Fonksiyonlar ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Bu üniteyi çalıştıktan sonra; gündelik yaşamda ve matematikte fonksiyon kavramını tanımış

Transkript

1 Fonksionlr ÜNİTE Amçlr Bu ünitei çlıştıktn sonr; gündelik şmd ve mtemtikte fonksion kvrmını tnımış olk, fonksionlrl pılileek oln kimi işlemleri dh ii nlk, gerek duduğunuzd u kvrmı kendi şmınızd d kullnileeksiniz. İçindekiler Fonksion Kvrmın Giriş Fonksionlrd Özel Kümeler Özel Fonksionlr Fonksionlrın Bileşkesi; Bire-Bir, Örten Fonksionlr; Ters Fonksion Değerlendirme Sorulrı rrlnıln ve Bşvurulileek Knklr

2 Çlışm Önerileri İlk üniteler için ptığımız çlışm önerilerimiz u ünite için de geçerlidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

3 FONKSİ ONLAR 5.. Fonksion Kvrmın Giriş. Ünite... Örnekte = { Blkın, Alp, Aşegül, İpek, Muzffer, Utkn} kümesinden = {mvi, eşil, srı, kırmızı, turunu, gri, mor, sih} kümesine tnımlmış olduğumuz ir R ğıntısını şöle göstermiştik: ptığımız oklm gerçekte kümesindeki kişilerin den eğendikleri renkleri görsel olrk çıkln ir ğıntıdır; ve irz sonr sunğımız nlmd ir "fonksion" değildir. Fonksion zı koşullrı oln özel ir ğıntıdır. Bu koşullrın neler olduğunu ve genel ğıntı kvrmındn frklılığını dh ii görmek için şu iki durum özen göstermeliiz: ukrıdki ğıntıd kimi kişisine sğ nd ir d dh fzl sıd renk krşılık gelmektedir. İpek'in de eğendiği ir renk oktur. Şimdi den kümesine ir F ğıntısını u iki durumdn frklı olrk, şğıdki koşullrı sğlk şekilde elirleelim: () Bir kişisi içindeki renklerden ir ve lnız ir renk seçme zorunluluğund olsun. () Birini koşuld elirtilen nlmd seçim pm zorunluluğu herir kişisi için geçerli olsun. Bu iki koşulu sğlk şekilde ir seçim şöle olilir: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

4 6 FONKSİ ONLAR Açıklmlr:. Kişiler u kez tek renk seçmek zorund kldılr.. İpek de kümesinden ir renk seçti. Kol nlşılğı gii, ukrıd F dını tktığımız u eni ilişkiler ğıd sonuçt ir ğıntıdır, nk oldukç özel ir ğıntıdır. Bu ilgilerin ışığı ltınd "fonksion" kvrmını tnımlilme noktsındız:... Tnım, kümeleri ve kümesinden kümesine ir f ğıntısı verilmiş olsun. () Bir öğesi için (, ) f olk içimde ir ve lnız ir vrdır; () ukrıd () ile verilen özellik herir için geçerlidir, koşullrı sğlnıors, f e kümesinden kümesine ir fonksion denir ve f: simgesile gösterilir. O hlde, kümesinden kümesine ir f ğıntısının fonksion olilmesi için her için (, ) f olk şekilde ir olmlıdır. Arı (, ) f ve (, ') f olk şekilde, ' vrs, = ' olmlıdır. Şimdi örneklere geçmeden öne "fonksion" d eşnlmlı olrk kullnıln "işlev" sözüklerinin nlmı konusu üzerinde kıs ir trtışm plım: Sözüklere kk olursk, "fonksion" d "işlev"in, ir kişi d kimsenin gördüğü iş, iş görme etisi die tnımlndığını görürüz: kümesindeki herir kişi için, u kişie krşılık gelen ve onun seçtiği ir ve lnız ir renk ulunmktdır. Bir şk deişle, içinde lınn her ir öğesi için, içinde ir nlmd in ptığı işi gösteren ir ve lnız ir öğe ulunmktdır. Sözkonusu u ilişkii dh çık olrk görmek için kişisine içinde krşılık gelen rengi F() ile göstereiliriz. ( F() e in krşılığı d dh genel olrk 'in F ltındki görüntüsü denir). Bu örnek için F (Blkın) = eşil, F (Alp) = srı, F (Aşegül) = sih, F (İpek) = mor, F (Muzffer) = kırmızı, F (Utkn) = mor ziliriz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

5 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ Bölee, genel olrk, ir kümesinden ir kümesine ir f fonksionu tnımlnmışs, ir öğesine içinde krşılık gelen öğe undn öle f () die gösterileektir. Bir enzetme prsk; f i ir mkine olrk düşüneek olursk, f e değeri girdiğinde u değer işlenerek sonuçt f () değeri üretilmektedir. f mkinesinin işlevi (fonksionu) değerine krşılık f () değerini üretmektir.... Örnek = {,, } kümesinden = {, } kümesine tüm olsı fonksionlrı ulunuz. Çözüm Toplm = 8 tne fonksion vrdır ve u fonksionlr şöle verileilirler: FONKSİ ONLAR 7 f f () f f f f 5 f 7 f 8 f f 6

6 8 FONKSİ ONLAR... Örnek Geometrile ilgili çeşitli fonksionlr üretmek olnklıdır. Örneğin, kenr uzunluklrı m, m, m, 5 m, 6 m olilen krenin lnının, sırl, m, 9 m, 6 m, 5 m, 6 m olduğunu iliriz. Bu ilgileri ir çizelgede topllım:, m insinden kenr uzunluğunu gösteriors, ln m insinden şöle verilir: 5 6 ln Gerçekte u ilgiler ir fonksion olrk d ifde edileilir: ln: {,,, 5, 6} R, ln () = (Burd fonksionun dını "ln" olrk ifde ettik.) Geometride, fizikte, kimd, ugulmlı ilimlerde geçen pek çok formülün ulunduğunu ilirsiniz. Örneğin, A = π r = v t - gt I = V R. (rıçpı r oln direnin lnı); ( t = nınd v ilk hızıl ukrı doğru fırltıln ir ismin ir t nındki konumu; urd g erçekimi ivmesini ve t zmnı göstermektedir); (R sit direni verildiğinde V gerilimi için devreden geçen kım) gii formüllerden her irini ir fonksion die lgıliliriz. Sözgelişi, ikini formülde, konumunun t zmnın ğlı ir fonksion olrk : [, ) R, t = v t - g t içiminde ziliriz.... Örnek Belirli ir günde mrk (M) ve dolr (D) rsınd dolr =,875 mrk ilişkisi vrdır. O hlde, doğru orntı kurllrı doğrultusund, mrkı dolr çevirme işlemi, Ç: {M R M } {D R D } ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 FONKSİ ONLAR 9 Ç (M) = M/,875 gii ir fonksionl ifde edilir. f: fonksionu = f () şeklinde verilmişse e ğımsız değişken,, e ğlı olrk değiştiğinden dolı e ğımlı değişken denir... Fonksionlrd Özel Kümeler Bu kesimde, verilen ir fonksion ilişkin olrk, fonksionun tnım kümesi, değer kümesi, grfiği gii çeşitli kümelerden söz edeeğiz.... Tnım f: fonksionu verilmiş olsun. () kümesine f fonksionunun tnım kümesi, kümesine de f fonksionunun değer kümesi denir. () { (, f()) } lt kümesi ise f fonksionunun grfiği dını lır. Şimdi çeşitli örneklerde u kvrmlrı ineleelim:... Örnek.. Kesimin şınd ldığımız F fonksionunun tnım kümesi = { Blkın, Alp, Aşegül, İpek, Muzffer, Utkn } değer kümesi de = { mvi, eşil, srı, kırmızı, turunu, gri, mor, sih } olur. F nin grfiğini göstermek için. Ünitede öğrendiğimiz öntemlerden rrlnrk şğıdki içimde ir çizenek elde ederiz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ... Örnek... Örnekte verilen 8 tne fonksiondn ilk dört tnesinin grfiği şöle çizileilir: Bir f: fonksionunun grfiğini oluştururken, tnım kümesini t eksen ve değer kümesini düşe eksen olrk ldığımız özen gösteriniz. Grfikte görülen R kümesi kümesinden kümesine ir fonksionun grfiği olilir mi? Neden? FONKSİ ONLAR R?

9 FONKSİ ONLAR ukrıd örneklerle gördük ki, iki küme rsınd irden çok fonksion tnımlnilmektedir. O hlde, tnım ve değer kümeleri nı oln iki fonksionun ne zmn nı d ne zmn frklı olklrı sorusu önelikle çıklığ kvuşturulmlıdır. Bunun için iki fonksionun eşitliğini tnımlmk eteektir.... Tnım f ve g tnım ve değer kümeleri nı oln iki fonksion olsunlr; f: ve g:. Her için f() = g() ise f ve g e eşit fonksionlr denir ve f = g zılır. Fonksion eşitliği tnımınd özen göstermemiz gereken iki önemli nokt şudur: İki fonksionun eşit olmsı için önelikle unlrın tnım ve değer kümeleri eşit olmlıdır. Tnım kümesinin her noktsınd fonksionlr nı değeri lmlıdır. Sözgelişi, = {,,, } kümesinden = {,, } kümesine f() = f() =, f() = f() = olrk tnımlnn f fonksionu ile g() = g() =, g() =, g() = olrk tnımlnn g fonksionu frklı fonksionlrdır. Çünkü u fonksionlrın tnım ve değer kümelerinin nı olmsın krşın, noktsınd frklı değerler lırlr; ni f() g() dür. Ugulmlrd krşımız çıkn fonksionlrın üük ir çoğunluğu, tnım ve değer kümeleri R gerçel sılr kümesi d onun lt kümeleri oln fonksionlrdır. Bu tür fonksionlrın grfikleri R R = R çrpım kümesinin lt kümeleridir. Dolısıl u tür grfiklerin çizimlerini pilmek için, R nin ve R nin geometrik modeli olrk gerçel ekseni ve koordint düzlemini kıs nımstlım: Gerçel sılr kümesi R, dın gerçel eksen denilen ir doğru ile temsil edilir. Böle ir doğru üzerinde sıfır sısın krşılık gelmek üzere şlngıç noktsı, sğ doğru giden ön pozitif ön ve ir irim uzunluk seçilir. Bşlngıç noktsındn itiren, pozitif önde irim uzunluk ktlnrk lınırs, sırsıl,,... sılrın krşılık gelen noktlr ulunur. Anı işlem şlngıç noktsının diğer önünde pılırs -, -, -,... sılrın krşılık gelen noktlr ulunur Gerçel eksen Bölee gerçel eksen üzerinde doğl sılr kümesi N i, tmsılr kümesi Z i, rsonel sılr kümesi Q u ve irrsonel sılr kümesi Q t i, kıs tüm gerçel sılr kümesi R i göstereiliriz. Böle ir doğru üzerindeki noktlrl R içindeki sılr ireir eşlenmiş olur; ni doğru üzerindeki her nokt ir gerçel sı ve her gerçel sı d u doğru üzerinde ir nokt krşılık gelmiş olur. İkini şmd iki tne gerçel ekseni, şğıd görüldüğü gii, irirlerini şlngıç noktlrınd dik olrk keseek içimde çizeriz: R AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 FONKSİ ONLAR p(,) Burd t olrk çizilen doğru -ekseni, dike olrk çizilen doğru -ekseni denir. Bu oll, düzlem üzerindeki p noktsıl şekildeki gii oluşn, sılrının oluşturduğu (,) sırlı ikilisini irirlerile özdeşleeiliriz. ('e p noktsının -koordintı, 'e p noktsının -koordintı denir.) Bölee düzlemin noktlrıl R nin öğeleri ireir eşlenmiş olur. Bu içimde oluşturuln düzleme koordint düzlemi dioruz. I: R R, I() = fonksionun özdeşlik fonksionu denir. Şimdi I: R R, I() = özdeşlik fonksionunun grfiğini çizelim. Bu fonksionun grfiğini çizmek için çeşitli sılrı için un krşılık gelen I() değerlerini elirlemekle işe şllım: I () (, I() )... (-, -) (,) (,) (,) (,) (5,5)... Şimdi u değerleri koordint düzleminde işretleelim: - 5 (-,-) - (,) (,) (,) (,) (5,5) (,) 5 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

11 FONKSİ ONLAR Son olrk, ukrıd verilen değerleri dışındki ler için I() in I() = şeklinde verildiğini nımsrsnız I fonksionunun grfiği şöle çizileilir: - - I() = özdeşlik fonksionunun grfiği ve gerçel sılr olmk üzere, f: R R, f() = + türündeki ir fonksionun grfiği ir "doğru" dur. Bu nedenle grfik üzerinde ulunn frklı iki nokt elirlendiği nd, u iki noktı irleştirerek grfiği hemen çizeiliriz. Şimdi ukrıdki urıı kullnrk u tür iki fonksionun grfiğini çizeeğiz:..5. Örnek g: R R, g() = fonksionunun grfiğini çiziniz. Çözüm Bu fonksion ukrıdki urıd nltıln türde ir fonksion örneğidir. (Böle ir fonksion özel olrk sit fonksion dı verilir). g nin grfiğini çizmek için, isteğe ğlı iki frklı değeri llım ve unlr krşılık gelen g() leri hespllım. Sözgelişi = için g() =, = için g() = olduğu için (,) ve (,) sırlı ikilileri g fonksionunun grfiği üzerinde iki nokt olur; ölee düzlemde u noktlrı işretleip unlrı irleştiren doğruu çizersek g nin grfiği hemen ort çıkr. (,) (,) g() = sit fonksionunun grfiği AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 FONKSİ ONLAR..6. Örnek h: R R, h() = - fonksionunun grfiğini çiziniz. Çözüm Bu fonksion d ukrıdki urıd nltıln türde ir fonksion olup grfiği ine ir doğrudur. Bu nedenle isteğe ğlı iki değeri için krşılık gelen h() leri hesplmk eteektir. Sözgelişi = için h() = - ve = için h() = - olduğundn düzlemde (, -) ile (, -) noktlrını irleştiren doğruu çizmekle h nin grfiği çizilmiş olur. - (, -) - (, -) h() = - fonksionunun grfiği Örneklerde hep vurguldığımız gii lmış olduğumuz iki noktnın seçimi fonksionun grfiğini değiştirmeeektir. Sözgelimi noktlrını - ve olrk seçip h(-) = -5, h() = hesplmlrının rdındn (-, -5) ile (,) noktlrını irleştirsedik ine ukrıdki grfiği elde edeektik. Çünkü u noktlr d çizilen doğru üzerindedirler. Arı ukrıdki grfikte çizdiğimiz doğrunun - eksenini kestiği noktnın (, h() ) = (, -) olduğu çıktır. Bun ek olrk doğrumuzun -eksenini kestiği noktnın sptnmsı d oldukç önemli olilir. Bu sorunun nıtını ulmk demek h ( ) = olk içimde R değerini sptmk demektir. h ( ) = - = = = / olduğun göre doğrumuz -eksenini (/, ) noktsınd keser.? f = - + ulunuz ve grfiğini çiziniz. kurlıl verilen fonksionun eksenleri kesim noktlrını ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 FONKSİ ONLAR 5 Son üç örneğimizde hep "f () = + " türündeki doğrusl fonksionlrl ilgilenmiş olmmız ve unlrın grfiklerinin hep irer doğru olmsı sizi nıltmsın. Bu örneklerde sölenenlerin pek çoğu lnız verilen türdeki fonksionlr için geçerlidir. Bu türde olmn pek çok sıd fonksion vrdır ve unlrın grfikleri de hiç kuşkusuz "doğru" içiminde olmzlr. Şimdi unlrın örneklerini vermee çlışlım...7. Örnek Kenr uzunluğu verilen ir krenin lnının ulunmsı prolemile ilgilenmiş ollım. Doğl olrk kenr uzunluğunun negtif olmsı düşünülemeeeğine göre "ln" die ifde edeeğimiz u fonksionun tnım kümesi [, ) rı-kplı rlığı, değer kümesi de R olktır. ln: [, ) R, ln () = (Bu fonksionu... Örnekte ldığımız fonksionl krıştırmınız; dlrını nen korummız krşın unlr frklı fonksionlrdır, çünkü tnım kümeleri frklıdır!). Şimdi u fonksionun grfiğini çizmee çlışlım. [, ) rlığınd sonsuz sıd nokt ulunduğun ve unlrdn her iri için örneğin [, ) için, i hesplilmemize krşın, tüm u noktlrı ulup işretleme olnğımız oktur. Bu nedenle ir grfiğin genel gidişini lgılileek sıd değerleri elirler, unlr krşılık gelen ln () değerlerini hesplr, rdındn düzlemde (, ln ()) noktlrını işretleriz. Sözgelimi iz şimdi ler için şu seçimleri plım ve grfiği k çizelim: ln () (, ln () ) (,) 9 (,) (,) (,9) (,) (,) (,) (,9) AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 6 FONKSİ ONLAR Gerçekte grfiğin içimi, çok k ols ile, hemen hemen ort çıkmış durumd. Ank ine de,,, tmsılrı rsındki noktlrd grfiğin içimini merk edeilirsiniz. Bu nedenle noktlrımızın sısını irz çoğltlım: / / 5/ / =,5 ln () / 9/ 5/ 9 9/ =,5 (, ln () ) (,) (/,/) (,) (/,9/) (,) (5/,5/) (,9) 5/ = 6,5 9 (, 9) (5/, 5/) (, ) (/, 9/) (,) (/, /) (,) / / - 5/ Grfiğin içimi şimdi dh çık şekilde ort çıkmış durumddır. 9 = ln () / / - 5/ ln: [, ) R, ln () = fonksionunun grfiği ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 FONKSİ ONLAR 7 Öneki örnekte izlediğiniz öntemi ve şmlrı rtık siz genel ir fonksion için urlilirsiniz. Grfik konusunu iki örnek dh verip kptlım dilerseniz...8. Örnek f: R\ {} R, f() = fonksionunun grfiğini çiziniz. Çözüm - - -/ -/ / / f() (, f()) -/ / (-, -/) (-, -) (-/, -5) (-/, -) (/, ) (/, 5) (, ) (, /) f:r\{} R, f = fonksionunun grfiği..9. Örnek g : R\{} R, Çözüm g = + - fonksionunun grfiğini çiziniz / / 5/ 5 g() (,g()) / -/ (-, /) (-, ) (-, -/) (, -) (/, -5) (/, -) (5/, ) (, ) 5/ 7/ (, 5/) (, ) (5, 7/) AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 8 FONKSİ ONLAR = g() 5? g:r\{} R, g = + - fonksionunun grfiği Bu fonksionun = 'de tnımlı olmdığını, = 'in sğ kınlrınd giderek pozitif önde üük değerler ldığını (+ klştığını), = 'in sol kınlrınd giderek negtif önde küçük değerler ldığını (- klştığını) gördünüz mü? Bu kesimde ineleeeğimiz son iki kvrm "görüntü" ve "öngörüntü" olktır.... Tnım f: fonksionu ve A ltkümesi verilmiş olsun. kümesinin f (A) = {f () A} olrk tnımlnn ltkümesine, A kümesinin f ltındki görüntüsü dı verilir. f A f(a) f() f (A) : A'nın Görüntüsü Verilen tnımın dıl ne denli uum içinde olduğunu dh ii göreilmeniz için çeşitli örnekler sunlım: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 FONKSİ ONLAR 9... Örnek = {,,,, 5} kümesinden = {,,, d, e} kümesine f fonksionu f d 5 e içiminde verilmiş olsun. Şimdi A = {,, }, A = {, }, A = için f (A ), f (A ), f (A ) görüntülerini sptlım: f (A ) = {f () A } = {f (), f (), f ()} = {, e, }; f (A ) = {f () A } = {f (), f ()} = {}; f (A ) = {f () A } = {f (), f (), f (), f (), f (5)}} = {,, e, }.... Örnek f : R R, f () = - fonksionu verildiğinde A = {-,,, }, A = [, 6], A = [-, ], A = (-, ] ltkümeleri için f (A ), f (A ), f (A ), f (A ) görüntülerini elirleiniz. Çözüm Öne f'nin grfiğini çizelim: 5 = f ) - - f () - - (, f ()) (-, -) (-, -) - (, -) (, -) (, ) (, ) (, ) (5, ) (6, ) f: R R, f()= - fonksionunun grfiği 7 5 (7, 5) AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 FONKSİ ONLAR İkini dımd ise her ir görüntüü tek tek sptlım: () A = {-,,, } için f (A ) = {f () A } = {f (-), f (), f (), f ()} = {-, -, -, } () A = [, 6] ltkümesinde sonlu sıd öğe ulunmdığın göre u iş için grfikten rrlnlım: = f ) Açıklmlr:. f () = ; f (6) = 'tür.. Arı f (,) =, f (,) =, f (5) = ; f (5,) =,; f (5,9) =,9 olur. Bölee grfikten de kol görüleileeği gii f (A ) = [, ] olur. () ukrıd ()'de ptığımız enzer olrk f (A ) = [-, ] olduğu sptnilir. (NOT: f (-) = -; f (-,9) = -,9; f (-,8) = -,8;... ; f () = -; f () = -; f () = ; f () = ;... ; f (,8) =, 8; f (,9) =, 9; f () = olduğun özen gösteriniz. Diğer rıntılrı ise size ırkıoruz.) (d) ukrıd A = [-, ] için f (A ) = [-, ] ulmuştuk. A = (-, ] ltkümesinin A 'ten tek frkı, A 'ün sol uç noktsı oln -'in A rlığınd ulunmmsı, ir şk deişle A 'ün soldn çık ir rlık olmsıdır. A için nltılnlrı d irlikte düşüneek olursk, f (A ) = (-, ] elde edilir. Bu sonuu grfikten de göreiliriz: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

19 FONKSİ ONLAR = f ) Ele ldığımız son iki örnekte, grfiklerimizin oldukç sit görünümlü olmlrındn dolı, görüntüleri çok kol ulildik. Ank her zmn ol u denli kol olmilir; şimdi un ilişkin ir örnek verelim:.. Örnek g : R R, g () = fonksionu verildiğinde A = {,, }, A = {-, -,,,, } ve A = [-, ] ltkümeleri için g (A ), g (A ), g (A ) görüntülerini sptınız. Çözüm Öne g'nin grfiğini çizelim dilerseniz: (-, 9) = g ) 9 (, 9) 8 - g () 9 (, g ()) (-, 9) (-, ) (, ) - - (-, ) (-, ) (, ) - - (-, ) (, ) - 9 (, ) (, ) (, 9) g: R R, g()= fonksionunun grfiği () g (A ) = {g () A } = {g (), g (), g ()} = {,, } AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 FONKSİ ONLAR () g (A ) = {g () A } = { g (-), g (-), g (), g (), g (), g ()} = {,,, 9} () g (A ) = {g () [-, ]} = [, ] NOT: ()'deki rıntılrı size ırkıoruz! Son olrk "öngörüntü" kvrmını tnıtlım:... Tnım f : fonksionu ve B ltkümesi verilmiş olsun. kümesinin f - (B) = { f () B} olrk tnımlnn ltkümesine, B ltkümesinin f ltındki öngörüntüsü dı verilir. f f - (B) f() B f - (B): B'nin öngörüntüsü Öngörüntüle ilgili çeşitli örnekler verelim:..5. Örnek... Örnekte lınn f d 5 e fonksionunu düşünelim. B = {,, e}, B = {, }, B = {d}, B = ltkümeleri için f - (B ), f - (B ), f - (B ), f - (B ) öngörüntülerini sptllım: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

21 FONKSİ ONLAR f - (B ) = { f () B } = { 5,, } ; f - (B ) = { f () B } = { 5,, } (NOT: f () =, f () = olduğu için, f - (B )'dir!) ; f - (B ) = { f () B } = ; f - (B ) = { f () } = { 5,,,, } =..6. Örnek... Örnekteki f : R R, f () = - fonksionunu ir kez dh llım. B = {-,, }, B = { /}, B = [, ] ltkümeleri için f - (B ), f - (B ), f - (B ), öngörüntülerini ulunuz. Çözüm Öne f'nin grfiğini çizelim: 5 = f() B f: R R, f()= - fonksionunun grfiği () f - (B ) = { R f () B } öngörüntüsü f() = - B = { -,, } koşulunu sğln tüm R sılrının kümesidir: f () = - = - = -, f () = - = =, f () = - = = 6 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

22 FONKSİ ONLAR olduğun göre f - (B ) = { -,, 6 } ulunur. Bunun gerçekten öle olduğunu grfikten de izleeilirsiniz. () f - (B ) = { R f () B } kümesi, f () = - B = { /} - = / = 5/ olmsı nedenile, f - (B ) = {5/} olrk sptnilir. (Bunu grfikten göreildiniz mi?) () f - (B ) = { R f () B } öngörüntüsünü ulmk için - ekseni üzerinde B ltkümesini trrk çizelim, dh sonr B şeritini grfikle kesiştirelim. Şeritle grfiğin kesiştiği noktlrdn -ekseni üzerine izdüşüm lınırs, urdn, f () = - = =, f () = - = = 6 değerleri ulunur ve f - (B ) = [, 6 ] içiminde rnn öngörüntü sptnilir...7. Örnek... Örnekteki g : R R, g() = fonksionunu ir kez dh llım. B = {, }, B = [, ], B = { -,,, }, B = [ -, ] ltkümeleri için g - (B ), g - (B ), g - (B ), g - (B ) öngörüntülerini ulunuz. Çözüm İlgili örnekteki grfikten urd d rrlnlım...6. Örnek ()'de nltıln öntem izlenirse şğıdki sonuçlr elde edilir: () g - (B ) = {, -,, - }, () g - (B ) = [, ] [ -, - ], () g - (B ) = {,, -,, - }, (B 'deki - öğesinin öngörüntüde hiçir ktkısının ulunmdığın dikkt ediniz!) (d) g - (B ) = [ -, ]. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

23 FONKSİ ONLAR 5 9 = g() Şimdi genel durum dönerek herhngi ir fonksion için görüntü ve öngörüntü ile ilgili olrk şğıdki teoremi knıtllım:..8. Teorem f : fonksionu, A, A ve B, B lt kümeleri verilmiş olsun. Bu durumd () f (A A ) = f (A ) f (A ) () f (A A ) f (A ) f (A ) () f - (B B ) = f - (B ) f - (B ) (d) f - (B B ) = f - (B ) f - (B ) Knıt () ve () i knıtlıp () ve (d) nin knıtını lıştırm olrk ırkıoruz. () nin knıtı: f (A A ) olsun. En z ir A A için f() = olur. Burdn A, A ve f() = ; d = f() f (A ) ve = f() f (A ) çıkr. O hlde, f (A ) f (A ) dir. Ölese f (A A ) f (A ) f (A ) olur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

24 6 FONKSİ ONLAR () nin knıtı: f - (B B ) f () B B f () B ve f() B f - (B ) ve f - (B ) f - (B ) f - (B ) olduğu için istenilen eşitlik knıtlnmış olur. Aşğıdki örnek ile..8 Teorem () deki f(a A ) nin f(a ) f (A ) kümesinin öz lt kümesi olileeğini gösteren ir örnek verelim:..9. Örnek f: R R, f() = fonksionu ve A = [-, ], A = [, ] rlıklrı verilior. f(a A ) f (A ) f (A ) olduğunu gösteriniz. Çözüm A A = [-, ] [, ] = olduğundn f(a A ) = f( ) = dir. f (A ) f (A ) = f ( [-, ] ) f ( [, ] ) = [, ] [, ] = {} dir. Sonuç olrk f (A A ) f (A ) f (A ) olduğu hlde f (A A ) f (A ) f (A ) dir... Özel Fonksionlr Bu kesimde dh öne görmüş olduğumuz fonksion türlerine kimi eklentiler pğız. Öne verilen herhngi ir R gerçel sısının slt değerini, tm değerini ve işretini sırl şğıdki gii tnımllım: () 'in slt değeri = =, ise -, < ise ; () 'in tm değeri = = 'den küçük d eşit oln en üük tmsı; () 'in işreti = sgn() =, > ise, = ise -, < ise ; Büük ir olsılıkl dh öne görmüş olduğunuz u kvrmlrı örneklendirelim: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

25 FONKSİ ONLAR 7... Örnek () 5 = 5 ; π = π ; - =-(-) = ; -π = -(-π) = π ; = ; -/ = -(-/) = / () [ ] = ; [, ] = ; [,9 ] = ; [,99999 ] = ; [ ] = ; [ ] = ; [ - ] = - ; [ -, ] = - ; [ - 9 ] = - ; [ -,99999 ] = - ; [ - ] = - ; [ π ] = ; [ -π ] = - () sgn(5) = ; sgn(-) = - ; sgn() = sgn() = ; sgn(-) = - Şimdi verilen ir f: R "fonksionunun slt değer fonksionunu", "tmdeğer fonksionunu" ve "işret fonksionunu" oluşturlım:... Tnım f: R fonksionu verilmiş olsun. () f' nin slt değer fonksionu f : R, f () = f (), () f' nin tmdeğer fonksionu [ f ] : R, [ f ] () = [ f() ], () f' nin işret fonksionu sgn(f) : R, sgn(f) () = sgn(f ()) olrk tnımlnır.... Örnek f: R R,, f() = - + fonksionunun slt değer fonksionunun grfiğini çiziniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

26 8 FONKSİ ONLAR Çözüm Öne f'nin grfiğini çizeeğiz, rdındn - ekseninin ltınd kln grfikle ilgili kısımlrın -eksenine göre simetriğini lğız. = f () = f() f () = = - +, - + ise - - +, - + < ise - +, ise -, > ise... Örnek g: R R, g() = 'in grfiği ise ukrıd nltıln düşünelerle şöle çıkr: = I() = g () - I() = fonksionunun grfiği = g() = fonksionunun grfiği..5. Örnek h: R R, h() = [ ] fonksionunun grfiğini çiziniz. Çözüm [ ] = n; n Z olmk üzere 'in tmdeğerinin n tmsı olduğunu ilmekteiz. Tmdeğerin tnımı gereğine ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

27 FONKSİ ONLAR 9 [ ] = n n < n+ nlmı ort çıkr...., n = -, n = -, n =, n =, n =,... gii durumlrı tek tek ineleelim.. [ ] = - - < -, [ ] = - - <, [ ] = <, [ ] = <, [ ] = <,. Bölee h'nin grfiği şöle çizileilir: h()= [ ] fonksionunun grfiği Grfikte içi dolu noktıklrl içi oş noktıklrın ne nlm geldiklerini çıklr mısınız??..6. Örnek Burd d j: R R, j() = [ - ] fonksionunun grfiğini, diğer çıklmlrı sizin pmnız koşulul sunlım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

28 FONKSİ ONLAR j() = [ - ] fonksionunun grfiği Örnek i: R R, i() = sgn() fonksionunun grfiğini çiziniz. Çözüm - i() = sgn() fonksionunun grfiği..8. örnek f: R R, f() = - fonksionunun işret fonksionunun grfiğini çiziniz. Çözüm Öne f' nin grfiğini çizelim f() = - fonksionunun grfiği ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

29 FONKSİ ONLAR = sgn ( - ) fonksionunun grfiği.. Fonksion Bileşkesi; Bire-Bir, Örten Fonksionlr; Ters Fonksion f: ve g: Z gii irinisinin değer kümesi ikinisinin tnım kümesi oln iki fonksion verilmiş olsun. f g Z f() g(f()) Bu şekilden görüleileeği gii, kümesinden Z kümesine dın ileşke fonksion dieeğimiz ve gof simgesile göstereeğimiz eni ir fonksion tnımlnilir:... Tnım f: ile g: Z fonksionlrının ileşke fonksionu gof: Z, (gof) () = g(f ()) içiminde tnımlnn fonksiondur. f ile g fonksionlrının ileşkesini ulurken, görsel olrk, şğıdki çizenekleri gözönünde ulundurmnız rrlı olilir: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

30 FONKSİ ONLAR f ile g nin gof simgesile gösterilen ileşkesinin tnımlı olmsı için f nin değer kümesinin g nin tnım kümesine eşit olmsı d onun içinde klmsı zorunludur. Bzı durumlrd, gof ileşkesile irlikte, g ile f nin ileşkesi oln fog ileşke fonksionu d tnımlı olilir. Aşğıd verilen örneklerle göreeğiz ki, gof ve fog ileşke fonksionlrının her ikisi de tnımlı ols ile, unlr eşit olmilir.... Örnek f g ile d d fonksionlrı verildiğinde gof: ve fog: ileşke fonksionlrının her ikisi de oluşturulilir: d gof d Açıklmlr: (gof) () = g (f ()) = g () = (gof) () = g (f ()) = g () = (gof) () = g (f ()) = g () = (gof) (d) = g (f (d)) = g () = d fog Açıklmlr: (fog) () = f (g ()) = f () = (fog) () = f (g ()) = f (d) = (fog) () = f (g ()) = f () = d d (fog) () = f (g ()) = f (d) = ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

31 FONKSİ ONLAR gof ve fog ileşke fonksionlrın her ikisinin de vr olmsın krşın, unlrın tnım ve değer kümeleri frklı olduğundn, frklı fonksionlrdır.... Örnek f: R R, f() = + ile g: R R; g() = - + fonksionlrı için gof ve fog ileşke fonksionlrını ulunuz. Çözüm gof: R R, (gof) () = g (f ()) = g ( + ) = -( + ) + = - + fog: R R, (fog)() = f (()) = f (- + ) = (- + ) + = olur. Bu durumd, gof ve fog ileşke fonksionlrının tnım ve değer kümeleri nı olduğu hlde gof fog olduğu çıktır.... Örnek Bir f: R fonksionu verilmiş olsun. s: R R, s () = ; t: R R, t () = [ ]; j: R R, i () = sgn() fonksionlrı için.. kesimde öğrendiğimiz f, [ f ], sgn(f) fonksionlrını ileşke fonksionlr türünden zınız. Çözüm f : R, [ f ]: R, sgn(f): R, f () = f () = s (f()) = (sof) (); [ f ] () = [ f () ] = t (f ()) = (tof) (); (sgn(f))() = sgn(f ()) = i (f ()) = (iof) () olduğundn f = sof, [ f ] = tof, sgn(f) = iof eşitlikleri elde edilir. f: R R, f () = + ile g: [, ) R, g () = fonksionlrı için gof ve fog fonksionlrını ulunuz.? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

32 FONKSİ ONLAR Kimi zmn ikiden fzl sıd fonksionun ileşkesi de söz konusu olilir. Örneğin, f:, g: Z, h: Z T fonksionlrı verildiğinde hogof ileşke fonksionu hogof: T, (hogof) () = h (g (f()) olrk tnımlnır. f g Z h T f() g(f()) h(g(f())) hogof Tnımlı ileşkeler için fonksion ileşke işleminin irleşme özelliğinin vrlığı, ni ho (gof) = (hog)of eşitliği doğrulnilir. Ünitenin son konusu oln "ters fonksionlrı" tnıtm geçmeden öne size "ireir fonksion" ile "örten fonksion" kvrmlrını tnıtmk istioruz:..5. Tnım f: fonksionu verilsin. () Her, ve f ( ) = f ( ) için = oluors, f'e ire-ir fonksiondur denir. () Her ir için f () = olk içimde ir vrs, f' e örten fonksiondur denir. Şimdi olumlu ve olumsuz örnekler verelim:..6. Örnek Aşğıdki f fonksionu hem ire-irdir hem de örtendir; nk g fonksionu ireir de değildir, örten de değildir: f g d d ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

33 FONKSİ ONLAR Örnek f : R R, f() = - fonksionu hem ire-irdir hem de örtendir. () Her,, R için f ( ) = f ( ) - = - = = olup f ire-irdir. () Herhngi ir R için = f() = - olk içimde ir R vrdır; gerçekten = - = + = + olk şekilde R elirleneilir. Fonksionun grfiğini çizerseniz u iki özelliği çok dh rht gözlemleeilirsiniz...8. Örnek Tnım ve değer kümeleri ir fonksionun ire-ir ve örten olmsınd oldukç önemlidir: () f : R R, f () = fonksionu ire-ir de değildir, örten de değildir. () f : R [, ), f () = fonksionu ire-ir değildir, nk örtendir. () f : [, ) R, f () = fonksionu ire-irdir, nk örten değildir. (d) f : [, ) [, ), f () = fonksionu hem ire-irdir, hem de örtendir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

34 6 FONKSİ ONLAR f : ir fonksion olsun. f 'nin ire-ir olmsı şu önermee denktir: Her, için f ( ) f ( ). f 'nin örten olmsı ise şu önermee denktir. f () =. Aşğıdki tnımd üzerindeki I özdeşlik fonksionunu I :, I () = ve üzerindeki I özdeşlik fonksionunu d I :, I () = olrk lmktız:..9. Tnım Bir f : fonksionu verilmiş olsun. Eğer h o f = I ve f o h = I olk içimde ir h : fonksionu vrs, f 'e tersinirdir deriz. Bu durumd h fonksionun d f 'nin ters fonksionu dı verilir. f fonksionu tersinir ise, f nin ters fonksionunun tek olduğunu şğıdki teorem ile knıtllım.... Teorem f : fonksionu tersinir ise, f nin ters fonksionu tektir. Knıt f nin h ve h' gii iki ters fonksionu olduğunu vrsıp h = h' olduğunu gösterelim. h : ve h' : fonksionlrı..9. Tnımın koşullrını sğlrlr; ni h o f = I, f o h = I ve h' o f = I, f o h' = I eşitlikleri vrdır. Şimdi her için = I () = (foh) () ve h () olduğundn ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

35 FONKSİ ONLAR 7 h' () = h' [(foh) () ] = [h'o (foh) ] () = [(h'of) oh] () = (I oh) () = I (h() ) = h() olur. Bölee her için h'() = h() eşitliği elde edilmiş olur. Bu ize h = h' olduğu sonuunu verir. f fonksionu tersinir ise, ters fonksionun tekliği nedenile, u ters fonksion f - simgesile gösterilir. O hlde, f - of = I ve f o f - = I dir. Arı, u eşitlikler f - fonksionunun tersinir olduğunu ve (f - ) - = f sonuunu d verir. Bir f : fonksionu ve B için, f tersinir olms ile, f - (B) öngörüntüsünden söz etmiştik (... Tnım). Eğer f tersinir ise, f - (B) nı zmnd f - fonksionu ltınd B nin görüntü kümesidir. Şimdi ir fonksionun ne zmn tersinir olduğun dir önemli ir teorem knıtllım:... Teorem Bir f : fonksionunun tersinir olmsı için gerekli ve eterli koşul f nin ire-ir ve örten olmsıdır. Knıt Öne f nin tersinir olduğunu kul edelim. O hlde, ters fonksion f - vr ve f - o f = I, f o f - = I eşitlikleri sğlnır. Şimdi, için f( ) = f( ) ise f - (f ( )= f - (f ( ) ), (f - o f) ( ) = (f - o f) ( ), I ( )= I ( ), = AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

36 8 FONKSİ ONLAR olur. O hlde, f ire-ir fonksiondur. Diğer trftn için f - () dir ve ölee f (f - () ) = (f of - ) () = I () = olduğundn f örtendir. Tersine, f nin ire-ir ve örten olduğunu vrslım ve f - in vr olduğunu knıtllım. kümesinden kümesine ir h fonksionunu şöle tnımllım: Her ir için, f örten olduğundn, f() = olk içimde en z ir vrdır. f ire-ir olduğundn u koşulu sğln ir ve lnız ir ulunur; ölee h :, h() = olrk ir fonksion oluşturmuş oluruz. Şimdi de h o f = I ve f o h = I eşitliklerini göstermeliiz. için f() = ise, h nın tnımındn dolı, = h () = h (f () ) = (hof) (), ni hof = I olur. ine için f () = olk içimde ir ve lnız ir vr olğındn, h () = olur. Bölee (foh) () = f (h () ) = f () =, ni foh = I olur. Sonuç olrk, h = f - olduğu görülmüş olur.... Örnek () f : R R, f() = fonksionu ne ire-ir ne de örtendir. Dolısıl f tersinir değildir. () f : [, ) R, f() = fonksionu ire-ir olmsın krşın örten değildir. Dolısıl f tersinir değildir. () f : R R, f() = fonksionu ire-ir ve örtendir. f tersinirdir ve çıktır ki f - : R R, f - () = dır.... Örnek..6 Örnekte g tersinir değildir (neden?), nk f fonksionu tersinirdir. f'nin tersi oln f - fonksionunu sptmk için f o f - = I ve f - of = I koşullrının sğlnmsı gerekir: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

37 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ Bu koşullrı sğln f - : fonksionunun olmsı gerektiği çıktır.... Örnek..7. Örnekte f fonksionunun, ire-ir ve örten olmsı nedenile, tersinir olduğunu ilmekteiz. f - : R R ters fonksionunu ulmk için tnımı ugullım: () Her R için (f o f - ) () = I () f (f - () ) = 'dir. () Her R için (f o f - ) () = I () f - (f () ) = 'dir. Dolısıl = f - () dersek, f() = = - FONKSİ ONLAR 9 d? = f - f I fof - d? d = d d f f - I f - o f d f - = + = + olup f - () = + elde edilir. O hlde

38 5 FONKSİ ONLAR f - : R R, f - () = + olur. Dilersek, u fonksionu f - : R R, f - () = + içiminde de ziliriz. Şimdi nı düzlemde hem f'nin hem de f - 'in grfiklerini irlikte çizelim: = f () = = f - () f : R R tersinir olduğund, f 'nin grfiği ile f - 'in grfiğinin = çıort doğrusun göre simetrik olduğun özen gösteriniz!..5. Örnek..8. Örnek (d) 'deki f : [, ) [, ), f () = fonksionunun tersinir olduğu çıktır. O hlde 'in öne kendisini ullım: f - = f - () = f() = = O hlde f - () = olur; ni f - : [, ) [, ), f - () = 'dir. Şimdi f 'nin ve f - 'in grfiklerini n n çizelim: = f () = f - () = f ()= fonksionunun grfiği = f - = fonksionunun grfiği ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

39 FONKSİ ONLAR 5 f : R \ R \ -, f() = + - fonksionu tersinir mi? f tersinir ise? f - hngi fonksiondur? Değerlendirme Sorulrı Aşğıdki sorulrın nıtlrını verilen seçenekler rsındn ulunuz.. = {,,, d } kümesinden = {,, } kümesine tnımlnn şğıdki ğıntılrdn hngisi 'ten 'e ir fonksiondur? A. d B. d C. d D. d E. d AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

40 5 FONKSİ ONLAR. = {, } kümesinden = {,, } kümesine toplm kç fonksion tnımlnilir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 7 E) 6. = {,,,, 5 } kümesinden = Z kümesine f :, f () = - + fonksionun grfiği şğıdkilerden hngisidir? A B C D E. Hiçiri ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

41 FONKSİ ONLAR 5. Aşğıdki fonksionlrdn hngisinin grfiği ndki şekilde olduğu gii verilir? (Burd = {,,,, } tür.) A. f: R, f () = - B. f: R, f () = + C. f: R, f () = - D. f: R, f () = - E. f: R, f () = = f () 5. f: R R, f () = - fonksionu ve K = [-, ] ltkümesi için f (K) görüntü kümesi şğıdkilerden hngisidir? A. f (K) = [-5, 5] B. f (K) = [-, ] C. f (K) = [-, ] D. f (K) = {-5, 5} E. Hiçiri 6. f: R R, f() = + fonksionu ve L = [, ] ltkümesi için f - (L) öngörüntü kümesi şğıdkilerden hngisidir? A. f - (L) = [, ] B. f - (L) = {-/, /} C. f - (L) = [-/, ] D. f- (L) = [-/, /] E. Hiçiri 7. f: R R, f () = - + fonksionu ile g: R R, g() = fonksionu verildiğinde gof ileşke fonksionu şğıdkilerden hngisidir? A. (gof) () = + 7 B. (gof) () = - C. (gof) () = - - D. (gof) () = - + E. (gof) () = f: R R, f () = + 5 fonksionunun f - ile gösterilen ters fonksionu şğıdkilerden hngisidir? A. f - : R R, f - () = - 5 B. f - : R R, f - () = + 5 C. f - : R R, f - () = + 5 D. f - : R R, f - () = - 5 E. Hiçiri AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

42 5 FONKSİ ONLAR 9. f: R R, f () = - fonksionu verildiğinde f fonksionunun grfiği şğıdkilerden hngisidir? A. B. 5 = f () 5 = f () - - / C. D. 5 = f () 5 = f () - - / E. Hiçiri. Aşğıdki fonksionlrdn hngisi ire-ir değil fkt örtendir? (Fonksionlr R'den R 'edir!) A. B. C. D. E. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

43 FONKSİ ONLAR 55 rrlnıln ve Bşvurulileek Knklr Krç, T. Sout Mtemtiğe Giriş İstnul; Milli Eğitim Bsımevi, 975. Krç, T; Özer, O ve Diğerleri. Mntık Andolu Üniversitesi, Açıköğretim Fkültesi ınlrı, 966. Lipshutz, S. Shum's Outline of Theor nd Prolems of Set Theor nd Relted Topis. MGrw-Hill, 96. Özer, O; Çoker, D ve Tş, K. Sout Mtemtik. Bskı. Ankr İzgi Kitp ve ınevi, 996. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