Yukarıdaki her hipotez takımı için kullanılan isim H 1 hipotezinde θ için verilen değerler aralığını açıklamaktadır. Örneğin iki yönlü hipotezlerdeki H 1 hipotezi θ 0 'dan hem büyük yöndeki hem de küçük yöndeki θ ile ilgili değerleri içerdiği için iki yönlü olarak isimlendirilir. Başka bir deyişle örneklem istatistiği q 'nın belli bir A 1 değerinden küçük veya A 2 değerinden büyük olan değerleri H 1 hipotezi yönünde, başka bir ifadeyle H 0 hipotezinin red bölgesinde olan değerlerdir. Bu tür hipotezleri test ederken q 'nın bölünmesinin her iki kuyruğu da kullanıldığından bu testlere iki yönlü hipotezler adı verilir. İki yönlü hipotez testlerinde H 0 doğru olduğundan onun reddetme olasılığı olan α, q 'nın A 1 'den küçük veya A 2 'den büyük olma olasılığına eşit olduğundan A 1 ve A 2 'nin belirlenmesinde seçilen α değeri α /2 olarak alınır. q 'nın bölünmesi normal olduğundan bu durum Şekil 8.1 de açıklanmıştır. H 0 Kabul Bölgesi H 0 Red Bölgesi α/2 1- α H 0 Red Bölgesi α/2 A 1 θ 0 A 2 0 Şekil 8.1: İki Yönlü Testlerde Red Bölgeleri θ i Z i Tek yönlü üst kuyruk hipotezi formülündeki H 1 hipotezi θ 0 'dan büyük olan θ ile ilgili değerler içerdiği için, bu hipotez takımı tek yönlü üst-kuyruk hipotezi olarak isimlendirilmektedir. Tek yönlü üst kuyruk hipotezlerinde örneklem istatisti- AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 146 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME ği q 'nın θ 0 'dan büyük olan değerleri H 0 hipotezinin reddedilmesine yönelik değerlerdir. Bu durum Şekil 8.2 de gösterilmiştir. H 0 Kabul Bölgesi 1-α H 0 Red Bölgesi α θ 0 0 A θ i Z i Şekil 8.2: Tek Yönlü Üst Kuyruk Testlerinde Red Bölgesi Eğer H 1 hipotezi H 1 : θ < θ 0 şeklinde ise, yani tek yönlü alt-kuyruk hipotezi kurulmuşsa uygulanacak test tek yönlü alt-kuyruk testi olacaktır. Bu durum Şekil 8.3 de gösterilmiştir. Bu test türünde q 'nın hipotezini reddetmeye yönelik değerleri q 'nin A'dan küçük olan değerleri olacaktır. Çünkü q 'nin A'dan küçük olan değerleri H 1 'in kabul bölgesinde yer alan değerlerdir. H 0 Kabul Bölgesi H 0 Red Bölgesi α 1-α A θ 0 0 θ i Z i Şekil 8.3: Tek Yönlü Alt Kuyruk Testlerinde Red Bölgesi 3. Hipotez Testi Sürecinde Adımlar 3.1. Hipotezlerin Kurulması Bu adımda örneklem istatistiklerinden yararlanmak suretiyle aralarında seçim yapılacak H 0 ve H 1 hipotezleri kurulur; uygulanacak hipotez testinin tek yönlü ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

9 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 147 mü iki yönlü mü olacağına karar verilmiş olur. Başka bir ifadeyle H 0 hipotezinin red ve kabul bölgeleri belirlenmiş olur Anlamlılık Düzeyinin Seçilmesi Hipotezler kurulup veri derlemeye başlamadan önce gerçekte doğru olan H 0 hipotezinin reddedilmesi olasılığını ifade eden α için bir değer belirlenmeye çalışılır. α için genellikle %5 veya %1 değerleri seçilir. Yapılan bu seçimle birlikte H 0 hipotezinin kabul bölgesinin büyüklü olan 1 - α değeri de saptanmış olur Olasılık Dağılımının Belirlenmesi Bu adımda, N hacimli evrenden rassal olarak seçilen örneklem birimleri üzerinden veriler derlenir, tasnif edilir, gerekli istatistikler (X, p, X 2 - X 1, p 2 - p 1, s) hesaplanır ve hesaplanan örneklem istatistiğinin örnekleme bölünmesinin özellikleri ile örneklem istatistiği ve sıfır hipotezinde ifade edilmiş olan evren parametre değeri arasındaki farkı standart hata birimi ile ifade eden test istatistiğinin özellikleri belirlenir. Hipotezlerin test edilmesi amacıyla çeşitli test istatistikleri kullanılmaktadır. Uygulamada üzerinde sıkça durulan evren parametreleriyle ilgili test uygulamalarına ilişkin açıklamalar yapılırken bazı önemli test istatistikleri hakkında bilgi verilecektir Test İstatistiğinin Hesaplanması ve Uygun Kararın Verilmesi Bir önceki adımda belirlenen test istatistiğinin değeri bu adımda hesaplanır. Bu test istatistiğinin hesaplanan değeri, büyüklüğü α ile belirlenen H 0 hipotezinin red bölgesinde kalıyorsa H 0 hipotezi red edilir. Kabul bölgesinde kalıyorsa H 0 hipotezi kabul edilir. Kararın bu ifade ediliş biçimine İstatistiksel karar adı verilir. Araştırmacı için istatistiksel kararın değil probleme ilişkin kararın önemi vardır. Bu nedenle istatistiksel kararın H 0 hipotezinde yüklü olan anlamla ilişkilendirilmesi gerekir. Bu ilişkilendirilmeye probleme ilişkin karar verme adı verilmektedir. 4. Bazı Parametrelere İlişkin Test Uygulamaları 4.1. Tek Evren Parametresine İlişkin Büyük Örneklem Testleri Bu kısımda, tek evren ortalaması µ'ye ve tek evren oranını π'ye ilişkin testlerin nasıl yapılacağı örnekler üzerinden açıklamaya çalışılacaktır. Bu parametrelere ilişkin test sürecinde aşağıdaki varsayımlar kullanılır: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 148 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 1. Örneklem rassal olarak oluşturulur. 2. Örneklem hacmi yeterli büyüklüktedir. n 30 birimden oluşmaktadır. 3. Sırasıyla H 0 : µ = µ 0 ve H 0 : π = π 0 hipotezleri seçilecek bir α anlamlılık düzeyi için test edilir Tek Evren Ortalamasına İlişkin Test? Ortalamasının µ 0 olduğu iddia edilen bir evrenden n hacimli bir örneklemin rassal olarak oluşturduğunu, sonra bu örneklem için aritmetik ortalama x, standart sapma s hesaplandığını varsayalım. x ve µ 0 arasında belirli bir α anlamlılık düzeyinde anlamlı bir fark var mıdır? Başka bir deyişle x ile µ 0 arasında ki fark sadece örnekleme hatalarından mı kaynaklanmaktadır? Soruların yanıtı tek evren ortalamasına ilişkin hipotez testi ile sağlanabilir. x ve µ 0 arasında α anlamlılık düzeyinde anlamlı bir farkın olup olmadığının test edilmesi için kurulabilecek hipotez takımları anımsanacağı gibi, Çift yönlü test için; H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 Tek yönlü üst-kuyruk testi için; H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 Tek yönlü alt-kuyruk testi için; H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 şeklinde ifade edilir. Kurulacak bu hipotezlerdeki H 0 hipotezinin kabul edilip edilmeyeceğinin tesbiti için kullanılacak test istatistiği Z = x - µ0 σ / n veya σ bilinmediğinde Z = x - µ 0 s / n förmülü ile ifade edilen Z istatistiğidir. Varsayım 1 ve 2'nin ve Merkezi Limit Teoremi'nin sonucu olarak x 'ların örnekleme dağılımı ve bu dağılımın standart değerlerinin dağılımı olan Z dağılımı normal dağılıma sahiptir. Z dağılımının ortalaması Z = 0 varyansı σ 2 z = 1 dir (Bkz. Ek 1). ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

11 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 149 Örnek verelim: A lisesi son sınıfta okuyan 1000 öğrenci özel dersaneler birliğinin düzenlediği sınava girmiştir. Okul yöneticileri sınav öncesinde öğrencilerinin bu sınavdaki;? 1. Fen puanı ortalamasının 160 puan, 2. Sosyal puan ortalamasının en az 150 puan, olacağını iddia etmişlerdir. Bu hipotezleri (iddiaları) test etmek amacıyla bu okulun sınava giren öğrencilerin arasında rassal olarak 36 öğrenci seçilmiş ve bunların fen puan ortalamasının 150 puan, standart sapmasının 15 puan; sosyal puan ortalamasının 145 puan ve standart sapmasının 22 puan, olduğu hesaplanmıştır. Yukarıdaki iki hipotezin doğruluğunu α = 0.05 değerini seçmek suretiyle ayrı ayrı araştırınız. Çözüm 1 Fen puanı ortalamasının 160 puan olduğu hipotezinin test edilmesi Adım 1: Burada verilecek karar fen puanı ortalamasının 160 puan olduğudur. Bu kararı 160 puandan hem küçük hem de büyük yöndeki fen puanı ortalama değerleri çürütecektir. Yani yapılacak test iki yönlü test olmalıdır ve hipotezler H 0 : µ = µ 0 = 160 puan H 1 : µ µ 0 = 160 puan şeklinde kurulmalıdır. Adım 2: Okul yöneticileri H 0 : µ = µ 0 = 160 puan hipotezinin doğru olması durumunda bunun reddedilmesi olasılığını; α'yı %5 olarak seçmişlerdir. Buna göre, red bölgesi bölünmenin her iki kuyruğunda tanımlanacak ve büyüklükleri α/2 değerinde olacaktır. Bu durum Şekil 8.4 de gösterilmiştir. H 0 Kabul Bölgesi H 0 Red Bölgesi α/2 = 0,025 1-α =0,95 H 0 Red Bölgesi α/2 = 0,025 X = 150 A 1 = 155,1 µ 0 = 160 A 2 X i z = -4 Z (0,0025) = - 1,96 0 z (0,975) = 1,96 Z i Şekil 8.4: X İçin İki Yönlü Test AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 150 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME Adım 3: Bu karar probleminde örneklem büyük örneklem; n = 36 öğrenci olduğundan, standartlaştırılmış z test istatistiğinin örnekleme dağılımı normal dağılıma sahiptir. Buna göre şekilde bu örnekleme dağılımın alt kuyruk bölgesi α/ 2 = 0,025 olmakta ve bu red bölgesi sınır değeri A 1 standart normal dağılımın 2,5'unun santiline karşı gelmektedir; bu da z(0,025) = -1,96 değeridir. Benzer şekilde simetrik olarak üst-kuyruk sınır değeri A 2 z(0,975) = 1,96 değerine karşı gelmektedir. Böylece kabul bölgesi z(0,025) = -1,96 ve z(0,975) = 1,96 değerleri arasındaki bütün z değerlerini kapsar. Başka bir ifadeyle bu öğrencilerden oluşturulabilecek n = 36 öğrencilik olası örneklemlerin ortalamaları A 1 ve A 2 değerleri arasında yer alır. Bu bilgilere göre uygun karar hesaplanacak z test istatistiğinin değeri ile z (0,025) = -1,96 ve z (0,975) = 1,96 standart normal eğri tablo değerlerinin karşılaştırılması suretiyle verilir. Eğer -1,96 z 1,96 ise H 0 hipotezi kabul edilir. Dolayısıyla H 1 reddedilir. Eğer z > 1,96 ise H 0 reddedilir, H 1 kabul edilir. Adım 4: n = 36 öğrenci X = 150 puan s = 15 puan s x = s n = s x = 2,5 puan µ = 160 puan z = X - µ0 = s x 2,5 = 4 z = 4 > 1,96 olduğundan H 0 hipotezi reddedilir, dolayısıyla H 1 kabul edilir. Çünkü z = -4 değeri Şekil 8.4'de A 1 solunda, red bölgesine düşmektedir. A 1 'in değeri, A 1 = µ 0 + z(α/2) sx eşitliği kullanılarak hesaplanır. A 1 = (-1,96) 2,5 A 1 = 160-4,9 = 155,1! Sözkonusu okulunun bu sınava giren öğrencilerinin fen puanı ortalaması 160 puan değildir, yöneticiler iddialarında yanılmışlardır, ortalama 160 puandan düşüktür. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 151 Çözüm 2 Sosyal puan ortalamasının en az 150 puan olduğu hipotezinin test edilmesi Adım 1: Bu örnekte test edilecek hipotez H 0 : µ = µ 0 = 150 puan şeklindedir. Bu hipotez için verilecek kararı sadece 150 sosyal puan ortalama değerinden küçük ortalama değerler çürütecektir. Buna göre yapılacak test için tek yönlü alt-kuyruk testi uygulanmalıdır. Tekyönlü alt kuyruk testi için hipotezler, H 0 : µ = µ 0 = 150 puan H 1 : µ < µ 0 = 150 puan şeklinde kurulur. Burada H 0 hipotezi 150 ve daha büyük sosyal puan ortalama değerlerini kapsamaktadır. Adım 2: α =0,05 alınmıştır. Bu problemde H 0 hipotezinin red bölgesi bölünmenin alt kuyruğunda tanımlanmıştır. Red bölgesinin büyüklüğü α = 0,05'tir. Bu durum Şekil 8.5 de gösterilmiştir. H 0 Kabul Bölgesi α = 0,05 1-α =0,95 A z (0,05) = - 1,645 µ 0 = θ i z i Şekil 8.5: X İçin Tek Yönlü Alt Kuyruk Testi Adım 3: Şekilde, standartlaştırılmış örnekleme dağılımının tanımlanan red bölgesinin büyüklüğü 0,05 olacaktır. Bu red ve kabul bölgelerini birbirinden ayıran sınır değeri A standart normal dağılımının 5'inci santiline karşı gelir ve z i ekseninde z(0,05) = -1,645'tir. Bu test için uygun karar, hesaplanacak z test istatistiği; eğer z -1,645 ise H 0 kabul, H 1 red eğer z < -1,645 ise H 0 red, H 1 kabul şeklinde olacaktır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 152 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME n = 36 öğrenci X = 145 puan s = 22 puan s X = s n = s x = 3,67 puan µ 0 = 150 puan z = x - µ0 = = 1,36 s x 3,67 z = 1,36 < z 0,05 = 1,645! Bu sonuca göre istatistiksel karar H 0 hipotezinin kabuledilmesi yönündedir. Bunun anlamı: Adı geçen okulun 1000 öğrencisinin sosyal puan ortalaması en az 150 puandır; Okul yöneticilerinin iddiası geçerlidir. Bu kararın güven düzeyi (1-0,05) = 0,95 'tir Tek Evren Oranına İlişkin Test Bir evrenin hacmi N, araştırılan özelliğine sahip birimlerinin sayısı R olduğunda, evrinin bu özelliğe sahip birimlerinin oranının π = R N eşitliği ile hesaplandığı daha önce ifade edilmişti. Bu kısımda üzerinde araştırma yapılan ve ilgilenilen özelliğe sahip birimlerin oranının π 0 olduğu iddia edilen bir evrenden n hacimli bir rassal örneklem alındığı ve bu örneklem için P oranının hesaplandığını varsayalım. P ve π 0 arasında seçilen bir α değerinde anlamlı fark var mıdır sorusunun yanıtı tek evren oranına ilişkin test ile sağlanabilir. Burada açıklanacak prosedür evrenden alınan rassal örneklem hacminin büyük n 30 birim ve ayrıca π oranının 0 veya 1 değerine yakın bir değer almaması durumunda uygulanabilir. Burada açıklanan varsayımlar altında evren oranı π 'ye ilişkin testlerde hipotezler aşağıdaki şekillerden uygun gelen birisi ile kurulabilir. İki yönlü test için; H 0 : π = π 0 H 1 : π π 0 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 153 Tek yönlü üst-kuyruk testi için; H 0 : π = π 0 H 1 : π > π 0 Tek yönlü alt-kuyruk testi için; H 0 : π = π 0 H 1 : π < π 0 Örneklem hacminin yeterli büyüklükte olması ve ayrıca π'nin 0 veya 1 değerine çok yakın olmaması durumunda örneklem oranı p'nin örnekleme bölünmesi, ortalaması π, standart hatası olan normal bir dağılıma sahip olur. Örneklem hacmi ve π oranıyla ilgili yukarıda açıklanan varsayımlar altında, π oranı ile ilgili testlerde kullanılan standartlaştırılmış test istatistiği z = p - π 0 σ p olur. Burada σ p = π 1 - π n σ p = π π 0 n π = π 0 olduğunda, z test istatistiğinin örnekleme bölünmesi normal bölünme özelliklerini taşır. Tek evren ortalamasına ilişkin büyük örneklem testinde istatistiksel karar verilirken izlenen yöntem benzer şekilde π oranına ilişkin testlerde de uygulanır. Örnek verelim: Bilinen bir otomobil üreticisi işletme 1980 yılında ürettikleri otomobillerin %40'ının 10 yıl sonra hala kullanılabilir özellikte olduğunun iddia etmektedir. Bu iddiayı sınamak amacıyla bu firmanın ürettiği otomobillerden 1990 yılında 1000 otomobil rasssal olarak seçilmiş ve bunların 360'ının hala iyi kulllanılabilir koşullarda olduğu tespit edilmiştir. Bu iddiayı %1 anlam düzeyi seçmek suretiyle test ediniz.? Çözüm Adım 1: H 0 : π = π 0 = 0,40 H 1 : π < π 0 = 0,40 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 154 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME Üretilen otomobillerin hala kullanılabilir olma özelliğine sahip olması oranının %40 ve daha fazla olması hipotezini kapsayacağı iddiayı destekleyeceği için H 1 hipotezi H 1 = π < π 0 şeklinde kurulmuştur. Bu hipotez tek yönlü alt kuyruk testi ile test edilir. Hipotezin red bölgesi π 0 'ın sol tarafında yer alacaktır. Bu durum Şekil 8.6 da gösterilmiştir. Adım 2: α = 0,01 olarak seçildiği için H 0 hipotezinin red bölgesinin büyüklüğü 0,01 dir. Şekil 8.6 da incelendiği zaman görülebileceği gibi p oranının örnekleme bölünmesi π 0 = 0,40 değeri etrafında merkezleşme eğilimi göstermektedir. H 0 Red Bölgesi H 0 Kabul Bölgesi α = 0, α = 0,99 A p 0 = 0,40 p Z (0,05) = - 2,33 0 z = p - π 0 / σ { p } σ p Şekil 8.6: π İçin Tek Yönlü Alt Kuyruk Testi Adım 3: 1000 otomobilin 360'ı on yıl sonra 1990 yılında hala kullanılabilir özellikte olduğundan örneklem için kullanılabilir özellikte otomobil oranı p = r n = = 0,36 olarak hesaplanır. Örneklem hacmi büyük olduğundan, (n = 1000 otomobil), p'nin örnekleme bölünmesi π = π 0 = 0,40 olduğunda ortalaması π 0 ve standart sapması σ P σ p = σ p = 0,155 π π 0 n = 0,40 0, olan normal bölünmeye yaklaşır. Bu nedenle π = π 0 olduğunda Pi'lerin standartlaştırılmasıyla oluşturulan bölünme standart normal dağılıma uyar. Buradan, istatistiksel karar için tanımlanan red bölgesinin sınır değeri A Şekil 8.6'da görüleceği gibi z(0,01) = -2,33 değerine karşı gelir. Böylece, test için uygun istatistiksel karar: Eğer z z (0,01) = 2,33 ise H 0 Eğer z < z (0,01) = 2,33 ise H 0 Reddedilir. Kabul edilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 155 Adım 4. n = 1000 otomobil r = 360 otomobil p = r n = = 0,36 π 0 = 0,40 σ p = π π = 0,4 0, = 0,155 z = p - π 0 0,36-0,40 = σ p 0,155 = - 0,26 z = 0,26 < z (0,01) = 2,33 H 0 hipotezi kabul edilir. Bu firmanın 1980 yılında ürettiği otomobillerin en az %40'ını 1990 yılında hala kullanılabilir özelliktedir. Firma iddiasında haklıdır.! İki Evren Ortalaması Arasındaki Farka ilişkin Test Ortalamaları sırasıyla µ 1 ve µ 2 olan iki ayrı evrenden, örneklem ortalamaları X 1 ve X 2 olan n 1 ve n 2 hacimli birbirinden bağımsız rassal örneklemlerin oluşturulduğunu varsayalım. İki evren ortalaması arasındaki farka ilişkin testlerde sıfır hipotezi iki evren ortalaması arasında herhangi bir fark yoktur; ya da n 1 ve n 2 iki örneklem aynı evrenden çekilmiştir. Şeklinde ifade edilir. Bu ifade H 0 : µ 1 = µ 2 veya H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 şeklinde formule edilir. Bu hipotezi çürütecek karşıt hipotez H 1 ise; H 1 : µ 1 - µ 2 0 H 1 : µ 1 - µ 2 > 0 H 1 : µ 1 - µ 2 < 0 formüllerinin uygun gelen birisi ile kurulur. n 1 ve n 2 hacimli örneklemlerin dağılımı normal olan evrenlerden rassal olarak çekildikleri veya evrenler normal dağılıma sahip olmasa bile n 1 30, n 2 30 birim olması halinde, X 1 - X 2 farklarının örnekleme dağılımı ortalaması µ 1 - µ 2 olan ve standart hatası AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 156 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 2 σ x 1 - x = σ 1 + σ n 1 n 2 eşitliği ile hesaplanan normal dağılımdır. Standart hata hesaplanırken σ 1 ve σ 2 yerine örneklem standart sapmaları s 1 ve s 2 yazılarak da hesaplama yapılabilir. Bu durumda eşitlik; s x 1 - x 2 = s n 1 + s 2 n 2 gibi gösterilebilir. Yukarıda verilen bilgilerin uzantısı olarak iki evren ortalaması arasındaki farka ilişkin H 0 hipotezinin testi için kullanılacak test istatistiği µ 1 - µ 2 = 0 alındığından; z = X1 - X2 s x 1 - x 2 formülü kullanılarak hesaplanır. z test istatistiğinin dağılımı standart normal dağılımdır, yani ortalaması z = 0 ve σ 2 z = 1 dir. İncelenen diğer testlerde olduğu gibi İstatistiksel karar, hesaplanan z test istatistiği ile seçilen α anlamlılık düzeyine karşı gelen standart normal eğri tablo değerinin karşılaştırılması suretiyle verilir. Örneğin α = 0,05 seçilmiş ve iki yönlü test söz konusu ise; eğer z 1,96 H 0 hipotezi µ 1 - µ 2 = 0 reddedilir. Aksi durumda H 0 hipotezi kabul edilir.? Örnek verelim: Bir araştırma birimi x ve y şehirlerindeki ev hanımlarının satın alma alışkanlıklarını araştırdı. Araştırma için x şehrinden 300 ev hanımı rassal olarak seçildi ve bunların haftalık gıda harcamalarının ortalamasının 30$ standart sapma ile 100$ olduğu hesaplandı. Aynı şekilde y şehrinden de 300 ev hanımı rassal olarak seçildi ve bunların da haftalık gıda harcamaları ortalamasının 80$, standart sapmasının 20$ olduğu hesaplandı. x ve y şehirlerindeki ev hanımlarının haftalık ortalama gıda harcamaları arasında fark var mıdır? α = 0,01 anlamlılık düzeyinde karar veriniz. Çözüm Adım 1: H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 H 1 : µ 1 - µ 2 0 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

19 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 157 Adım 2: α = 0,01 seçilmiştir. H 0 hipotezinin red bölgeleri α/2 alınmak suretiyle X 1 - X 2 istatistiğinin örnekleme bölünmesinin her iki kuyruğunda tanımlanmıştır. Bu durum Şekil 8.7 de gösterilmiştir. Burada µ 1 - µ 2 = 0 olduğunda α riski 0,01'de kontrol edilmektedir. H 0 Red Bölgesi H 0 Kabul Bölgesi H 0 Red Bölgesi α/2 = 0, α = 0,99 α/2 = 0,005 A 1 µ 1 - µ 2 = 0 A 2 X 1 - X 2 z = (0,005) = -2,58 0 z (0,995) = 2,58 z = X 1 - X 2 s x 1 - x 2 Şekil 8.7: µ1 - µ2 İçin İki Yönlü Test Adım 3: Şekil 8.7 de uygun karar kuralını göstermektedir. Test iki yönlü testtir ve X 1 - X 2 istatistiğinin örnekleme bölünmesi µ 1 - µ 2 = 0 noktasında merkezleşme eğilimi göstermektedir. Örneklem hacimleri büyük olduğu için karar verirken standart normal bölünme kullanılır. α olasılığı 0,01 seçildiği için red bölgesi sınırları z(α/2) = z(0,005) = -2,58 ve z(1 - α/2) = z(0,995) = 2,58. Bu durumda; Eğer z 2,58 ise H 0 kabul edilir. Eğer z > 2,58 ise H 0 reddedilir. Adım 4: n 1 = 300 ev hanımı n 2 = 300 ev hanımı X 1 = 100$ X 2 = 80$ s 1 = 30$ s 2 = 20$ X 1 - X 2 = = 20$ 2 s x 1 - x 2 = s 1 + s 2 n 1 n 2 s x 1 - x 2 = = 2,08 z = 20 2,08 = 9,6 z = 9,6 > 2,58. Bu sonuca göre H 0 hipotezi reddedilir dolayısıyla H 1 hipotezi kabul edilir. Bu istatistiksel karar x ve y şehirlerindeki ev hanımlarının haftalık ortalama gıda harcamaları arasında farklılık vardır. Bu fark anlamlı bir farktır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 158 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME İki Evren Oranı Arasındaki Farka İlişkin Test Şimdi de iki ayrı evrenden rassal olarak çekilen n 1 ve n 2 hacimli örnekler için sırasıyla p 1 ve p 2 oranlarının hesaplanmış olduğunu varsayalım. Bu durumda test problemi α anlamlılık düzeyinde n 1 ve n 2 hacimli öneklerin aynı evrenden gelip gelmediğinin araştırılmasıdır. Başka bir deyişle p 1 ve p 2 oranları arasındaki farkın anlamsız olup olmadığının veya farkın örneklemeye başvurulmuş olmasından ileri gelip gelmediğinin araştırılmasıdır. İki evren oranı arasındaki farka ilişkin test iki evren ortalaması arasındaki farka ilişkin teste benzer hipotezler İki yönlü test için; H 0 : π 1 - π 2 = 0 H 1 : π 1 - π 2 0 Tek yönlü üst-kuyruk testi için; H 0 : π 1 - π 2 = 0 H 1 : π 1 - π 2 > 0 Tek yönlü alt-kuyruk testi için; H 0 : π 1 - π 2 = 0 H 1 : π 1 - π 2 < 0 şeklinde bulunur. n 1 30 ve n 2 30 hacimli örneklemler olduğu ve p 1 ve p 2 0 veya 1'e yakın değerler almadığı zaman p 1 - p 2 farklar istatistiğinin örnekleme dağılımı normal dağılım özelliğine sahip olur. p 1 - p 2 'nin bu örnekleme bölünmesi α riskinin kontrol edildiği yer olan p 1 - p 2 =0 etrafında merkezleşme eğilimi gösterir. Bu test yaklaşımında kullanılan test istatistiğinin ifadesi z = p1 - p2 s P1 - P2 şeklindedir. Çoğu zaman π 1 ve π 2 evren oranları bilinmediği için z test istatistiğinde σ p1-p 2 yerine s p1-p 2 yazılmıştır. p 1 - p 2 bölünmesinin standart sapması s p1- p 2 aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır. s p 1 - p 2 = p p 1 n 1 + p p 2 n 2 Bu test sürecinde adım 3 ve adım 4'te yapılacak işlemler, iki evren ortalaması arasındaki farka ilişkin testte olduğu gibidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

21 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 159 Örnek verelim: Bir hastanenin kayıtları incelendiğinde, hastanede yatan 1000 erkekten 60, 800 kadından ise 20'si kalp hastası olduğu saptanmıştır. Acaba kalp hastalığı erkeklerde daha çok görülen bir hastalık mıdır? α =0,05? Çözüm Kalp hastalığının erkkelerde daha sık rastlanıp rastlanılmadığı araştırıldığı için hipotezler Adım 1 H 0 : π 1 - π 2 = 0 veya H 0 : π 1 = π 2 H 1 : π 1 - π 2 > 0 veya H 1 : π 1 > π 2 şeklinde kurulur. Test için tek yönlü üst-kuyruk testi uygulanır. Adım 2: Karşıt hipotez H 1 : π 1 - π 2 > 0 şeklinde kurulduğundan H 0 : π 1 - π 2 hipotezinin red bölgesi p 1 - p 2 örneklem istatistiği bölünmesinin üst-kuyruğunda yer almaktadır ve alanı 0,05 tir. Bu açıklamalar Şekil 8.8 de gösterilmiştir. H 0 Kabul Bölgesi H 0 Red Bölgesi 1 - α = 0,95 α = 0,05 π 1 - π 2 A p 2 - p 1 0 z (0,95) = 4645 z = 3,76 z i Şekil 8.8: π1 - π2 İçin Tek Yönlü Kuyruk Testi Adım 3: n 1 = 1000 erkek hasta ve n 2 = 800 kadın hasta olduğu için büyük örneklem söz konusudur. Bu durumda p 1 - p 2 istatistiğinin ve bu istatistiklerin standart değerlerinin dağılımları sırasıyla normal dağılım ve standart normal dağılım özelliğine sahiptir. Şekil 8.8 de gösterildiği gibi α olasılığı 0,05 seçildiği ve H 1 hipotezi dağılımın üst-kuyruğunda tanımlandığı için red bölgesi sınırı z(1- α) = z(0,95) = 1,645 tir. Buna göre; Eğer z > z 0,95 = 1,645 ise, H 0 reddedilir. Eğer z < z 0,95 = 1,645 ise, H 0 kabul edilir AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

22 160 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME Adım 4 Erkek Hasta n 1 = 1000 Kişi r 1 = 60 Kişi p 1 = = 0,06 q 1 = 1 - p 1 = 0,94 Kadın Hasta n 2 = 800 Kişi r 2 = 20 Kişi p 2 = = 0,025 q 2 = 1 - p 2 = 0,975 p 1 - p 2 = 0,06-0,025 = 0,035 s p1 - p 2 = p 1 q 1 n 1 + p 2q 2 n 2 = 0,06 0, ,025 0, s p1 - p 2 = 0, , s p1 - p 2 = 0,0093 z = 0,035 0,0093 = 3,76! z = 3,76 > z(0,95) = 1,645 H 0 reddedilir dolayısıyla H 1 kabul edilir. Şekil 8.8'de z = 3,76 değeri red bölgesinde yer almaktadır. Kalp hastalığına hastanede yatan erkeklerde daha sık raslandığı sonucuna varılır Küçük Örneklem Testi Araştırmaların bir çoğunda örneklem büyüklüğü araştırmaya ayrılan para, zaman ve metaryalin sınırlı olduğu durumlarda örneklem hacmini daha önceki açıklamalarımızda belirtilen büyüklükte (genellikle n 30 birim) sağlamak mümkün olmayabilir. Örneğin çok nadir görülen bir hastalıkla ilgili araştırmada vaka sayısını, uzun süren deneylere dayanan araştırmalarda, maliyeti yüksek olan laboratuvar çalışmalarını gerektiren araştırmalarda örneklem hacmini arttırmak çok güçtür. Örneklem hacminin az olduğu bu gibi durumlarda, küçük örneklemler için geliştirilmiş test yöntemlerine başvurulur. Bu kısımda tek evren ortalamaları, iki evren ortalamaları arasındaki farklar için kurulan hipotezlerin küçük örneklemler (n < 30 birim) kullanılarak nasıl test edileceği konusu incelenecektir. Küçük örneklem kullanılarak yapılan hipotez testleri, kullanılan test istatistiği dışında, büyük örneklem testlerine benzemektedir. Bu nedenle, bu kısımda ele alınacak testlerde, sadece bu testlerin test istatistiklerine değinilerek, çözümlenecek örneklerle de bu testlerin uygulanış biçimleri test sürecinin adımları itibariyle açıklanacaktır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

23 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME Tek Evren Ortalaması için Küçük Örneklem Testi Araştırmacının örneklemi büyük olduğunda, evren standart sapması σ 'yı bilmemesi çok önemli olmayacak, büyük örneklemlerden hesaplanan standart sapmayı, s'yi σ yerine kullanmakta çok büyük hata işlememiş olacaktır. Ancak, örneklem hacmi küçük olduğunda (n < 30 birim) σ yerine s'nin kullanılması ile elde edilen istatistik (X - µ 0 ) / sx standart normal dağılım göstermemekte, dolayısı ile büyük örneklemlerde izlenen yöntem geçerli olmamaktadır. Normal dağılıma sahip bir evrenden rassal olarak çekilen küçük hacimli bir örneklem için X hesaplandığını ve bu evrenin ortalamasının (µ) daha önceden belirlenen bir (µ 0 ) değerine eşit olup olmalığının test edilmesi için kurulan H 0 : µ = µ 0 hipotezinin kurulduğunu varsayalım. H 0 hipotezinin doğru olduğu hallerde t = x - µ 0 s x şeklinde hesaplanan test istatistiği v = n - 1 serbestlik dereceli t dağılımı gösterir. Burada s x = s n - 1 eşitliği ile hesaplanır. Örneklemin alındığı evren normal dağılım göstermediği durumlarda, yukarıda belirtildiği şekilde hesaplanan t değeri, t dağılımı göstermez. Araştırma yapılan evrenin dağılımı normal dağılımdan çok çok farklı şekil aldığında, araştırmanın yürütülmesi için örneklem hacmini arttırmak gerekir. Bunun yapılamadığı durumlarda ise gözlem değerine yapılacak logaritma almak, karekök almak, açı değerine çevirmek gibi uygun dönüşümler ile normal dağılıma yaklaşılabilir. Bu konular bu ünitenin kapsamı dışında tutulmuştur. Örnek verelim: Bir okuldan geçmiş yıllarda mezun olan öğrencilerin ortalama mezuniyet puanı 66 puandır. Bu yıl mezun olan öğrenciler arasından 26 öğrenci rassal olarak seçilmiş ve bunların ortalama mezuniyet puanının 70 puan ve standart sapmasının 10 puan olduğu hesaplanmıştır. Geçmiş yıllarda mezun olan öğrencilerin ortalama mezuniyet puanı ile bu yıl mezun olanların ortalama mezuniyet puanı arasında fark var mıdır; α = 0,01 için test ediniz.? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

24 162 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME Çözüm Adım 1: Bu karar probleminde iki dönemdeki mezuniyet ortalamaları arasındaki hem büyük yöndeki hem de küçük yöndeki fark verilecek karar H 0 : µ = µ 0 üzerinde olduğu için hipotezler H 0 : µ = µ 0 = 66 puan H 1 : µ µ 0 = 66 puan şeklinde ifade edilir. Bu durumda H 0 hipotezi iki yönlü test ile test edilir. H 0 hipotezinin red bölgeleri t bölünmesinin her iki kuyruğunda tanımlanır. Şekil 8.9 daki taralı alanlar H 0 hipotezinin red bölgeleridir. Adım 2: Bu probleme ilişkin test ile µ = µ 0 = 66 puan olduğunda testin α olasılığının 0,01 düzeyinde kontrol edilmesi düşünülmektedir. H 0 Kabul Bölgesi H 0 Red Bölgesi α/2 = 0,005 1-α = 0,99 H 0 Red Bölgesi α/2 = 0,005 A 1 µ 0 A 2 t = -2,787 0 t = 2,787 X i t i Şekil 8.9: Küçük Örneklemde µ İçin İki Yönlü Test Adım 3: Örneklem hacmi n = 26 öğrencidir ve geçmiş yıllardaki mezuniyet puanlarının bölünmesi normal bölünmeye sahiptir. 26 öğrencinin oluşturduğu örneklem küçük örneklemdir. H 0 hipotezinin testi için, küçük örneklem testi uygulaması istenir. Uygun karar kuralı Şekil 8.9 da gösterildiği gibi iki yönlüdür. α = 0,01 ve n = 26 öğrenci için t tablo değeri kritik değer; t (1 - α/2; v = n - 1) = t (0,995; v = 25) = 2,787 olarak belirlenir. Bundan böyle karar kuralı Eğer t 2,787 ise, H 0 kabul edilir. Eğer t > 2,787 ise, H 0 reddedilir. Burada t hesaplanan test istatistiğinin değeridir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

25 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 163 Adım 4: n = 26 X =70 puan s = 10 puan µ 0 = 66 puan v = 26-1 = 25 s x = t = s n = = 2 = 2 t = 2 < t(0,995) : v = 25 = 2,787 olduğu için H 0 kabul edilir. Eski öğrencilerin ortalama mezuniyet puanı arasında anlamlı fark yoktur. Not : Eğer problemde yeni mezunların ortalamasının daha yüksek olduğu söylenebilir mi denseydi tek yönlü üst kuyruk testi ile yapılacak, karşılaştırma yine α = 0,01 ve v = n - 1 = 25 için t = 2 < t(0,995; 25 = 2,485 şeklinde olacaktı ve yine H 0 kabul H 1 red kararı verilecekti (t dağılımı değerleri için bkz. Ek 2) İki Evren Ortalaması Arasındaki Farka İlişkin Küçük Örneklem Testi Bölünmeleri normal veya normale yakın olan ve standart sapmaları bilinmeyen ve fakat birbirine eşit σ 1 = σ 2 olduğu varsayılan iki evrenden n 1 ve n 2 hacimli küçük örneklemlerin oluşturulduğunu varsayalım. Bu örneklemler için sırasıyla, X 1, X 2 ve s 1, s 2 hesaplanmış olsun. n 1 < 30 ve n 2 < 30 birimlik örneklemlerin aynı evrenden geldiklerine ilişkin H 0 : µ 1 - µ 2 = 0 veya H 0 : µ 1 = µ 2 hipotezini test etmek için, t = X 1 - X 2 s x1 - x 2 s x1 - x 2 = n 1 s n 2 s n 1 + n n1 + 1 n 2 test istatistiği kullanılır. Bu test istatistiği için H 0 doğru olduğunda v =n 1 + n 2-2 serbestlik dereceli t dağılımı gerekir. Burada sx 1-x 2 iki ortalama arasındaki farkın standart hatasıdır. Örnek verelim: Bir orta öğretim okulunun sabahçı öğrencilerinden 18 öğlenci öğrencilerinden 12 rassal olarak seçilmiştir. Sabahçı öğrencilerin sınavlarındaki ortalama başarısı 70 puan, standart sapması 10 puan, öğlenci öğrencilerin ise aynı sınavlardaki ortalama başarısı 60 puan standart sapması 10 puan olduğu tespit edilmiştir.? Sabahçı öğrencilerin daha başarılı olduğu %5 anlamlık düzeyinde söylenebilir mi? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

26 164 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME Çözüm Adım 1: Sabahçı öğrencilerin daha başarılı olup olmadığı araştırılacağı için H 1 hipotezi tek yönlü olacak ve H 1 t bölünmesinin üst-kuyruktaki değerleri kapsayacaktır. Buna göre hipotezler; H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 şeklinde formüle edilir. Adım 2: H 1 hipoteziyle yönü tanımlanan H 0 hipotezinin red bölgesinin alanı 0,05 dir. Başka bir anlatımla µ 1 - µ 2 olduğunda α riski 0,05'de kontrol edilecektir. Bu durum Şekil 8.10 da gösterilmiştir. H 0 Kabul Bölgesi H 0 Red Bölgesi 1 - α = 0,95 α = 0,05 µ 1 - µ 2= 0 A t = 2,61 X - X t (0,95; 28) = 1,701 t i Şekil 8.10: Küçük Örneklemde µ1 - µ2 İçin Tek Yönlü Üst Kuyruk Testi Adım 3: Örneklem hacmi küçük olduğu için, kararın verilebilmesi amacıyla n 1 + n 2-2 serbestlik dereceli t bölünmesi kullanılır. α = 0,05 ve n 1 = 18, n 2 = 12 olduğundan t α ; v = n 1 + n 2-2 = t(0,95; 28) = 1,701 tablodan belirlenir. Bu durumda karar Eğer t > 1,701 ise, H 0 reddedilir. Eğer t < 1,701 ise, H 0 kabul edilir. Adım 4: Sabahçı Öğrenciler n 1 = 18 öğrenci X 1 = 70 puan s 1 = 10 puan Öğlenci Öğrenciler n 2 = 12 öğrenci X 2 = 60 puan s 2 = 10 puan ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

27 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 165 X 1 - X 2 = = 10 v = n 1 + n 2-2 = = 28 s x 1 - x 2 = s x 1 - x 2 = t = = 2,61 t = 2.61 > 1,701 H 0 reddedilir. Dolayısıyla H 1 kabul edilir. Sabahçı öğrenciler daha başarılıdır Khi-Kare Testi Nitel değişkenler üzerinde yapılan gözlemler genellikle bu değişkenlerin ayrılabilen nitelik sınıflarına (şıklarına) düşen birim sayıları (frekanslar) şeklindedir. Örneğin öğrencilerin başarı durumu değişkeni başarılı, başarısız nitelik sınıflarına ayrılsın, başarılı öğrenci sayıları, başarılı nitelik sınıfına karşı gelen birim sayılarını ifade eder. Araştırmalarda ele alınan değişken nitel değişken ise ve gözlemler bu değişkenin belirli nitelik sınıflarına karşı gelen frekanslar olduğunda, kurulacak hipotezlerin test edilmesinde daha önce üzerinde durulan testlerin kullanılması uygun değildir. Bu gibi durumlarda Khi-Kare (χ 2 ) testleri kullanılır. Genellikle çok şıklı nitel bölünmelere uygulanan χ 2 testinin esası, incelenen testlerde olduğu gibi, H 0 hipotezinin red mi? kabul mü? edileceğini araştırmaktır. Araştırmalarda χ 2 dağılımı kullanılarak çeşitli hipotez testi uygulamaları yapılmaktadır. Bu testleri Khi-Kare bağımsızlık testi, Khi-Kare homojenlik testi ve Khi-Kare uygunluk testi olarak saymak mümkündür Khi-Kare Bağımsızlık Testi Bu testte iki değişken arasında ilişki (bağımlılık) olup olmadığı araştırılır. Bu testte hipotezler; H 0 : İlişki yok (bağımsızlık var) H 1 : İlişki var (bağımsızlık yok) şeklinde kurulmaktadır. Frekansların iki farklı değişkene göre dağılımı söz konusu olduğundan, veriler iki yönlü tablolar ile sunulur. Tablo 8.1'de görüldüğü gibi, bu tabloların bir tarafı ilişki AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

28 166 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME araştırılacak değişkenlerden birinin (başarı durumunun) şıklarını, diğer tarafı ise ikinci değişkenin (cinsiyetin) şıklarını gösterir. Bu iki değişkenin sınıflarının (şıklarının) oluşturduğu sıra ve sütunların kesiştikleri gözlerde bu değişkenler bakımından aynı özellikleri gösteren birimlerin sayıları bulunur. Tablo 8.1: Cinsiyet ve Başarı Durumuna Göre İki Yönlü Tablo Örneği Başarı Durumu Cinsiyet Başarılı Başarısız Toplam Kız Erkek Toplam Bağımsızlık testinde H 0 hipotezinin test edilmesi için kullanılan χ 2 test istatistiğinin ifadesi aşağıdaki gibi yazılır. Burada; G ij, i'inci sıra ve j'inci sütunun kesiştiği gözdeki frekansı, B ij, H 0 hipotezinin doğru olduğu varsayımı altında, aynı gözdeki beklenen frekansı göstermektedir. r ve c ise sırasıyla tablodaki sıra ve sütun sayılarını belirtir. Herhangi bir gözdeki beklenen frekansı (B ij 'yi) hesaplamak için, o gözün yer aldığı sıra ve sütunun toplam frekanslarını çarpmak ve çarpımı genel frekans toplamına (örneklem hacmine) bölmek gerekir. Bu durum eşitliği ilede ifade edilebilir. Burada; dir. χ 2 r c 2 G = ij - B ij i = 1 j = 1 B ij B ij = ni. n. j n.. c n i. = G ij j = 1 r n.j = G ij i = 1 r c n.. = G ij i = 1 j = 1 χ 2 test istatistiği, Ho hipotezi doğru olduğunda v = (r -1) (c-1) serbestlik dereceli χ 2 dağılımı gösterir. Buna göre χ 2 dağılımı tabloları kullanılarak Ho hipotezinin testi kolaylıkla yapılabilir. Bu test sürecinde de, diğer test süreclerinde izlenen adımlar izlenir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

29 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 167 χ 2 dağılımı sürekli bir dağılımdır. Oysa iki yönlü tablolardan hesaplanabilecek beklenen frekansların sayısı sınırlıdır. Bu nedenle kesikli bir dağılım daha uygun düşer. Örneklem hacmi yeterli büyüklükte olduğunda, kesikli bir dağılımın sürekli bir dağılıma yaklaştığını kabul etmek, sonuçlarda büyük hata meydana getirmemektedir. Ancak güvenilir yorumlar yapabilmek için, beklenen frekansların hiç olmazsa 5 olması gerekir. Beklenen frekanslar arasında 5'den küçük değer sözkonusu olduğunda, birbirine yakın sınıflar birleştirilerek frekanslar büyütülür. Serbestlik derecesi v > 2 olduğunda, tek bir beklenen frekansın 5'den küçük olması kabul edilebilir. Ancak bu durumda α = 0, 05 alınmalıdır. Beklenen frekansların 5'den küçük olduğu ve sınıfların birleştirilmediği durumlarda yapılacak testler için χ 2 eşitliğine "Yates Düzeltmesi" adı verilen bir düzeltme uygulanır. Bu, aşağıdaki eşitlikle sağlanır. χ 2 = r c i = 1 j = 1 G ij - B ij - 0,5 2 B ij Örnek verelim: Cinsiyet ile başarı durumu arasında ilişki olup olmadığını araştırmak amacıyla kız ve erkek öğrencilerden birbirinden bağımsız seçimde 100 öğrencilik bir örneklem oluşturulmuş ve aşağıdaki bilgiler elde edilmiştir. α = 0, 01 anlamlılık düzeyi kullanarak araştırmaya ilişkin çözümlemeyi yapınız.? Başarı Durumu Cinsiyet Başarılı Başarısız Toplam Kız Erkek Toplam Çözüm Adım 1 H 0 : Cinsiyet ile başarı arasında ilişki yoktur. H 1 : Cinsiyet ile başarı arasında ilişki vardır. Adım 2: α riski 0, 1'de kontrol edilecektir. Adım 3: H 0 hipotezi kabul edildiğinde χ 2 dağılımı için serbestlik derecesi, r = 2 c = 2 olduğundan ve v = (r -1) (c-1) = (2-1) (2-1) = 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

30 168 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME χ 2 (1 - α); v = (r -1)(c-1)= χ 2 (0,99, 1) = 6,64 χ 2 tablosundan belirlenir. Uygun karar kuralı Şekil 8.11'de gösterilmiştir. Eğer χ 2 χ 2 (0,99, 1) = 6,64 H o kabul edilir. Eğer χ 2 > χ 2 (0,99, 1) = 6,64 H o reddedilir. H 0 Kabul Bölgesi 1-α = 0,99 H 0 Red Bölgesi α = 0,01 2 v = 1 χ (0,99 ; 1) = 6,64 2 χ i Şekil 8.11: Khi-Kare Bağımsızlık Testi İçin İstatistiksel Karar Kuralı Adım 4 Başarı Durumu Cinsiyet Başarılı Başarısız Toplam Kız 12 (10) 8 (10) 20 Erkek 38 (40) 42 (40) 80 Toplam χ (12-10) (8-10) (38-40) (42-40) = = χ 2 = 1 < χ 2 (0,99; 1) = 6,64 olduğu için H 0 kabul edilir, dolayısıyla H 1 kabul edilir. χ 2 = 1 değeri Şekil 8.11'de kabul bölgesinde yer almaktadır. Bu istatistiksel karara göre bu öğrencilerde cinsiyet ile başarı durumu arasında ilişki yoktur Khi-Kare Homojenlik Testi Benzer nedenlerin ve olayların etkileri bakımından homojen olup olmadıkları; gözlenen frekanslarla beklenen frekanslar arasındaki farkın anlamlı olup olmadığı, bu farkların örnekleme hatalarından kaynaklanıp kaynaklanmadığı Khi-Kare homojenlik testi ile araştırılır. Bu test için hipotezler; ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

31 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME 169 H 0 : Homojenlik var H 1 : Homojenlik yok şeklinde kurulur. Homojenlik testinin uygulanmasında Khi-Kare bağımsızlık testindeki süreç aynen izlenir ve test için aynı χ 2 test istatistiği kullanılır. Örnek verelim: Bir okulda iki ayrı yöntemle öğrenim yapılmaktadır. Birinci yöntemle öğrenim gören öğrencilerden 30, ikinci yöntemle öğrenim gören öğrencilerden 70 öğrenci seçilmiştir. Seçilen öğrencilerin başarı durumu ile ilgili bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir. İki yöntem başarı bakımından farklı sonuç vermekte midir? %5 anlamlılık düzeyi kullanarak karar veriniz.? Başarı Durumu Yöntemler Başarısız Başarılı Çok Başarılı Toplam 1. Yöntem Yöntem Toplam Çözüm Adım 1: H 0 : Homojenlik var H 1 : Homojenlik yok Adım 2: α riski 0,05'de kontrol edilecektir. Adım 3: H 0 hipotezi kabul edildiğinde χ 2 dağılımı için serbestlik derecesi, r = 2 c = 3 olduğundan v = (r - 1) (c - 1) = v = (2-1) (3-1) = 2 ve χ 2 (1-a) ; r= (r-1) (c-1) = χ 2 (0,95 ; 2) = 5,99 χ 2 tablosundan belirlenir. Bu bilgilere göre uygun karar kuralı Şekil 8.12'de gösterilmiştir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

32 170 İ STATİ STİ KSEL KARAR VERME H 0 Kabul Bölgesi 1-α = 0,95 H 0 Red Bölgesi α = 0,05 v = 2 2 χ (0,95 ; 2) = 5,99 2 χ i Şekil 8.12: Khi-Kare Homojenlik Testi İçin Karar Kuralı Eğer χ 2 χ 2 (0,95 ; 2) = 5,99 H 0 kabul edilir. Eğer χ 2 > χ 2 (0,95 ; 2) = 5,99 H 0 reddedilir. Adım 4: Başarı Durumu Yöntemler Başarısız Başarılı Çok Başarılı Toplam 1. Yöntem 16 (6) 8 (15) 6 (9) Yöntem 4 (14) 42 (35) 24 (21) 70 Toplam χ 2 = = 29,91 22 χ 2 = 29,91 > χ 2 (0,95 ; 2) = 5,99 olduğu için H 0 reddedilir. İki yöntem başarı durumu bakımından farklı sonuç vermektedir; Homojenlik vardır Khi-Kare Uygunluk Testi Burada gözlenen frekansaların H 0 hipotezinde öne sürülen beklenen frekanslara uyup uymadığı araştırılmak istenir. Başka bir anlatımla gözlenen frekanslardan oluşan bölünme ile beklenen frekanslardan oluşan bölünme arasındaki farkın rassal sebeplerden mi kaynaklandığı yoksa bu farkın anlamlı bir fark mı olduğu test edilir. Bu testte hipotezler; H 0 : Uygunluk var H 1 : Uygunluk yok şeklinde kurulur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

İstatistiksel Tahmin ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Doç.Dr. Ahmet ÖZMEN

İstatistiksel Tahmin ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Doç.Dr. Ahmet ÖZMEN İstatistiksel Tahmin Yazar Doç.Dr. Ahmet ÖZMEN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; evren parametreleri hakkında yorum yapmayla ilgili iki yöntemden birisi olan evren parametrelerinin tahmin edilmesine

Detaylı

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 1 BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 'Student t dağılımı' ya da kısaca 't dağılımı'; normal dağılım ve Z dağılımının da içerisinde bulunduğu 'sürekli olasılık dağılımları' ailesinde yer alan dağılımlardan bir

Detaylı

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0 YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. Tanım Hipotez, bir veya daha fazla anakütle hakkında ileri sürülen, ancak doğruluğu önceden bilinmeyen iddialardır. Ortaya atılan iddiaların, örnekten elde edilen

Detaylı

Hipotez Testlerine Giriş. Hipotez Testlerine Giriş

Hipotez Testlerine Giriş. Hipotez Testlerine Giriş Hipotez Testlerine Giriş Hipotez Testlerine Giriş Hipotez Testlerine Giriş Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, raslantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel

Detaylı

Hipotez Testleri. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Hipotez Testleri. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Hipotez Testleri Mühendislikte İstatistik Yöntemler Hipotez Testleri Parametrik Testler ( z ve t testleri) Parametrik Olmayan Testler (χ 2 Testi) Hipotez Testleri Ana Kütle β( µ, σ ) Örnek Kütle b ( µ

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Uygulama 4 Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Uygulama 4 Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK Uygulama 4 Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Örnek Senaryo İmplant üreten İMPLANTDENT

Detaylı

10. Bir ana kütle oranının tahmininde α = 0,05 ise kullanılan Z değeri nedir? A) 1,64 B) 1,84 C) 1,96 D) 2,28 E) 3,08

10. Bir ana kütle oranının tahmininde α = 0,05 ise kullanılan Z değeri nedir? A) 1,64 B) 1,84 C) 1,96 D) 2,28 E) 3,08 1. Tanımlanan ana kütleden rassal seçilen örneklemlerden hesaplanan istatistikler yardımı ile ilgili ana kütle parametrelerinin değerini araştırma sürecine ne ad verilir? A) İstatistiksel hata B) İstatistiksel

Detaylı

BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ

BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ 1 BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ Bilimsel yöntem aşamalarıyla tanımlanmış sistematik bir bilgi üretme biçimidir. Bilimsel yöntemin aşamaları aşağıdaki gibi sıralanabilmektedir (Karasar, 2012): 1. Bir problemin

Detaylı

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.

Detaylı

Hipotez Testi ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I. Hipotez Testi. Hipotez Testi

Hipotez Testi ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I. Hipotez Testi. Hipotez Testi ENM 52 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I (Ortalamalar ve Oranlar İçin ) İstatistiksel Hipotezler İstatistiksel hipotez testi ve parametrelerin güven aralığı tahmini,

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ HİPOTEZ NEDİR?

HİPOTEZ TESTLERİ HİPOTEZ NEDİR? HİPOTEZ TESTLERİ HİPOTEZ NEDİR? Örnekleme ile test edilmeye çalışılan bir popülasyonun ilgili parametresi hakkında ortaya sunulan iddiadır. Örneğin; A dersi için vize ortalaması 50 nin altındadır Firestone

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde

Detaylı

Nokta ve Aralık Tahmini Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımı Hipotez Testlerine Giriş

Nokta ve Aralık Tahmini Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımı Hipotez Testlerine Giriş Nokta ve Aralık Tahmini Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımı Hipotez Testlerine Giriş Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Nokta Tahmini

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8 PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8 Prof. Dr. Ali ŞEN İki Populasyonun Karşılaştırılması: Eşleştirilmiş Örnekler için Wilcoxon İşaretli Mertebe Testi -BÜYÜK ÖRNEK Bağımsız populasyonlara uygulanan

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİK Hipotez Testleri

OLASILIK ve İSTATİSTİK Hipotez Testleri OLASILIK ve İSTATİSTİK Hipotez Testleri Yrd.Doç.Dr. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Hipotezler ve Testler Hipotez, kitleye(yığına) ait

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME. Örneklem istatistiklerinden hareketle ana kütle parametreleri hakkında genelleme yapmaya istatistiksel tahminleme denir.

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME. Örneklem istatistiklerinden hareketle ana kütle parametreleri hakkında genelleme yapmaya istatistiksel tahminleme denir. İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME Örneklem istatistiklerinden hareketle ana kütle parametreleri hakkında genelleme yapmaya istatistiksel tahminleme denir. 1 ŞEKİL: Evren uzay-örneklem uzay İstatistiksel tahmin

Detaylı

26.12.2013. Farklı iki ilaç(a,b) kullanan iki grupta kan pıhtılaşma zamanları farklı mıdır?

26.12.2013. Farklı iki ilaç(a,b) kullanan iki grupta kan pıhtılaşma zamanları farklı mıdır? 26.2.23 Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, raslantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HĐPOTEZ TESTLERĐ denir. Sonuçların raslantıya bağlı olup

Detaylı

009 BS 400- İstatistik sonılannın cevaplanmasında gerekli olabilecek tablolar ve formüller bu kitapçığın sonunda verilmiştir. 1. şağıdakilerden hangisi doğal birimdir? l TV alıcısı Bl Trafik kazası CL

Detaylı

Hipotez Testi. gibi hususlar ayrıbirer hipotezin konusudur. () Kafkas Üniversitesi May 23, / 11

Hipotez Testi. gibi hususlar ayrıbirer hipotezin konusudur. () Kafkas Üniversitesi May 23, / 11 Hipotez Testi Bu dersde anakütle parametresinin varsayılan değeri ile başlayıp, örneklem kullanarak varsayılan değerin uygunluğunun kabul edilmesi ya da reddedilmesi sonucuna karar verilecektir. Ortaya

Detaylı

İstatistiksel Yorumlama

İstatistiksel Yorumlama İstatistiksel Yorumlama Amaç, popülasyon hakkında yorumlamalar yapmaktadır. Populasyon Parametre Karar Vermek Örnek İstatistik Tahmin 1 Tahmin Olaylar hakkında tahminlerde bulunmak ve karar vermek zorundayız

Detaylı

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek,

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, İSTATİSTİK 8.Hafta Değişkenlik Ölçüleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, Serilerin birbirlerine değişkenliklerini yorumlayabileceksiniz. 2

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler İÇERİK o Giriş ovaryansı Bilinen Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler P-değerleri: II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi Örnekleme Büyüklüğü

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL İYİ UYUM TESTİ Rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun ve parametresinin bilinmediği, ancak belirli

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 EME 3105 1 Girdi Analizi Prosedürü SİSTEM SİMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Girdi

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ. Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ

ÖRNEKLEME TEORİSİ. Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ ÖRNEKLEME TEORİSİ 1 Bir popülasyonu istatistiksel açıdan incelemek ve işlemler yapabilmek için popülasyon içerisinden seçilen örneklemlerden yararlandığımızı söylemiştik. Peki popülasyonun istatistiksel

Detaylı

Hipotez. Hipotez Testleri. Y. Doç. Dr. İbrahim Turan Nisan 2011

Hipotez. Hipotez Testleri. Y. Doç. Dr. İbrahim Turan Nisan 2011 Hipotez Hipotez Testleri Y. Doç. Dr. İbrahim Turan Nisan 2011 Hipotez Nedir? Gözlemlenebilir (araştırılabilir) bir olay, olgu veya fikri mantıklı ve bilimsel olarak açıklamaya yönelik yapılan tahminlerdir.

Detaylı

İSTATİSTİK II (İST202U)

İSTATİSTİK II (İST202U) İSTATİSTİK II (İST202U) KISA ÖZET KOLAYAOF DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ.

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 Tek Örneklem İşaret Testi İşaret Testi parametrik olmayan prosedürler içinde en eski olanıdır. Analiz yapılırken serideki verileri artı ve

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.

Detaylı

BÖLÜM 14 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 3 (ORTALAMALARIN KARŞILAŞTIRILMASI)

BÖLÜM 14 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 3 (ORTALAMALARIN KARŞILAŞTIRILMASI) 1 BÖLÜM 14 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 3 (ORTALAMALARIN KARŞILAŞTIRILMASI) Hipotez testi konusunda görüldüğü üzere temel betimleme, sayma ve sınıflama işlemlerine dayalı yöntemlerin ötesinde normal dağılım

Detaylı

1 Hipotez konusuna öncelikle yokluk hipoteziyle başlanılan yaklaşımda, araştırma hipotezleri ALTERNATİF HİPOTEZLER olarak adlandırılmaktadır.

1 Hipotez konusuna öncelikle yokluk hipoteziyle başlanılan yaklaşımda, araştırma hipotezleri ALTERNATİF HİPOTEZLER olarak adlandırılmaktadır. Özellikle deneysel araştırmalarda, araştırmacının doğru olup olmadığını yapacağı bir deney ile test edeceği ve araştırma sonunda ortaya çıkan sonuçlarla doğru ya da yanlış olduğuna karar vereceği bir önermesi

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

HİPOTEZ TESTLERİ. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN HİPOTEZ TESTLERİ Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Hipotez Nedir? HİPOTEZ: parametre hakkındaki bir inanıştır. Parametre hakkındaki inanışı test etmek için hipotez testi yapılır. Hipotez testleri sayesinde örneklemden

Detaylı

Kazanımlar. Z puanları yerine T istatistiğini ne. zaman kullanacağını bilmek. t istatistiği ile hipotez test etmek

Kazanımlar. Z puanları yerine T istatistiğini ne. zaman kullanacağını bilmek. t istatistiği ile hipotez test etmek T testi Kazanımlar Z puanları yerine T istatistiğini ne 1 zaman kullanacağını bilmek 2 t istatistiği ile hipotez test etmek 3 Cohen ind sini ve etki büyüklüğünü hesaplamak 1 9.1 T İstatistiği: zalternatifi

Detaylı

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel sayma

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK PARAMETRİK TESTLER

BİYOİSTATİSTİK PARAMETRİK TESTLER BİYOİSTATİSTİK PARAMETRİK TESTLER Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT *Bir testin kullanılabilmesi için belirli şartların sağlanması gerekir. *Bir testin, uygulanabilmesi için gerekli şartlar; ne kadar çok veya güçlü

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Hipotez Testi 21/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Hipotez Testi 21/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Hipotez Testi 21/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beykent.edu.tr 1 Güven aralığı ve Hipotez testi Güven aralığı µ? µ? Veriler, bir değer aralığında hangi değeri gösteriyor? (Parametrenin gerçek

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi

Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi Güven Aralıkları Popülasyon Ortalamasının Tahmin Edilmesi Tanımlar: Nokta Tahmini Popülasyon parametresi hakkında tek bir rakamdan oluşan tahmindir. Popülasyon ortalaması ile ilgili en iyi nokta tahmini

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Soru Öğrencilerin derse katılım düzeylerini ölçmek amacıyla geliştirilen 16 soruluk bir test için öğrencilerin ilk 8 ve son 8 soruluk yarılardan aldıkları puanlar arasındaki

Detaylı

Herhangi bir oranın belli bir değere eşit olmadığını test etmek için kullanılır.

Herhangi bir oranın belli bir değere eşit olmadığını test etmek için kullanılır. Hipotez testleri-oran testi Oran Testi Herhangi bir oranın belli bir değere eşit olmadığını test etmek için kullanılır Örnek: Yüz defa atılan bir para 34 defa yazı gelmiştir Paranın yazı gelme olasılığının

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

istatistik El 10 1_ ve 2_ sorular a Ş3 gldakl bilgilere göre Al 4 Bl 6 cı 7 Dl 8 Al 5 B) 12 CL 27 D) 28 E) 35 2Q 10 BS 4200-A

istatistik El 10 1_ ve 2_ sorular a Ş3 gldakl bilgilere göre Al 4 Bl 6 cı 7 Dl 8 Al 5 B) 12 CL 27 D) 28 E) 35 2Q 10 BS 4200-A 2Q 10 BS 4200- İstatistik sorulannın cevap l anmasında gerekli olabilecek tablolar ve f ormüller bu kita p ç ığın sonunda ver-ilmiştir. 1_ ve 2_ sorular a Ş3 gldakl bilgilere göre cevaplandırılacaktır

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

İSTATİSTİK HAFTA. ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ

İSTATİSTİK HAFTA. ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ HEDEFLER Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Örneklemenin niçin ve nasıl yapılacağını öğreneceksiniz. Temel Örnekleme metotlarını öğreneceksiniz. Örneklem

Detaylı

OLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler

OLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler 1 SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

BÖLÜM 10 PUAN DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 10 PUAN DÖNÜŞÜMLERİ 1 BÖLÜM 10 PUAN DÖNÜŞÜMLERİ Bir gözlem sonucunda elde edilen ve üzerinde herhangi bir düzenleme yapılmamış ölçme sonuçları 'ham veri' ya da 'ham puan' olarak isimlendirilir. Genellikle ham verilerin anlaşılması

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans

Detaylı

Oluşturulan evren listesinden örnekleme birimlerinin seçkisiz olarak çekilmesidir

Oluşturulan evren listesinden örnekleme birimlerinin seçkisiz olarak çekilmesidir Bilimsel Araştırma Yöntemleri Prof. Dr. Şener Büyüköztürk Doç. Dr. Ebru Kılıç Çakmak Yrd. Doç. Dr. Özcan Erkan Akgün Doç. Dr. Şirin Karadeniz Dr. Funda Demirel Örnekleme Yöntemleri Evren Evren, araştırma

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Prof. Dr. Nihal ERGİNEL PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Daha önce incelediğimiz testler, normal dağılmış ana kütleden örneklerin

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 6

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 6 PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 6 Prof. Dr. Ali ŞEN 1 İki populasyon karşılaştırılırken her iki örneklemin hacmi n1 ve n2, 10 dan büyükse TA nın dağılışı ortalaması ve varyansı aşağıdaki gösterilen

Detaylı

χ 2 Testi Mühendislikte İstatistik Yöntemler Bağımsızlık Testi Homojenlik Testi Uygunluk Testi

χ 2 Testi Mühendislikte İstatistik Yöntemler Bağımsızlık Testi Homojenlik Testi Uygunluk Testi χ Testi Mühendislikte İstatistik Yöntemler χ Testi Bağımsızlık Testi Homojenlik Testi Uygunluk Testi χ Testi Sayısal olmayan değişkenler arasındaki ilişkinin testi (Bağımsızlık) Farklı örnek kütlelerin

Detaylı

Sürekli Rastsal Değişkenler

Sürekli Rastsal Değişkenler Sürekli Rastsal Değişkenler Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Temel İstatistik Tanımlayıcı İstatistik Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011 DAĞILIM / YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ Verilerin değişkenlik durumu ve dağılışın şeklini

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

ORTALAMA ÖLÇÜLERİ. Ünite 6. Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH

ORTALAMA ÖLÇÜLERİ. Ünite 6. Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH ORTALAMA ÖLÇÜLERİ Ünite 6 Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH Araştırma sonucunda elde edilen nitelik değişkenler hakkında tablo ve grafikle bilgi sahibi olunurken, sayısal değişkenler hakkında bilgi sahibi olmanın

Detaylı

ĐŞLE 544 ĐSTATĐSTĐK ARA SINAV 11 Mayıs 2006

ĐŞLE 544 ĐSTATĐSTĐK ARA SINAV 11 Mayıs 2006 ĐŞLE 5 ĐSTATĐSTĐK ARA SINAV Mayıs 00 Adı Soyadı: No: [0 puan] -Bir Üniversitede okutulan derslerin öğrenciler tarafından değerlendirilmesi amacı ile hazırlanan bir anket formundaki sorulardan biri: Aldığınız

Detaylı

TEMEL EĞİTİMDEN ORTAÖĞRETİME GEÇİŞ ORTAK SINAV BAŞARISININ ÇEŞİTLİ DEĞİŞKENLER AÇISINDAN İNCELENMESİ

TEMEL EĞİTİMDEN ORTAÖĞRETİME GEÇİŞ ORTAK SINAV BAŞARISININ ÇEŞİTLİ DEĞİŞKENLER AÇISINDAN İNCELENMESİ T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ VERİ ANALİZİ, İZLEME VE DEĞERLENDİRME DAİRE BAŞKANLIĞI TEMEL EĞİTİMDEN ORTAÖĞRETİME GEÇİŞ ORTAK SINAV BAŞARISININ ÇEŞİTLİ

Detaylı

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır.

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır. İstatistiksel güven aralıkları uygulamalarında normallik (normal dağılıma uygunluk) oldukça önemlidir. Kullanılan parametrik istatistiksel tekniklerin geçerli olabilmesi için populasyon şans değişkeninin

Detaylı

Student t Testi. Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK. Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı

Student t Testi. Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK. Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Student t Testi Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Konu Başlıkları Tek örnek t testi SPSS de tek örnek t testi uygulaması Bağımsız iki örnek

Detaylı

Parametrik Olmayan Testler. İşaret Testi-The Sign Test Mann-Whiney U Testi Wilcoxon Testi Kruskal-Wallis Testi

Parametrik Olmayan Testler. İşaret Testi-The Sign Test Mann-Whiney U Testi Wilcoxon Testi Kruskal-Wallis Testi Yrd. Doç. Dr. Neşet Demirci, Balıkesir Üniversitesi NEF Fizik Eğitimi Parametrik Olmayan Testler İşaret Testi-The Sign Test Mann-Whiney U Testi Wilcoxon Testi Kruskal-Wallis Testi Rank Korelasyon Parametrik

Detaylı

Araştırmada Evren ve Örnekleme

Araştırmada Evren ve Örnekleme 6. Bölüm Araştırmada Evren ve Örnekleme 1 İçerik Örnekleme Teorisinin Temel Kavramları Örnekleme Yapmayı Gerekli Kılan Nedenler Örnekleme Süreci Örnekleme Yöntemleri 2 1 Giriş Araştırma sonuçlarının geçerli,

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik

Parametrik Olmayan İstatistik Parametrik Olmayan İstatistik 2 Anakütlenin Karşılaştırılması İki Anakütlenin Karşılaştırılması Bağımsız Örnekler Eşleştirilmiş Örnekler Wilcoxon Mertebe Toplam Testi İşaret Testi Wilcoxon İşaretli Mertebe

Detaylı

Merkezi Limit Teoremi

Merkezi Limit Teoremi Örnekleme Dağılımı Merkezi Limit Teoremi Şimdiye kadar normal dağılıma uygun olan veriler ile ilgili örnekler incelendi. Çarpıklık gösteren veriler söz konusu olduğunda ne yapılması gerekir? Hala normal

Detaylı

MATE211 BİYOİSTATİSTİK

MATE211 BİYOİSTATİSTİK MATE211 BİYOİSTATİSTİK ÇALIŞMA SORULARININ ÇÖZÜM VE CEVAPLARI Yapılan bir araştırmada, 136 erişkin kişinin kanlarındaki kolesterol düzeyleri gr/dl cinsinden aşağıda verilmiştir: 180 230 190 186 220 191

Detaylı

Ki- Kare Testi ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL

Ki- Kare Testi ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL İYİ UYUM TESTİ Rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun ve parametresinin bilinmediği, ancak belirli

Detaylı

PARAMETRİK TESTLER. Tek Örneklem t-testi. 200 öğrencinin matematik dersinden aldıkları notların ortalamasının 70 e eşit olup olmadığını test ediniz.

PARAMETRİK TESTLER. Tek Örneklem t-testi. 200 öğrencinin matematik dersinden aldıkları notların ortalamasının 70 e eşit olup olmadığını test ediniz. PARAMETRİK TESTLER Tek Örneklem t-testi 200 öğrencinin matematik dersinden aldıkları notların ortalamasının 70 e eşit olup olmadığını test ediniz. H0 (boş hipotez): 200 öğrencinin matematik dersinden aldıkları

Detaylı

Kitle: Belirli bir özelliğe sahip bireylerin veya birimlerin tümünün oluşturduğu topluluğa kitle denir.

Kitle: Belirli bir özelliğe sahip bireylerin veya birimlerin tümünün oluşturduğu topluluğa kitle denir. BÖLÜM 1: FREKANS DAĞILIMLARI 1.1. Giriş İstatistik, rasgelelik içeren olaylar, süreçler, sistemler hakkında modeller kurmada, gözlemlere dayanarak bu modellerin geçerliliğini sınamada ve bu modellerden

Detaylı

LAÜ FEN EDEBĐYAT FAKÜLTESĐ PSĐKOLOJĐ BÖLÜMÜ PSK 106 ĐSTATĐSTĐK YÖNTEMLER I BAHAR DÖNEMĐ BÜTÜNLEME SINAVI SORULARI

LAÜ FEN EDEBĐYAT FAKÜLTESĐ PSĐKOLOJĐ BÖLÜMÜ PSK 106 ĐSTATĐSTĐK YÖNTEMLER I BAHAR DÖNEMĐ BÜTÜNLEME SINAVI SORULARI LAÜ FEN EDEBĐYAT FAKÜLTESĐ PSĐKOLOJĐ BÖLÜMÜ PSK 106 ĐSTATĐSTĐK YÖNTEMLER I 2015-2016 BAHAR DÖNEMĐ BÜTÜNLEME SINAVI SORULARI Tarih/Saat/Yer: 24.06.16/11:00-12:30/AS010 Instructor: Prof. Dr. Hüseyin Oğuz

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜ GÜÇ ANALİZİ

ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜ GÜÇ ANALİZİ ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜ GÜÇ ANALİZİ Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Sakarya Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı uerkorkmaz@sakarya.edu.tr Uygun Örneklem Büyüklüğü Toplum Ortalamasının Kestirilmesinde

Detaylı

İstatistik. Temel Kavramlar Dr. Seher Yalçın 1

İstatistik. Temel Kavramlar Dr. Seher Yalçın 1 İstatistik Temel Kavramlar 26.12.2016 Dr. Seher Yalçın 1 Evren (Kitle/Yığın/Popülasyon) Herhangi bir gözlem ya da inceleme kapsamına giren obje ya da bireylerin oluşturduğu bütüne ya da gruba Evren veya

Detaylı

PAZARLAMA ARAŞTIRMA SÜRECİ

PAZARLAMA ARAŞTIRMA SÜRECİ PAZARLAMA ARAŞTIRMA SÜRECİ Pazarlama araştırması yapılırken belirli bir sıra izlenir. Araştırmada her aşama, birbirinden bağımsız olmayıp biri diğeri ile ilişkilidir. Araştırma sürecinde başlıca aşağıdaki

Detaylı

istatistik 4. Bir frekans dağılımına ilişkin birikimli seriler 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi

istatistik 4. Bir frekans dağılımına ilişkin birikimli seriler 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi 2010 S 4200- İstatistik sorulannın cevap l anmasında gerekli olabilecek t ablolar ve f ormüller bu kitapçığın sonunda verilmiştir. 1. Birimlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıstır? ) Maddesel

Detaylı

Önemlilik Testleri. Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU

Önemlilik Testleri. Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU Önemlilik Testleri Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU ÖNEMLİLİK TESTLERİ Önemlilik testleri elde edilen değerlerin ya da varılan sonuçların istatistiksel olarak önem taşıyıp taşımadığını ya da anlamlı olup olmadığını

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 2: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İnceleme sonucu elde edilen ham verilerin istatistiksel yöntemler kullanılarak özetlenmesi açıklayıcı istatistiği konusudur. Açıklayıcı istatistikte

Detaylı

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ SAKARYA ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ Hafta 13 Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan

Detaylı

İSTATİSTİK I KISA ÖZET KOLAYAOF

İSTATİSTİK I KISA ÖZET KOLAYAOF DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. İSTATİSTİK I KISA ÖZET KOLAYAOF 2 Kolayaof.com

Detaylı

İki Değişkenli Bağlanım Çıkarsama Sorunu

İki Değişkenli Bağlanım Çıkarsama Sorunu İki Değişkenli Bağlanım Çıkarsama Sorunu Aralık Tahmini Ekonometri 1 Konu 15 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0 Unported

Detaylı

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sınav toplam 100 puan değerinde 4 sorudan oluşmaktadır. Sınav süresi 90 dakikadır ve tüm soruların

Detaylı

Geçerliliği olasılık esaslarına göre araştırılabilen ve karar verebilmek için öne sürülen varsayımlara istatistikte hipotez denir.

Geçerliliği olasılık esaslarına göre araştırılabilen ve karar verebilmek için öne sürülen varsayımlara istatistikte hipotez denir. BÖLÜM 4. HİPOTEZ TESTİ VE GÜVEN ARALIĞI 4.1. Hipotez Testi Geçerliliği olasılık esaslarına göre araştırılabilen ve karar verebilmek için öne sürülen varsayımlara istatistikte hipotez denir. Örneklem dağılımlarından

Detaylı

OLASILIK (Probability)

OLASILIK (Probability) OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P

Detaylı

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU FREKANS DAĞILIMLARINI TANIMLAYICI ÖLÇÜLER Düzenlenmiş verilerin yorumlanması ve daha ileri düzeydeki işlemler için verilerin bütününe ait tanımlayıcı ve özetleyici ölçülere ihtiyaç

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Neşet Demirci, Balıkesir Üniversitesi NEF Fizik Eğitimi. Parametrik Olmayan Testler. Ki-kare (Chi-Square) Testi

Yrd. Doç. Dr. Neşet Demirci, Balıkesir Üniversitesi NEF Fizik Eğitimi. Parametrik Olmayan Testler. Ki-kare (Chi-Square) Testi Parametrik Olmayan Testler Ki-kare (Chi-Square) Testi Ki-kare (Chi-Square) Testi En iyi Uygunluk (Goodness of Fit) Ki-kare Dağılımı Bir çok önemli istatistik testi ki kare diye bilinen ihtimal dağılımı

Detaylı