ÇOK ÖLÇÜTLÜ AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ İÇİN BİR LİTERATÜR TARAMASI

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİ SLİK FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 2004 : 0 : : 9-30 ÇOK ÖLÇÜTLÜ AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ İÇİN BİR LİTERATÜR TARAMASI Tamer EREN*, Erta GÜNER** *Kırıkkale Üiversitesi, Mühedislik Fakültesi, Edüstri Mühedisliği Bölümü, 7450/Kırıkkale **Gazi Üiversitesi, Mühedislik Mimarlık Fakültesi, Edüstri Mühedisliği Bölümü, 06570/Maltepe/Akara Geliş Tarihi : ÖZET Çizelgeleme, imalat ve servis edüstrileride çok öemli role sahip bir karar verme prosesidir. Bir firmada çizelgeleme foksiyou, matematiksel tekikler veya sezgisel yötemler kullaarak sıırlı kayakları görevlere tahsis edilmesi işlemii gerçekleştirir. Çizelgeleme literatürüde birde fazla ölçütü buluduğu çizelgeleme çalışmaları so yıllarda gittikçe artmıştır. Acak bu tür problemleri çözümü tek ölçütlü problemler kadar kolay değildir. Çükü birbirleri ile çelişe amaçları ayı ada eiyilediği tek bir çizelgeyi oluşturmak oldukça zordur ve bu koudaki literatür tek ölçütlülere göre daha azdır. So zamalarda tek makialı sistemleri yaı sıra akış tipi çizelgeleme problemleride de çok ölçütlü çalışmalar ilgi çekmektedir. Bu çalışmada, çok ölçütlü akış tipi çizelgeleme problemleri içi bir literatür taraması yapılmıştır. Aahtar Kelimeler : Sıralama, Akış tipi çizelgeleme, Çok ölçüt, Literatür taraması A LITERATURE SURVEY FOR MULTICRITERIA FLOWSHOP SCHEDULING PROBLEMS ABSTRACT Schedulig is a decisio makig process i maufacturig ad service idustry which has a importat role. Schedulig fuctio i a firm assigs restricted resources to the tasks usig mathematical ad heuristic techiques. I schedulig literature multicriteria schedulig problems are faced i a icreasig maer i recet years. However, the solutio of this kid of problems is ot as easy as the sigle criterio problems. Sice the objectives are i coflict with each other, it is very difficult to optimize the objectives simultaeously. The area is less the the literature i sigle criterio schedulig. Recetly, the studies o the multicriteria flowshop schedulig have received attetio. This study cosiders a literature survey for multicriteria flowshop schedulig problems. Key Words : Sequecig, Flowshop Schedulig, Multicriteria, Literature survey. GİRİŞ Çizelgeleme bir çok imalat ve servis edüstriside öemli rol oyaya bir karar verme prosesidir. Satı alma ve üretimde, ulaştırma ve dağıtımda, bilgi işleme ve haberleşmede kullaılır. Çizelgeleme foksiyou bir şirkette matematiksel veya sezgisel tekikler yardımı ile işleri gerçekleştirilmeside sıırlı kayakları tahsis edilmesie imka sağlar. Kayakları uygu tahsisi, şirketi amaçlarıı eiyilemesie ve hedeflerie erişmesie imka sağlar (Baker, 974). Çizelgeleme problemleride birde fazla ölçütü buluduğu çizelgeleme çalışmaları so döemlerde gittikçe artmıştır. Acak bu tür problemleri çözümü 9

2 tek ölçütlü problemler kadar kolay değildir. Çükü birbirleri ile çelişe amaçları ayı ada eiyilediği tek bir çizelgeyi oluşturmak oldukça zordur ve bu koudaki literatür tek ölçütlülere göre daha azdır (Gupta ad Kyparisis, 987; Dileepa ad Se, 988). So zamalarda tek makialı sistemleri yaı sıra akış tipi çizelgeleme problemleride de çok ölçütlü çalışmalar ilgi çekmektedir. Bir çok imalat veya motaj ortamlarıda işler, çok farklı makialar üzeride işlemlerii gerçekleştirmek zorudadır. Tüm işleri rotası ayı ise, yai tüm işler ayı makiaları ayı sırada takip ediyorlar ise, bu ortam akış tipi olarak adladırılır. Ne zama bir iş bir makia üzeride işlemii tamamlarsa bu iş bir soraki kuyruğa bağlaır. İşleri sırası makiada makiaya değişebilir. Acak bir malzeme taşıma sistemi, işleri makiada makiaya trasferi içi kullaılıyor ise sistemde ayı iş sırası sürdürülür (Piedo, 995). Bu çalışmada çizelgeleme de sıkça kullaıla çözüm yötemleride kısaca bahsedilmiştir. Bu yötemler e iyileme yötemleri ve sezgisel yötemler olmak üzere iki sııfta icelemiştir. Sezgisel yötemler içide meta-sezgiseller olarak bilie tavlama bezetimi, tabu arama ve geetik algoritmada bahsedilmiştir. Çalışmada daha sora çok ölçütlü çizelgeleme problemleri hakkıda geel bir bilgi verilip bu kouda yapıla çalışmalar gösterilerek souçları değerledirilmiştir. 2. KULLANILAN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Çizelgeleme problemlerii çözmek içi bir çok yötem kullaılmıştır. Geel olarak bakıldığıda yötemleri eiyileme yötemleri ile sezgisel yötemler diye ikiye ayırmak mümküdür. 2.. Eiyileme yötemleri Eiyileme yötemleri üç grupta toplaabilir: İlki diamik programlama tekiği olup bu tekik bir eiyileme tekiğidir. Bu yötem çizelgeleme ve diğer kombiatoryal problemler içi kullaıla çok aşamalı karar problemidir. Bu yötemle ilgili e öemli ilk çalışmalar, Held ad Karp (962), Lawler (964) ile Lawler ad Moore (969) tarafıda yapılmıştır. Bu tekik belli kısıtlayıcı kuralları akılcı bir şekilde uygulayarak çok sayıda aday çözümü elimie ederler. Acak bu tekik büyük boyutlu problemler içi etki değildir. Çükü durum değişkelerii sayısı artarke problemleri çözmek içi gereke işlemlerde artar ve bu özellik büyük boyutlu problemleri çözümüde diamik programlama yaklaşımıı kullaımıı kısıtlar (Lestra, 985; Morto ad Petico, 993; Piedo, 995). İkicisi dal-sıır yaklaşımı olup kombiatoryal problemleri çözümüde e sık kullaıla yötemlerde biridir. İlk olarak gezgi satıcı problemide (Eastma 959) uygulamıştır. Bu yötemde, çözüm zamaları farklı veri setlerie göre öemli derecede değişkelik gösterir. Dallaa değişke ile sıırlama yaklaşımıı seçimi algoritmaı performasıı öemli derecede etkiler. Dal-sıır tekiği ile çizelgeleme problemlerii çözümü, problem boyutu arttıkça zorlaşmaktadır (Piedo, 995; Morto ad Petico, 993). Bir çok araştırmacı, çizelgeleme problemlerii değişik versiyoları içi tamsayılı programlama modelleri geliştirmişlerdir. Bir çizelgeleme problemi tamsayılı programlama modeli olarak formüle edilebileceği içi mevcut tamsayılı programlama algoritmalarıyla çözülebilir. Acak böyle bir yaklaşım sadece küçük ölçekli problemlere uygulaabilir. Çizelgeleme problemlerii matematiksel programlama formülasyoları geellikle çok sayıda değişke ve kısıta ihtiyaç duyar. Mevcut tamsayılı programlama algoritmaları bu tür problemleri etki bir şekilde çözmede başarılı değildir. Acak bu tür formülasyoları bir avatajı birde fazla ölçütü tek bir amaç foksiyou altıda birleştirebilmesidir (Lestra, 985; Morto ad Petico, 993; Piedo, 995). Diğer bir yaklaşım da tamsayılı programlamaya göre modellemiş bir problemi tamsayı kısıtsı olmada çözmektir. Böylece mevcut doğrusal programlama algoritmalarıı kullaımı mümkü olur. Bu algoritmalar aşırı hafızaya ihtiyaç duymaksızı büyük boyutlu problemleri çözebilir. Acak bu tür bir yaklaşımı dezavatajı tamsayı olmaya çözümler e yakı tamsayıya yuvarlatılmak zoruda kalmasıdır. Bir çok durumda optimal çözümlerle karşılaştırıldığıda bu yuvarlamaı kötü çözümlere yol açtığı gösterilmiştir (Ka, 976; Piedo 995) Sezgisel Yötemler Çizelgeleme problemlerii eiyi çözümü, dal-sıır, diamik programlama veya tamsayılı programlama yötemler ile buluabilir. Acak bu yötemler güçlü bir bilgisayara ve çok fazla hesaplama zamaıa ihtiyaç duymaktadır ve büyük boyutlu problemleri çözümüde kullaılmaları uygu olmamaktadır. So yıllarda yei sezgisel tekikler geliştirilmiştir. Bu sezgiseller; tavlama bezetimi, tabu arama, geetik algoritma ve karıca koloisi gibi yaklaşımlardır. Mühedislik Bilimleri Dergisi () Joural of Egieerig Scieces () 9-30

3 Tavlama bezetimi, kombiatoryal optimizasyo problemleri içi iyi çözümler vere olasılıklı bir arama yötemidir. Tavlama Bezetimi ismi, katıları fiziksel tavlama süreci ile ola bezerlikte ileri gelmektedir. Tavlama bezetimi algoritması, birbirleride bağımsız olarak, Kirkpatrick et al. (983) ve Chery (985) tarafıda ortaya komuştur. Güümüze kadar, farklı alalardaki bir çok eiyileme problemie uygulamıştır. Tavlama bezetimi, bir katıı miimum eerji durumu elde edilee kadar yavaş yavaş soğutulduğu fiziksel tavlama sürecii taklit ede olasılıklı bir arama yötemidir. Bu yötem ile üretile çözümler sırasıı amaç foksiyo değerleri geel bir azalma eğilimidedir. Fakat bazı durumlarda amaç foksiyou değerleri yüksek ola çözümler de kabul edilebilmektedir. Bu yolla, yerel bir eküçük etrafıda yapıla aramada çıkılıp, daha iyi bir yerel veya belki de mutlak bir eküçük içi aramaya devam etmek amaçlaır. Tavlama bezetimii kombiatoryal eiyileme problemleri içi eiyiye yakı çözümler vere kullaışlı bir yötem olarak dikkate alıdığı söyleebilir (Aarts ad Korst, 989a,b). Tabu arama, kombiatoryal optimizasyo problemlerii çözmek içi geliştirilmiş bir sezgisel tekiktir ve başka metotlarla birlikte kullaılarak, bu metotları yerel optimum tuzağıa düşmekte koruya uyarlaabilir bir yaklaşımdır. Tabu aramaı bugükü moder şeklii Glover (989; 990; Glover ad Lagua, 997) ortaya koymuştur. Tabu arama, başlagıç çözümü, hareket mekaizması, aday liste stratejileri, hafıza, tabu yıkma kriterleri, durdurma koşulları olarak adladırıla temel elemalara sahiptir. Tabu aramada başlagıç çözümü rassal olarak seçilebileceği gibi, başlagıç çözümüü belirlemeside herhagi başka bir algoritma da kullaılabilir. Hareket mekaizması ise, mevcut çözümde yapıla bir değişiklikle elde edilebilecek yei çözümleri belirler ve mümkü hareketler, mevcut çözümü tüm komşularıı oluştururlar. Hareket mekaizmasıı, problem yapısıa bağlı olmasıı yaı sıra uygu bir şekilde belirlemesi bu metodu performası açısıda oldukça öemlidir. Komşu arama yötemide her yei çizelge amaç foksiyou daha düşük bir değerii temsil ettiği içi bir iiş tekiği olarak da biliir (amaç foksiyou eküçükleme olduğuda). Çizelge sayısıı bir foksiyou olarak amaç foksiyo değeri azala bir foksiyou gösterecektir. Büyük boyutlu problemlerde aramaı erke safhalarıda amaç foksiyo değeride hızlı bir düşüş olabilirke aramaı soua doğru ise bu düşüş daha yavaştır. Komşu arama yötemlerii problemleride biri, bu yötemleri yerel bir eiyi değere yakalama eğilimleridir. Çözümleri iyileştire her yol takip edildiğide, bu yol mutlak eiyiye gitmeyebilir. Eğer eski çizelgede daha kötü ola yei bir çizelge deemesie izi verilirse, yötem tuzakta kurtulabilir ve eiyi çözüme gide yolu bulabilir. Daha kötü görüe bir çözüme ara sıra yöelme esekliği tabu aramaı bir özelliğidir. Geetik algoritmalar, tavlama bezetimi ve tabu aramada daha geeldir. Tavlama bezetimi ve tabu arama, geetik algoritmaları özel durumlarıdır. Geetik algoritmaları öcüleri Hollad (975), De Jog (975) ve Goldberg (989) dir. Geetik algoritmada çözüm uzayı, dizi veya kromozom olarak gösterile aday çözümlerde oluşturulmaktadır. Her kromozomu bir amaç foksiyou değeri yai uyguluk değeri bulumaktadır. Seçile bir kromozom kümesi ve buları uyguluk değerleri bir yığı oluşturmaktadır. Geetik algoritmaı her iterasyouda üretile bir yığı hacmi, o iterasyou eslii oluşturur. Geetik algoritmalar çizelgeleme problemlerie uyguladığıda çizelgeler bir yığıı üyeleri veya bireyleri olarak dikkate alıır. Her bireyi uyguluğu vardır. Bir bireyi uyguluğu ilgili problemi amaç foksiyo değeri ile ölçülür. Yötem iteratif olarak çalışır ve her iterasyo bir esile karşılık gelir. Bir esli geişliği öceki esilde yaşaya bireyler ile öceki esli çocuklarıda (veya yei çizelgelerde) oluşur. Algoritmada esile karşılık gele yığı geişliği bir iterasyoda diğerie geellikle sabittir. Çocuklar öceki esli bir bölümüe ait bireyleri mutasyou ve çaprazlaması ile elde edilir. Bireyler, kromozomlar olarak ifade edilir. Çok makialı bir sistemde bir kromozom alt kromozomlarda oluşur. Bu kromozomları her biri bir makia üzerideki iş sırası ile ilgilidir. Bir aile kromozomudaki bir mutasyo, ilgili sıradaki eşdeğer iş çiftleri yer değiştirmesie eşdeğer olabilir. Her esilde uyguluğu yüksek ola bireyler çoğalırke düşük olalar ölür. Yei esli oluşumuu belirleye doğum, ölüm, üreme sürecçleri karmaşık olabilir ve geellikle mevcut esil bireylerii uyguluk seviyelerie bağlıdır. Karıca sistemi, farklı kombiatoryal optimizasyo problemleri çözümüde kullaılabile geel amaçlı sezgisel bir algoritmadır. Karıca sistemide, arama aktiviteleri, gerçek karıcaları karakteristiklerii taklit ede basit temel yeteeklere sahip "karıca" olarak adladırıla ajalara yaptırılmıştır. Gerçek karıcaları davraışlarıa ilişki araştırmalar çalışmaı büyük bir kısmıı oluşturur. Bu çalışmalarda üzeride durula problemlerde biri de karıcalar gibi eredeyse kör ola hayvaları Mühedislik Bilimleri Dergisi () Joural of Egieerig Scieces () 9-30

4 koloileri içide besi kayaklarıda geriye doğru e kısa yolu asıl bulduklarıdır. Yolla göstere ve ereye gidileceğie karar vermekte kullaıla medya, feome izde oluşur. Hareket ede bir karıca, yolu belirlemek üzere bir miktar (değişe miktarlarda) feomei yüzeye bırakır. Tek başıa bir karıca geellikle rassal olarak hareket etmesie rağme, yola daha öcede bırakıla bir miktar feome ize rastlarsa bu karıca buu iceler ve buu takip edip etmemeye karar verir bu yolla da feome izi kedi feomei ile güçledirir. Bu kollektif davraış, bir otokatalitik davraış formudur, karıcalar izi daha çok takip ederlerse, bu iz takip edilmek içi daha çekici bir hale gelir. Bu proses bu yüzde pozitif geri besleme olarak adladırılır. Bir karıcaı bir yolu seçme olasılığı, o yolda daha öcede geçe karıcaları sayısı arttıkça artar (Dorigo et al., 996; Dorigo et al., 999). 3. ÇOK ÖLÇÜTLÜ ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ VE YAPILAN ÇALIŞMALAR Çizelgeleme problemleri kombiatoryal optimizasyo problemleri sııfıda olduğu içi optimal çözümlerii bulmak oldukça zordur. Geellikle küçük boyutlu ve tek ölçütlü problemler içi optimal çözümler buluabilir. Tek makialı iki ölçütlü bir çizelgeleme problemi içi Va Wassehove ad Gelders (980), (pseudo-poliom algoritma) ve Che ad Bulfi (990) tarafıda (poliom algoritma) iki algoritma geliştirilmiştir. Bu algoritmaları her ikisi de iki ölçütlü problem içi etki çözüm seti üretir. Va Wassehove ad Gelders (980) i yaklaşımı ile 50 işe kadar ola problemleri çözümü gösterilmiştir. Dileepa ad Se (988), Se ad Gupta (983) ile Se et al. (988) i algoritmalarıda parametrik yaklaşım kullaarak tüm etki çözümler üretebilir. Fakat dal ve sıır algoritmasıı yapısıda dolayı bu algoritmalar poliom veya pseudo-poliom algoritmalar değildir. Çok ölçütlü problemler daha karmaşık olduğu içi bu koudaki literatür tek ölçütlülere göre oldukça azdır. Fakat bir çok uygulamalarda bir çizelgei değişik ölçütlere göre iyi olup olmadığıı ölçülmeside yarar vardır. Optimal çözümleri bulumadığı durumda, karar vericiye değişik alt optimum çözümleri sumak eseklik sağlar. Çok ölçütlü problemler içi geiş çaplı beş literatür tarama makalesi yayılamıştır. İki ölçütlü statik çizelgeleme ile ilgili Dileepa ad Se (988), tarafıda yapıla çalışmada oaltı makale icelemiştir. Çalışmada, çizelgeleme problemlerii iki sııfa ayırmışlardır. Birici sııfta; ölçütlerde bir taesi amaç foksiyou olarak alıırke diğeri kısıt olarak alımakta, ikici sııfta ise; çizelge uygu olmak şartıyla her iki ölçütte amaç foksiyouu oluşturmaktadır. Çok ölçütlü tek makialı çizelgeleme üzeride bir başka çalışma Fry et al. (989) tarafıda yapılmıştır. Tek ve paralel makialı çok ölçütlü çizelgeleme ile ilgili bir literatür taraması da Ere ad Güer (2002) tarafıda yapılmıştır. Nagar et al. (995a) ise, tek ve çok makialı sistemlerde yapıla iki ve çok ölçütlü çizelgeleme çalışmalarıa ait bir literatür araştırması yapmışlardır. Çalışmalarıda bir sııfladırma şeması geliştirerek çalışmaları değerledirmişlerdir. T kidt ad Billaut (200), çalışmalarıda çok ölçütlü çizelgeleme problemleri çözümüde çok amaçlı optimizasyo teorisi bağlatısıa işaret ederek, karar aalizi kavramlarıa göre üsteside gelimesi mümkü, çok ölçütlü çizelgeleme problemlerii çözümü içi geel bir yapı vermişlerdir. Çok ölçülü çizelgeleme problemleri üç şekilde çözülmektedir. Biricisi, ölçütleri ağırlıkları eşit olduğuda problemi bütü etki çözümleri üretilir. Daha sora çok ölçütlü karar verme tekikleri kullaılır ve çözümler arasıda ödüleşimler yapılır. İkicisi, ölçütleri ağırlık değerleri farklı olduğuda amaç foksiyouda toplam ağırlık foksiyou taımlaır. Böylece problem tek ölçütlü çizelgeleme problemie döüşür. Soucusu ise, problemde ölçütler biricil ve ikicil olarak ayrılmakta öce biricil ölçüt, ikicil ölçüt ihmal edilerek eiyilemekte, sora ikicil ölçüt biricil ölçütü performasıı azaltmama kısıtı altıda eiyi edilmektedir. İlk iki problem iki ölçütlü soucusua ise ikicil ölçütlü çizelgeleme problemi deir. Problem üç değişik otasyo α /β/ F C,, burada α iş sayısıı, β kullaılır. ( C 2 ) makia sayısıı, F ( C, C 2 ); C ve C 2 ölçütlerii etki çözümlerii göstermektedir. α /β/ F ( C, C ) ise, iki ölçütlü çizelgeleme problemide iki amaç foksiyou toplam ağırlıklı değerii ifade etmektedir. F w ( C, C2 ); C ve C 2 ölçütlerii ağırlıklı toplamıı etki çözümlerii göstermektedir. α /β/ Fh ( C2 / C) ise, ikicil ölçütü ifade etmektedir. F h ( C2 / C) ; C ölçütüü eiyi değeri altıda C 2 ölçütüü hiyerarşik olarak eiyilemesii ifade etmektedir (Gupta et al. 200). İki makialı akış tipi çizelgeleme problemide maksimum tamamlama zamaıı eküçükleme / 2 / C ) problemi Johso (954) kuralı ile ( max O ( log ) hesaplama zamaı ile çözülür. Acak w 2 Mühedislik Bilimleri Dergisi () Joural of Egieerig Scieces () 9-30

5 / 2 / C 2 problemi ( max C dışıdaki diğer performas ölçütleri) içi NP-zor problemdir (Garey, 976; Che ad Bulfi, 993). Akış tipi çok ölçütlü problemlerle ilgili yapıla çalışmalar amaç foksiyoua göre şöyle sııfladırılmıştır. 3.. Maksimum Tamamlama Zamaı ve Akış Zamaı ile İlgili Çalışmalar 3... Maksimum Tamamlama Zamaı ( C max ) ve Akış Zamaı ( F ) Maksimum tamamlama zamaı ( C max ) ve ortalama akış zamaıı ( F ) eküçükleme problemii karışık tamsayılı hedef programlama ile ilk defa Sele ad Hott (986) formüle etmişlerdir. Modelleri 2 m + + m kısıtta oluşmakta, 0- tamsayı ve 2 m 2 + kadar da sürekli değişke sayısı vardır. Wilso (989), Sele ad Hott (986) ı modelii daha az değişke kullaarak karışık tamsayılı programlama ile çözmüşlerdir. Model, 2m + m 2 kısıtta oluşmakta, 0- tamsayı ve m kadar da sürekli değişke sayısıda oluşmaktadır. Modeli kullaarak 7 makia 20 işe kadar çözmüşlerdir. Gagadhara ad Rajedra (994), maksimum tamamlama zamaı ve toplam akış zamaıı ( F ) eküçüklemek içi tavlama bezetimi algoritmasıı kullamışlardır. Problemi 25 makie 40 işe kadar çözüp buldukları souçları Ho ad Chag (99) ile Ogbu ad Smith (990), algoritmalarıı souçları ile karşılaştırmışlar ve geliştirdikleri bu sezgiseli daha etki souçlar verdiğii göstermişlerdir. Rajedra (994a), ayı problem içi Nawaz et al. (983) algoritmasıda faydalaarak özel bir sezgisel geliştirmiştir. Souçlarıı Ho ad Chag (99) i geliştirdiği algoritma ile 30 makia 50 işe kadar çözmüşlerdir. Yie Rajedra (995), maksimum tamamlama zamaı ve toplam akış zamaı problemii çözmek içi Campbell et al. (970), yötemii kullaarak bir sezgisel yaklaşım geliştirmiştir. Öerdiği sezgisel yaklaşımı, Ho ad Chag (99) i yötemiyle 30 makia 50 işli problemler içi karşılaştırmıştır. Nagar et al. (995b), iki makialı akış tipi çizelgelemede ağırlıklı toplam akış zamaı ve ağırlıklı maksimum tamamlama zamaı ( / 2 / F + Cmax ) eküçükleme problemii icelemişlerdir. Problem içi dal-sıır yötemi geliştirmişleridir. Problemi 0 ve 4 iş içi çeşitli ağırlık değerleri vererek çözmüşlerdir. Sivrikaya-Şerifoğlu ad Ulusoy (998), iki makialı permütasyo akış tipi problemide ağırlıklı maksimum tamamlama zamaı ve ağırlıklı ortalama akış zamaı ve miimize etmek içi Rajedra (992) ve Nagar et al. (995b) i dalsıır yaklaşımıı geişleterek 8 işe kadar çözmüşlerdir. Geliştirdikleri dal-sıır yaklaşımıı alt sıırlarıı Igall ad Schrege (965) de daha iyi souç verdiğii göstermişlerdir. Rajedra ad Chaudhuri (99) ve kedi geliştirdikleri sezgisel yötemi karşılaştırarak da 2 makialı 500 işe kadar değişik ağırlık değerleri vererek çözmüşlerdir. Lee ad Chou (998), ayı problem içi iki makialı akış tipi çizelgelemede değişkeli ve 3 kısıtlı tamsayılı programlama ile modellemişlerdir. 2 Ayrıca problem içi karmaşıklığı O ( ) ola bir sezgisel yaklaşımı eiyiye çok yakı souçlar verdiğii 5 işe kadar çözerek göstermişlerdir. Sayı ad Karabatı (999), iki makialı akış tipi çizelgeleme problemide maksimum tamamlama zamaı ve toplam tamamlama zamaı problemii çözmüşlerdir. Problemi 28 işe kadar çöze bir dal ve sıır algoritmasıı Klei ad Haa (982) ı geliştirdiği çok amaçlı tamsayılı doğrusal programlama özellikleride faydalamışlardır. Yeh (999), ağırlıklı toplam akış zamaı ve ağırlıklı maksimum tamamlama zamaı problemi içi iki makialı akış tipi çizelgeleme problemi içi dal-sıır algoritması geliştirmiştir. Yeh (999) çalışmasıda algoritmasıı, Nagar et al. (995b) algoritması ve Greedy Algoritması ile 200 işe kadar çözüp souçları karşılaştırmışlardır. Chou ad Lee (999), iki makialı ağırlıklı toplam akış zamaı ve maksimum tamamlama zamaı problemii çözmek içi bir tamsayılı programlama modeli sumuşlardır. Modelleri; Mi Z = α Kısıtlar: i= k= Z Z ik = ik = ( Ck Dk ) k= ; k =,2,..., ; i =,2,..., + βc N Mühedislik Bilimleri Dergisi () Joural of Egieerig Scieces () 9-30

6 S ; k =,2,..., k D k S ; ( S A ) R S k ; k = 2,3,..., X k + k = + + ; S A Y R2 k = Sk + Ak + Yk Rk X ; k = 2,3,..., Burada; ; iş sayısıı, α ve β ; toplam akış zamaı ve maksimum tamamlama zamaı içi ağırlık değerlerii, C k ; ikici makiada k. sıradaki işi tamamlama zamaıı, D k ; k. sıradaki işi sisteme giriş zamaıı, Z ik ; i. iş k. sırada çizelgelemişse Z ik = aksi halde Z ik = 0, S k ; birici makiada k. sıradaki işi başlama zamaıı, R k : k. makiaı hazır olma zamaıı Y k ise; k. sıradaki iş içi o işi birici makiada tamamlama zamaı ile ikici makiada işleme başlaması arasıdaki farkı, X k ; ikici makiada k. sıradaki işi boş zamaıı ifade etmektedir. Chou ad Lee (999), ayrıca geliştirdikleri sezgiseli eiyiye çok yakı souçlar verdiğii 5 işe çözerek göstermişlerdir. Su ad Chou (2000), toplam akış zamaı ve maksimum tamamlama zamaıı eküçükleme problemii hazırlık ve işlem zamaları ayrılmış diamik akış tipi çizelgeleme problemi içi tamsayılı programlama modeli sumuşlardır. Modeli; Mi Z = α Kısıtlar: i= k= Z Z ik = ik = ( C 2 k ) + ( α) k D k= ; k =,2,..., ; i =,2,..., T ; k =,2,..., k D k T R ; k Tk + S[ k ], + Ak k = 2,3,..., C ( ) 2 T ; C 2 = R2 + Z + S[] 2 + X + B C k 2 = Ck,2 + Z k + S[ k ] 2 + X k + Bk k = 2,3,..., Z = T + S[] + A + Y R2 S[] 2 X, Z k = Tk + S[ k ] + Ak + Yk Ck,2 S[ k ] 2 X k k = 2,3,..., X, = T + S[] + A + Y R2 Z []2, S X k = Tk + S[ k ] + Ak + Yk Ck,2 Z k S[ k ]2, k = 2,3,..., şeklide taımlamışlar. Burada; ; iş sayısıı, α ve ( α) ; toplam akış zamaı ve maksimum tamamlama zamaı içi ağırlık değerlerii, C kj ; j. makiada k. sıradaki işi tamamlama zamaıı, D k ; k. sıradaki işi sisteme giriş zamaıı, T k ; birici makiada k. sıradaki işi başlama zamaıı, Z ik ; i. iş k. sırada çizelgelemişse Z ik = aksi halde Z ik = 0, S [ k]j ; j. makiada k. sıradaki işi hazırlık zamaı, R k : k. makiaı hazır olma zamaıı, Y k ise; k. sıradaki iş içi o işi birici makiada tamamlama zamaı ile ikici makiada işleme başlaması arasıdaki farkı, X k ; ikici makiada k. sıradaki işi boş zamaıı ifade etmektedir. Problem içi sezgisel bir yaklaşımda suup 5 işe kadar çözmüşlerdir. Sezgiseli çözüm kalitesi %99 u üzeride çıkmıştır. Framia et al. (2002) ayı problemi Nawaz et al. (983) i sudukları yötemi aşamalarıı yeide gözde geçirerek iki ölçütlü probleme uyarlamıştır. Ortalama akış zamaı ve maksimum tamamlama zamaı arasıda ödüleşimler yapmışlar ve diğer sezgisel yötemlerde (Rajedra ad Chaudhuri, 99; Rajedra, 992; Rajedra, 993; Rajedra, 994a; Rajedra, 995; Ho, 995; Woo ad Yim, 998) daha etki çözümler verdiğii 20 makia 200 işe kadar çözerek göstermişlerdir. T Kidt et al. (2002a), iki makialı akış tipi çizelgeleme problemide toplam tamamlama zamaı ve maksimum tamamlama zamaıı / 2 / Cmax, Fi eküçüklemek içi karıca koloisi yötemi ile 200 işe kadar çözmüştür. Allahverdi ad Aldowasia (2002), ayı problemi m makialı durum içi 8 işe kadar çöze bir dal-sıır yötemi geliştirmiştir. Ayrıca problem içi özel bir sezgisel geliştirerek, Gagadhara ad Rajedra (993), Rajedra (994b), Rajedra ad Chaudhuri (990) ve Che et al. (996) i geliştirdikleri sezgisellere karşılaştırarak 20 makia 20 işe kadar çözmüşlerdir. Allahverdi (2002), akış tipi çizelgeleme problemleride ağırlıklı maksimum tamamlama zamaı ve ortalama akış zamaı problemi 2 makialı ve m makialı durum içi daha öce geliştirile sezgisel yötemlerle (Nagar et al., 995a; Nagar et al., 995b; Sivrikaya-Şerifoğlu ad Ulusoy, 998; Lee ad Chou, 998) kedisii geliştirdiği Mühedislik Bilimleri Dergisi () Joural of Egieerig Scieces () 9-30

7 sezgiseli 2 makia içi 600 işe kadar, 20 makialı durum içi ise 300 işe kadar çözmüştür Maksimum Tamamlama Zamaı ( C max ) Kısıtı Altıda Toplam Akış Zamaı ( F ) Rajedra (992), iki makialı maksimum tamamlama kısıtı altıda toplam akış zamaıı eküçükleme problemii dal-sıır yötemi kullaarak 0 işe kadar çözmüştür. Problem içi ayrıca iki özel sezgisel algoritma geliştirmiştir. Geliştirdiği yötemi 24 işe kadar çözüp, souçlarıı Johso (954) algoritması ile karşılaştırmışlardır. Neppalli et al. (996) de iki makialı akış tipi çizelgelemede ayı problemi icelemişlerdir. Problem çözmek içi geetik algoritmayı kullamışlar. Geliştirdikleri algoritma ile de 80 işe kadar çözmüşlerdir. Maksimum tamamlama zamaı kısıtı altıda toplam akış zamaıı miimize etme problemii Gupta et al. (999) de icelemişlerdir. Problem içi tabu arama sezgiseli geliştirmişlerdir. 4 farklı faktöre göre performasıı değerledirmişlerdir. Bular başlagıç çözümü, hareket tipi, komşu büyüklüğü ve tabu listesi uzuluğudur. Gupta et al. (999) geliştirdikleri sezgiseli Rajedra (992) yötemide daha iyi souç verdiğii 2 makia 80 işe kadar çözerek göstermişlerdir. T Kidt et al. (200), maksimum tamamlama zamaı kısıtı altıda toplam akış zamaıı eküçükleme problemii yaptıkları çalışmada iki makialı akış tipi problemde 35 işe kadar çöze bir dal-sıır algoritması geliştirmiştir. Problem içi ayrıca özel bir sezgisel geliştirerek 50 işe kadar çözmüşlerdir. Geliştirdiği sezgisel yaklaşımı eiyiye çok yakı çözümler verdiğii göstermişlerdir. Gupta et al. (200), iki makialı akış tipi çizelgeleme problemi içi maksimum tamamlama kısıtı altıda toplam akış zamaıı eküçükleme problemide içi sezgisel yaklaşımlar öermişlerdir. Sezgiselleri; yapısal (costructive), kotrollü eklee (cotrolled isertio), ve iteratif düzelme göstere (iterative improvemet) olmak üzere üçe ayırmıştır. Her biride de üçer sezgiseli ele almıştır. (Gupta, 972; Nawaz et al. 983; Rajedra 993, Nepalli et al. 996, Gupta et al. 999). Maksimum tamamlama kısıt altıda toplam akış zamaıı eküçükleme problemide T kidt et al. (2002b), 35 işe kadar çöze bir dal-sıır algoritması geliştirmişlerdir. Ayrıca problemi yie kesi souç vere karışık tamsayılı programlama ile 27 işe kadar ve diamik programlama ile de 7 işe kadar çözmüşler ve performasıı karşılaştırmışlardır. Problemi 50 işe kadar çöze sezgisel suup, iki, sezgisel (Rajedra, 992; Gupta et al. 2002) yötem ile karşılaştırmışlardır. Gupta et al. (2002), iki makialı akış tipi çizelgeleme problemi içi maksimum tamamlama kısıt altıda toplam akış zamaı ve maksimum tamamlama kısıt altıda ağırlıklı toplam akış zamaı, eküçüklemek içi tavlama bezetimi, Dueck ad Scheuer (990) i geliştirdiği yötem, tabu arama, çok dereceli (multi-level) sezgiseller ve geetik algoritmayı kullaarak 80 işe kadar çözmüştür Maksimum Tamamlama Zamaı ve Geç Bitirme ile İlgili Çalışmalar Maksimum Tamamlama Zamaı ( C max ) ve Maksimum Geç Bitirme ( T max ) Daiels ad Chambers (990), iki makialı akış tipi çizelgeleme problemi içi maksimum tamamlama zamaı ve maksimum geç bitirme ölçütlerii küçük boyutlu problemler içi ödüleşim eğrileriyle etki çizelgeler bulmuşlardır. Büyük boyutlu problemler içi de Va Wassehove ve Gelders (980), algoritmasıda yararlaarak bir sezgisel yaklaşım geliştirmişler ve 20 işe kadar çözmüşlerdir. Ayrıca algoritmayı m makialı akış tipi çizelgeleme problemi içide uyarlayıp 0 makia 0 işe kadar çözmüşlerdir. Murata et al. (996) ve Ishibuchi ad Murata (998), ağırlıklı maksimum tamamlama zamaı ve ağırlıklı maksimum geç bitirme problemii Schaffer (985) i VEGA (vektör değerledirme) yötemii kullaarak 20 iş 0 makiaya geetik algoritma ile çözmüşlerdir: Maksimum tamamlama zamaı ve maksimum geç bitirmeyi eküçükleme problemii Chakravarthy ad Rajedra (999) da icelemişlerdir. Problemi çözmek içi sezgisel bir yaklaşım ola tavlama bezetimii kullaarak 25 makie 50 işe kadar çözüp souçları Daiels ad Chambers (990) ı geliştirdiği yaklaşımla karşılaştırmışlardır. Chag et al. (2002), çok amaçlı akış tipi çizelgeleme problemleri içi kademeli öcelik ağırlıkladırma yaklaşımı geliştirmişlerdir. İki ölçütlü olarak ağırlıklı maksimum tamamlama zamaı ve ağırlıklı toplam geç bitmeyi Pareto eiyileme çözüm yötemi ile bulmuşlardır. Problemlerii 30 iş ve 20 makiaya kadar test problemlerde uygulamışlardır. Mühedislik Bilimleri Dergisi () Joural of Egieerig Scieces () 9-30

8 Gupta et al. (2002), iki makialı akış tipi çizelgeleme problemi içi maksimum tamamlama kısıt altıda ağırlıklı geç bitirme problemii, eküçüklemek içi tavlama bezetimi, Dueck ad Scheuer (990) i geliştirdiği yötem, tabu arama, çok dereceli (multi-level) sezgiseller ve geetik algoritmayı kullaarak 80 işe kadar çözmüştür Maksimum Tamamlama Zamaı ( C max ) ve Ortalama Geç Bitirme (T ) Liao et al. (997), iki makialı akış tipi çizelgeleme problemide maksimum tamamlama zamaı ve ortalama geç bitirme ( / 2 / Cmax, T ) problemii Johso (954) algoritmalarıı kullaarak alt sıır değerlerii bulmuşlardır. Problemi 2 makia 30 işe kadar çözmüşlerdir Çok Ölçütlü Çalışmalar Rajedra (995), maksimum tamamlama zamaı, toplam akış zamaı ve makia boş zamaı eküçükleme problemii çözmek içi özel bir sezgisel geliştirmişlerdir. Öerdiği sezgisel yaklaşımı Ho ad Chag (99) yötemiyle karşılaştırmış ve daha etki çözümler verdiğii 50 iş 30 makiaya kadar çözüp göstermiştir. Murata et al. (996) ve Ishibuchi ad Murata (998), Ağırlıklı maksimum tamamlama zamaı, ağırlıklı maksimum geç bitirme ağırlıklı toplam akış zamaı problemii Schaffer (985) i VEGA yötemii kullaarak 20 iş 0 makiaya kadar kadar çöze geetik algoritmayı kullamışlardır. Allahverdi (200), iki makialı akış tipi çizelgeleme problemlerde e çok kullaıla üç ölçüt ola ağırlıklı maksimum tamamlama zamaı, ortalama akış zamaı ve maksimum gecikmeyi eküçükleme problemi içi dal-sıır algoritması ile 8 işe kadar çözmüştür. Daha sora daha öce geliştirilmiş sezgisel metodları kullaarak 6 tae sezgisel metot geliştirmiştir (Nawaz et al., 983; Rajedra ad Ziegler, 997; Johso, 954; SPT; EDD). Sezgiselleri kullaarak 800 işe kadar çözüp souçları eiyi çözüme çok yakı souç verdiğii göstermiştir. Chag et al. (2002), çok amaçlı akış tipi çizelgeleme problemleri içi kademeli öcelik ağırlıkladırma yaklaşımı geliştirmişlerdir. Çok ölçütlü olarak ağırlıklı maksimum tamamlama zamaı ve ağırlıklı toplam geç bitmeyi ve ağırlıklı toplam akış zamaıı eküçükleme problemii Pareto eiyileme çözüm yötemi ile bulmuşlardır. Problemlerii 30 iş ve 20 makiaya kadar test problemlerde uygulamışlardır. Lee et al. (2002), toplam akış zamaı, maksimum geç bitirme ve gecike iş sayısıı eküçükleme problemi içi bulaık matık ile tabu arama yötemii kullamışlardır Yapıla Diğer Çalışmalar Liao et al. (997), iki makialı akış tipi çizelgeleme problemide maksimum tamamlama ve gecike iş sayısı problemii ( / 2 / Cmax, T ) Daiels ad Chambers (990) ile Johso (954) algoritmalarıı kullaarak alt sıır değerlerii bulmuşlardır. Problemi 2 makie 30 işe kadar çözmüşlerdir. Sharadapriyadarshii ad Rajedra (997), makie boş zamaı ile işi bekleme süresi miimize etme ( / m / I, W ) problemii çözmek içi sezgisel bir algoritma sumuşlardır. Problemlerii 40 iş 30 makie içi çözüp souçları Ho ad Chag (99), Rajedra (993), Gelders ad Sambadam (978), Widmer ad Hertz (989) ve Miyazaki ad Nishiyama (980) sezgiselleri ile karşılaştırmışlardır. Lee ad Wu (200), iki makialı akış tipi problemde ağırlıklı toplam akış zamaı ve ağırlıklı ortalama geç bitirmeyi eazlamak içi 8 işe kadar çöze dal-sıır yaklaşımı geliştirmişlerdir. Ayrıca Allahverdi ad Mittethal (998), maksimum tamamlama zamaı ve maksimum gecikme problemii makiaı rasgele bozulma durumua göre stokastik olarak icelemişlerdir. Yapıla çalışmalar Tablo ve Tablo 2 de toplu olarak verilmiştir. 4. SONUÇLAR Bu çalışmada literatürdeki çok ölçütlü akış tipi çalışmalar gözde geçirilmiştir. Bu çalışmaları geel bir değerledirilmesi yapıldığıda şu souçlar tespit edilmiştir: Akış tipi iki ölçütlü çizelgeleme problemide e çok kullaıla ölçütler, Maksimum tamamlama zamaı ve akış zamaı ile ilgili ölçütlerdir. Araştırmacılar bu tür problemleri çözümüde, eiyileme yötemi olarak e çok dal-sıırı kullamışlardır. E çok kullaıla sezgisel yötem geetik algoritmadır. Buu, tavlama bezetimi ve tabu arama takip etmektedir. Akış tipi çizelgeleme problemleride e çok iki makialı sistemler kullaılmaktadır. Akış tipi çizelgeleme problemleride yapıla çalışmaları büyük çoğuluğu determiistiktir. Öümüzdeki yıllarda akış tipi çizelgeleme problemlerie ola ilgi daha da artacağı ve iki Mühedislik Bilimleri Dergisi () Joural of Egieerig Scieces () 9-30

9 makiada m makialı sistemlere doğru yaygılaşacağı düşüülmektedir. Eiyileme yötemlerii kısıtlı imkalarıda dolayı sezgisel yötemlere ola ilgi daha da artacağı ve karıca koloisi gibi diğer sezgisellere de yöelme olacağı tahmi edilmektedir. Gerçek hayat problemlerii daha iyi yasıtması açısıda determiistik çalışmaları yaı sıra stokastik problemlere de yöelimesi gerektiği düşüülmektedir. Ayrıca tam zamaıda üretim felsefesii popüler olduğu güümüzde gecikme tabalı problemlere de bu kapsamda daha fazla öem verilmesi gerekmektedir. Tablo. Akış Tipi Çizelgeleme Problemleride Yapıla Çalışmalar () Problem taımı Çalışmayım yapalar Eiyileme yötemi Sezgisel yötemler / m / Cmax, F Sele ve Hott (986) matematiksel programlama - Wilso (989) matematiksel programlama - Gagadhara ad Rajedra - tavlama bezetimi (994) Rajedra (994a) - özel sezgisel Rajedra (995) - özel sezgisel Framia et al. (2002) - özel sezgisel Allahverdi ve Aldowaisa (2002) dal-sıır özel sezgisel Allahverdi (2002) - özel sezgisel / 2 / Cmax, F Nagar et al 995b dal-sıır - / 2 / F : C max Sivrikaya-Şerifoğlu ve Ulusoy dal-sıır özel sezgisel (998) Lee ad Chou (998) matematiksel programlama özel sezgisel Sayı ve Karabatı (999) dal-sıır - Yeh, (999) dal-sıır özel sezgisel Chou ad Lee (999) matematiksel programlama özel sezgisel Su ad Chou (2000) dal-sıır özel sezgisel T Kidt et al. (2002) - karıca koloisi Rajedra (992) dal-sıır özel sezgiseller Neppalli et al. (996) - geetik algoritma Gupta et al. (999) - tabu arama T Kidt et al. (200) dal-sıır özel sezgisel Gupta et al. (200) - özel sezgiseller T kidt et al. (2002) dal-sıır özel sezgiseller Gupta et al. (2002) - geetik algoritma, tabu arama, tavlama bezetimi ve özel sezgiseller Tablo 2. Akış Tipi Çizelgeleme Problemleride Yapıla Çalışmalar (2) Problem taımı Çalışmayım yapalar Eiyileme yötemi Sezgisel yötemler / m / C, Daiels ad Chambers (990), ödüleşim özel sezgisel max T max / 2 / Cmax, T Chakravarthy ad Rajedra - özel sezgisel (999) Murata et al. (996) - geetik algoritma Ishibuchi ad Murata (998) - geetik algoritma Chag ad. (2002) pareto eiyileme yötemi Liao et al. (997) dal-sıır - Rajedra (995) - özel sezgisel / m / Cmax, F, I / m / C max,t max, F Murata (996) - geetik algoritma Ishibuchi ad Murata (998) geetik algoritma / 2 / Cmax, F, L max Allahverdi (200) dal-sıır özel sezgiseller / m / C max, Chag ad. (2002) pareto eiyileme yötemi - / m / F/ F,Tmax, T Lee et al. (2002) - bulaık matık ve tabu arama / 2 / Cmax, T Liao et al. (997) dal-sıır - / m / I, W Sharadapriyadarshii ad - özel sezgisel Rajedra (997) Lee ad Wu (200) dal -sıır - / 2 / F + T Mühedislik Bilimleri Dergisi () Joural of Egieerig Scieces () 9-30

10 KAYNAKLAR Aarts, E. H. L., Korst, J. H. 989a. Simulated Aealig ad Bolzma Machies: A Stochastic Approach to Combiatorial optimizatio ad Neural Computig, Wiley, New York. Aarts, E. H. L., Korst, J. H. 989b. Boltzma Machiess for Travelig Salesma Problems, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 39, No., pp Allahverdi, A The Tricriteria Two-Machie Flowshop Schedulig Problems, Iteratioal Trasactios Operatioal Research, Vol. 8, pp Allahverdi, A The Two- ad m-machie Flowshop Schedulig Problems with Bicriteria of Makespa ad Mea Flowtime, Europea Joural of Operatioal Research (i Press). Allahverdi, A., Mittethal, J Dual Criteria Schedulig o a Two-machie Flowshop Subject to Radom Breakdows, Iteratioal Trasactios i Operatioal Research, Volume 5, No: 4, pp Allahverdi, A., Aldowaisa, T No-wait Flowshop with Bicriteria of Makespa ad Total Completio Time, Joural of Operatioal Research Society, Volume 53, pp Baker, K. R Itroductio to Sequecig ad Schedulig, Joh Wiley ad Sos, New York. Campbell, H. G., Dudek, R. A., Smith, M. L A Heuristic Algorithm for The -Job, m-machie Sequecig Problem, Maagemet Sciece, Volume 6, pp Chakravarthy, K., Rajedra, C A Heuristic for Schedulig i a Flowshop with the Bicriteria of Makespa ad Maximum Tardiess Miimizatio, Productio Plaig ad Cotrol, Volume 0, No: 7, pp , 999. Chag, P. C., Hsieh, J.-C., Li, S.-G The Developmet of Gradual Priority Weighig Approach for The Multi-Objective Flowshop Schedulig Problem, Iteratioal Joural of Productio Ecoomics (i press). Che, C. L., Bulfi, R.L Schedulig Uit Processig Time Jobs o A Sigle Machie with Multiple Criteria, Computers ad Operatios Research, Volume 7, No:, pp. -7. Che, C. L., Bulfi, R. L Complexity of Sigle Machie Multi-criteria Schedulig Problems, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 70, pp Che, C., Neppalli, V., Aljaber, N Geetic Algorithms Applied to The Cotiuous Flowshop Problem, Computers ad Idustrial Egieerig, Volume 30, pp Chery, V Thermodyamical Approach to Travelig Salesma Problem: a Efficiet Simulatio Algorithm, Joural of Optimizatio Theory ad Applicatios, Volume 45 No:, pp Chou, F. D., Lee, C. E Two-Machie Flowshop Schedulig with Bicriteria Problem, Computers ad Idustrial Egieerig, Volume 36, pp Daiels, R. L., Chambers, R. J Multiobjective flow-shop Schedulig, Naval Research Logistics, Volume 37, pp De Jog, K. A A Aalysis of the Bahavior of a Class of Geetic Adaptive Systems, Ph.D. Thesis, Uiversity of Michiga. Dileepa, P., Se, T Bicriterio Static Schedulig Research For A Sigle Machie, OMEGA Iteratioal Joural of Maagemet Sciece, Volume 6, No:, pp Dorigo, M., Maiezzo V., Colori A At System: Optimizatio by A Coloy of Cooperatig Agets. IEEE Trasactios o Systems, Ma ad Cyberitics, Volume 26, No:, pp Dorigo, M., Di Caro, G., Gambardella, L. M At Algorithms for Discrete Optimizatio, Artificial Life, Volume 5, No: 2, pp Dueck, G., Scheuer, T Thereshold Acceptig: A Geeral Purpose Optimizatio Algorithm Apperaig Superior to Simulated Aealig, Joural of Compitatioal Physics, Volume 90, pp Eastma, W. L A Solutio to the Travellig- Salesma Problem, Ecoometrica, Volume 27, pp Ere, T., ve Güer, E Tek ve Paralel Makiada Çok Ölçütlü Çizelgeleme Problemleri içi Bir Literatür Taraması, Gazi Üiversitesi Mühedislik Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 7, No: 4, s Framia, J. M., Leiste, R., Ruiz-Usao, R Efficiet Heuristics for Flowshop Sequecig with The Objectives of Makespa ad Flowtime Miimisatio, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 4, pp Fry, T. D., Armstrog, R. D., Lewis, H A Framework for Sigle Machie Multiple Objective Sequecig Research, OMEGA, Volume 7, No: 6, pp Gagadhara, R., Rajedra, C Heuristic Algorithms for Schedulig i The No-wait Flowshop, Iteratioal Joural of Productio Ecoomics, Volume 32, pp Gagadhara, R., Rajedra, C A Simulated Aealig Heuristic for Schedulig i a Flowshop with Bicriteria, Computers ad Idustrial Egieerig, Volume 27, No: -4, pp Garey, M. R., Johso, D. S., Sethi, R The Complexity of Flowshop ad Jobshop Schedulig, Mathematics of Operatios Research, Volume, No: 2, pp Gelders, F. L., Sambadam, N Four Simple Heuristic for Schedulig a Flowshop, Iteratioal Joural of Productio Research, Volume 6, pp Mühedislik Bilimleri Dergisi () Joural of Egieerig Scieces () 9-30

11 Glover, F Tabu Search - Part I, ORSA Joural o Computig, Volume, No: 3, pp Glover, F Tabu Search - Part II", ORSA Joural o Computig, Volume 2, No:, pp Glover, F., ad Lagua, M., 997, Tabu Search, Kluwer Academic Publishers, Uited Stated of America. Goldberg, D. E Geetic Algorithms i Search, Optimizatio ad Machie Learig, Addiso-Wesley, Readig, M. A. Gupta, J. N. D Heuristic Algorithm for Multi- Stage Flowshop Schedulig Problem, AIIE Trasactios, Volume 3, pp. -8. Gupta, J. N. D., Heig, K., Werer, F Local Search Heuristic for Two-stage Flow Shop Problems with Secodary Criterio, Computers ad Operatios Research, Volume 29, pp Gupta, S., Kyparisis, J Sigle Machie Schedulig Research, OMEGA Iteratioal Joural of Maagemet Sciece, Volume 5, No: 3, pp Gupta, J. N. D., Palaimuthu N., Che C. L Desigig ad Tabu Search Algorithm for the Two- Stage Flow Shop Problem with Secodary Criterio, Productio Plaig ad Cotrol, Volume 0, No: 3, pp Gupta, J. N. D., Neppalli V. R., ad Werer, F Miimizig Total Flow Time i A Two-Machie Flowshop Problem with Miimum Makespa, Iteratioal Joural of Productio Ecoomics, Volume 69, pp Held, M., ad Karp, R. M A Dyamic Programmig Approach to Sequecig Problems, SIAM Joural o Applied Mathematics, Volume 0, No:, pp Ho, J. C Flowshop Sequecig with Mea Flowtime Objective, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 8, pp Ho, J. C., Chag, Y. L. 99. A New Heuristic for The -Job, m-machie Flowshop Problem, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 52, pp Hollad, J. H Adaptatio i Natural ad Artificial systems, Uiversity of Michiga Press. Igall, E., ad Schrage, L. E Applicatio of The Brach-ad-Boud Techique to Some Flowshop Problems, Operatios Research, Volume 3, pp Ishibuchi, H., Murata, T A Multi-Objective Getic Local Search Algorithm ad Its Applicatio to Flowshop Schedulig, IEEE Trasactios o Systems, Ma, ad Cyberetics-Part-C: Applicatios ad Review, Volume 28, No: 3, pp Johso, S. M Optimal Two-ad Three-Stage Productio Schedules with Setup Times Icluded, Naval Research Logistic Quarterly, Volume, pp Ka, A. H. G Machie Schedulig Problems, Martius Nijhoff, The Hague. Kirkpatrick, S., Gelatt, C. D., Vecchi, M. P Optimizatio by Simulated Aealig, Sciece, Volume 220, pp Klei, D., Haa, E A Algorithm for The Multiple Objective Iteger Liear Programmig Problem, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 9, No: 9, pp Lawler, E. L O Schedulig Problems with Deferral Costs, Maagemet Sciece, Volume, pp Lawler, L. E., Moore, J. M Fuctioal Equatio ad Its Applicatio to Resource Allocatio ad Sequecig Problems, Maagemet Sciece, Volume 6, pp Lee, C. E., Chou, F. D A Two-machie Flowshop Schedulig Heuristic with Bicriteria Objective, Iteratioal Joural of Idustrial Egieerig, Volume 5, No:2, pp Lee, W. C., Wu, C. C Miimizig The Total Flow Time ad the tardiess i a Two-Machie Flow Shop, Iteratioal Joural of Systems Sciece, Volume 32, No: 3, pp Lee, H. T., Che, Sç. H., Kag, H. Y. 2002, Multicriteria Schedulig Usig Fuzzy Theory ad Tabu Search, Iteratioal joural of Productio Research, Volume 40, No: 5, pp Lestra, J. K Sequecig by Eumerative Method, Secod Pritig, Mathemtisch Cetrum. Liao, C. J., Yu, W. C., Joe, C. B Bicriterio Schedulig i The Two-machie Flowshop, Joural of Operatioal Research Society, Volume 48, pp Morto, T. E., Petico, D. W Heuristic Schedulig Systems, Wiley, New York. Miyazaki, S., Nishiyama, 980. Aalysis for Miimizig Weighted Mea Flow-Time i Flow-Shop Schedulig, Joural of Operatioal Research Society of Japa, Volume 23, pp Murata, T., Ishibuchi, H., Taaka, H Multi- Objective Geetic Algorithm ad Its Applicatios to Flowshop Schedulig, Computers ad Idustrial Egieerig, Volume 30, No: 4, pp Nagar, A., Hadddock, J., Heragu, S. 995a. Multiple ad Bicriteria Schedulig: A Literature Survey, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 8, pp Nagar, A., Heragu, S. S., Haddock, J. 995b. A Brach-ad-Boud Approach for a Two-machie Flowshop Schedulig Problem, Joural of Operatioal Research Society, Volume 46, pp Nawaz, M., Escore, E. E., Ham, I A Heuristic Algorithm for The m-machie -Job Flowshop Sequecig Problem, OMEGA, Volume, pp Neppalli, V. R., Che C. L., Gupta J. N. D Geetic Algorithms for The Two-Stage Bicriteria Flowshop Problem, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 95, pp Mühedislik Bilimleri Dergisi () Joural of Egieerig Scieces () 9-30

12 Ogbu, F. A. ad Smith, D. K The Applicatio of Simulated Aealig Algorithm to The Solutio of The / m / Cmax Flowshop Problem, Computers ad Operatios Research, Volume 7, pp Piedo, M. L Schedulig: Theory, Algorithms, ad Systems, Pretice-Hall, Eglewood. Rajedra, C Two-Stage Flowshop Sequecig Problem with Bicriteria, Joural of Operatioal Research Society, Volume 43, pp Rajedra, C Heuristic Algorithm for Schedulig i a Flowshop to Miimize Total Flowtime, Iteratioal Joural of Productio Ecoomics, Volume 29, pp Rajedra, C. 994a. A Heuristic for Schedulig i Flowshop ad Flowlie-Based Maufacturig Cell with Multi-criteria, Iteratioal Joural of Productio Research, Volume 32, No:, pp Rajedra, C. 994b. A No-wait Flowshop Schedulig Heuristic to Miimize Makespa, Joural of Operatioal Research Society, Volume 45, pp Rajedra, C Heuristic for Schedulig i Flowshop with Multiple Objectives, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 82, pp Rajedra, C. ad Chaudhuri, D Heuristic Algorithms for Cotiuous Flowshop Problem, Naval Research Logistics, Volume 37, pp Rajedra, C., Chaudhuri, D. 99. A Efficiet Heuristic Approach to The Schedulig of Jobs i a Flowshop, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 6, pp Rajedra, C., Ziegler, H A Efficiet Heuristic for Schedulig i a Flowsop to Miimize Total Weighted Flowtime of Jobs, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 03, pp Sayı, S., Karabatı, S A Bicriteria Approach to The Two-machie Flow Shop Schedulig Problem, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 3, pp Schaffer, J. D Multi-Objective Optimizatio with Vector Evaluted Geetic Algorithms, Iteratioal Processig st Cofereces Geetic Algorithms, pp Sele, W. J., Hott, D. D A Mixed-Iteger Goal- Programmig Formulatio of The Stadard Flow-Shop Schedulig Problem, Joural of Operatioal Research Society, Volume 37, No: 2, pp Se, T., Gupta, S. K A Brach ad Boud to Solve a Bicriterio Schedulig Problem, IEE Trasactios, Volume 5, pp Se, T., Raiszadeh, F. M. E., Dileepa, P.988. A Brach-ad-Boud Approach to The Bicriterio Schedulig Problem Ivolvig Total Flowtime ad Rage of Lateess, Maagemet Sciece, Volume 34, No: 2, pp Sharadapriyadarshii, B., Rajedra, C Formulatios ad Heuristics for Schedulig i a Buffer-costraied Flowshop ad Flowlie-Based Maufacturig Cell with Differet Buffer-Space Requiremets for Jobs: Part 2, Iteratioal Joural of Productio Research, Volume 35, No:, pp Sivrikaya-Şerifoğlu, F., Ulusoy G A Bicriteria Two-machie Permutatio Flowshop Problem, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 07, pp Su, L.H. ad Chou, F. D Heuristic for Schedulig i a Two-Machie Bicriteria Dyamic Flowshop with Setup ad Processig Times Separated, Productio Plaig ad Cotrol, Volume, No: 8, pp T kidt, V. ad Billaut J.C Multicriteria Schedulig Problems: A Survey, RAIRO Operatios Research, Volume 35, pp T kidt, V., Billaut, J.C., Proust, C Solvig a Bicriteria Schedulig Problem o Urelated Parallel Machies Occurrig i The Glass Bottle Idustry, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 35, pp T kidt, V., Gupta, J. N. D., ad J.-C., Proust, C. 2002a. Two-Machie Flowshop Schedulig With a Secodary Criterio, Computers ad Operatios Research (i press). T kidt, V., Momarche, N., Terciet, F., Laügt, D. 2002b. A At Coloy Optimizatio Algorithm to Solve A 2-Machie Bicriteria Flowshop Schedulig Problem, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 42, pp Va Wassehove, L. N., Gelders, L. F Solvig a Bicriterio Schedulig Problem, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 4, pp Widmer, M., Hertz, A A New Heuristic Method for The Flowshop Sequecig Problem, Europea Joural of Operatioal Research, Volume 4, pp Wilso, J. M Alterative Formulatios of a Flow-Shop Schedulig Problem, Joural of Operatioal Research Society, Volume 40, No: 4, pp Woo, D. S., Yim, H. S A Heuristic Algorithm for Mea Flowtime Objective i Flowshop Schedulig, Computers ad Operatios Research, Volume 25, pp Yeh, W. C A New Brach-ad- Boud Approach for the / 2 / flowshop/ α F + βcmax Flowshop Schedulig Problem, Computers & Operatios Research, Volume 26, pp Mühedislik Bilimleri Dergisi () Joural of Egieerig Scieces () 9-30