İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ"

Transkript

1 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Hüseyin Taştan Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 2 İSTATİSTİK BİLİMİNİN UĞRAŞI ALANLARI Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma

2 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 3 İSTATİSTİK İSTATİSTİK I Olasılık Teorisi Rassal Değişkenler Kesikli ve Sürekli R.D. Olasılık Fonksiyonu Beklenen Değer, Moment Normal Dağılım Merkezi Limit Teoremi İSTATİSTİK II Örnekleme ve Örneklem Dağılımları Nokta ve Aralık Tahmini Hipotez Testi Regresyon ve Korelasyon Parametrik Olmayan Testler Varyans Analizi YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 4 RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rassal (Stokastik) Değişken (r.d.) : Alacağı değer belli bir rassal denemenin sonucuna bağlı olan, bu değere ilişkin kesinlik bulunmayan değişken. Büyük harflerle göstereceğiz. x: rassal değişken X in aldığı belli bir değer. Kesikli r.d. : Alacağı değerler sayılabilir (sonlu ya da sonsuz) olan rassal değişkenler. Örneğin, iki zar atımında üste gelen sayıların toplamı, belli bir üretim bandında bir çalışanın yaptığı hata sayısı, bir bankaya 5 dk içinde gelen müşteri sayısı, vb. Sürekli r.d.: Belli bir aralıkta her hangi bir değeri alabilen rassal değişken. Bir çok iktisadi değişken bu gruba girer, örneğin, bir şehirdeki ortalama harcanabilir gelir, belli bir dönemdeki enflasyon oranı, İMKB endeksinin kapanış değeri, bir yılda yapılan toplam ihracat tutarı, vb.

3 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 5 OLASILIK DAĞILIMLARI - KESİKLİ f(x) ile göstereceğiz, f(x), f(x) = P(X = x), x f(x) =, Bu toplam x in alabileceği tüm değerler üzerinedir, Birikimli dağılım fonksiyonu: P(X x ) = F(x ) = x x f(x) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 6 KESİKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI Örnek: 3 para atılıyor ve tura (T) gelme sayısı X ile gösteriliyor. Bu deneyde ortaya çıkabilecek sonuçlar şunlardır: (TTT), (TTY), (TYT), (YTT), (TYY), (YTY), (YYT), ve (YYY). Bu 8 sonuç karşılıklı olarak bağdaşmazdır ve herbirinin gelme olasılığı aynıdır. Olasılık: /8. X in alabileceği değerler:,, 2, and 3. X rassal değişkeninin dağılımını bulalım.

4 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 7 Sonuçlar x f(x) YYY /8 YYT YTY 3/8 TYY YTT 2 TYT 2 3/8 TTY 2 TTT 3 /8 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 8 X in olasılık dağılımı: x f(x) = x 2 3 f(x) = P(X = x) P(X ) =? P( X 3) =?

5 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 9 X in birikimli olasılık dağılımı F(x) = P(X x) =, x < ; 8, x < ; 2, x < 2; 7 8, 2 x < 3;, x 3. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme.4 OLASILIK FONKSIYONU f(x) x BIRIKIMLI OLASILIK FONKSIYONU.8.6 F(x) x

6 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme Kesikli r.d. lerin BEKLENEN DEĞERLERİ Kesikli r. d. X in beklenen değeri E(X) = x xf(x) g(x), X in bir fonksiyonu olsun, g(x) in beklenen değeri E(g(X)) = x g(x)f(x) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 2 ÖRNEK Önceki örnekte X in beklenen değerini bulun. E(X) = = 3 2 (i) g(x) = x 2 nin beklenen değerini bulun. E(X 2 ) = = 3

7 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 3 Kesikli r.d. lerin VARYANSları Tanım: V ar(x) = E [(X E(X)) 2] = E [ (X 2 2XE(X) + (E(X)) 2 ) ] = E ( X 2) 2E (XE(X)) + E ( (E(X)) 2 ) ) = E ( X 2) 2E(X) 2 + (E(X)) 2 = E ( X 2) E(X) 2 µ x = E(X) dersek varyans olarak yazılabilir. V ar(x) = E ( X 2) µ 2 x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 4 Kesikli r.d. lerin MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci momenti µ k = E(X k ) = x x k f(x) k =,,2,.... moment µ = E(X) = populasyon ortalaması 2. moment µ 2 = E(X 2 ) = V ar(x) + µ 2 3. moment µ 3 = E(X 3 ) 4. moment µ 4 = E(X 4 )

8 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 5 Kesikli r.d. lerin MERKEZİ MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci merkezi momenti m k = E((X µ ) k ) = x (x µ ) k f(x) k =,,2,.... merkezi moment m = 2. merkezi moment m 2 = E((X µ ) 2 ) = V ar(x) 3. merkezi moment m 3 = E((X µ ) 3 ) 4. merkezi moment m 4 = E((X µ ) 4 ) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 6 Kesikli r.d. lerin STANDART MOMENTLERİ Tanım: Kesikli r.d. X in knci standart momenti γ k = m k σ k k =,,2,... Burada σ populasyon standart sapmasıdır: σ = V ar(x) = E [(X µ ) 2]. standart moment γ = 2. standart moment γ 2 = neden? 3. standart moment γ 3 = m 3 σ 3 4. standart moment γ 4 = m 4 σ 4 çarpıklık (skewness) basıklık (kurtosis)

9 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 7 Bazı Kesikli Dağılımlar Bernoulli Binom Hipergeometrik Poisson YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 8 Bernoulli(p) Dağılımı: p, if X = f(x) = p, if X = Beklenen Değer: E(X) = x xf(x) = p + ( p) = p İkinci Moment: E(X 2 ) = x x 2 f(x) = p + ( p) = p Varyans (ikinci merkezi moment): V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = p p 2 = p( p)

10 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 9 BİNOM DAĞILIMI X, n bağımsız Bernoulli denemesinde değerini alma (başarı) sayısı olsun. Yani eğer Y Bernoulli(p) ise X = (Y ), Binom(n,p) dağılımına uyar. X toplam başarı sayısı. f(x) = n p x ( p) n x n! = x x!(n x)! px ( p) n x, x =,,2,...,n E(X) = np V ar(x) = np( p) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 2 HİPERGEOMETRİK DAĞILIM Eğer Bernoulli denemeleri birbirinden bağımsız değilse, toplam başarı sayısı Binom dağılımına uymaz. İçinde B tane başarı bulunan N nesneli rassal bir örneklemde, toplam başarı sayısı X in olasılık dağılımı f(x) = B x N B n x N n Burada x max(,n (N B)) ve min(n,b) arasında tamsayı değerler alabilir E(X) = np, V ar(x) = N n np( p), N p = B N

11 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 2 POISSON DAĞILIMI Bir olayın belli bir zaman diliminde gerçekleşme sayısı Notasyon: X P oisson(λ), pmf: f(x,λ) = λx e λ, x =,,2,... x! E(X) = λ V ar(x) = λ skewness = λ excess kurtosis = λ YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 22 Kesikli r.d. için ORTAK DAĞILIMLAR ORTAK OLASILIK FONKSİYONU: Birden fazla r.d. in ortak davranışını betimlemek istiyoruz. Önce iki değişkenli durumu inceleyelim. X ve Y iki r.d. olsun. Bunların ortak olasılık fonksiyonu f(x,y) = P(X = x Y = y) Daha genel olarak X,X 2,...,X k k tane kesikli r.d. ise bunların ortak olasılık fonksiyonu şöyle olur: f(x,x 2,...,x k ) = P(X = x X 2 = x 2,,..., X k = x k )

12 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 23 X: Bir bankada nolu gişede sırada bekleyen müşteri sayısı, Y : Bir bankada 2 nolu gişede sırada bekleyen müşteri sayısı. Bu iki r.d. için ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir. y \ x 2 3 Toplam Toplam YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 24 MARJİNAL OLASILIK FONKSİYONU Ortak olasılık fonksiyonu biliniyorsa, bundan hareketle marjinal ya da tekil olasılık fonksiyonları elde edilebilir. X in marjinal olasılık fonksiyonu: f(x) = y f(x,y) Y nin marjinal olasılık fonksiyonu: f(y) = x f(x,y)

13 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 25 KOŞULLU OLASILIK FONKSİYONU Ortak olasılık fonksiyonu biliniyorsa, bundan hareketle koşullu olasılık fonksiyonları elde edilebilir. Y = y verilmişken X in koşullu olasılık fonksiyonu: f(x y) = f(x,y) f(y) X = x verilmişken Y nin koşullu olasılık fonksiyonu: f(y x) = f(x,y) f(x) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 26 BAĞIMSIZLIK X ve Y r.d. lerinin istatistik bakımından bağımsız olduğunu söyleyebilmemiz için aşağıdaki koşulun sağlanması gerekir: Başka bir deyişle f(x,y) = f(x)f(y) f(x y) = f(x), vef(y x) = f(y)

14 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 27 KOVARYANS g(x,y ), X ve Y r.d. lerinin herhangi bir fonksiyonunu ifade etsin. Bu fonksiyonun beklenen değeri: E [g(x,y )] = g(x,y)f(x,y) x y g(x,y ) = (X µ x )(Y µ y ) olsun. Bu fonksiyonun beklenen değerine KOVARYANS denir: Cov (X,Y ) = (x µ x )(y µ y )f(x,y) x y YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 28 SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI X sürekli bir r.d. ise verilmiş bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir. Bir sürekli rassal değişkenin belli bir değere eşit olma olasılığından (kesikli r.d. gibi) bahsedemeyiz. Ancak verilmiş bir aralık içine düşme olasılıklarını bulabiliriz. f(x): olasılık yoğunluk fonksiyonu. Özellikleri: f(x) f(x)dx = Pr(a < X < b) = b a f(x)dx

15 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 29 f(x) P(a<X<b) = b a f(x)dx a b x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 3 BİRİKİMLİ OLASILIK FONKSİYONU X sürekli r.d. için birikimli olasılık fonksiyonu, ya da dağılım fonksiyonu, X in belli bir x değerini aşmama olasılığı olarak tanımlanır ve F(x) ile gösterilir. F(x) = P(X x) = oyf ile dağılım fonksiyonu arasındaki ilişki: x f(x) = df(x) dx f(t)dt

16 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 3 BİRİKİMLİ OLASILIK FONKSİYONU F(x) in özellikleri: F( ) =, F(+ ) = Buna göre F(x), x in azalmayan bir fonksiyonudur. x x 2 olmak üzere F(x ) F(x 2 ). P(a < X < b) = F(b) F(a) = b a f(x)dx P( < X < + ) = P( < X < a)+p(a < X < b)+p(b < X < + ) f(x)dx = a f(x)dx + b a f(x)dx + + b f(x)dx F(+ ) F( ) = [F(a) F( )] + P(a < X < b) + [F(+ ) F(b)] = F(a) + P(a < X < b) + F(b) P(a < X < b) = F(b) F(a) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 32 f(x) F(+ ) F(b) = F(b) F(a) F( ) = F(a) b a f(x)dx = F(b) F(a) a b x

17 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 33 SÜREKLİ r.d. lerin BEKLENEN DEĞERLERİ E(X) µ x = g(x), X in bir fonksiyonu ise, E(g(X)) = V ar(x) = xf(x)dx g(x)f(x)dx (x µ x ) 2 f(x)dx YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 34 İntegral özellikleri kullanılarak V ar(x) aşağıdaki gibi yazılabilir: V ar(x) = E [ (X E(X)) 2] = = = E(X 2 ) µ 2 x x 2 f(x)dx + µ 2 x ( x 2 f(x)dx xf(x)dx (x µ x ) 2 f(x)dx f(x)dx 2µ x xf(x)dx Burada f(x)dx = ve xf(x)dx = E(X) µ x özelliklerini kullandık. Bunu kesikli r.d.ler için de göstermiştik. ) 2

18 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 35 Sürekli r.d. lerin MOMENTLERİ Tanım: Sürekli r.d. X in knci momenti µ k = E(X k ) = x k f(x)dx k =,,2,... x X. moment µ = E(X) = populasyon ortalaması 2. moment µ 2 = E(X 2 ) = V ar(x) + µ 2 3. moment µ 3 = E(X 3 ) 4. moment µ 4 = E(X 4 ) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 36 Sürekli r.d. lerin MERKEZİ MOMENTLERİ Tanım: Sürekli r.d. X in knci merkezi momenti m k = E((X µ ) k ) = (x µ ) k f(x)dx k =,,2,... x X. merkezi moment m = 2. merkezi moment m 2 = E((X µ ) 2 ) = V ar(x) 3. merkezi moment m 3 = E((X µ ) 3 ) 4. merkezi moment m 4 = E((X µ ) 4 )

19 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 37 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ Doğrusallık: X rassal değişkeninin doğrusal bir fonksiyonu Y = a + bx olsun. Y nin beklenen değeri: E[Y ] = E[a + bx] = a + be(x) X,X 2,...,X n rassal değişkenlerinin aşağıdaki gibi bir fonksiyonu tanımlanıyor: Y nin beklenen değeri: ya da kısaca Y = b X + b n X b n X n E[Y ] = b E[X ] + b 2 E[X 2 ] b n E[X n ] ( n ) E(Y ) = E b i X i = i= n b i E(X i ) i= YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 38 BEKLENTİ İŞLEMCİSİNİN ÖZELLİKLERİ X in doğrusal olmayan bir fonksiyonu için genellikle E[h(X)] h(e(x)) Örneğin, E(X2 ) (E(X)) 2, E(ln(X)) ln(e(x)) X ve Y gibi iki r.d. için E ( ) X E(X) Y E(Y )

20 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 39 VARYANSIN ÖZELLİKLERİ Herhangi bir c sabit sayısı için V ar(c) = Y = bx in varyansı, b sabit V ar(y ) = V ar(bx) = b 2 V ar(x) Y = a + bx in varyansı V ar(y ) = V ar(a + bx) = b 2 V ar(x) X ve Y iki bağımsız r.d. ise V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) V ar(x Y ) = V ar(x) + V ar(y ) Bu kural n r.d. için genelleştirilebilir. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 4 Sürekli Standart Uniform (Tekdüze) Dağılım: Notation: X U(, ), oyf:, if < x <, f(x) = (), otherwise. E(X) = 2 V ar(x) = 2

21 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 4 (Genel) Uniform (Tekdüze) Dağılım: Notation: X U(a, b), oyf: b a if a < x < b, f(x;a,b) =, otherwise. E(X) = b a 2 Median = b a 2 (b a)2 V ar(x) = 2 Skewness = Excess kurtosis = 6 5 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 42 X U(a,b) için beklenen değer ve varyans: E(X) = = b x a b a dx [ b 2 a 2 ] b a 2 (b a)(b + a) = 2(b a) = a + b 2

22 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 43 X U(a,b) için g(x) = x 2 fonksiyonunun beklenen değerini bulalım. E[g(x)] = b a x 2 b a = b3 a 3 3(b a) = (b a)(b2 + ab + a 2 ) 3(b a) = a2 + ab + b 2 3 = E[X 2 ]. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 44 X U(a,b) için varyans: V ar(x) = E[(X E(X)) 2 ] = E(X 2 ) [E(X)] 2 = (a2 + ab + b 2 ) 3 (b a)2 = 2 (a + b)2 4

23 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 45 U (a,b) için dağılım fonksiyonu: F(x) = P(X x) = = x a b a dt x t b a = x a b a, a a x b aralığı için yazılabilir. Öyleyse X U(a, b) nin bof nu şöyle olur:, x < a için; F(x) = x a b a, a x b için;, x > b için. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 46 f(x) F(x) b a a b x a b x

24 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 47 ÖRNEK: Aşağıda verilen fonksiyonu düşünelim. e x, < x < ise; f(x) =, değilse.. Bunun bir oyf olduğunu gösterin. 2. Bu fonksiyunun grafiğini çizin ve X > olasılığı ile ilgili alanı işaretleyin. 3. P(X > ) olasılığını hesaplayın. 4. Birikimli olasılık fonksiyonunu bulun. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 48 CEVAP:. Olasılık yoğunluk fonksiyonları özelliklerini sağlayıp sağlamadığına bakalım: (a) (i) İlk olarak, f(x) koşulunun < x < aralığındaki her x değeri için sağlandığı açıktır. (b) (ii) Ayrıca, x in değerler aralığında oyf nin integralinin olması gerekir. e x dx = e x = e ( e ) = + = e = lim x e x = olarak düşünülmelidir. Bu koşul da sağlandığına göre fonksiyon bir oyf dir.

25 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 49. P(X > ) olasılığı grafikte gösterilmiştir. 2. P(X > ) = e x dx 3. F(x) = = e x = e x e t dt = e t x = e x + e = e x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 5 Buradan birikimli olasılık fonksiyonu, x < ; F(x) = e x, < x <. olarak bulunur.

26 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 5 f ( x ) oyf: f( x) =e x F ( x ) bof: f( x) = e x P( X > ) = e x dx x x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 52 ORTAK OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU X ve Y, sırasıyla, < X < + ve < Y < + aralıklarında tanımlı iki sürekli r.d. olsun. Bu iki r.d. için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, f(x,y) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır. f(x,y), Pr(a < X < b,c < Y < d) = f(x,y)dxdy =, d b c a f(x, y)dxdy.

27 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 53 f(x,y) = xye (x2 +y 2), x >, y >, için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y) y.5.5 x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 54 Örnek: Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonun bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olmasını sağlayacak k sabit sayısını bulun. Elde ettiğiniz ooyf nu kullanarak P ( < X < 2, < Y < 2) olasılığını bulun. k(x + y), < x <, < y < 2 ise; f(x,y) =, değilse.

28 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 55 Öncelikle f(x,y) > koşulunun sağlanabilmesi için k > olmalı. İkinci koşuldan hareketle 2 k(x + y)dxdy = 2 ( ) ( ) = k 2 + y dy = k 2 y + y2 2 2 = 3k = k = 3 bulunur. Öyleyse ooyf 3 (x + y), < x <, < y < 2 ise; f(x,y) =, değilse. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 56 İstenen olasılık ooyf nun altındaki hacim olarak bulunur: P ( < X < 2 ) 2, < Y < 2 2 = (x + y) dxdy 3 ) = 3 2 ( y dy = 3 ( ) 8 y + y2 2 4 = 7 24

29 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 57 MARJİNAL YOĞUNLUK FONKSİYONU X in myf: f(x) = İntegralin sınırları y nin tanım aralığıdır. f(x,y)dy Y nin myf: f(y) = İntegralin sınırları x in tanım aralığıdır. f(x,y)dx YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 58 Önceki örnekteki ooyf nu kullanarak X ve Y rassal değişkenlerinin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulalım. 2 f(x) = (x + y)dy 3 = ) (xy + y = 2 (x + ) 3

30 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 59 Böylelikle X için moyf nu şöyle yazılır: 2 3 (x + ), < x < ise; f(x) =, degilse. Benzer şekilde Y nin moyf nu 3 g(y) = (y + 2 ), < y < 2 ise;, degilse. olur. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 6 KOŞULLU OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU Y = y değeri verilmişken X in koşullu yoğunluk fonksiyonu: f(x y) = f(x,y) f(y) Benzer şekilde X = x verilmişken Y nin koşullu yoğunluk fonksiyonu f(y x) = f(x,y) f(x)

31 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 6 BAĞIMSIZLIK Hatırlarsak aşağıdaki koşul sağlanıyorsa A ve B bağımsız olaylardır denir: P(A B) = P(A)P(B) Benzer şekilde X ve Y iki bağımsız sürekli r.d. ise koşulu sağlanmalıdır. f(x,y) = f(x)f(y) i.e., ortak yoğunluk fonksiyonu, marjinal yoğunlukların çarpımı olarak yazılabiliyorsa bu iki r.d. birbirinden bağımsızdır. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 62 BAĞIMSIZLIK: önceki koşul genelleştirilebilir. X,X 2,...,X n rassal değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı olarak yazılabiliyorsa f(x,x 2,...,x n ) = f (x ) f 2 (x 2 ),..., f n (x n ) n = f j (x j ) bu rassal değişkenler birbirinden bağımsızdır denir. Bu özellik kullanılarak Maksimum Olabilirlik (Maximum Likelihood) tahmin edicileri türetilebilmektedir. Bu konuya Tahmin Yöntemleri başlığı altında değineceğiz. j=

32 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 63 BAĞIMSIZLIK ÖRNEK: Önceki örnekteki ortak oyf ve marjinal oyf nı kullanarak X ve Y nin bağımsız olup olmadığını bulalım. f(x)g(x) = 2 3 (x + ) 3 (y + 2 ) f(x,y) olduğundan X ve Y rassal değişkenleri bağımsız değildir. YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 64 BAĞIMSIZLIK ÖRNEK: Aşağıda verilen ooyf nu kullanarak moyf nı bularak bağımsız olup olmadıklarına karar verelim. 9, < x < 4, < y < 4 ise; f(x,y) =, degilse. Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları Buradan f(x) = g(y) = dy = 3 9 dx = 3 f(x,y) = 9 = f(x)g(y) = ( 3 ) ( ) 3 koşulu sağlandığı için X ve Y rassal değişkenleri bağımsızdır.

33 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 65 NORMAL DAĞILIM: Notasyon: X N(µ,σ 2 ) f(x;µ,σ 2 ) = σ 2π exp ( ) (x µ)2, < x < 2σ2 E(X) = µ V ar(x) = σ 2 skewness = kurtosis = 3 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 66 Normal Dağılım oyf, σ 2 =, farklı lokasyon parametreleri (µ).4 Normal Dagilim, σ 2 =.35 µ = 2 µ = µ = 2 µ = µ = 5 φ(x) x

34 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 67 Normal Dağılım oyf, µ =, farklı varyans (scale) parametreleri.4 Normal Dagilim, µ=.35.3 σ 2 =, µ =.25 φ(x).2 σ 2 = 2, µ =.5. σ 2 = 3, µ = x YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 68 STANDART NORMAL DAĞILIM: Z = X µ σ, φ(z) = exp ( 2 ) 2π z2, < z < Birikimli dağılım fonksiyonu: Φ(z) = P(Z z) = E(Z) = V ar(z) = z exp ( 2 ) 2π t2 dt

35 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 69.4 STANDART NORMAL DAGILIM φ(z) STANDART NORMAL DAGILIM Φ(z) YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 7 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI X N(µ,σ 2 ) olsun. Aşağıdaki olasılığı hesaplamak istiyoruz: b ( P(a < X < b) = σ 2π exp ) (x µ)2 dx 2σ2 a Bu integralin açık bir çözümü yoktur. Ancak nümerik yöntemlerle istenen kesinlik düzeyinde hesaplanabilir. Bunun için her seferinde bilgisayarda hesap yapmak yerine, standart normal dağılım tablolarını kullanabiliriz. İstenen olasılığı aşağıdaki gibi yazalım: ( a µ P < X µ < b µ ) ( a µ = P σ σ σ σ < Z < b µ ) σ

36 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 7 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI ( a µ P σ < Z < b µ ) ( b µ = Φ σ σ ) ( ) a µ Φ σ Burada Φ(z) = P(Z z) standart normal dağılımın z deki değeridir. Kitaptaki notasyonda Φ(z) yerine F(z) kullanıldığına dikkat edin. Standart Normal olasılık tablosu: Ek Çizelge 3 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 72 NORMAL DAĞILIM OLASILIKLARININ HESAPLANMASI Bu tabloda sadece pozitif değerler için dağılım fonksiyonu değerleri verilmiştir. Negatif değerler için Φ(z) = P(Z z) nin simetri özelliği kullanılabilir: e.g.: Φ( z) = P(Z z) = P(Z z) = P(Z z) = Φ(z) P(Z.25) = Φ(.25) = Φ(.25) =.8944 =.56

37 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme P(.25<Z<.25) = Φ(.25) Φ(.25) = Φ(.25) ( Φ(.25)) = = Φ(.25) =.56 Φ(.25) =

38 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 75 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ (CENTRAL LIMIT THEOREM) X,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun. Başka bir şekilde ifade etmek istersek: X i i.i.d (µ,σ 2 ), i =,2,...,n iid: türdeş (identical), ve bağımsız (independent) dağılımlı Burada dağılımın ne olduğunu belirtmediğimize dikkat edin. Bu r.d. lerin toplamlarının beklenen değeri ve varyansı: E[X + X X n ] = E[X ] + E[X 2 ] E[X n ] = nµ V ar[x + X X n ] = V ar[x ] + V ar[x 2 ] V ar[x n ] = nσ 2 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 76 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ (CENTRAL LIMIT THEOREM) Bu r.d. lerin toplamına X diyelim. Yani, X = X + X X n Z = X E(X) V ar(x) = X nµ nσ 2 = X n µ n /2 n σ = X µ σ/ n N(,) MLT ye göre gözlem sayısı arttıkça, yani, n, yukarıdaki ifade standart normal dağılıma yakınsar, yani, Z N(,)

39 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 77 2 n= 4 n= 2 4 n= n= 5 n= 3 6 n= n= 75 6 n= 6 n= YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 78 BÜYÜK SAYILAR KANUNU (LAW of LARGE NUMBERS) Merkezi Limit Teoremi, Büyük Sayılar Kanunu ile yakından ilişkilidir. Büyük Sayılar Kanununa göre, türdeş dağılımlı (aynı anakütle beklenen değeri µ ve varyansına σ 2 sahip), birbirinden bağımsız ve sonlu varyanslı n r.d. in aritmetik ortalaması (örneklem ortalaması) n büyüdükçe anakütle ortalamasına yakınsar. X n = n (X + X X n ) örneklem ortalaması olsun. Büyük sayılar yasasına göre n, X n µ Başka bir deyişle, istediğimiz kadar küçük seçebileceğimiz ǫ gibi pozitif herhangi bir sayı için: lim P [ X n µ < ǫ ] = n

40 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 79 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ ÖRNEK: X,X 2,...,X 2 birbirinden bağımsız ve herbiri U (,b), b > dağılımına sahip rassal değişkenler olsun. Merkezi Limit Teoremini kullanarak P( b 4 < X < 3b 4 ) olasılığının yaklaşık.9973 olduğunu gösterelim. CEVAP: Bu 2 bağımsız r.d. uniform anakütleden geldiğine göre önce anakütledeki ortalama ve varyansı bulmamız gerekir. Uniform(a,b) dağılım için beklenen değer ve varyans olduğuna göre, örneğimizde µ x = b + a 2, σ2 x = (b a)2 2 olur. µ x = b 2, σ2 x = b2 2 YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme 8 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ V ar(x) = σ2 x n = b2 44 CEVAP (devam): MLT yi kullanarak: P ( b 4 < X < 3b ) 4 = P ( b 4 b 2 b 2 < X µ 3b x σ 2 x /n < 4 ) b 2 b 2 = P( 3 < Z < 3) = Φ(3) ( Φ(3)) = (.99865) =.9973

Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden Geçirilmesi

Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden Geçirilmesi İSTATİSTİK I: Olasılık ve Dağılım Teorisi Kavramlarının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü 22 Eylül 2012 Ekonometri: Olasılık ve Dağılım - H. Taştan 1 İstatistik

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

İstatistik I Ders Notları

İstatistik I Ders Notları İstatistik I Ders Notları Sürekli Rassal Değişkenler Hüseyin Taştan Kasım 2, 26 İçindekiler Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri 2 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 Birikimli Olasılık Fonksiyonu 6 4

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller

Simülasyonda İstatiksel Modeller Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1

kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1 3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın

Detaylı

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın

Detaylı

Çıkarsama, Tahmin, Hipotez Testi

Çıkarsama, Tahmin, Hipotez Testi İSTATİSTİK II: Çıkarsama, Tahmin, Hipotez Testi Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü 23 Eylül 2012 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 1 İstatistik Biliminin Uğraşı

Detaylı

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK

2016 YILI AKTÜERLİK SINAVLARI: İSTATİSTİK OLASILIK Soru 1 X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu x x, x> f ( x) = 0, dy. 1 werilmiş ve Y = rassal değişkeni tanımlamış ise, Y değişkenin 0< 1 X 1 y için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi

IE 303T Sistem Benzetimi IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2 Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar. 9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi Anlamlı Basamaklar Konusu ve Olasılık Ekonometri 1 Konu 1 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation

Simülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Simülasyonda İstatiksel Modeller Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında

Detaylı

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI Prof. Dr. Nezir KÖSE 30.12.2013 S-1) Ankara ilinde satın alınan televizyonların %40 ı A-firması tarafından üretilmektedir.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble. 1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Çıkarımsal İstatistik (Inferential Statistics) : Örneklemden yola çıkarak ana kütleyle (popülasyonla) ilgili çıkarımlarda bulunmak (Smidt, 2001) İstatistiksel

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ĐST 474 Bayesci Đstatistik

ĐST 474 Bayesci Đstatistik ĐST 474 Bayesci Đstatistik Ders Sorumlusu: Dr. Haydar Demirhan haydarde@hacettepe.edu.tr Đnternet Sitesi: http://yunus.hacettepe.edu.tr/~haydarde Đçerik: Olasılık kuramının temel kavramları Bazı özel olasılık

Detaylı

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan 1 Ders Planı 1. Karar Problemleri i. Karar problemlerinin bileşenleri ii. Değerler, amaçlar, bağlam iii. Etki diagramları 2. Model Girdilerinde Belirsizlik

Detaylı

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa, NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 EME 3105 1 Girdi Analizi Prosedürü SİSTEM SİMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Girdi

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İSTATİSTİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ (2009 2010)

İSTATİSTİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ (2009 2010) İSTATİSTİK BÖLÜMÜ DERS İÇERİKLERİ (2009 2010) BİRİNCİ YIL Güz Dönemi (1. Yarıyıl) STAT 101 Temel İstatistik I (3 2 4) İstatistik bilimi. Verilerin görsel sunumu. Frekans tablosu oluşturma. Gövde yaprak

Detaylı

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir. 3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar 3.5.1. Bernoulli Dağılımı Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye (iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir OLASILIK VE İSTATİSTİĞE GİRİŞ ISBN 978-605-318-470-6 DOI 10.14527/9786053184706 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi

İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi Bölüm 1 İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi 1.1 Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları Anlamlı Basamaklar Ondalık bir sayının anlamlı basamakları (significant digits), o sayının kesinlik ve

Detaylı

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)

SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ KESİKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 GEOMETRİK DAĞILIM Bir Bernoulli deneyi ilk olumlu sonuç elde edilmesine kadar tekrarlansın. X: ilk olumlu sonucun

Detaylı

Merkezi Limit Teoremi

Merkezi Limit Teoremi Örnekleme Dağılımı Merkezi Limit Teoremi Şimdiye kadar normal dağılıma uygun olan veriler ile ilgili örnekler incelendi. Çarpıklık gösteren veriler söz konusu olduğunda ne yapılması gerekir? Hala normal

Detaylı

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0

H 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0 YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye

Detaylı

DERS 8 BELİRSİZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL. Zamanlama Kararları. Bir Seferlik Karar

DERS 8 BELİRSİZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL. Zamanlama Kararları. Bir Seferlik Karar Zamanlama Kararları DERS 8 BELİRSİZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL Miktar kararları Ne zaman sipariş verilecek? kararıyla birlikte verilir. Bu karar, stok yönetimindeki ana kararlardan biridir. Ne zaman

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma Olasılık ve İstatistik Hatırlatma BSM 445 Kuyruk Teorisi Güz 014 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık Bir olayın olasılığı bize ne anlatır? Verilen bir olasılığın manası nedir? Örnek: Tavlada düşeş atma olasılığı

Detaylı

Olasılık ve İstatistik TASLAK

Olasılık ve İstatistik TASLAK Aydın ÜSTÜN 2014 İçindekiler 1 GİRİŞ 1 1.1 Ölçme, Olasılık ve İstatistiğe Genel Bakış................ 1 1.2 Deney Tasarımı: Anakütle ve Örneklem Uzayı............. 2 1.2.1 Örneklem süreci..........................

Detaylı

OLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler

OLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler 1 SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON ANALİZİ: ÇIKARSAMA Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR

12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR 12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR A Veri Türleri Anakütle bir bütünü temsil ederken; örneklem, bir bütünün sadece bir kısmını temsil etmektedir. Anakütledeki gözlem sayısı N ile temsil edilirken; örneklemdeki

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Akdeniz Üniversitesi

Akdeniz Üniversitesi F. Ders Tanıtım Formu Dersin Adı Öğretim Dili Akdeniz Üniversitesi İSTATİSTİKSEL ANALİZ I Türkçe Dersin Verildiği Düzey Ön Lisans ( ) Lisans (*) Yüksek Lisans( ) Doktora ( ) Eğitim Öğretim Sistemi Örgün

Detaylı

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci;

Öğrenim Kazanımları Bu programı başarı ile tamamlayan öğrenci; Image not found http://bologna.konya.edu.tr/panel/images/pdflogo.png Ders Adı : SOSYAL BİLİMLERDE İSTATİSTİK Ders No : 000100 Teorik : Pratik : 0 Kredi : ECTS : Ders Bilgileri Ders Türü Öğretim Dili Öğretim

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: END 2303

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: END 2303 Dersi Veren Birim: Endüstri Mühendisliği Dersin Türkçe Adı: İSTATİSTİK I Dersin Orjinal Adı: İSTATİSTİK I Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisans Dersin Kodu: END 0 Dersin Öğretim

Detaylı

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ SORU : Ortalaması, varyansı olan bir raslantı değişkeninin, k ile k arasında değer alması olasılığının en az 0,96 olmasını sağlayacak en küçük k değeri aşağıdakilerden hangisidir? A),5 B) C) 3,75 D) 5

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi EO Açıklayıcı Örnekler Ekonometri 1 Konu 14 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike

Detaylı

SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç.Dr. İrfan Yolcubal Kocaeli Üni. Jeoloji Müh. Random Değişken: Nümerik olarak ifade edilen bir deneyin sonuçları Süreksiz(Discrete) Random Değişken: Randomdeğişken

Detaylı

Markov Zinciri Monte Carlo Yaklaşımı. Aktüeryal Uygulamaları

Markov Zinciri Monte Carlo Yaklaşımı. Aktüeryal Uygulamaları Markov Zinciri Monte Carlo Yaklaşımı ve Aktüeryal Uygulamaları ŞİRZAT ÇETİNKAYA Aktüer Sistem Araştırma Geliştirme Bölümü AKTÜERLER DERNEĞİ 2.0.20080 2008 - İSTANBUL Sunum Planı. Giriş 2. Bayesci Metodun

Detaylı

Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER

Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER Gözden Geçirilmiş ve Genişletilmiş 8. Baskı Frekans Dağılımları Varyans Analizi Merkezsel

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır.

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır. İstatistiksel güven aralıkları uygulamalarında normallik (normal dağılıma uygunluk) oldukça önemlidir. Kullanılan parametrik istatistiksel tekniklerin geçerli olabilmesi için populasyon şans değişkeninin

Detaylı

A İSTATİSTİK. 1. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir.

A İSTATİSTİK. 1. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir. . nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir. Buna göre, n C r + n C r toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) n + C r B)

Detaylı

İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI

İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI İSTATİSTİK VE OLASILIK SORULARI SORU 1 Meryem, 7 arkadaşı ile bir voleybol maçına katılmayı planlamaktadır. Davet ettiği arkadaşlarından herhangi bir tanesinin EVET deme olasılığı 0,8 ise, en az 3 arkadaşının

Detaylı