TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR"

Transkript

1 TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım f : A B foksiyou içi V A olsu. U V olmak üzere; ( ) ( ) f : U V B, f a = f a V V şeklide taımlı f foksiyoua f i V üzerie kısıtlaması deir. V

2 Taım f : A B bir foksiyo olsu. Domf =A ise f foksiyoua A ya göre global foksiyo deir. Taım f : A B ve g: B üzere; C iki foksiyo olsu. ( Ragef ) Domg olmak ( ο )( ) ( ( )) gο f : A C, g f a = g f a şeklide taımlı foksiyoa g ile f i bileşkesi deir ve gο f, g( f ) şeklide gösterilir. Taım f : A B bir foksiyo olsu. Ragef = B ise f foksiyoua örte foksiyo deir.

3 Taım f : A B bir foksiyo olsu. a1, a A içi f ( a ) = f ( a ) a = a oluyorsa f ye 1-1 foksiyo (ijectio) deir. 1 1 Taım örte foksiyolara bijeksiyo (bijectio) deir. Taım f : A B 1-1 ve örte foksiyo olsu. f ο g = I f ( A ) ve gof = olacak I f 1 ( B) şekildeki g foksiyoua f i tersi deir ve g = f 1 şeklide gösterilir. Bu taımda da alaşıldığı gibi f 1 of foksiyou yerie özdeşlik döüşümüü bir bileşke işlemide yerie yazarke dikkatli olmalıyız. poh ile pof 1 ofoh foksiyoları ayı foksiyolar değildir. pof 1 ofoh foksiyou poh foksiyouu bir kısıtlamasıdır.

4 Teorem f : A B ve g: B A, fog ve gof foksiyoları B ve A üzeride özdeşlik foksiyoları olacak şekilde iki foksiyo ise f, 1-1, örte ve g = f 1 dir. Taım A 1 ve A iki küme p : A A A, i= 1, i 1 (, ) p a a = a i 1 i i şeklide taımlı foksiyolara izdüşüm foksiyoları deir.

5 Taım f : A A1, g: B B1 şeklide verile iki foksiyo içi f g: A B A B 1 1 ( f g)( a, b) = ( f ( a), g( b) ) şeklide taımlı foksiyoa f ile g i kartezye çarpım foksiyou deir. Dom( f g ) = ( Domf ) ( Domg ) Taım Eğer öceki taımda f : A A1, g: A B1 şeklide özel halii göz öüe alırsak; ( f, g)( a) = ( f ( a), g( a) )

6 Dom( f, g ) = Domf Domg Bu taımları herhagi solu sayıdaki küme ve foksiyolar üzerie taşıyabiliriz. Taım :..., (,..., ) p A A A p a a = a i 1 i i 1 i f : A C, i = 1,,..., i i i f f... f : A A... A C C... C ( f1 f... f)( a1, a,..., a) ( f1( a1 ), f( a ),..., f( a )) (... ) = ( ) ( )... ( ) Dom f f f Domf Domf Domf 1 1 f : A C, i = 1,,..., i i

7 ( f1, f,..., f)( a) ( f1( a ), f( a),..., f( a )) (,,..., ) = ( ) ( )... ( ) Dom f f f Domf Domf Domf 1 1 f: A A1 A... A f i = pof i p i A i olmak üzere i f i 1,,..., = foksiyolarıa f i bileşeleri deir.

8 Problemler 1.1. :, :, : ve k: B1 B foksiyoları verildiğie göre 1. f A A1 g B B1 h A1 A ( h k ) o( f g ) = ( hof ) ( kog ) olduğuu gösteriiz.. f : A A, g: B B foksiyoları verildiğie göre, :, (, ) üzere po( f g ) = fop olduğuu gösteriiz. p A B A p a b = a olmak 3. f : A B, g: C D 1-1 foksiyolar ise f g i de 1-1 olduğuu ve ( ) f g f g = olduğuu gösteriiz. f A B g A C h B B k B B ve q: C C1 foksiyoları verildiğie 4. :, :, : 1, : göre

9 i) ( h, k ) of = ( hof, kof ) ii) ( h q) o( f, g ) = ( hof, qog ) olduğuu gösteriiz..1. FONKSİYONLAR VE SÜREKLİLİK Bu kısımda Öklid Uzayları arasıdaki foksiyoları özelliklerii gözde geçireceğiz. Dom f ( ) R de elemaıa bir tek resmii y f ( x) y m R ye taımlaa : ( ) f Dom f R m foksiyou; x Dom( f ) R m R oktası karşılık getire kural olarak taımlaır. x i f altıdaki m = yazarak belirteceğiz. f : A R de kastımız f foksiyouu taım kümesii A olmasıdır. Yai A daki her x elamaı içi f ( x ) iyi taımlıdır. A ı dışıdaki

10 elemalar içide f ( x ) iyi taımlı olabilir, A ı f içi maksimal taım küme olmasıda ısrar etmiyoruz. A f m R p of i = f i p R f : A R, 1 i m i, ( ) f x = y şeklide taımlı foksiyolara f i bileşe foksiyoları i ya da kısaca bileşeleri deir. O zama f ( x) ( f1 ( x),..., fm ( x) ) ( ) f = f,..., 1 fm şeklide belirteceğiz. i = veya daha kısaca olarak

11 Örek: a) f : R R 3, f ( x, y) = ( y, x, x+ y) 3 b) :, (,, ) f R R f x y z = xyz c) f :0, [ ) R ( ) ( ) 3, f x, y, z = x, x, x d) f : R 4 R 4, f ( x, x, x, x ) = ( x + x, x + x, x x, x x ) (,,, ) = +, (,,, ) f x x x x x x f x x x x = x + x, (,,, ) =, (,,, ) f x x x x x x f x x x x = x x olur.

12 Bu öreklerde foksiyolar formül yoluyla taımladı. Buula beraber foksiyoları kısıtlı şekilde taımlayacağıı da belirtelim. Mesela; f :1, [ ) R, kuralı f(x) i ( y + 1) e y = x deklemii çözümü şeklide taımlayabiliriz. ( y ) + 1 e y ; y ye göre arta olduğuda deklem bir tek çözüme sahiptir. Fakat f(x) içi herhagi formül yoktur. Bu bir foksiyoua ters foksiyoua örektir. Bu kou 4. bölümde iceleecektir. O halde yukarıdaki ham foksiyo taımıdaki geçerli kuralı tam olarak oluşturmak içi e yapmalıyız sorusuu sorabiliriz. Bu kesi taım bir foksiyouu grafiğii taımıı verdikte sora verilebilir. m f : A R R bir foksiyo ise G grafiği de R R m m kümesidir. ( x, y) R R içi ( x, y) G x A ve y f ( x) {( ) } i, ( ) = dir. G = x f x x A alt Bir foksiyou grafiği hakkıdaki bilgi f hakkıdaki her şeyi söylediğide f foksiyou G grafiği ile özdeşleir. O halde bir foksiyou kesi olarak taımlamak içi bu foksiyou

13 grafiğideki sıralı ikili kümesii özelleştirmek gerekir. Hagi sıralı ikilileri kümesi bir foksiyou grafiğidir? H, R m R i herhagi sıralı ikililerii kümesi olsu. H ı e az bir foksiyouu grafiği olması içi gerek ve yeter şart her (, ),(, ) olmasıdır. x y H x z H y = z Taım.. Bir f foksiyou ( x, y) G ve ( x, z) G y = z özelliğideki m G R R sıralı çiftleri kümesidir. Bu durumda f i taım kümesi de { } m ( ) = (, ), şeklide taımlaır ve ( ) (, ) Dom f x R x y G y R şeklide yazılır. Döüşüm(Map) ve foksiyo ayı alamdadır. m m f : A R bir foksiyo ve A 1 A içi f 1 : A 1 R, x A 1 y = f x x y G içi f ( x) f ( x) 1 = şeklide taımlı f foksiyoua f i 1 A 1 e kısıtlaması deir ve f şeklide yazılır. Bezer olarak A 1

14 m A A, g: A R ve x A tek olmadığı da bir gerçektir. içi g( x) f ( x) = ise f i geişlemesi deir. Böyle g i G { } = {( x, y) } şeklide verile sıralı çiftleri cümlesi içi G = ( y, x) sıralı çiftleri cümlesi de bir foksiyou grafiği olma özelliğii gösterebilir. Buu içi (, ),(, ) yx G yx G x= x olması gerekir. Eğer G bir f foksiyou grafiği ise f i olması x x f ( x ) f ( x ) olması ile taımlaır. f 1-1 ike G da kesi olarak bir 1 1 foksiyou grafiğidir. Bu foksiyoa f i tersi diyerek ( ) ( ) = = dir. 1 x f y y f x 1 f şeklide belirteceğiz. Kısaca

15 Eğer f : A S içi S f ( A) = oluyorsa f ye örte foksiyo(veya A yı S üzerie döüştüre döüşüm) deir. f : A S 1-1 ve üzerie ise f ye bijectio deir. f bijectio ise f 1 : S A da bijectivedir. Reel değerli foksiyou tersii olmadığıı belirlemek basit bir koudur. Reel değerli taım kümeside arta ve azala foksiyolar bu aralıklarda 1-1 dir. Bu türevi işaretide buluur. 4.Bölümde ivers foksiyou varlığıı göz öüe alarak türevii ivers bulmada kullaılıp kullaılamayacağıı göreceğiz. Şimdi öemli kavram ola sürekliliğe döelim. m Taım.3. f : A R R bir foksiyo olsu. a A olmak üzere; ε > 0 içi x A ve ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı buluabiliyorsa f ye a da süreklidir deir. Yada kısaca ε > 0, δ > 0 vardır. Öyle ki x A ve ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε şeklide gösterilir. Eğer a A içi f sürekli ise f ye A da

16 süreklidir deir. Bu yöteme ε δ şartı diyeceğiz. δ, ε a bağlı olduğu kadar a oktasıa da bağlı olabilir. Komşuluklara bağlı olarak; a A olmak üzere f ( a ) oktasıı herhagi ε komşuluğua karşılık; f ( A B( a, δ )) B( f ( a), ε ) olacak şekilde a ı bir δ komşuluğu varsa f ye a da süreklidir deir. Bu sezgisel ola x oktaları a ya yaklaşırke f ( x ) oktaları da f ( a ) ya yaklaşır şeklideki taıma kesilik kazadırır. Eğer x i a ya yaklaştığıı gözlemlediğimizde f ( x ) de f ( a ) ya yaklaşmalıdır. Ne şekilde olursa olsu x i a ya yaklaşması esasıda x i A içide kalması çok öemlidir.

17 Bir a oktasıdaki süreklilik lokal özellik olup, a ı komşuluğuda f i davraışıa bağlıdır. Eğer a, A ı yalız (izole) oktasıysa δ yı öyle küçük seçebiliriz ki x a < δ olacak şekilde x A şeklideki bir tek okta a ı kedisi olur. O zama taım sağlaır ve f foksiyou yalız(izole) oktada otomatikma süreklidir. Buula birlikte yalız oktalardaki sürekliliği öemi azdır.

18 . a δ ẋ Örek.4. :, ( ) f R R f x = x ile taımlası o zama f, R üzeride süreklidir. Yai orm foksiyou R de süreklidir. Çözüm: f ( x) f ( y) = x y x y eşitsizliğide x y < δ = ε f ( x) f ( y) < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O halde f her y R de süreklidir.

19 Örek.5. :, ( ) p R R p x = x i-yici izdüşüm foksiyou süreklidir. i i i Çözüm: ( ) ( ) p x p y = x y x y eşitsizliğide; ε > 0 içi i i i i i ( ) ( ) x y < δ = ε p x p y < ε olduğuda p i foksiyou süreklidir. i m Teorem.6. f : A R R olsu. Aşağıdaki ifadeler dektir. a) f, a A oktasıda süreklidir. b) A daki herhagi ( k ) { } x dizisi içi ( k) ( k) ( ) ( ) x a f x f a olur. İspat: (Fuctios Several Real Variable p.39)

20 m Teorem.7. :, (,..., ) süreklidir. = ise f, a A da süreklidir Her bir f i a da f A R f f1 f m m Teorem.8. f, g: A R R, a A da sürekli foksiyolar ve α R içi α. f, f + g ve m = 1 halide f. g foksiyoları da a A da süreklidir. İspat: h= α. f olsu. f sürekli olduğuda ε > 0 içi < ( ) ( ) x a δ f x f a < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O zama; ε > 0 içi < h( x) h( a) α f ( x) f ( a) x a δ = < αε

21 olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O halde h= α. f foksiyou a A da süreklidir. F = f + g olsu. f, g a A da sürekli olduğuda; ε1 > 0 içi ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε olacak şekilde δ1 > 0 sayısı vardır. Bezer şekilde g a A 1 1 da sürekli olduğuda ε 0 > içi x a δ g( x) g( a) sayısı vardır. O zama ε = ε1+ ε > 0 içi < < ε olacak şekilde δ > 0 < mi {, } = ( ) ( ) ( ) ( ) x a δ δ δ 1 ( ) ( ( ) ( )) ( f ( x) f ( a) ) ( g( x) g( a) ) F x F a = f x f a + g x g a + F( x) F( a) < ε1+ ε = ε

22 olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O halde F = f + g foksiyou a A da süreklidir. m = 1 halide ( f. g)( x) = f ( x) g( x) olmak üzere; ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) = ( f ( x) f ( a) ) g( x) + f ( a) ( g( x) g( a) ) f ( x) f ( a) g( x) + f ( a) g( x) g( a) f x g x f a g a f x g x f a g x f a g x f a g a eşitsizliği vardır. M 1 f ( a) g( a) = + + olsu. f a A da sürekli olduğuda ε > 0 içi ε x a < δ f ( x) f ( a) < M

23 olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. Bezer şekilde ε > 0 içi ( ) ( ) x a < δ g x g a < ε M olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O zama ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) g x g x g a g a g x g a g a ε < + g a < + M ( ) 1 g( a) olduğuda; ε > 0 içi;

24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a < δ f x g x f a g a f x f a g x + f a g x g a ε f x g x f a g a < g x + f a M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε < + + M ε M ( g( a) 1) f ( a) ( 1+ f ( a) + g( a) ) ε M < ε = ε M olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. Örek.9. :, (, ) f R R f x y = xy R üzeride süreklidir.

25 Çözüm :, (, ), (, ) f p x y = x p x y = y izdüşüm foksiyolarıı çarpımı olduğuda ve 1 izdüşüm foksiyoları da üzeride süreklidir. R üzeride sürekli olduğuda Teorem.8 i so halide f R Foksiyoları birleştirmei başka bir yolu da bileşke almaktır. Buu alamı bir f foksiyouu x oktasıa uygulayarak elde ettiğimiz f ( x ) görütüsüe başka bir g foksiyou uygulayarak g( f ( x )) görütüsüü elde etmektir. Buula birlikte; her f ( x ), g p i taım kümesie ait ise bu bileşke taımlıdır. Bu edele; f : A R R ve p g: B R R m, ( ) f A B bileşke foksiyo taımlaır. ise : m gof A R R, x A, ( gof )( x) g ( f ( x) ) = şeklide

26 p p Teorem.10. f : A R R, g: B R R m ve ( ) f A B olsu. f i a A da ve g i b= f ( a) B de sürekli olduğuu kabul edelim. O zama gof de a da süreklidir. İspat: g, ( ) ( ) ( ( )) f a da sürekli olduğuda y B ve 0 ε > içi ( ) y f a < ξ olur olmaz g y g f a < ε olacak şekilde ξ > 0 sayısı vardır. f, a da sürekli olduğuda ξ > 0 içi x A ve x a δ halde ε > 0 içi x a δ < olur olmaz ( ) ( ) < olur olmaz ( ) f x f a < ξ olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. O ( ) ( ( )) sayısı vardır. O halde gof foksiyou a A da süreklidir. g f x g f a < ε olacak şekilde δ > 0

27 Souç.11. g: A R R ( 1) m = a A da sürekli ve ( ) 0 g a olduğuu kabul edelim. 1 1 = g g x O zama ( x) ( ) foksiyou da a A da süreklidir. İspat: h: R { 0} R, hu ( ) süreklidir. g de a A da sürekli, ( ) 0 1 = şeklide taımlı foksiyo olsu. h taım kümeside u g a olduğuda B( a, δ ) üzeride ( ) 0 g a özellikli 1 g ( ) B( a, δ ) komşuluğu vardır. O zama x B( a, δ ) içi ( x) = h g( x) foksiyoları bileşkesi olur. O halde g, g( a) 0 ve a A da sürekli ise 1 g sürekli de a da süreklidir. f, g: R R, g( a) 0 özelliğide a da sürekli iki foksiyo ike

28 f g = 1 f. g foksiyou da Teorem.8 de a da süreklidir. Örek.1. f : R R, ( ) y f x, y = x y, 1 + x foksiyou R üzeride süreklidir. Çözüm: f ( xy) = xykoordiat foksiyolarıı çarpımı olduğuda ve f ( x, y) 1, y = 1 + x 1 de g( x, y) = 1 + x sürekli foksiyou ile y i çarpımıda oluştuğuda süreklidir. O halde Teorem.7. de f R üzeride süreklidir.

29 Örek.13. araştırıız. f : R R, f ( x, y) xy,, 0,0 = x + y 0,, = 0,0 ( xy) ( ) ( xy) ( ) foksiyouu sürekliliğii Çözüm: ( 0,0 ) oktası hariç diğer bütü oktalarda f i sürekli olduğu yukarıdaki çarpım ve resiprokaller üzerie verile souçlarda görebiliriz. ( 0,0 ) da ( 0,0 ) ı δ komşuluğudaki = xy x + y <ε ( x, y ) ler içi f ( x, y) f ( 0,0) olup olmadığıı araştıracağız. x 0 ve y = 0 içi f ( x,0) = 0 ve bu edele ε δ şartı sağlaır. Bezer şekilde ( ) oktalar içi de sağlaır. x 0, y x içi f ( x, x) f ( 0,0) 1 = olur. O halde = doğrusu boyuca (, ) 0, y, y 0 şeklideki 1 f x x = ve bu edele x 0 1 ε < içi ε δ şartı sağlamaz. Bu edele de f,

30 ( 0,0 ) da sürekli değildir. a ya yaklaşa x oktalarıı göz öüe alarak f ( ) x oktalarıı f ( a ) ya yaklaşıp yaklaşmadığıı düşümek uygu olur. Şimdi bu düşüceyi olgulaştıracağız. = < < cümlesie Taım.14. B ( a, ε ) { x R 0 x a ε} a R i delimiş ε -komşuluğu = delimiş açık yuvardır. deir ve B ( a, ε) B( a, ε) { a} Taım.15. f : A R R m olsu. a, A ı limit oktası ise (yai { } ise) x, a ya giderke f ( x ) i limiti (, δ ) ( ) (, ε ) b ( A a ) B( a, δ ) R ye eşit olması içi gerek yeter şart her 0 x B a A f x B b olacak şekilde δ > 0 sayısıı var olmasıdır. ε > içi

31 Bu taımda a oktasıı A kümesii bir limit oktası olmasıa ihtiyacımız vardır. Yai (, δ ) B a A, her δ > 0 içi e az bir okta kapsamalıdır. Buula birlikte a oktası A kümesii elemaı olmak zoruda değildir. Bu taıma dek ola ve dizileri kapsaya öerme olarak vereceğimiz bir taım daha vardır. Öerme.16. a, A R i bir limit oktası ve : f A R m bir foksiyo olsu. O zama ( ) ( k) ( k) { } lim f x = b x A, x a, k N x a içi ( k ) x a ike ( k ) ( ) f x b dir.

32 Tabii ki f, a da bir b limitie sahip olması içi gerek ve yeter şart f i her bir f i bileşeii a daki limitii b i b i bileşeie eşit olmasıdır. Öerme.17. f, g: A R R a) lim ( ) ( ) x a f x g x = b c b) ( )( ) ( ) m ve lim ( ) x a f x b lim α. f x = αlim f x = α. b, α R x a x a c) 1 m = içi ( ) ( ) ( ) ( ) = ve lim ( ) lim f x g x = lim f x lim g x = bc. x a x a x a g x = c olsu. O zama; x a *** A herhagi bir iç oktaya sahip değilke bu yapı bazı yalışlıklara yol açar. Mesela, { [ 0,1] } A = x x rasyoel sayı ve f : A R, f ( ) 1 x = olsu. f i A üzeride sürekli olduğu

33 kesidir. Buula birlikte f yi g :0,1 [ ] [ 0,1], g( x) 1, = 0, x A x A şeklide taımlı g foksiyouu A üzerie kısıtlamışı olarak göz öüe alabiliriz. g foksiyou [ 0,1 ] i herhagi bir oktasıda sürekli değildir. g kısıtlaması A üzeride sürekli olduğu halde g i A kedisi A ı herhagi bir oktasıda süreksizdir. Bir foksiyo sürekli ise bu foksiyou herhagi kısıtlaması da süreklidir. Yukarıdaki örekte de görüleceği gibi bir foksiyo sürekli ike bu foksiyou geişletilmesi sürekli olmak zoruda değildir. Daha öcede de belirttiğimiz gibi x a ike limite sahip ola f ( x ) içi a ya herhagi tarzda yaklaşılabilir. Özel olarak a ya bütü doğrular boyuca yaklaşmakta ayı cevabı verecektir. R de a da geçe ve doğrultusu u ola doğruu { x a tu t R} olduğuu biliyoruz. u yu doğrultu aldığımızda daima birim alacağız. = + kümesi

34 Öerme.18. f : A R R 0 ( ), a it ( A) lim f a+ tu = b olmasıı gerektirir. t olsu. lim ( ) f x = b olması her u doğrultusu içi x a İspat: lim ( ) f x = b ise ε 0 x a > içi, δ ( ) x a x a < f x b < ε olacak şekilde δ > 0 sayısı vardır. x a tu B ( a, δ ), 0 t δ f ( x) f ( a tu) B( b, ε) = + < < = + olur. O zama ( ) 0 < t < δ f a+ tu b < ε olacak şekilde 0 δ > sayısı vardır. Yai lim ( ) + = dir. f a tu b t 0 Bu öermei tersi doğru değildir. f doğrular boyuca limite sahip olabilir, fakat f i limite sahip olması gerekmez.

35 .. Süreklilik ve Kompaktlık Sürekli foksiyoları bir öemli özelliği de kompakt kümeleri kompakt kümelere döüştürmeleridir. R i altkümesii kompaktlığıda bu alt kümei sıırlı olmasıı kastedeceğiz. R de kapalı ve Teorem.19. K, olsu. O zama f ( K ) da R i kompakt bir altkümesi ve : m R i kompakt altkümesidir. f K R m K üzeride sürekli foksiyo İspat: (Fuctios of Several Real Variables p.44) Sürekli foksiyolar altıda e kapalı bir kümei görütüsüü kapalı olması ede sıırlı bir kümei görütüsüü sıırlı olması gerekir.

36 Örek.0. x 1 x a) f : R R, f ( x) = olsu. ( ) [ 0,1) + f R = olup R de e açık e de kapalıdır. Bu ayrıca açık bir kümei görütüsüü de açık olmak zoruda olmadığıı gösterir bir örektir. 1 x b) f :( 0,1 ) R, f ( x) = olsu. O zama f (( 0,1) ) = ( 1, ) Teorem.19 dakie bezer düşüceleri kullaarak sürekli foksiyoları sürekliliğii kou edie aşağıdaki teoremi verebiliriz. Teorem.1. K, R i kompakt altkümesi ve : foksiyo olsu. O zama 1 : ( ) f K R f f K K foksiyou süreklidir. m de K üzeride sürekli 1-1

37 İspat: (Fuctios of Several Real Variables ) Bu teorem K kompakt olmadığı zama doğru olmayabilir. Görütü kümesi R de yattığıda foksiyoları maksimum miimumları tartışılabilir. Taım.. f : A R R foksiyou verilsi. a A olmak üzere x A içi f ( x) f ( a) oluyorsa f, A üzerideki a oktasıda (global) maksimuma sahiptir deir. Bir a A oktasıı (, ) B a δ komşuluğudaki bütü x ler içi f ( x) f ( a) olacak şekilde δ - komşuluğu varsa f foksiyou a oktasıda (lokal) maksimuma sahiptir deir. Eğer bu eşitsizliklerde sadece eşitsizlik var ise tam (strict) global maksimum ve tam lokal maksimum terimleri kullaılır. Bu taımlarda yerie alarak global miimum, lokal miimum

38 taımları verilebilir. Maksimum ve miimum taımlarıı çalışmak aalizdekie bezer olup aalizdeki tekikleri kullaacağız. Teorem.3. f : K R R dif.bilir, K ve K kompakt olsu. O zama f, K üzeride bir global maksimum bir de global miimuma sahiptir. İspat: ( ) { }, ( ) M = Sup f x x K f K ı üst sıırlarıı e küçüğü olsu. Her boşta farklı reel sayıları sıırlı cümlesi bir supremuma sahip olduğuda M vardır ve soludur. Açık olarak f ( x) M, x K ve M bu özellikteki e küçük sayıdır. M i kompakt f ( K ) kümesie ait olduğuu gösterelim. Eğer M f ( K) ise M f ( K) c ve f ( K ) c olur. O zama M i ( M ε, M + ε ) şeklide bir ε komşuluğu vardır ve bu f ( ) açık K ı

39 oktalarıı kapsamaz. O halde x K içi ( ) f x M ε olup M ε bir üst sıırdır. Bu m i üst sıırları e küçüğü olması ile çelişir. O halde kabulümüz yalış yai M f ( K) olmak zorudadır. Yai; f ( x) M özellikli x K vardır. Miimum içi de ispat bezer şekilde yapılır. Yukarıdaki teoremde bir kompakt küme üzerideki sürekli foksiyo kedi sıırlarıı oluşturur. Örek.4. R üzerideki her orm Öklidye orma,, + x R αβ R içi α x x β x alamıda dektir. 1 1

40 Çözüm: { ei i 1,..., } =, R i stadart bazı ve M maks{ ei i 1,..., } = = olsu. x R içi x = xe olup üçge eşitsizliğide; i= 1 i i x x e x e ( 1... ) M x + + x M x 1 α = alıarak M α x x (1) 1

41 elde edilir. Ayrıca x, y R içi x y M x y eşitsizliği kullaılarak. 1 1 foksiyouu sürekli olduğu gösterilir. O halde 1. foksiyou S = { x R x = 1 } kompakt kümesi üzeride kedi m e küçük alt sıırıı oluşturur. z 0 olduğuda x x m= z > 0 ile gösterelim. z 0 içi x= x yazabiliriz. x = x m x 1 1 x x 1 olup β = alarak; m 1 x 1 x () m 1 buluur. (1) ve () eşitlikleride

42 1 1 x x x M m 1 1 eşitsizliği buluur. O halde. ve. bu alamda dektirler. 1 Bir x oktasıı bir A kümesie uzaklığı dist ( x, A) if{ x a a A} = şeklide taımlaır. Geel olarak; ifimumu oluşturacak şekilde a A oktası bulumayabilir. Buula birlikte eğer A kompakt ise ifimumu daima vardır. Bu orm foksiyouu sürekli olmasıı bir soucudur ve Örek.4. edeiyle ormla erede çalışılırsa orada daima sağlaır. x i yakııda a A oktası var olduğuda bu a tek olmak zoruda değildir. Mesela; x = 0

43 elemaı ve A { a a 1} = = kümesii göz öüe alırsak a tek değildir. A ı şeklii oyuu bir parçası olarak görebiliriz. Bua ait öemli bir düşüce de A ı koveksliğidir. Taım.5. C, R i bir altkümesi, { } x y C içi x i y ye birleştire ( 1 t ) x + ty 0 t 1 doğru parçası daima C de kalıyorsa C ye R i koveks altkümesi deir. *** Bu geometrik yaklaşım C i sıırı C i içide dışa doğru köşelemiş ve kearlar oyulmamıştır. Düz doğru parçalarıı oluşmasıa müsaade edilmiştir. Örek.6. Açık ve kapalı yuvarlar kovekstir. Çözüm: C B( z, r) = ve x, y C olsu. O zama x z < r, y z < r ve üçge eşitsizliğide 0 t 1 içi

44 ( 1 t) x+ ty z = ( 1 t) x ( 1 t) z+ ty tz = ( 1 t)( x z) + t( y z) ( 1 t) ( x z) + t ( y z) ( 1 t) r+ tr = r olur. O halde x, y C ile sıırlı doğru parçası C i içide kalır. Kapalı yuvarlar içide ispat bezer şekilde yapılır. Öerme.7. C, R de kapalı koveks küme olsu. O zama miimum ormlu bir tek c oktası vardır. Yai; 0 a yakı bir tek c C oktası vardır. İspat: d if { y y C} C = olsu. O zama d = 0 ise 0 C ve ispatlaacak bir şey yoktur. O halde 0 C olsu. c = d olacak şekilde tam bir tae c C i var olduğuu göstermek

45 istiyoruz. Eğer C sıırlı olsaydı böyle c i varlığı garati olacaktı çükü sürekli foksiyou kompakt küme üzeride ifimumua ulaşır. Buula birlikte C burada sıırlı olmak zoruda olmamasıa rağme C C B( 0, d 1) = + i göz öüe alarak bu yapıyı bu hale idirgeyebiliriz. O zama C kompakt ve miimal ormlu c C var ve bu C i miimal ormlu bir oktasıdır. Böylece herhagi orm içi miimum ormlu oktaı varlığı gösterilmiş olur. Teklik sadece C i koveksliğie bağlı değil ayı zamada komşuluklar Öklidye ormu tam kovekslik özelliği dediğimiz aşağıdaki özelliğe sahip olmasıa bağlıdır. Eğer x = y = d ve x y ise x+ y < r oluyorsa tam kovekstir deir. Bu x + y + x y = x + y şeklideki paralel kear kuralıda heme görülür. Şimdi tekliği gösterelim.

46 x = y = d ve x y olduğuu kabul edelim. O zama ormu tam kovekslik özelliğide x+ y O halde x < d ve C koveks olduğuda = y olmak zorudadır. Bu ise tekliği ispatıdır. x+ y C ve buu ormu d de daha küçük olamaz. Hatırlatma: Öklidye orm kullaıldığıda varlık içi kompaktlık gerekli değildir. a oktasıda ε δ şartı ε 0 > içi x a δ f ( x) f ( a) < < ε olacak şekilde bir δ (a veε a bağlı) sayısıı var olduğuu söyler. Özel bir ε içi ayı δ her a A içi çalışabilir. Bu güçlü özelliğe düzgü süreklilik deir ve bu özellik f i bir global özelliğidir.

47 m Teorem.8. f : A R R foksiyouu göz öüe alalım. ε > 0 içi x, y A ve ( ) ( ) x a < δ f x f a < ε olacak şekilde sadece ε a bağlı bir δ sayısı varsa f ye A üzeride düzgü süreklidir deir. Yukarıdaki Örek.4. herhagi orm foksiyou düzgü sürekli olduğuu gösterir. Bu bir foksiyou A üzeride düzgü sürekli olması A ı her bir oktasıda sürekli olmasıı gerektirdiğide açıktır. Buu tersi her zama doğru değildir. Bua basit bir örek; 1 f :( 0, ) R, f ( x) = x foksiyoudur. Herhagi 0< δ < 1 özelliğideki δ içi x= δ, y = δ alırsak;

48 f ( x) f ( y) = = > δ δ δ olur. Bu ise f i düzgü süreklilik şartlarıı sağlaması içi mümkü değildir. Bu foksiyo bölüm kuralı gereğice her a > 0 oktasıda süreklidir. Fakat δ, a ya bağlıdır. Buula birlikte f i taım kümesi kompakt olduğuda süreklilik düzgü sürekliliğe dektir. m Teorem.9. f : K R R, kompakt K kümesi üzeride sürekli olsu. O zama f, K üzeride düzgü süreklidir. İspat: (Fuctios of Several Real Variables p.49).6. Topolojik Kavram Olarak Süreklilik

49 Açık(kapalı) kümeleri sürekli döüşümler altıdaki görütülerii açık(kapalı) olmasıı gerekmediğii görmüştük. Buula beraber ters görütüleri daha iyi olur. m f : A R B R bir foksiyo ve T de B i bir alt kümesi olsu. T i f altıdaki ters 1 görütüsü f ( T ) { } 1 şeklide gösterilir ve ( ) ( ) f T = x A f x T kümesidir. Yai bu, f altıdaki görütüleri T de yata A ı elemalarıı cümlesidir. Eğer f, 1-1 ise ( 1 T, f ( A ) da kapsaır ve f ( T ) de 1 f altıda T i görütüsüyle çakışır. 1 f var) ve m m Lemma.59. f : A R R bir foksiyo ve S A, T R olsu. O zama; ( ) f f T T 1 1 a) S = f ( T) f ( S) T, yai ( ) b) ( ) 1 1 T = f S S f ( T), yai S f ( f ( S) ) İspat:.

50 ( ) a) x f ( T) içi y = f ( x) olacak şekilde y f f ( T) alalım. f ( T ) bu x A ve f ( x) T dir. Yai y T dir. b) S A olduğuu göz öüe alalım. x S ( ( )) 1 x f f S. ise f ( x) f ( S) i taımıda ve böylece taımda (a) ve (b) de eşitlik, geel alamda sağlamaz. Buu (a) içi görmek istersek; T f ( A) yai f örte olmalıdır. (b) içi f : R R, f ( x) x 1 zama [ 0,1] = T = f ([ 0,1] ) fakat ([ 0,1] ) [ 1,1] 1-1 olmasıyla mümküdür. = foksiyouu göz öüe alalım. O f = olur. (b) de eşitliği sağlaması içi f i Topoloji derside bir küme üzeride sürekliliği taımı geellikle Her açık kümei ters görütüsü de açıktır. Şeklide özetleir. f i taım kümesi üzerideki topoloji R

51 uzayıda ortaya çıkar. Bu edele A üzerideki rölatif topolojidir. Şimdi bu kavramları açıklayalım.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı 5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK GERÇEL ANALİZ Hüseyi IRMAK Prof. Dr. Hüseyi IRMAK Çakırı Karateki Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Çakırı 207 2 . BÖLÜM DİZİ KAVRAMI Dizi kavramı matematik bilimide oldukça kullaışlı

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 009 ANKARA Muhib ABULOHA tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLAR

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak

Detaylı

GİRİŞ. Daha karmaşık yapıda olan ve bu ders kapsamına girmeyen denklemler için örnekler ise;

GİRİŞ. Daha karmaşık yapıda olan ve bu ders kapsamına girmeyen denklemler için örnekler ise; GİİŞ Matematik bakış açısıyla doğrusal modelleri büyük bir avataı vardır. Doğrusal olmaya sistemleri matematiği aalitik yötemlerle oldukça zordur ve geellikle bir ümerik bir çözüm elde edebilmek içi bilgisayar

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322 Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ. Sezgin OĞRAŞ

STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ. Sezgin OĞRAŞ T.C DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ Sezgi OĞRAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Temmuz DİYARBAKIR TEŞEKKÜR

Detaylı

DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR

DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR M herhagi bir küme olsu. i) x: M R ii) V = Rg( x) R açık cümle olmak üzere; Dom( x) = U içi U x R x i = Pox i P i i R ( ) ( U, x) ikilisie -boyutlu harita, x( m) x ( m),...,

Detaylı

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ESRA ULUOCAK DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK

Detaylı

Veri nedir? p Veri nedir? p Veri kalitesi p Veri önişleme. n Geometrik bir bakış açısı. n Olasılıksal bir bakış açısı

Veri nedir? p Veri nedir? p Veri kalitesi p Veri önişleme. n Geometrik bir bakış açısı. n Olasılıksal bir bakış açısı Veri edir? p Veri edir? Geometrik bir bakış açısı p Bezerlik Olasılıksal bir bakış açısı p Yoğuluk p Veri kalitesi p Veri öişleme Birleştirme Öreklem Veri küçültme p Temel bileşe aalizi (Pricipal Compoet

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğreciler, Matematik ilköğretimde üiversiteye kadar çoğu öğrecii korkulu rüyası olmuştur. Bua karşılık, istediğiiz üiversitede okuyabilmeiz büyük ölçüde YGS ve LYS sıavlarıda matematik testide

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar

Detaylı

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK)

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK) MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK) Prof. Dr. Meti OLGUN Akara Üiversitesi Ziraat Fakültesi Tarımsal Yapılar ve Sulama Bölümü HAFTA KONU 1 Giriş, temel kavramlar, statiği temel ilkeleri 2-3 Düzlem kuvvetler

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR

IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bölüm 1 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bir öceki bölümde bir yüzeyi oktalar yeterice küçük kom³uluklaryla ilgileebildik. Bu prosesi soyut realizasyou içi, souçta bizi diferesiyelleebilir maifold

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir.

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir. 35 Yay Dalgaları 1 Test 1'i Çözümleri 1. dalga üreteci 3. m 1 2m 2 Türdeş bir yayı her tarafıı kalılığı ayıdır. tma türdeş yay üzeride ilerlerke dalga boyu ve hızı değişmez. İlk üretile ı geişliği büyük,

Detaylı

Diferansiyel Geometri

Diferansiyel Geometri Öklid Uzayıda Diferasiyel Geometri Salim Yüce Prof. Dr. DİFERNSİYEL GEOMETRİ ISBN 978-605-318-812-4 DOI 10.14527/9786053188124 Kitap içeriğii tüm sorumluluğu yazarlarıa aittir. 2017, PEGEM KDEMİ Bu kitabı

Detaylı

FONKSİYONLAR. Örnek: (2x-2,y-3)=(10,-3) olduğuna göre x ve y sayılarını bulunuz.

FONKSİYONLAR. Örnek: (2x-2,y-3)=(10,-3) olduğuna göre x ve y sayılarını bulunuz. 1 FONKSİYONLAR Sıralı İkili: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, aa ve bb iken (a, b) ifadesine bir sıralı ikili denir. Burada a ya, sıralı ikilinin birinci bileşeni, b ye de ikinci bileşeni denir.

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LATİS SIRALANMIŞ -BÖLÜNEBİLİR RUPLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA,008 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LATİS SIRALANMIŞ -BÖLÜNEBİLİR

Detaylı

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ Tezi Hazırlaya Abdulkadir KURAG Tez Daışmaı Doç. Dr. Necdet BATIR Matematik Aabilim Dalı Yüksek

Detaylı

DERS 5. Limit Süreklilik ve Türev

DERS 5. Limit Süreklilik ve Türev DERS 5 imit Süreklilik ve Türev İlk dersimizi solarıda, it sözüğü kullaılmada bu sözükle iade edile kavram ele alımıştıbak.. Bu dersimizde, it kavramıa biraz daa akıda bakaağız ve bu kavram ardımıla süreklilik

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

BÖLÜM 3. ile gösterilir. m-boyutlu öklit kümesini tanımlayan m adet kümenin kartezyen (Catesian) çarpımı,

BÖLÜM 3. ile gösterilir. m-boyutlu öklit kümesini tanımlayan m adet kümenin kartezyen (Catesian) çarpımı, BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusal regresyo tek değişkeli basit model olarak ele alıarak açıklamıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

Analitik. Geometri. Prof. Dr. Salim YÜCE

Analitik. Geometri. Prof. Dr. Salim YÜCE Aalitik Geometri Prof. Dr. Salim YÜCE Prof. Dr. ANALİTİK GEOMETRİ ISBN 978-605-318-811-7 DOI 10.14527/9786053188117 Kitap içeriğii tüm sorumluluğu yazarlarıa aittir. 2017, PEGEM AKADEMİ Bu kitabı basım,

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI 44 İÇİNDEKİLER I. CEBİRSEL TEMELLER A) Lieer Vektör Uzayları B) Lieer Bağımsızlık ve Boyut C) Skalar Çarpım ve Norm D) Hilbert Uzayları

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı