KESTİRİMCİ BAKIM KABUL TESTİ KALİTE KONTROL SIZINTI TESPİTİ UÇAK MOTORU ANALİZİ MAKİNA DİZAYNI VE MÜHENDİSLİK

Transkript

1 Titreşim Aalizie Titreşim ölçümü ve aalizi, döe ekipmaları mekaik durumlarıı iceleme, kotrol etme ve makiala arızalarıı taımlama içi kullaıla metotlarda e etkilisidir. Titreşim aalizi, makialar üzeride titreşim ölçümü yaparak makiaı titreşim özelliklerie ait veri toplamak ve daha sora toplaa bu verileri aaliz ederek makiaları mekaik problemlerii tespit etmektir.

2 KESTİRİMCİ BAKIM KABUL TESTİ KALİTE KONTROL SIZINTI TESPİTİ UÇAK MOTORU ANALİZİ MAKİNA DİZAYNI VE MÜHENDİSLİK

3 Titreşim aalizi ile aşağıdaki arızalar taımlaabilir: Balas bozukluğu Mil eğriliği Şase zayıflığı Cıvata gevşekliği Kapli ayarsızlığı Rulma boşluğu Sürtüme Rezoas Kaymalı yatak aşıması Rulma arızası Rulma ömrü Dişli arızaları Elektriksel arızalar Hidrodiamik titreşimler

4 Titreşimle İlgili Terimler Titreşim edir? Bir sistemi dege koumu civarıda yapmış olduğu salıım hareketie titreşim deir. Eğer yapıla salıım hareketi T saiyede kedii tekrar ediyorsa böyle hareketlere peryodik hareket deir. E basit peryodik hareket harmoik hareket adıı alır. x(t)=x(t+t) x=yerdeğiştirme m, rad t=zama s T=Peryod s =Peryod sayısı adet

5 Titreşim Nedir?

6

7 Harmoik Hareket x=yerdeğiştirme (m,rad) A=Gelik (m,rad) t=zama (s) T=Peryot (s) t x=a si π T x A t T

8 Daire Üzeride Hareketli Bir Noktaı Harmoik Gösterimi O A P x p A Asi t t π ω= = π f T x=a si ωt x=ω A cos ωt=ω A si(ωt-π/) x=-ω Asiωt=ω Asi(ωt+π)

9 Euler Deklemi Yardımı ile Döer Bir Vektörü Gösterimi Euler Deklemi i ω t i θ z=a e =A e z=a cos ωt + i A si ωt z=x + iy i θ e =cosθ +i si θ θ=ω t A= x +y θ=ta -1 y x A θ i ω t z=a e

10 Harmoik Harekette Yerdeğiştirme Hız ve İvme Vektörlerii Gösterimi Aw x x Aw A t t x x

11 Frekasları Ayı Vektörleri Toplaması x(t)=x1cos(ωt-j 1)+Xcos(ωt-j ) Xcos(ωt-j ) x(t)= å Xicos(ωt-j i) i=1 cos(α-β)=cos α cos β+si α si β bağıtısı kullaılarak å x(t)= X (cosωt cosj +siωt sij ) i i i i=1 æ ö æ ö å å = X cosj cosωt+ Xsij siωt çè ø çè ø i i i i i=1 i=1

12 Burada, A= X cosj B= X sij i i i i i=1 i=1 å å yazılırsa, x(t)=a cos ωt+b si ωt buluur. æ ö æ ö X= A +B = Xicosj i + Xsij i i çå çå è i=1 ø è i=1 ø j=ta B =ta A -1-1 i=1 x(t)=x cos(ωt-j) å å i=1 Xsij i i X cosj i i

13 Frekasları Birbirie Yakı Vektörleri Toplaması ω 1»ω x(t)=x cos(ω t-j )+X cos(ω t-j ) Bu ifadeyi yeide düzeleyelim, X+X 1 X-X 1 x(t)= [ cos(ω1t-j 1)+cos(ωt-j ) ] + [ cos(ω1t-j 1)-cos(ωt-j ) ] α-β α+β α-β α+β cos α+cos β= cos cos ve cos α-cos β=- si si Trigoometrik bağıtılarıda yararlaarak, (ω 1+ω )t-(j1-j ) A(t)=(X 1+X )cos ve (ω 1+ω )t-(j1-j ) B(t)=-(X 1-X )si

14 Taımları altıda, ω 1+ω j+j 1 ω 1+ω j+j 1 x(t)=a(t) æ ö æ ö cos t- +B(t) si t- ç è ø çè ø Yazılabilir. Burada, X(t)= A(t)+B(t) ve j(t)= j+j 1-1 B(t) +ta A(t) X(t)= X +X + X X cos (ω -ω )t-(j -j ) [ ] j+j é 1-1 X-X 1 ω1-ω j-j ù æ ö 1 j(t)= +ta ta t- ê X 1+X è ç ø ú ë û ifadeleri kullaılarak, æ ω 1+ω ö x(t)=x(t) cos ç t-j(t) çè ø toplam ifadesi buluur.

15 Vuru Titreşim Parametreleri ω m=ω1-ω ω 1+ω ω= π T m = ω -ω 1 vuru frekası veya modülasyo frekası taşıyıcı frekas vuru peryodu 4π T= ω +ω taşıyıcı peryodu 1 Tm ω = T (ω -ω ) 1 T m vuru peryoduda gerçekleşecek titreşim sayısı

16 Vuru Olayı x T m T X ~ (t) x(t) x(t)=100 e 1 x (t)=50 e x(t)=? i π t i.π t X 1 +X X 1 +X X 1 -X X 1 -X t clear t=0:0.01:30; x1=100*exp(i**pi*t); x=50*exp(i*.*pi*t); x=x1+x; plot(t,x)

17 Titreşim Sistemlerii Elemaları Kütle x Yay Söüm Kuvvet x

18 Yay Elemaları Helisel Yaylar

19 Yaprak Yaylar

20 Yay Karakteristikleri F (N) F (N) Lieer (doğrusal) yay karakteristiği X (m) X (m) No-Lieer (doğrusal olmaya) yay karakteristiği

21 Yay Katsayısı Kuvvet F k=ta α= (N/m) x Yerdeğiştirme

22 Yay Katsayısı Tablosu E I k= L E A k= L G I p k= L 4 G d k= 64 R 3 3EI k= L 3

23 k= 48 E I L 3 L/ 19 E I k= 3 L L/ 768 E I k= 7 L 3 L/

24 x a b 3 E I L P b x ab 6 E I L k= y y x = ( L -x -b ) EI L 1E I k= L 3

25 3E I k= L+a a ( ) L a 4E I k= a 3L+8 a ( ) L a

26 Söüm Elemaları Viskoz söüm Coulumb (kuru sürtüme) söümü Malzeme (histeresiz) söüm Sıkıştırılmış yağ (squeeze-film) damperi Elekro-mayetik damper Elektro-viskoz damper Piezo-elektrik damper

