İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ"

Transkript

1 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Hüseyin Taştan Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 2 İSTATİSTİK BİLİMİNİN UĞRAŞI ALANLARI Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma

2 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 3 İSTATİSTİK İSTATİSTİK I Olasılık Teorisi Rassal Değişkenler Kesikli ve Sürekli R.D. Olasılık Fonksiyonu Beklenen Değer, Moment Normal Dağılım Merkezi Limit Teoremi İSTATİSTİK II Örnekleme ve Örneklem Dağılımları Nokta ve Aralık Tahmini Hipotez Testi Regresyon ve Korelasyon Parametrik Olmayan Testler Varyans Analizi YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 4 RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.) : Alacağı değer belli bir rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz. x: rassal değişken X in aldığı belli bir değer. Kesikli r.d. : Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı hata sayısı, bir bankaya 5 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb. Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer, örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir dönemdeki enflasyon oranı, İMKB endeksinin kapanış değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb.

3 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 5 OLASILIK DAĞILIMLARI - KESİKLİ f(x) ile göstereceğiz, f(x), f(x) = P(X = x), x f(x) =, Bu toplam x in alabileceği tüm değerler üzerinedir, Birikimli dağılım fonksiyonu: P(X x ) = F(x ) = x x f(x) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 6 KESİKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI Örnek: 3 para atılıyor ve tura (T) gelme sayısı X ile gösteriliyor. Bu deneyde ortaya çıkabilecek sonuçlar şunlardır: (TTT), (TTY), (TYT), (YTT), (TYY), (YTY), (YYT), ve (YYY). Bu 8 sonuç karşılıklı olarak bağdaşmazdır ve herbirinin gelme olasılığı aynıdır. Olasılık: /8. X in alabileceği değerler:,, 2, and 3. X rassal değişkeninin dağılımını bulalım.

4 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 7 Sonuçlar x f(x) YYY /8 YYT YTY 3/8 TYY YTT 2 TYT 2 3/8 TTY 2 TTT 3 /8 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 8 X in olasılık dağılımı: x f(x) = x 2 3 f(x) = P(X = x) P(X ) =? P( X 3) =?

5 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 9 X in birikimli olasılık dağılımı F(x) = P(X x) =, x < ; 8, x < ; 2, x < 2; 7 8, 2 x < 3;, x 3. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme.4 OLASILIK FONKSIYONU f(x) x BIRIKIMLI OLASILIK FONKSIYONU.8.6 F(x) x

6 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme Kesikli r.d. lerin BEKLENEN DEĞERLERİ Kesikli r. d. X in beklenen değeri E(X) = x xf(x) g(x), X in bir fonksiyonu olsun, g(x) in beklenen değeri E(g(X)) = x g(x)f(x) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 2 ÖRNEK Önceki örnekte X in beklenen değerini bulun. E(X) = = 3 2 (i) g(x) = x 2 nin beklenen değerini bulun. E(X 2 ) = = 3

7 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 3 Kesikli r.d. lerin VARYANSları Tanım: V ar(x) = E [(X E(X)) 2] = E [ (X 2 2XE(X) + (E(X)) 2 ) ] = E ( X 2) 2E (XE(X)) + E ( (E(X)) 2 ) ) = E ( X 2) 2E(X) 2 + (E(X)) 2 = E ( X 2) E(X) 2 µ x = E(X) dersek varyans olarak yazılabilir. V ar(x) = E ( X 2) µ 2 x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 4 Kesikli r.d. lerin MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci momenti µ k = E(X k ) = x x k f(x) k =,,2,.... moment µ = E(X) = populasyon ortalaması 2. moment µ 2 = E(X 2 ) = V ar(x) + µ 2 3. moment µ 3 = E(X 3 ) 4. moment µ 4 = E(X 4 )

8 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 5 Kesikli r.d. lerin MERKEZİ MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci merkezi momenti m k = E((X µ ) k ) = x (x µ ) k f(x) k =,,2,.... merkezi moment m = 2. merkezi moment m 2 = E((X µ ) 2 ) = V ar(x) 3. merkezi moment m 3 = E((X µ ) 3 ) 4. merkezi moment m 4 = E((X µ ) 4 ) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 6 Kesikli r.d. lerin STANDART MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci standart momenti γ k = m k σ k k =,,2,... Burada σ populasyon standart sapmasıdır: σ = V ar(x) = E [(X µ ) 2]. standart moment γ = 2. standart moment γ 2 = neden? 3. standart moment γ 3 = m 3 σ 3 4. standart moment γ 4 = m 4 σ 4 çarpıklık (skewness) basıklık (kurtosis)

9 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 7 Bazı Kesikli Dağılımlar Bernoulli Binom Hipergeometrik Poisson YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 8 Bernoulli(p) Dağılımı: p, if X = f(x) = p, if X = Beklenen Değer: E(X) = x xf(x) = p + ( p) = p İkinci Moment: E(X 2 ) = x x 2 f(x) = p + ( p) = p Varyans (ikinci merkezi moment): V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = p p 2 = p( p)

10 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 9 BİNOM DAĞILIMI X, n bağımsız Bernoulli denemesinde değerini alma (başarı) sayısı olsun. Yani eğer Y Bernoulli(p) ise X = (Y ), Binom(n,p) dağılımına uyar. X toplam başarı sayısı. f(x) = n p x ( p) n x n! = x x!(n x)! px ( p) n x, x =,,2,...,n E(X) = np V ar(x) = np( p) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 2 HİPERGEOMETRİK DAĞILIM Eğer Bernoulli denemeleri birbirinden bağımsız değilse, toplam başarı sayısı Binom dağılımına uymaz. İçinde B tane başarı bulunan N nesneli rassal bir örneklemde, toplam başarı sayısı X in olasılık dağılımı f(x) = B x N B n x N n Burada x max(,n (N B)) ve min(n,b) arasında tamsayı değerler alabilir E(X) = np, V ar(x) = N n np( p), N p = B N

11 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 2 POISSON DAĞILIMI Bir olayın belli bir zaman diliminde gerçekleşme sayısı Notasyon: X P oisson(λ), pmf: f(x,λ) = λx e λ, x =,,2,... x! E(X) = λ V ar(x) = λ skewness = λ excess kurtosis = λ YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 22 Kesikli r.d. için ORTAK DAĞILIMLAR ORTAK OLASILIK FONKSİYONU: Birden fazla r.d. in ortak davranışını betimlemek istiyoruz. Önce iki değişkenli durumu inceleyelim. X ve Y iki r.d. olsun. Bunların ortak olasılık fonksiyonu f(x,y) = P(X = x Y = y) Daha genel olarak X,X 2,...,X k k tane kesikli r.d. ise bunların ortak olasılık fonksiyonu şöyle olur: f(x,x 2,...,x k ) = P(X = x X 2 = x 2,,..., X k = x k )

12 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 23 X: Bir bankada nolu gişede sırada bekleyen müşteri sayısı, Y : Bir bankada 2 nolu gişede sırada bekleyen müşteri sayısı. Bu iki r.d. için ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir. y \ x 2 3 Toplam Toplam YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 24 MARJİNAL OLASILIK FONKSİYONU Ortak olasılık fonksiyonu biliniyorsa, bundan hareketle marjinal ya da tekil olasılık fonksiyonları elde edilebilir. X in marjinal olasılık fonksiyonu: f(x) = y f(x,y) Y nin marjinal olasılık fonksiyonu: f(y) = x f(x,y)

13 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 25 KOŞULLU OLASILIK FONKSİYONU Ortak olasılık fonksiyonu biliniyorsa, bundan hareketle koşullu olasılık fonksiyonları elde edilebilir. Y = y verilmişken X in koşullu olasılık fonksiyonu: f(x y) = f(x,y) f(y) X = x verilmişken Y nin koşullu olasılık fonksiyonu: f(y x) = f(x,y) f(x) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 26 BAĞIMSIZLIK X ve Y r.d. lerinin istatistik bakımından bağımsız olduğunu söyleyebilmemiz için aşağıdaki koşulun sağlanması gerekir: Başka bir deyişle f(x,y) = f(x)f(y) f(x y) = f(x), vef(y x) = f(y)

14 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 27 KOVARYANS g(x,y ), X ve Y r.d. lerinin herhangi bir fonksiyonunu ifade etsin. Bu fonksiyonun beklenen değeri: E [g(x,y )] = g(x,y)f(x,y) x y g(x,y ) = (X µ x )(Y µ y ) olsun. Bu fonksiyonun beklenen değerine KOVARYANS denir: Cov (X,Y ) = (x µ x )(y µ y )f(x,y) x y YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 28 SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI X sürekli bir r.d. ise verilmiş bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir. Bir sürekli rassal değişkenin belli bir değere eşit olma olasılığından (kesikli r.d. gibi) bahsedemeyiz. Ancak verilmiş bir aralık içine düşme olasılıklarını bulabiliriz. f(x): olasılık yoğunluk fonksiyonu. Özellikleri: f(x) f(x)dx = Pr(a < X < b) = b a f(x)dx

15 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 29 f(x) P(a<X<b) = b a f(x)dx a b x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 3 BİRİKİMLİ OLASILIK FONKSİYONU X sürekli r.d. için birikimli olasılık fonksiyonu, ya da dağılım fonksiyonu, X in belli bir x değerini aşmama olasılığı olarak tanımlanır ve F(x) ile gösterilir. F(x) = P(X x) = oyf ile dağılım fonksiyonu arasındaki ilişki: x f(x) = df(x) dx f(t)dt

16 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 3 BİRİKİMLİ OLASILIK FONKSİYONU F(x) in özellikleri: F( ) =, F(+ ) = Buna göre F(x), x in azalmayan bir fonksiyonudur. x x 2 olmak üzere F(x ) F(x 2 ). P(a < X < b) = F(b) F(a) = b a f(x)dx P( < X < + ) = P( < X < a)+p(a < X < b)+p(b < X < + ) f(x)dx = a f(x)dx + b a f(x)dx + + b f(x)dx F(+ ) F( ) = [F(a) F( )] + P(a < X < b) + [F(+ ) F(b)] = F(a) + P(a < X < b) + F(b) P(a < X < b) = F(b) F(a) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 32 f(x) F(+ ) F(b) = F(b) F(a) F( ) = F(a) b a f(x)dx = F(b) F(a) a b x

17 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 33 SÜREKLİ r.d. lerin BEKLENEN DEĞERLERİ E(X) µ x = g(x), X in bir fonksiyonu ise, E(g(X)) = V ar(x) = xf(x)dx g(x)f(x)dx (x µ x ) 2 f(x)dx YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 34 İntegral özellikleri kullanılarak V ar(x) aşağıdaki gibi yazılabilir: V ar(x) = E [ (X E(X)) 2] = = = E(X 2 ) µ 2 x x 2 f(x)dx + µ 2 x ( x 2 f(x)dx xf(x)dx (x µ x ) 2 f(x)dx f(x)dx 2µ x xf(x)dx Burada f(x)dx = ve xf(x)dx = E(X) µ x özelliklerini kullandık. Bunu kesikli r.d.ler için de göstermiştik. ) 2

18 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 35 Sürekli r.d. lerin MOMENTLERİ Tanım: Sürekli r.d. X in knci momenti µ k = E(X k ) = x k f(x)dx k =,,2,... x X. moment µ = E(X) = populasyon ortalaması 2. moment µ 2 = E(X 2 ) = V ar(x) + µ 2 3. moment µ 3 = E(X 3 ) 4. moment µ 4 = E(X 4 ) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 36 Sürekli r.d. lerin MERKEZİ MOMENTLERİ Tanım: Sürekli r.d. X in knci merkezi momenti m k = E((X µ ) k ) = (x µ ) k f(x)dx k =,,2,... x X. merkezi moment m = 2. merkezi moment m 2 = E((X µ ) 2 ) = V ar(x) 3. merkezi moment m 3 = E((X µ ) 3 ) 4. merkezi moment m 4 = E((X µ ) 4 )

19 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 37 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ Doğrusallık: X rassal değişkeninin doğrusal bir fonksiyonu Y = a + bx olsun. Y nin beklenen değeri: E[Y ] = E[a + bx] = a + be(x) X,X 2,...,X n rassal değişkenlerinin aşağıdaki gibi bir fonksiyonu tanımlanıyor: Y nin beklenen değeri: ya da kısaca Y = b X + b n X b n X n E[Y ] = b E[X ] + b 2 E[X 2 ] b n E[X n ] ( n ) E(Y ) = E b i X i = i= n b i E(X i ) i= YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 38 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ X in doğrusal olmayan bir fonksiyonu için genellikle E[h(X)] h(e(x)) Örneğin, E(X2 ) (E(X)) 2, E(ln(X)) ln(e(x)) X ve Y gibi iki r.d. için E ( ) X E(X) Y E(Y )

20 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 39 VARYANSIN ÖZELLİKLERİ Herhangi bir c sabit sayısı için V ar(c) = Y = bx in varyansı, b sabit V ar(y ) = V ar(bx) = b 2 V ar(x) Y = a + bx in varyansı V ar(y ) = V ar(a + bx) = b 2 V ar(x) X ve Y iki bağımsız r.d. ise V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) V ar(x Y ) = V ar(x) + V ar(y ) Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 4 Sürekli Standart Uniform (Tekdüze) Dağılım: Notation: X U(, ), oyf:, if < x <, f(x) = (), otherwise. E(X) = 2 V ar(x) = 2

21 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 4 (Genel) Uniform (Tekdüze) Dağılım: Notation: X U(a, b), oyf: b a if a < x < b, f(x;a,b) =, otherwise. E(X) = b a 2 Median = b a 2 (b a)2 V ar(x) = 2 Skewness = Excess kurtosis = 6 5 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 42 X U(a,b) için beklenen değer ve varyans: E(X) = = b x a b a dx [ b 2 a 2 ] b a 2 (b a)(b + a) = 2(b a) = a + b 2

22 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 43 X U(a,b) için g(x) = x 2 fonksiyonunun beklenen değerini bulalım. E[g(x)] = b a x 2 b a = b3 a 3 3(b a) = (b a)(b2 + ab + a 2 ) 3(b a) = a2 + ab + b 2 3 = E[X 2 ]. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 44 X U(a,b) için varyans: V ar(x) = E[(X E(X)) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2 = (a2 + ab + b 2 ) 3 (b a)2 = 2 (a + b)2 4

23 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 45 U (a,b) için dağılım fonksiyonu: F(x) = P(X x) = = x a b a dt x t b a = x a b a, a a x b aralığı için yazılabilir. Öyleyse X U(a, b) nin bof nu şöyle olur:, x < a için; F(x) = x a b a, a x b için;, x > b için. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 46 f(x) F(x) b a a b x a b x

24 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 47 ÖRNEK: Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. e x, < x < ise; f(x) =, değilse.. Bunun bir oyf olduğunu gösterin. 2. Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 3. P(X > ) olasılığını hesaplayın. 4. Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 48 CEVAP:. Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp sağlamadığına bakalım: (a) (i) İlk olarak, f(x) koşulunun < x < aralığındaki her x değeri için sağlandığı açıktır. (b) (ii) Ayrıca, x in değerler aralığında oyf nin integralinin olması gerekir. e x dx = e x = e ( e ) = + = e = lim x e x = olarak düşünülmelidir. Bu koşul da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf dir.

25 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 49. P(X > ) olasılığı grafikte gösterilmiştir. 2. P(X > ) = e x dx 3. F(x) = = e x = e x e t dt = e t x = e x + e = e x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 5 Buradan birikimli olasılık fonksiyonu, x < ; F(x) = e x, < x <. olarak bulunur.

26 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 5 f ( x ) oyf: f( x) =e x F ( x ) bof: f( x) = e x P( X > ) = e x dx x x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 52 ORTAK OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU X ve Y, sırasıyla, < X < + ve < Y < + aralıklarında tanımlı iki sürekli r.d. olsun. Bu iki r.d. için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, f(x,y) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır. f(x,y), Pr(a < X < b,c < Y < d) = f(x,y)dxdy =, d b c a f(x, y)dxdy.

27 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 53 f(x,y) = xye (x2 +y 2), x >, y >, için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y) y.5.5 x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 54 Örnek: Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonun bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olmasını sağlayacak k sabit sayısını bulun. Elde ettiğiniz ooyf nu kullanarak P ( < X < 2, < Y < 2) olasılığını bulun. k(x + y), < x <, < y < 2 ise; f(x,y) =, değilse.

28 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 55 Öncelikle f(x,y) > koşulunun sağlanabilmesi için k > olmalı. İkinci koşuldan hareketle 2 k(x + y)dxdy = 2 ( ) ( ) = k 2 + y dy = k 2 y + y2 2 2 = 3k = k = 3 bulunur. Öyleyse ooyf 3 (x + y), < x <, < y < 2 ise; f(x,y) =, değilse. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 56 İstenen olasılık ooyf nun altındaki hacim olarak bulunur: P ( < X < 2 ) 2, < Y < 2 2 = (x + y) dxdy 3 ) = 3 2 ( y dy = 3 ( ) 8 y + y2 2 4 = 7 24

29 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 57 MARJİNAL YOĞUNLUK FONKSİYONU X in myf: f(x) = İntegralin sınırları y nin tanım aralığıdır. f(x,y)dy Y nin myf: f(y) = İntegralin sınırları x in tanım aralığıdır. f(x,y)dx YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 58 Önceki örnekteki ooyf nu kullanarak X ve Y rassal değişkenlerinin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulalım. 2 f(x) = (x + y)dy 3 = ) (xy + y = 2 (x + ) 3

30 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 59 Böylelikle X için moyf nu şöyle yazılır: 2 3 (x + ), < x < ise; f(x) =, degilse. Benzer şekilde Y nin moyf nu 3 g(y) = (y + 2 ), < y < 2 ise;, degilse. olur. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 6 KOŞULLU OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU Y = y değeri verilmişken X in koşullu yoğunluk fonksiyonu: f(x y) = f(x,y) f(y) Benzer şekilde X = x verilmişken Y nin koşullu yoğunluk fonksiyonu f(y x) = f(x,y) f(x)

31 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 6 BAĞIMSIZLIK Hatırlarsak aşağıdaki koşul sağlanıyorsa A ve B bağımsız olaylardır denir: P(A B) = P(A)P(B) Benzer şekilde X ve Y iki bağımsız sürekli r.d. ise koşulu sağlanmalıdır. f(x,y) = f(x)f(y) i.e., ortak yoğunluk fonksiyonu, marjinal yoğunlukların çarpımı olarak yazılabiliyorsa bu iki r.d. birbirinden bağımsızdır. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 62 BAĞIMSIZLIK: önceki koşul genelleştirilebilir. X,X 2,...,X n rassal değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı olarak yazılabiliyorsa f(x,x 2,...,x n ) = f (x ) f 2 (x 2 ),..., f n (x n ) n = f j (x j ) bu rassal değişkenler birbirinden bağımsızdır denir. Bu özellik kullanılarak Maksimum Olabilirlik (Maximum Likelihood) tahmin edicileri türetilebilmektedir. Bu konuya Tahmin Yöntemleri başlığı altında değineceğiz. j=

32 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 63 BAĞIMSIZLIK ÖRNEK: Önceki örnekteki ortak oyf ve marjinal oyf nı kullanarak X ve Y nin bağımsız olup olmadığını bulalım. f(x)g(x) = 2 3 (x + ) 3 (y + 2 ) f(x,y) olduğundan X ve Y rassal değişkenleri bağımsız değildir. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 64 BAĞIMSIZLIK ÖRNEK: Aşağıda verilen ooyf nu kullanarak moyf nı bularak bağımsız olup olmadıklarına karar verelim. 9, < x < 4, < y < 4 ise; f(x,y) =, degilse. Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları Buradan f(x) = g(y) = dy = 3 9 dx = 3 f(x,y) = 9 = f(x)g(y) = ( 3 ) ( ) 3 koşulu sağlandığı için X ve Y rassal değişkenleri bağımsızdır.

33 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 65 NORMAL DAĞILIM: Notasyon: X N(µ,σ 2 ) f(x;µ,σ 2 ) = σ 2π exp ( ) (x µ)2, < x < 2σ2 E(X) = µ V ar(x) = σ 2 skewness = kurtosis = 3 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 66 Normal Dağılım oyf, σ 2 =, farklı lokasyon parametreleri (µ).4 Normal Dagilim, σ 2 =.35 µ = 2 µ = µ = 2 µ = µ = 5 φ(x) x

34 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 67 Normal Dağılım oyf, µ =, farklı varyans (scale) parametreleri.4 Normal Dagilim, µ=.35.3 σ 2 =, µ =.25 φ(x).2 σ 2 = 2, µ =.5. σ 2 = 3, µ = x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 68 STANDART NORMAL DAĞILIM: Z = X µ σ, φ(z) = exp ( 2 ) 2π z2, < z < Birikimli dağılım fonksiyonu: Φ(z) = P(Z z) = E(Z) = V ar(z) = z exp ( 2 ) 2π t2 dt

35 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 69.4 STANDART NORMAL DAGILIM φ(z) STANDART NORMAL DAGILIM Φ(z) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 7 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI X N(µ,σ 2 ) olsun. Aşağıdaki olasılığı hesaplamak istiyoruz: b ( P(a < X < b) = σ 2π exp ) (x µ)2 dx 2σ2 a Bu integralin açık bir çözümü yoktur. Ancak nümerik yöntemlerle istenen kesinlik düzeyinde hesaplanabilir. Bunun için her seferinde bilgisayarda hesap yapmak yerine, standart normal dağılım tablolarını kullanabiliriz. İstenen olasılığı aşağıdaki gibi yazalım: ( a µ P < X µ < b µ ) ( a µ = P σ σ σ σ < Z < b µ ) σ

36 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 7 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI ( a µ P σ < Z < b µ ) ( b µ = Φ σ σ ) ( ) a µ Φ σ Burada Φ(z) = P(Z z) standart normal dağılımın z deki değeridir. Kitaptaki notasyonda Φ(z) yerine F(z) kullanıldığına dikkat edin. Standart Normal olasılık tablosu: Ek Çizelge 3 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 72 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI Bu tabloda sadece pozitif değerler için dağılım fonksiyonu değerleri verilmiştir. Negatif değerler için Φ(z) = P(Z z) nin simetri özelliği kullanılabilir: e.g.: Φ( z) = P(Z z) = P(Z z) = P(Z z) = Φ(z) P(Z.25) = Φ(.25) = Φ(.25) =.8944 =.56

37 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme P(.25<Z<.25) = Φ(.25) Φ(.25) = Φ(.25) ( Φ(.25)) = = Φ(.25) =.56 Φ(.25) =

38 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 75 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ (CENTRAL LIMIT THEOREM) X,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun. Başka bir şekilde ifade etmek istersek: X i i.i.d (µ,σ 2 ), i =,2,...,n iid: türdeş (identical), ve bağımsız (independent) dağılımlı Burada dağılımın ne olduğunu belirtmediğimize dikkat edin. Bu r.d. lerin toplamlarının beklenen değeri ve varyansı: E[X + X X n ] = E[X ] + E[X 2 ] E[X n ] = nµ V ar[x + X X n ] = V ar[x ] + V ar[x 2 ] V ar[x n ] = nσ 2 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 76 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ (CENTRAL LIMIT THEOREM) Bu r.d. lerin toplamına X diyelim. Yani, X = X + X X n Z = X E(X) V ar(x) = X nµ nσ 2 = X n µ n /2 n σ = X µ σ/ n N(,) MLT ye göre gözlem sayısı arttıkça, yani, n, yukarıdaki ifade standart normal dağılıma yakınsar, yani, Z N(,)

39 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 77 2 n= 4 n= 2 4 n= n= 5 n= 3 6 n= n= 75 6 n= 6 n= YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 78 BÜYÜK SAYILAR KANUNU (LAW of LARGE NUMBERS) Merkezi Limit Teoremi, Büyük Sayılar Kanunu ile yakından ilişkilidir. Büyük Sayılar Kanununa göre, türdeş dağılımlı (aynı anakütle beklenen değeri µ ve varyansına σ 2 sahip), birbirinden bağımsız ve sonlu varyanslı n r.d. in aritmetik ortalaması (örneklem ortalaması) n büyüdükçe anakütle ortalamasına yakınsar. X n = n (X + X X n ) örneklem ortalaması olsun. Büyük sayılar yasasına göre n, X n µ Başka bir deyişle, istediğimiz kadar küçük seçebileceğimiz ǫ gibi pozitif herhangi bir sayı için: lim P [ X n µ < ǫ ] = n

40 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 79 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ ÖRNEK: X,X 2,...,X 2 birbirinden bağımsız ve herbiri U (,b), b > dağılımına sahip rassal değişkenler olsun. Merkezi Limit Teoremini kullanarak P( b 4 < X < 3b 4 ) olasılığının yaklaşık.9973 olduğunu gösterelim. CEVAP: Bu 2 bağımsız r.d. uniform anakütleden geldiğine göre önce anakütledeki ortalama ve varyansı bulmamız gerekir. Uniform(a,b) dağılım için beklenen değer ve varyans olduğuna göre, örneğimizde µ x = b + a 2, σ2 x = (b a)2 2 olur. µ x = b 2, σ2 x = b2 2 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 8 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ V ar(x) = σ2 x n = b2 44 CEVAP (devam): MLT yi kullanarak: P ( b 4 < X < 3b ) 4 = P ( b 4 b 2 b 2 < X µ 3b x σ 2 x /n < 4 ) b 2 b 2 = P( 3 < Z < 3) = Φ(3) ( Φ(3)) = (.99865) =.9973

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

İstatistik I Ders Notları

İstatistik I Ders Notları İstatistik I Ders Notları Sürekli Rassal Değişkenler Hüseyin Taştan Kasım 2, 26 İçindekiler Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri 2 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 Birikimli Olasılık Fonksiyonu 6 4

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller

Simülasyonda İstatiksel Modeller Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK Soru 1 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu x x, x> f ( x) = 0, dy. 1 werilmiş ve Y = rassal değişkeni tanımlamış ise, Y değişkenin 0< 1 X 1 y için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar. 9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi Anlamlı Basamaklar Konusu ve Olasılık Ekonometri 1 Konu 1 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Çıkarımsal İstatistik (Inferential Statistics) : Örneklemden yola çıkarak ana kütleyle (popülasyonla) ilgili çıkarımlarda bulunmak (Smidt, 2001) İstatistiksel

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ĐST 474 Bayesci Đstatistik

ĐST 474 Bayesci Đstatistik ĐST 474 Bayesci Đstatistik Ders Sorumlusu: Dr. Haydar Demirhan haydarde@hacettepe.edu.tr Đnternet Sitesi: http://yunus.hacettepe.edu.tr/~haydarde Đçerik: Olasılık kuramının temel kavramları Bazı özel olasılık

Detaylı

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa, NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İSTATİSTİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ (2009 2010)

İSTATİSTİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ (2009 2010) İSTATİSTİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ (2009 2010) BİRİNCİ YIL Güz Dönemi (1. Yarıyıl) STAT 101 Temel İstatistik I (3 2 4) İstatistik bilimi. Verilerin görsel sunumu. Frekans tablosu oluşturma. Gövde yaprak

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi Bölüm 1 İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi 1.1 Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları Anlamlı Basamaklar Ondalık bir sayının anlamlı basamakları (significant digits), o sayının kesinlik ve

Detaylı

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir. 3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar 3.5.1. Bernoulli Dağılımı Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye (iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi

Detaylı

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

DERS 8 BELİRSİZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL. Zamanlama Kararları. Bir Seferlik Karar

DERS 8 BELİRSİZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL. Zamanlama Kararları. Bir Seferlik Karar Zamanlama Kararları DERS 8 BELİRSİZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL Miktar kararları Ne zaman sipariş verilecek? kararıyla birlikte verilir. Bu karar, stok yönetimindeki ana kararlardan biridir. Ne zaman

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON ANALİZİ: ÇIKARSAMA Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0 YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri

Detaylı

Olasılık ve İstatistik TASLAK

Olasılık ve İstatistik TASLAK Aydın ÜSTÜN 2014 İçindekiler 1 GİRİŞ 1 1.1 Ölçme, Olasılık ve İstatistiğe Genel Bakış................ 1 1.2 Deney Tasarımı: Anakütle ve Örneklem Uzayı............. 2 1.2.1 Örneklem süreci..........................

Detaylı

Akdeniz Üniversitesi

Akdeniz Üniversitesi F. Ders Tanıtım Formu Dersin Adı Öğretim Dili Akdeniz Üniversitesi İSTATİSTİKSEL ANALİZ I Türkçe Dersin Verildiği Düzey Ön Lisans ( ) Lisans (*) Yüksek Lisans( ) Doktora ( ) Eğitim Öğretim Sistemi Örgün

Detaylı

12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR

12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR 12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR A Veri Türleri Anakütle bir bütünü temsil ederken; örneklem, bir bütünün sadece bir kısmını temsil etmektedir. Anakütledeki gözlem sayısı N ile temsil edilirken; örneklemdeki

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç.Dr. İrfan Yolcubal Kocaeli Üni. Jeoloji Müh. Random Değişken: Nümerik olarak ifade edilen bir deneyin sonuçları Süreksiz(Discrete) Random Değişken: Randomdeğişken

Detaylı

Markov Zinciri Monte Carlo Yaklaşımı. Aktüeryal Uygulamaları

Markov Zinciri Monte Carlo Yaklaşımı. Aktüeryal Uygulamaları Markov Zinciri Monte Carlo Yaklaşımı ve Aktüeryal Uygulamaları ŞİRZAT ÇETİNKAYA Aktüer Sistem Araştırma Geliştirme Bölümü AKTÜERLER DERNEĞİ 2.0.20080 2008 - İSTANBUL Sunum Planı. Giriş 2. Bayesci Metodun

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ SORU : Ortalaması, varyansı olan bir raslantı değişkeninin, k ile k arasında değer alması olasılığının en az 0,96 olmasını sağlayacak en küçük k değeri aşağıdakilerden hangisidir? A),5 B) C) 3,75 D) 5

Detaylı

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır.

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır. İstatistiksel güven aralıkları uygulamalarında normallik (normal dağılıma uygunluk) oldukça önemlidir. Kullanılan parametrik istatistiksel tekniklerin geçerli olabilmesi için populasyon şans değişkeninin

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Rastlantı Değişkenleri

Rastlantı Değişkenleri Rastlantı Değişkenleri Olasılık Kütle Fonk. Example: A shipment of 8 similar microcomputers to a retail outlet contains 3 that are defective. If a school makes a random purchase of 2 of these computers,

Detaylı

A İSTATİSTİK. 1. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir.

A İSTATİSTİK. 1. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir. . nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir. Buna göre, n C r + n C r toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) n + C r B)

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Risk ve Getiri (1) Ders 9 Finansal Yönetim 15.414

Risk ve Getiri (1) Ders 9 Finansal Yönetim 15.414 Risk ve Getiri (1) Ders 9 Finansal Yönetim 15.414 Bugün Risk ve Getiri İstatistik Tekrarı Hisse senedi davranışlarına giriş Okuma Brealey ve Myers, Bölüm 7, sayfalar 153-165 Yol haritası 1. Bölüm: Değerleme

Detaylı

DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2.

DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2. DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2. Kategoriler Alt kategoriler Ders içerikleri Kazanımlar Dersler arası ilişki I. Analiz I.1. Fonksiyonlar I.1.1. Fonksiyonlara ait bazı önemli

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması

Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Poisson dağılımı kesikli dağılımlar içinde Binom dağılımından

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ISTATISTIK VE OLASILIK SINAVI EKİM 2016 WEB SORULARI

ISTATISTIK VE OLASILIK SINAVI EKİM 2016 WEB SORULARI SORU- 1 : ISTATISTIK VE OLASILIK SINAVI EKİM 2016 WEB SORULARI X ve Y birbirinden bağımsız iki rasgele değişken olmak üzere, sırasıyla aşağıdaki moment çıkaran fonksiyonlarına sahiptir: 2 2 M () t = e,

Detaylı

BÖLÜM 2 : OLASILIK. Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır. -Örneklem sonucu sample outcome

BÖLÜM 2 : OLASILIK. Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır. -Örneklem sonucu sample outcome ÖLÜM : OLSLK Giriş: Olasılık kavramına. Fermat ile. ascal ın büyük katkıları olmuştur. ascal hesap makinesini geliştirerek Fermat ile birlikte olasılığın temellerini oluşturmuştur. Daha sonra Rus matematikçi

Detaylı

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ SAKARYA ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ Hafta 7 Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 SORU 2: Motosiklet sigortası pazarlamak isteyen bir şirket, motosiklet kaza istatistiklerine bakarak, poliçe başına yılda ortalama 0,095 kaza olacağını tahmin

Detaylı

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci

DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci Tek Değişkenli Zaman Serisi Modelleri Ekonomik verilerin analizi ile ekonomik değişkenlerin gelecekte alabilecekleri

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

Rastgele Değişkenler ve Olasılık

Rastgele Değişkenler ve Olasılık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Yrd. Doç. Dr. Ümit Deniz Uluşar Doğum Günü Problemi Rastgele seçilen n kişiden en az iki tanesinin doğum günleri aynı olma olasılığı. n 367 ise %100 n 57 ise %99 n 23 ise

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 Tek Örneklem İşaret Testi İşaret Testi parametrik olmayan prosedürler içinde en eski olanıdır. Analiz yapılırken serideki verileri artı ve

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 ANAKÜTLE Anakütle kavramı insan, yer ve şeyler toplulugunu ifade etmek için kullanır. İlgi alanına gore, araştırmacı hangi topluluk üzerinde

Detaylı

İstatistiksel Yorumlama

İstatistiksel Yorumlama İstatistiksel Yorumlama Amaç, popülasyon hakkında yorumlamalar yapmaktadır. Populasyon Parametre Karar Vermek Örnek İstatistik Tahmin 1 Tahmin Olaylar hakkında tahminlerde bulunmak ve karar vermek zorundayız

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ

İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ İKTİSADİ DİNAMİKLİK K VE İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ 2 İktisat biliminde dinamiklik kavramı, değişkenlerin değişim süreçlerini, dengeye geliş ya da uzaklaşmalarını içeren bir analiz tipidir. Daha önce karşılaştırmalı

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

Editörler Yrd.Doç.Dr.Aysen Şimşek Kandemir &Yrd.Doç.Dr.Tahir Benli İSTATİSTİK

Editörler Yrd.Doç.Dr.Aysen Şimşek Kandemir &Yrd.Doç.Dr.Tahir Benli İSTATİSTİK Editörler Yrd.Doç.Dr.Aysen Şimşek Kandemir &Yrd.Doç.Dr.Tahir Benli İSTATİSTİK Yazarlar Yrd.Doç.Dr.Nizamettin Erbaş Yrd.Doç.Dr.Tuğba Altıntaş Dr.Yeliz Sevimli Saitoğlu A. Zehra Çelenli Başaran Azize Sağır

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Orjinal Adı: STATISTICS. Dersin Kodu: STA 1302

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Orjinal Adı: STATISTICS. Dersin Kodu: STA 1302 Dersi Veren Birim: Mühendislik Fakültesi Dersin Türkçe Adı: İSTATİSTİK Dersin Orjinal Adı: STATISTICS Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisans Dersin Kodu: STA 0 Dersin Öğretim

Detaylı

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 1 BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 'Student t dağılımı' ya da kısaca 't dağılımı'; normal dağılım ve Z dağılımının da içerisinde bulunduğu 'sürekli olasılık dağılımları' ailesinde yer alan dağılımlardan bir

Detaylı

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir. BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney

Detaylı

UYGULAMA 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİK DEĞERLERİNİN HESAPLANMASI

UYGULAMA 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİK DEĞERLERİNİN HESAPLANMASI 1 UYGULAMA 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİK DEĞERLERİNİN HESAPLANMASI Örnek 1: Ders Kitabı 3. konuda verilen 100 tane yaş değeri için; a. Aritmetik ortalama, b. Ortanca değer, c. Tepe değeri, d. En küçük ve en

Detaylı

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-1 ÇAKABEY ANADOLU LİSESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-1 ÇAKABEY ANADOLU LİSESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-1 ÇAKABEY ANADOLU LİSESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 1. ÜNİTE 3.1 FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI Neler öğreneceksiniz? Bir fonksiyon grafiğinden dönüşümler yardımıyla

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK

SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK DAĞILIMLARI Sürekli bir random değişken (a,b) aralığındaki her değeri alabiliyorsa bu değişkene ait olasılık dağılım fonksiyonunun grafiğinde eğri altında kalan alan bize

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

Girdi Analizi. 0 Veri toplama 0 Girdi sürecini temsil eden olasılık dağılımı belirleme. 0 Histogram 0 Q-Q grafikleri

Girdi Analizi. 0 Veri toplama 0 Girdi sürecini temsil eden olasılık dağılımı belirleme. 0 Histogram 0 Q-Q grafikleri Girdi Analizi 0 Gerçek hayattaki benzetim modeli uygulamalarında, girdi verisinin hangi dağılımdan geldiğini belirlemek oldukça zor ve zaman harcayıcıdır. 0 Yanlış girdi analizi, elde edilen sonuçların

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı