STATİK. Ders Notları. Prof. Dr. Muzaffer TOPÇU PAÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği DENİZLİ. o x. 200N 100N/m 500N. A 1m 1m 1m.

Transkript

1 STTİK Ders Notları N C D o k Nm 5N N N/m m m m m m Prof. Dr. uzaffer TOPÇU PÜ. ühendislik akültesi akine ühendisliği DENİZLİ

2 İÇİNDEKİLER. Genel Prensipler. Giriş. Temel Kavramlar. Temel İlkeler. Vektörler ve Kuvvetler. Giriş. Vektörlerin Toplanması ve Çıkarılması. Vektörlerde Çarpma. addesel Noktanın dengesi.5 Çözümlü Örnekler. ir Kuvvetin ir Eksene Göre omenti. ir Kuvvetin ir Eksene Göre omenti. Varignon Teoremi. Kuvvet Çiftleri. Kesişen Düzlemlerdeki Kuvvet Çiftleri ve kuvvet çiftlerinin bileşkesi.5 Kuvvet Sistemlerinin ileşkesi.6 Çözümlü Örnekler. Rijit Cisimlerin Dengesi. Giriş ve Tanımlar. esnetler ve esnet Reaksionları. Üç erden puntalanmış düzlem apılar. Uza Yapılar.5 Çözümlü Örnekler 5. ğırlık erkezi 5. Giriş ve Tanım 5. irleşik lanların ğırlık erkezleri 5. ğırlık erkezinin İntegrasonla ulunması 5. Dönel cisimler (Pappus Guldin Teoremleri) 5.5 Çözümlü Örnekler 6. lan ve Kütle talet omentleri 6. Giriş ve Tanım 6. Paralel Eksenler Teoremi 6. irleşik Cisimlerin talet omentleri 6. sal talet omentleri ve sal Eksenler 6.5 Kütle talet omentleri 6.6 Çözümlü Örnekler 7. Kirişlerde Kesme Kuvveti ve Eğilme omentlerinin Hesaplanması ve Diagramları 7. Giriş ve Tanım 7. Kesme Kuvveti ve Eğilme omenti 7. Kesme Kuvveti ile eğilme momenti arasındaki ilişki 7. Kesme Kuvveti ve Eğilme omenti Diagramlarının Pratik Olarak Çizilmesi 7.5 Çözümlü Örnekler

3 8. Kafes Sistemleri 8. ir Kafes Sisteminin Tanımı 8. asit Kafes Sistemleri 8. İzostatik ve Hiperstatik Sistemler 8. Kafes Sistemler için Genel ilgiler 8.5 Kafes Sistemlerinin İzostatik Olma Şartı 8.6 Çubuk Kuvvetlerinin Taini 8.7 Çözümlü Örnekler 9. Çerçeve ve akinalar 9. Giriş ve Tanımlar. Sürtünme. Giriş. Kuru Sürtünme ve Kanunları. Sürtünme Kanunları. Sürtünme Katsaıları ve Sürtünme çıları

4 Kanaklar. J. L. eriam (Çevirenler: E. Erdoğan,. Savcı, Tuncer Toprak), Statik irsen aınları, 99, İstanbul.... eer, E. R. Johnston (Çevirenler:. Keskinel, T. Özbek), ühendisler için ekanik(statik), 985, İstanbul.. ustafa İnan, Statik Ders Notlar,99, İTÜ.. Ekrem Pakdemirli, Örnekleri ile ühendislik ekaniği, 975, nkara. 5. S. Timeshenko, D., H., (Çeviren: İlhan Kaan), ühendislik ekaniği. 6. E. Kıral, V. Haktanır, ühendislik ekaniği, Çukurova Üniversitesi, DN

5 ÖLÜ GENEL PRENSİPLER. GİRİŞ ekanik, kuvvet etkisi altında cisimlerin denge ve hareket şartlarını inceleen bir bilimdir. ekanik üç ana bölüme arılır. u bölümler: Rijit cisim mekaniği, Elastik cisim mekaniği ve kışkanlar mekaniğinden oluşmaktadır. EKNİK Rijit Cisim ekaniği Elastik Cisim ekaniği kışkanlar ekaniği a. Statik b. Dinamik a. ukavemet a. Sıkıştırılabilen kışkanlar b. Sıkıştırılamaan kışkanlar Rijit cisim mekaniği, diagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikie arılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareket halindeki cisimlerle uğraşır. Statik, kuvvet etkisi altında cisimlerin denge şartlarını inceleen bir bilim dalıdır. Statik e ait ilk prensipler ve kanunlar kaldıracın bulunması ile başlamıştır. rchimedes denge kanunu ve kaldıraca ait ilk formülleri azmıştır. ugüne gelincee kadar birçok bilim adamı bu konuda çalışmışlardır. azı bilim adamları şöle sıralanabilir. Galile, Stevinus, Varignon, Newton, D lembert, Langrange ve Hamilton Statik te duran katı cisimler ile kuvvet arasındaki denge şartları incelenir. Yani cismin fiziksel davranışı (uzama, kısalma, eğilme, hareket, hız vb. ) ile uğraşılmaz, dengelenmiş kuvvetler ve bunun geometrisi araştırılır. Gerçekte kuvvet etkisi altında cisimler bir miktar da olsa şekil değiştirirler. u şekil değiştirmeler, a çok küçük olduklarından denge şartlarının incelenmesinde göz önüne alınmaz ada cismin şekil değiştirmediği farzedilir. ir başka deişle statik rijit cisimlerin kuvvet ve boutları arasındaki etkileşimi inceler.

6 . TEEL KVRLR.. Kuvvet Kuvvet, tatbik edildiği cisimlerin bulundukları konumları değiştirmee çalışan fiziksel bir etki olarak tanımlanabilir. Eğer bir cisim ip, zincir vb. ile bir ere Şekil. de görüldüğü gibi asılmış ise er çekimi etkisi ile ipi vea zinciri, düşe doğrultuda ağırlığı kadar bir kuvvetle aşağı doğru çekmektedir. Kuvvet noktasından etki etmektedir. Yönü aşağı ve doğrultusu dir. W W Şekil. Şekil. de görüldüğü gibi kuvvetin tam olarak tanımlanabilmesi için; a. Kuvvetin şiddeti () b. Tatbik noktası() c. Doğrultusu() d. Yönü(şağı) bilinmelidir. Yukarıdaki kuvveti tanımlaan bu dört öğee kuvvetin elemanları denir. Kuvvet gibi şiddeti, tatbik noktası, doğrultusu ve önüle tanımlanan büüklüklere Vektörel büüklükler denir. Kuvvet gibi ısı akışı, hız, ivme birer vektörel büük iken, sıcaklık ve kütle skaler büüklüktür... adde adde, uzada er kaplaan her şedir. ir cisim, kapalı bir üzele çevrelenmiş bir maddedir... Cisim Tanım olarak cisim, uzada er kaplaan her şe cisim olarak adlandırılır. Cisimler çeşitli şekillerde (katı, sıvı, gaz vb) olabilir. Davranışları çeşitli şekillerde modellenebilir. ekanikte cisimler davranışına göre, rijit, elastik, elasto-plastik, vizkoelastik cisim olarak adlandırılır. Statikte ise cisimler rijit olarak kabul edilir. Yani cisimler kuvvet etkisi altında hiç şekil değiştirmezler.

7 .. talet talet, maddenin, hareketteki değişikliğe karşı direnç gösterme özelliğidir.. TEEL İLKELER Elamenter mekanik, denelerden elde edilen altı temel ilkee daanır.u ilkeler statik içinde geçerlidir... Paralel Kenar Kanunu ir cismin herhangi bir noktasına etkien, iki kuvvetin etkisi, bir paralel kenarın köşegeni ile gösterilen tek bir kuvvetin etkisine denktir. u kuvvete ileşke kuvvet denir. şağıdaki r r şekil. de görüldüğü gibi a ve b vektörlerinin toplamı paralel kenar kuralına göre c r vektörüne eşittir. b γ c a Şekil. Vektörel olarak bu toplam c a b şeklinde tanımlanabilir. Eğer iki vektör arasındaki açı γ ise bileşkenin şiddeti c a b ab cosγ (..) dir. una kosinüs kanunu denir. Kuvvetlerin toplanmasında Sinüs kanunu da kullanılır. α b γ c β a Şekil.

