TÜREV TÜREV. Kurallar. Konu Kavrama Çalışması. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "TÜREV TÜREV. Kurallar. Konu Kavrama Çalışması. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu"

Transkript

1 f()= 6 ise f ı ()=6. 6 =6 5 Cevap: 6 5 TÜREV TÜREV Bu bölümde fonksionların türevlerinin nasıl alınacağını öğrenmee başlıoruz. = f() fonksionunun türevi f ı (), d(f()) vea d ile gösterilebilir. d d Kurallar ) [f() ± g()] ı = f ı () ± g ı () Toplama ve çıkarma işlemlerinde arı arı türev alınabilir. ) c R, c ı = 0 Reel saıların türevleri sıfırdır. ) c R, [c. f()] ı = c. f ı () Çarpma işleminde sabit saılar türev işleminden etkilenmez. 4) n R, ( n ) ı = n. n Kuvvet reel saı ise saıı çarpım olarak öne alıp, kuvveti bir eksiltiriz. Konu Kavrama Çalışması f() f ı () f() f ı () =4 = = = = =0 5 5.=5 0 f() f ı () f() f ı () f()= 6 fonksionunun türevini bulunuz. f()= n ise f ı ()=n. n bağıntısından f()= fonksionunun türevini bulunuz. f()= ise f ı ()= = = Cevap:

2 soru soru 5 Aşağıda verilenlerden hangisi anlıştır? A) f()= ise f ı ()=0 dır. B) f()= ise f ı ()=0 dır. C) f()= ise f ı ()=0 dır. D) f()= ise fı ()=0 dır. E) f()= ise f ı ()=0 dır. f()= + fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) + C) 6 + D) 6+ E) + soru f()= 7 fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 7 C) D) 7 E) 7 7 A) 4 + B) 8 + C) 8 5 D) E) soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) ñ B) C) 0 D) E) A) 4 + B) 4 ++ C) 5 + D) E) + soru 4 f()=7 soru 8 f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 7 C) D) 7 E) 7 fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) 4 C) D) 4 + E) E B D 4 A 5 C 6 B 7 A 8 E 5

3 f()= 5 fonksionunun türevini bulunuz. f()= n ise f ı ()=n. n bağıntısından f()= 5 ise f ı ()= 5. 5 = 5 6 Cevap: 5 6 f()= fonksionunun türevini bulunuz. f()= n ise f ı ()=n. n bağıntısından f()= ise f ()=. = Cevap: _ f()= fonksionunun türevini bulunuz. f()= n ise f ı ()=n. n bağıntısından f()= ise f ()=. = Cevap: _ f()= 4 fonksionunun türevini bulunuz. n = n dir. Buna göre 4 f()= = 4 f ()= 4. 4 = 4 5 Cevap: 4 5 6

4 soru f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 4 4 soru 5 f() = fonksionun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) soru f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 6 C) 6 + D) 6 + E) 4 + soru 6 f() = fonksionun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) + C) D) E) + soru f() = fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) soru 4 f() = + fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? + A) B) C) + D) E) + soru 8 f() = fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 4 B) 4 4 C) D) + 4 E) 4 A B E 4 C 5 D 6 A 7 E 8 C 7

5 Uarı n Köklü ifadelerin türevini alırken de ( n ) ı =n n m n bağıntısından fadalanırız. Bunun için = m olduğunu hatırlaınız. f()=ñ fonksionunun türevini bulunuz. f() = = dir. Buna göre, f () = = =. Cevap: f()= fonksionunun türevini bulunuz. f() = = tür. Buna göre, f () =. = =. Cevap: f()= fonksionunun türevini bulunuz. f() = = = dir. Buna göre, f () =. = =. = Cevap: f()= + +5 fonksionunun türevini bulunuz. f() = = dir. Buna göre, = f () = = 4 Cevap: 4 8

6 soru f() = 5 fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) soru 5 f() = + fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 4 soru f() = + fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) C) D) + E) soru 6 4 f() = fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? 4 A) + B) + C) 4 D) E) soru f() = fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f() = + + fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? 5 A) B) C) D) E) A) B) + C) D) 4 E) + soru 4 f() = fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? 4 A) + B) + C) D) E) soru 8 5 f() = + ln5 5 5 fonksionunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) B C A 4 D 5 C 6 D 7 A 8 C 9

7 =f() fonksionunun =a noktasındaki türevi f ı (a) vea d d =a ifadeleri ile gösterilebilir. f()= ++5 olduğuna göre, f ı () kaçtır? f()= ++5 ise f ı ()= + f ı ()=. +=5 Cevap: 5 f()=ñ+4 olduğuna göre, f ı (9) kaçtır? f()=ñ+4= +4 f ı ()= +0= = ñ f ı (9)= ñ9 = 6 Cevap: 6 (ñ ) ı = ñ eşitliği sıkça kullanılan bir türev işlemidir. Bilmenizde fada var. = +8ñ olduğuna göre, d d =4 kaçtır? d d =+8. ñ =+ 4 ñ d =.4+ 4 d ñ4 =8+=0 =4 Cevap: 0 = + d olduğuna göre, d = kaçtır? = + d d =.. = d d = = 4 6= 0 = 4 8 Cevap: 0 0

8 soru f()= +5 olduğuna göre, f ı (4) kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) soru 5 = olduğuna göre, d kaçtır? d = A) B) C) D) 4 E) 5 soru f()= + 4 olduğuna göre, f ı ( 5) kaçtır? soru 6 f()= fonksionunun = için türevi kaçtır? A) B) 9 C) 7 D) 5 E) A) B) C) D) E) 4 soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= olduğuna göre, f ı ( ) kaçtır? f()=ñ olduğuna göre, f ı (4) kaçtır? A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) 0 A) B) 8 C) 6 D) 4 E) soru 4 soru 8 f()=a + f()= ñ fonksionunun = için türevi 5 olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, f()+f ı () toplamının sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) C) 0 D) E) A E C 4 A 5 A 6 E 7 D 8 C

9 İki Fonksionun Çarpımının Türevi f ve g türevlenebilen iki fonksion olsun, f().g() çarpımının türevi, [f().g()] ı =f ı ().g()+g ı ().f() dir. f()=( +).( ) olduğuna göre, f '() i bulunuz. [f().g()] ı =f ı ().g()+g ı ().f() bağıntısından f '()=( +)'.( )+( )'.( +) f '()=.( )+.( +) Cevap:.( )+.( +) f()=( +).( ) olduğuna göre, f '() i bulunuz. [f().g()] ı =f ı ().g()+g ı ().f() bağıntısından f '()=( +)'.( )+( )'.( +) f '()=(+).( )+( ).( +) Cevap: (+).( )+( ).( +) f()=( +).( ++) olduğuna göre, f '( ) i bulunuz. [f().g()] ı =f ı ().g()+g ı ().f() bağıntısından f '()=( +)'.( ++)+( ++)'.( +) f '()=( +).( ++)+(+).( +) dir. = fonksionunun türevinde erine azıldığında f '( )=(.( ) +).(( ) +( )+)+(.( )+)(( ) +( ))=6 Cevap: 6 f( ) =.( + ) olduğuna göre, f '() i bulunuz. [f().g()] ı =f ı ().g()+g ı ().f() bağıntısından f '()=( )'.(+)+(+)'. f '( ) =.( + ) +. f '( ) =.( + ) +. = fonksionunun türevinde erine azıldığında f() = ().(.+ ) +.() =. + = 4 Cevap: 4

10 soru f()=( ).( +5) olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) ( +5)+( ) B) 4.( )+.( +5) C) 4.( +5)+.( ) D) 4.+( +5) E) ( )+.(4 ) soru 5 f()=( 4 +).( ) olduğuna göre, f '() kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru f()=( ).( ) olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) ( )+.( ) B) ( )+( ) C) ( )+.( ) D) ( )+.( ) E) ( ).( )+( ).( ) soru 6 f()=( ).( +) olduğuna göre, f '( ) kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru f()=( +).( +) olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A).( +)+( ).( +) B) ( +)+.( +) C).( +)+( +) D).( +)+( +) E) ( +)+( +) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f( ) =.(6 + ) olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A).(6+ ) + B).(6+ ) + 6. C).(6+ ) + D).(6+ ) + 6. E).(6 + ) + 6. soru 4 f()=( ).( +) olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) ( ).( +)+.( ) B) ( ).( +)+.( ) C) ( ).( +)+.( ) D).( )+.( ) E) ( )+ soru 8 f() = ( ).( + ) olduğuna göre, f '() kaçtır? 4 5 A) B) C) D) E) C E A 4 B 5 B 6 E 7 B 8 C

11 İki Fonksionun Bölümünün Türevi f ve g türevlenebilen iki fonksion olsun. g() 0 olmak üzere f() f() ' f'().g() g'().f() = g() g() bölümünün türevi, g() [ ] dir. + f() = + olduğuna göre, f '() i bulunuz. f() f ().g() g ().f() = g() bağıntısından [g()] ( + )'.( + ) ( + )'.( + ) f '() = ( + ).( + ).( + ) + f '() = = = ( + ) ( + ) ( + ) Cevap: ( +) + f() = olduğuna göre, f '() i bulunuz. f() f ().g() g ().f() = g() bağıntısından [g()] ( + )'.( ) ( )'.( + ) f '() = ( ).( ).( + ) 6 7 f '() = = = ( ) ( ) ( ) 7 Cevap: ( ) + f() = f() f ().g() g ().f() = g() [g()] bağıntısından olduğuna göre, f '() i bulunuz. + f() = + olduğuna göre, f '() kaçtır? ( + )'.( ) ( )'.( + ) f '() = ( ).( ).( + ) 4 f '() = = ( ) ( ) 4 Cevap: ( ) f() fonksionunun türevini bölümün türevine göre alalım ( + )'.( + ) ( + )'.( + ) f '() = ( + ) ( + ).( + ).( + ) f '() = ( + ) = değeri f '() de erine konulduğunda, (. + ).( + ).( + ) f '() = = = = ( + ) 4 Cevap: 4

12 soru f() = + olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) ( + ) ( + ) ( + ) 4 D) E) ( + ) ( + ) soru 5 + f() = + 5 olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) ( + 5) ( + 5) ( + 5) + 4 D) E) ( + 5) ( + 5) soru 5 f() = + olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 + f() = olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? 8 5 A) B) C) ( + ) ( + ) ( + ) 5 D) E) ( + ) ( + ) soru + f() = + olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI ( + ) A) B) C) ( ) ( ) ( ) 6 D) E) ( ) ( ) soru f() = + olduğuna göre, f '() kaçtır? + + A) B) C) ( + ) ( + ) ( + ) D) E) ( + ) ( + ) A) B) C) D) E) 6 6 soru 4 + f() = + olduğuna göre, f '() aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) ( + ) ( + ) ( + ) + 9 D) E) ( + ) ( + ) soru f() = + olduğuna göre, f '() kaçtır? A) B) 0 C) D) E) D C A 4 D 5 C 6 E 7 B 8 B 5

13 Toplam ve Fark Fonksionlarının Türevi f ve g ugun aralıkta türevlenebilen iki fonksion olsun. f ve g fonksionlarının toplamlarının türevi, türevleri toplamına; f ve g fonksionlarının farklarının türevi, türevlerinin farkına eşittir. Toplam fonksionunun türevi : Fark fonksionunun türevi : (f+g) ı ()=f ı ()+g ı () (f g) ı ()=f ı () g ı () f()= +5 ve g()= olduğuna göre, (f+g)ı () ifadesinin eşitini bulunuz. f()= +5 ise f ı ()= g()= ise gı ()= (f+g) ı ()=f ı ()+g ı ()= + Cevap: + f() = + g() = π olduğuna göre, (f g) ı () ifadesnin eşitini bulunuz. f() = + = + ise f () =. + 0= g() = π= π ise g() ı = 0= 4 (f g) () = f () g () = 4 Cevap: + 4 f()= 4 ve g()= olduğuna göre, (f+g)ı () kaçtır? f()= 4 ise f ı ()= ve f ı ()=.= g()= ise g ı ()= 4 ve g ı ()=. 4 = (f+g) ı () =f ı ()+g ı ()=+( )= Cevap: f()=ñ+4 ve g()= 5 5 olduğuna göre, (f g)ı () kaçtır? f()=ñ+4 ise f ı ()= ñ ve fı ()= ñ = g()= 5 5 ise g ı ()= 54 5 =4 ve g ı ()= 4 = (f g) ı ()=f ı () g ı ()= = Cevap: 6

14 soru soru 5 f()=, g()= olduğuna göre, (f+g) ı () ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 4 E) 5 f()=, g()= olduğuna göre, (f+g) ı () kaçtır? A) 5 B) C) D) E) 5 soru f()= +, g()= + olduğuna göre, (f+g) ı () ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f()=ñ+, g()= ñ olduğuna göre, (f g) ı (4) kaçtır? A) B) C) D) + E) + A) 4 B) 8 C) 6 D) 8 E) 6 soru f()= +, g()=+ +5 olduğuna göre, (f g) ı () ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) C) + D) E) + KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= 5 +4 ve (f g) ı ( )=6 olduğuna göre, g ı ( ) kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru 4 f() = +, g() = + olduğuna göre, (f+g) ı () ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 4 A) + B) + C) D) E) soru 8 f()= + ve g()= + olduğuna göre, (f g) kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 0 E B D 4 A 5 B 6 C 7 D 8 E 7

15 Şimdi türevin tanımını limit ardımıla apalım. f ı (a)=lim a f() f(a) a ve f ı f(+h) f() ()=lim h 0 h ifadesinin de- f()= +4 olduğuna göre, lim ğeri kaçtır? f() f() lim f() f() =fı () f()= +4= +4 f ı ()=. +4. = +4 ve f ı ()= +4= Cevap: f()=ñ+ olduğuna göre, lim 4 kaçtır? f() f(4) 4 ifadesinin değeri lim 4 f() f(4) =f ı (4) 4 ( ) f () = ( + ) = + = + 0= = f (4) = = 4 4 Cevap: 4 f()= + olduğuna göre, lim h 0 eşiti nedir? f(+h) f() h ifadesinin lim h 0 f(+h) f() =f ı () olduğuna göre, h f ı ()=. += + Cevap: + ifadesi- f()= 4+ olduğuna göre, lim h 0 nin değerini bulunuz. f(+h) f() h lim h 0 f(+h) f() =f ı () olduğuna göre, h f ı ()=. 4=4 4 f ı ()=4. 4=0 Cevap: 0 8

16 soru f()= f() f() olduğuna göre, lim ifadesinin değeri kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) soru 5 f()= + +5 f() f() olduğuna göre, lim limitinin değeri kaçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4 soru f()= 7 ifadesinin eşiti aşağıdakiler- olduğuna göre, f() f(a) lim a a den hangisidir? soru 6 f()= 5 + f() f( ) olduğuna göre, lim limitinin değeri kaçtır? + A) 44 B) 56 C) 68 D) 7 E) 80 A) a 7 B) 7a 6 C) 6a 5 D) 5a 4 E) 4a soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= 4+ f(+h) f() olduğuna göre, lim h 0 h ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? f()= ñ f(4+) f(4) olduğuna göre, lim 0 limitinin değeri kaçtır? A) 4+ B) 4 C) 4 D) E) +6 A) 4 B) 4 C) D) 4 E) soru 4 soru 8 lim h 0 f(+h) f() =5 h olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 lim f() f() f()=.( ).( ) limitinin değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) A B B 4 E 5 E 6 C 7 A 8 D 9

17 Şimdi türevli olma kavramını inceleelim. =f() fonksionunun =a noktasında türevli olabilmesi için ) =a noktasında sürekli olması gerekir. ) Sağdan ve soldan türevinin f ı (a + )=f ı (a ) eşit olması gerekir. (Sağdan ve soldan türevi, sağdan ve soldan limit mantığı ile düşünün) f() =, +4, < a) ise f ı () bulunurken ugun fonksion f()= f ı ()= ve f ı ()=.=4 Cevap: 4 parçalı fonksionu verilior. Buna göre, a) f ı () kaçtır? b) f ı ( ) kaçtır? c) f ı () kaçtır? b) < ise f ı ( ) bulunurken ugun fonksion f() = +4 f ı ()= ve f ı ( )= Cevap: c) (= değerini parçalı fonksionun kritik noktası olduğu için ve +4 fonksionlarında erine azarız.) =0 ve.+4=6 0 6 ise = için f() sürekli değildir, dolaısıla f ı () oktur. +, f() = +, < parçalı fonksionu verilior. Buna göre, f ı () kaçtır? Uarı Bu tarz sorularda kritik noktaların türevinin olup olmadığını bulmak için.adım: Fonksionun kritik noktada sürekli olup olmadığına bakılır..adım: Fonksionun kritik noktada sağdan ve soldan türevi olup olmadığına bakılır..adım += +=6 ve +=.+=6 6=6 ise = için f() süreklidir. Fonksion sürekli olduğu için, sağdan ve soldan türevine de bakarız..adım f ı ( + ) bulunurken ugun fonksion f()= + dolasıla f ı ()=+ ve f ı ( + ) =.+=5 f ı ( ) bulunurken ugun fonksion f()=+ dolasıla f ı ()= ve f ı ( )= f ı ( + ) f ı ( ) (sağdan ve soldan türev farklı) olduğuna göre, f ı () oktur. Dikkat Ederseniz! Kritik noktada fonksionun türevinin olabilmesi için - Sürekli olması gerekir. - Sağdan ve soldan türevinin eşit olması gerekir. a b, f() = b+a+, < parçalı fonksionu verilior. f() tüm reel saılar için türevli olduğuna göre, a+b kaçtır? = kritik nokta = değerini a b ve b+a+ ifadelerinde ve türevlerinde azdığımızda anı değer çıkmalı. f( + )=f( ) a b=b+a+ denklemleri çözülürse a= ve b= f ı ( + )=f ı ( ) a b=b.( )+.( )= 5 Cevap: 5 0

18 soru soru 5 f() = +,, < f() = a +b, +, < olduğuna göre, f ı ( + ) f ı ( ) farkı kaçtır? fonksionunun = için türevi olduğuna göre, a b kaçtır? A) 0 B) 6 C) 4 D) 6 E) 0 A) 0 B) C) D) E) 4 soru +, f() = +, < 5 + +, < soru 6 f() = +a, 5, > fonksionunun = için türevi olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, f ı ()+f ı ( ) toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) B) C) 0 D) E) soru +, f() = +4, < KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f() = m +, 4+n, olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) Yoktur fonksionunun = için türevi olduğuna göre, 8m+n toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 f() =, 5 +, > f() = 5+, +5, > 0 0 olduğuna göre, f ı ( )+f ı ()+f ı () toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 parçalı fonksionunun türevli olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) R B) R {0} C) D) R {5} E) {0,5} E C D 4 E 5 A 6 A 7 A 8 B

19 Mutlak Değer Fonksionun Türevi f()= =,, 0 < 0 fonksionunda sıfırın kritik nokta olduğuna dikkat edelim. =0 da fonksion sürekli, fakat f ı (0 + )= ve f ı (0 )= değerleri farklı olduğu için f() in =0 da türevi oktur. Uarı Mutlak değer fonksionun tek katlı köklerinde genel olarak türev oktur, çift katlı köklerinde ise türev vardır. f()= fonksionu verilior. a) f ı () kaçtır? b) f ı () kaçtır? a) = için >0 olduğundan f()= alınır. f ı ()=( ) ı = Cevap: b) = için <0 olduğundan f()= + alınır. f ı ()=( +) ı = Cevap: f()= 4 fonksionu verilior. a) f ı () kaçtır? b) f ı ( ) kaçtır? c) f ı () kaçtır? a) = için 4>0 olduğundan f()= 4 alınır. f ı ()=( 4) ı = ise f ı ()=.=6 Cevap: 6 b) = için 4<0 olduğundan f()= +4 alınır. f ı ()=( +4) ı = ise f ı ( )=.( )= Cevap: c) = için 4=0, = tek katlı kök olduğu için f ı () oktur. Cevap: Türev ok f()= 4 fonksionunun türevinin olmadığı değeri kaçtır? f()= 4 = ( 4) f()=. 4 ( >0 olduğu için dışarı alındı) =4 tek katlı köktür. Dolaısı ile f() in =4 değeri için türevi oktur. Cevap: 4 f()= 5 fonksionunun = için türevi f ı () kaçtır? = için 5 <0 olduğundan f()= +5+ f ı ()=( +5+) ı = +5 ise f ı ()=. +5= 7 Cevap: 7

20 soru f()= olduğuna göre, f ı (5) kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 5 soru 5 f()= + f() f() olduğuna göre, lim limitinin değeri kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) soru f()=.( ) olduğuna göre, f ı () kaçtır? soru 6 f()= +4 olduğuna göre, f()+f ı () toplamının sonucu kaçtır? A) Yoktur B) C) D) E) A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= olduğuna göre, f ı ( + ) kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 f()= 6 8+ olduğuna göre, f kaçtır? 4 A) B) C) 0 D) E) soru 4 f()=+ + olduğuna göre, f ı () kaçtır? soru 8 f()= + + olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) C) 4 D) 5 E) 6 C A B 4 A 5 A 6 D 7 C 8 B

21 Bileşke Fonksionun Türevi f() ve g() ugun aralıklarda tanımlı birer fonksion olmak üzere, (f o g)() bileşke fonksionun türevi, (f o g) ı () =g ı ().f ı (g()) (g o f)() bileşke fonksionun türevi, (g o f) ı () =f ı ().g ı (f()) f()=+ ve g()= olduğuna göre, a) (f o g) ı () ifadesini bulunuz. b) (g o f) ı () ifadesini bulunuz. f ı (g()) ifadesi, f in türevinde g fonksionunu erine az demektir. a) f()=+ ise f ı ()= g()= ise g ı ()= f ı ()= ise f ı (g())= (f o g) ı ()=g ı ().f ı (g())=.=6 dır. b) f ı ()= ve g ı (f())= olduğundan (g o f) ı ()=f ı ().g ı (f())=.=6 dır. f()= + ve g()=4+ olduğuna göre, (g o f) ı () ifadesini bulunuz. Bileşke fonksionun türevi sorularında önce fonksionların bileşkesini alıp daha sonra türevini alabilirsiniz. (g o f)()=g(f())=4.f()+=4.( +)+=4 +5 (g o f) ı =(4 +5) ı =8 Cevap: 8 f()= +5 ve g()= olduğuna göre, (f o g) ı () kaçtır? f()= +5 ise f ı ()= g()= ise g ı ()=4 g()=. = ve g ı ()=4.=4 (f o g) ı ()=g ı ().f ı (g())=4.f ı ()=4.=8 4 Cevap: 8 f ı ()=4, g()= ve g ı ()=4 olduğuna göre, (f o g) ı () kaçtır? (f o g) ı ()=f ı (g()).g ı ()=f ı () =4.4=6 Cevap: 6 4

22 soru soru 5 f()=5+ ve g()=+7 olduğuna göre, (g o f) ı () aşağıdakilerden hangisidir? f ı ()=5, g()= ve g ı ()= olduğuna göre, (f o g) ı () kaçtır? A) 0 B) C) D) 4 E) 5 A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) soru f()= +5 ve g()=+ olduğuna göre, (f o g) ı () aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f ı ()=, f()= ve g ı ()=5 olduğuna göre, (g o f) ı () kaçtır? A) 8+6 B) 8+ C) 8+6 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 D) 4+5 E) 4+8 soru f()= ve g()= + olduğuna göre, (g o f) ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 + B) 4 C) 4 4 D) + E) +4 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (g o f) ı ()=5, g ı (f())= olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 0 E) 5 soru 4 soru 8 f()= ve g()=+ olduğuna göre, (f o g) ı () aşağıdakilerden hangisidir? =f() A) + B) +6+ C) +6 ñ D) +6+ E) +6 + O 5 Yukarıda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. g()= ve f ı (5)= olduğuna göre, (g o f) ı (5) kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 E B C 4 B 5 D 6 E 7 C 8 E 5

23 Bileşke fonksionun türevi sorularında f ve g fonksionları her zaman arı arı verilmeebilir. Örneğin, f(+)=5+7 ifadeside aslında bir bileşke fonksiondur. (Burada g()=+ alındığına dikkat ediniz) f(+) ani f(g()) gibi düşünülerek apılır. g() f(+)= +5 olduğuna göre, f ı () kaçtır? (g()=+ düşünülerek apıldığına dikkat ediniz.) f(+)= +5 ise f(g())= +5 olarak düşünülebilir. g() g()=+ ise g ı ()= [f(g())] ı =g ı ().f ı (g()) bağıntısından ( +5) ı =(+) ı.f ı (+) =.f ı (+) =f ı (+) += ise = dir. Yerine azarsak f ı (+)= ise f ı (.+)= Cevap: f ı ()= f(+)= +4 olduğuna göre, f ı (7) kaçtır? f(+)= +4 her iki tarafın türevi alınırsa, (+) ı.f ı (+)=( +4 ) ı ise.f ı (+)=+4 +=7 ise =.f ı (+)=+4 eşitliğinde erine azıldığında.f ı (.+)=.+4 ise.f ı (7)=8 ve f ı (7)= 8 Cevap: 8 f( +)= + olduğuna göre, f ı () kaçtır? f( +)= + ifadesinde her iki tarafın türevi alınırsa, ( +) ı.f ı ( +)=( + ) ı ise.f ı ( +)= + += ise = erine azılırsa,.f ı ()=+ ise f ı ()= Cevap: f()=.g(), g()=4 ve g ı ()= olduğuna göre, f ı () kaçtır? Uarı Çarpım şeklindeki ifadelerin türevinden dolaı, [.g()] ı =( ) ı.g()+[g()] ı. olduğunu hatırlaalım. f ı ()=( ) ı.g()+[g()] ı. =.g()+() ı.g ı (). =.g()+.g ı (). erine azılırsa f ı ()=.g()+.g ı (). 4 =.4+.=4 Cevap: 4 6

24 soru soru 5 f(+7)=5 + olduğuna göre, f ı (9) kaçtır? f(+)= +5 olduğuna göre, f ı (7) kaçtır? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 A) B) C) D) 4 E) 5 soru f()=9 olduğuna göre, f ı (6) kaçtır? soru 6 f( )= + olduğuna göre, f ı (8) kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 A) B) C) D) 4 E) 5 soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f(5 )= + olduğuna göre, f ı (9) kaçtır? f( +)= + olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) D) 0 E) A) B) C) D) 5 E) soru f = 9 olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 soru 8 f( +)= +7 olduğuna göre, f ı (ñ7 ) kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 D C C 4 A 5 C 6 B 7 A 8 B 7

25 [f()] n biçimindeki ifadelerin türevi: ([f()] n ) ı =n.[f()] n.f ı () biçimde alınır. f() ' e bağlı bir fonksionu temsil edip logaritmik, trigonometrik de olabilir. Türevini alırken içteki fonksionunda türevini almaı unutmaınız. a) f()=(+) 7 b) f()=( ) 5 c) f()=( +) 4 a) f ı ()=7.(+) 7.(+) ı =7.(+) 6 b) f ı ()=5.( ) 5.( ) ı =5.( ) 4.=5.( ) 4 c) f ı ()=4.( +) 4.( +) ı =4.( +).() =8.( +) a) f()=( + ) b) f()=( +) 5/ c) f()= 5 4 a) f ı ()=.( + ).( + ) ı =.( + ) 4.(+) 5 5 b) = + 5 f () ( ).( + ) = ( + ).(+ ) 5 c) f() = 4 = (4 ) 5 şeklinde azılabilir. 4 = 5 f ( ).(4 ).(4 ) =.(4 ) =. (4 ) 5 5 Konu Kavrama Çalışması f() Türev almada birinci adım f ı () ( ).( ).( ) ı.( ). (+).(+).(+) ı.(+) ı ( +5) 5 5.( +5) 5.( +5) ı 5.( +5) 4. ( +) 4 4.( +) 4.( +) ı 4.( +).(+) ( + ) 6 6.( + ) 6.( + ) ı 6.( + ) 5.(6 +) ( + ). ( ) ( ) ı +. + ( ).( + ) + ( + 5).( ).( ı + + ).( + 5).( + 5) ( + ).( + ) ( + 5) ( +).( +).( +) ı.( +).(+) 8

26 soru f()=(6 ) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) 8.(6 ) B).(6 ) C) (6 ) D) 6 E) 6 soru 5 5 f() = ( + 5 ) 5 olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 5 ) B) ( + 5 ) C)( + ).( + ) 5 D)( + ).( + 5 ) E)(5 + 5).( + 5 ) 5 soru f()=(+) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f() = + olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) (+) B) 4(+) C) + D) E) 4 soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) B) C) D) E)9 soru f() = olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? f() = ( ) olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) 4. A) 7 B) 5 C) 4 D) E) + + D). E) 8. soru 4 soru 8 f()=( +) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A).( +).( ) B) ( +) C) ( +).( ) D).( +)( ) E) 9 f()=((+) +) olduğuna göre, f ı ( ) kaçtır? A) 48 B) 84 C) 96 D) E) 9 A B D 4 A 5 D 6 B 7 C 8 E 9

27 Trigonometrik Fonksionların Türevleri sinüs ve kosinüs fonksionlarının türevleri, bileşke fonksionların türevleri mantığı kullanılarak alınabilir. [sin(f()] ı =f ı ().cosf() ve [cos(f()] ı = f ı ().sinf() dir. Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=sin b) f()=sin5 c) f()=cos d) f()=cos(7) a) f ı ()=() ı.cos=cos b) f ı ()=(5) ı.cos5=5.cos5 c) f ı ()= () ı.sin= sin d) f ı ()= (7) ı.sin(7)= 7.sin7 Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=sin( +5) b) f()=sin(sin) c) f()=cos(sin4) d) f()=cos( cos) a) f ı ()=( +5) ı.cos( +5)=(+5)cos( +5) b) f ı ()=(sin) ı.cos(sin)=cos.cos(sin) c) f ı ()= (sin4) ı.sin(sin4)= 4.cos4.sin(sin4) d) f ı ()= ( cos) ı.sin( cos)= (+sin).sin( cos) Konu Kavrama Çalışması Trigonometrik Fonksion Türev almada. adım Türevi sin6 (6) ı.cos6 6.cos6 cos(+) (+) ı.sin(+).sin(+) sin( +5) ( +5) ı.cos( +5).cos( +5) cos( +) ( +) ı.sin( +) ( +).sin( +) sin(cos) (cos) ı.cos(cos) sin.cos(cos) cos(sin) (sin) ı.sin(sin) cos.sin(sin) sin.sin.(sin) ı sin.cos cos.cos.(cos) ı.cos.( sin) sin +cos.sin.(sin) ı +.cos.(cos) ı sin.cos+cos.( sin)=0 0

28 soru soru 5 f()=sin(7+7) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) cos(7+7) B) cos(7+7) C) 7.cos(7+7) D) 7.sin(7+7) E) sin (7+7) f()=sin+cos olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) cos+sin B) cos sin C) sin sin D) cos+sin E) cos sin soru f()=cos( 5) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A).sin( 5) B).sin( 5) C) sin( 5) D). sin( 5) E) 4. sin( 5) soru 6 f()=sin(cos5) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) sin5.cos5 B) cos5.cos(5) C) sin5.cos(cos5) D) 5sin5.cos(cos5) E) 5sin5.cos(cos5) soru f()=sin( 4 +) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()=cos () olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) cos( 4 +) B) 4.cos( 4 +) C) 4.cos( 4 +) D) 4.sin( 4 +) E) 4.sin( 4 +) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A).sin.cos B).sin.cos C) 4.sin.cos D) 4.sin.cos E) 4.sin.cos soru 4 =sin(+) olduğuna göre, d aşağıdakilerden hangisidir? d A) cos(+) B) cos(+) C).cos(+) D).sin(+) E).sin(+) soru 8 = sin olduğuna göre, d d aşağıdakilerden hangisidir? A) cos B) sin. cos C) sin sin cos D) E) cos sin C A B 4 C 5 E 6 D 7 D 8 E

29 Tanjant ve kotanjant fonksionlarının türevleri de anen sinüs ve kosinüsde olduğu gibi bileşke fonksion mantığı kullanılarak alınır. f () f () [tan f()] = ve [cot f()] = cos f() sin f() = + tan = sec cos olduğunu hatırlaınız. = + cot = cosec sin olduğunu hatırlaınız. Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=tan b) f()=tan c) f()=cot d) f()=cot5 Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=tan( +) b) f()=tan c) f()=cot( +) d) f()=cot Konu Kavrama Çalışması: () a) f () = = cos cos () b) f () = = cos () cos () () c) f () = = sin sin (5) 5 d) f () = = sin (5) sin (5) ( + ) a) f () = = cos ( + ) cos ( + ) ( ) tan b ) f ( ) =.tan.(tan ) = tan.(tan ) = cos ( + ) c) f () = = sin ( + ) sin ( + ) cot d) f ( ) = cot.(cot ) =.cot.(cot ) = sin f() Türev almada. adım f ı () tan(8) cot(0) tan( + ) cot( 7) tan+cot tan(sin) cot 7 (8) cos 8 (0) sin (0) ( ) + cos ( + ) ( 7) ( ) sin 7 () () cos sin (sin) cos (sin) (cot 7) = (cot 7).(cot 7) 8 cos 8 0 sin (0) + 6 cos ( + ) 7 sin ( 7) cos sin cos cos (sin) (cot 7). 7 sin 7

30 soru f()=tan(+) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? + A) B) C) sin ( + ) sin ( + ) cos ( + ) + D) E) cos ( + ) cos ( + ) soru 5 f()=+cot olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) +tan B) tan C) cot D) +cot E) cot soru soru 6 =cot(6) olduğuna göre, eşittir? d d ifadesi aşağıdakilerden hangisine 6 A) tan6 B) C) sin 6 sin D) E) sin 6 cos 6 soru f()=cot( ) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI f()=tan +tan olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisine eşittir? tan tan tan A) B) C) cos cos cos tan + tan D) E) cos cos soru 7 f()=tan (4) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) sin( ) sin ( ) sin D) E) sin ( ) cos ( ) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisine eşittir? tan 4 tan 4 tan 4 A) B) C) cos 4 cos 4 sin 4 cot 4 cot 4 D) E) sin 4 cos 4 soru 4 f()=tan cot olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) sin + cos C) sin + cos tan cot D) sec + cosec E) sec + cos soru 8 =tan(p) olduğuna göre, d ifadesinin değeri kaçtır? d = π π π π A) B) C) D) E) π π+ π + π+ π + C D B 4 D 5 E 6 D 7 A 8 E

31 Ters Fonksionun Türevi =f() fonksionunda f ()= olduğunu bilioruz. Fonksionların bu şekilde tersini alarak daha sonra türevini almak bize büük kolalık sağlaacaktır. (f ) ı ( o )= kuralı genel olarak verilen kuraldır. Fakat, f()= f ()= bağıntısı ile de sorular çözülebilir. f ( o) f()= + olduğuna göre, (f ) ı (9) kaçtır? f()= + ise =f ( +) Eşitliğin her iki anının türevi alınırsa, () ı =[f ( +)] ı ise () ı =( +) ı (f ) ı ( +) =.(f ) ı ( +) +=9 ise = (f (9) elde etmee çalışıoruz.) = (f ) ı ( +) ise =..(f ) ı ( +) Buradan, (f ) ı (9)= Cevap: f( +)= olduğuna göre, (f ) ı (5) kaçtır? f( +)= ise += f ( ) ( +) ı =[f ( )] ı ise +=( ) ı.(f ) ı ( ) +=.(f ) ı ( ) =5 ise = (f ) ı (5) elde etmee çalışıoruz.) = azılırsa, +=(f ) ı ( ) ise.+=(f ) ı (. ) (f ) ı (5)= 7 Cevap: 7 f : [, ) [, ) f()= 4+5 olduğuna göre, (f ) ı (5) kaçtır? (Bu tarz sorularda tanım kümesinin hangi saıları kapsadığı çok önemlidir.) f()= 4+5 ise =f ( 4+5) (f ) ı ( 4+5).( 4)= ( 4+5=5 ise =0 vea =4) Tanım kümesi [, ) olduğu için =4 alınır. =4 ise (f ) ı ( ).(.4 4)= (f ) ı (5).4= ise (f ) ı (5)= 4 Cevap: 4 f : R {} R {} f()= + olduğuna göre, (f ) ı (4) kaçtır? Fonksionun tersini almak kola ise önce tersini alırız. + + f()= ise f () = ifadesinin türevi alınırsa.( ).( ) (f )() ı + = ifadesinde =4 azıldığında ( ). 9 (f )(4) ı = = 7 Cevap: 7 4

32 soru f()=+7 olduğuna göre, (f ) ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 7 C) D) E) 7 soru 5 f( +)= 5 olduğuna göre, (f ) ı (0) kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 soru f()= 5 olduğuna göre, (f ) ı () kaçtır? A) B) C) D) E) soru 6 f : [, ) [6, ) f()= +7 olduğuna göre, (f ) ı () kaçtır? A) B) C) D) E) soru f()= olduğuna göre, (f ) ı () kaçtır? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f : [, ) [7, ) 5 f()=5 0+8 A) B) C) 0 D) E) olduğuna göre, (f ) ı () kaçtır? A) B) C) D) E) soru 4 f() = olduğuna göre, (f ) ı () kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru 8 f()= a + 5 ( ) f fonksionu verilior. () = ( + ) olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) E) 4 C B D 4 D 5 E 6 C 7 A 8 D 5

33 Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi Sinüs, kosinüs, tanjant ve kontanjant fonksionlarını tersi olan arcsin, arccos, arctan ve arccot fonksionlarının türevleri sırasıla andaki gibidir. f () f () [arcsin f()] =, [arccos f()] = f () f () f () f () [arctan f()] =, [arc cot f()] = + f () + f () Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) arcsin b) arccos c) arcsin4 d) arccos a) () = b) () = c) (4) = 4 (4) 6 d) () = () 4 Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) arctan b) arccot c) arctan(+) d) arccot5 a) () = + + b) () = + + c) ( + ) = + ( + ) + ( + ) d) (5) 5 = + (5) + 5 f()=arctan olduğuna göre, f ı () kaçtır? () f () = = + () + 4 f () = = Cevap: 5 f()=.arccot olduğuna göre, f ı ( ) kaçtır? (Çarpımın türevinde, [f().g()] ı =f ı ().g()+f().g ı () olduğunu hatırlaalım.) f ı ()=( ) ı.arccot+.(arccot) ı f () =.arc cot +. + f ( ) =.arc cot( ) π π f ( ) =. = 4 Cevap: π 6

34 soru f()=arcsin+arccos olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 f()=arccot olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) A) B) C) D) E) soru soru 6 f()=arcsin 4 olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 8 8 soru f()=arccos( ) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI f()=arctan+arccot olduğuna göre, f kaçtır? A) 9 B) C) D) E) soru 7 f()=arctan( )+arccot olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) ( ) D) E) ( ) A) B) C) D) E) soru 4 =arccos(ñ) olduğuna göre, d aşağıdakilerden hangisidir? d = olduğunu hatırlaın. A) B) C) D) E) soru 8 f()=arctan(cos) olduğuna göre, f π 6 kaçtır? A) B) C) D) E) A D D 4 B 5 E 6 E 7 C 8 D 7

35 Üstel Fonksionların Türevi Üstel fonksionların tanımı gereği a f() gibi bir ifadede a sıfırdan büük ve den farklı olmalıdır. Bu üzden ancak f() vea (/) f() gibi fonksionların türevini alabiliriz. Üstel fonksionun genel türev alma kuralı [a f() ] ı =f ı ().a f().lna dır. a=e (e=,78...) olma durumunda kuralımız, lne= olduğundan [e f() ] ı =f ı ().e f() olur. Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()= b) f()= 5+ c) f()= +4 d) f()=5 sin a) f ı ()=() ı..ln=..ln=.ln b) f ı ()=(5+) ı. 5+.ln=5. 5+.ln c) f ı ()=( +4 ) ı. +4.ln=(+4). +4.ln d) f ı ()=(sin) ı.5 sin.ln5=cos.5 sin.ln5 Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=e b) f()=e 4 c) f()=e +4 d) f()=e cos4 a) f ı ()=() ı.e =.e =e (Türevi kendisine eşit olan fonksion) b) f ı ()=( 4) ı.e 4 =.e 4 c) f ı ()=( +4 ) ı.e +4 =(4+4).e +4 d) f ı ()=(cos4) ı.e cos4 = 4sin4.e cos4 f()=( +).e olduğuna göre, f ı () kaçtır? (Çarpımın türevinden, [f().g()] ı =f ı ().g()+f().g ı () olduğunu hatırlaalım.) f ı ()=( +) ı.e +( +).(e ) ı f ı ()=.e +( +).e f ı ()=e 0 +.e 0 =+=4 Cevap: 4 f()=e ln(4 + ) olduğuna göre, f ı () kaçtır? (a log a b =b olduğunu hatırlaınız.) f()=e ln(4 + ) =4 + f ı ()=8+ f ı ()=7 Cevap: 7 8

36 soru f()= olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A).ln B). C).( ) D) ( )..ln E) ( ). soru 5 = e olduğuna göre, d d = e e aşağıdakilerden hangisidir? olduğunu hatırlaınız. A) e B) e C) e D) e E) e soru soru 6 f()=e +5 olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) ( +5).e +5 B).e +5 C).e +5 D) e +5 E) e +5 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI f()= tan olduğuna göre, π f 4 aşağıdakilerden hangisidir? A).ln B).ln C) 4.ln D) 6.ln E) 8.ln soru f()= a+ ve f ı (0)=9.ln olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru 7 f()=e +ln olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) e Bi) e C) e D) 4e E) 5e soru 4 soru 8 f()=e sin olduğuna göre, f ı (p) kaçtır? f()= sin +e cos π olduğuna göre, f kaçtır? A) pe B) e C) e D) E) 0 A) B) 0 C) D) E) D A C 4 D 5 A 6 C 7 B 8 A 9

37 Logaritma Fonksionunun Türevi f () Logaritma fonksionunun türevi [loga f()] =.logae dir. (e=,78...) f() f () Logaritmadaki tabanımız a=e olursa formüldeki log e e= olacağından [ln f()] = f() dir. Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=log b) f()=log ( +) c) f()=ln d) f()=ln( +) Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) f()=.ln b) f()= ln (Çarpımın türevinde [f().g()] ı =f ı ().g()+f().g ı () f() f ().g() f().g() Bölümün türevinde = g() [g()] hatırlaınız.) f()= ln( ) olduğuna göre, f ı () kaçtır? 7 ( ) f() = ln 5 olduğuna göre, f ı () kaçtır? olduğunu () a) f () =. loge =. loge ( ) + b) f () =. loge =. log e + + () c) f () = = ( ) + + d) f () = = + + a) İfade çarpım halinde olduğundan f () = ().ln + (ln). =.ln +. = ln + b) İfade bölüm halinde olduğundan (ln). ( ).ln f () = f () =..ln ln = f ı ()=( ) ı.ln( )+[ln( )] ı. f () =.ln( ) +. f () = 4.ln+. 4= 0+ 4= 4 Cevap: 4 7 = 5 7 f() ln =. ln (log 5 a m =m.log a olduğunu hatırlaalım.) f() =. ln =. ise f() = Cevap: f() = log + olduğuna göre, f ı (0) kaçtır? n m n = a am olduğunu hatırlaınız. f () = log + 4 ( ) =. log ( + ) 4 f() =.. log e ve f(0) = Cevap: 0 40

38 soru =log(+) olduğuna göre, d d a = log e olduğunu hatırlaınız lna aşağıdakilerden hangisine eşittir? soru 5 f()=ln( +) olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) ( + ).ln0 ( + ).ln0 ln0 ln0 ln0 D) E).( + ) + soru f()=ln(5+) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f()=e.ln olduğuna göre, f ı () kaçtır? 5 5 A) 5 B) C) D) E) (5 + ) (5 + ) soru =log(e ) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) loge B) ln0 C) e D) e.ln0 E) e ln0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) e soru 7 B) ñe C) e D) e E) e f() = log + log + log + log olduğuna göre, f kaçtır? (log a +log a +log a z=log a (..z) olduğunu hatırlaınız) loge loge A) loge B) loge C) D) E) loge soru 4 f()=lne ( ) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) soru 8 f()=ln(sin) π olduğuna göre, f kaçtır? 4 A) B) 0 C) D) E) A C A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 C 4

39 Logaritma Yardımı ile Türev =f() g() şeklindeki fonksionların türevi alınırken aşağıdaki adımlar izlenir..adım: Her iki tarafın "e" tabanında logaritması ani ln'i alınır. =f() g() ise ln=lnf() g() buradan ln=g().lnf().adım: Eşitliğin her iki tarafının türevi alınır. (ln) ı =[g().lnf()] ı f () ise = g().lnf() +.g() f().adım: Eşitliğin sol tarafındaki ifadesi karşıa çarpım olarak atılır. f () Sonuç: =. g().lnf() +.g() f() = fonksionunun türevini bulunuz..adım:.adım:.adım: Her iki tarafın ln' ini alalım. = + ise ln=ln =ln Her iki tarafın türevini alalım. (ln) ı =(ln) ı ise = ().ln +.(ln) = ln + ' i sağ tarafa çarpım olarak atalım. ı =.(ln+) ise ı =.(ln+) Cevap:.(ln+) = + fonksionunun türevini bulunuz..adım: Her iki tarafın ln' ini alalım. = + ise ln=ln + ve ln=(+).ln.adım: Her iki tarafın türevini alalım. =.ln +.( + ).adım: ' i sağ tarafa çarpım olarak atalım = + =. ln. ln + Cevap: +. + ln + = sin fonksionunun türevini bulunuz. sin sin = ise ln= ln = sin.ln = cos.ln +.sin sin sin sin =. cos.ln + =. cos.ln + sin sin Cevap:. cos.ln+ Sonuç Bu örnekleri incelediğimizde, lerin uzun ama her soruda anı aşamaların olduğunu görebiliriz. Bu nedenle, bu bölümü en az üç kez olmak üzere azarak çalışalım ve tekrar edelim. 4

40 soru f()=(+) olduğuna göre, f ı () aşağıdakilerden hangisidir? A ) ln( + ) + B).ln( + ) C) ( + ). ln( + ) + D) ( + ). ln( + ) E) ( + )..ln( + ) + + soru 5 f()=() olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) lne B) ln4e C) ln4e D) lne E) ln soru = ( +) olduğuna göre, d d aşağıdakilerden hangisidir? + + ( ) ( + ) + A).ln + B) ln + + ( ) ln ( + ) + C) + D) ln + ( + ) E) ( + ).ln + KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 6 f() = ( ) olduğuna göre, f ı () kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 soru =(sin) olduğuna göre, ı aşağıdakilerden hangisidir? A) (sin).(.lnsin+) B) (sin).(lnsin+) C) (sin).(lnsin+.cot) D) (sin) (cot.ln+) E) (sin).(lnsin+cot) soru 7 f()=(e ) ln olduğuna göre, f ı (e) kaçtır? A) e B) e C) e D) e e E) e e soru 4 f()=(tan) olduğuna göre, π f 4 kaçtır? π π π π π A) B) C) D) E) soru 8 f()=e +.(+) olduğuna göre, f ı ( ) kaçtır? A) B) 0 C) D) E) D A C 4 E 5 B 6 B 7 E 8 B 4

41 Kapalı Fonksionun Türevi F(,)=0 biçimindeki fonksionlara kapalı fonksion denir. Örneğin, + + 5=0 ifadesi bir kapalı fonksiondur. Arıca += gibi fonksionlarda + =0 biçimine getirilerek kapalı fonksion haline getirilir. Kapalı fonksionların türevi, d F = d F F ı : e göre türev ( değişken, sabit) F ı : e göre türev ( değişken, sabit) + +5=0 fonksionunun e göre türevini, F ı ifadesini bulunuz. (' e göre türevi alırken, dışındakileri sabit saı olarak alırız.) F ı =( ) ı +( ) ı () ı +5 F ı ()= = e göre türevde sabit dolaısıla türevi sıfır. Cevap: + 4+=0 fonksionunun e göre türevi, F ı ifadesini bulunuz. F ı = + + F ı =( ) ı +() ı (4) ı +() ı 0 0=+ Cevap: =0 fonksionunun e göre türevi, F ı ifadesini bulunuz. (' e göre türevi alırken, dışındakileri sabit saı olarak alırız.) F ı =( ) ı +( ) ı +( ) ı +() ı = =6+ F ı e göre türevde sabit dolaısıla türevi sıfır. Cevap: =0 fonksionun türevini bulunuz. F ı =+ ve Fı =+ olur. d F + = = d F + + Cevap: + sin(5+)+ + =0 fonksionun türevini bulunuz. F ı =(5+)ı.cos(5+)+( ) ı +( ) ı F ı =5.cos(5+)+ +0=5.cos(5+)+ F ı =(5+)ı.cos(5+)+( ) ı +( ) ı F ı =.cos(5+)+0+=cos(5+)+ d F cos(5 + ).5+ = = d F cos(5 + ).+ 44

42 soru F(,)= + 4+=0 olduğuna göre, F ı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) (+) C) D) E) + soru 5 F(,)=ñ+ñ+=0 olduğuna göre, F ı (4,) kaçtır? 5 A) B) C) D) E) soru F(,)= + + 5=0 olduğuna göre, F ı aşağıdakilerden hangisidir? A) + B) C) soru 6 F(,)=.ln+.ln=0 olduğuna göre, F ı (e,e) kaçtır? A) B) C) 0 D) E) D) 5 E) ( ) soru F(,)= + 6=0 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 F(,)=sin() cos()=0 olduğuna göre, F ı (,) aşağıdakilerden hangisidir? olduğuna göre, F ı (,) aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) soru 4 soru 8 F(,)= + +=0 F(,)=ln( )=0 olduğuna göre, F ı (,) aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) + + olduğuna göre, F ı (,) aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) + C C C 4 A 5 A 6 B 7 A 8 D 45

43 Türevde Zincir Kuralı =f(t), t=g(v) ve v=h() biçiminde verilmiş parametrik fonksionlarda d i bulmak için d d d dt dv d d dt dv =.. kuralı ugulanır. =.. d dt dv d olduğunu görebiliriz. d dt dv d u=v +4v olduğuna göre, du dv ifadesini bulunuz. du, u nun v e göre türevi anlamına geldiğine göre, dv du dv =4v+4 Cevap: 4v+4 =t + t= olduğuna göre, d d d d = dt d dt =. d d dt d dt ifadesini bulunuz. olduğunu görebiliriz. ( d dt : nin t'e göre türevi, : t nin 'e göre türevidir. dt d d dt = 4t = dt d d d dt =. = 4t. = t d dt d Cevap: t =a a+ a=t t olduğuna göre, d dt ifadesini bulunuz. d da = a = t da dt d d da =. = (a ).(t ) dt da dt Cevap: (a )(t ) =v v+ v= olduğuna göre, d d ifadesinin = için değerini bulunuz. d dv = v ve = 4 dv d d d dv =. = (v ).4 d dv d = için v=. =5 bulunarak bu değerler türev ifadesinde azılırsa, d d =(v ).4=(.5 ).4.=7 Cevap: 7 =t +t t=v+ v= +5 olduğuna göre, d d ifadesini bulunuz. d dt dv = t +, = ve = dt dv d d d dt dv =.. = (t + )..( ) d dt dv d Cevap: (t +)..( ) 46

44 soru = + olduğuna göre, d d aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) C) 4 D) 4+ E) 4+ soru 5 u= =u + olduğuna göre, d d ifadesinin = için değeri kaçtır? A) 48 B) 6 C) 8 D) 9 E) 4 soru =t 4 +t t= + olduğuna göre, d d aşağıdakilerden hangisidir? A) (8t +).(+) B) (t 4 +t).(+) C) (8t +).( +) soru 6 =t +5t t= + olduğuna göre, d ifadesinin = için değeri kaçtır? d A) B) 6 C) 9 D) 7 E) 90 D) (8t ).(+) E) (t +).(+) soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 =5 + =t+ olduğuna göre, d aşağıdakilerden hangisidir? dt A) 5 B) 0 C) 0 D) 0t E) 0t =e t t=ln olduğuna göre, d ifadesinin = için değeri kaçtır? d A) B) C) 4 D) 5 E) 6 soru 4 =sint t= olduğuna göre, d aşağıdakilerden hangisidir? d A) cost. B) ( ).sint C) ( ).cost D) cost.( ) E) 6.cost soru 8 =( +) =t +t t=u+ olduğuna göre, d ifadesinin u=0 için değeri kaçtır? du A) 80 B) 40 C) 0 D) 0 E) 0 C A C 4 D 5 B 6 E 7 B 8 B 47

45 Parametrik Fonksionların Türevi =f() fonksionunda, ve başka bir parametre (değişken) ardımı ile ifade edilior ise =f() fonksionuna parametrik fonksion denir. Örneğin, =t + ve =t t gibi Parametrik fonksionun türevi, d d = dt şeklinde hesaplanır. (t erine ugun başka harf azılabilir.) d d dt =t t+ =t +5 olduğuna göre, d dt ve d dt ifadelerini bulunuz. =t d t+ ise dt =t ( 'in t 'e göre türevi) =t d +5 ise =t ( 'nin t 'e göre türevi) dt =t +5t =sint olduğuna göre, d d =a +a+ =a +4a olduğuna göre, d d ifadesini bulunuz. ifadesinin a= için değerini bulunuz. =t d +5t ise =t+5 ( 'ın t 'e göre türevi) dt d =sint ise =cost ( 'nin t 'e göre türevi) dt d d dt cos t = = d d t + 5 dt =a +a+ ise =a +4a ise Cevap: d =a+ ( 'ın a 'a göre türevi) da d da =a +4 ( 'nin a 'a göre türevi) d d da a + 4 = = d d a + da Yukarıdaki ifadede a erine azılırsa, cost t =.+ 4 Cevap: 7 4 =e t +t =lnt+ olduğuna göre, d d ifadesinin t= için değerini bulunuz. d =e t +t ise dt =et + ( 'ın t 'e göre türevi) =lnt+ ise d = ( 'nin t 'e göre türevi) dt t d d = dt = t d d t e + dt Yukarıdaki ifadede t erine azılırsa, e+ Cevap: e+ 48

46 soru =t =t + olduğuna göre, d d ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? t t t 4t 5t A) B) C) D) E) soru 5 =lnt =ln(t +t) olduğuna göre, d d ifadesinin t= için değeri kaçtır? 5 A) B) C) D) E) soru soru 6 =u +u =u olduğuna göre, d d ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? u+ u+ u A) B) C) u u u+ soru u u D) E) u+ u+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI =sinq+ =cosq olduğuna göre, d d ifadesinin q= π 4 için değeri kaçtır? A) B) C) D) E) soru 7 =t + =t olduğuna göre, d d ifadesinin t= 7 için değeri kaçtır? 5 A) B) C) D) E) =e t t =e t +t olduğuna göre, d d ifadesinin t=0 için değeri kaçtır? 5 A) B) C) D) E) soru 4 t t = 5 4 t t = 5 4 olduğuna göre, d d in t=ñ için değeri kaçtır? A) B) 0 C) D) E) soru 8 =cos a a =sin a+a olduğuna göre, d d π ifadesinin a= için değeri kaçtır? A) B) C) D) E) C A B 4 E 5 C 6 A 7 D 8 A 49

47 Yüksek Dereceden Türevler (Ardışık Türevler) n d =f() fonksionunun n.dereceden türevi n d vea f (n) () ile gösterilir. =f() fonksionunun. türevi : d d vea fı () vea ı d. türevi : d vea f ıı () vea ıı d. türevi : d vea f ııı () vea ııı 4. türevi :.. 4 d 4 d vea f (4) () vea (4) n d n. türevi : vea f (n) () vea (n) ile gösterilir. n d Yüksek dereceden türev sorularında genelde bir döngü (period) akalaarak türevi almaa çalışırız. Bunun için döngü bulunana kadar türev alırız. f()= + + fonksionunun üçüncü türevi f ııı () i bulunuz. f ı ()= +6 f ıı ()=6+6 f ııı ()=6 (. türev) (. türev) (. türev) Cevap: 6 f()= +a +b ve f ıı ()= olduğuna göre, a kaçtır? f ı ()= +a f ıı ()=6+a (. türevinde = değeri erine azılırsa) f ıı ()=6+a= a= bulunur. Cevap: f()=e fonksionunun dördüncü türevi f (4) () i bulunuz. f ı ()=() ı.e =.e f ıı ()=.() ı.e =..e =.e f ııı ()=.() ı.e =..e =.e f (4) ()=.() ı.e =..e = 4.e =8.e olur. Cevap: 8.e f()=sin fonksionunun.mertebeden türevi f () () i bulunuz. f ı ()=cos f ıı ()= sin f ııı ()= cos f (4) ()=sin f (5) ()=cos f() fonksionunun 5.türevi ile.türevi anı. Bu nedenle, her 4 ifadede bir anı sonuçlar çıkar. (Döngü akalandı tekrar türev almaa gerek oktur.) saısının 4'e bölümünden kalan olduğu için f () ()=f () () olur. f () ()=f ııı ()= cos Cevap: cos 50

48 soru f()= +7 olduğuna göre, f ıı () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 4 soru 5 f()=(+) +( ) 4 olduğuna göre, f ı ()+f ıı ( ) kaçtır? A) 60 B) 64 C) 68 D) 7 E) 76 soru f()= olduğuna göre, f ııı () aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f()=a +b+c ve f()=, f ı ()=, f ıı ()= olmak üzere, a.b.c kaçtır? A) +8 B) +4 C) 4+8 D) 4+ E) 4 +8 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) B) C) D) 4 E) 5 soru f()= +5 olduğuna göre, f ıı () kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 soru 7 f()=e k ve f (5) ()=e k olduğuna göre, k kaçtır? A) B) C) 4 D) 8 E) soru 4 f()=( 0) olduğuna göre, f ııı () kaçtır? A) 0 B) 6 C) 8 D) 0 E) 4 soru 8 f()=sin olduğuna göre, f (4) () aşağıdakilerden hangisidir? A) cos B) cos C) sin D) sin E) 0 C D B 4 E 5 A 6 A 7 B 8 D 5

49 f()=e + olduğuna göre, f (0) (0) kaçtır? f ı ()=e +. f ıı ()=e +..=e +. f ııı ()=e +...=e f (0) ()=e +. 0 f (0) (0)=e. 0 ('ün kuvveti ile türevinin derecesinin anı olduğuna dikkat ediniz.) Cevap: 0.e f()= 0 olduğuna göre, f (0) () ifadesinin eşiti kaçtır? f ı ()=0 9 f ıı ()= f ııı ()= f (0) ()= f (0) ()=0! Cevap: 0! f()= olduğuna göre, f (40) () ifadesinin eşitini bulunuz. f()= = f ı ()=. f ıı ()=.. f ııı ()=... 4 dikkat ediniz.)... f (40) ()= f (40) ()=40!. 4 ('in kuvveti, türevinin derecesi ve başa gelen saıların çarpımı arasındaki ilişkie) Cevap: 40! 4 =ln olduğuna göre, 40 d 40 d ifadesinin eşitini bulunuz. d = = = d d = =. d d = =.. d... ('in kuvveti, türevinin derecesi ve başa gelen saıların çarpımları arasındaki ilişkie dikkat ediniz.) 40 (40) d 40 = = d 9! Cevap: 40 5

50 soru 0 f() = 0! olduğuna göre, f (0) () aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 0 D) 0! E) 0! soru 5 f()=sin olduğuna göre, ( ) f π kaçtır? A) B) C) D) E) 4 soru f()=ln olduğuna göre, f (0) () kaçtır? 0! A) 0! B) 9! C) 0! D) E)! soru 6 f()= ( 5 ) olduğuna göre, f kaçtır? A) (5!). 5 B) (5!). 4 C) (4!). 4 D) 5!. 4 E) 4!. soru =e 5+ olduğuna göre, 0 d aşağıdakilerden hangisidir? 0 d A) 5 0 B) e 5+ C) 5e 5+ D) 5 0.e 5+ E) 5!.e 5+ KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()=cos sin olduğuna göre, f () () aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C).cos D).sin E).sin soru 4 f()=ln(+) olduğuna göre, f () () aşağıdakilerden hangisidir?!! A) B) C) ( + ) ( + ) ( + ).!.! D) E) ( + ) ( + ) soru 8 f()=e +e olduğuna göre, f (50) (0) kaçtır? A) 0 B) C) D) e 5 E) e 50 A B D 4 E 5 A 6 A 7 E 8 C 5

51 TÜREV UYGULAMALARI Türevin limite ugulanması (L' Hospital kuralı) Bir fonksionun herhangi bir noktasında limitini alırken 0 0 vea belirsizlikleri ile karşılaşılabilir. Bu durumda belirsizlikleri f() 0 f() f '() kaldıracak işlemler apılır. Bunlardan biri de L' Hospital kuralıdır. lim = vea lim = ise lim limitine a g() 0 a g() a g'() bakılır. Bu kural sadece 0 0 ve belirsizliklerinde ugulanabilir. L' Hospital kuralı ugulandıktan sonra ine belirsizlikle karşılaşılırsa, L' Hospital işlemi belirsizlik kalkana kadar ugulanabilir. 4 lim limitinin değeri kaçtır? lim 4 0 = belirsizliği vardır. L' Hospital ugulanırsa, 0 ( 4)' lim = lim = lim = = 4 ( )' Cevap: 4 7 lim limitinin değeri kaçtır? 7 0 lim = belirsizliği vardır. L' Hospital ugulanırsa, ( 7)'. lim = lim = = 7 ( 5 + 6)' 5. 5 Cevap: lim limitinin değerini bulunuz. ( lim ifadesinde ' in değişken, ' nin ise akınsadığı sabit olduğuna dikkat ediniz) lim = belirsizliği vardır. L' Hospital ugulanırsa, ( )' lim = lim = = ( )' 0 (' e göre türev alındığı için ' ler sabit gibi düşünülür.) Cevap: 4 a lim limitinin değerini bulunuz. a a ( lim ifadesinde a'nın değişken, 'in ise akınsadığı sabit oldu- a ğuna dikkat ediniz.) a 0 lim = a a 0 belirsizliği vardır. L' Hospital ugulanırsa, ( a )' 0 a lim = lim = = a (a )' a a 0 (a' a göre türev alındığı için ' ler sabit gibi düşünülür.) Cevap: 54

52 soru lim limitinin değeri kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 soru 5 + lim limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 0 D) E) soru 4 6 lim 8 limitinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) soru 6 a ve b reel saı lim a + b = 8 olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) 0 E) soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 8 lim limitinin değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) e e lim limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) e B) e C) 0 D) e E) e soru 4 + lim limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 0 E) soru 8 ln lim e e limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B)0 C) D) E)e e e C C B 4 D 5 A 6 E 7 B 8 C 55

53 4 lim + 4 limitinin değeri kaçtır? 4 0 lim = = (Belirsizlik ok, bu üzden L' Hospital ugulanmaz.) L' Hospital kuralını belirsizlik olmaan durumda ugularsanız anlış cevap bulursunuz. Cevap: 0 sin + cos lim limitinin değeri kaçtır? π sin cos π sin =, cos π= sin + cos + ( ) lim = = 0 π sin cos ( ) (Belirsizlik ok, bu üzden L' Hospital ugulanmaz.) Cevap: 0 lim limitinin değeri kaçtır? lim = belirsizliği var, L' Hospital ugulanırsa, 0 0 ( + 4 )' + 4 lim = lim = lim 0 ()' = =. 4 4 Cevap: 4 e lim limitinin eşitini bulunuz. + 4 Uarı Belirsizlik sürdüğü sürece kural tekrar tekrar ugulanabilir. e lim = belirsizliği var, L' Hospital ugulanırsa + 4 (e )' e. lim = lim = tekrar L' Hospital ugulanırsa ( + 4)' (e )' e. lim = lim = lim e = ()' Cevap: 56

54 soru 6 lim 4 4 limitinin değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) soru 5 lim limitinin değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) soru ln lim e ln + limitinin değeri kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4 soru 6 lim limitinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) soru lim KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 + lim limitinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) limitinin değeri kaçtır? A) 0 B) C) D) e E) soru 4 soru 8 lim 8 a + b + c lim = ve a + d = d + e limitinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 C A E 4 A 5 E 6 D 7 A 8 E 57

55 Türevin Polinomlara Ugulanması P() polinomu ( a) n ile tam bölünüor ise P(a)=P ' (a)=p"(a)=...=p (n ) (a)=0 dır. Örneğin, P()=( ) ve P()=0 dır. P '()=( ) ve P'()=0 dır. P ''()=6.( ) ve P''()=0 dır. P '''()=6 olduğundan P() 0 olur. P()= +a+b polinomu ( ) ile tam bölünüor ise b kaçtır? P(), ( ) ile tam bölünüor ise P()=0 ve P'()=0 P()=+a+b=0 P'()= +a ve P'()=+a=0 denklemleri ardımı ile a= ve b= bulunur. Cevap: P()=a ++b polinomu (+) ile tam bölünüor ise b kaçtır? P(), (+) ile tam bölünüor ise P( )=0 ve P'( )=0 P( )= a +b=0 P'()=a + ve P'( )=a+=0 denklemleri ardımı ile a= 4 ve b=8 bulunur. Cevap: 8 P()= 4 +b +c +d+e polinomu için P()=P'()=P"()=P'''()=0 olduğuna göre P() kaçtır? P()=P'()=P"()=P'''()=0 eşitlikleri P() in ( ) 4 ile tam bölündüğünü gösterir. Başkatsaı olan 4. dereceden P() polinomu, P()=( ) 4 olduğu için P()= olur. Cevap: ( ).P()= 5+ olduğuna göre, P() kaçtır? Her iki tarafın türevi alınır ise [( ).P()] ' =( 5+)'.P()+P'().( )= 5 (Çarpımın türevine = için P()+0=. 5 dikkat ediniz.) P()=7 Cevap: 7 ( )P()= a+ olduğuna göre, P() kaçtır? Eşitliğin sol tarafını sıfırlaıp a' ı bulmak için ifadede = azılır. = için 0= a+ ise a= ( )P()= + Her iki tarafın türevi alınır ise.p()+p'()( )= (Eşitliğin sol tarafında çarpım türevi alındığına = için P()+0=. dikkat ediniz.) P()=0 Cevap: 0 58

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

Fonksiyonların Grafikleri... 378

Fonksiyonların Grafikleri... 378 f() a a TÜREV KAVRAMI Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki... 58 Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 :

Örnek...3 : f : R R, f (x)=2 x fonksiyonuna ait tabloyu. Örnek...4 : Örnek...1 : LOGARİTMA a b =c eşitliğini düşünelim. Mümkün olan durum larda; Durum 1: a ve b biliniorsa c üs alma işlemile bulunabilir. Örneğin 2 5 =c ise c=32 dir. Örnek...3 : f : R R, f ()=2 fonksionuna ait tablou

Detaylı

C E V A P L I T E S T ~ 1

C E V A P L I T E S T ~ 1 C E V A P L I T E S T ~. 5. () 7 ( ).( ) A) B) C) 0 D) E) A) B) C) 0 D) E). 6. 5 A) 0 B) C) D) E) A) B) C) D) E) 5. b b ab a a A) B) a C) b D) b E) 7. ( 5 ) A) B) C) 0 D) E). 9 8. 5 8 A) B) 0 C) D) E)

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. ( çocuk annenin

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K

9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K M A T E M A T İ K www.akademitemellisesi.com ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: f:ar (A R) fonksionu için, 9. BÖLÜM ) Her A için f( ) = f() ise f e çift fonksion denir. olduğundan ne tek nede çifttir. MUTL AK DEĞER

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E) 77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme uygun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık.

Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme uygun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık. Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme ugun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık. MATEMATİK SORU BANKASI tamamıla Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbie Kurulu

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

Sayfa No. Test No İÇİNDEKİLER TRİGONOMETRİ

Sayfa No. Test No İÇİNDEKİLER TRİGONOMETRİ TRİGONOMETRİ İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No YÖNLÜ AÇI VE YÖNLÜ YAY KAVRAMI -AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ...00-00.... BİRİM ÇEMBER...00-00.... BİR AÇININ ESAS ÖLÇÜSÜ...00-00.... BİR AÇININ TRİGONOMETRİK ORANLARININ

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 4 Haziran 9 Matematik II Soruları ve Çözümleri. pozitif gerçel saısı için olduğuna göre, kaçtır? ( )² ifadesinin değeri A) B) 4 C) 4 D) 6 E) 6 5 Çözüm ( )² ifadesinde ( ) erine

Detaylı

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1 BAĞINTI - FONKSİYON Test -. A,,,4,5 B,, olduğuna göre, AB kümesinin eleman saısı A) 8 B) C) D) 4 E) 5 5. A ve B herhangi iki küme AB,a,,a,,a,,b,,b,,b olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamı A) B) 4 C) 5 D)

Detaylı

LYS MATEMATİK SINAV ÖNCESİ TEKRAR TESTİ

LYS MATEMATİK SINAV ÖNCESİ TEKRAR TESTİ LYS MATEMATİK SINAV ÖNCESİ TEKRAR TESTİ İÇİNDEKİLER POLİNOMLAR... KÜMELER... 9 BAĞINTI VE FONKSİYON... 7 İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİK... İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER... 7 PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - OLASILIK...

Detaylı

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?

Çözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir? . BÖLÜM TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TEST TEST - 4 + 4=9 eğrisinin (, ) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?. f()=( ). ( 5) fonksionun =4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 6. fonksionun.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER TRİGONOMETRİK DENKLEMLER Daha önceden Sin + Cos = 1 ifadesinin R için gerçekleştiğini biliyoruz. Bu tür eşitliklere Özdeşlik adını verdiğimizi biliyorsunuz. Fakat ; Sin = 0 ve tan = 0 gibi eşitlikler R

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak safası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE FNKSİYNLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI Fonksionların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri... 4 Tek ve Çift Fonksionlar... 4 Fonksionlarda İşlemler... 6 Konu Testleri -...

Detaylı

www.mehmetsahinkitaplari.org

www.mehmetsahinkitaplari.org MATEMA www.mehmetsahinkitaplari.org T T r. P ALME YA YINCILIK Ankara I PALME YAYINLARI: 76 Sinif Matematik Konu Anlatım / Mehmet Şahin Yaına Hazırlama : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi Yaın Editörü :

Detaylı

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x) 6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

TMOZ/tmoz@yahoogroups.com Kasım - 2005 Ters trigonometrik fonksiyonlar Eyüp Kamil Yeşilyurt Alaattin Altuntaş Mustafa Yağcı Dikkat edilmeyen veya önemsenmeyen ayrıntılar bir gün sizi de rahatsız edebilir.

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı

Cebir Notları. Özel Tanımlı Fonksiyonlar TEST I. Gökhan DEMĐR, 2006

Cebir Notları. Özel Tanımlı Fonksiyonlar TEST I. Gökhan DEMĐR,  2006 MC www.matematikclub.com, Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Özel Tanımlı Fonksionlar TEST I. f() = + 4 + fonksionunun alabileceği en büük 8 9. f() = + + ifadesinin alabileceği en küçük 4 5.

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin

Detaylı

1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir?

1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? 99 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal saısının 7 katı, iki basamaklı bir doğal saısına eşittir. Buna göre, doğal saısı en az kaç olabilir? A) B) C) 6. Bugünkü aşları 6 ve ile orantılı olan iki kardeşin 6 ıl sonraki

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

LOGARİTMA ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

LOGARİTMA ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT LOGARİTMA ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu. Kazanım : Üstel fonksiyonu oluşturur, tanım ve görüntü kümesini açıklar.. Kazanım : Üstel fonksiyonların birebir ve örten

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (460 sayfa) ANALİZ CEBİR 2 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı ) 3 4 5 3 0 A) B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 0 Not : a 0 3 4 5 3 4 5 3 3 3.3.3... ÜSLÜ SAYILAR QUİZİ VE CEVAPLARI 6 4 4 3 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı 0 ) n bir doğal saı olmak üzere, ( ) ( ) n ( ) n n n A) 4

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

TRİGONOMETRİ Test -1

TRİGONOMETRİ Test -1 TRİGONOMETRİ Test -. y. y K O O. nalitik düzlemde verilen O merkezli birim çemberde hangi noktanın koordinatları (0, ) dir? (O noktası orijindir.) O y [OK] açıortay olmak üzere, nalitik düzlemde verilen

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

{ } ( ) ( ) 3. β = (x,y) : y - x = 1, x,y R bağıntısı Aşağıdaki sayılardan hangisi asal alabilir?

{ } ( ) ( ) 3. β = (x,y) : y - x = 1, x,y R bağıntısı Aşağıdaki sayılardan hangisi asal alabilir? . Aşağıdaki saılardan hangisi asal alabilir? A) 5!+7! B) 7 - ) 54 D) A seçeneği: 5!+7! 5! ( + 6.7 ) 5!.4 7 - E ) 57 5!.4 saısı 5! ile bölünür.o halde asal değildir. B seçeneği: 7-8- 7 7 kendisi hariç hiçbir

Detaylı

TÜREV ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

TÜREV ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT TÜREV ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Türev. Kazanım : Türev kavramını örneklerle açıklar.. Kazanım : Bir fonksionun bir noktadaki soldan türevini ve sağdan türevini bulur, soldan türev ve sağdan türev

Detaylı

z=-1+ i 3 sayısının kutupsal biçimini bulunu z. w w w. m a t b a z. c o m Çözüm z = ( 1) =2, işaretlerin mutlak değerinden

z=-1+ i 3 sayısının kutupsal biçimini bulunu z. w w w. m a t b a z. c o m Çözüm z = ( 1) =2, işaretlerin mutlak değerinden 5+ KARMAŞIK SAYILARDA TRİGNMETRİ KUTUPSALA (TRİGNMETRİK BİÇİME) ÇEVİRME Örnek... : +i saısının kutupsal biçimini bulunuz..ol +i saısına düzlemde A(,) noktası karşılık gelsin. Şekli incele iniz z=+i saıları

Detaylı

LİMİT. lim f(x) = L yazılır. lim. lim x a dır. lim g( clim

LİMİT. lim f(x) = L yazılır. lim. lim x a dır. lim g( clim LİMİT I. TANIM:, a yakınındaki değerleri için tanımlı bir onksiyon olsun. Alınan ε> sayısına karşılık -L < ε olacak şekilde -a < δ koşulunu sağlayan δ > sayısı bulunabiliyorsa ;, a ya yaklaşırken, L ye

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

FONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR Test -1

KARMAŞIK SAYILAR Test -1 KARMAŞIK SAYILAR Test -. i olmak üere, i olduğuna göre, Re() kaçtır? B) C) 0 D) E). i olmak üere, 00 0 06 i i i işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine i B) i C) i + D) E) i. i olmak üere, i olduğuna

Detaylı

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,

Detaylı

ÖRNEK : x. y = 1 biçiminde verilen fonksiyonun grafiğini. çiziniz. Çizim : x. y = 1 olması ancak x =1ve y =1 yada x =-1ve. x =1ve x =-1ve ÖRNEK :

ÖRNEK : x. y = 1 biçiminde verilen fonksiyonun grafiğini. çiziniz. Çizim : x. y = 1 olması ancak x =1ve y =1 yada x =-1ve. x =1ve x =-1ve ÖRNEK : MC www.matematikclub.com, 6 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Özel Tanımlı Fonksionlar. Tam değer fonksionu: Tanım: Tamsaı ise kendisi, tamsaı değilse kendinden önce gelen ilk tamsaı (kendinden

Detaylı

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR,

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR, , 00 M ebir Notları Gökhan EMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Trigonometri. TEST I π 'ün esas ölçüsü kaçtır? ) p ) p ) p ) π p. tanθ = ) ) olduğuna göre, sinθ değeri kaçtır? ) ). 0 'nin esas ölçüsü kaçtır?. θ

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 000000000 Komison ÖABT LİSE MATEMATİK PİYASA 9 DENEME ISBN 978-605-38-86-6 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu azarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım,

Detaylı

diferansiyel hale getiren) bir integrasyon çarpanı olur? belirleyiniz, bu çarpanı kullanarak denklemin çözümünü bulunuz.

diferansiyel hale getiren) bir integrasyon çarpanı olur? belirleyiniz, bu çarpanı kullanarak denklemin çözümünü bulunuz. Diferansiel Denklemler I /8 Çalışma Soruları 9.0.04 A. Aşağıda istenilenleri elde ediniz!. ( e +. d + ( e + k. d 0 denkleminin tam diferansiel denklem olabilmesi için ugun k saısını belirleiniz. Bu k saısı

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı