Transkript

1

2

3

4

5

6

7 Yukarıdaki şekilde, birim geribeslemeli bir kontrol sisteminin ileri yol transfer fonksiyonuna ait, sistemin orijinal çevrim kazancı K = 1 için deneysel olarak elde edilmiş Bode eğrisi verilmiştir. Aşağıdaki soruları okuyabildiğiniz doğrulukta şekildeki eğriden okuyarak belirleyiniz. a) Sistemin kazanç payını ve faz payını, faz geçiş ve kazanç geçiş frekanslarını bularak belirleyiniz. b) Sistemin kazancı 20 kat arttırıldığında a şıkkında istenenleri tekrar bulunuz. c) Sistemin çıkışına sabit genlikli salınım yaptıran kazanç değerini ve bu salınımın frekansını bulunuz. d) Kazanç payının 40 db olması için K kazancının orijinal değerinin kaç katı olması gerektiğini bulunuz. Bulunan yeni K değeri için faz payı ne olur? e) Faz payının 45 olması için K kazancının orijinal değerinin kaç katı olması gerektiğini bulunuz. Bulunan yeni K değeri için kazanç payı ne olur?

8 Çözüm: a) Genlik eğrisinin 0 db den geçtiği yerde kazanç geçiş frekansı ω1 2 rad / s. dir. Bu frekansta faz eğrisinin yaklaşık 65º den geçtiği görülmektedir. Yani orijinal sistemin açısı 65º dir. Faz eğrisinin 180 º den geçmesi için sisteme daha 115º negatif açı ilave edilebilir. Sistemin kararsızlık sınırına olan uzaklığı, yani Faz payı 115º dir. Faz payı pozitif olup kapalı-çevrim sistem kararlıdır. Faz eğrisinin 180 º den geçtiği yerde faz geçiş frekansı ω dir. Bu frekansta genlik eğrisinin yaklaşık 22 db den geçtiği görülmektedir. Yani orijinal sistemin ( K = 1 için) kazancı 22 db dir. Genlik eğrisinin 0 db den geçmesi için sisteme daha 22 db kazanç ilave edilebilir. Sistemin kararsızlık sınırına olan uzaklığı, yani Kazanç payı 22 db dir. Kazanç payı pozitif olup kapalı-çevrim sistem kararlıdır. b) Orijinal sistemin ( K = 1 olan) kazancının 20 kat arttırılması durumunda yeni kazanç değeri K = 20 olur. Bu durumda genlik eğrisi bütün frekanslarda 20Log db yukarıya kayar. Bu durumda: Faz eğrisinin 180 º den geçtiği yerde faz geçiş frekansı ω dir. Faz eğrisi değişmediği için faz geçiş frekansı değişmez. Bu frekansta genlik eğrisinin yaklaşık + 4 db den geçtiği görülmektedir. Yani sistemin ( K = 20 için) kazancı + 4 db dir. Genlik eğrisinin 0 db den geçmesi için yeni sistemin kazancı 4 db zayıflatılmalıdır. Sistemin kararsızlık sınırına olan uzaklığı, yani Kazanç payı 4 db dir. Yeni sistemin Kazanç payı ( K = 20 için) negatif olup kapalı-çevrim sistem kararsızdır. K = 20 olduğunda genlik eğrisi 26 db yukarıya kayacağı için, orijinal sistemin ( K = 1 için) genlik eğrisinin 26 db den geçtiği yerde, yeni sistemin genlik eğrisi ( K = 20 için) 0 db den geçecektir ve yeni kazanç geçiş frekansı ω 1 25rad / s. olacaktır. Bu frekansta faz eğrisinin yaklaşık 195 º den geçtiği görülmektedir. Yani K = 20 için sistemin açısı 195 º dir. Faz eğrisinin 180 º den geçmesi için sisteme 15º pozitif açı ilave edilmelidir. Sistemin kararsızlık sınırına olan uzaklığı, yani Faz payı 15 º dir. Yeni sistemin Faz payı ( K = 20 için) negatif olup kapalı-çevrim sistem kararsızdır. c) Kapalı çevrim sistemin çıkış işareti kararsızlık sınırında sabit genlikli salınım yapar. Burada ω faz geçiş frekansında kazanç payının 0 db olması durumunda kapalı çevrim sistem kararsızlık sınırında çalışır. K = 1 için ω faz geçiş frekansında genlik eğrisi -22 db den geçiyor. Genlik eğrisinin 0 db den geçmesi için sisteme 22 db kazanç ilave edilmelidir. Sistemin 20 orijinal kazancı 20Log / 10 K = K = = kat kuvvetlendirildiğinde, yani yeni kazanç değeri K = = olduğunda kapalı çevrim sistemin çıkışı ω frekansında sabit genlikli salınım yapar. d) Kazanç payının 40 db olması için ω faz geçiş frekansında genlik eğrisi 40 db den geçmelidir. Bu frekansta orijinal sistemin ( K = 1 için) genlik eğrisi 22 db den geçmektedir. Genlik eğrisinin 40 db den geçmesi için orijinal sistemin kazancı 18 db zayıflatılmalıdır. Kazanç 20 payının 40 db olması için yeni sistemin kazancı 20Log / 10 K = K = = olmalıdır. 18 / 20 Yani orijinal sisteme K = 1 olarak uygulanan oransal kazanç 20Log 10 K = 18 K = 10 = kat zayıflatılmalıdır. Bu durumda kazanç payının 40 db olması için yeni sistemin kazancı orijinal değerinin K = 1 / = katı olur. Bu durumda K = 1 için + 18 db den geçen genlik eğrisi K = için 0 db den geçecek ve yeni kazanç geçiş frekansı ω 1 0.1rad / s. olacaktır. Bu frekansta faz eğrisinin yaklaşık 85 º den geçtiği görülmektedir. Yani K = için sistemin açısı 85 º olup Faz payı 95 º dir. e) Faz payının 45º olması için faz eğrisinin 135 º den geçtiği ω 1 10 rad / s. de yeni kazanç geçiş frekansı oluşmalıdır. Yani bu frekansta genlik eğrisi 0 db den geçmelidir. Orijinal sistemin ( K = 1 için) genlik eğrisi bu frekansta 10 db den geçmektedir. Genlik eğrisinin 0 db den geçmesi için sisteme 10 db kazanç ilave edilerek genlik eğrisinin 10 db yukarıya kayması sağlanmalıdır. Yani 20 orijinal sisteme K = 1 olarak uygulanan oransal kazanç 20Log / 10 K = K = = kat kuvvetlendirilmelidir. Bu durumda Faz payının 45º olması için yeni sistemin kazancı K = = olur. Yeni durumda ( K = için) ω faz geçiş frekansında genlik eğrisi 10 db yukarıya kayacağı için 12 db den geçecektir ve Kazanç payı 12 db olacaktır.