STATİK. Ders Notları. Prof. Dr. Muzaffer TOPÇU PAÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği DENİZLİ. o x. 200N 100N/m 500N. A 1m 1m 1m.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "STATİK. Ders Notları. Prof. Dr. Muzaffer TOPÇU PAÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği DENİZLİ. o x. 200N 100N/m 500N. A 1m 1m 1m."

Transkript

1 STTİK Ders Notları N C D o k Nm 5N N N/m m m m m m Prof. Dr. uzaffer TOPÇU PÜ. ühendislik akültesi akine ühendisliği DENİZLİ

2 İÇİNDEKİLER. Genel Prensipler. Giriş. Temel Kavramlar. Temel İlkeler. Vektörler ve Kuvvetler. Giriş. Vektörlerin Toplanması ve Çıkarılması. Vektörlerde Çarpma. addesel Noktanın dengesi.5 Çözümlü Örnekler. ir Kuvvetin ir Eksene Göre omenti. ir Kuvvetin ir Eksene Göre omenti. Varignon Teoremi. Kuvvet Çiftleri. Kesişen Düzlemlerdeki Kuvvet Çiftleri ve kuvvet çiftlerinin bileşkesi.5 Kuvvet Sistemlerinin ileşkesi.6 Çözümlü Örnekler. Rijit Cisimlerin Dengesi. Giriş ve Tanımlar. esnetler ve esnet Reaksionları. Üç erden puntalanmış düzlem apılar. Uza Yapılar.5 Çözümlü Örnekler 5. ğırlık erkezi 5. Giriş ve Tanım 5. irleşik lanların ğırlık erkezleri 5. ğırlık erkezinin İntegrasonla ulunması 5. Dönel cisimler (Pappus Guldin Teoremleri) 5.5 Çözümlü Örnekler 6. lan ve Kütle talet omentleri 6. Giriş ve Tanım 6. Paralel Eksenler Teoremi 6. irleşik Cisimlerin talet omentleri 6. sal talet omentleri ve sal Eksenler 6.5 Kütle talet omentleri 6.6 Çözümlü Örnekler 7. Kirişlerde Kesme Kuvveti ve Eğilme omentlerinin Hesaplanması ve Diagramları 7. Giriş ve Tanım 7. Kesme Kuvveti ve Eğilme omenti 7. Kesme Kuvveti ile eğilme momenti arasındaki ilişki 7. Kesme Kuvveti ve Eğilme omenti Diagramlarının Pratik Olarak Çizilmesi 7.5 Çözümlü Örnekler

3 8. Kafes Sistemleri 8. ir Kafes Sisteminin Tanımı 8. asit Kafes Sistemleri 8. İzostatik ve Hiperstatik Sistemler 8. Kafes Sistemler için Genel ilgiler 8.5 Kafes Sistemlerinin İzostatik Olma Şartı 8.6 Çubuk Kuvvetlerinin Taini 8.7 Çözümlü Örnekler 9. Çerçeve ve akinalar 9. Giriş ve Tanımlar. Sürtünme. Giriş. Kuru Sürtünme ve Kanunları. Sürtünme Kanunları. Sürtünme Katsaıları ve Sürtünme çıları

4 Kanaklar. J. L. eriam (Çevirenler: E. Erdoğan,. Savcı, Tuncer Toprak), Statik irsen aınları, 99, İstanbul.... eer, E. R. Johnston (Çevirenler:. Keskinel, T. Özbek), ühendisler için ekanik(statik), 985, İstanbul.. ustafa İnan, Statik Ders Notlar,99, İTÜ.. Ekrem Pakdemirli, Örnekleri ile ühendislik ekaniği, 975, nkara. 5. S. Timeshenko, D., H., (Çeviren: İlhan Kaan), ühendislik ekaniği. 6. E. Kıral, V. Haktanır, ühendislik ekaniği, Çukurova Üniversitesi, DN

5 ÖLÜ GENEL PRENSİPLER. GİRİŞ ekanik, kuvvet etkisi altında cisimlerin denge ve hareket şartlarını inceleen bir bilimdir. ekanik üç ana bölüme arılır. u bölümler: Rijit cisim mekaniği, Elastik cisim mekaniği ve kışkanlar mekaniğinden oluşmaktadır. EKNİK Rijit Cisim ekaniği Elastik Cisim ekaniği kışkanlar ekaniği a. Statik b. Dinamik a. ukavemet a. Sıkıştırılabilen kışkanlar b. Sıkıştırılamaan kışkanlar Rijit cisim mekaniği, diagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikie arılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareket halindeki cisimlerle uğraşır. Statik, kuvvet etkisi altında cisimlerin denge şartlarını inceleen bir bilim dalıdır. Statik e ait ilk prensipler ve kanunlar kaldıracın bulunması ile başlamıştır. rchimedes denge kanunu ve kaldıraca ait ilk formülleri azmıştır. ugüne gelincee kadar birçok bilim adamı bu konuda çalışmışlardır. azı bilim adamları şöle sıralanabilir. Galile, Stevinus, Varignon, Newton, D lembert, Langrange ve Hamilton Statik te duran katı cisimler ile kuvvet arasındaki denge şartları incelenir. Yani cismin fiziksel davranışı (uzama, kısalma, eğilme, hareket, hız vb. ) ile uğraşılmaz, dengelenmiş kuvvetler ve bunun geometrisi araştırılır. Gerçekte kuvvet etkisi altında cisimler bir miktar da olsa şekil değiştirirler. u şekil değiştirmeler, a çok küçük olduklarından denge şartlarının incelenmesinde göz önüne alınmaz ada cismin şekil değiştirmediği farzedilir. ir başka deişle statik rijit cisimlerin kuvvet ve boutları arasındaki etkileşimi inceler.

6 . TEEL KVRLR.. Kuvvet Kuvvet, tatbik edildiği cisimlerin bulundukları konumları değiştirmee çalışan fiziksel bir etki olarak tanımlanabilir. Eğer bir cisim ip, zincir vb. ile bir ere Şekil. de görüldüğü gibi asılmış ise er çekimi etkisi ile ipi vea zinciri, düşe doğrultuda ağırlığı kadar bir kuvvetle aşağı doğru çekmektedir. Kuvvet noktasından etki etmektedir. Yönü aşağı ve doğrultusu dir. W W Şekil. Şekil. de görüldüğü gibi kuvvetin tam olarak tanımlanabilmesi için; a. Kuvvetin şiddeti () b. Tatbik noktası() c. Doğrultusu() d. Yönü(şağı) bilinmelidir. Yukarıdaki kuvveti tanımlaan bu dört öğee kuvvetin elemanları denir. Kuvvet gibi şiddeti, tatbik noktası, doğrultusu ve önüle tanımlanan büüklüklere Vektörel büüklükler denir. Kuvvet gibi ısı akışı, hız, ivme birer vektörel büük iken, sıcaklık ve kütle skaler büüklüktür... adde adde, uzada er kaplaan her şedir. ir cisim, kapalı bir üzele çevrelenmiş bir maddedir... Cisim Tanım olarak cisim, uzada er kaplaan her şe cisim olarak adlandırılır. Cisimler çeşitli şekillerde (katı, sıvı, gaz vb) olabilir. Davranışları çeşitli şekillerde modellenebilir. ekanikte cisimler davranışına göre, rijit, elastik, elasto-plastik, vizkoelastik cisim olarak adlandırılır. Statikte ise cisimler rijit olarak kabul edilir. Yani cisimler kuvvet etkisi altında hiç şekil değiştirmezler.

7 .. talet talet, maddenin, hareketteki değişikliğe karşı direnç gösterme özelliğidir.. TEEL İLKELER Elamenter mekanik, denelerden elde edilen altı temel ilkee daanır.u ilkeler statik içinde geçerlidir... Paralel Kenar Kanunu ir cismin herhangi bir noktasına etkien, iki kuvvetin etkisi, bir paralel kenarın köşegeni ile gösterilen tek bir kuvvetin etkisine denktir. u kuvvete ileşke kuvvet denir. şağıdaki r r şekil. de görüldüğü gibi a ve b vektörlerinin toplamı paralel kenar kuralına göre c r vektörüne eşittir. b γ c a Şekil. Vektörel olarak bu toplam c a b şeklinde tanımlanabilir. Eğer iki vektör arasındaki açı γ ise bileşkenin şiddeti c a b ab cosγ (..) dir. una kosinüs kanunu denir. Kuvvetlerin toplanmasında Sinüs kanunu da kullanılır. α b γ c β a Şekil.

8 Şekil. den görüldüğü üzere, αβγ8 ο (..) a b c (..) sin( α) sin( β ) sin( γ ) Yukarıdaki ifade de vektörlerin (Kuvvetlerin) toplanmasında kullanılabilir... Newton un. Kanunu Denge halindeki kuvvetlerin etkisinde bir maddesel nokta, a sabit durur a da doğrusal hareket eder... Newton un. Kanunu ir maddesel noktanın ivmesi, ugulanan bileşke kuvvetin büüklüğü ile doğru orantılıdır. İvme, kuvvet ile anı doğrultu ve öndedir... Newton un. Kanunu ma (..) Temas halindeki cisimlerin temas noktasındaki etki ve tepki kuvvetleri anı doğrultuda ve şiddette fakat zıt önlüdür. W W W z Şekil. R Şekil. deki top bir düzlem üzerinde durmaktadır. Düzlemde, ani, doğrultularında top harekete karşı serbest olduğu halde düşe doğrultuda (z önünde) hareket serbestliği oktur. u kanuna göre düzlemin topa gösterdiği tepki kuvveti RW dir. Statikte, harekete karşı tamamıla serbest olmaan cisimlerin denge şartlarını incelemek zorunda kalırız. Cismin herhangi bir doğrultu ve öndeki serbest hareketine mani olan şee ağ denir. Dolaısıla orada doğan kuvvete de ağ Kuvveti denir. İlerleen bölümlerde bağlar ve bağ kuvvetleri detalı bir şekilde incelenecektir...5 Süperpozison ve Kaıcılık İlkesi ir rijit cismin bir noktasına etkien bir kuvvetin erine, anı tesir çizgisi üzerinde, anı şiddet, doğrultu ve önde, fakat başka bir noktaa etkien bir kuvvet konulursa, rijit cismin denge ve hareketinde bir değişiklik olmaz. u durum şekil.5 de gösterilmiştir.

9 Şekil. Şekil.5..6 Genel Çekim Kanunu Kütleleri ve m olan iki maddesel nokta karşılıklı olarak eşit ve zıt önlü ve kuvvetleri ile şekil.6 da görüldüğü gibi birbirini çeker. Cisimler arasındaki bu çekime Newton un gravitason kanunu denir ve aşağıdaki formülle izah edilir. : İki maddesel nokta arasındaki karşılıklı çekim kuvveti G : Gravitason sabiti d : addesel noktaların merkezleri arasındaki uzaklık, m : addesel noktaların kütleleri. m G. (..) d m G cm /grsn d Şekil.6 Gravitasonal kuvvetler, her cisim çifti arasında mevcuttur. Yerüzü üzerinde, ölçülebilen tek gravitasonal kuvvet, erin çekiminden ileri gelen kuvvettir.(..) ve (..) nolu denklemlerin birleşiminden, düşen cismin kütlesi birbirini götürerek, g ivmesi, G g d (..5) dir. Yerüzüne göre g nin değeri, ekvatorda 9.78 m/s, 5 lik enlemde 9.8 m/s ve kutuplarda 9.8 m/s olarak bulunmuştur. Çoğu mühendislik problemlerinde, g nin değeri 9.8 m/s olarak almak ugundur. ir cismin kütlesini, genel çekim kanunula hesaplamak mümkündür. Cismin ağırlığının değeri, W ise ve cisim g ivmesi ile düştüğüne göre (..) nolu denklemden, bulunur. Wmg (..6) 5

