uzman yaklaşımı matematik (lise) Branş Analizi Matematik Zümresi

Transkript

1 Branş Analizi matematik (lise) Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi (ÖABT) Matematik (Lise) Sınavı nda sorular 5 ana kategoriye ayrılmıştır. Analiz, uygulamalı matematik, cebir ve geometri gibi matematik alanının temel konularının yanı sıra matematik öğretimi (Eğitim Bilimleri) konusunda sorular sorulmuştur. Buna göre, temel matematik konularına dair soru dağılımı şu şekilde olmuştur. Analiz: Uygulamalı Matematik: Cebir Geometri:8 Analiz başlığı altında; fonksiyon, limit, süreklilik, türev ve türev yorumları, seriler, olasılık Uygulama matematik başlığı altında; integral ve uygulamaları, diferansiyel denklemler, istatistik Cebir başlığı altında; sayılar, sayı türleri ve kümeleri, denklem çözümleme, matris ve determinant uygulamaları, soyut cebir (grup, halka, cisim) Geometri başlığı altında; doğrunun analitiği, çember analitiği, uzayın analitik geometrisi yaklaşımı sorularına yer verilmiştir. Alan eğitimi ile ilgili olarak, lise matematik ve geometri öğretiminde uygulanacak yöntem, öğrenci algısı ve alınacak öğrenci dönütlerine karşı doğru geri bildirim sağlanması (45, 46, 47, 48, 5. sorular), kazanımların, kazanım düzeyi ve türlerinin bilinmesi ve belirlenmesi (4, 44, ve 49. sorular) lise müfredat programı (4. soru), Euclid Geometrisinin temel unsurları (4.soru) hakkında yeterlilik ölçümü için sorular sorulmuştur. Matematik Zümresi

2 soruların konulara göre dağılımı matematik (lise) KONU BAŞLIKLARI Analiz Uygulamalı Matematik Cebir Geometri 8 yaklaşımı Alan Eğitimi Toplam 5

3 KPSS. lim cos " + tan limitinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) lim cos c m " + tan Verilen ifadede L ospital kuralı uygulanırsa lim cos lim sin " + tan " + tan bulunur. Doğru yanıt C seçeneğidir.

4 KPSS. cos, f^h * a,! biçiminde tanımlanan f fonksiyonu noktasında sürekli olduğuna göre, a reel sayısı kaçtır? A) B) C) D) E) Bir fonksiyonun a noktasında sürekli olması için lim f^h lim f^h f^ah gerekir. " a+ " a+ a lim cos " + a lim sin " + a lim sin " + a bulunur. ^ h Doğru yanıt D seçeneğidir.

5 KPSS 5. y a eğirisinin noktasındaki teğeti y b olduğuna göre, b reel sayısı kaçtır? A) B) 5 C) D) 5 E) 7 Verilen eğri noktasından geçiyorsa bu nokta, denklemi sağlamalıdır. 5 ise y a. y a bulunur. 5 y a y b ^,a h Ayrıca y b doğrusu verilen eğriye noktasında teğet ise f ^ h teğet doğrunun eğimine eşit olmalıdır. 4 f^h 5 a ise, m f^h 5a Bu durumda a 5 a 4 bulunur. ^, a h^, 6h noktası aynı zamanda teğet doğru denklemini sağlamalıdır. 6 b ise b 7bulunur. Doğru yanıt E seçeneğidir.

6 KPSS 4. Aşağıda, bir f fonksiyonunun türevinin grafi ği verilmiştir. y f ı () Verilen f fonksiyonu için. türev tablosu incelenirse; - O f Buna göre, f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) kritik noktadır. B) noktasında lokal (yerel) minimumu vardır. C) f fonksiyonu ^, h aralığında azalır. D) f fonksiyonunun ^, h aralığındaki teğetleri eğrinin altındadır. E) bir dönüm (büküm) noktasıdır. f olacaktır. Buna göre; yerel maksimum, yerel minimum noktasıdır. Ayrıca fonksiyon ^, h ve ^, h aralığında artan, ^, h aralığında azalandır. Doğru yanıt E seçeneğidir.

7 KPSS 5. Her noktada türevi alınabilen ve sadece noktasında dönüm (büküm) noktasına sahip olan bir f fonksiyonunun grafi ği aşağıda verilmiştir. y y=f() Verilen f fonksiyonu için türev tablosu incelenirse f f + + Buna göre, aşağıdaki grafiklerden hangisi f fonksiyonunun türevinin grafiği olabilir? A) y B) y olacaktır. ve yerel ekstrenum noktalarıdır. Yani f^h f^h olmalıdır. Ayrıca dönüm noktası ^h türev grafi ğinde ekstremum nokta gibi görünür. Doğru yanıt A seçeneğidir. - - C) y D) y - - E) y -

8 KPSS 6. sin t dt # integralinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 5 Verilen integral parçalı olarak yazılırsa; # # sin d # ^sin hd sin d cos cos bulunur. Doğru yanıt C seçeneğidir.

9 KPSS 7. Her! 6 a, b@ için f^h olmak üzere, y f^h fonksiyonu, ekseni, a ve b doğruları arasında kalan bölgenin alanı birimkaredir. Bu bölgenin ekseni etrafında döndürülmesi sonucu oluşan cismin hacmi ise 6 birimküptür. Buna göre, b # # f ^hd5 f^hd a a b işleminin sonucu kaçtır? A) B) 5 C) D) E) Verilen 6 aralığı için f () fonksiyonunun grafi ği çizilirse a olacaktır. Buna göre; b A f^hd br V f ^hd 6 br Ohlde â ; f ^hd 6 A a b a b a # # # b # # b b f() f ^hd5 f^hd a a bulunur. Doğru yanıt C seçeneğidir.

10 KPSS t 8. F ^ h # e dt ^h olduğuna göre, ifadesi aşağıdakilerden hangi- ^ h sine eşittir? A) B) C) D) 4 E) 5 Verilen fonksiyonun birinci türevi alınırsa; F^h d d f t # e dtp için ^h ^h ^ h ^ h Doğru yanıt B seçeneğidir.

11 KPSS 9. f ^ h fonksiyonunun noktasındaki Taylor seri açılımı aşağıdakilerden hangisidir? / A) n n B) /^ h n n n n n n n C) /^ h / D) n n / n E) Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir f fonksiyonunun a! h olmak üzere ^ar, arh aralığındaki Taylor serisi; ^ h / ^h ^h ^ h ^h ^h ^ h / Maclaurin serisi olacaktır. O hâlde f^h fonksiyonuna Maclaurin seri açılımı uygulanırsa; ^ h ^h ^ h ^h ^ h ^ h ^h ^ h h ^h ^h ^ h / ^h ^h ^ h / Doğru yanıt A seçeneğidir.

12 KPSS. a! R iç in 6 a, h aralığı üzerinde tanımlı f ve g sürekli fonksiyonları # f^h# g^h eşitsizliğini sağladığına göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? # # A) ^h ^h # B) ^h ^h # # C) ^h ^h # # D) ^h ^h # E) ^h ^h # # a! R iç in 6 aralığındaki g fonksiyonu için # g^hdyakınsak olsun. Bu durumda # g^hd k, k! R olacaktır. O hâlde # f^h# g^h olduğuna göre f fonksiyonu sınırlıdır. Buna göre, # f^hdyakınsaktır. Doğru yanıt C seçeneğidir.

13 KPSS. fy ^, h : e y fonksiyonu için f ^, h f değeri kaçtır? y A) e B) 5e C) 7e D) e E) 7e 6 Verilen fonksiyonlar için kısmi türevler alınırsa; y fy ^, h e olmakü zere; f y y e ye f y e ^ yh bulunur. f y y ye ^ yh e ^yh f y e ^ y 4y h bulunur. f y y e ^ yh e.. y f y e ^ y h olur. d. dy Ohlde â f, f ^ h ^, h e. ^4h e. y 7e bulunur. Doğru yanıt C seçeneğidir.

14 KPSS. f (,y) sürekli olmak üzere, # # f fydyd ^, h p integraline denk olan integral aşağıdakilerden hangisidir? # A) f fyddy ^, h p # # y B) f fyddy ^, h p # # y C) f fyddy ^, h p y/ # # y D) f fyddy ^, h p y # # E) f fyddy ^, h p # Verilen f(,y) için ## fydy ^, h # f # fydy ^, h p ifadesi analitik düzlemde gösterilirse; y A y y olacaktır. O hâlde aynı f (,y) fonksiyonu için ## # A y f^, yhdy # f f^, yhdpdy ile gösterilebilir. Doğru yanıt A seçeneğidir.

15 KPSS. Z tam sayılar kümesi olmak üzere, A " n n! Z, 4 # n #, n B " ^h n! Z, # n # 4, kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B) C), D) A\B nin eleman sayısı dir. E) B\A nın eleman sayısı dir. Verilen kümelerin elemanları belirlenirse; A " n n! Z, 4 # n #, ^64, 7, 8, h ise s^ah 4' tü r. n B " ^h n! Z, # n # 4, ^,9, 7, 8h ise s^bh 4' tü r. Doğru yanıt A seçeneğidir.

16 KPSS 4. n! Z için # a # n ve ^a, nh olan a tamsayılarının sayısı ^nh ile gösterilir ve Euler fonksiyonu olarak adlandırılır. Buna göre, ^44h ün değeri kaçtır? A) 4 B) 6 C) 48 D) 6 E) 7 y z n a. b. c... olmak üzere a, b, c sayıları n! Z sayısının asal bölenleridir. Buna göre; ^nh n` a jc m` b c j şeklinde hesaplanır. 4 O hâlde, 44. olmak üzere; ^44h 44. c mc m bulunur. Doğru yanıt C seçeneğidir.

17 KPSS 5. 6 / ^ mod 7 h olduğuna göre, kaçtır? A) B) C) D) E) Verilen mod eşitliğinde düzenleme yapılırsa; / ^mod 7h ^ h / ^mod 7h 9 9 / ^mod 7h ^6 7h / ^mod 7h 9 ^h / ^mod 7h / ^mod 7h bulunur. Doğru yanıt B seçeneğidir.

18 KPSS 6. A matrisi reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı biçiminde bir matristir. A matrisinin tersi alınabildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) det A B) rank A C) det A D) rank A E) det A rank A Bir matrisin tersinin alınabilmesi için öncelikle o matrisin determinantının sıfırdan farklı olması gerekir. Bir A matrisinin kare alt matrislerinden determinantı sıfırdan farklı olan ve türü en büyük olan matrisin türüne a matrisinin rankı denir. O hâlde tipindeki bu matris için A ^ ise rank A = olmalıdır. Doğru yanıt D seçeneğidir.

19 KPSS 7. yz yz yaz Verilen denklem sistemi için ortadaki eşitlik ile çarpılıp denklemler toplanırsa homojen denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümleri vardır. Buna göre, a kaçtır? A) 4 B) C) D) E) yz yz yaz yz yz + yaz az a z Denklemin sıfırdan farklı çözümleri var ise z ^ olmalıdır. Doğru yanıt E seçeneğidir.

20 KPSS 8. R reel sayılar olmak üzere, TR : " R Ty ^, h ^y, yh lineer dönüşümünün R için standart bazdaki matris gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? Verilen T matrisinin standart bazdaki gösterimi için T matrisi düzenlenirse; T ^ h ^y, yh ; E ; E y A) ; E B) ; E C) ; E D) ; E E) ; E elde edilir. Doğru yanıt B seçeneğidir.

21 KPSS 9. A ve B kare matrislerinden A matrisi simetrik ve B matrisi ters simetriktir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi simetrik matristir? T A) AA B B) AB B T C) A B D) AB E) AB Bir kare matriste, tüm elemanlar asal köşegene göre simetrik ise matrise simetrik matris denir. Bir kare matrisinin. köşegen üzerindeki elemanları sıfır ve. köşegene göre simetrik elemanları toplamı sıfır ise matrise ters simetrik matris denir. Örneğin: A B > ve 4 > 4 H H T Ayrıca bir matris ters simetrik ise BB olacaktır. Bu durumda; T ABB A A bulunur. O hâlde A simetrik ise A B B T toplamı da simetrik matristir. Doğru yanıt B seçeneğidir.

22 KPSS. Q rasyonel ve Z tam sayılar kümesi olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi verilen işleme göre grup değildir? A) ^Q, h, : toplama B) ^Z, h, : toplama C) ^Z, h, : toplama D) ^Z, : h, :: çarpma E) ^Q *,: h,:: ç arpma, Q * Q\ ", Sıfırın çarpma işlemine göre tersi olmadığından ^Z, : h çarpma işlemine göre grup değildir. Doğru yanıt D seçeneğidir.

23 KPSS. Cisimler ile ilgili olarak verilen I. Bir cismin sıfır ve kendisinden başka ideali yoktur. II. Her cisim kendi üzerinde bir vektör uzayıdır. III. Her tamlık bölgesi bir cisimdir. IV. Her mertebeden cisim vardır. ifadelerden hangileri doğrudur? A) I ve II B) II ve III C) III ve IV D) Yalnız III E) Yalnız IV Her cisim bir tamlık bölgesidir, fakat her tamlık bölgesi cisim değildir. ^z,, : h cisim değildir. Her mertebeden cisim yoktur. Cisimler kendi üzerinde vektör uzayıdır ve bir cismin sıfır ve kendisinden başka ideali yoktur. Doğru yanıt A seçeneğidir.

24 KPSS. Aynı noktadan kalkan iki gemiden birisi kuzey, diğeri batı istikametine doğru sabit hızlarla ilerlemektedir. Kuzeye giden geminin hızı dakikada V metre olup batıya giden geminin hızının katıdır. Buna göre, dakika sonra bu iki gemi arasındaki mesafenin artış hızı kaçtır? A) V B) V C) 5 V 5 D) 5 V E) V Verilen araçların hızları için V 5 V m/dk V m/dk olarak bulunur. Doğru yanıt C seçeneğidir.

25 KPSS. Alanı 44 cm olan kare biçimindeki bir kartonun köşelerinden eşit alanlı birer kare kesilerek geriye kalan parçalardan üstü açık bir prizma yapılıyor. Bu prizmanın hacmi en fazla kaç cm olur? A) B) C) 4 D) 8 E) Alanı 44 cm olan kare şeklindeki bu kartonun bir kenarı br olacaktır. Kartonun köşelerinden br kenar uzunluğuna sahip kareler çıkarılırsa Şekli elde edilir. Bu şekil ise kıvrılarak prizması elde edilir. Prizmanın hacmi ^ h. V ^ h olacaktır. Bu prizmanın hacminin maksimum olması için V^h olacak şekildeki elemanı bulunmalıdır. V^h ^ h 4^ h ^ h. ^ 6h 6 bulunur. ^ 6 olacağı için prizmanın hacmi için; V^h ^. h 8. 8 br bulunur. Doğru yanıt D seçeneğidir.

26 KPSS 4. Aşağıdakilerden hangisi üçüncü mertebeden (basamaktan) bir lineer diferansiyel denklemdir? A) y e cos B) y y y C) y ^yh y D) yyy ln^h E) yy y y y p^y h p^y h p^y h f ^ h şeklinde verilen diferansiyel denklemler üçüncü mertebedendir. Doğru yanıt B seçeneğidir.

27 KPSS 5. y y 6y diferansiyel denkleminin bir çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A) e B) e C) e 4 D) e E) e I. yol: Seçeneklere bakılarak denklemin y biçiminde bir çözümü olduğu anlaşılabilir. O e a hâlde y denklemde yerine yazılırsa; e a y 6y a a a ^e h ^e h6e a a a ae ae 6e a e ^ a a6h a a a e. ^ah^ah a ve a bulunur. O hâlde y e veya y e verilen denklemin çözümü olacaktır. II. yol: Verilen denklem. mertebeden lineer homogen deklemdir. y y 6y 6 ^öz denklemh ^h^h bulunur. O hâlde denklemin çözümleri y c e c e şeklindedir. Doğru yanıt E seçeneğidir.

28 KPSS 6. dy d e diferansiyel denkleminin y^h ve y^h koşullarını sağlayan çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A) y e B) y e C) y e 5 D) y e E) y e # # ^ h ^h denklemi için # # c m ^h Doğru yanıt D seçeneğidir.

29 KPSS 7. y ky y diferansiyel denkleminin bir çözümü y olduğuna göre, k sabiti kaçtır? e A) B) C) D) E) y verilen denklemin bir çözümü ise denklemi sağlamalıdır. e y ky-y ^e h k^e h^e h e ke e e. ^kh k bulunur. Doğru yanıt B seçeneğidir.

30 KPSS 8. y y 9 diferansiyel denkleminin y^h koşulunu sağlayan çözümü y^th' dir. y Buna göre, ifadesinin değeri aşağıdakilerden y hangisidir? A) e 9t B) e t C) D) e t E) e 6t 6 # y y 9 dy 9 y dt dy dt 9 y c y m y dy t c y lnc m 6tc y y 6t e. c bulunur. y y ise ^ h e. c c olur. y Bu durumda 6 e t bulunur. y Doğru yanıt E seçeneğidir.

31 KPSS 9. Dart oynayan bir genç 5 atış yapıyor. Atışlarda isabet etme olasılığı 5 olduğuna göre, oyuncunun 4 defa isabet ettirme olasılığı kaçtır? A) : c m 4 B) c m C) : c m D) 4 5 c m 5 E) 5 c m 5 Bu kişinin isabet ettirme olasılığı (i) ise hedefi kaçırma olasılığı (K) olacaktır. 5 5 Bu hedefe 5 atış yapmış bu kişinin 4 defa isabet ettirme durumu iiiik nin permütasyonu şeklindedir. Buna göre olasılık,.. 5!. c m 4 c m c m ! 5 olarak bulunur. Doğru yanıt A seçeneğidir.

32 KPSS. X rastgele değişkeni f ^ h e. ^,,,::: h, ^ h! olasılık fonksiyonuna sahipse beklenen değeri nedir? A) B) C) D) E) Olasılık teorisine göre; Poisson Olasılık Dağılım Fonksiyonu: ^ h şeklinde ifade edilir ve Doğru yanıt B seçeneğidir.

33 KPSS. Bir sınıftan rastgele seçilen 5 öğrencinin notları 65, 54, 5, 8, 74 olarak veriliyor. Buna göre, örneklem ortalaması ve medyanı sırasıyla kaçtır? A) (65, 65) B) (8, 65) C) (65, 8) D) (5, 8) E) (, 65) Örneklem ortalaması X ' tir. 5 Medyan sayıları küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda ortadaki değerdir. O hâlde 5, 54, 65, 74, 8 sıralamasında medyanda 65 tir. Doğru yanıt A seçeneğidir.

34 KPSS. Bir sınıftaki öğrencilerin girdiği bir sınavdan aldığı notların beklenen değeri, varyansı olan normal dağılımı sahiptir. Rastgele seçilen 5 öğrencinin notları sırasıyla 65, 5, 54, 76, 8 dir. Buna göre, H: 65 yokluk hipotezinin HA: 65 alternatif hipotezine karşı testi için test istatistiğinin değeri kaçtır? 5 A) B) 5 C) D) 5 5 E) 5 X : Örneklemin Ortalaması, X: Örneklemin Standart Sapması olmak üzere; Test istatistiğinin değeri: Z X ile h X Buna gö re; X X X ve n 5 5 Z X X ' X / n / 5 X Doğru yanıt A seçeneğidir.

35 KPSS " ". Uzayda a ^4,, h vektörünü n b ^,, kh vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğunun olması için k reel sayısı kaç olmalıdır? A) B) C) D) E) 4 4 " " a vektöü r nün b vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu " " ab, b dir. O hâlde ^4,, h, ^,, kh ^,, kh 4.. ^h. ^kh ^h ^kh ^4kh ^ k h 6 8kk k 8k 6 k bulunur. 4 Doğru yanıt D seçeneğidir.

36 KPSS 4. Düzlemde A(, ) noktasından geçen ve u "^, h vektörüne dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y B) y C) y D) y E) y u "^, h vektörüne dik olan doğrunun eğimi ile bu vektörün eğimleri çarpımı dir. Aranan doğrunun eğimi m olsun. m. m ' dir. y mn y n ^h n ise n bulunur. O hâlde doğru denklemi y y olur. Doğru yanıt B seçeneğidir.

37 KPSS 5. Düzlemde denklemleri y ve y ile verilen doğruların ortak noktasından geçen ve doğrultmanı (,) olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y B) y C) y D) y E) y y ve y doğrularının geçtiği ortak nokta ortak çözüm ile bulunur. Doğruları taraf tarafa toplayalım. y y y y + + Doğruların geçtiği ortak nokta (,) dir. O hâlde bu noktadan geçen ve doğrultmanı (,) olan doğrunun denklemi y y ' Doğru yanıt A seçeneğidir.

38 KPSS 6. Uzayda A(,, ) noktasının, y z doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (,, ) B) (,, 4) C) (, 5, ) D) (, 4, ) E) (5, 4, ) Uzayda bir A (a, b, c) noktasının y z doğrusuna göre simetriği A ^ c, b, ah noktasıdır. Buna göre A(,,) noktasının y z doğrusuna göre simetriği A ^,, h noktasıdır. Doğru yanıt A seçeneğidir.

39 KPSS " 7. Uzayda A(,, ) noktası, u ^,, h ve " v ^,, h vektörleri veriliyor. " " A noktasından geçen, uvev vektörlerine paralel olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) yz B) 4yz C) yz9 D) yz4 E) 47y5z " " u ve u vektörlerine paralel olan düzlemin doğrultmanı bu vektörlere diktir. O hâlde düzlemin doğrultmanı ile bu vektörlerin iç çarpımı dır. A(,,) noktası 47y5z düzenleminden geçtiğinden (4.7.5.()) Ayrıca ^,, h, ^475,, h ^,, h, ^4, 7, 5h olduğundan aranan düzlem denklemi 47y5z dır. Doğru yanıt E seçeneğidir.

40 KPSS 8. a ve b reel sayılar olmak üzere, b ^a hyy 48a denklemi bir çember belirtmektedir. Buna göre, çemberin merkezinin koordinatları ve yarıçap uzunluğu aşağıdaki seçeneklerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) M ^, h, r 5 br B) M ^, h, r 5 br C) M ^, h, r 5 br D) M ^, h, r 5 br E) M ^, h, r 5 br b ^a h yy 48a denklemi bir çember belirttiğinde y teriminin katsayısı olmalıdır. a a " ' dir. a olsun. b y 48 ile y nin katsayıları eşit olacağından b ' dir. y 48 y 4 Merkezi (a, b) olan yarıçapı r olan çember denklemi ^ah ^ybh r dir. ^ h y, r olamaz. Ohldea â ' dir. y 48 y 4 ^h y ^ 5h O hâlde verilen denklem m^, h, r 5 olan ç ember denklemidir. Doğru yanıt E seçeneğidir.

41 KPSS 9. yz düzleminde bulunan ve denklemi ", z, y t; t! R, olan doğrunun y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y z 9 B) y z 9 C) z 9 D) z 9 E) y 9 Verilen doğru boyutlu analitik düzlemde gösterilirse; z y t y taban yarıçapı r br olan z 9 denklemi elde edilir. Doğru yanıt D seçeneğidir.

42 KPSS 4. Düzlemde Ty ^, h ^, yh öteleme fonksiyonu ve O noktası etrafında saat yönünün tersi yönde 45 lik C(,y) döndürme fonksiyonu veriliyor. Buna göre A^, h noktasınında F ToC bileşke dönüşümü altındaki görüntüsü hangi noktadadır? A) (5, ) B) (5, ) C) (5, ) D) (5, ) E) (5, ) Ty ^, h ^, yh öteleme fonksiyonu ve noktası etrafında saatin tersi yönde 45 lik C(,y) döndürme fonksiyonuna göre A^, h noktasının F ToC bileşke dönüşümü altındaki görüntüsü için önce C sonra T fonksiyonunu uygulayalım. y A y A ^, h A^, h noktası saatin tersi yönde 45 dönerse A ^, h noktası elde edilir. Şimdi de A ^, h noktasına T dönüşümünü uygulayalım. T^, h ^, h ^5, h bulunur. Doğru yanıt A seçeneğidir.

43 KPSS 4. Uygulanmakta olan Ortaöğretim Matematik (9,, ve. sınıflar) Dersi Öğretim Programı nda Kavramları açıklayabilmek için diğer kavramlardan yararlanır. Aynı matematiksel kavramın farklı temsillerini tanır. kazanımları aşağıdaki temel becerilerden hangisi kapsamında ele alınmıştır? A) Yaratıcı düşünme B) Akıl yürütme C) İletişim D) İlişkilendirme E) Eleştirel düşünme Matematiksel kavramların öğrenciler tarafından yapılandırılması sürecinde kavramların kendi içlerinde, öğrencilerin yaşadıkları çevre ile diğer disiplinlerle ilişkilendirilmesi oldukça önemlidir. Bu nedenle tasarlanan matematik derslerinde kavramlar arasındaki ilişkilerin araştırılması, tartışılması ve genelleştirilmesine olanak sağlayacak ortamlar yaratılmalıdır. İlişkilendirme becerisi için öğrencilerin; Kavramsal ve işlemsel bilgiler arasındaki ilişkileri anlama. Kavramları açıklayabilmek için diğer kavramlardan yararlanma. Matematiksel kavramları kendi içerisinde ilişkilendirebilme. Bir matematiksel kavram, kural ya da ifadenin grafi ksel, sayısal, fi ziksel, cebirsel ve çeşitli matematiksel model ya da temsilleri arasında ilişki kurabilme. Farklı disiplinlerde karşılaştığı problemleri matematik ile ilişkilendirerek çözebilme (matematiği diğer disiplinlerle ilişkilendirme) Aynı matematiksel kavramın denk temsillerini tanıyabilme. Bir kavramdaki işlemi, denk kavramlardaki işlemlerle ilişkilendirebilme. Matematiksel fi kirleri fi ziksel materyaller, modellerle, resimlerle ve diyagramlarla ilişkilendirip anlatabilme becerilerinin geliştirilmesi hedefl enmiştir. Doğru yanıt D seçeneğidir.

44 KPSS 4. Euclid Geometrisi nin beş postulatından birine yönelik şüpheler ve bunun üzerine yapılan çalışmalar Euclid dışı geometrilerin ortaya çıkmasına zemin hazırlamıştır. Buna göre, bu postulat aşağıdakilerden hangisidir? A) Merkezi ile yarıçapı verilen bir çember çizilebilir. B) Bir doğru parçası sınırsız bir şekilde uzatılabilir. C) İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer. D) Bütün dik açılar eştir. E) Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir tek paralel doğru çizilir. Euclid Geometrisi nin paraleller postülası olarak görülen E seçeneğinde verilen postulat 9.yy da değiştirilerek Euclid dışı geometriler kurulmuştur. Nicolai Lobatchevski Bir doğruya, dışındaki bir noktadan pek çok paralel çizilebilir veya bir üçgenin iç açıları toplamı 8 dereceden küçüktür. önermelerini ve Bernhard Riemann ise Bir doğruya dışındaki bir noktadan paralel çizilemez veya bir üçgenin iç açıları toplamı 8 dereceden büyüktür. önermelerini beşinci postülatın yerine geçirerek Öklid dışı geometrilere ulaştılar. Feli Klein de bu geometrilerin birbiriyle olan ilişkilerini gösterdi. Doğru yanıt E seçeneğidir.

45 KPSS 4. I. fr : " Rf, ^ h 4fonksiyonunun alacağı en büyük değeri bulunuz. II. fr : " Rf, ^ h fonksiyonu birebir ve örten midir? III. fr : " R, f ^ h fonksiyonunun grafi ğini çiziniz. Yukarıdaki soruları çözmek için gerekli kazanımlar uygulanmakta olan Ortaöğretim Matematik Dersi (9,, ve. Sınıflar) Öğretim Programı nda ilk kez kaçıncı sınıf düzeyinde ele alınmaktadır? Bu soru biraz tecrübe sorusudur. Ücretli öğretmenlik yapanlar bu soruyu kolaylıkla çözmüş olmalıdır. I. öncülde verilen bir ikinci derece fonksiyon sorusudur bu konu da. sınıflarda bulunan Cebir öğrenme alanının İkinci Dereceden Fonksiyonlar alt öğrenme alanı ile ilgili bir sorudur. II. Öncülde verilen soru ise 9. sınıfta yer alan Cebir Öğrenme alanının Fonksiyon alt öğrenme alanı ile ilgili bir soru dur. III. öncülde verilen ise üstel bir fonksiyondur..sınıfların Cebir öğrenme alanının, Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu alt öğrenme alanı ile ilgilidir. Doğru yanıt C seçeneğidir. I. II. III. A)... B). 9.. C). 9.. D). 9.. E)...

46 KPSS 44. Van Hiele, geometrik düşünmenin gelişiminin aşamalı olarak aşağıda verilen beş düzeyde gerçekleştiğini belirmektedir.. Düzey: Öğrenci, şekilleri genel görsel özelliklerine göre tanır ve adlandırır.. Düzey: Öğrenci, şekillerin özelliklerini belirtir.. Düzey: Öğrenci, geometrik şekiller arasında ilişkiler kurar. 4. Düzey: Öğrenci, bir aksiyomatik yapıyı kullanabilir ve bu yapı içinde ispatlar yapar. 5. Düzey: Öğrenci, farklı aksiyomatik sistemler arasındaki benzerlik ve farklılıkları anlar. Buna göre, I. Çemberde kiriş ve kesenler ile ilgili özelliklerin doğruluğunu gösterir. II. Verilen farklı geometrik şekiller arasından çemberi seçer. III. Çemberde kirişin orta dikmesinin merkezden geçtiğini ifade eder. I. II. III. A) 5... B)... C) 4... D) 4... E)... Van Hiele modeli, geometrik anlamayı sağlama ve geometrik anlamanın gelişimi için oluşturulmuş bir modeldir. Bu model, sınıf içi çalışmalarla geliştirilmiştir. Modelde, öğrencilerin istenilen amaçlara ulaşmaları için belirlenen etkinliklere katılmaları ve geometrik kavramlarla ilgili özellikleri keşfetmeleri gerekmektedir. Van Hiele modelinin en önemli özelliği, geometrik düşünmenin gelişimini birbiriyle ilişkili beş düzey şeklinde açıklamasıdır. Bu beş düzeyden her biri, geometrik bağlamlarda kullanılan düşünme süreçlerini tanımlamaktadır. Bu beş düzey, soru öncülünde tanımlanmıştır. I. öğrenci ispat yapmaktadır. İspat yapma 4. düzey bir beceridir. II. öğrenci çemberi tanıma aşamasındadır. Bu. düzey bir beceridir. II. öğrenci çember ile ilgili bir özellik belirtmiştir. Şekillerin özelliklerini bilme. düzey bir beceridir. Doğru yanıt D seçeneğidir.

47 KPSS 45. Bir matematik öğretmeni, öğrencilerinden iki tek sayının toplamının çift sayı olduğunu ispatlamalarını istemiştir. Üç öğrencinin yapmış olduğu ıspat aşağıda verilmiştir. Ali 6! ^ h Burcu Herhangi iki tek sayı alalım ve toplamlarını inceleyelim. Buna göre, iki tek sayının toplamı çifttir. Ceyda 6! ^h ^ h Buna göre, ispatı doğru yapan öğrenci ve kullandığı yöntem aşağıdakilerden hangisinde birlikte verilmiştir? İspatları incelediğimizde bir tek Ceyda nın ispatı doğrudur. Doğrudan ispat tekniğini kullanmıştır. Bu ispat tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar aynen alınıp gösterilmek istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır. Yani bilinen veya bize teoremde verilen bilgileri kullanarak istenilen sonuca ulaşmaya çalışılan tekniktir. Doğru yanıt C seçeneğidir. Öğrenci İspat Yöntemi A) Ali Tümevarım B) Burcu Olmayana ergi C) Ceyda Doğrudan ispat D) Ali ve Burcu Tümevarım E) Ali ve Ceyda Doğrudan ispat

48 KPSS 46. Bir öğrenci, köklü sayılarla ilgili özellikleri ve i eşitliğini kullanarak ^h: ^h ^h: ^h i : i i: i Öğrencinin konu ile ilgili bir eksik bilgisi göze çarpmaktadır. İşlem incelenirse hatalı olan satırın ^h. ^h ^h. ^h olduğu görülmektedir. O halde öğrenci ab. a. b nin tüm reel sayılar için doğru olduğu kavram yanılgısına sahiptir. Bu sebeple öğrenciye verilmesi gereken dönüt B seçeneğindeki şekilde olmalıdır. Doğru yanıt B seçeneğidir. işlemlerini yapmış ve = sonucunu elde etmiştir. Bu öğrenciye aşağıdaki geri bildirimlerden hangisini vermek uygundur? A) in özel bir sayı olduğu ve bazı istisnalara sahip olduğu B) a: b a: b eşitliğinin her a ve b reel sayısı için geçerli olmadığı C) Negatitf bir reel sayının karekökünün pozitif bir değere sahip olduğu D) Kök içleri aynı olan terimlerle çarpma işlemi yapılmayacağı E) i olmak üzere i i olması gerektiği

49 KPSS 47. Aşağıdaki tabloda, bir öğrencinin reel sayılar kümesinde tanımlı f, g ve h bağıntılarının fonksiyon olup olmamasıyla ilgili verdiği cevaplar gösterilmektedir. Bağıntı Fonksiyondur. Fonksiyon değildir. f ^ h + g ^ h h ^ h + + Buna göre, bu öğrenci aşağıdakilerden hangisini düşünüyor olamaz? Tablo incelendiğinde öğrencinin f()= bağıntısına fonksiyon değil dediği görülmektedir. O halde öğrenci bir fonksiyonun gösteriminde mutlaka değişkeni olması gerektiğini düşünüyor olabilir. Aynı bağıntıda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde sabit bir sayı ile eşleşmektedir. O halde B seçeneğini de düşünüyor olabilir. En az iki terimlileri ve ikinci derece bağıntıları fonksiyon olarak işaretlediğine göre C ve E seçeneğini de doğru olarak düşünüyor olabilir. Ancak D seçeneğini düşünüyor olamaz, çünkü g() ve h() bağıntılarında tanım kümelerindeki bütün elemanlar değer kümesinde tek bir elemanla eşleşmemektedir. Doğru yanıt D seçeneğidir. A) Bir fonksiyonun gösteriminde değişkeni olmalıdır. B) Bir bağıntıda tanım kümesindeki her eleman değer kümesindeki sabit bir sayı ile eşleşiyorsa bu bağıntı fonksiyon değildir. C) Bir fonksiyonun gösteriminde en az iki terim bulunmalıdır. D) Bir fonksiyonun tanım kümesindeki bütün elemanlar değer kümesinde yalnız bir elemanla eşleşebilir. E) Bir bağıntı ikinci dereceden ise bu bağıntı bir fonksiyon belirtir.

50 KPSS 48. Ali Öğretmen, öğrencilerinden y 4y 6 denklem sisteminin çözüm kümesini bulmalarını istemiştir. Aşağıda bir öğrencinin bu soruya verdiği cevap yer almaktadır. ^h y 4y 6 Öğrencinin işlemleri yaparken bir hata yapmadığını görmekteyiz. Ancak çözüm kümesini yanlış söylediği görülmektedir. Bu sebeple burada ilk yapılması gereken öğrencinin kavram yanılgısı ile yüzleştirilmesidir. Bu da yanlış olan bir örnek göstererek mümkün olabilir. Bu sebeple D seçeneğinde verilen. = ve y = için denklemin sağlanmayacağı ile yüzleştirilmesi uygun olacaktır. Doğru yanıt D seçeneğidir. + 4y 6 4y 6 Dolayısıyla çözüm kümesi tüm reel sayılardır. Buna göre, Ali Öğretmen in, yaptığı hatayı fark ettirmek için öğrencisine aşağıdaki sorulardan hangisini sorması daha uygundur? A) Yok etme yöntemini doğru kullandın mı? B) Denklemleri taraf tarafa toplarken hata yapmadığından emin misin? C) Çözüm kümesi reel sayılar mı yoksa R midir? D) ve y için bu denklemler sağlanıyor mu? E) elde ettiğin için çözümün boş küme olması gerekmez mi?

51 KPSS 49. Şekildeki olasılık makinesinde üstten atılan bir topun engelle çarptıktan sonra engelin sağından gitme olasılığı ile solundan gitme olasılığı birbirine eşittir. Bu makineyi matematik dersinde kullanmak isteyen bir öğretmenin amacı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) Topun verilen bir yolu takip etme olasılığının kaç olduğunu göstermek B) Eş olasılı örneklem uzayında gerçekleşen olayların olasılığını göstermek C) Deneysel olasılık ile teorik olasılık değeri arasındaki ilişkiyi fark ettirmek D) Olasılık değerleri ile Pascal üçgeni arasındaki ilişkiyi fark ettirmek E) Her bir çıktının eş olasılı olmadığı durumlarda öznel olasılığın kullanılacağını göstermek Olasılık makinesine baktığımızda, makine topun verilen bir yolu takip etme olasılığının kaç olduğunu gösterebilir. Eş olasılı örneklem uzayında gerçekleşen olayların olasılığını gösterebilir. Çünkü eş olasılı durumlara sahiptir.teorik olarak bir olasılık hesaplattırılarak deneysel olarak da ilişki kurulabilir. Pascal üçgeni ile olasılık değerleri arasındaki ilişki de gösterilebilir. Ancak öznel olasılık yani kişiye göre değişen olasılığın olasılık makinesi ile ilişkisi yoktur. Doğru yanıt E seçeneğidir.

52 KPSS 5. Türevin geometrik anlamını öğrencilerine bilgisayar destekli bir ortamda anlatan bir öğretmen, bilgisayarda aşağıdaki gibi bir eğri ve bu eğrisinin A noktasındaki teğetini çizer. y d Öğrenci, eğriye bir noktada teğet olan bir doğrunun eğriyi kesmemesi gerektiğini düşünmektedir. O halde öğrencinin düşüncesi bir eğriye teğet olma durumunun tüm eğriler için geçerli olacağını düşünmesidir. Bu durum sağdan ve soldan teğet ile, birden fazla teğet çizilmesi ile ya da ikinci türev ile ilgisi yoktur. Doğru yanıt B seçeneğidir. A Ancak öğrencilerden biri teğetin eğriyi sadece değme noktasında kesmesi gerektiğini belirterek d doğrusunun bir teğet doğrusu olmadığını iddia eder. Buna göre, öğrencinin bu düşüncesinin nedeni aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) Bir eğrinin bir noktasındaki sağdan ve soldan teğetlerinin farklı olamayacağını düşünmektedir. B) Bir doğrunun bir çembere teğet olma durumunun diğer eğriler için de geçerli olduğunu düşünmektedir. C) Bazı eğrilerde bir noktada birden fazla teğet çizilemeyeceğini düşünmektedir. D) İkinci türevin geometrik anlamını yanlış yorumlamaktadır. E) Öğrenci doğru düşünmektedir, çünkü bilgisayar teğeti yanlış çizmiştir.