TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR"

Transkript

1 TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım f : A B foksiyou içi V A olsu. U V olmak üzere; ( ) ( ) f : U V B, f a = f a V V şeklide taımlı f foksiyoua f i V üzerie kısıtlaması deir. V

2 Taım f : A B bir foksiyo olsu. Domf =A ise f foksiyoua A ya göre global foksiyo deir. Taım f : A B ve g: B üzere; C iki foksiyo olsu. ( Ragef ) Domg olmak ( ο )( ) ( ( )) gο f : A C, g f a = g f a şeklide taımlı foksiyoa g ile f i bileşkesi deir ve gο f, g( f ) şeklide gösterilir. Taım f : A B bir foksiyo olsu. Ragef = B ise f foksiyoua örte foksiyo deir.

3 Taım f : A B bir foksiyo olsu. a1, a A içi f ( a ) = f ( a ) a = a oluyorsa f ye 1-1 foksiyo (ijectio) deir. 1 1 Taım örte foksiyolara bijeksiyo (bijectio) deir. Taım f : A B 1-1 ve örte foksiyo olsu. f ο g = I f ( A ) ve gof = olacak I f 1 ( B) şekildeki g foksiyoua f i tersi deir ve g = f 1 şeklide gösterilir. Bu taımda da alaşıldığı gibi f 1 of foksiyou yerie özdeşlik döüşümüü bir bileşke işlemide yerie yazarke dikkatli olmalıyız. poh ile pof 1 ofoh foksiyoları ayı foksiyolar değildir. pof 1 ofoh foksiyou poh foksiyouu bir kısıtlamasıdır.

4 Teorem f : A B ve g: B A, fog ve gof foksiyoları B ve A üzeride özdeşlik foksiyoları olacak şekilde iki foksiyo ise f, 1-1, örte ve g = f 1 dir. Taım A 1 ve A iki küme p : A A A, i= 1, i 1 (, ) p a a = a i 1 i i şeklide taımlı foksiyolara izdüşüm foksiyoları deir.

5 Taım f : A A1, g: B B1 şeklide verile iki foksiyo içi f g: A B A B 1 1 ( f g)( a, b) = ( f ( a), g( b) ) şeklide taımlı foksiyoa f ile g i kartezye çarpım foksiyou deir. Dom( f g ) = ( Domf ) ( Domg ) Taım Eğer öceki taımda f : A A1, g: A B1 şeklide özel halii göz öüe alırsak; ( f, g)( a) = ( f ( a), g( a) )

6 Dom( f, g ) = Domf Domg Bu taımları herhagi solu sayıdaki küme ve foksiyolar üzerie taşıyabiliriz. Taım :..., (,..., ) p A A A p a a = a i 1 i i 1 i f : A C, i = 1,,..., i i i f f... f : A A... A C C... C ( f1 f... f)( a1, a,..., a) ( f1( a1 ), f( a ),..., f( a )) (... ) = ( ) ( )... ( ) Dom f f f Domf Domf Domf 1 1 f : A C, i = 1,,..., i i

7 ( f1, f,..., f)( a) ( f1( a ), f( a),..., f( a )) (,,..., ) = ( ) ( )... ( ) Dom f f f Domf Domf Domf 1 1 f: A A1 A... A f i = pof i p i A i olmak üzere i f i 1,,..., = foksiyolarıa f i bileşeleri deir.

8 Problemler 1.1. :, :, : ve k: B1 B foksiyoları verildiğie göre 1. f A A1 g B B1 h A1 A ( h k ) o( f g ) = ( hof ) ( kog ) olduğuu gösteriiz.. f : A A, g: B B foksiyoları verildiğie göre, :, (, ) üzere po( f g ) = fop olduğuu gösteriiz. p A B A p a b = a olmak 3. f : A B, g: C D 1-1 foksiyolar ise f g i de 1-1 olduğuu ve ( ) f g f g = olduğuu gösteriiz. f A B g A C h B B k B B ve q: C C1 foksiyoları verildiğie 4. :, :, : 1, : göre

9 i) ( h, k ) of = ( hof, kof ) ii) ( h q) o( f, g ) = ( hof, qog ) olduğuu gösteriiz..1. FONKSİYONLAR VE SÜREKLİLİK Bu kısımda Öklid Uzayları arasıdaki foksiyoları özelliklerii gözde geçireceğiz. Dom f ( ) R de elemaıa bir tek resmii y f ( x) y m R ye taımlaa : ( ) f Dom f R m foksiyou; x Dom( f ) R m R oktası karşılık getire kural olarak taımlaır. x i f altıdaki m = yazarak belirteceğiz. f : A R de kastımız f foksiyouu taım kümesii A olmasıdır. Yai A daki her x elamaı içi f ( x ) iyi taımlıdır. A ı dışıdaki

10 elemalar içide f ( x ) iyi taımlı olabilir, A ı f içi maksimal taım küme olmasıda ısrar etmiyoruz. A f m R p of i = f i p R f : A R, 1 i m i, ( ) f x = y şeklide taımlı foksiyolara f i bileşe foksiyoları i ya da kısaca bileşeleri deir. O zama f ( x) ( f1 ( x),..., fm ( x) ) ( ) f = f,..., 1 fm şeklide belirteceğiz. i = veya daha kısaca olarak

11 Örek: a) f : R R 3, f ( x, y) = ( y, x, x+ y) 3 b) :, (,, ) f R R f x y z = xyz c) f :0, [ ) R ( ) ( ) 3, f x, y, z = x, x, x d) f : R 4 R 4, f ( x, x, x, x ) = ( x + x, x + x, x x, x x ) (,,, ) = +, (,,, ) f x x x x x x f x x x x = x + x, (,,, ) =, (,,, ) f x x x x x x f x x x x = x x olur.

12 Bu öreklerde foksiyolar formül yoluyla taımladı. Buula beraber foksiyoları kısıtlı şekilde taımlayacağıı da belirtelim. Mesela; f :1, [ ) R, kuralı f(x) i ( y + 1) e y = x deklemii çözümü şeklide taımlayabiliriz. ( y ) + 1 e y ; y ye göre arta olduğuda deklem bir tek çözüme sahiptir. Fakat f(x) içi herhagi formül yoktur. Bu bir foksiyoua ters foksiyoua örektir. Bu kou 4. bölümde iceleecektir. O halde yukarıdaki ham foksiyo taımıdaki geçerli kuralı tam olarak oluşturmak içi e yapmalıyız sorusuu sorabiliriz. Bu kesi taım bir foksiyouu grafiğii taımıı verdikte sora verilebilir. m f : A R R bir foksiyo ise G grafiği de R R m m kümesidir. ( x, y) R R içi ( x, y) G x A ve y f ( x) {( ) } i, ( ) = dir. G = x f x x A alt Bir foksiyou grafiği hakkıdaki bilgi f hakkıdaki her şeyi söylediğide f foksiyou G grafiği ile özdeşleir. O halde bir foksiyou kesi olarak taımlamak içi bu foksiyou

13 grafiğideki sıralı ikili kümesii özelleştirmek gerekir. Hagi sıralı ikilileri kümesi bir foksiyou grafiğidir? H, R m R i herhagi sıralı ikililerii kümesi olsu. H ı e az bir foksiyouu grafiği olması içi gerek ve yeter şart her (, ),(, ) olmasıdır. x y H x z H y = z Taım.. Bir f foksiyou ( x, y) G ve ( x, z) G y = z özelliğideki m G R R sıralı çiftleri kümesidir. Bu durumda f i taım kümesi de { } m ( ) = (, ), şeklide taımlaır ve ( ) (, ) Dom f x R x y G y R şeklide yazılır. Döüşüm(Map) ve foksiyo ayı alamdadır. m m f : A R bir foksiyo ve A 1 A içi f 1 : A 1 R, x A 1 y = f x x y G içi f ( x) f ( x) 1 = şeklide taımlı f foksiyoua f i 1 A 1 e kısıtlaması deir ve f şeklide yazılır. Bezer olarak A 1

14 m A A, g: A R ve x A tek olmadığı da bir gerçektir. içi g( x) f ( x) = ise f i geişlemesi deir. Böyle g i G { } = {( x, y) } şeklide verile sıralı çiftleri cümlesi içi G = ( y, x) sıralı çiftleri cümlesi de bir foksiyou grafiği olma özelliğii gösterebilir. Buu içi (, ),(, ) yx G yx G x= x olması gerekir. Eğer G bir f foksiyou grafiği ise f i olması x x f ( x ) f ( x ) olması ile taımlaır. f 1-1 ike G da kesi olarak bir 1 1 foksiyou grafiğidir. Bu foksiyoa f i tersi diyerek ( ) ( ) = = dir. 1 x f y y f x 1 f şeklide belirteceğiz. Kısaca

15 Eğer f : A S içi S f ( A) = oluyorsa f ye örte foksiyo(veya A yı S üzerie döüştüre döüşüm) deir. f : A S 1-1 ve üzerie ise f ye bijectio deir. f bijectio ise f 1 : S A da bijectivedir. Reel değerli foksiyou tersii olmadığıı belirlemek basit bir koudur. Reel değerli taım kümeside arta ve azala foksiyolar bu aralıklarda 1-1 dir. Bu türevi işaretide buluur. 4.Bölümde ivers foksiyou varlığıı göz öüe alarak türevii ivers bulmada kullaılıp kullaılamayacağıı göreceğiz. Şimdi öemli kavram ola sürekliliğe döelim. m Taım.3. f : A R R bir foksiyo olsu. a A olmak üzere; ε > 0 içi x A ve ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı buluabiliyorsa f ye a da süreklidir deir. Yada kısaca ε > 0, δ > 0 vardır. Öyle ki x A ve ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε şeklide gösterilir. Eğer a A içi f sürekli ise f ye A da

16 süreklidir deir. Bu yöteme ε δ şartı diyeceğiz. δ, ε a bağlı olduğu kadar a oktasıa da bağlı olabilir. Komşuluklara bağlı olarak; a A olmak üzere f ( a ) oktasıı herhagi ε komşuluğua karşılık; f ( A B( a, δ )) B( f ( a), ε ) olacak şekilde a ı bir δ komşuluğu varsa f ye a da süreklidir deir. Bu sezgisel ola x oktaları a ya yaklaşırke f ( x ) oktaları da f ( a ) ya yaklaşır şeklideki taıma kesilik kazadırır. Eğer x i a ya yaklaştığıı gözlemlediğimizde f ( x ) de f ( a ) ya yaklaşmalıdır. Ne şekilde olursa olsu x i a ya yaklaşması esasıda x i A içide kalması çok öemlidir.

17 Bir a oktasıdaki süreklilik lokal özellik olup, a ı komşuluğuda f i davraışıa bağlıdır. Eğer a, A ı yalız (izole) oktasıysa δ yı öyle küçük seçebiliriz ki x a < δ olacak şekilde x A şeklideki bir tek okta a ı kedisi olur. O zama taım sağlaır ve f foksiyou yalız(izole) oktada otomatikma süreklidir. Buula birlikte yalız oktalardaki sürekliliği öemi azdır.

18 . a δ ẋ Örek.4. :, ( ) f R R f x = x ile taımlası o zama f, R üzeride süreklidir. Yai orm foksiyou R de süreklidir. Çözüm: f ( x) f ( y) = x y x y eşitsizliğide x y < δ = ε f ( x) f ( y) < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O halde f her y R de süreklidir.

19 Örek.5. :, ( ) p R R p x = x i-yici izdüşüm foksiyou süreklidir. i i i Çözüm: ( ) ( ) p x p y = x y x y eşitsizliğide; ε > 0 içi i i i i i ( ) ( ) x y < δ = ε p x p y < ε olduğuda p i foksiyou süreklidir. i m Teorem.6. f : A R R olsu. Aşağıdaki ifadeler dektir. a) f, a A oktasıda süreklidir. b) A daki herhagi ( k ) { } x dizisi içi ( k) ( k) ( ) ( ) x a f x f a olur. İspat: (Fuctios Several Real Variable p.39)

20 m Teorem.7. :, (,..., ) süreklidir. = ise f, a A da süreklidir Her bir f i a da f A R f f1 f m m Teorem.8. f, g: A R R, a A da sürekli foksiyolar ve α R içi α. f, f + g ve m = 1 halide f. g foksiyoları da a A da süreklidir. İspat: h= α. f olsu. f sürekli olduğuda ε > 0 içi < ( ) ( ) x a δ f x f a < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O zama; ε > 0 içi < h( x) h( a) α f ( x) f ( a) x a δ = < αε

21 olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O halde h= α. f foksiyou a A da süreklidir. F = f + g olsu. f, g a A da sürekli olduğuda; ε1 > 0 içi ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε olacak şekilde δ1 > 0 sayısı vardır. Bezer şekilde g a A 1 1 da sürekli olduğuda ε 0 > içi x a δ g( x) g( a) sayısı vardır. O zama ε = ε1+ ε > 0 içi < < ε olacak şekilde δ > 0 < mi {, } = ( ) ( ) ( ) ( ) x a δ δ δ 1 ( ) ( ( ) ( )) ( f ( x) f ( a) ) ( g( x) g( a) ) F x F a = f x f a + g x g a + F( x) F( a) < ε1+ ε = ε

22 olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O halde F = f + g foksiyou a A da süreklidir. m = 1 halide ( f. g)( x) = f ( x) g( x) olmak üzere; ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) = ( f ( x) f ( a) ) g( x) + f ( a) ( g( x) g( a) ) f ( x) f ( a) g( x) + f ( a) g( x) g( a) f x g x f a g a f x g x f a g x f a g x f a g a eşitsizliği vardır. M 1 f ( a) g( a) = + + olsu. f a A da sürekli olduğuda ε > 0 içi ε x a < δ f ( x) f ( a) < M

23 olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. Bezer şekilde ε > 0 içi ( ) ( ) x a < δ g x g a < ε M olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O zama ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) g x g x g a g a g x g a g a ε < + g a < + M ( ) 1 g( a) olduğuda; ε > 0 içi;

24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a < δ f x g x f a g a f x f a g x + f a g x g a ε f x g x f a g a < g x + f a M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε < + + M ε M ( g( a) 1) f ( a) ( 1+ f ( a) + g( a) ) ε M < ε = ε M olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. Örek.9. :, (, ) f R R f x y = xy R üzeride süreklidir.

25 Çözüm :, (, ), (, ) f p x y = x p x y = y izdüşüm foksiyolarıı çarpımı olduğuda ve 1 izdüşüm foksiyoları da üzeride süreklidir. R üzeride sürekli olduğuda Teorem.8 i so halide f R Foksiyoları birleştirmei başka bir yolu da bileşke almaktır. Buu alamı bir f foksiyouu x oktasıa uygulayarak elde ettiğimiz f ( x ) görütüsüe başka bir g foksiyou uygulayarak g( f ( x )) görütüsüü elde etmektir. Buula birlikte; her f ( x ), g p i taım kümesie ait ise bu bileşke taımlıdır. Bu edele; f : A R R ve p g: B R R m, ( ) f A B bileşke foksiyo taımlaır. ise : m gof A R R, x A, ( gof )( x) g ( f ( x) ) = şeklide

26 p p Teorem.10. f : A R R, g: B R R m ve ( ) f A B olsu. f i a A da ve g i b= f ( a) B de sürekli olduğuu kabul edelim. O zama gof de a da süreklidir. İspat: g, ( ) ( ) ( ( )) f a da sürekli olduğuda y B ve 0 ε > içi ( ) y f a < ξ olur olmaz g y g f a < ε olacak şekilde ξ > 0 sayısı vardır. f, a da sürekli olduğuda ξ > 0 içi x A ve x a δ halde ε > 0 içi x a δ < olur olmaz ( ) ( ) < olur olmaz ( ) f x f a < ξ olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O ( ) ( ( )) sayısı vardır. O halde gof foksiyou a A da süreklidir. g f x g f a < ε olacak şekilde δ > 0

27 Souç.11. g: A R R ( 1) m = a A da sürekli ve ( ) 0 g a olduğuu kabul edelim. 1 1 = g g x O zama ( x) ( ) foksiyou da a A da süreklidir. İspat: h: R { 0} R, hu ( ) süreklidir. g de a A da sürekli, ( ) 0 1 = şeklide taımlı foksiyo olsu. h taım kümeside u g a olduğuda B( a, δ ) üzeride ( ) 0 g a özellikli 1 g ( ) B( a, δ ) komşuluğu vardır. O zama x B( a, δ ) içi ( x) = h g( x) foksiyoları bileşkesi olur. O halde g, g( a) 0 ve a A da sürekli ise 1 g sürekli de a da süreklidir. f, g: R R, g( a) 0 özelliğide a da sürekli iki foksiyo ike

28 f g = 1 f. g foksiyou da Teorem.8 de a da süreklidir. Örek.1. f : R R, ( ) y f x, y = x y, 1 + x foksiyou R üzeride süreklidir. Çözüm: f ( xy) = xykoordiat foksiyolarıı çarpımı olduğuda ve f ( x, y) 1, y = 1 + x 1 de g( x, y) = 1 + x sürekli foksiyou ile y i çarpımıda oluştuğuda süreklidir. O halde Teorem.7. de f R üzeride süreklidir.

29 Örek.13. araştırıız. f : R R, f ( x, y) xy,, 0,0 = x + y 0,, = 0,0 ( xy) ( ) ( xy) ( ) foksiyouu sürekliliğii Çözüm: ( 0,0 ) oktası hariç diğer bütü oktalarda f i sürekli olduğu yukarıdaki çarpım ve resiprokaller üzerie verile souçlarda görebiliriz. ( 0,0 ) da ( 0,0 ) ı δ komşuluğudaki = xy x + y <ε ( x, y ) ler içi f ( x, y) f ( 0,0) olup olmadığıı araştıracağız. x 0 ve y = 0 içi f ( x,0) = 0 ve bu edele ε δ şartı sağlaır. Bezer şekilde ( ) oktalar içi de sağlaır. x 0, y x içi f ( x, x) f ( 0,0) 1 = olur. O halde = doğrusu boyuca (, ) 0, y, y 0 şeklideki 1 f x x = ve bu edele x 0 1 ε < içi ε δ şartı sağlamaz. Bu edele de f,

30 ( 0,0 ) da sürekli değildir. a ya yaklaşa x oktalarıı göz öüe alarak f ( ) x oktalarıı f ( a ) ya yaklaşıp yaklaşmadığıı düşümek uygu olur. Şimdi bu düşüceyi olgulaştıracağız. = < < cümlesie Taım.14. B ( a, ε ) { x R 0 x a ε} a R i delimiş ε -komşuluğu = delimiş açık yuvardır. deir ve B ( a, ε) B( a, ε) { a} Taım.15. f : A R R m olsu. a, A ı limit oktası ise (yai { } ise) x, a ya giderke f ( x ) i limiti (, δ ) ( ) (, ε ) b ( A a ) B( a, δ ) R ye eşit olması içi gerek yeter şart her 0 x B a A f x B b olacak şekilde δ > 0 sayısıı var olmasıdır. ε > içi

31 Bu taımda a oktasıı A kümesii bir limit oktası olmasıa ihtiyacımız vardır. Yai (, δ ) B a A, her δ > 0 içi e az bir okta kapsamalıdır. Buula birlikte a oktası A kümesii elemaı olmak zoruda değildir. Bu taıma dek ola ve dizileri kapsaya öerme olarak vereceğimiz bir taım daha vardır. Öerme.16. a, A R i bir limit oktası ve : f A R m bir foksiyo olsu. O zama ( ) ( k) ( k) { } lim f x = b x A, x a, k N x a içi ( k ) x a ike ( k ) ( ) f x b dir.

32 Tabii ki f, a da bir b limitie sahip olması içi gerek ve yeter şart f i her bir f i bileşeii a daki limitii b i b i bileşeie eşit olmasıdır. Öerme.17. f, g: A R R a) lim ( ) ( ) x a f x g x = b c b) ( )( ) ( ) m ve lim ( ) x a f x b lim α. f x = αlim f x = α. b, α R x a x a c) 1 m = içi ( ) ( ) ( ) ( ) = ve lim ( ) lim f x g x = lim f x lim g x = bc. x a x a x a g x = c olsu. O zama; x a *** A herhagi bir iç oktaya sahip değilke bu yapı bazı yalışlıklara yol açar. Mesela, { [ 0,1] } A = x x rasyoel sayı ve f : A R, f ( ) 1 x = olsu. f i A üzeride sürekli olduğu

33 kesidir. Buula birlikte f yi g :0,1 [ ] [ 0,1], g( x) 1, = 0, x A x A şeklide taımlı g foksiyouu A üzerie kısıtlamışı olarak göz öüe alabiliriz. g foksiyou [ 0,1 ] i herhagi bir oktasıda sürekli değildir. g kısıtlaması A üzeride sürekli olduğu halde g i A kedisi A ı herhagi bir oktasıda süreksizdir. Bir foksiyo sürekli ise bu foksiyou herhagi kısıtlaması da süreklidir. Yukarıdaki örekte de görüleceği gibi bir foksiyo sürekli ike bu foksiyou geişletilmesi sürekli olmak zoruda değildir. Daha öcede de belirttiğimiz gibi x a ike limite sahip ola f ( x ) içi a ya herhagi tarzda yaklaşılabilir. Özel olarak a ya bütü doğrular boyuca yaklaşmakta ayı cevabı verecektir. R de a da geçe ve doğrultusu u ola doğruu { x a tu t R} olduğuu biliyoruz. u yu doğrultu aldığımızda daima birim alacağız. = + kümesi

34 Öerme.18. f : A R R 0 ( ), a it ( A) lim f a+ tu = b olmasıı gerektirir. t olsu. lim ( ) f x = b olması her u doğrultusu içi x a İspat: lim ( ) f x = b ise ε 0 x a > içi, δ ( ) x a x a < f x b < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. x a tu B ( a, δ ), 0 t δ f ( x) f ( a tu) B( b, ε) = + < < = + olur. O zama ( ) 0 < t < δ f a+ tu b < ε olacak şekilde 0 δ > sayısı vardır. Yai lim ( ) + = dir. f a tu b t 0 Bu öermei tersi doğru değildir. f doğrular boyuca limite sahip olabilir, fakat f i limite sahip olması gerekmez.

35 .. Süreklilik ve Kompaktlık Sürekli foksiyoları bir öemli özelliği de kompakt kümeleri kompakt kümelere döüştürmeleridir. R i altkümesii kompaktlığıda bu alt kümei sıırlı olmasıı kastedeceğiz. R de kapalı ve Teorem.19. K, olsu. O zama f ( K ) da R i kompakt bir altkümesi ve : m R i kompakt altkümesidir. f K R m K üzeride sürekli foksiyo İspat: (Fuctios of Several Real Variables p.44) Sürekli foksiyolar altıda e kapalı bir kümei görütüsüü kapalı olması ede sıırlı bir kümei görütüsüü sıırlı olması gerekir.

36 Örek.0. x 1 x a) f : R R, f ( x) = olsu. ( ) [ 0,1) + f R = olup R de e açık e de kapalıdır. Bu ayrıca açık bir kümei görütüsüü de açık olmak zoruda olmadığıı gösterir bir örektir. 1 x b) f :( 0,1 ) R, f ( x) = olsu. O zama f (( 0,1) ) = ( 1, ) Teorem.19 dakie bezer düşüceleri kullaarak sürekli foksiyoları sürekliliğii kou edie aşağıdaki teoremi verebiliriz. Teorem.1. K, R i kompakt altkümesi ve : foksiyo olsu. O zama 1 : ( ) f K R f f K K foksiyou süreklidir. m de K üzeride sürekli 1-1

37 İspat: (Fuctios of Several Real Variables ) Bu teorem K kompakt olmadığı zama doğru olmayabilir. Görütü kümesi R de yattığıda foksiyoları maksimum miimumları tartışılabilir. Taım.. f : A R R foksiyou verilsi. a A olmak üzere x A içi f ( x) f ( a) oluyorsa f, A üzerideki a oktasıda (global) maksimuma sahiptir deir. Bir a A oktasıı (, ) B a δ komşuluğudaki bütü x ler içi f ( x) f ( a) olacak şekilde δ - komşuluğu varsa f foksiyou a oktasıda (lokal) maksimuma sahiptir deir. Eğer bu eşitsizliklerde sadece eşitsizlik var ise tam (strict) global maksimum ve tam lokal maksimum terimleri kullaılır. Bu taımlarda yerie alarak global miimum, lokal miimum

38 taımları verilebilir. Maksimum ve miimum taımlarıı çalışmak aalizdekie bezer olup aalizdeki tekikleri kullaacağız. Teorem.3. f : K R R dif.bilir, K ve K kompakt olsu. O zama f, K üzeride bir global maksimum bir de global miimuma sahiptir. İspat: ( ) { }, ( ) M = Sup f x x K f K ı üst sıırlarıı e küçüğü olsu. Her boşta farklı reel sayıları sıırlı cümlesi bir supremuma sahip olduğuda M vardır ve soludur. Açık olarak f ( x) M, x K ve M bu özellikteki e küçük sayıdır. M i kompakt f ( K ) kümesie ait olduğuu gösterelim. Eğer M f ( K) ise M f ( K) c ve f ( K ) c olur. O zama M i ( M ε, M + ε ) şeklide bir ε komşuluğu vardır ve bu f ( ) açık K ı

39 oktalarıı kapsamaz. O halde x K içi ( ) f x M ε olup M ε bir üst sıırdır. Bu m i üst sıırları e küçüğü olması ile çelişir. O halde kabulümüz yalış yai M f ( K) olmak zorudadır. Yai; f ( x) M özellikli x K vardır. Miimum içi de ispat bezer şekilde yapılır. Yukarıdaki teoremde bir kompakt küme üzerideki sürekli foksiyo kedi sıırlarıı oluşturur. Örek.4. R üzerideki her orm Öklidye orma,, + x R αβ R içi α x x β x alamıda dektir. 1 1

40 Çözüm: { ei i 1,..., } =, R i stadart bazı ve M maks{ ei i 1,..., } = = olsu. x R içi x = xe olup üçge eşitsizliğide; i= 1 i i x x e x e ( 1... ) M x + + x M x 1 α = alıarak M α x x (1) 1

41 elde edilir. Ayrıca x, y R içi x y M x y eşitsizliği kullaılarak. 1 1 foksiyouu sürekli olduğu gösterilir. O halde 1. foksiyou S = { x R x = 1 } kompakt kümesi üzeride kedi m e küçük alt sıırıı oluşturur. z 0 olduğuda x x m= z > 0 ile gösterelim. z 0 içi x= x yazabiliriz. x = x m x 1 1 x x 1 olup β = alarak; m 1 x 1 x () m 1 buluur. (1) ve () eşitlikleride

42 1 1 x x x M m 1 1 eşitsizliği buluur. O halde. ve. bu alamda dektirler. 1 Bir x oktasıı bir A kümesie uzaklığı dist ( x, A) if{ x a a A} = şeklide taımlaır. Geel olarak; ifimumu oluşturacak şekilde a A oktası bulumayabilir. Buula birlikte eğer A kompakt ise ifimumu daima vardır. Bu orm foksiyouu sürekli olmasıı bir soucudur ve Örek.4. edeiyle ormla erede çalışılırsa orada daima sağlaır. x i yakııda a A oktası var olduğuda bu a tek olmak zoruda değildir. Mesela; x = 0

43 elemaı ve A { a a 1} = = kümesii göz öüe alırsak a tek değildir. A ı şeklii oyuu bir parçası olarak görebiliriz. Bua ait öemli bir düşüce de A ı koveksliğidir. Taım.5. C, R i bir altkümesi, { } x y C içi x i y ye birleştire ( 1 t ) x + ty 0 t 1 doğru parçası daima C de kalıyorsa C ye R i koveks altkümesi deir. *** Bu geometrik yaklaşım C i sıırı C i içide dışa doğru köşelemiş ve kearlar oyulmamıştır. Düz doğru parçalarıı oluşmasıa müsaade edilmiştir. Örek.6. Açık ve kapalı yuvarlar kovekstir. Çözüm: C B( z, r) = ve x, y C olsu. O zama x z < r, y z < r ve üçge eşitsizliğide 0 t 1 içi

44 ( 1 t) x+ ty z = ( 1 t) x ( 1 t) z+ ty tz = ( 1 t)( x z) + t( y z) ( 1 t) ( x z) + t ( y z) ( 1 t) r+ tr = r olur. O halde x, y C ile sıırlı doğru parçası C i içide kalır. Kapalı yuvarlar içide ispat bezer şekilde yapılır. Öerme.7. C, R de kapalı koveks küme olsu. O zama miimum ormlu bir tek c oktası vardır. Yai; 0 a yakı bir tek c C oktası vardır. İspat: d if { y y C} C = olsu. O zama d = 0 ise 0 C ve ispatlaacak bir şey yoktur. O halde 0 C olsu. c = d olacak şekilde tam bir tae c C i var olduğuu göstermek

45 istiyoruz. Eğer C sıırlı olsaydı böyle c i varlığı garati olacaktı çükü sürekli foksiyou kompakt küme üzeride ifimumua ulaşır. Buula birlikte C burada sıırlı olmak zoruda olmamasıa rağme C C B( 0, d 1) = + i göz öüe alarak bu yapıyı bu hale idirgeyebiliriz. O zama C kompakt ve miimal ormlu c C var ve bu C i miimal ormlu bir oktasıdır. Böylece herhagi orm içi miimum ormlu oktaı varlığı gösterilmiş olur. Teklik sadece C i koveksliğie bağlı değil ayı zamada komşuluklar Öklidye ormu tam kovekslik özelliği dediğimiz aşağıdaki özelliğe sahip olmasıa bağlıdır. Eğer x = y = d ve x y ise x+ y < r oluyorsa tam kovekstir deir. Bu x + y + x y = x + y şeklideki paralel kear kuralıda heme görülür. Şimdi tekliği gösterelim.

46 x = y = d ve x y olduğuu kabul edelim. O zama ormu tam kovekslik özelliğide x+ y O halde x < d ve C koveks olduğuda = y olmak zorudadır. Bu ise tekliği ispatıdır. x+ y C ve buu ormu d de daha küçük olamaz. Hatırlatma: Öklidye orm kullaıldığıda varlık içi kompaktlık gerekli değildir. a oktasıda ε δ şartı ε 0 > içi x a δ f ( x) f ( a) < < ε olacak şekilde bir δ (a veε a bağlı) sayısıı var olduğuu söyler. Özel bir ε içi ayı δ her a A içi çalışabilir. Bu güçlü özelliğe düzgü süreklilik deir ve bu özellik f i bir global özelliğidir.

47 m Teorem.8. f : A R R foksiyouu göz öüe alalım. ε > 0 içi x, y A ve ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε olacak şekilde sadece ε a bağlı bir δ sayısı varsa f ye A üzeride düzgü süreklidir deir. Yukarıdaki Örek.4. herhagi orm foksiyou düzgü sürekli olduğuu gösterir. Bu bir foksiyou A üzeride düzgü sürekli olması A ı her bir oktasıda sürekli olmasıı gerektirdiğide açıktır. Buu tersi her zama doğru değildir. Bua basit bir örek; 1 f :( 0, ) R, f ( x) = x foksiyoudur. Herhagi 0< δ < 1 özelliğideki δ içi x= δ, y = δ alırsak;

48 f ( x) f ( y) = = > δ δ δ olur. Bu ise f i düzgü süreklilik şartlarıı sağlaması içi mümkü değildir. Bu foksiyo bölüm kuralı gereğice her a > 0 oktasıda süreklidir. Fakat δ, a ya bağlıdır. Buula birlikte f i taım kümesi kompakt olduğuda süreklilik düzgü sürekliliğe dektir. m Teorem.9. f : K R R, kompakt K kümesi üzeride sürekli olsu. O zama f, K üzeride düzgü süreklidir. İspat: (Fuctios of Several Real Variables p.49).6. Topolojik Kavram Olarak Süreklilik

49 Açık(kapalı) kümeleri sürekli döüşümler altıdaki görütülerii açık(kapalı) olmasıı gerekmediğii görmüştük. Buula beraber ters görütüleri daha iyi olur. m f : A R B R bir foksiyo ve T de B i bir alt kümesi olsu. T i f altıdaki ters 1 görütüsü f ( T ) { } 1 şeklide gösterilir ve ( ) ( ) f T = x A f x T kümesidir. Yai bu, f altıdaki görütüleri T de yata A ı elemalarıı cümlesidir. Eğer f, 1-1 ise ( 1 T, f ( A ) da kapsaır ve f ( T ) de 1 f altıda T i görütüsüyle çakışır. 1 f var) ve m m Lemma.59. f : A R R bir foksiyo ve S A, T R olsu. O zama; ( ) f f T T 1 1 a) S = f ( T) f ( S) T, yai ( ) b) ( ) 1 1 T = f S S f ( T), yai S f ( f ( S) ) İspat:.

50 ( ) a) x f ( T) içi y = f ( x) olacak şekilde y f f ( T) alalım. f ( T ) bu x A ve f ( x) T dir. Yai y T dir. b) S A olduğuu göz öüe alalım. x S ( ( )) 1 x f f S. ise f ( x) f ( S) i taımıda ve böylece taımda (a) ve (b) de eşitlik, geel alamda sağlamaz. Buu (a) içi görmek istersek; T f ( A) yai f örte olmalıdır. (b) içi f : R R, f ( x) x 1 zama [ 0,1] = T = f ([ 0,1] ) fakat ([ 0,1] ) [ 1,1] 1-1 olmasıyla mümküdür. = foksiyouu göz öüe alalım. O f = olur. (b) de eşitliği sağlaması içi f i Topoloji derside bir küme üzeride sürekliliği taımı geellikle Her açık kümei ters görütüsü de açıktır. Şeklide özetleir. f i taım kümesi üzerideki topoloji R

51 uzayıda ortaya çıkar. Bu edele A üzerideki rölatif topolojidir. Şimdi bu kavramları açıklayalım.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR

DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR M herhagi bir küme olsu. i) x: M R ii) V = Rg( x) R açık cümle olmak üzere; Dom( x) = U içi U x R x i = Pox i P i i R ( ) ( U, x) ikilisie -boyutlu harita, x( m) x ( m),...,

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P.

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P. 4. Ders tkilik Küçük varyasl olmak, tahmi edicileri vazgeçilmez bir özelli¼gidir. Bir tahmi edicii, yal veya yas z, küçük varyasl olmas isteir. Parametrei kedisi () veya bir foksiyou (g()) ile ilgili tahmi

Detaylı

KLAN OYUNLARI TEMELLİ ÜRETİM YAPISININ TSURUMI GENİŞLEMESİ ve BULANIK SHAPLEY DEĞERLERİ

KLAN OYUNLARI TEMELLİ ÜRETİM YAPISININ TSURUMI GENİŞLEMESİ ve BULANIK SHAPLEY DEĞERLERİ Bu bildiri 2-22 Mart 204 tarihleride düzelee Üretim Ekoomisi Kogreside suulmuştur. KLAN OYUNLARI TEMELLİ ÜRETİM YAPISININ TSURUMI GENİŞLEMESİ ve BULANIK SHAPLEY DEĞERLERİ Murat BEŞER muratbeser @ yahoo.com

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

Uydu Görüntülerinin Rektifikasyon ve Registrasyonu. Hafta - 5

Uydu Görüntülerinin Rektifikasyon ve Registrasyonu. Hafta - 5 Uydu Görütülerii Rektifikasyo ve Registrasyou Hafta - 5 Doç. Dr. Oğuz Gügör Karadeiz Tekik Üiversitesi Harita Mühedisliği Bölümü 61080 Trabzo ogugor@ktu.edu.tr 1 Rektifikasyo Uydularda veya uçaklarda elde

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ PEANO UZAYLAR VE HAHN-MAZURKEWCZ TEOREMİ ÜZERİNE Zekeriya GÜNEY, Murad ÖZKOÇ Muğla Üiversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fe ve Matematik Alalar Eğitimi

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI RASTLANTISAL MÖBIUS DÖNÜŞÜMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ.

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI RASTLANTISAL MÖBIUS DÖNÜŞÜMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI RASTLANTISAL MÖBIUS DÖNÜŞÜMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Fikri CENGİZ Balıkesir, Eylül-2007 ÖZET RASTLANTISAL MÖBIUS DÖNÜŞÜMLERİ Fikri

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa

Detaylı

Üç Boyutlu Bilgisayar Grafikleri

Üç Boyutlu Bilgisayar Grafikleri 1. Üç Boyutlu Nese Taımlama Yötemleri Bilgisayar grafikleride üç boyutlu eseleri taımlamak içi birçok yötem geliştirilmiştir. Hagi taımlama yötemi avatajlı olduğu üç boyutlu uygulamaı amaç ve gereksiimleri,

Detaylı

TG 12 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hakkı saklıdır. Hagi amaçla olursa olsu, testleri tamamıı vea

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 26 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda,

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

MATEMATıciN ESTETiCi ÜZERINE ON AESTHETICS OF MATHEMATICS

MATEMATıciN ESTETiCi ÜZERINE ON AESTHETICS OF MATHEMATICS Hacettepe Üiversitesi Eğitim Fakültesi ergisi 22: 130-134 {2002} J. of [ Ed 22 MATEMATıciN ESTETiCi ÜZERINE ON AESTHETICS OF MATHEMATICS Cahit PESEN* ÖZET: Matematik, diziliş ve iç uyum ile karakterize

Detaylı

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir.

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir. 2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (DP) 2.1. DP i Taımı ve Bazı Temel Kavramlar Model: Bir sistemi değişe koşullar altıdaki davraışlarıı icelemek, kotrol etmek ve geleceği hakkıda varsayımlarda bulumak amacı ile

Detaylı

T.C. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI LÜTFİ AKIN

T.C. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI LÜTFİ AKIN T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI LÜTFİ AKIN DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DANIŞMAN

Detaylı

OLASILIK VE TÜMEVARIM*

OLASILIK VE TÜMEVARIM* OLASILIK VE TÜMEVARIM* Yaza: Has Reichebach** Çevire: Hasa Aydı*** Tümevarım Soruu: Sık sık yieleme şeklideki olasılık yorumu, olasılık kuramı içeriside iki işleve sahiptir. İlki, sık sık yieleme bir olasılık

Detaylı

Robot Navigasyonunda Potansiyel Alan Metodlarının Karşılaştırılması ve Đç Ortamlarda Uygulanması

Robot Navigasyonunda Potansiyel Alan Metodlarının Karşılaştırılması ve Đç Ortamlarda Uygulanması Robot Navigasyouda Potasiyel Ala Metodlarıı Karşılaştırılması ve Đç Ortamlarda Uygulaması Eyüp Çıar 1 Osma Parlaktua Ahmet Yazıcı 3 1, Elektrik-Elektroik Mühedisliği Bölümü, Eskişehir Osmagazi Üiversesi,

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Hava. çıkışı. Fan. Şekil 1 6/7 Motor şasi ve fan gurubunun yalıtımı

Hava. çıkışı. Fan. Şekil 1 6/7 Motor şasi ve fan gurubunun yalıtımı Uygulama /0 Fa ve motor gurubu şasi üzerie cıvatalamış olup şasi de fabrika zemiie dübellerle bağlamak istemektedir. Şasi ve üzerideki toplam kütle 00 kg dır. Motor döme devri =000 dev/dak. Sistemi yere

Detaylı

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM YÜKSEK LİSANS TEZİ AHMET HAMDİ AVŞAR BALIKESİR, HAZİRAN - 2016 T.C. BALIKESİR

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR.

YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR. 0. Sııf MATEMATİK Soru Kitabı Mehmet ŞAHİN T.C MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI Talim Terbiye Kurulu Başkalığı MATEMATİK Öğretim programıda yaptığı so gücelleme doğrultusuda YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR. Emre ORHAN Mehmet

Detaylı

BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere:

BEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere: 6. Ders BEKLENEN DEĞER Taım: X, bir rasgele değişke ve g : R R, B BR içi x : gx B BR özelliğie sahip bir foksiyo olmak üzere: i) X kesikli ve ii) X sürekli ve gx fx olduğuda, x EgX gxfx gx fxdx olduğuda,

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ Mustafa ÖZDEMİR İ. Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Düya çapıda rekabeti ö plaa çıktığı bu gükü şartlarda, e gelişmiş ürüü, e kısa sürede, e ucuza üretmek veya ilk yatırım ve işletme

Detaylı

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr.

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisas Tezi Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

A A A A A. FEN ve TEKNOLOJİ TESTİ. 3. Ankara'da yaşayan Göktürk ve Ata tek yumurta. 1. Oktay'ın günlüğüne yazdığı birkaç olay

A A A A A. FEN ve TEKNOLOJİ TESTİ. 3. Ankara'da yaşayan Göktürk ve Ata tek yumurta. 1. Oktay'ın günlüğüne yazdığı birkaç olay FEN ve TEKNOLOJİ TESTİ 1. Oktayı gülüğüe yazdığı birkaç olay aşağıda verilmiştir. Elimi kesmiştim, iyileşmesi 5 gü sürdü. Babamı bahçeye diktiği gül dalı tomurcuk açtı. Beslediğim kertekelei kopa kuyruğuu

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA

RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA ISSN:306-3 e-joual of New Wold Scieces Academ 009 Volume: 4 Numbe: 4 Aticle Numbe: 3A006 PHSIAL SIENES eceived: abua 009 Accepted: Septembe 009 Seies : 3A ISSN : 308-7304 009 www.ewwsa.com Goca İceoğlu

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

TEZ ONAYI Eda YAZAR tarafıda hazırlaa Fuzzy Topolojk Gruplar adlı tez çalışması 22/07/2008 tarhde jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes Fe Blmler Est

TEZ ONAYI Eda YAZAR tarafıda hazırlaa Fuzzy Topolojk Gruplar adlı tez çalışması 22/07/2008 tarhde jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes Fe Blmler Est ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY TOPOLOJİK GRUPLAR Eda YAZAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2008 Her hakkı saklıdır TEZ ONAYI Eda YAZAR tarafıda hazırlaa Fuzzy Topolojk

Detaylı

BÖLÜM 8 ALAN ETKİLİ TRANSİSTÖRLER (JFET) Konular:

BÖLÜM 8 ALAN ETKİLİ TRANSİSTÖRLER (JFET) Konular: ALAN ETKİLİ TRANİTÖRLER (JFET) BÖLÜM 8 8 Koular: 8.1 Ala Etkili Joksiyo Trasistör (JFET) 8. JFET Karakteristikleri ve Parametreleri 8.3 JFET i Polarmaladırılması 8.4 MOFET 8.5 MOFET i Karakteristikleri

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin.

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin. UYGULAMA- OLASILIK HESABI Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,...,

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

MONTE CARLO BENZETİMİ

MONTE CARLO BENZETİMİ MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,) rassal değişkeler kullaılarak (zamaı öemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da determiistik problemleri çözümüde kullaıla bir tekiktir. Mote Carlo simülasyou, geellikle statik

Detaylı

Şekil 2. Sabit hızla dönen diskteki noktanın anlık yüksekliğini veren grafik.

Şekil 2. Sabit hızla dönen diskteki noktanın anlık yüksekliğini veren grafik. FREKANS ve AYF Düzeli olarak tekrar ede olayları sıklığıı belirtmek içi kullaıla periyod kelimesi yerie birim zamada gerçekleşe tekrar etme sayısı da kullaılır ve bua frekas deir. Ayı şekilde periyodik

Detaylı

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects Uşak Üiversitesi Sosyal Bilimler Dergisi (2012) 5/2, 89-101 Yatırım Projeleride Kayak Dağıtımı Aalizi Bahma Alp RENÇBER * Özet Bu çalışmaı amacı, yatırım projeleride kayak dağıtımıı icelemesidir. Yatırım

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI . SINIF MATEMATİK KONU ÖZETLİ SORU BANKASI Mil li Eği tim Ba ka lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş ka lı ğı ı 4.8. ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi le ve - Öğ re tim Yı lı da iti ba re uy

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ - MANTIK İÇİNDEKİLER Safa No Test No ÖNERMELER...-... - BİLEŞİK ÖNERMELER...-... -6 AÇIK ÖNERMELER...-6... 7-8 İSPAT YÖNTEMLERİ...7-8... 9-9 - KÜMELER KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR...9-4... - KÜMELERDE İŞLEMLER...5-6...

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ.

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ. T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ İsmail AYDOĞDU Balıkesir, Hazira-009 ÖZET CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR

Detaylı