10 ÖLÜ VEKTÖRLER VE KUVVETLER. GİRİŞ Çevremizdeki büüklükler, alan, hız, hacim, kütle vb. genellikle iki şekilde adlandırılır. Skaler ve vektörel büüklükler. Skaler: Sadece fiziki büüklüğü olan sıcaklık, kütle, alan gibi değerlere skaler dioruz. Vektör: iziki büüklüğü anında birde önü ve doğrultusu olan hız, ivme, kuvvet ve moment gibi değerler vektör olarak adlandırılır. Vektörel ifadeleri skalerden aırmak için a üzerinde bir ok( v r ) vea alt cizgi ( v ) olarak gösterilirler. Vektörler kendi doğrultusunda kadırılabiliorsa bunlara kaan vektör başlangıç noktası sabit ise böle vektörlerede bağlı vektörler denir. Skaler büüklükler için geçerli olan dört işlem (toplama, çıkarma, çarpma bölme) ve diğer matematiksel (türev, integral) işlemler vektörler içinde vektörlere has öntemlerle apılabilmektedir.. VEKTÖRLERİN TOPLNS VE ÇKRLS ilinen iki vektör r ve r olsun. u iki vektörün taplamına R r dielim. Paralel kenar kanunu vasıtasıla şekil. de bu toplam R r r r şeklinde verilir. ve, vektörlerin bolarını gösterdiğine göre vektörlerin toplamı geometrik olarak şekil. gibi verilebilir. r r r r r R r r θ α r r R r r r r R r r r r r R r r r Şekil. İki vektörlerin toplanmasının geometrik gösterimi u vektörlerin arasındaki açı θ ise toplamın şiddeti şu şekilde azılabilir. Vektörün şiddeti iki cizgi arasında gösterilir. 6

11 R ± Cos( θ ) (.) vektörü ile R vektörünün aptığı açı şu şekilde azılabilir. Vektörlerin toplanması için dört temel metot vardır. a) Paralel kenar metodu b) Üçgen metodu c) Poligon metodu d) nalitik metot sin( θ ) α arctan (.) cos( θ ) İlk iki metot genellikle iki vektörün toplanmasında diğer iki metot ise ikiden çok vektörün toplanması durumunda kullanılılır. unları sırasıla ele alalım. a) Paralel kenar metodu ir noktada kesişen iki vektör bir paralel kenara tamamlanırsa vektölerin kesim noktasından geçen köşegen o vektörlerin toplamına eşittir. Paralel kenara tamamlama ölçekli bir çizimle apıldığında köşegenin bou ölçülerek bileşke kuvvetinşiddeti bulunabileceği gibi cebirsel olarakta bileşke kuvvetin şiddeti ve önü hesaplanabilir. Şekil.. de geometrik çizim verilmiştir. r N R r θ α sin(θ) O r K cos(θ) L Şekil. Paralel kenar kuralı ile kuvvetlerin toplanması (OL) üçgeninden bileşke kuvvet aşağıdaki gibi azılabilir rıca ukarıdaki dik (OL) üçgeninden _ / O R [ ( OK cos( θ )) ( sin( θ ) ] R [ ] Cos( θ ) sin( θ ) tan( α) ve α tan - sin( θ ) cos( θ ) cos( θ ) 7

12 daha önce bulduğumuz formüller ile anı ifadeleri bulduk. O halde paralel kenar kuralı ile vektörlerin toplamı ve önü bulunabilmektedir diebiliriz. rıca ukarıdaki formüllerden şu özel durumlar sölenebilir.. θ o iki vektör çakışıktır.. θ9 o iki vektör birbirine diktir. u durumda şunlar azılabilir. R [ ] ) ve α tan -. θ8 o ise iki vektör anı doğrultudada olup önleri zıttır. R r r - r ise α o ve > vea α 8 o ve < dir. b) Üçgen etodu r ve r verilen iki vektör ise r vektörünün ucundan(ok tarafı) r vektörüne paralel ve anı şiddette bir vektör çizilir. r vektörünün başlangıç noktası ile r vektörünün uc noktasını birleştiren doğru R r bilişke vektörünün şiddetini r dan r e doğru R r nin önü bulunur. Şekil. de üçgen metodunun ugulaması görülmektedir. r r θ r α r R r r r Şekil. üçgen metodunun ugulaması c) Poligon etodu u metot üçgen metodun genişletilmiş halidir. İkiden fazla vektörün toplanması için kullanılan geometrik bir toplama metodudur. ilinen üç vektör,,c olsun vektörlerden birini çizdikten sonra diğer vektörleri kendi ön ve doğrultusuna sadık kalarak çizilen ilk vektörün uç noktası ile diğer vektörün başlangıcı birleştirilir. nı işlem sonraki vektör içinde ugulanır. İlk çizilen vektörün başlangıç noktası ile son cizilen vektörün bitim noktası birleştirilirse R bileşke kuvveti; şiddet ve ön olarak bulunmuş olur. urada işlem sırası ve vektörlerin birbirini kesmesi önemli değildir. Şekil. de üç vektör için metodun ugulanışı gösterilmiştir. r r r C r r C r r r r r R C Şekil. Poligon metodu 8

13 d) nalitik etot ir vektörü (birbirine dik doğrultularda) kartezen koordinat sisteminde iki bileşene aırmak mümkündür. Vektörün eksenlerden birisi ile aptığı açı θ ise.vektör sin(θ) ve cos(θ) ile çarpılarak dik koordinatlardaki izdüşümü bulunabilir. Şekil.5 de görüldüğü gibi vektör ve eksenleri önünde bileşenlere arılabilir. Şekil.5 ir vektörün bileşenlere arılması Şekil de bir kuvvet için apılan bu bileşenlere aırma birden fazla vektör içinde apılabilir. Sonra bu bileşenler cebirsel olarak toplanırlar. ütün vektörlerin önündeki bileşenleri R ve önündeki bileşenleri R olmak üzere bu işlemler birden çok kuvvet için apılmış ise, R... n R... n Vektörlerin toplamı [ ( R) ( ) ] R R R ve α tan - R İfadeleri azılabilir. Eğer R ise R ve R olması gerektiği toplamanın özelliğinden görülmektedir. 9

14 Örnek : r 6N r 95N 5 95cos 8. N 6 cos N 95sin 7. 5N 6sin5 6. N. N 6. Y 6N (.) (6.6) 67, N α tan (6.6 /.) α o 7,6 α Şimdie kadar bir düzlem içinde bulunan vektörlerden bahsettik. Uzada ukarıdaki öntemlerle vektörel işlemleri apmak zordur. Uzada vektörleri üç dik eksendeki bileşenleri ile azmak gerekir. unun için birim vektörleri tanımlamak gerekmektedir. u vektörler sırasıla,,z eksenleri bounca i, j, k olarak bilinir. u vektörlerin boları bir birimdir. ir skaler ile bir vektörün çarpımıda anı önde bir vektör vermesi tanımından, uzadaki bir vektörü aşağıdaki gibi azabiliriz. z k i j Şekil.6 irim vektör

15 Düzlemde bir vektörün gösterilimi ve birim vektörler Şekil.7 deki gibidir. θ j i i tan j ( θ ) Şekil.7 r r r r i j zk urada,, z skaler terimleri, r nün sırasıla,,z eksenleri önündeki bileşenlerinin şiddetleridir. Şekil.8 de uzada bir r nün bileşenleri gösterilmiştir. Şekilden de anlaşılacağı gibi,, z bileşenleri r nün üç noktasının koordinatlarıdır. O halde vektörün başlangıç noktası orijin ve bitim noktasının koordinatları (,, z ) olarak verilirse, r r r r r i j z k ve olarak azmak mümkündür. z z z i r k r α γ r β j r Şekil.8 vektörün bileşenleri ve birim vektörler Sırasıla,, z eksenleri ile vektörün aptığı açılar (α), (β), (γ) ise,

16 .. Doğrultman Kosinüsleri: Cos(α), Cos(β), Cos(γ) dır. Doğrultman kosinüsleri arasında şu bağıntı vardır. Cos (α) Cos (β) Cos (γ) Doğrultman kosinüslerini vektörlerin bileşenleri ve şiddetlerine bağlı olarak aşağıdaki gibi azabiliriz. Cos(α), Cos(β), Cos(γ) z vektörü doğrultusundaki (bounca) birim vektör λ ise şu şekilde tanımlanabilir. λ r i j z k Cos(α) i Cos(β) j Cos(γ) k r λ Cos(α) i Cos(β) j Cos(γ) k Eğer bilinen vektörler,,... n ise bu vektörlerin toplamı şekilde azılabilir. r r r r r i j k R z r R vektörü şu.. Uzada İki Nokta rasında Tanımlanmış Kuvvetler Eğer koordinat eksenleri vektörün başlangıcında geçmior ve başlangıç noktası (,, z ) ve bitim noktası (,, z ) olarak verilmiş bir r vektörü şöle azılabilir. Şekil.9 da böle bir vektörü göstermektedir. r r r r ( ) i ( ) j ( z z ) k vea r r r r ( ) i ( ) j ( z z) k r ( - ) ( - ) (z - z ) şeklinde azılabilir.

17 z (,, z ) r λ (,, z ) O Şekil.9 İki nokta arasında tanımlanan kuvvetler - doğrusu üzerindeki birim vektör şu şekilde tanımlanabilir. λ r r r - bounca medana gelen vektör ve değeri, - nin koordinatlarından tanımlanabilir. r r r r λ. VEKTÖRLERDE ÇRP Vektörlerde çarpma işlemi denilince aşağıdaki dört tip çarpma akla gelir. a) ir skalerin bir vektörle çarpımı b) İki vektörün skaler çarpımı c) İki vektörün vektörel çarpımı d) ikiden fazla vektörün skaler ve vektörel çarpımı unları sırasıla ele alalım.

18 a ) ir skalerin bir vektörle çarpımı Skaler saı a olsun vektörde ise skaler çarpım, S r a r olarak azılabilir. urada S r vektörünün şiddeti, a skaleri ile r çarpımına eşittir. S nin doğrultusu ile anı olup, a> ise S r vektörü r vektörü ile anı önde a< ise S r vektörü r vektörünün tersi önde vektörünün şiddetinin a ise S r vektörü bir noktaa dönüşür Örnek : r r r r 5 i 7 j 5k olarak verildiğine göre r ve (- r ) nedir? Çözüm: r r r r i j k ve - r r r i 8 j 6k dir. b) İki vektörün skaler çarpımı Verilen iki vektör r ve r olsun. u iki vektörün skaler çarpımı; O r θ H r r r. cos( θ ) C O r O v OHODcosθ D Şekil. Skaler çarpımın geometrik anlamı r r. cos( θ ) ifadesile tanımlanabilir. Yukarıdaki ifade r skaler çarpım r die okunur. skalerdir ve Şekil. daki taralı dikdörtgenin alanını verir. Eğer iki vektör birbirine dik ise θ9 o ve z z

19 cos9 olduğu için skaler çarpım sıfır olur. Diğer bir ifade ile skaler çarpımları sıfır olan iki vektör birbirine diktir. θ o, cos olur ve skaler çarpım, bu iki vektörün şiddetleri çarpımına eşittir. birim vektör ise, skaler çarpım nın doğrultusundaki bileşeninin şiddetini verdiği Şekil. dan görülmektedir (OHcos θ) Yukarıdaki açıklamalardan i,j,k birim vektörlerinin skaler çarpımı şöle azılabir. r r r r r r r r v r r r i. i j. j k. k ve i. j i. k j. k irim vektörler cinsinden verilmiş iki vektör. r r r r r r r r i j k ve i j k olsun bu iki vektörün skaler çarpımı; r r. olur. Skaler çarpım (.) ile gösterilmektedir.ir vektörün kendisile çarpımı: r r. z z vea z z dır. uradan şöle diebiliriz. ir vektörün şiddeti kendisile skaler çarpımının kareköküdür. z z Örnek : r r r r 7 i 8 j k vektörünün r r r r i 6 j k vektörü önündeki bileşenini bulunuz. r r. b şeklinde azarsak b birim vektörünü hesaplaabiliriz. (69) (/) 7 ise, b r r r r ( i 6 j k 7 r. b r 7 ) dir. ((7).()(-6).(-8)()()) bulunur c) İki vektörün vektörel çarpımı r r r r r r r r ilinen iki vektör, i j k ve i j k olsun, bu iki vektörün vektörel çarpımı; z r r r C olarak azılır ve vektörel çarpım die okunur. urada çarpım ine bir vektördür. C vektörünün şiddeti; C..Sinθ dır. z 5

20 ve - vektörlerine diktir. Yönü sağ el kuralına göre bulunur. Şekil. de sağ el kuralı ve iki vektörün vektörel çarpımından elde edilen C vektörü ve önü görülmektedir. z C r r θ r Şekil. Sağ El Kuralı, Vektörel çarpım ve C vektörünün önü urada sırasıla,,z önlerindeki birim vektörler i,j,k ise bu vektörlerin vektörel çarpımı r r r r r r i i jj kk ve r r r r r r r i j k, ki j, jk i tersi ise r r r v r r r r ji k, i k j, kj i dir. u çarpımdan da vektörün önü görülmektedir. rıca Şekil. den vektörel çarpmada r r r r olduğundan çarpma sırası önemlidir. Paralel iki vektörün çarpımı sıfırdır. ir başka ifade ile çarpımları sıfır olan iki vektörün, vektörel çarpımı sıfır ise bu iki vektör paraleldir. Geometrik olarak vektörel çarpımın manas; çarpılan iki vektörün medana getirdikleri paralel kenarın alanını vermektedir. İki vektör birim vektörler cinsinden verilmiş ise bu iki vektörün vektörel çarpımı aşağıda verilmiştir. r r r r r r r r r C ( i j k ) ( i j k ) z z 6

21 u çarpımın sonucu aşağıdaki matrisin determinatının açılımıdır. i j k z z r r r ( ) i ( ) j ( ) k z z z z. DDESEL NOKTNN DENGESİ Newton un birinci kanuna göre bir maddesel noktaa etkien bileşke kuvvet ise maddesel nokta hareketsiz kalır. Eğer başlangıçta bir hızı varsa sabit hızla doğrusal hareket apar. u kanuna göre uzada bir noktada kesişen kuvvetlerin statik dengesi için bileşke kuvvet R olmalıdır. ileşenler halinde azılacak olursa Σ, Σ, Σ z şartı bulunmalıdır. unlara denge denklemi adı verilir. Eğer kuvvetler çokgeni çizilmiş ise bileşke kuvvetin sıfır olma şartı erine getirilebilmesi için çokgenin başlangıç noktasının tekrar kapanması gerekir. Düzlemde denge denklemleri iki tanedir. Kuvvet dengesinde arıca momentlerin dengesi için de bir denklem daha azmak gerekir. Σ, Σ C C α β β W T α P T C P α T 8-( αβ) β T C a) Durum diagramı b) Serbest Cisim Diagramı c) Kuvvet Diagramı Şekil. Şekil. de görüldüğü gibi problemin fiziksel şartlarının gösterilmesi durum diagramı, cisim izole edilir ve etki eden kuvvetler gösterilirse buna serbest cisim diagramı denir. Problem denge denklemleri ardımıla çözülebilir. Çözümde kullanılan alnızca kuvvetlerin gösterildiği diagrama kuvvetler diagramı denir. eselâ kuvvetler üçgeninde kuvvetleri belirleen sinüs denklemleri; T Tc P şeklinde azılabilir. sin β sinα sin(8 ( α β )) 7

22 Denge denklemleri ile çözmek istersek; T T C Σ Σ P 8

23 .5 ÇÖZÜLÜ PROLELER Problem : o Şekildeki çerçevee 5 N luk kuvvet etki etmektedir. C N ise ı hesaplaınız. rıca θ açısını bulunuz. θ C 5 N Çözüm: θ 6 o o C N C N θ 6 o 5 N α 5 N 5 Sinα Sin6 Sinα ( Sin6) 5 o α,9 θ 8 6,9 θ 76, Sinα Sinθ 56N Problem : 9

24 N 5 5 N 5 o N ileşke kuvveti ve ekseni ile aptığı açıı bulunuz. Çözüm: R R R 5. Cos 5. 5 R 8, N R 5. Sin5. 5 R 96,8 N R R 96,8 N θ R -8, N R R 85 N θ tan ( 8,) 96,8 96,8 7,8 8, o Problem :

25 z (5i-jk)N (6j8k) N ve kuvvetlerinin bileşkesinin şiddetini ve,,z eksenleri ile aptığı açılar hesaplaınız. Çözüm: R z R R (6 j 8k) (5i j k) γ R 5i j 8k α O β R 5 ( ) 8 R 9 N λ R R 5i j 8k 9 λ,67i,9 j,9k Cos(α), Cos(β), Cos(γ) z Cosα,67 Cosβ-,9 Cosγ,9 α7,8 o β o γ9,6 o

26 Problem : z kn kuvvetinin düzlemi ile aptığı açı o ise kuvvetinin bileşenlerini bulunuz. o 6 o Çözüm: z z 6 o o kn '. Cos,6 kn z. Sin kn '. Cos6,6. Cos6,7 kn '. Sin6,6. Sin6 kn (,7 i j k) kn

27 Problem 5: z ir kancaa N ve 7 N kuvvetleri etki etmektedir. ileşkenin ekseni üzerinde 8 N olabilmesi için kuvvetinin bileşenlerini ve,, z eksenleri ile aptığı açıları hesaplaınız. o 6 5 o Çözüm: v v v v v v R R R Rz v cosα i cos β j cos β k cos 5i cos6 j cosk i 5 j 5k v ( ) i ( j ) ( v R Rj 8 j v v v R 8 j ( z ) k ) i (5 ) j ( 5 z ) k R i N z 5N N cosα 7cosα α cosβ β,8 5 7cosγ γ 77,6 vea λ i 65 j 5k ( ) 65 5,i,98 j,k

28 Problem 6: 5 6 C D Verilen sistemde C kablo kuvveti ile CD a kuvvetini hesaplaınız. (W6 N) E Wm.g Çözüm: W T 6 6 N T.cos6 T.sin 6 6 T 69,8 sin 6 T.cos6,6 N

29 Problem 7: kn kn 5 o o m 5 m Kuvvetleri bilinen iki kablo noktasına bağlanmıştır. Üçüncü bir kablosu bağ teli olarak kullanılmaktadır. u tel dan e bağlanmıştır. deki kuvvet ne olmalıdır ki üç kablonun bileşkesi düşe olsun. Çözüm: i 5 j [ ] ( ) ( 5) r. Cos5. Cos5 R 7kN

30 Problem 8: 8 m C m kablosundaki kuvvet 5 N, C kablosundaki kuvvet 5 N dur. Kablodan noktasına gelen kuvvetlerin bileşkesini bulunuz. m 6 m z Çözüm: C (,,8) (6,,6) C(,,) 6i j k C 6i j 6k C C m C 5 ( 6i j k) 7 5 ( 6i j 6k) 9 i 5 j k) z C i 5 j k R C R 6i j k 6

31 ÖLÜ İR KUVVETİN İR EKSENE GÖRE OENTİ. İR KUVVETİN İR EKSENE GÖRE OENTİ ir kuvvetin tatbik edildiği cismi sabit bir eksen etrafında döndürme eğilimine kuvvetin o eksene göre momenti denir. oment Yönü z N C D Dönme Yönü o k Şekil. ir kuvvetin momenti ve sağ el kuralı omentin işaretini belirtmek için ON eksenin okla gösterilen önde () olduğunu kabul edip sağ el kuralına göre momentin önü belirtilebilir. Sağ elin parmakları kuvvetin çevirme önündeken başparmak kuvvetin önünü gösterir. momenti şekilde görüldüğü gibi bir vektörle gösterebilir. moment vektörü vektör kurallarına uan ve tesir çizgisi moment ekseni olan bir kaan vektör olarak düşünülebilir. Çünkü dik düzlem olarak başka bir düzlem alınsadı ine anı şiddette ve ine anı döndürme önünde bir vektör bulunacaktı. omentin birimi Newton metre (Nm) dir. ütün kuvvetlerin anı düzlemde olması halinde bir noktaa göre momentten bahsedilebilir. slında bu moment o noktasından geçen ve düzleme dik olan eksene göre momenttir. Düzlemsel kuvvetlerde moment vektörünü göstermee gerek oktur. Kuvvetlerin düzlemde olması durumunda noktaa göre moment den bahsedilebilir. 7

32 o d z _ z Şekil. Düzlemde omentlerin önü Sisteme birden çok kuvvetin etkimesi durumunda ise momentler toplanır. R O d Örnekler; Örnek : Şekil. omentlerin Toplanması O ( )( ) N m N m 8

33 Örnek : O ( )( ) 5 N.75m 75N m Örnek : O ( )( ) 7kN m.kn m Örnek : 8 N (.5 m) N m 8 N (.5 m) N m 8 N ( m) N m C 8 N (.5 m) N m D. VRİGNON TEOREİ ir kuvvetin bir noktaa göre momenti, bu kuvvetin bileşenlerinin ine anı noktaa göre momentlerinin toplamına eşittir. o d P r R r Q r o d Q d P P r R r Q r r r r R P Q ( R) ( P) ( Q) o o o Şekil. Varignon teoremi 9

34 u teorem ikişer, ikişer kuvvetler için peş peşe ugulanarak ikiden çok kuvvet ve onların bileşenleri için ispat edilebilir. Yani bir noktada kesişen birçok kuvvetin herhangi bir noktaa göre momentleri toplamı anı noktaa göre bileşke kuvvetin momentine eşittir. u teorem hem bağlı hem de kaıcı vektörlere ugulanabilir. Varignon teoreminden ararlanarak bileşke kuvvetin bir noktaa göre momenti erine bu kuvvetin bileşenlerinin anı noktaa göre momentlerini almak çoğu zaman daha elverişli olmaktadır od o o d k z Şekil.5 Kartezen koordinatlarda ir kuuvetin momenti Uza kuvvet sistemleri için varignon teoremi genelleştirilirse bileşenleri,, z olan ve uzada (,, z) noktasına etki eden bir kuvvetin eksenlere göre momentleri azılabilir. unlar; z..z.z z. z.. r r r o z z Şekil.6 Uzada bir kuvvetin momenti

35 O r r. i r. j r k z.. i. j z. k ( o ) r r o i r r j k r z z o.i.j z.k o ( z. r.r z )i - ( z. r.r z )j ( r r )k Problem: N C 6 E D N? cm. KUVVET ÇİTLERİ Zıt önlerde etkien eşit iki kuvvetten medana gelen sisteme kuvvet çifti denir. urada dengelenmiş bir moment bulunmaktadır. oment erkezi, Kuvvetlerin arasında vea dışında ada kuvvetlerden biri üzerinde alınsa ine anı şiddette ve anı döndürme önünde kuvvet çifti elde edilir. O O a Şekil.7 Kuvvet çiftleri

36 -(O).(O) a ( O ). (O` )..a oment vektörlerinin büüklüğü moment merkezine bağlı olmadığı için anı zamanda düzlem üzerinde herhangi bir noktaa kaabilirler. P P P P P P a a a P a a a a P a Şekil.8 Kuvvet Çiftlerinin Konumu. KESİŞEN DÜZLELERDEKİ KUVVET ÇİTLERİ VE KUVVET ÇİTLERİNİN İLEŞKESİ p P N R q Q a R a R R a R p q R Şekil.9 Kuvvet çiftlerinin Toplanması Kesişen iki düzlem ve N olsun. unlar üzerinde iki tane kuvvet çifti bulunsun. ( P, q). u kuvvet çiftlerinin şiddetleri ve önleri anı kalmak şartıla aralarındaki uzaklıklar değiştirilebilmektedir. u sonuçtan ararlanarak Kuvvet çiftlerinin moment kolları değiştirilerek ara kesit üzerinde anı noktalardan geçmeleri sağlanabilir. p P.a ; q Q.a

37 Şiddetleri Pa ve Qa olan ve ara kesit üzerinde ve noktalarında kesişen iki kuvvet çifti görülmektedir. Çiftlerin momentleri p ve q düzlemlere dik olarak çizilmiştir. ve noktalarında kuvvetler paralel kenar kanunu kullanılarak P ve Q kuvvetlerinin bileşke kuvvet çiftini temsil eden iki eşit paralel ve zıt önlü R kuvvetini elde ederiz. R P Q dur. ileşke çiftinin şiddeti R R.a dır. Dolaısıla bu düzlemlere dik ve çiftleri temsil eden moment vektörlerinin vektörel toplamı bileşke kuvvet çiftini temsil eden moment vektörlerini verir. Yani R p q R.a R R P Q PQ cosθ P a Q a PQa cosθ p q pq.cosθ Cos 9 R p q Kuvvetler için apılan bütün vektörel işlemler kuvvet çiftlerini temsil eden moment vektörleri içinde geçerlidir... Kuvvet Çiftlerine İz Düşüm Yönteminin Ugulanması Kuvvet çiftlerini temsil eden momentlerin bileşkelerin vektörel toplamıla bulunduğunu gördük. ileşenlere anı öntemle arılmaktadır. Uzada bileşke momentin geometrik olla dik iki düzlemde bulunması her zaman mümkün değildir. unun erine izdüşüm öntemi kullanmak daha elverişlidir. i ( )i i.cos i ( )i i.cosβi ( z )i i.cosγ i urada i, β i, γ i i moment vektörünün sırasıla,, z eksenlerine aptıkları açılardır. Kuvvet çiftlerinin kendi düzlemleri içinde ki konumlarının önemi olmadığına kuvvet çiftlerinin düzlemleri kendilerine paralel olarak hareket ettirmekle çiftlerin etkileri değişmeeceğine göre uzadaki herhangi bir kuvvet çifti sistemin uzada herhangi bir

38 noktasında kesişen moment vektörüle temsil edilebilir. uradan bir noktada kesişen uza kuvvetlerine benzer olarak herhangi bir,,... n kuvvet çifti sisiteminin bileşke kuvveti çifiti n i i n i z i Z i n i olarak bulunabilir. ileşke kuvvet çiftinin şiddeti z ile verilir.,, z eksenlerile aptığı açıların doğrultman cosinüsleri cos, cos β, cos γ z dir..5 KUVVET SİSTELERİNİN İLEŞKELERİ ekanikte birçok problem kuvvet sistemlerini ilgilendirir. u kuvvet sistemlerinin apacağı tesiri izah ederek en basit hale dönüştürmek gerekir. ir kuvvet sisteminin bileşkesi rijit cisme tesir eden dış etkileri değiştimeksizin orjinal kuvvetlerin en basit kombinezonudur. ir cismin dengesi için üzerine tesir eden bütün kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olması şarttır. Eğer bir cisme tesir eden kuvvwetlerden doğan bileşke sıfır değilse cismin kütlesile ivmenin çarpımını bileşke kuvvete eşitleerek ivme tanımlanır..5. Paralel Kuvvet Sistemleri ileşkenin şiddeti sistemi medana getiren kuvvetlerin skaler toplamına eşittir. ileşkenin tesir çizgisinin konumu Varignon teoremi ile bulunur. R G(,) R n n i i i i R R i i

39 .5. Eşdeğer Kuvvet Sistemleri Eğer iki kuvvet sistemi verilen herhangi bir noktada anı kuvvet ve kuvvet çiftine indigenebiliorsa birbirine eşdeğerdir denir. ir nokta için sağlanan eşdeğerlik bundan sonra bütün diğer noktalar içinde sağlanabilir. atematik olarak gerekçe ve eter şart ; Σ Σ`, Σ o Σ o` Σ Σ`, Σ Σ`, Σz Σz` Σ Σ`, Σ Σ`, Σz Σz` dir. unun manası şudur. Eğer iki kuvvet sistemi bir rijit cisme,, z doğrultularında anı öteleme ve döndürmei aptırmaa çalışırsa bu kuvvet sistemleri birbirie eşdeğerdir denir. 5

40 .6 ÇÖZÜLÜ PROLELER Problem : Çözüm: ğırlığı ihmal edilen ve bou L olan bir çubuk bir pim ile şekilde görüldüğü gibi zemine bağlanmıştır. rıca çubuğun üst kısmı da bir kablo ile zemine bağlanmıştır. Eğer çubuğun ortasına bir kuvveti ata olarak ugulanırsa; a) Kablodaki çeki kuvvetini b) Çubuğa ve pime etkien ata ve dike kuvvet bileşenlerini bulunuz. T O O mg P Statik Denge: T. Sin5 P T. Cos 5 P...( )...( ) L T. Sin5. L....( ) T. denklemden; P T. denklemden; P T L. denklemden;. L. T. una göre; P P olarak elde edilir. olarak bulunur. 6

41 Problem : C z E O D G Verilen kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini O a indirgeiniz. (irimler cm dir.) kn kn 5 kncm kncm Çözüm: (,,) ; E(,,) ; G(,,) ; (,,) ; O(,,) ; (,,) E i k G j O j k i k.( ) 6i k j.( ) j 5i j k.( ) 8 j 6k 5i 8 j 6k i 6 j k i j k i 8 j 5k Ncm 7

42 Problem : z m CD//z C N D N N m m Verilen kolda kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini a indirgeiniz. da doğacak reaksion kuvvetlerini hesaplaınız. Çözüm: urada problemin çözümünde matris öntemi kullanılacaktır. C ve D noktaları arı arı matris şeklinde azılacaktır. T i j k i j k T i( ) j() k( 6) i( ) j( 6) k( 6) T i 6 j k urada; Nm, 6Nm, z Nm noktasındaki mesnet reaksionları ise sırası ile; z. Yol: z i j k N T ( ) j i 6 j k 8

43 Problem : z D (-,, ), (,, 6), C(, -, ), D(, -, ) ğırlığı 5 N olan O çubuğu ukarıda koordinatları verilen üç tel halatla, C, D noktalarına sabitlenmiştir. Sistemin dengede kalabilmesi için halat germe kuvvetlerinin minimum ne olması gerektiğini hesaplaınız. o C Çözüm: z D j 6k N D C i j 6k i j 6k O C D D j 6k. 5 5, C C i j 6k , i j 6k C z 6 5, C 7,5 D N C 6 7 5,7 D 5 D D 7 C,8,796 7 C,86 c D 55 N 78,6 N 9

44 Problem 5: z D m c//z C/ C N N m Verilen kolda kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini D e indirgeiniz ve D de doğacak mesnet reaksionlarını hesaplaınız. N m N Çözüm: i j k D j D j i( 8) j( 6) k( 6) D 8i j 6k D z N D N D

45 Problem 6: Şekilde görüldüğü gibi C noktasından asılı olan cisim 8 N ağırlığa sahiptir. una göre kablonun ata ve dike çekme kuvvetlerini ve piminde medana gelen reaksion kuvvetlerini bulunuz. (D deki makara sürtünmesizdir.) Çözüm: T T,5 m,5 m, m Denge denklemlerine göre; 8 N T(.5) T () 8(.) 5 T 7.58 N N N 5 8

46 Problem 7: Şekildeki vinç G, G ve G olarak ifade edilen ağırlık merkezlerinden W N, W 6 N ve W 6 N olmak üzere üç ağılığa sahiptir. ğırlık kaldırma kollarının ağırlığını ihmal ederek; a) N ağırlığa sahip cisim eğer sabit hızla kaldırılırsa dört tekerde medana gelecek reaksion kuvvetlerini bulunuz. b) ğırlık kaldırma kolu şekildeki pozisonda tutulursa kolun uç kısmı ile ne kadarlık ağırlık kaldırılabilir. Çözüm: W W W W N N

47 a) W N (N )(.5) (6)(.5) (6)(.75) ()(.75) ()(.5) 8.5N 9 N 65 N N N N 8765 N b) (6)(,5) (6)(,75) ()(,75) W (,5) W 896 N

48 Problem 8: C elemanı noktasından bir pim ile desteklenmiştir ve DC elemanına da C noktasından bir pim ile bağlanmıştır. una göre ve D noktasında medana gelen reaksion kuvvetlerini bulunuz. Çözüm: D 5 o 5 o X Y o 8(5) (D.Cos5 )() (DSin5) (9) D 9.8 N D.Cos5 o N 8 D.Sin5 o N

49 Problem 9: kolu, 8 N ağırlığındaki silindiri C kablosu ile şekilde görüldüğü gibi tutmaktadır. una göre, mesnedindeki reaksion kuvvetlerini ve C kablosundaki çekme kuvvetini bulunuz. Çözüm: ( ; ; ), (-, ;,6 ; ), C( ; ;,) C,i,6 j,k C,7 T C,,6, T C i j k,7,7,7 Z (r kuvvet ve r ise konum vektörüdür. ) X Y T C TC ( 8N.,6) i,7 i,, j,6,6 k, 8 N TC ( 8 N) i (,i,6 j),7 5

50 una göre; N T T N C C 8,,7 8 8,7, ; N,7,6 ;,7, Z Z Z N T T N T C C C 6

51 Problem : Çözüm: ir boru, üzerinde dike olarak ugulanmış olan kn ve kn luk ükleri C ve D kabloları ile taşınmaktadır. una göre, küresel mafsalındaki reaksion kuvvetlerini ve bağlantı noktasındaki kablolardaki çekme kuvvetlerini bulunuz. (;;), (;;), C(;;), D(-;;) T D D i j k T C C i j k D C Y T T D C T T D C i j k i j k X Z T (r ) ( kn.) i (kn.5,5) i D i j k T C i j k T ( kn) i D T (i j k) C (i j k) 7

52 una göre; k kn T T C D 7 C D C D C D C D T T T T j kn T T T T kn i 5,66 kn ;,kn ; Z Z Z kn kn T T T T T T C D C D C D 8

53 Problem : Eğrisel çubuk - düzleminde olup arıçapı m dir. Eğer çubuğun ucundan 8 N luk bir kuvvet ugulanırsa, bu kuvvetten dolaı oluşan momenti; a) O noktasına göre, b) noktasına göre bulunuz. Çözüm: a) (;;), C(;;-) C i j k C,7 C C i j k C,7 C {,9i 6,7 j,78 k}n O (r O ) i j k { 8,i 8,j 56,68k}N.m,9 6,7,78 b) (-.Cos5 o ;.Sin5 o, ) (,878 ;, ; ) ve C(,,-) 9

54 r C r C r r C (,878;,; ) (,;,; ) i j,,,9 6,7,78 k { 7,57 i 9,7j 5,8k}N.m Problem : Şekildeki üçaaklı çerçevenin C parçasını temel alarak { 5 i - j 8k} kuvveti nin momentini bulunuz. Çözüm: (;;), C(;;), D(,5;;) r { j} m, r { i} m, r {,5i j k}m C D r r C D r r D - r - r C { i j} j - i m.5i j k j {.5i k}m i j C U C r -.77i.77j r C ( ) () C C C U C.(r D.77 ) ,Nm U { 6i 6j}N.m C C 5

55 Problem : Çözüm: 5N 7sin 5cos6 o o RX RX N 96 7sin 5cos6 o o R R o RX R R R R 8.5 θ 5 96 tanθ 5N N ) ( ) ( N 76N.m -76N.m () 6 5sin () 7cos 5 R o o o R R R 76N.m R.57m 76 ).5 (sin8 o 5

56 Problem : Çözüm: r r r r E { k} r r E r r m r E { k} m { j}m { j} m R, R { i j 65k}N { i j k} { i j 5k} { 5k} R ; R r r r E i j k i j k i j k 5 5 { i 8j}N.m 5

57 Problem 5: Çözüm: R 6() 5 8 o ωa (6 X )d 5. ω o R 595. kn.χ.. 8 o 8 o 8 o.ω.ω (6 (6 )d )d..m r kn 5().(7)897.7 kn.m 595.()897.7 knm. 86m 5

58 . GİRİŞ VE TNLR ÖLÜ RİJİT CİSİLERİN DENGESİ Kuvvet etkisindeki bir kontrüksion (apı), rijit bir cisim gibi hareket etmiorsa dengededir (Şekil.). Rijit cismin hareketi, ötelenme ada dönmedir vea ikisinin birleşimi şeklinde olabilir. Yapının dengede kalabilmesi için, apıı döndürmee vea ötelemee sebep olan kuvvet mesnet noktalarındaki tepki kuvvetleri ile dengelenmelidir. z i O Şekil. Rijit Cismin Dengesi İki boutlu bir apının herhangi bir önde hareket etmemesi için gerekli olan şart, o apının birbirine dik herhangi iki önde hareket etmemesi şeklinde tanımlanabilir. Normal olarak (şart olmamak koşulu ile) bu önler ata ve dike alınır. Yapıa herhangi bir önde kuvvet etki etmez ise apı o önde harekete zorlanmaz. undan dolaı ata önde herhangi bir hareket olmaması için o önde etki eden bütün kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır (Σ ). enzer şekilde, dikede hareket olmaması için (Σ ) olmalıdır. ir apının düzlem içinde dönmeme şartı, o apının bir eksende dönmemesi ile belirlenir. ölece, düzlemin herhangi bir noktasında kuvvetlerin bileşke momentinin olmaması lazım gelir. undan dolaı, düzlemde dönme olmaması için herhangi bir noktada momentlerin toplamı sıfır olmalıdır. Yani, sistemin içinde ada dışında noktaa göre alınan moment sıfır (Σ ) olmalıdır. 5

59 O Şekil.: Kuvvetlerin Gösterimi İki boutlu bir apının tamamıla dengede olabilmesi için; Σ : bütün ata kuvvetlerin cebirsel toplamı sıfıra eşit Σ : bütün dike kuvvetlerin cebirsel toplamı sıfıra eşi; Σ : bütün kuvvetlerin herhangi bir nokta (eksen) etrafındaki momentlerinin cebirsel toplamı sıfıra eşit demektir. unlar iki boutlu (düzlem) apıların statik dengesi için denge denklemi olarak bilinir. Yukarıda denklemlerin sağlanabilmesi için eterli bağların ve bunlara karşılık gelen mesnet reaksionların sağlanması lazımdır. Üç arı denklem ile üç bilinmeenin şiddeti belirlenebilir. Eğer apı sadece eterli mesnetlerle bağlanmışsa ( ten fazla olmaan bilinmeen reaksionlar), apı ukarıdaki eşitliklerle tamamıla analiz edilebilir ve statik olarak belirlidir (İzostatik). Eğer bilinmeen saısı üçten fazla ise, sadece ukarıdaki denklemleri kullanarak çözüm mümkün değildir ve apı statik olarak belirsizdir (hiperstatik). u tip problemler, elastik cisim mekaniğinde cisimlerin şekil değiştirmelerine bağlı bilinmeen saısı kadar eni denklem azılabilirse bilinmeen tepkiler bulunabilir. İki boutlu apılarda üçten az mesnet reaksionu varsa, eksik bağlıdır. Yapı rijit cisim olarak hareket eder. ir cisim (apı) üç ada daha çok noktadan bağlı olmasına rağmen ukarıdaki denklemlerden birini sağlamıorsa böle sistemlere etersiz bağlı sistemler denir.. ESNETLER VE ESNET REKSİYONLR.. Kaıcı esnetler Sadece bilinmeen bir reaksion sağlar ve hareket önüne pozitif bir açı ile etki eder. ölece kaıcı mesnetler, bir doğrultuda lineer harekete ve dönmee müsaade ederler. 55

60 v θ u R Şekil.: Kaıcı esnet Şekil. den de anlaşılacağı üzere, önünde deplasman oktur ani sıfırdır ama önünde bir tepki kuvveti medana gelir... Sabit esnetler R Tek noktada sabitlenmiş mesnetler ata ve düşede iki reaksion verir dolaısıla iki önde cismin hareketine engel olur. akat dönmei sağlar. v R θ u Şekil.: Sabit esnet ve önünde er değiştirmeler sıfıra eşitken, ve önünde reaksion kuvvetleri R, R medana gelir. θ olduğunda olmaktadır... nkastre (Konsol) esnetler R Yönü ve şiddeti bilinmeen iki reaksion ve momenti sağlar (toplam üç bilinmeen). öle bir mesnet iki doğrultuda lineer hareketi ve bir eksen etrafında dönmei engeller. R v z θ u R Şekil.5: nkastre esnet urada ise θ dır ve R R olmaktadır. u mesnetlerin birlikte ugulanmasını şekil.6 deki gibi görebiliriz. 56

61 Şekil.6: Kaar ve Sabit esnet in irlikte Ugulanması. ÜÇ YERDEN PUNTLNŞ DÜZLE YPLR Eğer apı üç noktadan sabitlenmiş ise (menteşe gibi) (şekil.7), öle ki apının bir parçası diğer parçanın dönmesinden bağımsız olarak pim etrafında dönebilior, bölece özel bir çeşit denge eşitliği daha azılabilir, çünkü pim etrafındaki bütün kuvvetlerin momentleri toplamı sıfır olmalıdır. u mesnet reaksionunun bilinmeen bir bileşeninin belirlenmesini sağlar. Şekil.7 Üç erden puntalanmış kavisli apı. UZY YPLR Üç boutlu bir apı, uza apıdır. Karşılıklı dik önler, bir uza apı için kuvvetlerinin toplamı, sıfır olmalı ve üç tane karşılıklı dike eksen (, ve z) etrafındaki kuvvetlerin momentleri toplamı da sıfır olmalıdır. undan dolaı, Σ : Σ : Σz : Σ : Σ : Σ z : X önündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra eşittir. Y önündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra eşittir. Z önündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra eşittir. X ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra eşittir. Y ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra eşittir. Z ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra eşittir... üük Yapılar Yapının, Şekil.8 de barajda görüldüğü gibi dengei sağlaması kendi ağırlığına bağlıdır. ölece, denge için, 57

62 T T W T O R V Şekil.8 araj duvarı P Σ : Yapının ağırlığının (W) ve ükün (T) dike bileşenleri (T ) dike ukarı öndeki er tepkisi (V) ile dengelenmelidir. apının altındaki Σ : Yükün (T) ata bileşeninden (T ) kanaklanan doğrusal öndeki kama eğilimi, ükün arkasındaki tepki kuveveti (P) ve/vea er ile apı arasındaki sürtünme kuvveti (R) tarafından engellenmelidir. Σ : Dönme merkezi (O) etrafında ükten kanaklanan döndürme momenti anı noktada kendi ağırlığından kanaklanan enilenme momenti tarafından dengelenmelidir. Kütle apısı döndürmee karşı güvenlik faktörünü sağlamak için ağırlığı denge için minimum gerekli ağırlıktan daha büük olacak şekilde dizan edilmiştir. Örnekler; Şekil.9: ir kapıda; a) Tek menteşe olması durumunda gelen kuvvetler b) Çift menteşe olması durumunda medana gelen kuvvetler 58

63 Şekil.: ir kepçenin çalışması esnasında medana gelen tepki kuvvetleri Şekil.: rabanın dengesi D D W W Şekil.: Vinç te denge sistemi 59

64 Tablo. İki outlu Cisimler için esnet ve ağ Tepkileri ağlantı Tipi Reaksion ilinmeen Saısı Kablo ir bilinmeen. Reaksion kuvveti çekme kuvvetidir ve bu kuvvet bağlı bulunduğu elemandan itibaren kablo doğrultusundadır. ğırlıksız bağlantı çubuğu vea ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet bağlantı çubuğu bounca etki eder. ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet temas noktasındaki üzee dik olarak etki eder. Kaıcı afsal Kaıcı afsal vea ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet arığa dik olarak etki eder. Kaıcı afsal ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet temas noktasındaki üzee dik olarak etki eder. Pürüzsüz Temas Yüzei ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet temas noktasındaki üzee dik olarak etki eder. Düz çubuk üzerindeki bileziğe bağlı mafsal vea ir bilinmeen. Reaksion, kuvvettir ve bu kuvvet çubuğa dik olarak etki eder. 6

65 ağlantı Tipi Reaksion ilinmeen Saısı afsal vea İki bilinmeen. Reaksionlar, iki kuvvet bileşeni vea φ doğrultusundaki bir bileşke kuvvettir.(φ ve θ açısı. bağlantı tipindeki gibi olmadıkça birbirine eşit olmak zorunda değildir. Düz bir çubuk üzerinde bileziğe ankastre bağlantı İki bilinmeen. Reaksionlar, kuvvet ve momenttir, ve çubuğa dik olarak etki eder. nkastre mesnet vea Üç bilinmeen. Reaksionlar, iki kuvvet bileşeni ve momenttir. Vea φ doğrultusunda bir bileşke kuvvet ve momenttir. 6

66 Tablo. Üç outlu Cisimler için esnet ve ağ Tepkileri ağlantı Tipi Reaksion ilinmeen Saısı () Üç bilinmeen. Reaksionlar, üç kuvvet bileşenidir. Küresel afsal () Radal Yük taşıan Yatak () Döner mafsal Dört bilinmeen. Reaksionlar, iki kuvvet ve iki de momenttir. eş bilinmeen. Reaksionlar, üç kuvvet ve iki de momenttir. () enteşe eş bilinmeen. Reaksionlar, üç kuvvet ve iki de momenttir. (5) nkastre mesnet ltı bilinmeen. Reaksionlar, üç kuvvet ve üç de momenttir. 6

67 .5 ÇÖZÜLÜ PROLELER Problem : O z cm O da doğacak mesnet reaksionlarını hesaplaınız. 5 N z 6 N z cm Çözüm: i j k 5 6 o o o o oz i( 8 ) 8i j 5k 8 Ncm Ncm 5 Ncm Σ O 5N Σ z O z 6N j( ) k( 5) 6

68 Problem : z D m C//z C N N m Verilen kolda kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini D e indirgeiniz ve D de doğacak mesnet reaksionlarını hesaplaınız. N m N Çözüm: i j k D j D j i( 8) j( 6) k( 6) D 8i j 6k D z N D N D 6

69 Problem : cm 5 N da doğacak mesnet reaksionlarını hesaplaınız. z N cm C cm 5N z N cm z z 5N N. Ncm z z.- Ncm 65

70 Problem : CDE kirişini noktasından sabit bir mesnet ve D noktasında kaıcı bir mesnetle Şekil. de görüldüğü gibi mesnetlenmiştir. Üç noktadan kuvvetler etki etmektedir. Reaksion kuvvetlerini belirleiniz. Çözüm Şekil.: Çıkmalı kiriş ük diagramı da ve gibi iki reaksion kuvveti ve D de dike olarak etkien sadece tek bir reaksion D kuvveti vardır. u reaksionlar serbest kuvvet diagramında gösterilmiştir (Şekil.). Sadece üç bilinmeen vardır; burdan sistem statik olarak belirlidir ve bilinmeenler belirlenebilir. kn kn 5kN D Şekil.: Serbest kuvvet diagramı Yata ük oktur; bundan dolaı, ise () D i belirlemek için etrafında momentler alınır: (Σ ) -( ) - ( ) - (5 5) (D ) D.75 kn () ı belirlemek için (Σ ) D 5 (.75) 5.5 kn () D etrafında alınan momentler kontrol edilir: Σ D ( ) ( ) ( ) (5 ) (.5 )

71 Problem 5: CD kirişi da sabit bir mesnede ve C de kaıcı bir mesnede sahiptir. Şekil.5 de gösterildiği gibi, kiriş, herbiri 5 kn olan iki tekil ük ve kn/m lineer aılı olan üke maruzdur. Reaksionları belirleiniz. Çözüm: Şekil.5: Çıkmalı kiriş ük diagramı C ise Yatada ük oktur. Şekil.6 Serbest kuvvet diagramı C i belirleelim; etrafındaki momentleri alalım: aılı ükün momenti, ( 6 kn) (.5 m) dir. (Σ ) - (5 ) (C ) - (,5) - (5 6) C 6.75 kn ı belirleelim; (Σ ) 5 C ( ) 5 5 (6.75) kn 67

72 ÖLÜ 5 İKİ OYUTLU CİSİLERİN ĞRLK ERKEZLERİ 5. GİRİŞ VE TN ğırlık kuvvetlerinin bileşkelerine cismin ağırlığı, ve bu kuvvetlerinin bileşkesinin tatbik noktasına cismin ağırlık merkezi denir. Dünanın katı bir cisme tatbik ettiği er çekim kuvvetleri dünanın merkezine öneliktir. u kuvvetleri çok büük bir aklaşıkla paralel kuvvetler olarak ele alınabilir. ühendislikte bir cisme ugulanan ağırlık kuvvetlerinin vea bazı sebeplerle tatbik edilen kuvvetlerin bileşkesinin tatbik noktalarının bilinmesi gerekmektedir. W W W... W n t W W W W Şekil 5. ğırlık kuvvetleri z ğırlık kuvvetlerinin bileşkesinin tatbik noktası, bu kuvvetlerinin eksenlere göre momentlerini, bileşkenin momentine eşitleerek bulunur. ölece W W... W n gibi n tane paralel kuvvetin erine eşleniği konulmuş olur. Kuvvetler z eksenine paralel oldukları için bu eksene göre momentleri oktur. n W w W... n W n W i W i dw i W. n W w W... n W n W i W i dw i W. Eğer iki boutlu cisim düzgün kalınlıklı bir plak ise burada kalınlığın diğer boutlardan çok küçük olma şartı vardır. u durumda ağırlık kuvveti W γ.t. γ (özgül ağırlık), t (kalınlık ), (alan), şeklinde ifade edilebilir. 68

73 Toplam ağırlık; n W γ.t. γ.t....γ.t. n γ.t (... n ) γ.t. i W i Eksenlere göre momentleri azalım ; n.γ.t. γ.t i γ.t (..... n. n ) i Kütle erkezi;. n i d. i..... n. n benzer şekilde.. d d G W Şekil 5. Kütle merkezi urada. d S. d S. d a alanın eksenine göre statik momenti vea eksenine göre birinci momenti denir.. d da alanın eksenine göre statik momenti ada birinci momentidir. h b h/ b.h b h ğırlık merkezinin eri; cisimde bir simetri ekseni varsa ağırlık merkezi bu eksen üzerindedir. Eğer iki simetri ekseni varsa simetri eksenlerinin kesim noktası ağırlık merkezidir. 69

74 Çubuğun ğırlık erkezi; Gg Şekil 5. Çubuğun ağırlık merkezi W γ.a. L a Telin kesit alanı γ özgül ağılık L Telin küçük parçasının bou n L L L L... Ln i Σ o i.l n L i Σ o.l i i n L i i i i dl L i dl L lanın ğırlık erkezi; G Şekil 5. lanın ağırlık merkezi d d z z d 7

75 5. İRLEŞİK LNLRN ĞRLK ERKEZİ G G G G (, ) G (, ) G (, ) irleşik alan öncelikle kendisini medana getiren geometrisi bilinen küçük alanlara arılır. Her bir alanın ağırlık kuvveti bu alanın ağırlık merkezinde bulunmasından hareketle tüm cismin ağırlık merkezi bulunabilir. W W W W,.W.W.W.W.W.W.W.W X X n i İ i n i. n İ i n i i Örnek 5. ğırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz. 6 cm 6 cm X. ( ).(6) 8 76,7cm 8 8 cm cm 5.().(6) 76, 7cm ĞRLK ERKEZİNİN İNTEGRSYONL ULUNS 7

76 ühendislikte analitik olmaan eğrilerle çevirili üzelerin ağırlık merkezleri, kendisini oluşturan küçük üçgen, dikdörtgen, kare...vb. elemanlara arılarak bunların alanlarının toplamlarından hareketle üzein ağırlık merkezi aklaşık olarak bulunabilir. Eğer üzei çevreleen eğriler analitik reel fonksion ise üzein ağırlık merkezi integralle bulunabilir. Yüze üzerindeki diferansiel mertebedeki alan elemanı: d d.d alınarak buradan çift katlı integralle ağırlık merkezinin koordinatları bulunabilir. ühendisliğe daha ugun bir çözüm ise diferansiel mertebede ince dikdörtgen kesitler tek katlı integralle alanlar ve ağırlık merkezleri bulunabilir. Eğri altında kalan alanın hesaplanması; d d d d l d Taralı alanın ağırlık merkezinin integral ifadesi; g G g g d g d Örnek 5. Taralı alanın ağırlık merkezinin bulunması, b cos b π a d, burada d d 7 d

77 d π a d b cos a a a a π sin a b π π sin sin ab π π ab a a a g g d d d ) ( ) ( d π a d a cos b a a sin a b π π ( ) a a b b a g g d b d d ) cos ( ) ( π a a a π a a d cos b a sin a cos a b π π a a π π π π b a ab b a π π π π π π a a 8 b ab ab ab π π ( ) ( ) π π a a a b 7

78 Örnek 5. d ( a ) d. g d a g a a g g. d g d g Örnek 5. dl d d d parantezine alarak g d dl d g dl g `.d.l. dl, L dl g.l. dl Örnek 5.5 Dikdörtgenin ağırlık merkezini integral ardımıla bulunması,. g. d.b.h b. h h b g d h.b.h. b. d.b.h b. h 7

79 .b.h b. d d h.d g d b.b.h. h.. d h b.b.h h. b b Örnek 5.6 Üçgenin ağırlık merkezini integral ardımıla bulunması, d.d.. d b h b. h. h. d a b.( h ) h b. h h o. b h ( h ). d b d h b h. h h b h o ( h ). d Örnek 5.7 Çerek dairenin ağırlık merkezini integral ardımıla bulunması, Çerek daire içinβ açısı ile 9 arasındadır. r β dθ θ r cosθ r cosθ G r dθ d (r dθ)(r) r dθ d r β r dθ π [] r [] π β θ θ r 75

80 . π π d g r cosθ r dθ r cosθ dθ r π r [ sin θ] π r r π π r r sin İki eğri arasıda kalan alanın ve ağırlık merkezinin hesabı; dd( -)d - - d (-), d d d ( ( ) d ) d ( ( ) d 5 ) d d d dd(- )d (-), 76

81 d d d ( ( ) d ) d ( ) d ( ) d 5.5 DÖNEL CİSİLER ( PPPUS GULDİN TEORELERİ ) Teorem.: ir düzlem eğrinin kendi düzlemi içinde fakat kendini kesmeen bir eksen etrafında döndürülmesile oluşan dönel üzein alanı eğrinin uzunluğula dönme sırasında ağırlık merkezinin kat ettiği olun çarpımına eşittir. π g L d π g dl π. g dl Örnek 5.8 Yarım çember aından küre üze alanının elde edilmesi r r π. π. r π 8 π.r Örnek 5.9 Eğik bir doğrunun ekseni etrafında döndürülmesi ile koni üze alanının hesabı L h r π. π.r.l r. L ( koni ) Örnek 5. Çemberden tor üze alanının hesabı r π.π.r ( tor ) π.r.r R Örnek 5. X eksenine paralel bir doğrudan silindir üze alanının elde edilmesi π.r.h ( silindir ) h r 77

82 Teorem : Düzlem bir üzein kendi düzlemi içinde, fakat kendini kesmeen bir eksen etrafında döndürülmesile oluşan dönel cismin hacmi, üzein alanıla dönme sırasında üzein ağırlık merkezinin kat ettiği olun çarpımına eşittir. V π g dv π g L V π g d Örnek 5. Yarım daireden kürenin hacminin hesabı G r V π V. π. r r π. r. π ( küre ) Örnek 5. Dikdörtgenden dolu silindirin hacminin hesabı h r V π. r.h.r V π.r.h Örnek 5. Üçgenden koni hacminin hesabı L r V π π. r h V r r. h. Örnek 5.5 Dolu daireden R arıçaplı torun hacminin hesaplanması r R V π.r.π.r V π.r.r 5.5 ÇÖZÜLÜ PROLELER 78

83 Problem ) cm Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. cm cm cm Çözüm: cm 6,65 cm cm cm cm....8 X, 65cm Y 6, 65cm 6,6 cm Problem ) 79

84 5 Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. mm mm 5 mm Çözüm:....(6.) 55.(.) 8.(.6) X 55 mm (6.) 6.(.) 5.(.6) Y 6 mm 6 6 Problem ) 8

85 cm Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. cm 8cm cm cm Çözüm: Toplam cm 6 cm Problem ) 8

86 cm cm cm cm Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. 6cm cm Çözüm:, ,5 5 Toplam 8 96 Σ Σ Σ Σ 8 cm Σ Σ 96 cm Σ Problem 5) 8

87 8 Verilen profil kesitte ağırlık merkezini, erini hesaplaınız. (ölçüler cm dir) 5 6 Çözüm: 6, , ,5 cm 56 76,9 cm 56 Problem 6) 8

88 5cm cm Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplaınız. cm cm Çözüm: 5cm cm r π cm r π cm X Y X. Y., , ,76 5,76-78,5-6,8-5, Toplam,7 9,7 587,67. 9,7 X, cm,7. 587,67 Y, 5 cm,7 Problem 7) 8

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki cisimlerle uğraşır. Statik, kuvvet etkisi altında cisimlerin

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER. Yatay bir düzlem yüzeye gelen hidrostatik kuvvetin büyüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istiyoruz.

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER. Yatay bir düzlem yüzeye gelen hidrostatik kuvvetin büyüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istiyoruz. BTMIŞ YÜZEYLERE ELEN HİDROSTTİK KUVVETLER DÜZLEM YÜZEYLER Yata Yüeler Sıvı üei Yata bir dülem üee gelen idrostatik kuvvetin büüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istioru. d d Kuvvetin Büüklüğü :Şekil deki

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKANİK ANABİLİM DALI STATİK 042 13 12 DERSİ NOTLARI ŞUBAT 2008. Prof. Dr.

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKANİK ANABİLİM DALI STATİK 042 13 12 DERSİ NOTLARI ŞUBAT 2008. Prof. Dr. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞT MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ MEKNİK NİLİM DLI STTİK 04 3 DERSİ NTLRI ŞUT 008 Prof. Dr. Turgut KCTÜRK . Giriş ve ana ilkeler. Vektörler ve kuvvetler, maddesel noktaların statiği Tanımlar

Detaylı

STATİK (1. Hafta) Giriş TEMEL KAVRAMLAR

STATİK (1. Hafta) Giriş TEMEL KAVRAMLAR Giriş STATİK (1. Hafta) Mühendislik öğrencilerine genellikle ilk yıllarda verilen temel derslerin başında gelir. Sabit sistemler üzerindeki kuvvet ve momentleri inceleyen bir bilim dalıdır. Kendisinden

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4 BÖLÜM IV. Düzlem Kafesler. En çok kullanılan köprü kafesleri. En çok kullanılan çatı kafesleri

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4 BÖLÜM IV. Düzlem Kafesler. En çok kullanılan köprü kafesleri. En çok kullanılan çatı kafesleri İ.T.Ü. Makina akültesi ÖLÜM IV üzlem Kafesler En çok kullanılan köprü kafesleri En çok kullanılan çatı kafesleri İ.T.Ü. Makina akültesi Mühendislik olalarında genel olarak birden çok katı cisim birbirine

Detaylı

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi 4. 4. Cismin ğırlığı Düzlemsel landa ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi Düzlemsel Eğride ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi 4.3 Bileşik Plak ve Teller 4.4 Pappus Guldinus Teoremleri 4.5 Üç Boyutlu Cisimlerde

Detaylı

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi

Detaylı

BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAFESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR)

BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAFESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR) BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR) 4.1 Kafesler: Basit Kafes: İnce çubukların uçlarından birleştirilerek luşturulan apıdır. Bileştirme genelde 1. Barak levhalarına pimler ve kanak vasıtası

Detaylı

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BAYIROĞLU MÜHENİSLİK MEKNİĞİ STTİK ES NOTLI Yrd. oç. r. Hüsein YIOĞLU İSTNUL 3 . Mekaniğin tanımı 5. Temel ilkeler ve görüşler 5 İçindekiler GİİŞ 5 EKTÖLEİN E İŞLEMLEİNİN TNIMI 6. ektörün tanımı 6. ektörel işlemlerin

Detaylı

2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI. Hazırlayan Arş. Grv. A. E. IRMAK

2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI. Hazırlayan Arş. Grv. A. E. IRMAK 2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI AMAÇ Hazırlaan Arş. Grv. A. E. IRMAK Eş zamanlı kuvvetler etkisinde dengede bulunan bir cismin incelenmesi, analitik ve vektörel metotları kullanarak denge problemlerinin

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (3. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (3. Hafta) TAŞIYICI SİSTEMLER VE MESNET TEPKİLERİ STATİK (3. Hafta) Taşıyıcı Sistemler Bir yapıya etki eden çeşitli kuvvetleri güvenlik sınırları içinde taşıyan ve bu kuvvetleri zemine aktaran sistemlere taşıyıcı

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği -Fizik I 2013-2014 Dönme Hareketinin Dinamiği Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 İçerik Vektörel Çarpım ve Tork Katı Cismin Yuvarlanma Hareketi Bir Parçacığın Açısal Momentumu Dönen Katı Cismin

Detaylı

Maddesel Nokta Statiği 2.1. HAFTA. Đçindekiler S T A T İ K :

Maddesel Nokta Statiği 2.1. HAFTA. Đçindekiler S T A T İ K : --11-- Maddesel Nkta Statiği 2.1. HATA --22-- Đçindekiler Mekaniğe Giriş Đki kuvvetin bileşkesi Vektörler Vectörel işlemler Bir nktada kesişen kuvvetlerin bileşkesi Örnek Prblem 2.1 Örnek Prblem 2.2 Bir

Detaylı

İÇ KUVVETLER. Amaçlar: Bir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi

İÇ KUVVETLER. Amaçlar: Bir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi İÇ KUVVELER maçlar: ir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi Yapısal elemanlarda oluşan iç kuvvetler ir yapısal veya mekanik elemanın tasarımı,

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Statik Denge ve Esneklik

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Statik Denge ve Esneklik 1 -Fizik I 2013-2014 Statik Denge ve Esneklik Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 2 İçerik Denge Şartları Ağırlık Merkezi Statik Dengedeki Katı Cisimlere ler Katıların Esneklik Özellikleri 1

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta) KAFES SİSTEMLER STATİK (4. Hafta) Düz eksenden oluşan çubukların birbiriyle birleştirilmesiyle elde edilen sistemlere kafes sistemler denir. Çubukların birleştiği noktalara düğüm noktaları adı verilir.

Detaylı

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ Bu konular denge problemelerinden tamamen bağımsızdır. Alanların ağırlık merkezi ve atalet momenti ismi verilen geometrik

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

ÇALIŞMA SORULARI. Şekilde gösterildiği gibi yüklenmiş ankastre mesnetli kirişteki mesnet tepkilerini bulunuz.

ÇALIŞMA SORULARI. Şekilde gösterildiği gibi yüklenmiş ankastre mesnetli kirişteki mesnet tepkilerini bulunuz. ÇALIŞMA SORULARI Üniform yoğunluğa sahip plaka 270 N ağırlığındadır ve A noktasından küresel mafsal ile duvara bağlanmıştır. Ayrıca duvara C ve D noktasından bağlanmış halatlarla desteklenmektedir. Serbest

Detaylı

Arş. Gör. Melda A. ÇAKIROĞLU Sayfa 1 21.04.2006/11:10 Osman GENÇEL

Arş. Gör. Melda A. ÇAKIROĞLU Sayfa 1 21.04.2006/11:10 Osman GENÇEL Arş Gör Melda A ÇAKIROĞLU Safa 04006/:0 MUKAVEMET GİRİŞ - Mekanik Tanımı - Elastisite - İdeal Kavramlar (elastik cisim- homogen- izotrop- hooke asası) İÇ KUVVETLER ve NORMAL KUVVET HALİ - Normal Gerilme

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10-

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10- 1 Dinamik Fatih ALİBEYOĞLU -10- Giriş & Hareketler 2 Rijit cismi oluşturan çeşitli parçacıkların zaman, konum, hız ve ivmeleri arasında olan ilişkiler incelenecektir. Rijit Cisimlerin hareketleri Ötelenme(Doğrusal,

Detaylı

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 212 YAPI STATİĞİ I STABİLİTE STATİKÇE BELİRSİZLİK KİNEMATİK BELİRSİZLİK Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinnd P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hri ACAR İstnbul Teknik Üniveristesi Tel: 85 1 46 / 116 E-mil: crh@itu.edu.tr Web: http://tls.cc.itu.edu.tr/~crh

Detaylı

2: MALZEME ÖZELLİKLERİ

2: MALZEME ÖZELLİKLERİ İÇİNDEKİLER Önsöz III Bölüm 1: TEMEL KAVRAMLAR 11 1.1.Mekanik, Tanımlar 12 1.1.1.Madde ve Özellikleri 12 1.2.Sayılar, Çevirmeler 13 1.2.1.Üslü Sayılarla İşlemler 13 1.2.2.Köklü Sayılarla İşlemler 16 1.2.3.İkinci

Detaylı

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT ÜHENDİSLİĞİ BÖLÜÜ Department of Civil Engineering İN 303 YAPI STATIĞI II AÇI YÖNTEİ Slope-deflection ethod Y.DOÇ.DR. USTAA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi,

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

6.12 Örnekler PROBLEMLER

6.12 Örnekler PROBLEMLER 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Çok Parçalı Taşıyıcı Sistemler Kafes Sistemler Kafes Köprüler Kafes Çatılar Tam, Eksik ve Fazla Bağlı Kafes Sistemler Kafes Sistemler İçin Çözüm Yöntemleri Kafes Sistemlerde

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

Fizik 101: Ders 21 Gündem

Fizik 101: Ders 21 Gündem Fizik 101: Ders 21 Gündem Yer çekimi nedeninden dolayı tork Rotasyon (özet) Statik Bayırda bir araba Statik denge denklemleri Örnekler Asılı tahterevalli Asılı lamba Merdiven Ders 21, Soru 1 Rotasyon Kütleleri

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Yapı Sistemlerinde Elverişsiz Yüklemeler:

Yapı Sistemlerinde Elverişsiz Yüklemeler: Yapı Sistemlerinde Elverişsiz Yüklemeler: Yapılara etkiyen yükler ile ilgili çeşitli sınıflama tipleri vardır. Bu sınıflamalarda biri de yapı yükleri ve ilave yükler olarak yapılan sınıflamadır. Bu sınıflama;

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI tasarım BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI Nihat GEMALMAYAN, Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü GĐRĐŞ Đlk bisikletlerde fren sistemi

Detaylı

ÖLÜM 3 DENGE, İR KUVVETİN MOMENTİ 3.1 ir Kuvvetin Momenti elirli bir doğrultu ve şiddete sahip bir kuvvetin, bir cisim üzerine etkisi, kuvvetin etki çizgisine bağlıdır. Şekil.3.1 de F 1 kuvveti cismi sağa

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

Biyomekanik Newton Hareket Kanunları

Biyomekanik Newton Hareket Kanunları Biyomekanik Newton Hareket Kanunları Dr. Murat Çilli Sakarya Üniversitesi Beden Eğitimi ve Spor Yüksekokulu Antrenörlük Eğitimi Bölümü Aristo. MÖ 300 yıllarında Aristo ( MÖ 384-322 ) hareket için gözlemlerine

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 8. Konu TORK VE DENGE TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 8. Konu TORK VE DENGE TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINI SRU BANASI 1. ÜNİE: UVVE VE HAREE 8. onu R VE DENE ES ÇÖZÜMERİ 8 ork ve Denge est 1 in Çözümleri. 1 k x 1 k x 1 x 1 x 1. (+) ( ) x 1 k r k x x k x r x k k x noktasına göre tork alalım. oplam tork;

Detaylı

Çerçeveler ve Basit Makinalar

Çerçeveler ve Basit Makinalar Çerçeveler ve Basit Makinalar Çeşitli elemanların birbirlerine bağlanması ile oluşan sistemlerdir. Kafes sistemlerden farklı olarak, elemanlar birbirlerine 2 den fazla noktadan bağlanabilir ve dış kuvvetler

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 8 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 14 Kasım 1999 Saat: 18.20 Problem 8.1 Bir sonraki hareket bir odağının merkezinde gezegenin

Detaylı

7. STABİLİTE HESAPLARI

7. STABİLİTE HESAPLARI 7. STABİLİTE HESAPLARI Çatı sistemlerinde; Kafes kirişlerin (makasların) montaj aşamasında ve kafes düzlemine dik rüzgar ve deprem etkileri altında, mesnetlerini birleştiren eksen etrafında dönerek devrilmelerini

Detaylı

TEST SORULARI Öğlen STATİK-MUKAVEMET 1. YIL İÇİ SINAVI. Adı /Soyadı : No : İmza: Örnek Öğrenci No xaxxxxbcd

TEST SORULARI Öğlen STATİK-MUKAVEMET 1. YIL İÇİ SINAVI. Adı /Soyadı : No : İmza: Örnek Öğrenci No xaxxxxbcd STTİK-MUKVEMET 1. YI İÇİ SINVI dı /Soadı : No : İmza: 06-11-2013-Öğlen Örnek Öğrenci No 010030403 abcd Şekildeki kabloda minimum ve maksimum kablo kuvvetleri ile 1 ve 2 uzunluklarını bulunuz Kablo denklem

Detaylı

ÇÖZÜMLÜ SORULAR. ÇÖZÜM Boşluk miktarı: 100,25 100 2 Mil ile yatağın temas alanı : e 2. Hız gradyanı: Kayma gerilmesi:

ÇÖZÜMLÜ SORULAR. ÇÖZÜM Boşluk miktarı: 100,25 100 2 Mil ile yatağın temas alanı : e 2. Hız gradyanı: Kayma gerilmesi: LÜ SOULA SOU. Şekilde gösterilen D m = mm çapında bir mil D =,5 mm çapında ve L = mm genişliğinde bir atak içerisinde eksenel doğrltda kp lk bir kvvetle anak,5 m/s ızla areket ettirilebilior. Bna göre

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

6. Sınıf Fen ve Teknoloji

6. Sınıf Fen ve Teknoloji KONU: Kuvvet Kuvveti göremeyiz, ancak onu etkileri ile tanırız. Kuvvet; Duran bir cismi hareket ettirebilir. Hareket eden bir cismi durdurabilir. Hareket eden bir cismin hızını değiştirebilir. Hareket

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

8.1 8.2 8.3 8.4. Kesit Tesir Diyagramları Örnekler PROBLEMLER

8.1 8.2 8.3 8.4. Kesit Tesir Diyagramları Örnekler PROBLEMLER 8.1 8.2 8.3 8.4 İç Kuvvetler Bir Noktada Kesit Tesirlerinin Hesabı Örnekler Doğru Eksenli Çubuklarda Kesit Tesirleri Kesim Yöntemi Örnekler Doğru Eksenli Çubuklarda Kesit Tesirleri Diferansiel Denge Denklemleri

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

BASİT MAKİNELER. Basit makine: Kuvvetin yönünü ve büyüklüğünü değiştiren araçlara basit makine denir.

BASİT MAKİNELER. Basit makine: Kuvvetin yönünü ve büyüklüğünü değiştiren araçlara basit makine denir. BASİT MAKİNELER Bir işi yapmak için kas kuvveti kullanırız. Ancak çoğu zaman kas kuvveti bu işi yapmamıza yeterli olmaz. Bu durumda basit makinelerden yararlanırız. Kaldıraç, makara, eğik düzlem, dişli

Detaylı

R d N 1 N 2 N 3 N 4 /2 /2

R d N 1 N 2 N 3 N 4 /2 /2 . SÜREKLİ TEELLER. Giriş Kolon yüklerinin büyük ve iki kolonun birbirine yakın olmasından dolayı yapılacak tekil temellerin çakışması halinde veya arsa sınırındaki kolon için eksantrik yüklü tekil temel

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

T.C. BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MIM331 MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METODLAR DERSİ

T.C. BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MIM331 MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METODLAR DERSİ T.C. BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MIM331 MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METODLAR DERSİ 3 NOKTA EĞME DENEY FÖYÜ ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR.ÖMER KADİR

Detaylı

Manyetizma. Manyetik alan çizgileri, çizim. Manyetik malzeme türleri. Manyetik alanlar. BÖLÜM 29 Manyetik alanlar

Manyetizma. Manyetik alan çizgileri, çizim. Manyetik malzeme türleri. Manyetik alanlar. BÖLÜM 29 Manyetik alanlar ÖLÜM 29 Manyetik alanlar Manyetik alan Akım taşıyan bir iletkene etkiyen manyetik kuvvet Düzgün bir manyetik alan içerisindeki akım ilmeğine etkiyen tork Yüklü bir parçacığın düzgün bir manyetik alan içerisindeki

Detaylı

Kuvvet ve Tork Ölçümü

Kuvvet ve Tork Ölçümü MAK 40 Konu 7 : Mekanik Ölçümler (Burada verilenler sadece slaytlardır. Dersleri dinleyerek gerekli yerlerde notlar almanız ve kitap destekli çalışmanız sizin açınızdan çok daha uygun olacaktır. Buradaki

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

PARALEL KUVVETLERİN DENGESİ

PARALEL KUVVETLERİN DENGESİ ARALEL KUVVETLERİN DENGESİ aralel kuvvetler eğer aynı yönlü ise bileşke kuvvet iki kuvvetin arasında ve büyük kuvvete daha yakın olur. Bileşke kuvvetin bulunduğu noktadan cisim asılacak olursak cisim dengede

Detaylı

STATIK VE MUKAVEMET. 6.Düzlem ve Uzay kafes Sistemler. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ

STATIK VE MUKAVEMET. 6.Düzlem ve Uzay kafes Sistemler. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATIK VE MUKAVEMET 6.Düzlem ve Uzay kafes Sistemler Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ Birbirlerine bağlı birden fazla parçadan yapılmış sistemlerin dengesi için dıs kuvvetlere ilaveten iç kuvvetler de düşünülmelidir.

Detaylı

STATİK Mekanik 1) Rijid cisimler mekaniği 2) Şekil değiştiren cisimler mekaniği 3) Akışkanlar mekaniği

STATİK Mekanik 1) Rijid cisimler mekaniği 2) Şekil değiştiren cisimler mekaniği 3) Akışkanlar mekaniği STTİK Mekanik ) Rijid cisimler mekaniği ) Şekil değiştiren cisimler mekaniği ) kışkanlar mekaniği Kuvvetler altında şekil değiştirmeyen cisme rijid cisim denir. ütün cisimler kuvvetler etkisinde az veya

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

Bilginin Görselleştirilmesi

Bilginin Görselleştirilmesi Bilginin Görselleştirilmesi Bundan önceki konularımızda serbest halde azılmış metinlerde gerek duduğumuz bilginin varlığının işlenmee, karşılaştırmaa ve değerlendirmee atkın olmadığını, bu nedenle bilginin

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI MEGEP (MESLEKÎ EĞİTİM VE ÖĞRETİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ) İNŞAAT TEKNOLOJİSİ STATİK HESAPLAR 1 ANKARA 007 Milli Eğitim Bakanlığı tarafından geliştirilen modüller;

Detaylı

Tork ve Denge. Test 1 in Çözümleri

Tork ve Denge. Test 1 in Çözümleri 9 ork ve Denge est in Çözümleri M. Sistemlerin engee olması için toplam momentin (torkun) sıfır olması gerekir. Verilen üç şekil için enge koşulunu yazalım. F. br =. br F = Şekil II G =. +. +. =. 6 = 6

Detaylı

Soru 1. Cisim dengede ise F¹ ve F² nedir? F¹ = 50.cos 53 = 30N F² = 50.sin 53 = 40N. Soru 2. P² = 8+16 = 24N P³ = 12-6 = 6N

Soru 1. Cisim dengede ise F¹ ve F² nedir? F¹ = 50.cos 53 = 30N F² = 50.sin 53 = 40N. Soru 2. P² = 8+16 = 24N P³ = 12-6 = 6N DENGE VE DENGE ŞARTLARI Bir cisim duruyorsa veya düzgün hızla bir doğru boyunca hareket ediyorsa ya da sabir hızla bir eksen etrafında dönüyorsa ``cisim dengededir`` denir. Cisim olduğu yerde duruyorsa,

Detaylı

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ GÖLCÜK MYO. FİZİK VE MÜHENDİSLİK BİLMİ -2010 ÇALIŞMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ-2

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ GÖLCÜK MYO. FİZİK VE MÜHENDİSLİK BİLMİ -2010 ÇALIŞMA SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ-2 KOCELİ ÜNİVERSİTESİ GÖLCÜK YO. FİZİK VE ÜHENDİSLİK İLİ - ÇLIŞ SORULRI VE ÇÖZÜLERİ- (m/s). nı anda harekete başlaan K e L araçlarının L lan=ol Hız-zaman grafiği şekildeki gibidir. t =7s unda K araçlar arasında

Detaylı

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Özgür EKER EĞİM, BİR DOĞRUNUN DENKLEMİ VE EĞİMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ Eğim: ETKİNLİK : Bir bisiklet arışındaki iki farklı parkur aşağıdaki gibidir. I. parkurda KL 00 metre ve II. parkurda AB 00 metre olduğuna

Detaylı

AĞIRLIK MERKEZİ. G G G G Kare levha dairesel levha çubuk silindir

AĞIRLIK MERKEZİ. G G G G Kare levha dairesel levha çubuk silindir AĞIRLIK MERKEZİ Bir cise etki eden yerçekii kuvvetine Ağırlık denir. Ağırlık vektörel bir büyüklüktür. Yere dik bir kuvvet olup uzantısı yerin erkezinden geçer. Cisin coğrafi konuuna ve yerden yüksekliğine

Detaylı

T E M E L L E R. q zemin q zemin emniyet q zemin 1.50 q zemin emniyet

T E M E L L E R. q zemin q zemin emniyet q zemin 1.50 q zemin emniyet T E E L L E R 1 Temeller taşııcı sistemin üklerini zemine aktaran apı elemanlarıdır. Üst apı üklerinin ugun şekilde zemine aktarılması sırasında, taşııcı sistemde ek etkiler oluşabilecek çökmelerin ve

Detaylı

G = mg bağıntısı ile bulunur.

G = mg bağıntısı ile bulunur. ATIŞLAR Havada serbest bırakılan cisimlerin aşağı doğru düşmesi etrafımızda her zaman gördüğümüz bir olaydır. Bu düşme hareketleri, cisimleri yerin merkezine doğru çeken bir kuvvetin varlığını gösterir.

Detaylı

Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar. 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar

Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar. 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.1 7.2 Varsayımlar ve Tanımlar Tekil Yükleri Aktaran Kablolar Örnekler Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.3 Yatayda Yayılı Yük Aktaran Kablolar 7.4 Örnekler Kendi Ağırlığını Taşıyan Kablolar (Zincir Eğrisi)

Detaylı

Burulma (Torsion): Dairesel Kesitli Millerde Gerilme ve Şekil Değiştirmeler

Burulma (Torsion): Dairesel Kesitli Millerde Gerilme ve Şekil Değiştirmeler ifthmechanics OF MAERIALS 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - Burulma (orsion): Dairesel Kesitli Millerde Gerilme ve Şekil Değiştirmeler ifthmechanics OF MAERIALS ( τ ) df da Uygulanan

Detaylı

İnşaat Mühendisliği Bölümü. Basınç Kuvvetleri

İnşaat Mühendisliği Bölümü. Basınç Kuvvetleri İnşaat Mühendisliği ölümü kışkanlar Mekaniği asınç Kuvvetleri Soru 1 : Şekildeki mafsal altındaki yüzeylere etkiyen yatay ve düşey kuvvetleri bulunuz. (Şekil düzlemine dik derinlik 1 m dir.) h 1.5 m 1

Detaylı

BÖLÜM 3: İLETİM HAT TEORİSİ

BÖLÜM 3: İLETİM HAT TEORİSİ BÖLÜM 3: İLETİM HAT TEORİSİ 1 İLETİM HATLARI İletim hatlarının tarihsel gelişimi iki iletkenli basit hatlarla(ilk telefon hatlarında olduğu gibi) başlamıştır. Mikrodalga enerjisinin iletimini gerçekleştirmek

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hayri ACAR İstanbul Teknik Üniveristesi 8. Sürtünme Tel: 85 31 46 / 116 E-mail: acarh@itu.edu.tr

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

1. BÖLÜM FİZİĞİN DOĞASI - VEKTÖRLER DENGE - MOMENT - AĞIRLIK MERKEZİ

1. BÖLÜM FİZİĞİN DOĞASI - VEKTÖRLER DENGE - MOMENT - AĞIRLIK MERKEZİ 1. BÖLÜM FİZİĞİN DĞASI - VEKÖRLER DENGE - MMEN - AĞIRLIK MERKEZİ FİZİĞİN DĞASI - VEKÖRLER - DENGE - MMEN - AĞIRLIK MERKEZİ SRULAR 1. I. ork (x) II. Güç (P) III. Açısal momentum (L) Yukarıdakilerden hangisi

Detaylı

τ s =0.76 ρghj o τ cs = τ cb { 1 Sin

τ s =0.76 ρghj o τ cs = τ cb { 1 Sin : Taban eğimi J o =0.000 olan trapez kesitli bir sulama kanalı ince çakıl bir zemine sahip olup, bu malzeme için kritik kama gerilmesi τ cb =3.9 N/m dir. Bu kanaldan 35 m 3 /s lik debi iletilmesi halinde

Detaylı

2 MALZEME ÖZELLİKLERİ

2 MALZEME ÖZELLİKLERİ ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 TEMEL KAVRAMLAR 11 1.1. Fizik 12 1.2. Fiziksel Büyüklükler 12 1.3. Ölçme ve Birim Sistemleri 13 1.4. Çevirmeler 15 1.5. Üstel İfadeler ve İşlemler 18 1.6. Boyut Denklemleri

Detaylı

Girdi kuvvetleri ile makinaya değişik biçimlerde uygulanan dış kuvvetler kastedilmektedir (input forces). Çıktı kuvvetleri ise elde edilen kuvvetleri

Girdi kuvvetleri ile makinaya değişik biçimlerde uygulanan dış kuvvetler kastedilmektedir (input forces). Çıktı kuvvetleri ise elde edilen kuvvetleri ÇERÇEVELER Çerçeveler kafesler gibi genellikle sabit duran taşıyıcı sistemlerdir. Bir çerçeveyi kafesten ayıran en belirgin özellik, en az bir elemanının çok kuvvet elemanı (multi force member) oluşudur.

Detaylı

3.1 ZEMĐN BETONUNA ETKĐ EDEN YÜKLER VE YÜKLEME ŞEKĐLLERĐ

3.1 ZEMĐN BETONUNA ETKĐ EDEN YÜKLER VE YÜKLEME ŞEKĐLLERĐ 3. ZEMĐN BETONUNA ETKĐ EDEN YÜKLER VE YÜKLEME ŞEKĐLLERĐ Zemin plağı üzerine etki eden dış ükler, plakta momentlerin oluşmasına sebep olurlar. Kolon ve taban plakası vasıtasıla plağa etkien tekil ükler

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. "Skaler ve Vektörel Büyüklükler."

KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. Skaler ve Vektörel Büyüklükler. KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. "Skaler ve Vektörel Büyüklükler." Eğitişim Dergisi. Sayı: 15 (Mayıs 2007). SKALER VE VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER Prof. Dr. Oktay Hüseyin (Guseinov) Hayvanların en basit

Detaylı

Page 1. b) Görünüşlerdeki boşluklar prizma üzerinde sırasıyla oluşturulur. Fazla çizgiler silinir, koyulaştırma yapılarak perspektif tamamlanır.

Page 1. b) Görünüşlerdeki boşluklar prizma üzerinde sırasıyla oluşturulur. Fazla çizgiler silinir, koyulaştırma yapılarak perspektif tamamlanır. TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim İzometrik Perspektifler Küpün iz düşüm düzlemi üzerindeki döndürülme açısı eşit ise kenar uzunluklarındaki kısalma miktarı da aynı olur. Bu iz düşüme, izometrik

Detaylı

TEMEL İNŞAATI ŞERİT TEMELLER

TEMEL İNŞAATI ŞERİT TEMELLER TEMEL İNŞAATI ŞERİT TEMELLER Kaynak; Temel Mühendisliğine Giriş, Prof. Dr. Bayram Ali Uzuner 1 2 Duvar Altı (veya Perde Altı) Şerit Temeller (Duvar Temelleri) 3 Taş Duvar Altı Şerit Temeller Basit tek

Detaylı

Genel Bilgi. İz Düşüm Düzlemleri ve Bölgeler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ Şekil: İz düşüm düzlemlerine bakış doğrultuları. Page 1.

Genel Bilgi. İz Düşüm Düzlemleri ve Bölgeler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ Şekil: İz düşüm düzlemlerine bakış doğrultuları. Page 1. TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Genel Bilgi Uzaydaki cisimlerin eksiksiz bir anlatımı için, ana boyutlarıyla birlikte parçanın bitmiş hallerinden ve üzerindeki işlemlerle birlikte diğer

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı