Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR
|
|
- Serkan Renda
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı, doğrultu kosinüsleri, boyu ve birim vektör kvrmlrını tnıyck, Uzyd vektör kvrmını kvrycksınız. İçindekiler Vektör Kvrmı 41 İki Vektörün Eşitliği 44 İki Vektörün Toplmı 44 Bir Vektörün Bir Gerçel Syı İle Çrpımı 46 Bir Vektörün Boyu ve Birim Vektör 48 İki Vektörün Doğrusl Bğımlılığı 50 Bir Vektörün Doğrultu Kosinüsleri 51 Uzyd Vektörler 5 lü Problemler 54 Değerlendirme Sorulrı 60
2 Çlışm Önerileri Bu üniteyi kvrybilmek için lisedeki vektörlerle ilgili temel bilgilerinizi gözden geçiriniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
3 VEKTÖRLER Vektör Kvrmı Uzunluk, ln ve hcim gibi büyüklüklerin ynlızc bir gerçel syı ile belirtilmelerine krşın, özellikle fizikten gelen ivme, hız, kuvvet gibi nicelikleri belirlemek için bir gerçel syı yeterli değildir. İkinci türden niceliklerin bir yönü, doğrultusu, büyüklüğü ve uygulm noktsı vrdır. Bu büyüklükler için yönlendirilmiş doğru prçlrı kullnılır. A ve B düzlemde iki nokt olsun. Bşlngıç noktsı A ve uç noktsı B oln AB şeklinde göstereceğimiz yönlü doğru prçlrını gözönüne llım. B = b 1, b A = 1, 0 Şekil 3.1 Düzlemde lınn iki nokt, A = ( 1, ) ve B = (b 1, b ) koordintlrı ile temsil edilirse AB yönlü doğru prçsın krşılık (b 1-1, b - ) sırlı ikilisini krşılık getirebiliriz. Sizinde frk edeceğiniz gibi bu eşleme (yönlü doğru prçlrındn düzleme) 1-1 (birebir) değildir. Örneğin, A = (1, 1) B = (0, 0) ve P = (, ), Q = (3, 3) olmk üzere AB QP yönlü doğru prçlrının her ikiside ynı sırlı ikili ile temsil edilirler. ve Düzlemde bu V yönlü doğru prçlr kümesinde eğer hesp ypbilmek istiyorsk, bu V yi 1-1 ve örten olck şekilde düzlemde bir koordint sistemi ile ilintilendirmeniz gerektiğini frketmişsinizdir. Şimdi yukrıdki eşlemeyi 1-1 ypck şekilde V yönlü doğru prçlrı kümesi üzerinde bir denklik oluşturlım, öyleki bir denk yönlü doğru prçlrı kümesine bir ve ynlız bir sırlı ikili krşılık gelsin. Düzlemde, R = (r 1, r ), S = (s 1, s ), P = (p 1, p ) ve Q = (q 1, q ) noktlrı ile, RS ve PQ yönlü doğru prçlrı için eğer, q 1 - p 1 = s 1 - r 1 ve q - p = s - r ise bu iki yönlü doğru prçsı denktir diyelim. Bu bğıntı, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
4 4 VEKTÖRLER PQ PQ PQ RS RS PQ PQ RS ve RS Z PQ Z (ynsım) (simetri) (geçişme) özelliklerini sğldığındn bir denklik bğıntısıdır. Geometrik olrk, PQ ve RS yönlü doğru prçlrının denk olmsı, düzlemde bunlrdn birisi, diğerine prlel kydırılrk, bşlngıç ve bitim noktlrının çkıştırılmsı nlmın gelir. Bu denklik bğıntısının oluşturduğu denklik sınıflrının herbirine düzlemde bir vektör diyelim. 0 Şekil 3. (q 1 - p 1, q - p ) sırlı ikilisine PQ vektörünün koordintlrı denir. Düzlemde P = (p 1, p ) noktsını llım. Şekil 3.3 de görüldüğü gibi bu noktyı bşlngıç noktsıyl birleştirecek olursk, bşlngıç noktsı 0, bitim noktsı P oln bir yönlü doğru prçsı elde ederiz. OP şeklinde göstereceğimiz, bu yönlü doğru prçsın, P noktsının yer vektörü denir. Düzlemde bşlngıç noktsı 0 oln tüm vektörler, birer yer vektörleridir. er vektörleri bitim noktlrıyl temsil edilerek, düzlemdeki noktlrl birebir örten biçimde eşlenebilir. Böylece, düzlemdeki her yer vektörüne bir nokt krşılık getirilmiş olur. P = p 1, p 0 Şekil 3.3 Bu kuruluş göre düzleme bzen yer vektörlerinin kümesi bzen de sırlı ikililerin kümesi olrk bkbiliriz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
5 VEKTÖRLER Örnek yönlü doğru prçsının ko- P = (, -1) ve Q = (1, 3) noktlrı veriliyor. ordintlrını bulunuz. PQ PQ = (q 1 - p 1, q - p ) = (1 -, 3 - (-1) ) = (-1, 4) 1.. Örnek P = (-1, ), R = (4, 0) ve S = (6, ) noktlrı veriliyor. PQ ve RS yönlü doğru prçlrı ynı vektörü temsil edebilmeleri için Q noktsını bulunuz. Q = (q 1, q ) olsun. PQ RS = (q 1 - p 1, q - p ) = (q 1 - (-1), q - ) = (q 1 + 1, q - ) = (s 1 - r 1, s - r ) = (6-4, - 0) = (, ) PQ ve RS yönlü doğru prçlrının ynı vektörü temsil edebilmeleri için q = ve q - = eşitliklerinden, q 1 = 1 ve q = 4 bulunur. Q = q 1, q P S = (6, ) P = (-1, ) 0 R = (4, 0) Şekil 3.4 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
6 44 VEKTÖRLER. İki Vektörün Eşitliği = 1, ve b = b 1, b vektörleri verilsin. = b ( 1, ) = (b 1, b ) 1 = b 1 = b şeklinde tnımlnır. ni iki vektörün eşit olmsı için gerek ve yeter koşul bu iki vektörün krşılıklı bileşenlerin eşit olmsıdır..1. Örnek = (, -1) ve b = (, k) vektörlerinin eşit olmsı için k ne olmlıdır? = b (, -1) = (, k) k = İki Vektörün Toplmı Doğrultulrı ynı olmyn ve b vektörlerinin toplmı: + b = 1, + b 1, b = 1 + b 1, + b şeklinde tnımlnır. ni, iki vektörün toplmı, bu iki vektörün krşılıklı koordintlrının toplnmsıyl elde edilir. Geometrik olrk, ve b gibi iki vektörün toplmı Şekil 3.5 deki gibi prlel kenr kurlı ile yorumlnbilir. b c = + b 0 Şekil 3.5, b yer vektörleri ile 0 noktsının belirlediği prlel kenrın dördüncü köşesine c diyelim. Bun göre, + b = c dir. c vektörü prlel kenrın köşegenidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
7 VEKTÖRLER Örnek = (1, -) ve b = (4, 5) vektörleri veriliyor. + b = c vektörünü bulunuz c = + b = (1, -) + (4, 5) = (1 + 4, - + 5) = (5, 3) b c = + b c 0 Şekil 3.6 Vektörlerde Toplm İşleminin Özellikleri, b ve c düzlemde vektörler olsun. 0, sıfır vektörünü göstermek üzere şğıdki özellikler sğlnır. 1. Birleşme Özelliği: Her, b, c vektörleri için,. Değişme Özelliği: + b + c = + b + c Her, b vektörleri için, 3. Birim elemn vrdır. + b = b + Her vektörü için, + 0 = 0 + = olck şekilde 0 vrdır. 4. Ters elemn vrdır. Her vektörü için, + - = - + = 0 olck şekilde - vektörü vrdır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
8 46 VEKTÖRLER Bu özelliklerden sdece birleşme özelliğini isptlyıp diğerlerini okuyucuy bırkcğız. B b A b + b b + c c c 0 + b + c Şekil b + c = [( 1, ) + ( b 1, b )] + ( c 1, c ) = ( 1 + b 1, + b ) + ( c 1, c ) = ( 1 + b 1 + c 1, + b + c ) = ( 1 + ( b 1 + c 1 ), ( + ( b + c )) = ( 1, ) + ( b 1 + c 1, b + c ) = ( 1, ) + (( b 1, b ) + ( c 1, c )) = + b + c 4. Bir Vektörün Bir Gerçel Syı İle Çrpımı = 1, vektörü ile bir k gerçel syısı verilsin. vektörünün k gerçe syısı ile çrpımı k. = k 1, k şeklinde tnımlnır. ni k. vektörü, vektörünün bütün bileşenlerinin k ile çrpılmsıyl bulunn vektördür. Şekil 3.8'de vektörünün, k = ve k = 1- gerçel syılrıyl çrpımı örnek olrk verildi. - 1 Şekil 3.8 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
9 VEKTÖRLER 47 k gerçel syısının pozitif olmsı durumund elde edilen vektörün boyu değişir. Fkt k nın negtif olmsı durumund elde edilen vektörün hem boyu, hem de yönü değişir (Şekil 3.8) Örnek k = - gerçel syı ve = -3,1 vektörü veriliyor. k. vektörünü bulunuz k. = - (-3, 1) = (-. (-3), -. 1) = (6, -) 0 - Şekil 3.9 Bir Vektörün Bir Gerçel Syı İle Çrpımının Özellikleri, b düzlemde vektörler olsun. k, l gerçel syılr olmk üzere şğıdki özellikler sğlnır: 1. k l = kl. k + l = k + l 3. k + b = k + kb 4. 1 = Bu özelliklerden sdece üçüncü özelliğin hem nlitik olrk hem de geometrik olrk göstereceğiz. Diğerlerini okuyucuy bırkcğız. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
10 48 VEKTÖRLER k k b b b + b k + b Şekil 3.10 k + b = k (( 1, ) + ( b 1, b )) = k ( 1 + b 1, + b ) = (k ( 1 + b 1 ), k ( + b )) = ( k 1 + kb, k + kb ) = ( k 1, k ) + ( kb 1, kb ) = k ( 1, ) + k ( b 1, b ) = k + kb 5. Bir Vektörün Boyu ve Birim Vektör Düzlemde R = ( r 1, r ) ve S = ( s 1, s ) noktlrı verilsin. Bşlngıç noktsı R ve bitim noktsı S oln RS vektörünün boyu diye bu iki nokt rsınd kln uzklığ diyeceğiz. Vektörün boyu deyimi yerine, vektörün normu, uzunluğu, büyüklüğü kelimeleri de kullnılır ve boyu, RS şeklinde göstereceğimiz RS vektörünün RS = s 1 - r 1 + s - r formülüyle verilir. Özel olrk bir R = ( r 1, r ) yer vektörünün boyu ise, OR = r 1 + r dir. Boyu sıfır oln bir vektöre sıfır vektörü denir O = 0, 0 şeklinde gösterilir. = 0 = 0 dır Örnek A = (-, 0) B = (4, 8) ise AB vektörünün uzunluğunu bulun AB = = = = 100 = 10 birim ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
11 VEKTÖRLER 49 Uzunluğu 1 birim oln vektöre birim vektör denir. ni birim vektördür. Eğer 0 herhngi bir vektör ise, = 1 ise vektörü 0 = 1 ile belirli 0 vektörüne yönündeki birim vektör denir 5.. Örnek = 1, -3 ve b = - 1, 1 vektörleri birim vektör müdür? Eğer değilse, bu vektörlerle ynı yöne ship birim vektörleri bulunuz. = 1, -3 vektörü için, = = = 10 olduğundn birim vektör değildir. vektörü yönündeki birim vektör 0 = 1 = , -3 = 1 10, dir. b = - 1, 1 vektörü, b = olduğundn birim vektördür. = = 1 - ve - koordint eksenleri üzerinde ve pozitif yönde, e 1 = 1, 0 ve e = 0, 1 şeklinde gösterilen birim vektörlerden yrrlnrk düzlemde lınn herhngi bir = 1, vektörünü = 1, = 1, 0 + 0, = 1 1, 0 + 0, 1 = 1 e 1 + e şeklinde tek türlü yzbiliriz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
12 50 VEKTÖRLER Örneğin, = 4, -3 vektörünü e 1 ve e cinsinden = 4, -3 = 4, 0 + 0, -3 = 4 1, , 1 = 4 e e yzılbilir. 6. İki Vektörün Doğrusl Bğımlılığı Düzlemde u ve v gibi iki vektör llım. Eğer u = λ v olck şekilde λ 0 syısı vrs u ve v vektörlerine doğrusl bğımlıdır denir. Örneğin, u = 6, -4 ve v = -3, vektörleri için u = 6, -4 = - -3, = -v u = λ v olduğundn u ve v vektörleri doğrusl bğımlıdır. v 0 u Şekil 3.11 Düzlemde doğrultulrı ynı oln iki vektör Şekil 3.11'den görüldüğü gibi doğrusl bğımlıdır. Şimdi u = 1, 3 ve v = -5, 1 vektörleri için v u 0 Şekil 3.1 Şekil 3.1'ye dikkt edilecek olurs, bu iki vektörün doğrultulrı ynı değildir. u vektörü v vektörünün belli bir ktı olrk yzılmz. İşte, bu şekildeki u ve v vektörlerine doğrusl bğımsız vektörler denir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
13 VEKTÖRLER Bir Vektörün Doğrultu Kosinüsleri Bir vektörün - ve - eksenleri ile yptığı çılrın kosinüslerine o vektörün doğrultu kosinüsleri denir. (0, ) = 1, β 0 α ( 1, 0 ) Şekil 3.13 Herhngi = 1, vektörünü llım. Bu vektörün uzunluğ r = 1 + ve koordint eksenleriyle yptığı çılr sırsıyl α, β olsun. Bu çılr vektörünün doğrultu çılrı denir. Şekil 3.13'den cosα = 1 ve cosβ = r r olrk nın doğrultu kosinüsleri bulunur. Burdn 1 = r cosα, = r cosβ olduğundn = r cosα, r cosβ şeklinde yzılır. Doğrultu kosinüslerinin krelerinin toplmı ise dir. cos α + cos β = 1 r + r = 1 + = r r r = 1 Örneğin = -4, 3 vektörünün doğrultu kosinüsler dir. cosα = -4 = cosβ = 3 = AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
14 5 VEKTÖRLER 8. Uzyd Vektörler Uzyd vektörler, düzlemde olduğu gibi tnımlnır. A = ( 1,, 3 ) ve B = ( b 1, b, b 3 ) noktlrı ile AB yönlü doğru prçsın krşılık ( b 1-1, b -, b 3-3 ) sırlı üçlüsü krşılık getirilir. Bu sırlı üçlüye birden fzl yönlü doğru prçsı krşılık geldiğinden, bu eşleme 1-1 değildir. Düzlemdekine benzer olrk, uzyd yönlü doğru prçlrının oluşturduğu bir kümede bğıntısı (düzlem için tnımlnn bğıntının uzy doğl ktrılışı) tnımlnır. Bu bğıntı bir denklik bğıntısı olup, bunun oluşturduğu denklik sınıflrının herbirine uzyd bir vektör denir. Z B = b 1, b, b 3 A = 1,, 3 Şekil 3.14 b 1-1, b - - b 3-3 sırlı üçlüsüne AB vektörünün koordintlrı denir Örnek A = (1, -1, 0), B = (4,, 1), C = (0,, 3) noktlrı veriliyor. ynı vektörü temsil edecek şekilde D noktsını bulunuz. AB ve CD AB CD (4-1, - (-1), 1-0) = ( d 1-0, d -, d 3-3 ) (3, 3, 1) = (d 1, d -, d 3-3) 3 = d 1 3 = d - 5 = d 1 = d = d 3 D = ( d 1, d, d 3 ) = (3, 5, 4) Uzyd, iki vektörün toplmı, bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı, bir vektörün boyu ve birim vektörün tnımlrı düzlemdekine benzediğinden, bunlrl ilgili örnekler vermek yeterli olcktır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
15 VEKTÖRLER Örnek = (, 3, -1), b = (-1, 0, 5) ve c = (0, 4, -) vektörlerinin toplmını bulunuz. k = + b + c = + b + c = (, 3, -1) + [(-1, 0, 5) + (0, 4, -)] = (, 3, -1) + (-1 + 0, 0 + 4, 5 + (-) ) = (, 3, -1) + (-1, 4, 3) = ( + (-1), 3 + 4, ) = (1, 7, ) 8.3. Örnek k = - bir gerçel syı ve = (-, -1, 4) vektörü veriliyor. Bu vektörün k = - gerçel syısı ile çrpımını bulunuz. Z -. Şekil 3.15 b = k. = (-) (-, -1, 4) = (-. (-), -. (-1), -. 4) = (4,, -8) 8.4. Örnek = (, -3, 1) vektörünün boyunu bulun = = = 14 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
16 54 VEKTÖRLER 8.5. Örnek = (-3, 0, ) vektörü birim vektör müdür? Eğer değilse yönündeki birim vektörü bulunuz. Bu vektörün boyu, = = = 13 olduğundn birim vektör değildir. yönündeki birim vektör 0 = 1 = , 0, = -3 13, 0, Örnek Uzyd, -, -, Z- eksenleri üzerinde pozitif yönde, uzunluklrı 1 oln e 1 = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0) ve e 3 = (0, 0, 1) vektörleri cinsinden = (-5, 3, 0) vektörünü yzınız. = (-5, 3, 0) = (-5, 0, 0) + (0, 3, 0) + (0, 0, 0 = -5 (1, 0, 0) + 3 (0, 1, 0) + (0, 0, 0) bulunur. = -5 e e 9. lü Problemler 9.1. Bir ABCD prlel kenrınd köşegenler birbirini kesim noktlrınd iki eşit prçy böldüklerini gösteriniz. D C P A B Şekil 3.16 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
17 VEKTÖRLER 55 ABCD prlel kenrınd köşegenler P noktsınd kesişsinler AC = AB + AD BD = BA + AD AP = λ AC = λ AB + AD... (1) = AD - AB AP = AB + BP = AB + µ BD = AB + µ BA + AD = AB + µ AD - AB = 1 - µ AB + µad... () (1) ve () den 1 - µ AB + µ AD = λ AB + λ AD, AB ve AD vektörleri doğrusl bğımsız olduğundn 1 - µ = λ µ = λ } λ = µ = 1 elde edilir. 9.. Bir ABC üçgeninin BC kenrının ort noktsı H ise olduğunu gösteriniz. AH = 1 AB + AC AH = AB + BH AH = AC + CH } AH = AB + AC + BH + CH AH = 1 = AB + AC + BH - BH = AB + AC + 0 AB + AC elde ederiz. A B H Şekil 3.17 C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
18 56 VEKTÖRLER 9.3. = 3e 1 + e b = -5e 1 + e vektörleri veriliyor. + 1 b vektörünü bulunuz + 1 b = 3, + 1-5, = 6, , 1 = 7, b b 1 b O Şekil Bir ABC üçgeninde A', B', C ' noktlrı Şekil 3.19'd belirtilen kenr ort noktlrı ve P de düzlemde herhngi bir nokt olmk üzere, PA + PB + PC = PA' + PB' + PC' olduğunu gösteriniz. A P C' B' B A' Şekil 3.19 C Şekil 3.19 'dn PA + PB + PC = PB' + B'A + PC' + C'B + PA' + A'C = PB' + 1 CA + PC' + 1 AB + PA' + 1 BC ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
19 VEKTÖRLER 57 CA + AB + BC = 0 olduğund bulunur. PA + PB + PC = PB' + PC' + PA' 9.5. Bir üçgende kenrortylrın bir noktd kesiştiğini gösteriniz. A C' P B' B A' Şekil 3.0 C BP = BA + AP = BA + λ AA' = BA + λ AB + BA' = BA + λ AB + 1 BC = λ - 1 AB + λ BC... 1 Diğer trftn BP vektörünü BP = BC + CP = BC + µ CC' = BC + µ CB + BC' = BC + µ CB + 1 BA = - µ AB µ BC... yzbiliriz. (1) ve () nin sol trflrı eşit ve bğımsız olduğundn AB, BC vektörleri doğrusl λ - 1 = - µ dir. λ = 1 - µ AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
20 58 VEKTÖRLER λ den λ = - µ terimi = 1 - µ λ - 1 = - µ de yerine konulurs, - µ - 1 = - µ 1 - µ = - µ - 4µ = - µ = 3µ µ = 3 ve λ = - µ = - 3 = λ = 3 elde edilir. Şimdi AB' = B'C olduğunu görelim. İki vektörün doğrusl bğımlılığındn δ BP = BB' ve 1 den BP = AB BC BB' = - δ 3 AB + δ 3 BC dir. CB' ve CA doğrusl bğımlı olduğundn CA = η CB' olck şekilde η R vrdır. CB' = CB + BB' = CB - δ 3 AB + δ 3 BC = 1 - δ 3 CB - δ 3 AB ve CA = CB + BA CA = η CB' = η 1 - δ 3 CB - δ 3 AB ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
21 VEKTÖRLER 59 1 η CB + 1 η BA = 1 - δ 3 CB - δ 3 AB 1 η = 1 - δ 3 ve -1 = - δ η 3 3 = 3η - δη 3 δη = 3 = 3η - 3 η = olur. elde edilir. Bu d B' noktsının CA nın ort noktsı olduğunu gösterir A = (-, -3), B = (0, 4), D = (, 0) üç köşesi verilen prlel kenrın dördüncü köşesini bulunuz. C B 0 D = (, 0) A Şekil 3.1 C = (, b) olsun. AB + BC = AC, 7 + 4, 3 =, b - -, -3 6, 10 = +, b = + = 4 10 = b + 3 b = 7 C = (, b) = (4, 7) dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
22 60 VEKTÖRLER Değerlendirme Sorulrı Aşğıdki sorulrın ynıtlrını verilen seçenekler rsındn bulunuz. 1. = (1, 0, 3), = (, -5, 4) vektörleri veriliyor. 3 - b vektörünün koordintlrı nedir? A. (7, 10, 17) B. (3, -5, 7) C. (1, 5, -13) D. (-1, 10, 1) E. (-1, 5, -1). = (x, 4, -3) vektörünün uzunluğu 61 birim olmsı için x ne olmlıdır? A. -3 B. 3 C. 4 D. 5 E = (4, 0, -3) hngisidir. A. 4 5, -3 5, 0 B. -3 5, 4 5, 0 C. 4 5, 0, -3 5 D. 4 5, 3 5, 0 E , 0, 3 5 vektörü ile ynı yönde oln birim vektör şğıdkilerden 4. A = -6, B = 6, 8 noktlrı veriliyor. AC = 3CB koşulun uyn C noktsının koordintlrı şğıdkilerden hngisidir? A. 3, 7 B. 3, 13 C. -3, 13 D. - 7, -3 E. 7, 3 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
23 VEKTÖRLER u = (x, 4, y-) ve v = (1,, 5) vektörlerinin prlel olmsı için, x ve y ne olmlıdır? A. x = y = 1 B. x = 3 y = 17 C. x = 1 y = 7 D. x = 1 y = 4 E. x = 0 y = 6. u = -e 1 + 5e nedir? A. 5 B. 4 C. 5 D. 67 E. 73 ve v = e 1-3e olduğun göre u - v vektörünün uzunluğ 7. ve b uzyd herhngi vektörler ve r, k R ise şğıdkilerden hngisi ynlıştır? A. 0. = 0 B. r + b = r + rb C. r k = rk D. + b + c = + b + c E. + b = b + 8. A = (x, y-, x+) B = (3, x+1, z) ise AB doğru prçsının ort noktsının (1, -, 3) olmsı için x, y, z ne olmlıdır? A. x = 1 y = - z = 3 B. x = -1 y = - z = 5 C. x = - y = 1 z = 3 D. x = y = 1 z = -3 E. x = - y = -1 z = Aşğıdki vektörlerden hngisi birim vektördür? A. 1, 1 B. 1 3, 1 3 C. 1, 1 D. 1 3, 3 E. 0, 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
24 6 VEKTÖRLER 10. C D A B ukrıdki şekilde, ABC üçgeninde BD = CD olduğun göre AD vektörü şğıdkilerden hngisidir? A. 1 AB B. 1 CB C. 1 CB + AB D. 1 AB + AC E. 1 CB + AC Değerlendirme Sorulrının nıtlrı 1. D. E 3. C 4. B 5. A 6. E 7. A 8. B 9. C 10. D ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
DetaylıG E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90
G O M T R İ. ÖLÜM Üçgende çılr. ÜÇGN oğrusl olmyn üç noktyı birleştiren doğru prçlrının birleşim kümesine üçgen denir. ış çı ış çı ış çı. ÇILRIN GÖR ÜÇG N ÇŞİTLR İ r çılı Üçgen Üç çının ölçüsü de 90 den
DetaylıVEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ
DetaylıÜNİTE - 7 POLİNOMLAR
ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri
Detaylı11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)
ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,
DetaylıÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)
ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin
Detaylı2009 Soruları. c
Hırvt ıstn Ulusl Mtemt ık Ol ımp ıytı Tkım Seçme Sınvı Geometr ı 2009 Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Hırvtistn d ypıln 2009 yılı TST yni Tkım Seçme Sınvın it geometri sorulrı
DetaylıÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen
ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler
DetaylıLİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.
LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;
Detaylıİntegral Uygulamaları
İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim
DetaylıSunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistemtik ÖLÜM: ÖRTNLR LIŞTIRMLR u bşlık ltınd her bölüm kznımlr yrılmış, kznımlr tek tek çözümlü temel lıştırmlr ve sorulr ile trnmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf içinde öğrencilerle işlenmesi
DetaylıA, A, A ) vektör bileşenleri
Elektromnetik Teori hr 006-007 Dönemi VEKTÖR VE SKLER KVRMI Mühendislik, fiik ve geometri ugulmlrınd iki türlü büüklük kullnılır: skler ve vektör. Skler, sdece büüklüğü oln niceliklerdir. elli bir ölçeği
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel
DetaylıDENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek
DetaylıÖrnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?
RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine
Detaylı1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?
988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?
DetaylıSAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI
YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d
DetaylıRASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere
RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0
DetaylıÖ.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının
Detaylı1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?
99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd
DetaylıMUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.
gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için
Detaylıc
Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.
Detaylı11. BÖLÜM. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen A. PARALELKENAR B. PARALELKENARIN ÖZEL LİKLERİ ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK
G O M T R İ www.kdemivizyon.com.tr. ÖÜM Prlelkenr ve şkenr örtgen. PRNR rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgenlere prlelkenr denir. [] // [] [] // [] = =. PRNRIN ÖZ İRİ. rşılıklı çılr eş ve rdışık çılr ütünlerdir.
DetaylıVEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.
VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
Detaylı1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın
DetaylıHİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir.
Merkezi Hiperoll HİPERBL Merkezi noktsı oln hiperole merkezil hiperol denir. F ve F' noktlrın hiperolün odklrı denir. dklr rsı uzklık FF' dir. odklr rsı uzklık e sl eksen uzunluğu değerine hiperolün dış
Detaylı1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?
ÖYS. Rkmlrı birbirinden frklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkilerden hngisine klnsız bölünebilir? D) 8 E) 7. +b= b olduğun göre, b kçtır? D) 8 E). İki bsmklı, birbirinden frklı pozitif tmsyının toplmı
Detaylı(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin
4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?
DetaylıII. DERECEDEN DENKLEMLER
ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı
Detaylıb göz önünde tutularak, a,
3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi
DetaylıTEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
Detaylıek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.
LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden
Detaylı1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun
99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
Detaylı1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57
99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)
Detaylı1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin
DetaylıÖrnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ
ÜZGÜN ŞGN ( ÜZGÜN ŞGN TNII, ÖZİRİ ĞRNİRR ) ÜZGÜN ŞGN ÖZİ 3 TNI V ÖZİRİ enr syısı 5 oln düzgün çokgene öşe düzgün beşgen denir. üzgün beşgenin; köşeleri,,, ve dir, kenrlrı [], [], β θ [], [] ve [] dır,
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı
Detaylı2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,
005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.
DetaylıTEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,
Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b
DetaylıTrigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.
Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:
DetaylıMustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
DetaylıTanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)
BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni
DetaylıDOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu
OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı
Detaylıİstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden
İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit
DetaylıYILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.
YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır
DetaylıTYT / MATEMATİK Deneme - 6
. Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın
DetaylıMobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?
Mobil Test Sonuç Sistemi Nsıl ullnılır? Tkdim Sevgili Öğrenciler ve eğerli Öğretmenler, ğitimin temeli okullrd tılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hytt bşrılı olmsı beklenemez. Hedefe ulşmks
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d
Detaylı5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1
Üstlü Sılrd İşlemler, Üstel Fonksion BÖLÜM 0 Test 0. 7 7 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir?. 6 olduğun göre, ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 9 6 A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E)
DetaylıLYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...
Detaylı7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.
7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının
DetaylıMATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?
MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1
DetaylıVektör - Kuvvet. Test 1 in Çözümleri 5. A) B) C) I. grubun oyunu kazanabilmesi için F 1. kuvvetinin F 2
7 Vektör - uvvet 1 Test 1 in Çözümleri 5. A) B) C) 1. 1 2 I. grubun oyunu kznbilmesi için 1 kuvvetinin 2 den büyük olmsı gerekir. A seçeneğinde her iki grubun uyguldığı kuvvetler eşittir. + + + D) E) 2.
Detaylı1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?
98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln
Detaylı6 ise. = b = c = d. olsun. x 3 = 0. x = 3 için Q(3 + 2) = 6. ve sayılarının sayısına uzaklığı sayısı kadar ise c a = d. Q(5) = 6 dır.
TYT / MTEMTİ eneme - 9. 7 + + + = + 9 = + = + = = bulunur. 0 evp : ^ + h. ^+ h = ^+ h $ ^+ h & ^+ h = & ^+ h = $ ^+ h = ^ h $ ^+ h & ^+ h = 6 ^+ h@ = ^ + h urdn = bulunur. evp :. 0,, ^ h + 0, $ ^0, h,,
Detaylı1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?
987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Nisn 99 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri (0,0 0,8) işleminin sonucu kçtır? 0,00 A) 00 B) 0 C) D), E) 0, Çözüm (0,0 0,00 0,8) 0, 0,00 0, 0,00 0 işleminin sonucu kçtır? A) B) C)
Detaylı4. a sıfırdan farklı bir rasyonel sayı olduğuna göre,
. BA ve AC iki bsmklı, ABC üç bsmklı doğl syıdır. Bun göre, ABC BA AC 0,A 0,0A 0,00A ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? 3. Rkmlrı frklı üç bsmklı ABC doğl syısının rkmlrı birer kez kullnılrk elde edilen
DetaylıÖrnek...3 : Örnek...1 : ABCD yamuk [AC] köşegen E [AC] [AB] // [CD] AB = AE. Örnek...2 : ABCD yamuk [AB] // [CD] BC = CE AE = BE. Örnek...
YU ( YU TNII ORT TN YU NI İİZNR YU İ YU ) YU TNII Ylnız iki kenrı birbirine prlel oln dörtgene YU denir. [] // [] ise ymuktur. rlel oln kenrlr ymuğun tbnlrıdır. [] ve [] tbn. iğer iki kenr yn kenrlrdır.
DetaylıBİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.
IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }
DetaylıFONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER
ÖZEL EGE LİEİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTİZLİKLER HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Güneş BAŞKE Zeynep EZER DANIŞMAN ÖĞRETMEN: ereny ŞEN İZMİR 06 İçindekiler yf. Giriş.... Amç.... Ön Bilgiler...... 3. Yöntem....
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Hzirn 007 Mtemtik I Sorulrı ve Çözümleri.. 7 işleminin sonucu kçtır? A) B) 9 C) D) E) Çözüm. 7..9.. + işleminin sonucu kçtır? 4 8 A) 8 B) 8 C) 8 D) 4 E) 4 Çözüm + 4 8 8 4+
DetaylıYGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1
YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. 1. y 1 1 + 1 1ʺ 1 1ʹ 17 0ʹ 1 1ʹ ʹ + ʹ 1ʺ ʹ + ʹ 1ʺ 7 0ʹ 1ʺ 0 0ʹ 1ʺ bulunur. 1 y < + 1 y dir. y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri
Detaylıa üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:
1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu
DetaylıLYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ
LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n
DetaylıMATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]
3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2
DetaylıÜslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
MATEMATİK Üslü Syılr Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK 5.Hft Hedefler Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Gerçel syılrd üslü işlemler ypbilecek, Üslü denklem ve üslü eşitsizlikleri çözebileceksiniz.
DetaylıAnkara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı
Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü
DetaylıTYT / MATEMATİK Deneme - 2
TYT / MTMTİK eneme -. 7 ^7h ^h $ bulunur. evp : 6. b b c 6 c 6, b ve c nin ritmetik ortlmsı O b c 6 bulunur.. y z y z ^ h $ bulunur. evp : 7. y çift ne olurs olsun çift syı olduğundn in yd çift olduğundn
DetaylıÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI
ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,
DetaylıAkademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri
Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl II / 7 Ksım 0 Mtemtik Sorulrının Çözümleri. Bölüm şeklindeki kreköklü ifdenin pydsını krekökten kurtrmk için py ve pydyı, pydnın
Detaylı1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160
8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre
DetaylıTİK TESTİ TEMA - 5 ÇÖZÜMLER
TYT / Temel Mtemtik TML MTMTİ TSTİ eneme - ÇÖZÜMLR.. < < 9 9 < b < 6 < c < 6 c = 6 = verilen rlıkt değildir. oylı olmyn üçgen syısı = = Tüm üçgenlerin syısı 6. - = - - - = - - = - = 0 sonuç yyınlrı 6..