8 Şekil. den görüldüğü üzere, αβγ8 ο (..) a b c (..) sin( α) sin( β ) sin( γ ) Yukarıdaki ifade de vektörlerin (Kuvvetlerin) toplanmasında kullanılabilir... Newton un. Kanunu Denge halindeki kuvvetlerin etkisinde bir maddesel nokta, a sabit durur a da doğrusal hareket eder... Newton un. Kanunu ir maddesel noktanın ivmesi, ugulanan bileşke kuvvetin büüklüğü ile doğru orantılıdır. İvme, kuvvet ile anı doğrultu ve öndedir... Newton un. Kanunu ma (..) Temas halindeki cisimlerin temas noktasındaki etki ve tepki kuvvetleri anı doğrultuda ve şiddette fakat zıt önlüdür. W W W z Şekil. R Şekil. deki top bir düzlem üzerinde durmaktadır. Düzlemde, ani, doğrultularında top harekete karşı serbest olduğu halde düşe doğrultuda (z önünde) hareket serbestliği oktur. u kanuna göre düzlemin topa gösterdiği tepki kuvveti RW dir. Statikte, harekete karşı tamamıla serbest olmaan cisimlerin denge şartlarını incelemek zorunda kalırız. Cismin herhangi bir doğrultu ve öndeki serbest hareketine mani olan şee ağ denir. Dolaısıla orada doğan kuvvete de ağ Kuvveti denir. İlerleen bölümlerde bağlar ve bağ kuvvetleri detalı bir şekilde incelenecektir...5 Süperpozison ve Kaıcılık İlkesi ir rijit cismin bir noktasına etkien bir kuvvetin erine, anı tesir çizgisi üzerinde, anı şiddet, doğrultu ve önde, fakat başka bir noktaa etkien bir kuvvet konulursa, rijit cismin denge ve hareketinde bir değişiklik olmaz. u durum şekil.5 de gösterilmiştir.

9 Şekil. Şekil.5..6 Genel Çekim Kanunu Kütleleri ve m olan iki maddesel nokta karşılıklı olarak eşit ve zıt önlü ve kuvvetleri ile şekil.6 da görüldüğü gibi birbirini çeker. Cisimler arasındaki bu çekime Newton un gravitason kanunu denir ve aşağıdaki formülle izah edilir. : İki maddesel nokta arasındaki karşılıklı çekim kuvveti G : Gravitason sabiti d : addesel noktaların merkezleri arasındaki uzaklık, m : addesel noktaların kütleleri. m G. (..) d m G cm /grsn d Şekil.6 Gravitasonal kuvvetler, her cisim çifti arasında mevcuttur. Yerüzü üzerinde, ölçülebilen tek gravitasonal kuvvet, erin çekiminden ileri gelen kuvvettir.(..) ve (..) nolu denklemlerin birleşiminden, düşen cismin kütlesi birbirini götürerek, g ivmesi, G g d (..5) dir. Yerüzüne göre g nin değeri, ekvatorda 9.78 m/s, 5 lik enlemde 9.8 m/s ve kutuplarda 9.8 m/s olarak bulunmuştur. Çoğu mühendislik problemlerinde, g nin değeri 9.8 m/s olarak almak ugundur. ir cismin kütlesini, genel çekim kanunula hesaplamak mümkündür. Cismin ağırlığının değeri, W ise ve cisim g ivmesi ile düştüğüne göre (..) nolu denklemden, bulunur. Wmg (..6) 5

10 ÖLÜ VEKTÖRLER VE KUVVETLER. GİRİŞ Çevremizdeki büüklükler, alan, hız, hacim, kütle vb. genellikle iki şekilde adlandırılır. Skaler ve vektörel büüklükler. Skaler: Sadece fiziki büüklüğü olan sıcaklık, kütle, alan gibi değerlere skaler dioruz. Vektör: iziki büüklüğü anında birde önü ve doğrultusu olan hız, ivme, kuvvet ve moment gibi değerler vektör olarak adlandırılır. Vektörel ifadeleri skalerden aırmak için a üzerinde bir ok( v r ) vea alt cizgi ( v ) olarak gösterilirler. Vektörler kendi doğrultusunda kadırılabiliorsa bunlara kaan vektör başlangıç noktası sabit ise böle vektörlerede bağlı vektörler denir. Skaler büüklükler için geçerli olan dört işlem (toplama, çıkarma, çarpma bölme) ve diğer matematiksel (türev, integral) işlemler vektörler içinde vektörlere has öntemlerle apılabilmektedir.. VEKTÖRLERİN TOPLNS VE ÇKRLS ilinen iki vektör r ve r olsun. u iki vektörün taplamına R r dielim. Paralel kenar kanunu vasıtasıla şekil. de bu toplam R r r r şeklinde verilir. ve, vektörlerin bolarını gösterdiğine göre vektörlerin toplamı geometrik olarak şekil. gibi verilebilir. r r r r r R r r θ α r r R r r r r R r r r r r R r r r Şekil. İki vektörlerin toplanmasının geometrik gösterimi u vektörlerin arasındaki açı θ ise toplamın şiddeti şu şekilde azılabilir. Vektörün şiddeti iki cizgi arasında gösterilir. 6

11 R ± Cos( θ ) (.) vektörü ile R vektörünün aptığı açı şu şekilde azılabilir. Vektörlerin toplanması için dört temel metot vardır. a) Paralel kenar metodu b) Üçgen metodu c) Poligon metodu d) nalitik metot sin( θ ) α arctan (.) cos( θ ) İlk iki metot genellikle iki vektörün toplanmasında diğer iki metot ise ikiden çok vektörün toplanması durumunda kullanılılır. unları sırasıla ele alalım. a) Paralel kenar metodu ir noktada kesişen iki vektör bir paralel kenara tamamlanırsa vektölerin kesim noktasından geçen köşegen o vektörlerin toplamına eşittir. Paralel kenara tamamlama ölçekli bir çizimle apıldığında köşegenin bou ölçülerek bileşke kuvvetinşiddeti bulunabileceği gibi cebirsel olarakta bileşke kuvvetin şiddeti ve önü hesaplanabilir. Şekil.. de geometrik çizim verilmiştir. r N R r θ α sin(θ) O r K cos(θ) L Şekil. Paralel kenar kuralı ile kuvvetlerin toplanması (OL) üçgeninden bileşke kuvvet aşağıdaki gibi azılabilir rıca ukarıdaki dik (OL) üçgeninden _ / O R [ ( OK cos( θ )) ( sin( θ ) ] R [ ] Cos( θ ) sin( θ ) tan( α) ve α tan - sin( θ ) cos( θ ) cos( θ ) 7

12 daha önce bulduğumuz formüller ile anı ifadeleri bulduk. O halde paralel kenar kuralı ile vektörlerin toplamı ve önü bulunabilmektedir diebiliriz. rıca ukarıdaki formüllerden şu özel durumlar sölenebilir.. θ o iki vektör çakışıktır.. θ9 o iki vektör birbirine diktir. u durumda şunlar azılabilir. R [ ] ) ve α tan -. θ8 o ise iki vektör anı doğrultudada olup önleri zıttır. R r r - r ise α o ve > vea α 8 o ve < dir. b) Üçgen etodu r ve r verilen iki vektör ise r vektörünün ucundan(ok tarafı) r vektörüne paralel ve anı şiddette bir vektör çizilir. r vektörünün başlangıç noktası ile r vektörünün uc noktasını birleştiren doğru R r bilişke vektörünün şiddetini r dan r e doğru R r nin önü bulunur. Şekil. de üçgen metodunun ugulaması görülmektedir. r r θ r α r R r r r Şekil. üçgen metodunun ugulaması c) Poligon etodu u metot üçgen metodun genişletilmiş halidir. İkiden fazla vektörün toplanması için kullanılan geometrik bir toplama metodudur. ilinen üç vektör,,c olsun vektörlerden birini çizdikten sonra diğer vektörleri kendi ön ve doğrultusuna sadık kalarak çizilen ilk vektörün uç noktası ile diğer vektörün başlangıcı birleştirilir. nı işlem sonraki vektör içinde ugulanır. İlk çizilen vektörün başlangıç noktası ile son cizilen vektörün bitim noktası birleştirilirse R bileşke kuvveti; şiddet ve ön olarak bulunmuş olur. urada işlem sırası ve vektörlerin birbirini kesmesi önemli değildir. Şekil. de üç vektör için metodun ugulanışı gösterilmiştir. r r r C r r C r r r r r R C Şekil. Poligon metodu 8

13 d) nalitik etot ir vektörü (birbirine dik doğrultularda) kartezen koordinat sisteminde iki bileşene aırmak mümkündür. Vektörün eksenlerden birisi ile aptığı açı θ ise.vektör sin(θ) ve cos(θ) ile çarpılarak dik koordinatlardaki izdüşümü bulunabilir. Şekil.5 de görüldüğü gibi vektör ve eksenleri önünde bileşenlere arılabilir. Şekil.5 ir vektörün bileşenlere arılması Şekil de bir kuvvet için apılan bu bileşenlere aırma birden fazla vektör içinde apılabilir. Sonra bu bileşenler cebirsel olarak toplanırlar. ütün vektörlerin önündeki bileşenleri R ve önündeki bileşenleri R olmak üzere bu işlemler birden çok kuvvet için apılmış ise, R... n R... n Vektörlerin toplamı [ ( R) ( ) ] R R R ve α tan - R İfadeleri azılabilir. Eğer R ise R ve R olması gerektiği toplamanın özelliğinden görülmektedir. 9

14 Örnek : r 6N r 95N 5 95cos 8. N 6 cos N 95sin 7. 5N 6sin5 6. N. N 6. Y 6N (.) (6.6) 67, N α tan (6.6 /.) α o 7,6 α Şimdie kadar bir düzlem içinde bulunan vektörlerden bahsettik. Uzada ukarıdaki öntemlerle vektörel işlemleri apmak zordur. Uzada vektörleri üç dik eksendeki bileşenleri ile azmak gerekir. unun için birim vektörleri tanımlamak gerekmektedir. u vektörler sırasıla,,z eksenleri bounca i, j, k olarak bilinir. u vektörlerin boları bir birimdir. ir skaler ile bir vektörün çarpımıda anı önde bir vektör vermesi tanımından, uzadaki bir vektörü aşağıdaki gibi azabiliriz. z k i j Şekil.6 irim vektör

15 Düzlemde bir vektörün gösterilimi ve birim vektörler Şekil.7 deki gibidir. θ j i i tan j ( θ ) Şekil.7 r r r r i j zk urada,, z skaler terimleri, r nün sırasıla,,z eksenleri önündeki bileşenlerinin şiddetleridir. Şekil.8 de uzada bir r nün bileşenleri gösterilmiştir. Şekilden de anlaşılacağı gibi,, z bileşenleri r nün üç noktasının koordinatlarıdır. O halde vektörün başlangıç noktası orijin ve bitim noktasının koordinatları (,, z ) olarak verilirse, r r r r r i j z k ve olarak azmak mümkündür. z z z i r k r α γ r β j r Şekil.8 vektörün bileşenleri ve birim vektörler Sırasıla,, z eksenleri ile vektörün aptığı açılar (α), (β), (γ) ise,

16 .. Doğrultman Kosinüsleri: Cos(α), Cos(β), Cos(γ) dır. Doğrultman kosinüsleri arasında şu bağıntı vardır. Cos (α) Cos (β) Cos (γ) Doğrultman kosinüslerini vektörlerin bileşenleri ve şiddetlerine bağlı olarak aşağıdaki gibi azabiliriz. Cos(α), Cos(β), Cos(γ) z vektörü doğrultusundaki (bounca) birim vektör λ ise şu şekilde tanımlanabilir. λ r i j z k Cos(α) i Cos(β) j Cos(γ) k r λ Cos(α) i Cos(β) j Cos(γ) k Eğer bilinen vektörler,,... n ise bu vektörlerin toplamı şekilde azılabilir. r r r r r i j k R z r R vektörü şu.. Uzada İki Nokta rasında Tanımlanmış Kuvvetler Eğer koordinat eksenleri vektörün başlangıcında geçmior ve başlangıç noktası (,, z ) ve bitim noktası (,, z ) olarak verilmiş bir r vektörü şöle azılabilir. Şekil.9 da böle bir vektörü göstermektedir. r r r r ( ) i ( ) j ( z z ) k vea r r r r ( ) i ( ) j ( z z) k r ( - ) ( - ) (z - z ) şeklinde azılabilir.

17 z (,, z ) r λ (,, z ) O Şekil.9 İki nokta arasında tanımlanan kuvvetler - doğrusu üzerindeki birim vektör şu şekilde tanımlanabilir. λ r r r - bounca medana gelen vektör ve değeri, - nin koordinatlarından tanımlanabilir. r r r r λ. VEKTÖRLERDE ÇRP Vektörlerde çarpma işlemi denilince aşağıdaki dört tip çarpma akla gelir. a) ir skalerin bir vektörle çarpımı b) İki vektörün skaler çarpımı c) İki vektörün vektörel çarpımı d) ikiden fazla vektörün skaler ve vektörel çarpımı unları sırasıla ele alalım.

18 a ) ir skalerin bir vektörle çarpımı Skaler saı a olsun vektörde ise skaler çarpım, S r a r olarak azılabilir. urada S r vektörünün şiddeti, a skaleri ile r çarpımına eşittir. S nin doğrultusu ile anı olup, a> ise S r vektörü r vektörü ile anı önde a< ise S r vektörü r vektörünün tersi önde vektörünün şiddetinin a ise S r vektörü bir noktaa dönüşür Örnek : r r r r 5 i 7 j 5k olarak verildiğine göre r ve (- r ) nedir? Çözüm: r r r r i j k ve - r r r i 8 j 6k dir. b) İki vektörün skaler çarpımı Verilen iki vektör r ve r olsun. u iki vektörün skaler çarpımı; O r θ H r r r. cos( θ ) C O r O v OHODcosθ D Şekil. Skaler çarpımın geometrik anlamı r r. cos( θ ) ifadesile tanımlanabilir. Yukarıdaki ifade r skaler çarpım r die okunur. skalerdir ve Şekil. daki taralı dikdörtgenin alanını verir. Eğer iki vektör birbirine dik ise θ9 o ve z z

19 cos9 olduğu için skaler çarpım sıfır olur. Diğer bir ifade ile skaler çarpımları sıfır olan iki vektör birbirine diktir. θ o, cos olur ve skaler çarpım, bu iki vektörün şiddetleri çarpımına eşittir. birim vektör ise, skaler çarpım nın doğrultusundaki bileşeninin şiddetini verdiği Şekil. dan görülmektedir (OHcos θ) Yukarıdaki açıklamalardan i,j,k birim vektörlerinin skaler çarpımı şöle azılabir. r r r r r r r r v r r r i. i j. j k. k ve i. j i. k j. k irim vektörler cinsinden verilmiş iki vektör. r r r r r r r r i j k ve i j k olsun bu iki vektörün skaler çarpımı; r r. olur. Skaler çarpım (.) ile gösterilmektedir.ir vektörün kendisile çarpımı: r r. z z vea z z dır. uradan şöle diebiliriz. ir vektörün şiddeti kendisile skaler çarpımının kareköküdür. z z Örnek : r r r r 7 i 8 j k vektörünün r r r r i 6 j k vektörü önündeki bileşenini bulunuz. r r. b şeklinde azarsak b birim vektörünü hesaplaabiliriz. (69) (/) 7 ise, b r r r r ( i 6 j k 7 r. b r 7 ) dir. ((7).()(-6).(-8)()()) bulunur c) İki vektörün vektörel çarpımı r r r r r r r r ilinen iki vektör, i j k ve i j k olsun, bu iki vektörün vektörel çarpımı; z r r r C olarak azılır ve vektörel çarpım die okunur. urada çarpım ine bir vektördür. C vektörünün şiddeti; C..Sinθ dır. z 5

20 ve - vektörlerine diktir. Yönü sağ el kuralına göre bulunur. Şekil. de sağ el kuralı ve iki vektörün vektörel çarpımından elde edilen C vektörü ve önü görülmektedir. z C r r θ r Şekil. Sağ El Kuralı, Vektörel çarpım ve C vektörünün önü urada sırasıla,,z önlerindeki birim vektörler i,j,k ise bu vektörlerin vektörel çarpımı r r r r r r i i jj kk ve r r r r r r r i j k, ki j, jk i tersi ise r r r v r r r r ji k, i k j, kj i dir. u çarpımdan da vektörün önü görülmektedir. rıca Şekil. den vektörel çarpmada r r r r olduğundan çarpma sırası önemlidir. Paralel iki vektörün çarpımı sıfırdır. ir başka ifade ile çarpımları sıfır olan iki vektörün, vektörel çarpımı sıfır ise bu iki vektör paraleldir. Geometrik olarak vektörel çarpımın manas; çarpılan iki vektörün medana getirdikleri paralel kenarın alanını vermektedir. İki vektör birim vektörler cinsinden verilmiş ise bu iki vektörün vektörel çarpımı aşağıda verilmiştir. r r r r r r r r r C ( i j k ) ( i j k ) z z 6

21 u çarpımın sonucu aşağıdaki matrisin determinatının açılımıdır. i j k z z r r r ( ) i ( ) j ( ) k z z z z. DDESEL NOKTNN DENGESİ Newton un birinci kanuna göre bir maddesel noktaa etkien bileşke kuvvet ise maddesel nokta hareketsiz kalır. Eğer başlangıçta bir hızı varsa sabit hızla doğrusal hareket apar. u kanuna göre uzada bir noktada kesişen kuvvetlerin statik dengesi için bileşke kuvvet R olmalıdır. ileşenler halinde azılacak olursa Σ, Σ, Σ z şartı bulunmalıdır. unlara denge denklemi adı verilir. Eğer kuvvetler çokgeni çizilmiş ise bileşke kuvvetin sıfır olma şartı erine getirilebilmesi için çokgenin başlangıç noktasının tekrar kapanması gerekir. Düzlemde denge denklemleri iki tanedir. Kuvvet dengesinde arıca momentlerin dengesi için de bir denklem daha azmak gerekir. Σ, Σ C C α β β W T α P T C P α T 8-( αβ) β T C a) Durum diagramı b) Serbest Cisim Diagramı c) Kuvvet Diagramı Şekil. Şekil. de görüldüğü gibi problemin fiziksel şartlarının gösterilmesi durum diagramı, cisim izole edilir ve etki eden kuvvetler gösterilirse buna serbest cisim diagramı denir. Problem denge denklemleri ardımıla çözülebilir. Çözümde kullanılan alnızca kuvvetlerin gösterildiği diagrama kuvvetler diagramı denir. eselâ kuvvetler üçgeninde kuvvetleri belirleen sinüs denklemleri; T Tc P şeklinde azılabilir. sin β sinα sin(8 ( α β )) 7

22 Denge denklemleri ile çözmek istersek; T T C Σ Σ P 8

23 .5 ÇÖZÜLÜ PROLELER Problem : o Şekildeki çerçevee 5 N luk kuvvet etki etmektedir. C N ise ı hesaplaınız. rıca θ açısını bulunuz. θ C 5 N Çözüm: θ 6 o o C N C N θ 6 o 5 N α 5 N 5 Sinα Sin6 Sinα ( Sin6) 5 o α,9 θ 8 6,9 θ 76, Sinα Sinθ 56N Problem : 9

24 N 5 5 N 5 o N ileşke kuvveti ve ekseni ile aptığı açıı bulunuz. Çözüm: R R R 5. Cos 5. 5 R 8, N R 5. Sin5. 5 R 96,8 N R R 96,8 N θ R -8, N R R 85 N θ tan ( 8,) 96,8 96,8 7,8 8, o Problem :

25 z (5i-jk)N (6j8k) N ve kuvvetlerinin bileşkesinin şiddetini ve,,z eksenleri ile aptığı açılar hesaplaınız. Çözüm: R z R R (6 j 8k) (5i j k) γ R 5i j 8k α O β R 5 ( ) 8 R 9 N λ R R 5i j 8k 9 λ,67i,9 j,9k Cos(α), Cos(β), Cos(γ) z Cosα,67 Cosβ-,9 Cosγ,9 α7,8 o β o γ9,6 o

26 Problem : z kn kuvvetinin düzlemi ile aptığı açı o ise kuvvetinin bileşenlerini bulunuz. o 6 o Çözüm: z z 6 o o kn '. Cos,6 kn z. Sin kn '. Cos6,6. Cos6,7 kn '. Sin6,6. Sin6 kn (,7 i j k) kn

27 Problem 5: z ir kancaa N ve 7 N kuvvetleri etki etmektedir. ileşkenin ekseni üzerinde 8 N olabilmesi için kuvvetinin bileşenlerini ve,, z eksenleri ile aptığı açıları hesaplaınız. o 6 5 o Çözüm: v v v v v v R R R Rz v cosα i cos β j cos β k cos 5i cos6 j cosk i 5 j 5k v ( ) i ( j ) ( v R Rj 8 j v v v R 8 j ( z ) k ) i (5 ) j ( 5 z ) k R i N z 5N N cosα 7cosα α cosβ β,8 5 7cosγ γ 77,6 vea λ i 65 j 5k ( ) 65 5,i,98 j,k

28 Problem 6: 5 6 C D Verilen sistemde C kablo kuvveti ile CD a kuvvetini hesaplaınız. (W6 N) E Wm.g Çözüm: W T 6 6 N T.cos6 T.sin 6 6 T 69,8 sin 6 T.cos6,6 N

29 Problem 7: kn kn 5 o o m 5 m Kuvvetleri bilinen iki kablo noktasına bağlanmıştır. Üçüncü bir kablosu bağ teli olarak kullanılmaktadır. u tel dan e bağlanmıştır. deki kuvvet ne olmalıdır ki üç kablonun bileşkesi düşe olsun. Çözüm: i 5 j [ ] ( ) ( 5) r. Cos5. Cos5 R 7kN

30 Problem 8: 8 m C m kablosundaki kuvvet 5 N, C kablosundaki kuvvet 5 N dur. Kablodan noktasına gelen kuvvetlerin bileşkesini bulunuz. m 6 m z Çözüm: C (,,8) (6,,6) C(,,) 6i j k C 6i j 6k C C m C 5 ( 6i j k) 7 5 ( 6i j 6k) 9 i 5 j k) z C i 5 j k R C R 6i j k 6

31 ÖLÜ İR KUVVETİN İR EKSENE GÖRE OENTİ. İR KUVVETİN İR EKSENE GÖRE OENTİ ir kuvvetin tatbik edildiği cismi sabit bir eksen etrafında döndürme eğilimine kuvvetin o eksene göre momenti denir. oment Yönü z N C D Dönme Yönü o k Şekil. ir kuvvetin momenti ve sağ el kuralı omentin işaretini belirtmek için ON eksenin okla gösterilen önde () olduğunu kabul edip sağ el kuralına göre momentin önü belirtilebilir. Sağ elin parmakları kuvvetin çevirme önündeken başparmak kuvvetin önünü gösterir. momenti şekilde görüldüğü gibi bir vektörle gösterebilir. moment vektörü vektör kurallarına uan ve tesir çizgisi moment ekseni olan bir kaan vektör olarak düşünülebilir. Çünkü dik düzlem olarak başka bir düzlem alınsadı ine anı şiddette ve ine anı döndürme önünde bir vektör bulunacaktı. omentin birimi Newton metre (Nm) dir. ütün kuvvetlerin anı düzlemde olması halinde bir noktaa göre momentten bahsedilebilir. slında bu moment o noktasından geçen ve düzleme dik olan eksene göre momenttir. Düzlemsel kuvvetlerde moment vektörünü göstermee gerek oktur. Kuvvetlerin düzlemde olması durumunda noktaa göre moment den bahsedilebilir. 7

32 o d z _ z Şekil. Düzlemde omentlerin önü Sisteme birden çok kuvvetin etkimesi durumunda ise momentler toplanır. R O d Örnekler; Örnek : Şekil. omentlerin Toplanması O ( )( ) N m N m 8

33 Örnek : O ( )( ) 5 N.75m 75N m Örnek : O ( )( ) 7kN m.kn m Örnek : 8 N (.5 m) N m 8 N (.5 m) N m 8 N ( m) N m C 8 N (.5 m) N m D. VRİGNON TEOREİ ir kuvvetin bir noktaa göre momenti, bu kuvvetin bileşenlerinin ine anı noktaa göre momentlerinin toplamına eşittir. o d P r R r Q r o d Q d P P r R r Q r r r r R P Q ( R) ( P) ( Q) o o o Şekil. Varignon teoremi 9

34 u teorem ikişer, ikişer kuvvetler için peş peşe ugulanarak ikiden çok kuvvet ve onların bileşenleri için ispat edilebilir. Yani bir noktada kesişen birçok kuvvetin herhangi bir noktaa göre momentleri toplamı anı noktaa göre bileşke kuvvetin momentine eşittir. u teorem hem bağlı hem de kaıcı vektörlere ugulanabilir. Varignon teoreminden ararlanarak bileşke kuvvetin bir noktaa göre momenti erine bu kuvvetin bileşenlerinin anı noktaa göre momentlerini almak çoğu zaman daha elverişli olmaktadır od o o d k z Şekil.5 Kartezen koordinatlarda ir kuuvetin momenti Uza kuvvet sistemleri için varignon teoremi genelleştirilirse bileşenleri,, z olan ve uzada (,, z) noktasına etki eden bir kuvvetin eksenlere göre momentleri azılabilir. unlar; z..z.z z. z.. r r r o z z Şekil.6 Uzada bir kuvvetin momenti

35 O r r. i r. j r k z.. i. j z. k ( o ) r r o i r r j k r z z o.i.j z.k o ( z. r.r z )i - ( z. r.r z )j ( r r )k Problem: N C 6 E D N? cm. KUVVET ÇİTLERİ Zıt önlerde etkien eşit iki kuvvetten medana gelen sisteme kuvvet çifti denir. urada dengelenmiş bir moment bulunmaktadır. oment erkezi, Kuvvetlerin arasında vea dışında ada kuvvetlerden biri üzerinde alınsa ine anı şiddette ve anı döndürme önünde kuvvet çifti elde edilir. O O a Şekil.7 Kuvvet çiftleri

36 -(O).(O) a ( O ). (O` )..a oment vektörlerinin büüklüğü moment merkezine bağlı olmadığı için anı zamanda düzlem üzerinde herhangi bir noktaa kaabilirler. P P P P P P a a a P a a a a P a Şekil.8 Kuvvet Çiftlerinin Konumu. KESİŞEN DÜZLELERDEKİ KUVVET ÇİTLERİ VE KUVVET ÇİTLERİNİN İLEŞKESİ p P N R q Q a R a R R a R p q R Şekil.9 Kuvvet çiftlerinin Toplanması Kesişen iki düzlem ve N olsun. unlar üzerinde iki tane kuvvet çifti bulunsun. ( P, q). u kuvvet çiftlerinin şiddetleri ve önleri anı kalmak şartıla aralarındaki uzaklıklar değiştirilebilmektedir. u sonuçtan ararlanarak Kuvvet çiftlerinin moment kolları değiştirilerek ara kesit üzerinde anı noktalardan geçmeleri sağlanabilir. p P.a ; q Q.a

37 Şiddetleri Pa ve Qa olan ve ara kesit üzerinde ve noktalarında kesişen iki kuvvet çifti görülmektedir. Çiftlerin momentleri p ve q düzlemlere dik olarak çizilmiştir. ve noktalarında kuvvetler paralel kenar kanunu kullanılarak P ve Q kuvvetlerinin bileşke kuvvet çiftini temsil eden iki eşit paralel ve zıt önlü R kuvvetini elde ederiz. R P Q dur. ileşke çiftinin şiddeti R R.a dır. Dolaısıla bu düzlemlere dik ve çiftleri temsil eden moment vektörlerinin vektörel toplamı bileşke kuvvet çiftini temsil eden moment vektörlerini verir. Yani R p q R.a R R P Q PQ cosθ P a Q a PQa cosθ p q pq.cosθ Cos 9 R p q Kuvvetler için apılan bütün vektörel işlemler kuvvet çiftlerini temsil eden moment vektörleri içinde geçerlidir... Kuvvet Çiftlerine İz Düşüm Yönteminin Ugulanması Kuvvet çiftlerini temsil eden momentlerin bileşkelerin vektörel toplamıla bulunduğunu gördük. ileşenlere anı öntemle arılmaktadır. Uzada bileşke momentin geometrik olla dik iki düzlemde bulunması her zaman mümkün değildir. unun erine izdüşüm öntemi kullanmak daha elverişlidir. i ( )i i.cos i ( )i i.cosβi ( z )i i.cosγ i urada i, β i, γ i i moment vektörünün sırasıla,, z eksenlerine aptıkları açılardır. Kuvvet çiftlerinin kendi düzlemleri içinde ki konumlarının önemi olmadığına kuvvet çiftlerinin düzlemleri kendilerine paralel olarak hareket ettirmekle çiftlerin etkileri değişmeeceğine göre uzadaki herhangi bir kuvvet çifti sistemin uzada herhangi bir

38 noktasında kesişen moment vektörüle temsil edilebilir. uradan bir noktada kesişen uza kuvvetlerine benzer olarak herhangi bir,,... n kuvvet çifti sisiteminin bileşke kuvveti çifiti n i i n i z i Z i n i olarak bulunabilir. ileşke kuvvet çiftinin şiddeti z ile verilir.,, z eksenlerile aptığı açıların doğrultman cosinüsleri cos, cos β, cos γ z dir..5 KUVVET SİSTELERİNİN İLEŞKELERİ ekanikte birçok problem kuvvet sistemlerini ilgilendirir. u kuvvet sistemlerinin apacağı tesiri izah ederek en basit hale dönüştürmek gerekir. ir kuvvet sisteminin bileşkesi rijit cisme tesir eden dış etkileri değiştimeksizin orjinal kuvvetlerin en basit kombinezonudur. ir cismin dengesi için üzerine tesir eden bütün kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olması şarttır. Eğer bir cisme tesir eden kuvvwetlerden doğan bileşke sıfır değilse cismin kütlesile ivmenin çarpımını bileşke kuvvete eşitleerek ivme tanımlanır..5. Paralel Kuvvet Sistemleri ileşkenin şiddeti sistemi medana getiren kuvvetlerin skaler toplamına eşittir. ileşkenin tesir çizgisinin konumu Varignon teoremi ile bulunur. R G(,) R n n i i i i R R i i

39 .5. Eşdeğer Kuvvet Sistemleri Eğer iki kuvvet sistemi verilen herhangi bir noktada anı kuvvet ve kuvvet çiftine indigenebiliorsa birbirine eşdeğerdir denir. ir nokta için sağlanan eşdeğerlik bundan sonra bütün diğer noktalar içinde sağlanabilir. atematik olarak gerekçe ve eter şart ; Σ Σ`, Σ o Σ o` Σ Σ`, Σ Σ`, Σz Σz` Σ Σ`, Σ Σ`, Σz Σz` dir. unun manası şudur. Eğer iki kuvvet sistemi bir rijit cisme,, z doğrultularında anı öteleme ve döndürmei aptırmaa çalışırsa bu kuvvet sistemleri birbirie eşdeğerdir denir. 5

40 .6 ÇÖZÜLÜ PROLELER Problem : Çözüm: ğırlığı ihmal edilen ve bou L olan bir çubuk bir pim ile şekilde görüldüğü gibi zemine bağlanmıştır. rıca çubuğun üst kısmı da bir kablo ile zemine bağlanmıştır. Eğer çubuğun ortasına bir kuvveti ata olarak ugulanırsa; a) Kablodaki çeki kuvvetini b) Çubuğa ve pime etkien ata ve dike kuvvet bileşenlerini bulunuz. T O O mg P Statik Denge: T. Sin5 P T. Cos 5 P...( )...( ) L T. Sin5. L....( ) T. denklemden; P T. denklemden; P T L. denklemden;. L. T. una göre; P P olarak elde edilir. olarak bulunur. 6

41 Problem : C z E O D G Verilen kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini O a indirgeiniz. (irimler cm dir.) kn kn 5 kncm kncm Çözüm: (,,) ; E(,,) ; G(,,) ; (,,) ; O(,,) ; (,,) E i k G j O j k i k.( ) 6i k j.( ) j 5i j k.( ) 8 j 6k 5i 8 j 6k i 6 j k i j k i 8 j 5k Ncm 7

42 Problem : z m CD//z C N D N N m m Verilen kolda kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini a indirgeiniz. da doğacak reaksion kuvvetlerini hesaplaınız. Çözüm: urada problemin çözümünde matris öntemi kullanılacaktır. C ve D noktaları arı arı matris şeklinde azılacaktır. T i j k i j k T i( ) j() k( 6) i( ) j( 6) k( 6) T i 6 j k urada; Nm, 6Nm, z Nm noktasındaki mesnet reaksionları ise sırası ile; z. Yol: z i j k N T ( ) j i 6 j k 8

43 Problem : z D (-,, ), (,, 6), C(, -, ), D(, -, ) ğırlığı 5 N olan O çubuğu ukarıda koordinatları verilen üç tel halatla, C, D noktalarına sabitlenmiştir. Sistemin dengede kalabilmesi için halat germe kuvvetlerinin minimum ne olması gerektiğini hesaplaınız. o C Çözüm: z D j 6k N D C i j 6k i j 6k O C D D j 6k. 5 5, C C i j 6k , i j 6k C z 6 5, C 7,5 D N C 6 7 5,7 D 5 D D 7 C,8,796 7 C,86 c D 55 N 78,6 N 9

44 Problem 5: z D m c//z C/ C N N m Verilen kolda kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini D e indirgeiniz ve D de doğacak mesnet reaksionlarını hesaplaınız. N m N Çözüm: i j k D j D j i( 8) j( 6) k( 6) D 8i j 6k D z N D N D

45 Problem 6: Şekilde görüldüğü gibi C noktasından asılı olan cisim 8 N ağırlığa sahiptir. una göre kablonun ata ve dike çekme kuvvetlerini ve piminde medana gelen reaksion kuvvetlerini bulunuz. (D deki makara sürtünmesizdir.) Çözüm: T T,5 m,5 m, m Denge denklemlerine göre; 8 N T(.5) T () 8(.) 5 T 7.58 N N N 5 8

46 Problem 7: Şekildeki vinç G, G ve G olarak ifade edilen ağırlık merkezlerinden W N, W 6 N ve W 6 N olmak üzere üç ağılığa sahiptir. ğırlık kaldırma kollarının ağırlığını ihmal ederek; a) N ağırlığa sahip cisim eğer sabit hızla kaldırılırsa dört tekerde medana gelecek reaksion kuvvetlerini bulunuz. b) ğırlık kaldırma kolu şekildeki pozisonda tutulursa kolun uç kısmı ile ne kadarlık ağırlık kaldırılabilir. Çözüm: W W W W N N

47 a) W N (N )(.5) (6)(.5) (6)(.75) ()(.75) ()(.5) 8.5N 9 N 65 N N N N 8765 N b) (6)(,5) (6)(,75) ()(,75) W (,5) W 896 N

48 Problem 8: C elemanı noktasından bir pim ile desteklenmiştir ve DC elemanına da C noktasından bir pim ile bağlanmıştır. una göre ve D noktasında medana gelen reaksion kuvvetlerini bulunuz. Çözüm: D 5 o 5 o X Y o 8(5) (D.Cos5 )() (DSin5) (9) D 9.8 N D.Cos5 o N 8 D.Sin5 o N

49 Problem 9: kolu, 8 N ağırlığındaki silindiri C kablosu ile şekilde görüldüğü gibi tutmaktadır. una göre, mesnedindeki reaksion kuvvetlerini ve C kablosundaki çekme kuvvetini bulunuz. Çözüm: ( ; ; ), (-, ;,6 ; ), C( ; ;,) C,i,6 j,k C,7 T C,,6, T C i j k,7,7,7 Z (r kuvvet ve r ise konum vektörüdür. ) X Y T C TC ( 8N.,6) i,7 i,, j,6,6 k, 8 N TC ( 8 N) i (,i,6 j),7 5

50 una göre; N T T N C C 8,,7 8 8,7, ; N,7,6 ;,7, Z Z Z N T T N T C C C 6

51 Problem : Çözüm: ir boru, üzerinde dike olarak ugulanmış olan kn ve kn luk ükleri C ve D kabloları ile taşınmaktadır. una göre, küresel mafsalındaki reaksion kuvvetlerini ve bağlantı noktasındaki kablolardaki çekme kuvvetlerini bulunuz. (;;), (;;), C(;;), D(-;;) T D D i j k T C C i j k D C Y T T D C T T D C i j k i j k X Z T (r ) ( kn.) i (kn.5,5) i D i j k T C i j k T ( kn) i D T (i j k) C (i j k) 7

52 una göre; k kn T T C D 7 C D C D C D C D T T T T j kn T T T T kn i 5,66 kn ;,kn ; Z Z Z kn kn T T T T T T C D C D C D 8

53 Problem : Eğrisel çubuk - düzleminde olup arıçapı m dir. Eğer çubuğun ucundan 8 N luk bir kuvvet ugulanırsa, bu kuvvetten dolaı oluşan momenti; a) O noktasına göre, b) noktasına göre bulunuz. Çözüm: a) (;;), C(;;-) C i j k C,7 C C i j k C,7 C {,9i 6,7 j,78 k}n O (r O ) i j k { 8,i 8,j 56,68k}N.m,9 6,7,78 b) (-.Cos5 o ;.Sin5 o, ) (,878 ;, ; ) ve C(,,-) 9

54 r C r C r r C (,878;,; ) (,;,; ) i j,,,9 6,7,78 k { 7,57 i 9,7j 5,8k}N.m Problem : Şekildeki üçaaklı çerçevenin C parçasını temel alarak { 5 i - j 8k} kuvveti nin momentini bulunuz. Çözüm: (;;), C(;;), D(,5;;) r { j} m, r { i} m, r {,5i j k}m C D r r C D r r D - r - r C { i j} j - i m.5i j k j {.5i k}m i j C U C r -.77i.77j r C ( ) () C C C U C.(r D.77 ) ,Nm U { 6i 6j}N.m C C 5

55 Problem : Çözüm: 5N 7sin 5cos6 o o RX RX N 96 7sin 5cos6 o o R R o RX R R R R 8.5 θ 5 96 tanθ 5N N ) ( ) ( N 76N.m -76N.m () 6 5sin () 7cos 5 R o o o R R R 76N.m R.57m 76 ).5 (sin8 o 5

56 Problem : Çözüm: r r r r E { k} r r E r r m r E { k} m { j}m { j} m R, R { i j 65k}N { i j k} { i j 5k} { 5k} R ; R r r r E i j k i j k i j k 5 5 { i 8j}N.m 5

57 Problem 5: Çözüm: R 6() 5 8 o ωa (6 X )d 5. ω o R 595. kn.χ.. 8 o 8 o 8 o.ω.ω (6 (6 )d )d..m r kn 5().(7)897.7 kn.m 595.()897.7 knm. 86m 5

58 . GİRİŞ VE TNLR ÖLÜ RİJİT CİSİLERİN DENGESİ Kuvvet etkisindeki bir kontrüksion (apı), rijit bir cisim gibi hareket etmiorsa dengededir (Şekil.). Rijit cismin hareketi, ötelenme ada dönmedir vea ikisinin birleşimi şeklinde olabilir. Yapının dengede kalabilmesi için, apıı döndürmee vea ötelemee sebep olan kuvvet mesnet noktalarındaki tepki kuvvetleri ile dengelenmelidir. z i O Şekil. Rijit Cismin Dengesi İki boutlu bir apının herhangi bir önde hareket etmemesi için gerekli olan şart, o apının birbirine dik herhangi iki önde hareket etmemesi şeklinde tanımlanabilir. Normal olarak (şart olmamak koşulu ile) bu önler ata ve dike alınır. Yapıa herhangi bir önde kuvvet etki etmez ise apı o önde harekete zorlanmaz. undan dolaı ata önde herhangi bir hareket olmaması için o önde etki eden bütün kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır (Σ ). enzer şekilde, dikede hareket olmaması için (Σ ) olmalıdır. ir apının düzlem içinde dönmeme şartı, o apının bir eksende dönmemesi ile belirlenir. ölece, düzlemin herhangi bir noktasında kuvvetlerin bileşke momentinin olmaması lazım gelir. undan dolaı, düzlemde dönme olmaması için herhangi bir noktada momentlerin toplamı sıfır olmalıdır. Yani, sistemin içinde ada dışında noktaa göre alınan moment sıfır (Σ ) olmalıdır. 5

59 O Şekil.: Kuvvetlerin Gösterimi İki boutlu bir apının tamamıla dengede olabilmesi için; Σ : bütün ata kuvvetlerin cebirsel toplamı sıfıra eşit Σ : bütün dike kuvvetlerin cebirsel toplamı sıfıra eşi; Σ : bütün kuvvetlerin herhangi bir nokta (eksen) etrafındaki momentlerinin cebirsel toplamı sıfıra eşit demektir. unlar iki boutlu (düzlem) apıların statik dengesi için denge denklemi olarak bilinir. Yukarıda denklemlerin sağlanabilmesi için eterli bağların ve bunlara karşılık gelen mesnet reaksionların sağlanması lazımdır. Üç arı denklem ile üç bilinmeenin şiddeti belirlenebilir. Eğer apı sadece eterli mesnetlerle bağlanmışsa ( ten fazla olmaan bilinmeen reaksionlar), apı ukarıdaki eşitliklerle tamamıla analiz edilebilir ve statik olarak belirlidir (İzostatik). Eğer bilinmeen saısı üçten fazla ise, sadece ukarıdaki denklemleri kullanarak çözüm mümkün değildir ve apı statik olarak belirsizdir (hiperstatik). u tip problemler, elastik cisim mekaniğinde cisimlerin şekil değiştirmelerine bağlı bilinmeen saısı kadar eni denklem azılabilirse bilinmeen tepkiler bulunabilir. İki boutlu apılarda üçten az mesnet reaksionu varsa, eksik bağlıdır. Yapı rijit cisim olarak hareket eder. ir cisim (apı) üç ada daha çok noktadan bağlı olmasına rağmen ukarıdaki denklemlerden birini sağlamıorsa böle sistemlere etersiz bağlı sistemler denir.. ESNETLER VE ESNET REKSİYONLR.. Kaıcı esnetler Sadece bilinmeen bir reaksion sağlar ve hareket önüne pozitif bir açı ile etki eder. ölece kaıcı mesnetler, bir doğrultuda lineer harekete ve dönmee müsaade ederler. 55

60 v θ u R Şekil.: Kaıcı esnet Şekil. den de anlaşılacağı üzere, önünde deplasman oktur ani sıfırdır ama önünde bir tepki kuvveti medana gelir... Sabit esnetler R Tek noktada sabitlenmiş mesnetler ata ve düşede iki reaksion verir dolaısıla iki önde cismin hareketine engel olur. akat dönmei sağlar. v R θ u Şekil.: Sabit esnet ve önünde er değiştirmeler sıfıra eşitken, ve önünde reaksion kuvvetleri R, R medana gelir. θ olduğunda olmaktadır... nkastre (Konsol) esnetler R Yönü ve şiddeti bilinmeen iki reaksion ve momenti sağlar (toplam üç bilinmeen). öle bir mesnet iki doğrultuda lineer hareketi ve bir eksen etrafında dönmei engeller. R v z θ u R Şekil.5: nkastre esnet urada ise θ dır ve R R olmaktadır. u mesnetlerin birlikte ugulanmasını şekil.6 deki gibi görebiliriz. 56

61 Şekil.6: Kaar ve Sabit esnet in irlikte Ugulanması. ÜÇ YERDEN PUNTLNŞ DÜZLE YPLR Eğer apı üç noktadan sabitlenmiş ise (menteşe gibi) (şekil.7), öle ki apının bir parçası diğer parçanın dönmesinden bağımsız olarak pim etrafında dönebilior, bölece özel bir çeşit denge eşitliği daha azılabilir, çünkü pim etrafındaki bütün kuvvetlerin momentleri toplamı sıfır olmalıdır. u mesnet reaksionunun bilinmeen bir bileşeninin belirlenmesini sağlar. Şekil.7 Üç erden puntalanmış kavisli apı. UZY YPLR Üç boutlu bir apı, uza apıdır. Karşılıklı dik önler, bir uza apı için kuvvetlerinin toplamı, sıfır olmalı ve üç tane karşılıklı dike eksen (, ve z) etrafındaki kuvvetlerin momentleri toplamı da sıfır olmalıdır. undan dolaı, Σ : Σ : Σz : Σ : Σ : Σ z : X önündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra eşittir. Y önündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra eşittir. Z önündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra eşittir. X ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra eşittir. Y ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra eşittir. Z ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra eşittir... üük Yapılar Yapının, Şekil.8 de barajda görüldüğü gibi dengei sağlaması kendi ağırlığına bağlıdır. ölece, denge için, 57

62 T T W T O R V Şekil.8 araj duvarı P Σ : Yapının ağırlığının (W) ve ükün (T) dike bileşenleri (T ) dike ukarı öndeki er tepkisi (V) ile dengelenmelidir. apının altındaki Σ : Yükün (T) ata bileşeninden (T ) kanaklanan doğrusal öndeki kama eğilimi, ükün arkasındaki tepki kuveveti (P) ve/vea er ile apı arasındaki sürtünme kuvveti (R) tarafından engellenmelidir. Σ : Dönme merkezi (O) etrafında ükten kanaklanan döndürme momenti anı noktada kendi ağırlığından kanaklanan enilenme momenti tarafından dengelenmelidir. Kütle apısı döndürmee karşı güvenlik faktörünü sağlamak için ağırlığı denge için minimum gerekli ağırlıktan daha büük olacak şekilde dizan edilmiştir. Örnekler; Şekil.9: ir kapıda; a) Tek menteşe olması durumunda gelen kuvvetler b) Çift menteşe olması durumunda medana gelen kuvvetler 58

63 Şekil.: ir kepçenin çalışması esnasında medana gelen tepki kuvvetleri Şekil.: rabanın dengesi D D W W Şekil.: Vinç te denge sistemi 59

64 Tablo. İki outlu Cisimler için esnet ve ağ Tepkileri ağlantı Tipi Reaksion ilinmeen Saısı Kablo ir bilinmeen. Reaksion kuvveti çekme kuvvetidir ve bu kuvvet bağlı bulunduğu elemandan itibaren kablo doğrultusundadır. ğırlıksız bağlantı çubuğu vea ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet bağlantı çubuğu bounca etki eder. ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet temas noktasındaki üzee dik olarak etki eder. Kaıcı afsal Kaıcı afsal vea ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet arığa dik olarak etki eder. Kaıcı afsal ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet temas noktasındaki üzee dik olarak etki eder. Pürüzsüz Temas Yüzei ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet temas noktasındaki üzee dik olarak etki eder. Düz çubuk üzerindeki bileziğe bağlı mafsal vea ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet çubuğa dik olarak etki eder. 6

65 ağlantı Tipi Reaksion ilinmeen Saısı afsal vea İki bilinmeen. Reaksionlar, iki kuvvet bileşeni vea φ doğrultusundaki bir bileşke kuvvettir.(φ ve θ açısı. bağlantı tipindeki gibi olmadıkça birbirine eşit olmak zorunda değildir. Düz bir çubuk üzerinde bileziğe ankastre bağlantı İki bilinmeen. Reaksionlar, kuvvet ve momenttir, ve çubuğa dik olarak etki eder. nkastre mesnet vea Üç bilinmeen. Reaksionlar, iki kuvvet bileşeni ve momenttir. Vea φ doğrultusunda bir bileşke kuvvet ve momenttir. 6

66 Tablo. Üç outlu Cisimler için esnet ve ağ Tepkileri ağlantı Tipi Reaksion ilinmeen Saısı () Üç bilinmeen. Reaksionlar, üç kuvvet bileşenidir. Küresel afsal () Radal Yük taşıan Yatak () Döner mafsal Dört bilinmeen. Reaksionlar, iki kuvvet ve iki de momenttir. eş bilinmeen. Reaksionlar, üç kuvvet ve iki de momenttir. () enteşe eş bilinmeen. Reaksionlar, üç kuvvet ve iki de momenttir. (5) nkastre mesnet ltı bilinmeen. Reaksionlar, üç kuvvet ve üç de momenttir. 6

67 .5 ÇÖZÜLÜ PROLELER Problem : O z cm O da doğacak mesnet reaksionlarını hesaplaınız. 5 N z 6 N z cm Çözüm: i j k 5 6 o o o o oz i( 8 ) 8i j 5k 8 Ncm Ncm 5 Ncm Σ O 5N Σ z O z 6N j( ) k( 5) 6

68 Problem : z D m C//z C N N m Verilen kolda kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini D e indirgeiniz ve D de doğacak mesnet reaksionlarını hesaplaınız. N m N Çözüm: i j k D j D j i( 8) j( 6) k( 6) D 8i j 6k D z N D N D 6

69 Problem : cm 5 N da doğacak mesnet reaksionlarını hesaplaınız. z N cm C cm 5N z N cm z z 5N N. Ncm z z.- Ncm 65

70 Problem : CDE kirişini noktasından sabit bir mesnet ve D noktasında kaıcı bir mesnetle Şekil. de görüldüğü gibi mesnetlenmiştir. Üç noktadan kuvvetler etki etmektedir. Reaksion kuvvetlerini belirleiniz. Çözüm Şekil.: Çıkmalı kiriş ük diagramı da ve gibi iki reaksion kuvveti ve D de dike olarak etkien sadece tek bir reaksion D kuvveti vardır. u reaksionlar serbest kuvvet diagramında gösterilmiştir (Şekil.). Sadece üç bilinmeen vardır; burdan sistem statik olarak belirlidir ve bilinmeenler belirlenebilir. kn kn 5kN D Şekil.: Serbest kuvvet diagramı Yata ük oktur; bundan dolaı, ise () D i belirlemek için etrafında momentler alınır: (Σ ) -( ) - ( ) - (5 5) (D ) D.75 kn () ı belirlemek için (Σ ) D 5 (.75) 5.5 kn () D etrafında alınan momentler kontrol edilir: Σ D ( ) ( ) ( ) (5 ) (.5 )

71 Problem 5: CD kirişi da sabit bir mesnede ve C de kaıcı bir mesnede sahiptir. Şekil.5 de gösterildiği gibi, kiriş, herbiri 5 kn olan iki tekil ük ve kn/m lineer aılı olan üke maruzdur. Reaksionları belirleiniz. Çözüm: Şekil.5: Çıkmalı kiriş ük diagramı C ise Yatada ük oktur. Şekil.6 Serbest kuvvet diagramı C i belirleelim; etrafındaki momentleri alalım: aılı ükün momenti, ( 6 kn) (.5 m) dir. (Σ ) - (5 ) (C ) - (,5) - (5 6) C 6.75 kn ı belirleelim; (Σ ) 5 C ( ) 5 5 (6.75) kn 67

72 ÖLÜ 5 İKİ OYUTLU CİSİLERİN ĞRLK ERKEZLERİ 5. GİRİŞ VE TN ğırlık kuvvetlerinin bileşkelerine cismin ağırlığı, ve bu kuvvetlerinin bileşkesinin tatbik noktasına cismin ağırlık merkezi denir. Dünanın katı bir cisme tatbik ettiği er çekim kuvvetleri dünanın merkezine öneliktir. u kuvvetleri çok büük bir aklaşıkla paralel kuvvetler olarak ele alınabilir. ühendislikte bir cisme ugulanan ağırlık kuvvetlerinin vea bazı sebeplerle tatbik edilen kuvvetlerin bileşkesinin tatbik noktalarının bilinmesi gerekmektedir. W W W... W n t W W W W Şekil 5. ğırlık kuvvetleri z ğırlık kuvvetlerinin bileşkesinin tatbik noktası, bu kuvvetlerinin eksenlere göre momentlerini, bileşkenin momentine eşitleerek bulunur. ölece W W... W n gibi n tane paralel kuvvetin erine eşleniği konulmuş olur. Kuvvetler z eksenine paralel oldukları için bu eksene göre momentleri oktur. n W w W... n W n W i W i dw i W. n W w W... n W n W i W i dw i W. Eğer iki boutlu cisim düzgün kalınlıklı bir plak ise burada kalınlığın diğer boutlardan çok küçük olma şartı vardır. u durumda ağırlık kuvveti W γ.t. γ (özgül ağırlık), t (kalınlık ), (alan), şeklinde ifade edilebilir. 68

73 Toplam ağırlık; n W γ.t. γ.t....γ.t. n γ.t (... n ) γ.t. i W i Eksenlere göre momentleri azalım ; n.γ.t. γ.t i γ.t (..... n. n ) i Kütle erkezi;. n i d. i..... n. n benzer şekilde.. d d G W Şekil 5. Kütle merkezi urada. d S. d S. d a alanın eksenine göre statik momenti vea eksenine göre birinci momenti denir.. d da alanın eksenine göre statik momenti ada birinci momentidir. h b h/ b.h b h ğırlık merkezinin eri; cisimde bir simetri ekseni varsa ağırlık merkezi bu eksen üzerindedir. Eğer iki simetri ekseni varsa simetri eksenlerinin kesim noktası ağırlık merkezidir. 69

74 Çubuğun ğırlık erkezi; Gg Şekil 5. Çubuğun ağırlık merkezi W γ.a. L a Telin kesit alanı γ özgül ağılık L Telin küçük parçasının bou n L L L L... Ln i Σ o i.l n L i Σ o.l i i n L i i i i dl L i dl L lanın ğırlık erkezi; G Şekil 5. lanın ağırlık merkezi d d z z d 7

75 5. İRLEŞİK LNLRN ĞRLK ERKEZİ G G G G (, ) G (, ) G (, ) irleşik alan öncelikle kendisini medana getiren geometrisi bilinen küçük alanlara arılır. Her bir alanın ağırlık kuvveti bu alanın ağırlık merkezinde bulunmasından hareketle tüm cismin ağırlık merkezi bulunabilir. W W W W,.W.W.W.W.W.W.W.W X X n i İ i n i. n İ i n i i Örnek 5. ğırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz. 6 cm 6 cm X. ( ).(6) 8 76,7cm 8 8 cm cm 5.().(6) 76, 7cm ĞRLK ERKEZİNİN İNTEGRSYONL ULUNS 7

76 ühendislikte analitik olmaan eğrilerle çevirili üzelerin ağırlık merkezleri, kendisini oluşturan küçük üçgen, dikdörtgen, kare...vb. elemanlara arılarak bunların alanlarının toplamlarından hareketle üzein ağırlık merkezi aklaşık olarak bulunabilir. Eğer üzei çevreleen eğriler analitik reel fonksion ise üzein ağırlık merkezi integralle bulunabilir. Yüze üzerindeki diferansiel mertebedeki alan elemanı: d d.d alınarak buradan çift katlı integralle ağırlık merkezinin koordinatları bulunabilir. ühendisliğe daha ugun bir çözüm ise diferansiel mertebede ince dikdörtgen kesitler tek katlı integralle alanlar ve ağırlık merkezleri bulunabilir. Eğri altında kalan alanın hesaplanması; d d d d l d Taralı alanın ağırlık merkezinin integral ifadesi; g G g g d g d Örnek 5. Taralı alanın ağırlık merkezinin bulunması, b cos b π a d, burada d d 7 d

77 d π a d b cos a a a a π sin a b π π sin sin ab π π ab a a a g g d d d ) ( ) ( d π a d a cos b a a sin a b π π ( ) a a b b a g g d b d d ) cos ( ) ( π a a a π a a d cos b a sin a cos a b π π a a π π π π b a ab b a π π π π π π a a 8 b ab ab ab π π ( ) ( ) π π a a a b 7

78 Örnek 5. d ( a ) d. g d a g a a g g. d g d g Örnek 5. dl d d d parantezine alarak g d dl d g dl g `.d.l. dl, L dl g.l. dl Örnek 5.5 Dikdörtgenin ağırlık merkezini integral ardımıla bulunması,. g. d.b.h b. h h b g d h.b.h. b. d.b.h b. h 7

79 .b.h b. d d h.d g d b.b.h. h.. d h b.b.h h. b b Örnek 5.6 Üçgenin ağırlık merkezini integral ardımıla bulunması, d.d.. d b h b. h. h. d a b.( h ) h b. h h o. b h ( h ). d b d h b h. h h b h o ( h ). d Örnek 5.7 Çerek dairenin ağırlık merkezini integral ardımıla bulunması, Çerek daire içinβ açısı ile 9 arasındadır. r β dθ θ r cosθ r cosθ G r dθ d (r dθ)(r) r dθ d r β r dθ π [] r [] π β θ θ r 75

80 . π π d g r cosθ r dθ r cosθ dθ r π r [ sin θ] π r r π π r r sin İki eğri arasıda kalan alanın ve ağırlık merkezinin hesabı; dd( -)d - - d (-), d d d ( ( ) d ) d ( ( ) d 5 ) d d d dd(- )d (-), 76

81 d d d ( ( ) d ) d ( ) d ( ) d 5.5 DÖNEL CİSİLER ( PPPUS GULDİN TEORELERİ ) Teorem.: ir düzlem eğrinin kendi düzlemi içinde fakat kendini kesmeen bir eksen etrafında döndürülmesile oluşan dönel üzein alanı eğrinin uzunluğula dönme sırasında ağırlık merkezinin kat ettiği olun çarpımına eşittir. π g L d π g dl π. g dl Örnek 5.8 Yarım çember aından küre üze alanının elde edilmesi r r π. π. r π 8 π.r Örnek 5.9 Eğik bir doğrunun ekseni etrafında döndürülmesi ile koni üze alanının hesabı L h r π. π.r.l r. L ( koni ) Örnek 5. Çemberden tor üze alanının hesabı r π.π.r ( tor ) π.r.r R Örnek 5. X eksenine paralel bir doğrudan silindir üze alanının elde edilmesi π.r.h ( silindir ) h r 77

82 Teorem : Düzlem bir üzein kendi düzlemi içinde, fakat kendini kesmeen bir eksen etrafında döndürülmesile oluşan dönel cismin hacmi, üzein alanıla dönme sırasında üzein ağırlık merkezinin kat ettiği olun çarpımına eşittir. V π g dv π g L V π g d Örnek 5. Yarım daireden kürenin hacminin hesabı G r V π V. π. r r π. r. π ( küre ) Örnek 5. Dikdörtgenden dolu silindirin hacminin hesabı h r V π. r.h.r V π.r.h Örnek 5. Üçgenden koni hacminin hesabı L r V π π. r h V r r. h. Örnek 5.5 Dolu daireden R arıçaplı torun hacminin hesaplanması r R V π.r.π.r V π.r.r 5.5 ÇÖZÜLÜ PROLELER 78

83 Problem ) cm Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. cm cm cm Çözüm: cm 6,65 cm cm cm cm....8 X, 65cm Y 6, 65cm 6,6 cm Problem ) 79

84 5 Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. mm mm 5 mm Çözüm:....(6.) 55.(.) 8.(.6) X 55 mm (6.) 6.(.) 5.(.6) Y 6 mm 6 6 Problem ) 8

85 cm Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. cm 8cm cm cm Çözüm: Toplam cm 6 cm Problem ) 8

86 cm cm cm cm Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. 6cm cm Çözüm:, ,5 5 Toplam 8 96 Σ Σ Σ Σ 8 cm Σ Σ 96 cm Σ Problem 5) 8

87 8 Verilen profil kesitte ağırlık merkezini, erini hesaplaınız. (ölçüler cm dir) 5 6 Çözüm: 6, , ,5 cm 56 76,9 cm 56 Problem 6) 8

88 5cm cm Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. cm cm Çözüm: 5cm cm r π cm r π cm X Y X. Y., , ,76 5,76-78,5-6,8-5, Toplam,7 9,7 587,67. 9,7 X, cm,7. 587,67 Y, 5 cm,7 Problem 7) 8