27 Kütle ve Atalet Elemaları Bir cismi bir döme ekseie göre kütlesel atalet mometii taımı: dm D r J= r dm ò D döme eksei

28 Problem: Orta oktasıda mafsallı ve sabit kesitli bir çubuğu kütlesel atalet mometii buluması y x L/ A dx x L

29 Çözüm: Elemater hacim Elemater kütle dv=a dx dm=ρ dv Kütlesel atalet mometii taımıda L L ò ò J= ρ A x dx=ρ A x dx L L - - L 3 x 1 3 J=ρ A = ρ A L 3 1 L - buluur. J= r dm ò D burada, 1 m = r A L J = m L 1

30 Problem: Bir diski döme ekseie göre kütlesel atalet mometii buluması. dr r d da R L

31 Çözüm: Elemater ala Elemater hacim Elemater kütle si d q da=r.si dθ.dr dv=l.da=l. r. si dθ.dr dm=ρ.dv=ρ.l.r.si dθ.dr dm=ρ.lr.dθ.dr buluur. π R J= ò r dm= ò ò ρ.l.r.dθ.dr= ρ.l.π.r D m = r.v = rp..r.l J = m.r

32 Titreşim yapa bir kütlei hareket özellikleri, tam olarak, 6 farklı hareketi birleşimiyle ifade edilebilir. Bu hareketler 3 ekse yöüdeki yerdeğiştirmeler ve 3 ekse etrafıdaki döme hareketleridir. Bu 6 hareket tipi Şekil-'de gösterilmiştir. Her kütlei karmaşık hareketleri bu 6 hareket kullaılarak ifade edilebilir. Bu edele bir kütlei ormaldeki serbestlik derecesi 6'dır. Acak bu hareketlerde bazıları sistemi özellikleri dolayısıyla kısıtlamış olabilir. Öreği Şekil-1deki yayı ucua bağlı ola kütlei muhtemel 6 hareketide 5 taesi kısıtlamıştır. (Kütlei kağıt düzlemi içide salıım yapabildiğii varsayıyoruz.) Bu kütle yalızca yukarı ve aşağı hareket edebilmektedir. Ayı biçimde, şekildeki sarkaç da yalızca sarkaç koluu bağlı buluduğu okta etrafida döme hareketi yapabilmektedir. Bu edele bu sistemlere tek serbestlik dereceli sistemler adı verilir. Titreşim hareketii icelerke alaşılmasıı daha kolay olması maksadıyla tek serbestlik dereceli bir sistemi örek alacağız. Herhagi bir sistemi ayrıtılı olarak icelemesi pratikte pek mümkü değildir. O edele sistemleri özelliklerie uygu fiziki modelleri çıkarılır. Tek serbestlik dereceli bütü sistemler (lieer olmak şartıyla) gösterile basit modelle iceleebilir.

33

34 Ayrık ve Sürekli Sistemler Solu sayıda serbestlik dereceli sistemlere ayrık sistem deir. Serbestlik derecesi sosuz ola sistemlere sürekli sistem deir. Sürekli sistem

35 SERBEST CİSİM DİYAGRAMI HAREKET DENKLEMİ y Newto s Law: mx ( t) kx( t) k c m x(t) Frictio-free surface x f k f c mg mx ( t) kx( t) 0 N x(0) x 0, x(0) v 0

36 Söümsüz Serbest Titreşim Düşey koumda kütle-yay sistemii hareket deklemi: L 0 k k st k x t x Statik dege koumu

37 k d st Serbest cisim diyagramı G= m.g Statik dege koumu: Burada, ω ΣF y =0 sistemi tabii frekasıdır. G=m.g=k.δ k g = =ω m δ st k ω = = m st g δ st

38 Newto u. kauu uygularsak, k( d st + x) x m x G= m.g ( d ) S F = m.a m x = -k + x + G st G=m.g=k.δst olduğuda, m x+k x=0 buluur.

39 Yatay koumda kütle-yay sistemii hareket deklemi: x x k m k x m m x Newto u. kauu uygularsak, ΣF=m.a m x = -k x m x + k x = 0 buluur.

40 Hareketi Diferasiyel Deklemii Eerji Metodu ile Buluması Bu metoodu kullaılabilmesi içi titreşim sistemii; Söümsüz Tek serbestlik dereceli olması gerekir. E+E=C=sabit k p d ( E ) k +E p =0 dt

41 Söümsüz Serbest Titreşim Hareket Deklemii Buluması m x + k x = 0 Bu diferasiyel deklemi çözümüü x = A e s t biçimide olduğuu biliyoruz. Burada, A ve s itegrasyo sabitleridir. Çözüm kabulüü türetirsek, x = x= s A e s A e s t s t Buluur. Bular yukarıdaki diferasiyel deklemde yerie koursa,

42 ( ) st m s + k A e = 0 Burada, s t A, e ¹ 0 dır. m s + k = 0 Buluur, bu dekleme karakteristik deklem deir. Karakteristik deklemi kökleri, s k = - = m i w 1, dir.

43 Bu durumda, hareket deklemi: x(t) = Ae + Ae = Ae + Ae st 1 st -iwt iwt 1 1 A 1 ve A başlagıç şartlarıda buluacak katsayılardır. iqt e = cos q.t i.si q.t eşitliği kullaılırsa, ( w w ) ( w w ) x(t) = A cos t - i si t + A cos t + i si t 1 ( ) w ( ) x(t) = A + A cos t -i A -A si w t 1 1 = ( + ) ve B ( A A ) B A A 1 1 = - olmak üzere, 1

44 x(t)=b1cos ωt+bsi ωt olur. Başlagıç şartları Bu durumda, ì x(0) = x t= 0 í ï ïï = B=x 1 0, 0 olsu. ïî x(0) x 0 x B= ω 0 buluur. Burada başlagıç şartlarıa bağlı hareket deklemi aşağıdaki şekilde buluur. x(t)=x cos ω t+ x si ω t 0 0 ω

45 İKİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEM mileböl: xt ( ) xt ( ) 0 k m doğa l frekas rad/s xt () Asi( t)

46 PERİYODİK HAREKET x(0) amplitude Displacemet Faz açısı Time sec Maximum Velocity

47 s peryot Frekas : rad/s doğoğfrekas f T rad/s cycles rad/cycle s Hz Frekas geellikle Hz olarak ifade edilir Fakat trigoemetrik foksiyolarda rad/s olarak kullaılır.

48 Gelik ve Faz x 0 Asi( 0 ) Asi v 0 Acos( 0 ) Acos Solvig yields A 1 x 0 v 0, ta 1 x 0 v 0 Amplitude Phase

49 Titreşim geliği üç farklı biçimde ifade edilir. peak to peak (P-P)(İki tepe arasıdaki uzaklık): Kütlei titreşim esasıda ulaştığı iki uç okta arasıdaki uzaklıktır. Değeri a'dır. Zero to peak (0-P): Dege koumu ile tepe oktası arasıdaki uzaklıktır. Değeri a'dır. RMS (Root mea square)(kareler toplamıı karekökü): Titreşimi efektif değeridir. Eliizi titreşim yapa makia üzerie koyduğuuzda hissettiğiiz titreşim seviyesidir. Basit harmoik harekette 0-P değerii katıdır. RMS değeri daha sora tekrar ele alıacaktır. Acak bu değer yalızca belli bir frekastaki düzgü harmoik bir titreşim içi geçerlidir. Yai 1500 CPM frekasıda ve 0-P geliği 0.1 μm ola siüzoidal bir titreşimi RMS değeri μm 'dir. Acak frekas düzlemide (spektrum grafiği) birçok farklı frekasta titreşimler mevcuttur. Bu durumda ise RMS değeri aşağıdaki formül kullaılarak buluur.

50 Tepede tepeye mesafe titreşimi geliğii alacağı büyük ve e, küçük değerleri gösterdiğide özellikle titreşim yerdeğiştirmesii öemli olduğu veya e büyük gerilmeleri dikkate alıması gerektiği yada mekaik boşlukları öem taşıdığı yerlerde kullaışlıdır. Tepe değeri özellikle kısa zama aralığıda ola şok titreşimleri göstermesi açısıda öemlidir. Ortalama değer zama içideki değişimi de göz öüe almakla beraber uygulamada fiziki bir değere doğruda doğruya bağlatırılmadığıda fazlaca bir öem taşımaz. RMS değeri ise titreşim ölçümleride e uygu değeridir. Buum sebebi titreşimi zamaa bağlı olarak değişmesii de dikkate almakla beraber, titreşimi ihtiva ettiği eerji miktarı, yai titreşimi tahrip gücüyle doğruda bağlatırılabilir.

51 Problem: Aşağıda dege koumuda verile sistemi diferasiyel deklemii çıkarıp tabii frekasıı hesaplayıız m,r k M x

52 Çözüm: Jmj j k x M x M x

53 Newto u. kauu uygulaırsa, S M= JTopj J j + M x.r = -k x.r m j<< 0 si j@ j cos j@ 1 J m = 1 m r x= r.si j= r x = r x= r j j j yazılabilir.

54 düzeleme yapılırsa, æ 1 m r ö ç j + M x.r = -k x.r çè ø æ 1 m r M r ö k r ç + j + j= 0 çè ø æ1 ö ç m + M j + k j= 0 çè ø k k k w = = = m 1 m+ M m+ M rad/s

55

56

57 Average & RMS A peak value 1 x lim T T x x rms 0 1 lim T T x T x( t) dt = average value T 0 x ( t) dt = mea - square value = root mea square value

58 The Decibel or db scale It is ofte useful to use a logarithmic scale to plot vibratio levels (or oise levels). Oe such scale is called the decibel or db scale. The db scale is always relative to some referece value x 0. It is defie as: db x 10log 10 0log x0 For example: if a acceleratio value was 19.6m/s the relative to 1g (or 9.8m/s ) the level would be 6dB, log10 0log x x 0 6dB

59 Diğer Çözüm Formları x(t) Asi( t ) x(t) A 1 si t A cos t x(t) a 1 e j t a e j t

60 TEPE DEĞERLERİ max veya tepe değeri : deplasma: x hız: x ivme: max x max max A A A

61 1 A=1, =1 x v a Time (sec)

62

63

64 Problem:Aşağıdaki titreşim sistemii üzerie m kütlesi h yüksekliğide düşüp yapışıyor. M kütlesii hareket deklemii yazıız. m h M x k

65 Çözüm: m ( M ) + m x h k M V = gh x x 0 = mg k k m M x m gh = V = M + m 0 0 x kx

66 m kütlesi ile M i çarpıştığı adaki mometumuu yazalım. ( ) m V (M m) V m gh M m V V x m gh = + 0 = = 0 = M + m kütleside dolayı k yayı bir miktar sıkışır. mg d st = x0 =- k m Newto u. kauu uygulaırsa, ( ) ( ) å F = m a M + m x = -k x M + m x + k x = 0

67 Sistemi tabii frekası. k k w = = m M+ m Söümsüz serbest titreşim hareketii başlagıç şartlarıa bağlı hareket deklemi aşağıdaki gibiydi: x x(t) = x cos w t + si w t 0 0 w değerler yerie koulura; mg æ k ö gh æ k ö xt () =- cos t m si t k + ç M m k( M m) è + ø + çè M+ m ø

68 Lieerleştirme Yapısal olieerlik (Malzeme olieerliği) Geometrik olieerlik -Ağırlık kuvveti - Merkezkaç kuvveti - Sürtüme kuvveti

69 Tek serbestlik dereceli bir sistemi diferasiyel deklemi aşağıdaki gibidir. m x+ f( x) = 0 Burada f( x) yay foksiyoudur. f( x) lieer olmaya bir formda ortaya çıkmış olsu. Koordiat başlagıcıı, x= 0 dege koumuda seçelim, yai; f( 0) = 0 ( ) f x x= 0 olsu bu durumda foksiyouu civarıda kuvvet serisie açalım. 3 k ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) df 0 d f 0 d f 0 d f 0 f( x) = f( 0) + x+ x + x + =å x dx! dx 3! dx k! dx 3 k 3 k k= 0

70 f(x) 3 x << x, x ihmal edilirse; Elde edile lieerleştirilmiş yay foksiyou dif. deklemde yerie koulursa, lieerleştirilmiş dif. deklem elde edilir. 0 1 k = df ( 0) dx x ( ) f m x + k x = 0 k x ( ) f x df ( 0) ( ) df 0 dx dx x olur. = eşitliğide. f( k x buluur.

71 Yay-kütle-damper Sistemleri k c m x(t) y Frictio-free surface x f k f c mg N Newto s kauuda: m x( t) cx ( t) mx ( t) cx ( t) kx( t) 0 x(0) f c x f k kx( t) 0, x(0) v 0

72 Söümlü Serbest Titreşim Hareket Deklemii Buluması m x + c x + k x = 0 Bu diferasiyel deklemi çözümüü x = A e s t biçimide olduğuu biliyoruz. Burada, A ve s itegrasyo sabitleridir. Çözüm kabulüü türetirsek, x = x= s A e s A e s t s t Buluur. Bular yukarıdaki diferasiyel deklemde yerie kourda,

73 ( ) st m s + c s + k A e = 0 Burada, s t A, e ¹ 0 dır. m s + c s + k = 0 s Buluur, bu dekleme karakteristik deklem deir. Karakteristik deklemi kökleri, 1, dir. c c 4mk c æ c ö k - - = =- ç - m m çèm ø m

74 Sistemi birbiride bağımsız iki gerçek kökü vardır. Bu durumda, hareket deklemi: x(t) = A e + A e st 1 s t 1 A 1 ve A başlagıç şartlarıda buluacak katsayılardır.

75 Kritik Söüm Katsayısı ve Söüm Oraı Kritik söüm katsayısı c kr aşağıdaki gibi taımlaır. æc ö kr k ç - = çèm ø m 0 k ckr = m = k m = mw m Söüm oraı ise, x = c c kr olarak taımlaır.

76 Eğer karakteristik deklem, m s + c s+ k = 0 x ve w ciside yazılırsa, c k s + s + = 0 s + xws + w = 0 m m xw w deklemi kökleri aşağıdaki gibi buluur. ( ) (-+ - ) ( ) -- - x x 1 w t x x 1 w t x t = A e + A e 1

77 1.Durum: Zayıf Söümlü Sistem c 1, c kr c, m ( x -1) Kritik altı söümlü sistemlerde egatif olur. Bu durumda, ( ) s =-+ x i 1 -x w 1 ( ) s =-- x i 1 -x w olur. Sistemi bir çift eşleik kompleks kökü olduğuda, () k m (- + - ) ( ) x i 1 x w t x i 1 x w t x t = A e + A e 1 () ( ) -xwt i 1-x w t -i 1-x w t = 1 + x t e A e A e

78 é = ë ( A ) ù cos 1-xwt -i si 1-xwt ú û -xwt () ( ê ) 1 xw xw x t e A cos 1 t i si 1- t é ù -xwt x() t = e ( A1+ A ) cos 1-xwt+ i ( A1-A ) si 1- x wt êë B1 B úû - xwt () ( = - xw ) + f x t X e si 1 t () = - xw - xwt x t X e cos 1 ( t -f )

79 = 1 + ï ïýï -1 B = ta ï B1 ïï þ X B B f üï Başlagıç şartları, olarak yazılabilir. ì x = x ï t= 0 0 í ï ïî x = x ise, t= 0 0 B B 1 0 = = x x + xwx 0 0 w 1-x olarak buluur. Bu durumda, x( t)

80 ì x x x t e ï + xw x cos 1 t si 1 t ïî w 1-x -xw () ( ) ( ) = t ï í xw + -xw ü ý ï ïþ w d = 1- dir. x w ì x x x t e ï + xw íx0cos dt si dt ïî w 1-x -xw () t 0 0 = ( w ) + ( w ) olarak buluur. ü ï ý ïþ

81 x() t a = -1 ta x 0 p Td = w d X X e -xw t x 0 t f si ( w t + f) d X e xw - - t

82 .Durum: Kritik Söümlü Sistem Katlı kök olduğuda, c k 1, ckr c, m m ckr s = s =- =-w m 1 m x+ c x + k x = 0 deklemi çözümü: ( ) ( ) x t A A t e w - t = 1+ formuda olacaktır. Başlagıç şartları, A = x 1 0 A = x + w x 0 0 ì x = x ï t= 0 0 í ï ïî x = x ise, t= 0 0 olarak buluur ve çözüm:

83 ( ) = é + ( + w ) ù x t ë x0 x0 x 0 û e w buluur. Dikkat edilirse, x( t) x > 0 0 x = t -wt t e 0 x < 0 0 t

84 3.Durum: Aşırı Söümlü Sistem m x+ c x + k x = 0 c x > > > 1, c c kr, m m k Diferasiyel deklemii karakteristik deklemi, m s + cs+ k = 0 i kökleri: ( ) s =- x x -1 w dir. 1, x> 1 x - 1 > 0 eğer, olur. Bu durumda, kökler reel ve ayrık olacaktır. Deklemi çözümü: ( ) ( ) ( -+ - ) -- - x x 1 w t x x 1 w t x t = A e + A e 1

85 Başlagıç şartları, ì x = x ï t= 0 0 í ï ïî x = x ise, t= 0 0 A A 1 = = ( ) x w x+ x x 0 0 w x - 1 ( ) -x w x- x -1 -x w x 1

86 () x t A 1 1 ( -+ - ) 1 t A e x x w t ( -- - ) 1 t A e x x w A

87 Logaritmik Azalma x() t x 1 x t

88 Logaritmik azalma, söümlü serbest titreşimlerde gelikleri azalma hızıı ifade eder ve herhagi ardışık iki gelik oraıı tabii logaritması şeklide taımlaır. () - xw t ( ) x< 1 x t = X e cos w t -f idi, taım gereği; x 1 ( ) ( ) - xwt - xwt x X e cos t e cos t d d d ( ) ( ) - xw1 t - xw1 t X e cos wdt 1-f e cos wdt1-f = = w -f w -f p t = t1+ T d Td = dir. w d p ( w - f) = é æ w + ö ù - f = ( w + p- f) = ( w -f) d d 1 d 1 d 1 ê ë çè w ø ú d û cos t cos t cos t cos t

89 - xw1 t - xw1 t x 1 e e - xw( t1+ Td) - xw1 t - x e e = xwtd e = = e xw T d Şeklide elde edilir. Logaritmik azalma d ile gösterilirse; æx ö px c p d d= ç = x w = = x= çè ø 1-x 4p + d 1 l ç T d x m wd x << 1 d» px x = d p Eğer ise, alıabilir. Bu durumda dir.

90 Eğer, ardışık iki gelik yerie, tam periyot katlarıda iki gelik verilmiş ise: x ve 1 x + gibi, 1 x1 x1 x x3 x = x+ 1 x x 3 x 4 x+ 1 x x e xwt d xwtd xwtd e ( xw e ) = = e T xwt e d d e xwtd her iki tarafı logaritması alıacak olursa, æ x ö æ ( ) dt x ö 1 æ x ö d l xw l e l xwt d l = = = çx x x è ø èç ø èç ø d d + 1

91 Logaritmik azalmaı söüm oraı ile değişimi Logaritmik azalma d x = c c kr Söüm oraı

92 Çözüm: Verileler; m, c, k, x 0, v 0 buluacak x(t) Hareket deklemii m ile bölersek x( t) = x ( t) x( t) 0 k m c söüm oraı (boyutsuz) km

93 t x( t) ae olarak kabul eder & hareket deklemide yerie koyarsak a e a e ae 0 t t t bağlı bircebrikdeklem elde edilir: 1, quadratik deklemi kökleri. 1 diskrimiat 1, köklerii karakteristiğii belirler

94 Üç Durum: , coditios : Usig the iitial ) ( = 1 called critically damped & repeated roots are equal 1 1) x v a x a te a a e t x m km c c t t cr

95 1 1) ( 1 1) ( where ) ( ) ( 1 roots : two distict real called overdampig - 1, ) , t t t x v a x v a e a a e e t x

96 3) 1, called uderdamped motio - Two complex roots as cojugate pairs write roots i complex form as : most commo 1, j 1 where j 1

97 Uderdamped 0 < < ta ) ( ) ( 1 dampedaturalfrequecy, 1 )] cos( ) si( [ = ) si( ) ( ) ( x v x x x v A t B t A e t Ae e a a e e t x d d d d d d t d t t j t j t Reduces to udamped formulas for = 0 Ae t si( d t )

98 Critically damped motio Displacemet (mm) k=5n/m m=100kg ad =1 x 0 =0.4mm v 0 =1mm/s x 0 =0.4mm v 0 =0mm/s x 0 =0.4mm v 0 =-1mm/s Time (sec)

99 Displacemet (mm) Overdamped motio k=5n/m m=100kg ad = x 0 =0.4mm v 0 =1mm/s x 0 =0.4mm v 0 =0mm/s x 0 =0.4mm v 0 =-1mm/s Time (sec)

100 Zayıf Söüm Deplasma zama(saiye)

101

102

103

104

105

106

107

108 Vuru Beatig Çalışma frekasları arasıdaki fark çok küçükse f 0 si t 1 Displacemet (x) Larger amplitude Time (sec)

109 x p What happes whe is? ( t) tx si( t) substitute ito eq. ad solve for X grows with out f X 0 f0 x( t) A1 sit A cost t si( t) Whe the drive frequecy ad atural frequecy are the same the amplitude of the vibratio grows without bouds. This is kow as a resoace coditio Displacemet (x) 5 0 boud Time (sec)

110 Harmoically Excited Systems Equatios of motio (c =0): m k m F f t f t x t x t F t kx t mx, / where ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) (

111 Söümsüz Zorlamış Titreşim Hareket Deklemii Buluması ( w ) F= F cos t E geel halde harmoik bir dış kuvvet olsu. Hareketi diferasiyel deklemi: 0 ( w ) mx + kx = F cos t Hareket deklemii geel çözümü: Homoje çözüm: ( ) = ( ) = ( ) + ( ) x t x t x t x t g h ö ( ) = ( w ) + ( w ) x t A cos t A si t h 1 Ft ( ) x () t Uyarıcı kuvvet harmoik olduğu içi özel çözüm de ö harmoik ve ayı frekasıa sahip olacaktır. x t Xcos t ö ( ) = ( w )

112 ö ö ö ( ) = ( w ) x t Xcos t () =-w ( w ) x t Xsi t ( ) =-w ( w ) x t Xcos t 5 1 i içie koulursa; ( ) ( ) ( ) mw Xcos wt kcos wt F0 cos wt - + = F k - m X cos t = F cos t X = k-m w ( w ) ( w ) ( w ) Geel çözüm: 6 F0 x() t = A1cos( wt) + Asi( wt) + cos ( wt) 7 k - mw

113 Başlagıç şartları, A A F = x - k - mw x0 = w ì x = x ï t= 0 0 í ï ïî x = x ise, t= 0 0 olarak buluur ve geel çözüm: æ F ö x F x t x ç cos t si t cos t çè ø () = - ( w ) + ( w ) + ( w ) 0 k-mw w k-mw

114 X i w ile değişimi w F0 F0 F0 F0 X k 1 X = X = k = k = k = k-mw m 1- w w æ F0 1 w ö æ w ö - k k 1-1- çw w è ø è ç ø m w R = X k F 0 Gelik oraı veya büyütme faktörü.

115 0< w < 1 w 1.Durum: ise; ( ) = ( w ) Ft Fcos t 0 t xö ( t ) =Xcos( ωt) t

116 w 1 w >.Durum: ise; ( ) = ( w ) Ft Fcos t 0 t x t Xcos t ö ( ) = ( w ) t

117 w 1 w = 3.Durum: ise; ( ) = ( w ) Ft Fcos t 0 t xt ( ) t

118 Problem: Aşağıda dege koumudaki sistemi verile değer ve başlagıç şartlarıa bağlı olarak s içi hareketii iceleyiiz. m,e,w m cubuk, L M x k

119 Çözüm: Jj F= me w coswt kx F 0 x Mx x = L j x = L j x = Lj 1 J= mcubukl 3

120 Newto u. kauu uygulaırsa, å M = Jj Jj + Mx L =- kx L+ F L æ ö ç + + = çè3 ø 1 m cubuk L ML j kl j me w Lcos w t

121 m = 30 kg M = 300 kg m = 0.5 kg cubuk 3 e 1 m 000 d/d L m k N/m = = = = ìï x 0 = j0 = t = 0 ï í ïï ïx 0 = j0 = ïî 5p 180 8p 180

122 w p p000 = = = p rad/s 140j j= cos 66.66pt M 0 k w = = = 4.04 p rad/s m 140 æ M ö j M j j ç w w w çè ø () t = - cos( t) + si( t) + cos( t) 0 k-mw w k-mw () ( ) ( ) ( ) - j t = cos 4.04pt si 4.04pt cos 66.66pt

123

124

125 Problem: Aşağıdaki sistemi titreşim hareketii 4 s içi çiziiz. F = 500si0pt F1 = 100cos0pt m x k

126 Çözüm: F = 500si0pt m F1 = 100cos 0pt x mx kx

127 Newto u. kauu uygulaırsa, å F= ma mx =- kx + F + F 1 mx + kx = F + F 1 10x x = 100cos 0pt + 500si 0pt 500 f= f= ta = + = F N ( p ) 10x x = 773cos 0 t-64.35

128 m = 10 kg k = 5000 N/m ì x0 = t= 0 ï í ï ïî x 0 = 0.01 m 0. m/s k 5000 w = = = 4.59 p rad/s w= 0p m 10 æ F ö x F x t x ç cos t si t cos t çè ø () = - ( w ) + ( w ) + ( w -f) 0 k-mw w k-mw ( ) = ( p ) + ( p )- ( p - ) x t 0.016cos 4.59 t si 4.59 t 0.006cos 0 t 64.35

129

130

131 Söümlü Zorlamış Titreşim Hareketi diferasiyel deklemii buluması: ( w ) F= F cos t 0 m x m x m ( w ) F= F cos t 0 k c k x c x Newto u. kauua göre, S F = m a m x = -c x-k x + F m x + c x + k x = F