Detaylı1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x
MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu
DetaylıD) 240 E) 260 D) 240 E) 220
01 Test Ünite? AYT Mtemtik EBOB - EKOK 1. 240 ve 300 syılrının en büyük ortk böleni kçtır? A) 20 B) 40 C) 60 3. 18, 24 ve 32 syılrının en küçük ortk ktı kçtır? A) 248 B) 260 C) 276 5. Kenr uzunluklrı 60
DetaylıORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR
ORTÖĞRETĐM ÖĞRENĐLERĐ RSI RŞTIRM ROJELERĐ YRIŞMSI (2008 2009) ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTLR rojeyi Hzırlyn Öğrencilerin dı Soydı : Sinem ÇKIR Sınıf ve Şuesi : 11- dı Soydı : Fund ERDĐ Sınıf ve Şuesi
DetaylıI. b çift ise a b tek (doğru) II. b tek ise a + b çift (doğru) x, y ve z çift sayı olmamalıdır. III. a 6 + a b (yanlış)
TYT / MATEMATİK Deneme -. olsun. 0 0 0,, 0 09 9 + + + + 0,, 0 0$ ulunur. 0 0 4. ^5 5h 5 5 $ $ 6 ulunur. ^5 5 h ^ 5 5 h Cevp : D Cevp : D. + + 0 + + + + 8 8 Toplm 8 8 ^4h ulunur. 5. Asl syılr {,, 5,,,,,
Detaylıçizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q
Elektrosttik(Özet) Coulomb Yssı Noktsl bir q yükünün kendisinden r kdr uzktki bir Q yüküne uyguldığı kuvvet, şğıdki Coulomb yssı ile ifde edilir: F = 1 qq ˆr (1) r2 burd boşluğun elektriksel geçirgenlik
DetaylıLYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / GOMTRİ NM ÇÖZÜMLRİ eneme -. m ( ) + m( ) > 0 m ( ) + m ( ) > 90 + m ( ) + m ( ) + m( ) + m ( ) > 0 m ( ) > 40 4444444444 0 O hlde, çısının çısının ölçüsünün lbileceği en küçük tmsı değeri 4 evp.
DetaylıÜÇGENDE BENZERLİK. Benzerlik. Benzerlik Oranı. Uyarı
ÜÇN NZRLİK enzerlik eometride benzerlik kvrmı görsel olrk birbiri ile ynı oln şekiller için kullnılır. enzer iki şeklin krşılıklı kenrlrı rsınd sbit bir orn vrdır. iz bu bölümde sdece üçgenler rsındki
DetaylıASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM
YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir
DetaylıÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI
ÜÇGEN VE PİSGOR ĞINTISI KZNIMLR Üçgen kvrmı Üçgen çizimi Üçgenin kenrlrı rsındki ğıntılr Üçgen eşitsizliği Üçgenlerde yükseklik Üçgenlerde kenrorty Üçgenlerde çıorty Kenr ort dikme kvrmı Pisgor ğıntısı
Detaylı4. BÖLÜM: ÖZEL ÜÇGENLER VE TRİGONOMETRİ KONU ÖZETİ
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ KONU ÖZTİ. ÖZL ÜÇGNLR c. Kenrlrın Göre Özel ik Üçgenler. ik Üçgen. Pisgor ğıntısı k k k k k k c b b b k k k k c c c c b b k k k 7k k 7k k k ir çısı 90 oln üçgene dik üçgen
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (
Detaylı1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...
İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE
Detaylı(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC
ÜÇGNLR TRİGONOMTRİK ÖZLLİKLR. Kosinüs Teoremi: Herhngi ir üçgeninin, kenr uzunluklrı,, ise; = +... os = +... os = +... os İspt: Şekilde görüldüğü üçgeni, köşesi ile orijin, kenrı ile ekseni ile çkışk şekilde
DetaylıLisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?
Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )
DetaylıÇevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf
Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk
Detaylı( x y ) 2 = 3 2, x. y = 5 tir. x 2 + y 2 2xy = 9. x 2 + y 2 = 19 bulunur. Cevap D / 24 / 0 ( mod 8 ) Pikaçu.
eneme - / YT / MT MTMTİK NMSİ. I. KK (, ) = : Z II. KK (, ) = : Z III. KK ( 8, ) = 7 7 : Z. - - = = ( ) ile. rlrınd sl ise ( ) =,. = tir. + = + = bulunur. evp evp. + / / ( mod 8 ) Pikçu. M n + n n + 8
DetaylıDRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat.
Deneme - / Mt MATEMATİK DENEMESİ. 6 üst tn, 6 lt tn olmk üzere mvi kre vrdır. Ypının tüm yüzeyi kreden oluştuğun göre, 6 7. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur. ( ) 9 c
DetaylıLOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.
LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.
DetaylıKONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2
Sf No.........................................................8-7 Prol....................................................................... 9 - Etkinlikler.....................................................................
DetaylıKPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK
MTEMTİK KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MTEMTİK EDİTÖR Turgut MEŞE YZR İdris DOĞN ütün hklrı Editör Yyınlrın ittir. Yyınevinin izni olmksızın, kitbın tümünün vey bir kısmının bsımı, çoğltılmsı ve dğıtımı
DetaylıMtemtik Öğretmeni: Mhmut BAĞMANCI www.zevklimtemtik.com LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI.) Aşğıdkı ifdelerde x i veren ifdeyi yzınız x ) x b) 7 x c) 0 7 d) +x.) 7 7 7 ise x... ise x... ise x... ise x....) Aşğıdki
DetaylıÖrnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün
ÜZGÜN TIGN ( ÜZGÜN TIGN TNIMI, ÖZİİ V NI ĞNİM ) ÜZGÜN TIGN Örnek...2 : TNIM V ÖZİİ enr syısı 6 oln çok - gene lt ıgen denir. ltıgeni için [], [] ve [] köşegenlerinin kesim noktsı oln noktsı dü zgün ltıge
Detaylı