132 Söümlü Zorlamış Titreşim Hareket Deklemii Buluması ( w ) F= F cos t E geel halde harmoik bir dış kuvvet olsu. Hareketi diferasiyel deklemi: Hareket deklemii geel çözümü: Homoje çözüm: ( w ) mx + cx + kx = F cos t ( ) = ( ) = ( ) + ( ) x t x t x t x t g h ö ( ) = ( w ) + ( w ) x t A cos t A si t h 1 Ft ( ) x () t w Uyarıcı kuvvet harmoik olduğu içi özel çözüm de ö harmoik ve ayı frekasıa sahip olacaktır. ( ) = ( w -f) x t Xcos t ö

133 ö ö ö () = ( w -f) x t Xcos t () =-w ( w -f) x t Xsi t () =-w ( w -f) x t Xcos t 5 1 i içie koulursa; Aşağıdaki trigoometrik bağıtılar kullaılarak; 5 ( ) ( ) ( ) ( ) = é êë mw Xcos wt f cwxsi wt f k cos wt f F0 cos wt ( k-mw ) cos( wt-f) -cwsi( wt- f) X= F cos( wt) ( ) cos wt f = coswt cosfsi wt sif ( ) si wt f = si wt cosfcoswt sif ù úû 0 6 7

134 7 olu eşitlik 6 deklemie koulursa; ( ) ( ) ( ) X é k m w coswt cosf si wt sif cw si wt cosf coswt sif ù ê ú= F0 coswt ë û cost sit ve i katsayılarıı eşitlersek; ( ) Xé k mw cosf cwsifù ê - + = F ë úû Xé( k mw ) sif cwcosfù ê - - ú= 0 ë û Bu iki deklemi karelerii alalım: X é ( k mw ) cos f ( cw) si f ( k m w ) cwcosfsif ù ê ú= F ë û X é ( k mw ) si f ( cw) cos f ( k m w ) cwcosfsif ù ê ú= 0 ë û 0 ve taraf tarafa toplayalım;

135 X é ( k mw ) ( cw ù ) F X ë û 0 ê - + ú= 0 = 9 olu deklemde; = 0 F ( k- mw ) + ( cw) c X é w ( k mw ) sif cwcosfù æ ö 0 f ta -1 ê - - = = ë ú û çèk- mw ø 11 1 Geel çözüm: 13 F = w + w + w -f ( ) ( ) ( ) 0 xt Acos 1 t Asi t cos t ( k- mw ) + ( cw) ( )

136 Büyütme Oraı 11 ve 1 deklemlerii boyutsuzlaştıralım, her iki deklemi pay ve paydasıı ya bölelim: X = k F0 k æ ö æ ö mw cw 1- + ç è k ø çè k ø f ta æ cw ö k ç mw ç 1- çè k ø -1 = ç 14 w c kr x = k = m = mw c c kr Söümsüz tabii frekas Kritik söüm katsayısı Söüm oraı 15

137 15 eşitlikleri 14 deklemlerie koursa; X k 1 1 = = F0 é ù w é w ù æ ö æ ö x - w + ê w ú ê çè ø ú èç ë ø ë û û ( 1 r ) ( xr) 16 f æ w ö x ç w çè ø r x = ta = ta æ w ö 1 - r 1-ç ç ç w çè ø w r = w Burada, dir.

138 Büyütme Faktörü-Hız Oraı Değişimi. x = 0 x = 0.1 R = X k F 0 R Büyütme faktörü x = 0.15 x = 0.5 x = x = 0.5 x =1 Hız oraı r = w w

139 Faz Açısı-Hız Oraı Değişimi. x = 0 x = 0.1 x = 0. f Faz açısı [derece] x = 0.3 x = x =1 x = 0.7 x = 0.5 Hız oraı r = w w

140 Büyütme Faktörü ile Faz Açısı-Hız Oraı Arasıdaki İlişki: Söümsüz bir sistem içi; r< 1 f = 0 r = 1 f = 90 r> 1 f = 180 x = 0 Söüm, gelik oraıı tüm zorlayıcı frekas değerleride azaltır. Söümü gelik oraıı azaltması, rezoas frekasıda veya civarıda çok belirgidir. Gelik oraıı maksimumu; r= 1-x veya w = w -x d 1 değerleride meydaa gelir.

141 Zemii Hareketli Söümlü Zorlamış Hareket Hareketi diferasiyel deklemii buluması: y k c t ( ) = ( w ) yt Ysi t ( - y) cx ( - y) k x m x m x mx Newto u. kauua göre, ( ) ( ) å F = m a mx = -k x-y -c x -y mx + cx + kx = cy + ky

142 Yukarıda bulua deklemde yol foksiyou yerie koulursa, () = ( w ) y t Ysi t ( w ) w ( w ) mx + cx + kx = kysi t + c Y cos t buluur. 1 1 olu deklemi süperpoze edelim, ( w ) mx + cx + kx = ky si t ( ) = ( w -f) x t Asi t 1ö 1 () = w ( w -f) x t Acos t 1ö 1 ( ) =-w ( w -f) x t Asi t 1ö 1 3 eşitlikleri i içie koursa; 3

143 ( ) ( ) ( ) ( ) = mw A si wt f1 cwa cos wt f1 ka si wt f1 ky si wt ( - w ) é ( w ) ( f1) - ( w ) ( f1) Ak m si tcos cos tsi ù ë û 4 + cwa é ë cos wt cos f1 + si wt si f1 û = ky si wt 4 deklemi Asi t ve Acos wt paratezie alııp katsayılar eşitleirse; ( ) ( ) ( ) ( ) ù ( ) ( w ) ( ) ( k - mw ) cos( f1) + cwsi ( f1) ù Asi( wt) é êë úû +- é ê - + ú = ë û ( k m w ) si( f1) cwcos ( f1) ù Acos( wt) kysi( wt ) ( w ) ( f1) w ( f1) é k m cos c si ù ê - + A= ky ë úû é ( k m w ) si( f1) cwcos ( f1) ù ê- - + ú A= 0 ë û 6 7 5

144 olur. A¹ 0 olmak üzere, 7 olu deklemde, é ( - æ cw ö - k - m w ) si( f ) ( ) cwcos f ù 1 A = 0 f1= ta êë ú û çèk- mw ø = 0 6 ve 7 olu deklemleri kareleri alııp taraf tarafa toplaırsa; ( k- mw ) cos( f1) + cwsi ( f1) ù A = ( ky) é êë úû é ( k m w ) si( f1) cwcos ( f1) ù + ê ë ú û A = 0 é ê ë - + ù ú= = û ( w ) ( w) ( ) A k m c ky A buluur. ky 9 8 ( k- mw ) + ( cw)

145 8 ve 9 eşitlikleri 3 olu hareket deklemide yerie koulursa; ky é -1æ cw ö ù x1ö () t = si wt- ta ê çk mw ë è - øú û Bezer şekilde; ( k- mw ) + ( cw) ( w ) mx + cx + kx = cwy cos t 11 ( ) = ( w -f ) x t Bcos t ö () =-w ( w -f ) x t Bsi t ö ( ) =-w ( w -f ) x t Bcos t ö ilgili eşitliklere koup ara işlemler bezer şekilde yapılırsa; 1 10

146 f - cw = ta æ ç ö çèk- mw ø 1 B = cwy ( k- mw ) + ( cw) cwy é -1æ cw ö ù xö() t = cos wt- ta ê çk mw ë è - øú û ( k- mw ) + ( cw) -1 cw f= f1= f = ta æ ç ö çèk- mw ø Olarak buluur. Burada, dir

147 x t x () t Süperpozisyo ilkesi uyarıca her bir ve çözümüü ö toplarsak; () () () 1ö () xö t = x1ö t + xö t 17 é ù ky -1æ cw ö xö () t = si wt- ta ç ( ) çè k mw k m ( cw w ø ) ê ú ë f1 û A é ù cwy ê æ cw ö ç ( çè k mw ) k m ( cw w ø ) ê ú ë f û -1 + cos êwt - ta ç B 18

148 17 deklemi şu şekilde de, yazılabilir. ( ) = ( w - f) + ( w -f ) x t Asi t Bcos t ö 1 yada, x t Xcos t ö ( ) = ( w -f-j) 0 19 biçimide yazılabilir. Burada; X= A + B = Y k + ( cw) ( k- mw ) + ( cw) 1 j -1æAö -1æ k ö = ta = ta ç è B ø èçcw ø dir.

149 0 deklemi, 16, 1 ve eşitlikleri göz öüe alıarak tekrar yazılırsa; ( w) k + c é -1 cw -1 k ö () = êw - ç - ç æ ù x t Y cos t ta ö æ ö ta ê çk mw çcw - + ë è - ø è øú û ( k mw ) ( cw) 3

150 Problem: Aşağıdaki sistemi verile değer ve başlagıç şartlarıa bağlı olarak 5 s içi hareketii iceleyiiz. k 1 c m c x k e

151 Çözüm: k 1 x c x m c x x mx (x k y) ( w ) y= esi t y

152 Newto u. kauu uygulaırsa, å F= ma ( ) 1 1 ( ) mx =-cx -cx -k x -k x -y mx + cx + k + k x = k y ( ) ( w ) mx + cx + k + k x = k esi t 1 m = 50 kg c = 00 Ns/m k = 0000 N/m k = N/m 1 p p450 e = 0.05 m = 450 d/d w= = = 15p ( p ) 50x + 400x x = 000si 15 t

153

154 Geçici titreşim bölgesi Daimi titreşim bölgesi

155 Problem: Aşağıdaki sistemi verile değer ve başlagıç şartlarıa bağlı olarak 5 s içi hareketii iceleyiiz.

156 Yerdeğiştirme Geçirgeliği 1 olu deklemde, ( w) ( ) ( ) ( x ) k + c 1+ r X G = = = Y k- mw + cw 1- r + xr ( ) ( ) 3 bulur. é ù k + ( cw) -1æ cw ö -1æ k ö xö () t = Y cos wt ta ta - - ç ( k mw ) ( cw) k mw ç cw - + è - ø è ø ê ú ë y û

157 Yerdeğiştirme Geçirgeliği-Hız Oraı Değişimi. x = 0.05 x = 0.1 Oraı X Y x = 0.15 x = 0.5 x = x = 0.5 x =1 Hız oraı r

158 Yerdeğiştirme Geçirgeliği Faz Farkı-Hız Oraı Değişimi. x = 0.1 x = 0.05 Faz farkı y x = x = 0.5 x = 0.5 x = 0.15 Hız oraı r = w w

159 Degelememiş Sistemleri Söümlü Zorlamış Hareketi Hareketi diferasiyel deklemii buluması: e m wt x Mx mew M e m wt x k c M kx c x

160 Newto u. kauua göre, å = = ( w ) F m a mx -kx-cx-mew si t + + = w ( w ) mx cx kx me si t 1 F Burada, dir. Bezer şekilde çözüm yapılırsa, 0 = mew X = mew ( k- mw ) + ( cw) f - cw = ta æ ç ö çèk- Mw ø olarak buluur.

161 X f i ve yi boyutsuz formda yazalım. MX = m e æ ω ö ç ω çè ø é ù æ ω ö é ω ù 1- + ξ ω ê çè ê ø ú ω ú ë ë û û φ=ta -1 æ ω ö ξ ç ω çè ø æ ω ö 1- ç ω çè ø x( t ) =Xsi( ωt-φ) buluur.

162 4 olu eşitlikle-hız Oraı Değişimi. x = 0.05 x = 0.1 Oraı x = 0.15 x = 0.5 x = M m X e x = 0.5 x = 1 Hız oraı r = w w

163 Faz Açısı-Hız Oraı Değişimi. x = 0 x = 0.1 x = 0. f Faz açısı [derece] x = 0.3 x = x =1 x = 0.7 x = 0.5 Hız oraı r = w w

164 Problem: Aşağıdaki sistemi verile değer ve başlagıç şartlarıa bağlı olarak s içi hareketii iceleyiiz. k 1 c R m r r m R m,e, x M k

165 Çözüm: JRj k 1 x c x Jrj x k F= meω cos ωt x ( ) F 0 Mx

166 Newto u. kauu uygulaırsa, å M= J Top J j + J j + Mx R =-cx r-k x R- k x R+ F R r R 1 æ1 1 ö ç mr r + mrr + MR j+ crj+ k1+ k Rj= mew Rcos wt çè ø r j R ( ) ( ) m = 0 kg m = 60 kg M = 60 kg r = 0.5 m R = 1 m e = 0.1 m m = 0.05 kg = 1500 d/d c = 1400 Ns/m p p1500 k1= 5000 N/m k = N/m w= = = 50 p rad/s ( ) 9.5j + 350j j= cos 50pt

167

168 Geçici titreşim bölgesi Daimi titreşim bölgesi

169 Titreşim İzolasyou m M k,c k F M+m c x Temele geçe kuvvet F T : F = F + F F = kx F = cx T y s y s F = kx+ cx T ( w j) x= Xsi t- ( ) x = wxcos wt-j ( ) ( ) F= T kx +cωx =kx 1+ çè ω æξωö ç ø

170 é ù é ù X k 1 æ w ö æ w ö = F 0 = kx 1 x - F 0 w + w é ù ç ç w é w ù ê è ø ú êë è øúû æ ö æ ö 1 ë û x - w + ê w ú ê çè ø ú è ç ë ø ë û û m X cx F T F X kx

171 Kuvvet Geçirgeliği X F æxwö æxwö kx ç w è ø ç w è ø T G = = = = Y F 0 é ù w é w ù é æ w ö ù é æ w öù kx æ ö æ ö 1 x 1- + x ê - + w w w ê w ç ú ê ç ú çè ø çè ú ê ú ø ê è ø è ø ë úû ë û ë û ë û X F = = = ( x ) 1+ r T G Y F 0 1 r r ( - ) + ( x ) İzolasyo Iz = 1-G (%)

172 G F F T = = 0 X Y Eğer, söüm ihmal edilecek kadar küçük ise, geçirgelik G G = 1 1 æ w ö r 1-1 ç w çè ø = = - ( pf) buluur. g 1 d st -1

173 Kuvvet Geçirgeliği-Hız Oraı Değişimi. 0Oraı F F T Hız oraı r

174 Kuvvet Geçirgeliğie Ait Bazı Souçlar: r< G 1 olması halide olur. Bu durumda yalıtıcıları kullaılması yarar değil zarar getirir. r> G< 1 olması halide olur. Bu durumda yalıtıcılar, kedileride beklee yararı sağlar. Acak bu bölgede x e kadar büyükse, G de o kadar büyük olmaktadır. Bua göre söüm, yalıtıcıı yararıı azaltır. r r» 1 r» 0 G» 1 r= x r Yalıtıcıı e büyük zararı (rezoas) olması halide, e büyük yararı ise olması halide görülür. Bua karşılık (çok sert k yalıtıcı ) ve olması halide, de bağımsız olarak, olur ve yalıtıcıı hiçbir etkisi görülmez. Souç olarak; iyi bir yalıtım içi elde geldiğice büyük ise elde geldiğice küçük yapılmalıdır. x

175 Problem: Toplam 100 kg kütleli bir makia, 700 kn luk bir yay paketi ile yataklamıştır d/d ile döe degelememiş bir kütlede dolayı 350 N luk bir merkezkaç kuvvetie maruz kalmaktadır. Söüm oraı 0. kabul edilecektir. a-degelememişlikte dolayı oluşa gelik e kadardır.? b-geçirgelik edir.? c-zemie iletile kuvvet miktarı e kadardır.?

176 Çözüm: kr Sayfa 189 da olu deklem yardımı ile; X = mew ( k- mw ) + ( cw) Merkezkaç kuvveti c c x= = c = x k m = = Ns/m c k m p p3000 w= = = 100 p rad/s X= = m= mm ( ( 100p) ) + ( p)

177 Hız oraı; p p3000 w r = = 30 = 30 = w k m 100 ( x ) ( ) ( x ) ( ) F 1+ r T G = = = = ( ) ( ) F 1- r + r F T G = FT = G F 0 FT = = N F0

178 Liear ohomogeous ode: Solutio is sum of homogeous ad particular solutio The particular solutio assumes form of forcig fuctio (physically the iput wis) x p (t) X cos(t) To be determied Drivig frequecy

179 Substitute ito the equatio of motio: x p x p X cos t X cos t f 0 cos t solvig yields : X f 0 Thus the particular solutio has the form: x p f ( t) 0 cos( t)

180 Add particular ad homogeeous solutios to get geeral solutio: x(t) particular A 1 si t A cos t f 0 cost homogeeous A 1 ad A are costats of itegratio.

181 t f t f x t v t x v A x x f A x cos cos si ) ( (0) (0) Apply the iitial coditios to evaluate the costats Solvig for the costats ad substitutig ito x yields

182 . Harmoic excitatio of damped systems ow icludes a phase shift 0 0 ) cos( ) ( cos ) ( ) ( ) ( cos ) ( ) ( ) ( t X t x t f t x t x t x t F t kx t cx t mx p

183 Substitute the values of A s ad B s ito x p : x p ( t) f0 cos( t ( ) () X 1 ta ) Add homogeeous ad particular to get total solutio: x( t) t Ae si( dt ) homogeeous or trasiet solutio X cos( t ) particular or steady state solutio Note: that A ad will ot have the same values as i Ch 1, as t gets large, trasiet dies out

184 Magitude: X f 0 ( ) ( ) No dimesioal Form: Phase: Frequecy ratio: Xk F 0 X f 0 ta r1 1 r r 1 (1 r ) (r)

185 r

186

187 Radom(Gelişigüzel) Titreşimler Şu aa kadar hep düzgü salıımlı titreşimleri iceledik. Oysa çalışa bir elektrik motoruda veya otomobiliizi çalıştırdığıızda hissettiğiiz titreşimler gelişigüzel titreşimlerdir. Gerçek hayatta, eğer özel olarak yaratılmıyorsa, düzgü salııdı titreşimlere rastlamak mümkü değildir. Gelişigüzel titreşimleri harmoik salıımlar gibi belirli bir frekası ve geliği yoktur. Dolayısıyla bu titreşimlere bakarak titreşime sebep ola kuvvet hakkıda fikir yürütmek imkasızdır. Halbuki bizim titreşim aalizi ile arızala teşhis edebilmemiz içi, bu titreşimleri frekaslarıı bilmemiz gerekir. İşte bu işlem içi Fourier Döüşümü'ü kullaıyoruz.

188

189 Fourier Döüşümü iki kütlei yay sabitleri ve kütleleri farklıdır. Bu edele eğer her iki kütleyi de eşit miktarda çekip serbest olarak salıım yapmaya bırakırsak, her ikisi de farklı frekas ve gelikte titreşim yapacaktır. Bu iki farklı titreşimi topladığımız taktirde Şekilde gösterile grafiği elde ederiz. Olaya matematik yöüde bakacak olursak frekasları ve gelikleri farklı iki siüzoidal eğriyi topladığımızda, siüzoidal olmaya üçücü bir eğri elde ederiz. Eğer bu işlemi iki değil de daha fazla siüzoidal içi yapacak olursak elde edeceğimiz grafik Şekilde gösterile gibi bir eğri olacaktır. O halde eğer elimizde bu şekilde bir eğri varsa bu toplama işlemii tersii uygulayarak, bu düzesiz eğriyi düzgü siüzoidaller halide yazabiliriz. İşte bu İşleme Fourier Döüşümü adı verilir.

190

191 Fourier döüşümü vasıtası ile titreşimi siüzoidal bileşelerii bulabiliriz. Şekil- 11'de gelişigüzel bir titreşimi farklı frekas ve geliklere sahip siüzoidal bileşeleri gösterilmiştir.

192

193

194