ifadesi ile verildiğini daha önce görmüştük. Bu modun ip üzerinde zıt yönde ilerleyen iki dalganın toplamından elde edilebileceğini de incelemiştik:

Transkript

1 BÖLÜM SINIR ETKİLERİ Bundan önceki bölümde belli bir ortamda ilerleyen dalgaları inceledik. İlerleyen bir dalga farklı bir ortam ya da bir engele rastladığı zaman yansıma, kırılma, girişim, kırınım ve kutuplanma gibi olaylar ortaya çıkmaktadır. Bu bölümde bu olayları anlamaya çalışacağız. Önce gerilmiş bir ip üzerinde ilerleyen dalgaların bir süreksizliğe rastladığı zaman gelişen olaylara bakacağız. Daha sonra bir elektromanyetik dalganın dielektrik bir ara yüzeye dik gelme durumunu ele alacağız. Elektromanyetik dalgaların kutuplanması uygulamada özel bir öneme sahiptir. Kısaca kutuplanma kavramından ve kutuplayıcılardan söz edeceğiz. Bu bölümün sonunda Huygens ilkesi ve uygulamaları, girişim ve kırınım olaylarına değineceğiz. Kutuplanma, girişim ve kırınım olaylarını Fizik Lab. III dersinde deneysel olarak inceleyeceksiniz. 8.. DALGA ATMALARININ YANSIMASI Daha önce gerilmiş bir ip üzerinde ilerleyen ve duran dalgalar arasındaki ilişkiyi tartışmıştık. İpin bir ucunun titreştirilmesi ile oluşturulan ilerleyen dalganın, ipin diğer ucundan yansımasından sonra duran dalga meydana getirdiğini görmüştük. Böylece kaynaktan çıkan ve geri dönen dalgaların üst üste binmesi ile duran dalgaların oluştuğunu belirlemiştik. Sonuç olarak iki ucu bağlı bir ip üzerindeki bir normal moda, zıt yönlerde ilerleyen aynı frekans, aynı genlik ve aynı dalga boyuna sahip iki sinüzoidal dalganın üst üste gelmesi olarak bakabileceğimizi biliyorsunuz. İki ucu bağlı gerilmiş ip üzerinde normal modun: y n (x, t) = A n sin ( nπx L ) cos nt (8.1a) ifadesi ile verildiğini daha önce görmüştük. Bu modun ip üzerinde zıt yönde ilerleyen iki dalganın toplamından elde edilebileceğini de incelemiştik: y n (x, t) = A n sin (nπx L nt) + A n sin (nπx L + nt) (8.1b) 1

2 Burada x = 0 ve x = L'deki sınır koşulları kullanırsa y n (0, t) = A n sin( nt) + A n sin nt = A n sin nt + A n sin nt = 0 y n (L, t) = A n sin(nπ nt) + A n sin(nπ + nt) = A n [sinnπcos nt cosnπsin n t ] + A n [sinnπcos nt + cosnπsin n t ] = 0 elde edilir. Bu sonuç, zıt yönlerde hareket eden iki ilerleyen dalganın, her zaman sabit uçlarda eşit ve zıt yer değiştirmelere sahip olduklarını (toplamları sıfır) ifade eder ve dalga katı bir sınıra ulaştığı zaman yansıma işlemini de belirtir. Dalga yansımaları ve dalga ortamının sınırlarının rolüne örnek olarak yine gergin ip üzerindeki enine dalgalara bakalım. Bir dalga atması ya da sinüzoidal dalga ipin ucuna geldiğinde ne olur? Bu soruya yanıt vermek için Şekil-8.1 i incelemek faydalı olacaktır. Şekil-8.1 İpteki bir dalga atmasının (a) ipin sabit ucundan, (b) ipin serbest ucundan yansıması. Her iki şekilde de zaman geçişi soldan sağa doğrudur Sabit uçtan yansıma İpin ucu sert bir desteğe bağlanmış ise, bu uç hareket edemeyen sabit bir uçtur. Gelen dalga ipin bağlandığı desteğe bir kuvvet uygular. Bu kuvvete tepki olarak destek tarafından ip üzerine uygulanan kuvvet, ipi geri teper ve Şekil-8.1a da görüldüğü gibi gelen atma ile ters yönlü bir atma oluşturur. Yansıyan atma ip üzerinde, gelen atmanın tersi yönünde, ilerler.

3 8.. Serbest uçtan yansıma Şekil-8.1b deki gibi, ip kendisine dik bir sürtünmesiz çubuk üzerinde kayan hafif bir halkaya bağlanmış ise halka ve çubuk ipteki gerilimi korurlar fakat enine kuvvet uygulamazlar. Bir atma bu serbest uca geldiğinde halka çubuk boyunca kayar. Halka maksimum yer değiştirmeye ulaşır ve ip ile birlikte anlık olarak durur Bu anda ip daha da gerilmiştir ve dolayısıyla ipin serbest ucu aşağı doğru çekilir, bu da yansımış bir atma oluşturur. Serbest uçta, yansıyan atma gelen atmaya göre ters yönde hareket eder, ancak ipteki enine yer değiştirme gelen atma ile aynı yöndedir Yansıma ve geçme katsayısı İlerleyen bir dalga, çizgisel kütle yoğunlukları farklı iki ipin birleşme noktasına geldiğinde ikinci ortama geçme yanında yansıma da ortaya çıkar (Şekil-8.). Şekil-8. İlerleyen bir dalganın çizgisel kütle yoğunlukları farklı iki ipin birleşme noktasındaki yansıması ve geçmesi (Şematik çizim). Boyca kütle yoğunlukları μ 1 ve μ olan iplerin Şekil-8. deki gibi x = 0 noktasında birleştiğini kabul edelim. İp üzerinde harmonik dalgaların yayıldığını kabul edelim. Ancak dalgaların harmonik olma zorunluluğu yoktur. Daha genel olarak gelen dalga f 1 (x v 1 t), yansıyan dalga f (x + v 1 t) ve geçen dalga g(x v t) fonksiyonları ile temsil edilerek de hesaplamalar yapılabilir. 3

4 Bu durumda aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz: Gelen dalga (+x yönünde) y I (x, t) = Acos(k 1 x t) (8.a) Yansıyan dalga (-x yönünde) y R (x, t) = Bcos(k 1 x + t) (8.b) Geçen dalga (+x yönünde) y T (x, t) = Ccos(k x t) (8.c) Sol taraftaki bileşke dalga y 1 (x, t) = y I (x, t) + y R (x, t) (8.d) Sağ taraftaki bileşke dalga y (x, t) = y T (x, t) (8.e) i) x = 0 noktasında iplerdeki enine yer değiştirmeler eşit olmalıdır. y 1 (0, t) = y (0, t) veya y I (0, t) + y R (0, t) = y T (0, t) veya ACos( t) + BCos t = CCos( t) veya ACos t + BCos t = CCos t yazabiliriz. Burada her iki taraf cos t ye bölünerek gelen, yansıyan ve geçen dalgaların genlikleri arasında A + B = C (8.3) ilişkisi elde edilir. ii) x = 0 noktasında ipler üzerindeki enine kuvvetler (gerilme kuvvetleri) her an eşit olmalıdır. Daha önce küçük salınımlarda enine kuvvet için F y = T ( y x ) alınabileceğini göstermiştik (Bölüm 7.13 e bakınız). Bunu sınır koşulunda kullanarak (Birleşme noktasında iplerdeki T gerilimlerinin eşit olduğunu kabul ediyoruz). veya T y 1(x,t) x T y I(x,t) x x=0 = T y (x,t) x x=0 + T y R(x,t) = T y T(x,t) x=0 x=0 x x x=0 4

5 yazabiliriz. Burada Eşitlik-8. deki değerler kullanılarak veya TAk 1 sin( t) TBk 1 sin ( t) = TCk sin ( t) TAk 1 sin t TBk 1 sin t = TCk sin t veya her iki taraf Tsin t ye bölünerek Ak 1 Bk 1 = Ck (8.4) elde edilir. Şimdi (8.3) ve (8.4) denklemlerini yeniden yazalım: A + B = C Ak 1 Bk 1 = Ck Birinci denklemi k 1 ile çarpalım ve ikinci denklem ile taraf tarafa toplayalım: Buradan sonucunu elde ederiz. Eşitlik-8.3 den k 1 A + k 1 B = k 1 C + k 1 A k 1 B = k C k 1 A = (k 1 + k )C C A = k 1 k 1 +k (8.5) B = C A veya B A = C A 1 yazabiliriz ve (8.5) denklemini burada kullanırsak veya sonucunu elde ederiz. B A = k 1 k 1 + k 1 = k 1 k 1 k k 1 + k = k 1 k k 1 + k B A = k 1 k k 1 +k (8.6) İpteki dalganın ilerleme hızının v = = k T olduğunu biliyoruz. Buradan μ k = μ T = T μ yazabiliriz. Birleşme noktasında dalgaların açısal frekansı ( ) ve ipteki gerileme kuvveti (T) eşit olacağından k 1 = T μ 1 (8.7a) 5

6 k = T μ (8.7b) yazabiliriz. Bu değerleri (8.5) ve (8.6) denklemlerinde kullanarak C ve B oranları için A A yazabiliriz. B A = μ 1 μ μ 1 + μ C A = μ 1 μ 1 + μ (8.8a) (8.8b) T oranına karakteristik empedans denir ve Z ile gösterilir yani v Z = T dir. Burada v v hızı için v = T μ değerini kullanırsak karakteristik empedans için ve Z = T v = T = T μ T μ T = μt Z = T v = μv v = μv yazabiliriz. İpin her yerinde T gerilimleri eşittir ve bundan dolayı μ 1 = Z 1 T ve μ = Z T sonuçları elde edilir. yazılabilir. Bu değerler (8a) ve (8b) ifadelerinde kullanılarak B A = Z 1 Z Z 1 +Z C A = Z 1 Z 1 +Z (8.9a) (8.9b) B oranına yansıma katsayısı ve C oranına ise geçme katsayısı adı verilir. Birinci A A ortamdan ikinci ortama gelen bir dalganın yansıma katsayısını R 1 ile, birinci ortamdan ikinci ortama geçen dalganın geçme katsayısını T 1 ile göstereceğiz. Bu tanımlama kullanılırsa (8.9a) ve (8.9b) ifadelerinden R 1 = B A = Z 1 Z Z 1 +Z T 1 = C A = Z 1 Z 1 +Z (8.10a) (8.10b) 6

7 yazabiliriz. Burada verilen yansıma ( R 1 ) ve geçme ( T 1 ) katsayılarının genlik yansıma ve geçme katsayıları olduğuna dikkat ediniz. Bazen yansıma ve geçme katsayıları gelen, yansıyan ve geçen dalganın enerjileri veya gücü cinsinden de tanımlanmaktadır. Burada kısaca bu konuya da değinmekte yarar vardır. Daha önce ip üzerinde ilerleyen bir dalganın bir dalga boyu uzunluğundaki kısmının taşıdığı enerjiyi hesaplamıştık (Eşitlik e bakınız): W = 1 μ A (8.10c) Buradan birim uzunluktaki enerji için W/ = 1 μ A (8.10d) yazabiliriz. Bu değeri dalganın ilerleme hızı v ile çarparsak enerji taşınma hızını yani gücü (P) elde ederiz (Eşitlik-105 e bakınız): P = 1 μ A v (8.10e) Bu durumda ipte ilerleyen dalganın enerji taşıma hızını karakteristik empedans (Z = μv) cinsinden P = 1 μ A v = 1 Z A (8.10f) ifadesi ile verebiliriz. Şimdi gelen, yansıyan ve geçen dalgaların birim zamanda taşıdıkları enerjileri yani gücü kullanılarak Yansıyan enerji Gelen enerji = Yansıyan güç Gelen güç 1 Geçen enerji Geçen güç = = Z C = Z 1 Gelen enerji Gelen güç Z 1 A = 1 Z 1 B = 1 Z 1 A [B A ] = [ Z 1 Z ] Z 1 +Z Z 1 [ C A ] = Z Z 1 [ Z 1 [Z 1 +Z ] Z 1 +Z ] = 4Z 1Z ifadelerini yazabiliriz. Bu ifadeler enerjiler için yansıma ve geçme katsayısı olarak adlandırılmaktadır. Şimdi bazı özel durumlara bakalım: i) Kusursuz dalga direnci (empedans) denkleşmesi. Eğer Z 1 = Z ise yansıyan dalga yoktur yani R 1 = 0 dır. Geçirme katsayısı T 1 = 1 olur. Burada Z 1 = Z olması iki ortamın özdeş olmasını gerektirmediğine dikkat (8.10g) (8.10h) 7

8 ediniz. Örneğin bu durum, aynı gerilme (T) ve aynı çizgisel kütle yoğunluğa sahip iki ipin birer uçlarının bir araya getirmesi ile mümkün olabilir. ii) Sonsuz karşı koyma Eğer Z Z 1 oranı sonsuz ise R 1 = 1 ve T 1 = 0 olur. Bu durumda x = 0 noktası durgun kalır. x = 0 'da gelen ve yansıyan dalgalar üst üste gelerek sıfır yer değiştirme ve sıfır hız verirler. Yukarıya doğru artı yer değiştirmeli bir gelen dalga pulsu yansımadan sonra aşağı yönelmiş eksi bir pulsa döner. x = 0'da ipe etkiyen kuvvet kusursuz bitişteki ile aynı doğrultuda ancak kusursuz bir bitiş sağlamak için gerekli olandan iki kez daha büyük olur. Böylece gelen dalga ile eşit büyüklükte, eksi genlikli bir yansımış dalga oluşturur (Şekil-8.1a'ya bakınız). iii) Sıfır karşı koyma Eğer Z Z 1 = 0 ise (Z = 0), ipin x = 0'daki ucu bir serbest uçtur. O zaman ipin eğimi x = 0 noktasında sıfır kalır. Bu durumda R 1 = 1 ve T 1 = 0 olur. Artı yer değiştirmeli olarak gelen puls (veya dalga) yansıdıktan sonra da bir artı yer değiştirmeli puls (veya dalga) olarak geri döner (Şekil-8.1b'ye bakınız). Burada yansıma ve geçirme katsayıları arasında ilişkisinin olduğuna dikkat ediniz. T 1 = 1 + R 1 (8.11) 8

9 8..3 Elektromanyetik dalganın dielektrik ara yüzeyden yansıması z-ekseni yönünde ilerleyen bir düzlem elektromanyetik dalgayı kompleks üstel fonksiyon gösterimini kullanarak E = E 0 e i(kz ωt) (8.1) ifadesi ile tanımlayabiliriz. Burada E 0 elektrik alanın genliği, k = π/ dalga sayısı ve açısal frekanstır. Elektromanyetik dalganın, kırma indisi n 1 olan dielektrik bir ortamdan kırma indisi n olan dielektrik bir ortamın ara yüzeyine (x-y düzlemi) dik geldiğini kabul edelim (Şekil-8.3). Elektromanyetik dalganın yüzeye eğik geldiği durumu bu ders kapsamında ele almayacağız. Şekil-8.3. Bir düzlem elektromanyetik dalganın iki farklı dielektrik ortamı ayıran ara yüzeye (x-y düzlemi) dik gelmesi durumunda yansıyan ve geçen dalgaların n > n 1 ve n < n 1 durumu için gösterimi. Burada B=µH dir. Şekil-8.3 de gelen, yansıyan ve geçen düzlem elektromanyetik dalganın elektrik ve manyetik alan vektörlerinin doğrultu ve yönleri belirtilmiştir. Burada gelen, yansıyan ve geçen dalgalar doğrusal kutuplu dalgalardır. Elektromanyetik dalganın ilerleme yönü E xb vektörel çarpımının yönünde olduğuna dikkat ediniz. Birinci ortamın (z<0 bölgesi) kırma indisi n 1, ikinci ortamın (z>0 bölgesi) kırma indisi ise n dir. Gelen ve geçen dalga +z yönünde, yansıyan dalga ise z yönünde ilerlemektedir. Gelen dalganın elektrik alan bileşeninin x-ekseni doğrultusunda manyetik alan bileşeninin ise y-ekseni doğrultusundadır. Bu durumda gelen, 9

10 yansıyan ve geçen elektromanyetik dalganın elektrik ve manyetik alanları için (Şekil-8.3): Gelen dalga E I (z, t) = E 0I e i(k1z ωt) i (8.13a) Yansıyan dalga E R (z, t) = E 0R e i(k1z+ωt) i (8.13b) Geçen dalga E T (z, t) = E 0T e i(kz ωt) i (8.13c) Gelen dalga B I (z, t) = E 0I v 1 e i(k 1z ωt) j (8.14a) Yansıyan dalga Geçen dalga B R (z, t) = E 0R v 1 e i(k 1z+ωt) j (8.14b) B T (z, t) = E 0T v e i(k z ωt) j (8.14c) ifadelerini yazabiliriz. İki ortamı ayıran ara yüzeyde (z=0) elektrik alanının ve manyetik alanın yüzeye teğet bileşenleri her an eşit olmalıdır: E I (0, t) + E R (0, t) = E T (0, t) B I (0, t) + B R (0, t) = B T (0, t) Eşitlik-8.13 de verilen ifadeler Eşitlik-8.15a da kullanılırsa (z=0 alınarak): E 0I e i( ωt) i+e 0R e i(ωt) i = E 0T e i( ωt) i veya E 0I +E 0R = E 0T (8.15a) (8.15b) (8.16a) (8.16b) elde edilir. Benzer şekilde Eşitlik-8.14 de verilen ifadeler Eşitlik-8.15b da kullanılırsa (z=0 alınarak): veya E 0I e i( ωt) j E 0R e i(ωt) j = E 0T e i( ωt) j (8.17a) v 1 v 1 v E 0I v 1 E 0R v 1 = E 0T v (8.17b) elde edilir. Burada v 1 v = n n 1 olduğu kullanılarak 10

11 E 0I E 0R = v 1 v E 0T = n n 1 E 0T yazılabilir ve (8.16b) ve (8.17c) ortak çözülerek E 0R = n 1 n n 1 +n E 0I (8.17c) (8.18a) E 0T = n 1 n 1 +n E 0I elde edilir. Böylece yansıyan ve geçen dalganın genliği gelen dalganın genliği cinsiden ifade edilmiş olur. Burada da mekanik dalgalardakine benzer şekilde yansıma (R 1 ) ve geçme (T 1 ) katsayıları tanımlayabiliriz: (8.18b) Yansıma Katsayısı Geçme Katsayısı R 1 = E 0R E 0I = n 1 n n 1 +n T 1 = E 0T E 0I = n 1 n 1 +n (8.19a) (8.19b) Eğer n > n 1 ise R 1 <0 ve dolaysıyla E 0R < 0 olacaktır. Bu durumda Eşitlik-8.13a ve 8.13b de verilen E I (0, t) ve E R (0, t) vektörleri zıt yönlü olacaktır (Şekil-8.3). Dolaysıyla ara yüzeyden yansıyan elektromanyetik dalganın kadarlık bir faz değişimi olacağı açıktır. Eğer n < n 1 ise R 1 >0 ve dolaysıyla E R > 0 olacaktır. Bu durumda Eşitlik-8.13a ve 8.13b de verilen E I (0, t) ve E R (0, t) vektörleri aynı yönlü olacaktır (Şekil-8.3). Bu durumda ara yüzeyden yansıyan elektromanyetik dalgada faz değişimi olmayacaktır. Kırma indisinin tanımından n 1 = c ve n v = c olduğunu biliyoruz. Bunlar 1 v kullanılarak yansıma (R 1 ) ve geçme (T 1 ) katsayıları, dalganın ortamada yayılma hızları cinsinden, Yansıma Katsayısı Geçme Katsayısı şeklinde yazılır. R 1 = E R E I = v v 1 v +v 1 T 1 = E T E I = v v 1 +v (8.0a) (8.0b) 11

12 Burada karakteristik empedans tanımı Z = E H = μe B = μvb B = μv = μ με = μ ε kullanılarak μ 1E I B I = Z 1 = μ 1 v 1 ve μ 1E R B R = Z 1 = μ 1 v 1 ve μ E T H T = Z = μ v yazılabilir (Burada B=µH). İsotropik homojen dielektrikler için μ = μ 0 olduğundan v 1 = Z 1 μ 0 ve v = Z μ 0 alınır ve bu değerler (8.0a) ve (8.0b) eşitliklerinde yerine yazılırsa yansıma (R 1 ) ve geçme (T 1 ) katsayıları empedanslar cinsinden R 1 = E R E I = Z Z 1 Z +Z 1 T 1 = E T E I = Z Z +Z 1 (8.1a) (8.1b) şeklinde ifade edilebilir. Boşluk için Z 0 = μ 0 = 4π Ω dir. ε 0 8, Bu ders kapsamında bu konuya daha fazla zaman ayırmayacağız. Elektrik ve Manyetizma dersinde bu konular daha genel olarak ele alınacaktır. Ancak yansıma ve geçme katsayı kavramlarının hem mekanik ve hem de elektromanyetik dalgalar için geçerli olduğuna dikkat ediniz. Bir dielektrik malzemede (D= E) nin değeri uygulanan elektrik alan (E) ile değişmiyorsa lineerdir; madde içinde noktadan noktaya değişmiyorsa homojendir ve madde içinde doğrultuya bağlı değişmiyorsa isotropiktir denir. Buradaki tartışma bu tanımlamaya uyan iki dielektrik ortamın ara yüzeyine dik gelen elektomanyetik dalgalar için geçerlidir. 8.3 KUTUPLANMA (Polarizasyon) Kutuplanma enine dalgaların bir özelliğidir. Burada sadece elektromanyetik dalgaların kutuplanmasından söz edeceğiz. Bir elektromanyetik dalgada elektrik ve manyetik alan vektörleri yayılma yönüne diktir. Ayrıca elektrik alan vektörü ile manyetik alan vektörünün de birbirine dik olduğunu biliyoruz. Şimdi bir düzlem elektromanyetik dalganın kutuplanmasını kısaca ele alalım. 1

13 8.3.1 Düzlem elektromanyetik dalgaların kutuplanması Bir elektromanyetik dalganın kutuplanma doğrultusu her zaman elektrik alan vektörü E `nin doğrultusunda alınır. Bunun nedeni, birçok elektromanyetik dalga dedektörünün elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşenine duyarlı çalışmasıdır Doğrusal (düzlemsel) kutuplu elektromanyetik dalgalar E (x, t) = je 0 cos (kx t) (8.a) B (x, t) = k B 0 cos (kx t) (8.b) ifadeler ile tanımlanan elektromanyetik dalga y-ekseninde kutupludur (Elektrik alanın sadece y-bileşeni vardır). Bu dalgaya doğrusal kutuplanmıştır denir. Bazen buna düzlem kutupludur da denir. Elektrik alanın titreşim doğrultusu (bu örnekte y-ekseni) ile yayılma doğrultusunun (bu örnekte x-ekseni) oluşturduğu düzleme kutuplanma düzlemi (bu örnekte xy-düzlemi) denir. Fizik Lab. III dersinde mikrodalga deneylerinde doğrusal (veya düzlemsel) kutuplu elektromanyetik dalgalar kullanacaksınız ve kutuplanma doğrultusunu belirleyeceksiniz. Radyo vericisi tarafından yayınlanan elektromanyetik dalgalar genellikle doğrusal kutupludur. Radyo yayınları için kullanılan dik antenler, antenin etrafındaki yatay düzleme dik kutuplu dalgalar yayarlar. Çatı antenleri genelde ABD de yatay, AB ülkelerinde dikey elemanlar içerir Dairesel ve eliptik kutuplu elektromanyetik dalgalar Bazı durumlarda bir düzlem dalganın E alanının verilen bir noktadaki doğrultusu zamanla değişebilir. İki doğrusal kutuplanmış dalganın üst üste bindirilmesini düşünelim. Biri y-doğrultusunda kutuplanmış diğeri z-doğrultusunda kutuplanmış ve zaman fazında π radyan gecikmeli olsun. Bu durumda bileşke elektrik alan vektörü E 'yi 13

14 E (x, t) = je y (x, t) + k E z (x, t) = je 0y cos (kx t) + k E 0z cos (kx t + π ) (8.3) şeklinde yazabiliriz. Verilen bir noktada t değişirken E 'nin yön değişimini incelemek için x = 0 almak işimizi kolaylaştırır (Ancak bunu yapmak şart değildir.) Böylece (8.3) de verilen E alanını x = 0 düzleminde E (0, t) = je 0y cos( t) + k E 0z cos ( t + π ) = je 0y cos t + k E 0z cos ( t π ) veya E (0, t) = je 0y cos t + k E 0z sin t (8.4) şeklinde yazabiliriz. Burada t, 0'dan π, π ve 3π 'ye artarak π'de döngüyü tamamlarken E (0, t) vektörünün ucu saat ibrelerinin tersi yönünde eliptik bir yörünge çizer. Eşitlik-8.4 ü yeniden E (0, t) = je 0y cos t + k E 0z sin t = je 1 (0, t) + k E (0, t) (8.5) Şeklinde yazabiliriz. Burada veya E 1 (0, t) = E 0y cos t E (0, t) = E 0z sin t cos t = E 1(0,t) E 0y (8.6a) (8.6b) veya sin t = E (0,t) E 0z sin t + cos t = [ E (0,t) ] + [ E 1(0,t) ] E 0z E 0y [ E (0,t) ] + [ E 1(0,t) ] E 0z E 0y = 1 (8.7) yazabiliriz. Bu eşitlik merkezi orijinde olan bir elips tanımlar. Böylece birbirine uzayda ve zamanda dik iki doğrusal kutuplanmış dalganın toplamı olan E, eğer E 0z E 0y ise eliptik kutuplanmış ve eğer E 0z = E 0y ise dairesel kutuplanmıştır. Eğer E (x) ve E 1 (x) uzayda dik ama zamanda eş fazlı ise E 'nin x = 0 'daki anlık ifadesi E (0, t) = (je 0y + k E 0z )cos t (8.8) 14

15 olur. E (0, t) vektörünün y-ekseni ile = tan 1 (E 0z E 0y ) açısı yapan doğru boyunca doğrusal kutuplanmış olduğunu söyleriz. Bu üç durum Şekil-8.4'de özetlenmiştir. Şekil-8.4 Elektromanyetik dalganın kutuplanması. Bu şekillerde, şekillerin görünümünün karışık olmaması için, elektromanyetik dalganın sadece elektrik alanları çizilmiştir. Elektromanyetik dalga kutuplayıcıları, dalga boyuna bağlı olarak farklı şekilde yapılır. Bir kaç santimetrelik dalga boyuna sahip mikrodalgaların kutuplanması için genellikle birbirinden yalıtılmış ve birbirine paralel iletken tel dizini kullanılır (Fizik Lab-III dersinde bunun deneyini yapacaksınız). Etrafı yalıtkan madde ile çevrilmiş bir tel ızgara düşünün (Şekil-8.5). Şekil-8.5. Mikrodalganın paralel telli ızgaradan geçerken kutuplanması. Gelen dalganın elektrik alanı tel doğrultusunda olduğunda, tellerin içindeki elektronlar, elektrik alanın etkisiyle tel boyunca serbest hareket ederler. Tellerde oluşan elektrik alanı I R ile orantılı ısı oluşturacağından enerji kaybına yol açar. Bu enerji dalganın enerjisidir ve ızgaradan geçen dalganın genliğinin azalmasına 15

16 yol açar. Bu ise gelen dalganın tel doğrultusundaki bileşeninin tel tarafından soğurulduğu yani geçemediği anlamına gelir. Gelen dalganın elektrik alanı tellere dik doğrultuda olduğunda elektronlar teller arasındaki havadan geçemeyeceği için elektrik alan enerjisini kaybetmez ve ızgaradan hemen hiç etkilenmezler. Bu nedenle böyle bir filtreden geçen dalgalar tellere dik doğrultuda kutuplanmış olur. Görünür ışık için en sık kullanılan kutuplandırıcı filtre Polaroid markası ile bilinen ve güneş gözlüğü ve fotoğraf makinesi filtresi olarak da sıklıkla kullanılan malzemedir. Bu filtreler Edwin H. Land tarafından geliştirilmiştir. Polaroid malzemesi, çift renkli denilen ve bir kutuplu ışığın diğer kutba göre çok daha fazla soğrulmasına neden olan yapılar içerir (Şekil-8.6). Bir polaroid filtresi, kutuplaştırma ekseni denen filtre içinden belli bir eksene paralel kutuplu ışığın %80 ve fazlasını, bu eksene dik kutuplu ışığın ise sadece %1'ni geçirir. Şekil-8.6 Bir polaroid filtresinin kutupsuz doğal ışığı kutuplaması. Başka tür bir polaroid filtresinde de, uzun zincirli moleküller, eksenleri kutuplaştırma eksenine dik olacak şekilde yerleşmiştir. Bu moleküller, yukarıdaki iletken tel örneğinde olduğu gibi, sadece eksenlerine paralel kutuplu ışığı soğururlar (Laboratuvardaki deneylerde bu türden kutuplayıcılar kullanacaksınız). 16

17 Radyo frekansında yayılan elektromanyetik dalgalar için dairesel ve eliptik kutupluluk, birbirine dik iki anten kullanılarak oluşturulabilir. Antenler aynı verici ile beslenirler ancak uygun faz farkını yaratan bir faz kaydırıcı devre ile birlikte düzenlenmişlerdir. Işık için gerekli faz farkı çiftkırılım gösteren malzemelerin kullanılmasıyla oluşturulabilir. Bu malzemeler farklı kutuplanmalar için farklı kırılma indisi gösterir. Çok kullanılan bir örnek kalsit (CaCO 3 ) kristalidir. Bir kalsit kristali kutupsuz ışığın önüne uygun bir şekilde yerleştirildiğinde, bir yöndeki kutuplu ışık için kırılma indisi (boşlukta dalga boyu 598 nm olan ışık için) 1,658, ona dik yöndeki kutuplu ışık için ise 1,468 nm dir. Eşit genlikteki fakat birbirine dik kutuplu iki dalga böyle bir malzeme içinde farklı hızda hareket eder. Maddeye girerken aynı fazda olsalar da, çıktıkları zaman artık aynı fazda değildirler. Eğer kristal tam bir çeyrek devirlik faz farkı oluşturacak kalınlıkta ise, doğrusal kutuplu ışık dairesel kutuplu ışığa çevrilir (Şekil-8.7). Böyle bir kristal çeyrek-dalga levhası olarak adlandırılır. Şekil-8.7. Doğrusal kutuplu bir ışığın çeyrek-dalga levhasından geçtikten sonra dairesel kuruplanması Yansıma ile kutuplanma Kutuplanmamış ışıktan kutuplanmış ışık üretmenin diğer bir yolu ise yansımayı kullanmaktır. Kutupsuz ışık, yansıma yoluyla kısmen veya tamamen kutuplu hale getirilebilir. Şekil-8.8 da kutupsuz doğal ışık saydam iki optik malzeme arasındaki yüzeye gelmektedir. Gelen ve yansıyan ışıkları ve yüzeyin normalini içeren düzleme gelme düzlemi denir. Çoğu gelme açısı için, elektrik alan vektörü E nin 17

18 bu gelme düzlemine dik olduğu başka bir deyişle yansıtıcı yüzeye paralel olduğu dalgalar, elektrik alanları bu düzlemde olan dalgalara göre daha çok yansıtılır. Bu durumda yansıyan ışık, gelme düzlemine dik yönde kısmen kutuplanmış olur. Şekil-8.8. Kutupsuz ışığın yansıma ile kutuplanması. 181 yılında Britanyalı bilim adamı Sir David Brewster, gelme açısının kutuplanma açısı θ P ye eşit olduğunda, yansıyan ışın ile kırılan ışının birbirine dik olduklarını keşfetti Bu durumda kırılma açısı θ b, θ P nin tamlayanıdır yani θ b = 90 o θ P dir. Kırılma yasasından dolaysıyla n 1 sinθ P = n sinθ b (8.9) n 1 sinθ P = n sin(90 o θ P ) = n cosθ P (8.30) tanθ P = n n 1 (8.31) yazılır. Bu ilişki Brewster yasası olarak bilinir. Kutuplanma açısına (θ P ) aynı zamanda Brewster açısı denir. Bu açı çoğu kez θ B ile gösterilir ve (8.31) bağıntısı tanθ B = n n 1 (8.3) şeklinde verilir. Eğer birinci ortam hava ise n n 1 = n alınabilir (n bağıl kırma indisi). Bu durumda (8.3) bağıntısı şeklinde yazılabilir. tanθ B = n (8.33) Bu yasa başlangıçta deneysel olarak bulunmasına rağmen, dalga modeli ve Maxvell denklemleri kullanılarak kuramsal olarak da gösterilebilir. Bu ders 18

19 kapsamında buna giremeyeceğiz. Fizik Lab. III dersinde bu yasayı deneysel olarak gözleyeceksiniz Malus yasası Şekil-8.9 da x-ekseni doğrultusunda ilerleyen kutuplanmamış bir ışık bir kutuplayıcı üstüne düşürülüyor. Elektrik alan vektörünün kutuplama ekseni üzerindeki izdüşümü boyunca, kutuplanmış ışık kutuplayıcıdan geçer, diğer doğrultudaki bileşenleri soğrulur. Kutuplayıcının kutuplanma ekseni y-ekseni doğrultusunda seçildiği için polarize olmuş ışık y-ekseni doğrultusunda olacaktır. Şekil-8.9. Malus yasası. Kutuplayıcıdan geçen elektrik alan vektörünün genliği E 1 ile gösterilirse, kutuplanmış ışığın şiddeti: I 1 = sabit E 1 (8.34) şeklinde ifade edilebilir. Kutuplanmış ışığın önüne yeni bir kutuplayıcı daha yerleştirelim (Buna analizör denir). Analizörün kutuplayıcı ekseni ile kutuplanmış ışığın arasındaki açı θ olsun. Analizörden geçen ışığın elektrik alanı E 1 cosθ olacaktır. Dolayısıyla analizörden geçen ışığın şiddeti I = sabit (E 1 cosθ) = I 1 cos θ (8.35) 19

20 olacaktır. Bu bağıntıya Fransız bilim adamı Étienne-Louis Malus ( ) un adını anmak için Malus yasası denir. Malus yasası sadece analizöre gelen ışık doğrusal kutuplu ise geçerlidir. Fizik Lab. III dersinde mikrodalga kullanarak bu bağıntıyı sınama şansınız olacaktır. (Bu konular için Young and Freedman, University Physics kitabına bakabilirsiniz). 8.4 HUYGENS İLKESİ İlk defa Hollandalı bilim adamı Christian Huygens ( ) tarafından 1678'de ifade edilen bu ilke, belirli bir zamanda bilinen bir dalga cephesini kullanarak daha ileri bir zamandaki dalga cephesini bulmaya yarayan geometrik bir yöntemdir. Huygens'in varsayımına göre, bir dalga cephesi üzerindeki her nokta, her yöne doğru yayılan ve ana dalga ile aynı hıza sahip ikincil dalgaların kaynağı olarak düşünülebilir. Bu durumda, ileri bir zamanda oluşacak yeni dalga cephesi de bu ikincil dalgacıklara teğet veya zarf oluşturarak bulunur (Şekil-10). Huygens ilkesiyle bulacağımız tüm sonuçlar Maxwell denklemleriyle de bulunabilir. Ancak Huygens ilkesi birçok durumda dalga hareketini içeren olayların hesaplarında kolaylık sağlar. Şekil Huygens ilkesi: (a) İlk dalga cephesi düzlemsel. (b) İlk dalga cephesi küresel. Başlangıçta AA' ile gösterilen dalga cephesi, oklarla gösterildiği gibi kaynaktan dışa doğru ilerlemektedir. Dalganın hızı v ise t süresi içinde alacağı yol = vt olur. AA' eğrisi üzerindeki noktaların merkez olduğu ve r = vt yarıçaplı birçok çemberler (ikincil dalgaları temsilen) çizelim. Bu dalgacıkların zarfı olan BB' 0

21 eğrisi yeni dalga cephesini oluşturur. Burada v hızının her nokta ve yön için aynı olduğunu kabul ediyoruz. Kaynaktan dışarıya doğru yayılan dalgalar, dalga boyu ile karşılaştırıldığında oldukça küçük olan bir yarık içeren bir engelle karşılaşırsa bu yarık, dairesel dalgalar yayan yeni bir dalga kaynağı gibi davranır. Sonuçta, delikten geçişi takiben delik kenarlarından dışarı yayılan bir dalga oluşur. Dalganın, deliğin kenarları etrafındaki yayılmasına kırınım denir. Bu olaya deneysel bir örnek Şekil-8.1'de gösterilmiştir. Şekil-8.11a'da birincil dalgalar dairesel; Şekil- 8.11b'de ise birincil dalgalar doğrusaldır. Bu deneyi laboratuvarda bulunan dalga leğeninde siz de yapabilirsiniz. Şekil Dalga leğeninde dalga cephelerinin genişlemesi ve dar bir yarıkta Huygens dalgacıklarının meydana gelmesi. (a) Birincil dalgalar dairesel. (b) Birincil dalgalar doğrusal Huygens ilkesi ve yansıma Dalgaların bir yüzeyden yansıma yasasını Huygens ilkesini kullanarak çıkarmak mümkündür. Bunun için düz ve yansıtıcı bir yüzeye gelen bir düzlem dalga düşünelim (Şekil-8.1a). Bu şekilde MM' ara yüzeyine gelen düzlem dalganın ardışık dalga cepheleri AA', OB' ve NC' olarak gösterilmiştir. Şekilde AA' dalga cephesinin A noktası bu yüzeye henüz gelmiştir. Huygens ilkesini kullanarak t zamanı sonrasında dalga cephesinin konumunu bulabiliriz. AA' üzerindeki noktalar merkez olacak şekilde r = vt yarıçaplı birçok ikincil dalgacıklar çizelim. AA' dalga cephesinin üst ucu yakınlarında oluşan dalgalar bir engelle 1

22 karşılaşmadan ilerler ve bunların zarfı yeni bir dalga cephesinin OB' kısmını oluşturur. Şekil-8.1. Huygens ilkesini kullanarak yansıma kuralının çıkarılması. (a) AA düzlem dalgasının art arda gelen konumu düzlem yüzeyden yansıyor. (b) (a) nın büyütülmüş bir kısmı. Yansıtıcı yüzey olmasaydı AA' dalga cephesinin alt ucu yakınlarında oluşan dalgacıkların alacağı şekil kesikli çizgi ile gösterilmiştir. Ancak bu dalgacıklar yansıtıcı yüzeye çarpmıştır. Yansıtıcının etkisi, üzerine çarpan dalgacıkların ilerleme yönünü değiştirmektedir. Dolayısıyla ara yüzey olmasaydı ilerleyecek olan bu dalgacıklar şimdi şekilde kesiksiz çizgi ile gösterildiği gibi yüzeyin solunda yer alır. Böyle dalgacıklardan ilki A noktası merkezlidir. Bu şekilde yansıtılan dalgacıkların zarfı da dalga cephesinin OB kısmıdır. Bu anda tüm dalga cephesinin yolu BOB' kıvrımıdır. Benzer şekilde, yine t zamanı sonrasında dalga cephesi CNC' olur. Düzlem geometri bilgisinden, gelen dalga cephesi ile yüzey arasındaki θ a açısı, gelen ışın ile yüzeyin normali arasındaki açıya, yani gelme açısına ve benzer şekilde θ r de yansıma açısına eşittir Bu açılar arasındaki ilişkiyi bulmak için Şekil-8.1b'den yararlanacağız. O noktasından AA ' çizgisine dik OP = vt çizgisi çizelim. Bu çizime göre OB doğrusu, A merkezli ve vt yarıçaplı çembere teğet olur. A noktasından teğet noktasına AQ çizgisi çizilirse, APO ve OQA dik üçgenleri, AQ kenarları ortak ve AQ = OP = vt olduğundan eş üçgenler olur. Dolayısıyla θ a açısı θ r açısına

23 eşittir, bu sonuç yansıma yasasıdır. Özetlersek yansım olayında, gelen ışın, yansıyan ışın ve normal aynı düzlemde olup, θ a gelme açısı, θ r yansıma açısına eşittir Huygens ilkesi ve kırılma Şekil-8.13'de Kırılma indisleri n a ve n b olan a ve b ortamlarını ayıran SS' ara yüzüne gelmekte olan AA' dalga cephesi, A noktası b ortamına tam değerken gösterilmiştir (yansıyan dalgalar burada gösterilmemiştir) Huygens ilkesini kullanarak, t zaman sonrasında kırılan dalga cephesinin konumunu bulabiliriz. Şekil Huygens ilkesi kullanılarak kırılma yasasının çıkarılması. (a) AA düzlem dalgasının art arda gelen konumu düzlem yüzeyde kırılmaya uğruyor. (b) (a) nın büyütülmüş bir kısmı. AA' üzerindeki noktalar merkez olmak üzere birçok ikincil dalgacık çizelim. AA' dalga cephesinin üst ucu yakınlarında oluşan dalgacıklar v a hızı ile hareket ederler ve t zamanı sonrasında v a t yarıçaplı küresel yüzeyler oluştururlar. A noktasından çıkan dalgacıklar ise ikincil malzeme b içinde v b hızı ile hareket ederler ve t zamanı sonrasında v b t yarıçaplı küresel yüzeyler oluştururlar. Başlangıçtaki dalga cephesinden çıkan dalgacıkların zarfı BOB' kıvrımıdır. Benzer şekilde, yine bir t zamanı sonrası dalga cephesi de CPC' olur. Gelen ve kırılan dalga cepheleri ile yüzeyler arasındaki açılar θ a ve θ b sırasıyla gelme ve kırılma açılarıdır. Bu açılar arasındaki ilişkiyi bulmak için Şekil-8.13b'ye bakalım. AQ' ya dik OQ = v a t ve BO' ya dik AB = v b t çizelim. AOQ dik üçgeninden 3

24 ve AOB dik üçgeninden Bu denklemler birleştiririlirse sinθ a = v at AO sinθ b = v bt AO (8.36a) (8.36b) sinθ a sinθ b = v a v b yazabilir. Bir malzemenin kırma indisi n, ışığın malzeme içinde yayılma hızının boşlukta yayılma hızına oranı olarak tanımlıdır: n a = c v a ve n b = c v b. Sonuç olarak n a = c v b n b c v a olduğunu kullanarak Eşitlik-8.36c'yi yeniden, (8.36c) = v a v b (8.37) veya sinθ a sinθ b = n b n a n a sinθ a = n b sinθ b (8.38a) (8.38b) şeklinde yazabiliriz. Bu denklem Snell yasasıdır. kullanılarak Snell yasası elde edildiğine dikkat ediniz. Böylece dalga modeli 4

25 8.5 GİRİŞİM Girişim ve kırınım olaylarında sık sık kullanacağımız bazı kavramları tekrar tanımlamada fayda vardır. Girişim: İki veya daha fazla dalganın uzayda aynı noktada birleştiği her durum için geçerlidir. Böyle bir durum üst üste binme ilkesiyle belirlenir. Şekil-8.14a de dalga leğeninde iki nokta kaynağın yarattığı dalgaların girişimi gösterir bir deney sonucu verilmiştir. Şekil-8.14b de iki nokta kaynaktan çıkan dalgalar geometrik çizimle gösterilmiştir. İki tepe veya iki çukurun kesiştiği yerlerde yapıcı girişim; bir tepe ile bir çukurun kesiştiği yerlerde ise yıkıcı girişim oluştuğuna dikkat ediniz. Şekil-8.14 (a) Dalga leğeninde iki nokta kaynağın yarattığı dalgaların girişimini gösteren bir deneysel fotoğraf. (b) iki nokta kaynaktan çıkan dalgaların yarattığı girişim olayının geometrik çizimi. Üst üste binme ilkesi (Süperpozisyon): İki veya daha fazla dalga uzayda bir araya gelirse, herhangi bir noktada ve herhangi bir anda oluşan yer değiştirme, dalgaların her birinin o noktada ve o anda tek başına sahip olacağı yer değiştirmelerin toplanmasıyla bulunur. Bundan önceki bölümlerde bu konu ayrıntılı olarak ele alınmıştı. Yer değiştirme: Burada yer değiştirme sözcüğü genel anlamıyla kullanılmıştır. Bir sıvı yüzeyindeki dalgalar için bu terim sıvının normal yüksekliğinden aşağıda 5

26 veya yukarıda olmasına karşılık gelir; ses dalgalarında da basınç farkına işaret eder; elektromanyetik dalgalarda ise elektrik veya manyetik alandaki değişmeye karşılık gelir. Tek renkli ışık: Girişim olayı en kolay f frekanslı ve λ dalga boylu iki sinüzoidal dalganın birleşmesinde görülür. Optikte sinüzoidal dalga tek renkli ışığı tarif eder. Tek renkli ışık üretmek zordur. Bunun için bazı özel filtreler kullanılır. Tek renkli ışığa en yakın kaynak lazerlerdir. He-Ne Lazerinin dalga boyu yaklaşık 63,8 nm dir. Burada bir yanlış anlamanın önüne geçmek için tek renkli bir ışığın faz uyumlu olma zorunluluğunun olmadığını belirtemeden geçmeyeceğiz. Fizik Lab. III dersinde tek renkli ve faz uyumlu lazer ışığı, mikrodalga ve ultrasonik ses dalgaları kullanarak girişim deneyleri yapacaksınız. Faz uyumluluğu: Aynı frekansa ve belirli ve sabit bir faz ilişkisine sahip (aynı fazda olmak zorunda değil) tek renkli iki dalga kaynağı faz uyumlu olarak tanımlanır. Türkçe kaynaklarda faz uyumluluğu yerine koherentlik de denmektedir. Koherentlik aynı zamanda frekans uyumluluğu olarak da tanımlanmaktadır. Yapıcı girişim: İki veya daha fazla kaynaktan çıkan dalgalar bir noktaya aynı fazda geldikleri zaman oluşan dalganın genliği her bir dalganın genliğinin toplamına eşittir yani dalgalar birbirlerini güçlendirirler. Bu olaya yapıcı girişim denir (Şekil-8.15). Yapıcı girişim oluşan noktalara karın noktaları denir. Şekil-15 deki S 1 den perde üzerindeki P noktasına uzaklık r 1, S den perdeye olan uzaklık ise r olsun. P noktasında yapıcı girişim olması için iki kaynağın P noktasına olan uzaklıkları farkı başka bir deyişle yol farkı ( r r 1 ), dalga boyunun (λ) tamsayı katı olmalıdır: r r 1 = m λ m = 0, ±1, ±,... (8.39) 6

27 Şekil-8.15 İki yarıktan çıkan dalgaların yapıcı girişimi. (a) Perde üzerinde yarıklardan eşit uzaklıkta bir noktada oluşan yapıcı girişim. (b) Perde üzerinde yarıklardan farklı uzaklıkta bir noktada oluşan yapıcı girişim. Yıkıcı girişim: İki veya daha fazla kaynaktan çıkan dalgalar bir noktaya yarım periyot faz farkı ile geldikleri zaman bir dalganın tepesi ile diğerinin çukuru aynı anda bu noktaya ulaşır. Oluşan genlik iki genliğin farkıdır. Genlikler eşit ise toplam genlik sıfır olur. Tek tek dalgaların tamamen veya kısmen söndürülme olayına yıkıcı girişim denir (Şekil-8.16). Yıkıcı girişim oluşan noktalara düğüm noktaları denir. Şekil-8.16 Yıkıcı girişim. Yukarıda tanımlanan P noktasında yıkıcı girişim olması için iki kaynağın yol farkı (r r 1 ), yarım dalgaboyunun (λ/) tek katı olmalıdır: Bu eşitlik bazen şeklinde de verilir. r r 1 = (m + 1) λ m = 0, ±1, ±, (8.40a) r r 1 = (m + 1 )λ m = 0, ±1, ±,... (8.40b) 7

28 Girişim desenleri duran dalgalar değildir. Duran dalgada girişim zıt yönde yayılan iki dalga arasındadır ve değişmeyen bir karın ve düğüm deseni oluşur, iki yönde de net bir enerji akışı yoktur. Şekil-8.15 ve 8.16 de verilen durumlarda ise dışarı doğru net bir enerji akışı vardır. 8.6 Çift yarıkta girişim (Young deneyi) Şekil-8.17 de, oldukça dar ve eşit S 1 ve S yarıklarına yaklaşan bir dalga cephesi gösterilmiştir. Basitleştirmek açısından, bu yarıkların orijinal dalga kaynağı olarak davranan bir noktadan eşit uzaklıklarda olduğunu varsayacağız. Böylece S 1 ve S ikincil kaynakları aynı fazda olurlar. Şekil-8.17 Çift yarıkta girişim: Young deneyi. Orijinal dalgamız sürekli ve harmonik bir dalga ise S 1 ve S kaynakları bu dalgayı harmonik özdeş dalgalara dönüştürür. Perde üzerindeki herhangi bir P noktasındaki dalga, S 1 ve S kaynaklarından gelen katkıların toplanması ile elde edilir. S 1 ve S kaynaklarından P noktasına gelen dalgaların genlikleri farklıdır. Bunun iki nedeni vardır: 1. r 1 ve r uzaklıkları farklıdır ve dairesel genişleyen bir dalganın genliği kaynaktan uzaklaştıkça azalır.. S 1 ve S kaynaklarından P noktasına gelen dalgaların sapma açıları farklıdır ve bir Huygens dalgacığı artan sapma açısı ile azalan bir genliğe sahiptir. 8

29 Dalga hızı v olmak üzere P noktasına ulaşan dalgalar arasında Δt = (r r 1 ) v zaman farkı ile tanımlanan bir faz ilişkisi vardır. Burada S 1 ve S ikincil kaynakları arasındaki d uzaklığının, r 1 ve r uzaklıkları ile karşılaştırdığında çok küçük olduğu durumu ele alacağız. S 1 ve S kaynaklarından çıkan dalgaları, y 1 (r 1, t) = A 1 cos(k r 1 ωt) y (r, t) = A cos(k r ωt) (8.41a) (8.41b) şeklinde yazabiliriz. Şekil-8.17 deki perde üzerinde P gibi herhangi bir noktada (P noktasının yerini tanımlayan r 1 ve r değerleri sabittir) zamanın fonksiyonu olarak yer değiştirme ifadesi, y p (t) = A 1 cos(k r 1 ωt) + A cos(k r ωt) (8.4) şeklinde yazılabilir (Burada yer değiştirmenin yukarıda tanımladığımız anlamda olduğunu tekrar hatırlatalım). P noktası S1 ve S kaynaklarından yeterince uzakta alındığı zaman S 1 ve S kaynaklarından çıkan dalgaların genliklerini eşit alabiliriz (A 1 = A = A 0 ). Bu durumda Eşitlik-8.4 den y p (t) = A 0 [cos(k r 1 ωt) + cos(k r ωt)] = A 0 cos[ k r +r 1 ωt] cos[k (r r 1 )/] (8.43) yazabiliriz. Burada zamandan bağımsız olan cos[k(r r 1 )/] çarpanını sıfır yapan yerlerde yıkıcı girişim (düğüm noktaları) olacaktır. Bu çarpanın sıfır olabilmesi için veya k (r r 1 )/ = (m + 1)(π/) r r 1 = (m + 1)π/k = (m + 1)π/(π/λ) = (m + 1/) λ veya r r 1 = (m + 1 )λ m = 0, ±1, ±,... (Düğüm noktaları) (8.44) olmalıdır. 9

30 Yarıklardan verilen bir uzaklıkta bileşke yer değiştirmenin maksimum olduğu noktalar vardır. Bunun olması için cos[k(r r 1 )/] çarpanı maksimum olmalıdır (±1) yani, k (r r 1 )/ = mπ veya r r 1 = mπ/k = mπ/(π/λ) = m λ veya r r 1 = m λ, m = 0, ±1, ±,... (Karın noktaları) (8.45) olmalıdır. Yarıkların perdeye olan L uzaklığının yarıklar arası uzaklık olan d den çok büyük olduğunu kabul edersek dalgalar arası yol farkı için r r 1 = dsinθ (8.46) yazabiliriz (Şekil-8.17). Bu durumda yapıcı girişim şartı (Görünür ışıkla yaptığınız deneylerde aydınlık bantlar): dsinθ = m λ, m = 0, ±1, ±, (8.47a) Yıkıcı girişim şartı (Görünür ışıkla yaptığınız deneylerde karanlık bantlar): yazabiliriz. dsinθ = (m + 1 )λ, m = 0, ±1, ±,... (8.47b) Eşitlik-8.43 de r r 1 = dsinθ yazarsak y p (t) = A 0 cos[kdsinθ/] cos[ k r +r 1 ωt] (8.48) elde ederiz. Bu durumda bileşke dalganın herhangi bir doğrultudaki genliği için A(θ) = A 0 cos[kdsinθ/] = A 0 cos[πdsinθ/λ] (8.49) 30

31 yazabiliriz. Bu ifade bize, yarıklardan oldukça uzak mesafelerdeki girişimin doğrultuya bağımlı olduğunu gösterir. Yani, eğer girişimin maksimum ve minimum konumları iki yarığı birleştiren çizgiye paralel bir çizgi boyunca (perde üzerinde) gözlenmiş ise arka arkaya maksimumların (ya da minimumların) aralıkları yarıklardan olan uzaklıkla orantılı olarak artar. Perdedeki aydınlık bantların merkeze uzaklığı için y m = Ltan θ m (8.50) yazabiliriz (Şekil-8.17). Bu tür deneylerde y m mesafesi genellikle L mesafesinden çok küçüktür. Dolaysıyla y m L = tanθ m sinθ m = m d (8.51) yazabiliriz. Aydınlık saçaklar için L, d ve y m ölçülebilir ve buradan dalga boyu λ nın değeri hesaplanır. Bu koşulda perdedeki ardışık maksimumlar arasındaki mesafenin Lλ/d ifadesi ile verileceği açıktır. Bu ilişkiden faydalanarak dalga boyu hesabı yapmak çoğu kez yeterli olmaktadır. Young deneyi ışığın dalga boyunun ilk olarak ölçüldüğü deney olduğunu belirtmek gerekir. Bu deney bilim tarihi açısından da önemlidir. Ardışık aydınlık bantlar arası mesafe, d ile ters orantılıdır. Yarıklar birbirine yaklaştıkça desen dışa doğru yayılır. Yarıklar uzaklaşırsa bantlar birbirlerine yaklaşırlar. Fizik Lab. III dersinde Young deneyini faz uyumlu lazer ışığı, ultrasonik ses dalgası ve mikrodalga kullanarak yapacaksınız. Bu deneylerde de algılama noktası L, kaynaklar arası mesafe olan d den çok daha büyük seçilmelidir. Eşitlik-8.49 de k = π λ ve r = (r + r 1 )/ (8.5) 31

32 yazarak y p (t) = A 0 cos[ π dsinθ/ λ ] cos[ πr/λ ωt] (8.53) elde ederiz. Burada r yi, kaynaklardan P ye olan ortalama uzaklık olarak alabiliriz. P noktasındaki dalganın şiddeti için (P noktası kaynaklardan çok uzakta seçildiğinde) I = 1 T [y 1 T 0 p(t)] dt = T [ A T 0 cos[ π dsinθ/ λ ] cos[ πr/λ ωt] ] 0 dt = 4[A 0 ] cos [ π dsinθ/ λ] 1 T T cos [ πr/λ ωt] 0 1/ = [A 0 ] I 0 cos [ π dsinθ/ λ] I = I 0 cos [ π dsinθ/ λ] (8.54) yazabiliriz. Şiddetin dsinθ ye bağlı değişimi Şekil-8.18a da verilmiştir. Maksimum şiddetli yönler cos[ π dsinθ/ λ ] nin +1 veya -1 değeri aldığında yani, olduğunda gerçekleşir. dsinθ = mλ, m = 0, ±1, ±,... (8.55) İki yarıklı girişim deneylerinde girişim deseni yarıklardan L uzaklığına konan bir perdede gözlemlenir. Perdedeki konumları y koordinatı ile ifade edebiliriz. Aydınlık saçakların konumu, y<<l olduğu zaman, y = Ltan θ Lsinθ = L λ/d (8.56) ifadesi ile verilebileceğini biliyoruz. Eşitlik-8.54 de sinθ y L kullanılarak perdedeki herhangi bir noktadaki şiddeti I = I 0 cos (kyd/l) = I 0 cos (πyd/λl) (8.57) şeklinde yazmak mümkündür ( k = π/λ). Şiddetin y ye bağlı değişim grafiği Şekil-8.19b de verilmiştir. Bunu Şekil-8.18c deki deneysel resimle karşılaştırabilirsiniz. Ancak Şekil-8.18c deki resimde en yüksek şiddet merkezden uzaklaştıkça solmaktadır. Bunun nedenlerini kırınım konusunu işlerken göreceğiz. 3

33 Şekil-8.18 Young deneyi: (a) Eş-8.54 nin dsinθ ye bağlı çizimi; (b) Eş-8.57 nin y ye bağlı çizimi; c) Deneysel sonuç Faz farkları cinsinden yapıcı ve yıkıcı girişim tanımı Girişim olayına yol farkları yerine faz farkları cinsinden de bakabiliriz. Dalga boyu (λ) kadarlık yol farkının kadarlık faz farkına karşı geldiği açıktır. Bu durumda (r r 1 ) kadarlık yol farkının φ = π r r 1 λ = k (r r 1 ) (8.58) ifadesi ile tanımlı faz farkı yaratacağı açıktır. Eşitlik-8.43 deki cos[k(r r 1 )/] çarpanını faz farkı cinsinden yazabiliriz: cos[k(r r 1 )/] = cos (φ/) (8.59) Bu çarpanı maksimum yapan faz farkı cos(φ/)= ±1 olduğunda gerçekleşir, yani φ/ = mπ veya φ = mπ m = 0, ±1, ±, (yapıcı girişim) (8.60) olmalıdır. Bu çarpanı minimum yapan faz farkı cos(φ/) = 0 olduğunda gerçekleşir, yani φ = (m + 1) (π/) veya φ = (m + 1)π m = 0, ±1, ±,... (yıkıcı girişim) (8.61) olmalıdır. 33

34 8.6. İnce filmlerde girişim Işık, kalınlığı t olan ince bir filmin iki yüzeyinden yansıtıldığı zaman (Şekil-8.19) yüzeylerde faz kayması olmazsa ve t yolu dalga boyunun (λ) tamsayı katı ise yansıyan dalgalar arasında yapıcı girişim oluşur. Yüzeylerden birinde yarımperiyod faz kayması olursa bu yıkıcı girişim şartına dönüşür. İkinci ortamın kırma indisi birinciden büyükse yansıma esnasında yarım-periyot başka bir deyişle kadar faz kayması olur (Elektromanyetik dalgaların yansımasının anlatıldığı kesime bakınız). Aradaki film boşluktan farklı bir ortam ise, hesaplamalarınızda ışığın o ortamdaki dalga boyu kullanılır yani λ = λ 0 /n alınır. Burada λ 0 ışığın boşluktaki dalga boyu ve n = aradaki filmin kırma indisidir.). Şekil-8.19 İnce bir hava kamasında girişim. Özetlersek: İnce filmde yapıcı girişim, göreceli faz kayması yok (n1>n ise): t = m λ m = 0, 1,,... (8.6a) İnce filmde yıkıcı girişim, göreceli faz kayması yok (n1>n ise): t = (m + 1/) λ m = 0, 1,,... (8.6b) İnce filmde yapıcı girişim, göreceli faz kayması yarım periyot (n1<n ise): t = (m + 1/) λ m = 0, 1,,... (8.6c) İnce filmde yıkıcı girişim, göreceli faz kayması yarım periyot (n1<n ise): t = m λ m = 0, 1,,... (8.6d) 34

35 yazabiliriz. Fizik Lab III dersinde Newton halkaları deneyinin anlaşılmasında bu sonuçlardan yararlanacaksınız Çok yarıkta girişim (Girişim ızgarası): Birbirlerinden eşit uzaklıklarda yerleşmiş N tane yarığa sahip bir düzenlemenin (girişim ızgarası) girişim desenini analiz edeceğiz. Çift yarıkta olduğu gibi, yarıkların eşit ve oldukça küçük genişliğe sahip olduklarını kabul edeceğiz. Ardışık yarıklar arası mesafeyi d olarak alalım. Eğer yarıklara gelen dalga düzlem dalga ve dalga cephesi de yarık düzlemine paralel ise bütün yarıkların aynı fazda sürüldüklerini kabul edebiliriz (Şekil-8.0). Şekil-8.0 Eşit aralıklı çoklu yarık sistemi (Girişim ızgarası). Ardışık yarıklardan P noktasına ulaşan ikincil dalgalar arasındaki yol farkı dsinθ ya eşittir. Bunun sonucu olarak, δ = πdsinθ λ ifadesine eşit bir faz farkı vardır (Eşitik-8.58 ye bakınız). Böylece P noktasındaki bileşke yer değiştirme ifadesi y p (t) = A 0 cos( t φ 1 ) + A 0 cos( t φ 1 δ) + A 0 cos( t φ 1 δ) + (8.63) (8.64) 35

36 şeklinde N tane terimin toplamıdır. Burada φ 1 = πr 1 λ terimi ilk yarık ile P noktası arasındaki r 1 uzaklığı ile ilgili faz farkıdır. Daha önce üst üste gelme olayını ele almıştık Bileşke vektörün A genliği, her biri en yakınındaki komşusu ile δ açısı yapan A 0 uzunluğunda N tane vektörün toplanması sin( Nδ A = A ) 0 sin(δ ) şeklinde elde edilmişti (. Bölüm ders notlarına bakınız). P noktasında bileşke dalganın şiddeti, bileşke dalganın uzanımın karesinin zaman ortalaması ( I = 1 T T 0 [y p(t)] dt) alınarak I = 1 A = 1 A 0 sin ( Nδ ) sin ( δ ) = I s sin ( Nπdsinθ ) λ = I sin ( πdsinθ s ) λ sin (Nβ) sin (β) elde edilir. Burada I s = 1 A 0 her bir yarıktan gelen dalganın (optikte ışığın) şiddeti ve β = δ = πdsinθ λ Eğer N = alırsak dir. (8.65) (8.66) I = I s sin (Nβ) sin (β) = I s (sinβcosβ) sin β = 4I s cos β = 4I s cos (δ ) = 4 1 A 0 cos ( δ ) veya I = A 0 cos ( πdsinθ ) (8.67) λ elde ederiz. Bu daha önce çift yarıktaki Young deneyi sonucundan başka bir şey değildir. Şimdi N yarık içeren girişim ızgarası deneyinde şiddet deseninin (Eşitlik-8.66 ile verilen) davranışına bakalım: i) δ = 0 ise üst üste gelen vektörler birbirlerine paralel olup birbiri ile toplanırlar: A = NA 0 Bu durumda A değeri mümkün en büyük bileşke vektör genliğini ifade etmekte olup aynı zamanda dsinθ = n λ 36

37 ifadesi ile tanımlı θ nın her değeri için mümkündür. Yani d aralıkları ile yan yana gelmiş N tane yarıktan oluşan bir düzenleme, aynen çift yarık örneğinde olduğu gibi aynı doğrultularda temel maksimumlara sahiptir. ii) δ= /N, 4π/N, 6π/N, ise vektör bileşenleri kapalı bir çokgen oluşturur ve A = 0 durumuna sahip olunur. Bu sonuç, Eşitlik-8.65 den açık bir şekilde anlaşılır. Çünkü Nδ sıfır olur. açısı, π nin tam katlarına eşit olduğu zaman pay (=sin Nδ ) iii) Bu sıfırlar arasında maksimum yer değiştirmelerin ara değerlerine karşılık gelen δ ve θ değerleri de vardır. Bu maksimumlara çok yarıklı girişim deneyinin ikincil maksimumları denir ve Eşitlik-8.66 dan de hesaplayarak göreceğimiz gibi bu ikincil maksimumların açısal konum ve bağıl genlik değerleri tam olarak bilinmemesine rağmen bunların genlikleri temel maksimumların genliklerinden daha küçüktür. Şekil-8.1 de N=, N=4, N=6 ve N=8 için Eşitlik-8.66 ile verilen I şiddetinin β ye karşı grafiği verilmiştir. Bu şekilde temel maksimumlar arasında ikincil maksimumlar da görülmektedir. Ardışık iki temel maksimum arasında N- adet ikincil maksimum değer olduğuna dikkat ediniz. Şekil-8.1 N=, N=4, N=6 ve N=8 için Eşitlik-8.66 ile verilen şiddetin β ya karşı çizilmiş grafiği. 37

38 Daha çok yarığın kullanılması temel maksimumu daha da keskinleştirir. Bu özellik, spektroskopide kırınım ızgarasını kullanışlı bir alet yapar. Çünkü kırınım ızgarası belli bir dalga boyundaki ışık için oldukça keskin bir açısal çözünürlük (resolution) ifade eder. 8.7 KIRINIM Günlük yaşantımızda sesin bir köşe etrafında büküldüğünü biliyoruz. Kapının arkasındaki bir kişinin bizi işitmesi gibi birçok gözleminiz olmuştur. Benzer şekilde noktasal bir kaynaktan çıkan ışık keskin bir köşeye gelip gölge oluşturulduğunda, gölgenin köşesi hiçbir zaman keskin olmaz. Gölgeli olduğunu düşündüğümüz bölgede bir miktar ışık vardır ve aydınlatılan bölgede ardışık aydınlık ve karanlık saçaklar gözlemleriz. Noktasal tek renkli bir ışık kaynağı ile aydınlatılan jilet bıçağının Şekil-8. deki fotoğrafı bu olaya güzel bir örnektir. Kırınım bazen ışığın köşelerden geçerken eğilmesi olarak anlatılır ve her türlü dalga olayı için geçerlidir. Şekil-8. Tek renkli bir ışık ile aydınlatılan bir jilet bıçağının fotoğrafında gözlenen kırınım olayı Girişim kırınım ayrımı Kırınım ile girişim arasında gerçekte bir ayırım yoktur. Tarihsel nedenlerle, sonlu sayıda, ayrı, eş fazlı kaynakların katkılarının üst üste gelimi ile oluşmuş genlik ya da şiddet örneğine genellikle bir girişim deseni denir. Sürekli, eş fazlı bir kaynaklar dağılımının katkılarının üst üste gelimi ile oluşmuş genlik ya da şiddet örneğine ise, genellikle kırınım deseni denir. Böylece iki dar yarığın oluşturduğu 38

39 girişim örneği ya da, bir geniş yarığın oluşturduğu kırınım örneği, ya da geniş iki yarığın oluşturduğu bileşik girişim ve kırınım örneği söz konusu olur. Her iki olay da üst üste binme ve Huygens ilkesi tarafından belirlenir. Kırınım olayını iki başlık altında incelemek mümkündür: i) Fresnel kırınımı: Yarığın perdeye yakın olduğu kırınım olayı Fresnel kırınımı olarak adlandırılır (Şekil-8.3a). ii) Fraunhofer kırınımı: Yarığın perdeye uzak olduğu kırınım olayı Fraunhofer kırınımı olarak adlandırılır (Şekil-8.3b). Bu durumda yarıktan çıkan ışınların birbirine paralel olduğu söylenebilir. Bu ders kapsamında Fraunhofer kırınımı koşulunu sağlayan kırınım olayları ele alınacaktır. Şekil-8.3 (a) Fresnel kırınımı; (b) Fraunhofer kırınımı Tek yarıkta kırınım Şekil-8.4 de genişliği D olan bir yarığa gelen dalganın kırınımı şematik olarak verilmiştir. Tek yarık içindeki tüm noktaların gelen dalga düzlemi tarafından aynı fazda sürüldüklerini kabul edeceğiz. Yarığın iki ucu arasından gözlem noktasına (P noktası) ulaşan dalgalar arasında r = r r 1 = Dsinθ (8.68) kadarlık bir yol farkı ve bu yol farkı nedeniyle Faz Farki = π λ Dsinθ (8.69) 39

40 kadarlık bir faz farkı oluşur. Burada D yarık genişliği, θ ise yarık merkezinden yarığa dik çizgi ile yarık merkezini perde üzerindeki P noktası ile birleştiren çizgi arasındaki açıdır. Şekil-8.4 Tek yarıkta kırınım. Bir düzlem dalganın D genişliğindeki yarık üzerine düşmesiyle oluşan kırınımı, Huygens ilkesi ile inceleyebiliriz. Yarık içerisinde N tane Huygens dalga kaynağı olduğunu düşünebiliriz. Bu durumda ardışık iki Huygens kaynağı arasındaki d uzaklığı için d = D N 1 (8.70) yazabiliriz. P noktası yarıktan yeterince uzak alındığında her bir Huygens dalgacığının P deki A(r) genlikleri eşit alınabilir. Ayrıca Huygens dalgacıklarının eşit fazda olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda P noktasında yer değiştirme, üst üste binme ilkesi kullanılarak, y = A(r) cos(kr 1 t) + A(r) cos(kr t) + + A(r) cos(kr N t) (8.71) şeklinde yazılabilir. Bu ifade yerine üstel kompleks fonksiyon kavramını kullanılarak y k = A(r)e i t (e ikr 1 + e ikr + + e ikr N) (8.7) yazabiliriz. Bu formda çalışmak cebirsel işlemler bakımından daha kullanışlı olmaktadır. Bu eşitlikteki y k niceliğinin gerçel kısmının Eşitlik-8.71 deki y ye karşı geldiğine dikkat ediniz. Burada r = r 1 + dsinθ, r 3 = r 1 + dsinθ,..., r N = r 1 + (N 1)dsinθ dir (Şekil-8.5). 40

41 Şekil-8.5 Bir kırınım ağının bir bölümü. Komşu yarıklar arası mesafe d dir. Eşitlik-8.7 deki, tüm terimlerde ortak olan, e ikr 1 ifadesini parantez dışına alarak y k = A(r)e i t e ikr 1(1 + e ik(r r 1 ) + e ik(r 3 r 1 ) + ) = A(r)e i t e ikr 1S (8.73) yazabiliriz. Burada S, parantez içindeki geometrik seriyi göstermektedir: S = 1 + e ik(r r 1 ) + e ik(r 3 r 1 ) + = 1 + e ikdsinθ + e ikdsinθ + + e ik(n 1)dsinθ (8.74a) S nin terimlerindeki kdsinθ niceliği d aralıklı kaynaklardan gelen dalgaların faz farkıdır ve bunu Δφ ile gösterirsek Δφ = kdsinθ = πdsinθ/λ yazabiliriz. Bu durumda N terimli S geometrik serisi S = 1 + e iδφ + e iδφ + + e i(n 1)Δφ (8.74b) olur. Bu geometrik serisinin toplamı için S = einδφ 1 e iδφ 1 yazabiliriz (Bölüm ders notlarına bakınız). Bu ifade yeniden (8.74c) S = ei(1 )NΔφ e i(1 [e i(1 )NΔφ e i(1 )NΔφ ] )Δφ [e i(1 )Δφ e i(1 )Δφ ] = e i(1 )(N 1)Δφ [ sin(1 )NΔφ ] (8.75) sin(1 )Δφ şeklinde yazılabilir. Bu durumda Eşitlik-8.73 y k = A(r)e i t e ikr 1S = A(r)e i t [e i(kr 1+ 1 (N 1)Δφ) ] sin(1 )NΔφ sin(1 )Δφ (8.76) 41

42 haline gelir. Burada y k = A(r)e i t e ikr sin[(1 )Nkdsinθ] sin[(1 )kdsinθ] (8.77) r = r (N 1)dsinθ = r Dsinθ (8.78) olup, yarığın orta noktasından perde üzerindeki P noktasına olan uzaklıktır (Şekil- 8.6). Eşitlik-8.77 in gerçel kısmını alarak, P noktasındaki yer değiştirme için y(r, θ, t) = A(r) sin[(1 )Nkdsinθ] sin[(1 )kdsinθ] cos(kr t) = A(r, θ) cos(kr t) (8.79) elde ederiz. Burada A(r, θ) genliği ifadesi ile tanımlıdır. A(r, θ) = A(r) sin[(1 )Nkdsinθ] sin[(1 )kdsinθ] N = için bu eşitlik y(r, θ, t) = A(r) sin[(1 )kdsinθ] sin[kdsinθ] cos(kr t) = A(r) sin[(1 )kdsinθ] sin [ 1 cos(kr t) kdsinθ] y(r, θ, t) = A(r) sin[1 kdsinθ]cos[1 kdsinθ] cos(kr t) = A(r)cos [ 1 kdsinθ] cos(kr t) sin[ 1 kdsinθ] y(r, θ, t) = A(r)cos [ 1 kdsinθ] cos(kr t) = [A(r)cos(1 Δφ)] cos(kr t) (8.80) şeklini alır. Bu bağıntının daha önce çift yarık Young deneyinde elde ettiğimiz sonuç ile aynı formda olduğuna dikkat ediniz Tek yarık kırınım deseni Şimdi D yi sabit tutalım ve N sonsuza gitsin. Bu durumda d aralığı sıfıra ve bu nedenle de ardışık yarıklardan gelen dalgalar arasındaki Δφ faz farkı sıfıra gider. Birinci ve N inci kaynakların P deki katkıları arasındaki toplam faz kaymasını ile gösterirsek = (N 1)Δφ yazabiliriz. N >> 1 olduğu için 4

43 = (N 1)Δφ NΔφ = Nπdsinθ λ = kndsinθ = kdsinθ yazabiliriz. Bu değer kullanılarak Eşitlik-8.79 daki A(r,θ) genliği için A(r, θ) = A(r) sin(1 )NΔφ sin(1 sin[(1 )Δφ A(r) sin )( N )] (8.81a) yazılabilir. N nin yeterince büyük olduğu sınırda paydayı seriye açar ve yalnız ilk terimle yetinebiliriz: Bu durumda sin [ 1 N ] 1 N A(r, θ) = A(r) sin 1 N NA(r) sin (8.81b) yazabiliriz. Eşitlik (8.81b) de θ sıfıra giderken sıfıra gideceği için Lim sin 0 1 olur. Bu durumda (8.81b) denkleminden A(r, 0) = NA(r) yazılabilir. Böylece P deki bileşke alan için y(r, θ, t) = A(r, 0) [ sin ] cos(kr t) (8.8) yazılabilir. Burada = kdsinθ olduğunu tekrar hatırlatalım. P noktasındaki bileşke dalganın şiddeti 1 [y T p(t)] dt 0 şiddetin açıya bağlılığı için (r=sabit) T I(r, θ) = I 0 [ sin ] sonucu elde edilir.burada I 0 = 1 [A(r, 0)] dir. integrali kullanılarak hesaplanır ve = (8.83) Tek yarıkta kırınım deseninin şiddeti Eşitlik-8.83 ü yeniden ele alarak yazabiliriz. I(r, θ) = I 0 [ sin ] = I 0 [sin(πdsin θ λ) /(πdsin θ λ)] (8.84) 43

44 Şekil-8.4 deki r r 1 = Dsinθ ile tanımlı yol farkının dalga boyunun tam katları olduğunu düşünelim yani, Dsinθ = m λ olsun. Bu durumda Eşitlik-8.84 deki sin(πdsin θ λ) ifadesinin değeri sin(πdsin θ λ) = sin(mπ ) = 0 olur. Sonuç olarak karanlık saçak oluşma şartı için sin θ = m λ/d m = ±1, ±, ±3,... (8.85) yazabiliriz. Burada sinθ = 0 durumunun aydınlık saçağa karşılık geldiğine dikkat ediniz. Bu durumda tüm yarıktan gelen dalga P noktasında aynı fazda gelir. Bu yüzden Eş-8.85 da m=0 koymak yanlış olur. Şiddetin θ açısının fonksiyonu olarak davranışı Şekil-8.6a da verilmiştir. Burada m değerleri minimum şiddetleri temsil eder. Şekil-8.6b de ise ince bir yarıktan geçen su dalgalarını göstermektedir. Su dalgaları, tıpkı tek yarıktan geçen ışık gibi davranır. Kırınıma uğrayan dalgalardan sadece merkeze yakın olanlar görülebiliyor; diğerleri görülmeyecek kadar zayıftır. Şekil-8.6 (a) Tek yarıklı kırınımda açı-şiddet grafiği. (b) İnce bir yarıktan geçen su dalgalarının kırınımı. Yarık genişledikçe (veya dalgaboyu küçüldükçe) merkezi tepenin genişliği daralır ve keskinleşir. Başka bir deyişle merkezi tepenin genişliği D/ λ oranıyla ters orantılıdır. Şekilde-8.7 de üç farklı D/λ değeri için θ açısına bağlı şiddet I grafiği verilmiştir. 44

45 Şekil-8.7 Farklı D/λ (=1/1, 1/5, 1/8) oranı için I şiddetinin θ açısına bağlı değişimi Belirli genişlikte iki yarık İki yarıklı desene, daha gerçekçi durum olarak yarıkların genişliği belirli olan durumda yeniden bakalım (Şekil-8.8). Şekil-8.8. (a) Genişliği a olan tek yarıklı kırınım deseni. (b) Aralarındaki uzaklık 4a olan iki çok dar yarıktan oluşan girişim deseni. (c) Aralarındaki uzaklık 4a, genişlikleri a olan girişim ve kırınım etkilerini içeren iki yarık için hesaplanan şiddet deseni. (d) (c) de hesaplanan desenin deneysel resmi. Şekil-8.8a, genişliği a olan tek bir yarığın oluşturduğu kırınım desenindeki şiddeti gösteriyor. Karanlık kırınım saçakları m d = ±1, ±,... tamsayıları ile işaretlenmiştir. 45

46 Şekil-8.8b, aralarında d uzaklığı olan iki çok dar yarığın oluşturduğu girişim desenini göstermektedir, d uzaklığı Şekil-8.9a daki yarık genişliğinin 4 katıdır (d = 4a). Aydınlık kırınım saçakları m i = ±1, ±,... tamsayıları ile işaretlenmiştir. Tek yarık durumunda iki karanlık saçak arası mesafenin, iki yarık durumundakinin dört katı olduğuna dikkat ediniz. Şekil-8.8c, genişlikleri a, aralarındaki mesafe d = 4a olan iki yarığın oluşturduğu deseni göstermektedir. Yarık genişliğinin belirli bir büyüklükte olmasının etkisi iki desenin üst üste binmesidir; yani her noktada iki şiddetin çarpımıdır. İki yarık tepeleri önceki durumla aynı konumdadır, fakat şiddetleri, bir zarf görevi yapan tek yarık deseni ile farklılaştırılmıştır. Şekil-8.8c de gösterilen şiddet için ifade, tek yarıkta kırınım (8.84) ve iki yarıkta girişim için elde edilen (8.56) ifadelerin çarpımı şeklindedir: I = I 0 cos (Φ/) Çift yarıkta girişim [sin(β/)/ (β/)] Tek yarıkta kırınım (8.87) Burada Φ = (π/λ)dsinθ ve β = (π/λ)asinθ dır. Şekil-8.8c de kenarlardaki her dört aydınlık saçaktan birinin yerinde olmadığına dikkat ediniz; çünkü bu noktalardaki aydınlık girişim saçakları (m i = ±4, ±8,... ) karanlık kırınım saçakları (m d = ±1, ±,..) ile aynı noktaya denk gelmektedir. Bu durum d = 4a için gerçek durumun resmini gösteren Şekil-8.9d de görülebilir. Şekil-8.8d deki desene girişim mi, kırınım mı demeliyiz? Aslında her ikisi de, çünkü desen iki açıklığın farklı yerlerinden gelen dalgaların üst üste binmesiyle oluşmuştur. Sonuç olarak girişim ve kırınım arasında temel bir ayırımın olmadığını söylemek mümkündür. Bu konular için Young ve Freedman, Sears ve Zemansky nin Üniversite Fiziği kitabına bakmanız önerilir. 46

47 ÖRNEK-1 Boyca kütle yoğunlukları μ 1 ve μ olan iki ip T gerilimi altında birer uçlarından birleştirilmişlerdir. Birleşme noktasına doğru ilerleyen bir dalgayı göz önüne alınız. μ μ 1 = 0; 0,5; 1; 4; durumları için, a) Yansıyan dalganın genliğinin, gelen dalganın genliğine oranını bulunuz. b) Geçen dalganın genliğinin, gelen dalganın genliğine oranını bulunuz. Çözüm: French-p8.1 Yansıma Katsayısı R 1 = B A = Z 1 Z Z 1 +Z Geçme Katsayısı T 1 = C A = Z 1 Z 1 +Z olduğunu biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız). Burada Z = μt karakteristik empadansdır. A gelen dalganın, B yansıyan dalganın ve C geçen dalganın genliğidir. İplerdeki T gerilimi aynı olduğu için ve R 1 = B A = Z 1 Z Z 1 + Z = μ 1 μ μ 1 + μ = 1 μ /μ μ /μ 1 T 1 = C A = Z 1 Z 1 + Z = μ 1 μ 1 + μ = yazılabilir. Burada verilen değerler kullanılırsa a) μ μ 1 = 0 için R 1 = B A = 1 μ /μ 1 1+ μ /μ 1 = 1 μ μ 1 = 0,5 için R 1 = B A = 1 μ /μ 1 1+ μ /μ 1 = 1 0,5 1+0,5 = 0,5 1,5 = 1 3 μ μ 1 = 1 için R 1 = B A = 1 μ /μ 1 1+ μ /μ 1 = = 0 μ μ 1 = 4 için R 1 = B A = 1 μ /μ 1 1+ μ /μ 1 = 1 1+ = 1 3 μ μ 1 = için R 1 = B A = lim μ /μ 1 1 μ /μ 1 1+ μ /μ 1 = μ /μ 1 47

48 b) μ = 0 için T μ 1 = C = = 1 A 1+ μ /μ 1 μ = 0,5 için T μ 1 = C = 1 A μ = 1 için T μ 1 = C = = = 1 1 A 1+ μ /μ 1 μ μ 1 = 4 için μ = = = 4 1+ μ /μ 1 1+0,5 1,5 3 T 1 = C A = 1 1+ = = için T μ 1 = C = lim 1 A sonuçları elde edilir. μ /μ 1 = 1+ μ /μ μ /μ 1 = 0 ÖRNEK- Boyca kütle yoğunlukları μ 1 ve μ olan iki ip birer uçlarından bağlıdır ve ipler T gerilimi ile gerilmiştir. Birleşme noktasına doğru ilerleyen bir dalgayı göz önüne alınız. Yansıyan dalganın enerji akısı ile geçen dalganın enerji akısı toplamının, gelen dalganın enerji akısına eşit olduğunu gösteriniz. Bir dalganın enerji akısı (= enerji yoğunluğu ile dalga hızının çarpımı) A genlik ve v dalga hızı olmak üzere A /v ile orantılıdır. (French-p8.) Çözüm: 7. bölümde bir dalganın enerji akısı için P = 1 μ A v (1) Bağıntısını türetmiştik (Eşitlik e bakınız). Gelen dalganın genliği A, yansıyan dalganın genliği B ve geçen dalganın genliği C olsun. Bu durumda sırasıyla P A, P B ve P C gelen, yansıyan ve geçen dalganın akısı olmak üzere P A = 1 μ 1 A v 1 P B = 1 μ 1 B v 1 P C = 1 μ C v (a) (b) (c) yazabiliriz. Burada v 1 birinci ip üzerinde ve v ikinci ip üzerinde dalga hızını göstermektedir. Yansıyan ve geçen dalga akılarının toplamı için P B + P C = 1 μ 1 B v μ C v = 1 [μ 1 B T/μ 1 + μ C T/μ ] 48

49 P B + P C = 1 [B Tμ 1 + C Tμ ] (3) Daha önce yansıma ve geçme katsayıları için R 1 = B A = Tμ 1 Tμ Tμ 1 + Tμ T 1 = C A = Tμ 1 Tμ 1 + Tμ (4a) (4b) bağıntılarını türetmiştik (Ders notlarına bakınız). Buradan B = ( Tμ 1 Tμ Tμ 1 + Tμ ) A (5a) C = ( Tμ 1 Tμ 1 + Tμ ) A (5b) Bu değer (3) eşitliğinde yerine yazılırsa P B + P C = 1 [( Tμ 1 Tμ Tμ 1 + Tμ ) A Tμ 1 + ( Tμ 1 Tμ 1 + Tμ ) A Tμ ] P B + P C = 1 A [( Tμ 1 Tμ Tμ 1 + Tμ ) Tμ 1 + ( Tμ 1 Tμ 1 + Tμ ) Tμ ] P B + P C = 1 A Tμ 1 ( Tμ 1 + Tμ ) [( Tμ 1 Tμ ) + 4 Tμ 1 Tμ ] P B + P C = 1 A Tμ 1 ( Tμ 1 + Tμ ) [Tμ 1 + Tμ + Tμ 1 Tμ ] P B + P C = 1 A Tμ 1 ( Tμ 1 + Tμ ) ( Tμ 1 + Tμ ) P B + P C = 1 A Tμ 1 = 1 A μ 1 T/μ 1 = 1 μ 1 A v 1 P B + P C = 1 μ 1 A v 1 (6) Bu değer Eşitlik-a ile verilen gelen dalga akısına eşittir yani P B + P C = P A (7) yazabiliriz. 49

50 ÖRNEK-3 Havada ilerleyen bir düzlem ses dalgası su yüzeyine dik olarak düşüyor. Sesin havadaki hızı yaklaşık 334 m/s ve sudaki hızı ise yaklaşık 1480 m/s dir. a) Suya giren dalganın genliğinin gelen dalganın genliğine oranı nedir? b) Suya giren dalganın enerji akısının gelen dalganın enerji akısına oranı Çözüm: nedir? Akışkanlarda yer değiştirme için dalga denkleminin = 1 (1) x v t bağıntısı ile verildiğini biliyoruz (6.bölüm ders notlarına bakınız). Burada v = B/ρ 0 dalganın yayılma hızı, B ortamın hacim modülü ve ρ 0 ise dalganın yayıldığı ortamın yoğunluğudur. Bu denklemin çözümü için (x, t) = Acos(kx ωt) () fonksiyonunun yazıldığını ve ses dalgasına basınç dalgası olarak da bakabileceğimizi biliyoruz. Basınç dalgası için dalga denklemi p = 1 p (3) x v t İle verilmektedir. Basınç ile yer değiştirme arasında ise p(x, t) = B (x,t) x bağıntısı vardır (ders notlarına bakınız). = BkAsin(kx t) (4) Ses dalgasının su yüzeyine şekildeki gibi dik geldiğini kabul edeceğiz. Bu durumda gelen, yansıyan ve geçen dalgayı, sırasıyla, i (x, t), r (x, t) ve t (x, t) ile gösterelim. Bu durumda 50

51 i (x, t) = A i cos (k 1 x ωt) r (x, t) = A r cos (k 1 x + ωt) t (x, t) = A t cos (k x ωt) yazabiliriz. Sınır koşulları: i) Ara yüzeyde yer değiştirmeler sürekli olmalıdır. ii) Ara yüzeyde basınç sürekli olmalıdır. Birinci koşuldan i (0, t) + r (x, t) = t (x, t) (5a) (5b) (5c) (6a) A i cos(ωt) + A r cos(ωt) = A t cos (ωt) (6b) veya A i + A r = A t (6c) elde ederiz. İkinci koşuldan p i (0, t) + p r (0, t) = p t (0, t) (7) yazabiliriz. Burada Eşitlik-4 kullanılarak B 1 k 1 A i sin( t) + B 1 k 1 A r sin( t) = B k A t sin( t) veya B 1 k 1 A i + B 1 k 1 A r = B k A t (8) yazabiliriz. Burada (6c) denkleminin her iki tarafını B 1 k 1 ile çarpalım ve elde edilen sonuçtan (8) eşitliğini taraf tarafa çıkaralım: B 1 k 1 A i + B 1 k 1 A r = B 1 k 1 A t B 1 k 1 A i + B 1 k 1 A r = B k A t - - Elde ederiz. Buradan B 1 k 1 A i = (B 1 k 1 + B k ) A t A t A i = B 1k 1 B 1 k 1 +B k (9) 51

52 yazabiliriz. v = ω k = B ρ k = ω ρ B Bk = ω Bρ yazılabilir. Bunu Eşitlik-9 da kullanarak A t = B 1k 1 ω B = 1 ρ 1 = B 1ρ 1 (10) A i B 1 k 1 +B k ω B 1 ρ 1 +ω B ρ B 1 ρ 1 + B ρ v = B ρ Bρ = v ρ Bρ = ρv = Z Burada Z akustik empedansdır. Bu değerler Eşitlik-10 da yerine yazılırsa Sonucu elde edilir. Verilen sayısal değerler kullanılarak A t A i = Z 1 Z 1 +Z = elde edilir. ρ hava v hava ρ hava v hava +ρ su v su = A t A i = Z 1 Z 1 + Z b) Gerilmiş ipteki dalganın enerji akısı için 1, , , P = 1 μ A v ifadesini elde etmiştik (Ders notlarına bakınız). Aynı ifadeyi ses dalgası için de kullanabiliriz. Ancak burada μ yerine ρ yazmak gerekir. Yani P = 1 ρ A v olmalıdır. Bu durumda gelen ses dalganın enerji akısının suya giren ses dalgasının enerji akısına oranı için 1 P t = ρ A t v = P i 1 ρ 1 A i v i ρ A t v ρ 1 A i v 1 = ρ v ρ 1 v 1 ( A t A i ) P t P i = ρ v ρ 1 v 1 ( A t A i ) ifadesini yazabiliriz. Verilen değerler ve a-şıkkında elde edilen sonuç kullanılarak 5

53 P t P i = ρ suv su ρ hava v hava ( A t A i ) ,3 334 (5, ) 1, Bu sonuçlar su yüzeyine dik gelen sesin çok az bir kısmının su içerisine gireceğini söyler. Başka bir deyişle gelen dalga esas olarak geri yansır. ÖRNEK-4 Çift yarık girişim deneyinde (Şekle bakınız) d = 0,150 mm, L = 10 cm, λ = 833 nm ve y =,00 cm olarak veriliyor. a) S 1 ve S kaynaklarından ekrandaki P noktasına giden ışınlar arasındaki δ yol farkını bulunuz. b) δ yol farkını λ dalga boyu cinsinden ifade ediniz. c) Bu koşullardaki P noktasının maksimumda mı, minimumda mı veya ara bir yerde mi olduğunu belirleyiniz. Çözüm: a) Yol farkı için δ = r r 1 = dsinθ İfadesinin verildiğini biliyorsunuz. L y durumunda θ açısı küçük olacağından sin θ tanθ = y L 53

54 alınabilir. Bu durumda yol farkı için değeri elde edilir. δ = d y L = (1,5, ) =, m 1,0 b) a-şıkkındaki değer kullanılarak δ, = 3,00 λ 8, elde edilir. Buradan δ = 3,00λ sonucu yazılır. c) b-şıkkının sonucuna göre yol farkı dalga boyunun tam katı (3,00) olduğundan verilen özelliklerdeki P noktasında yapıcı girişim, yani maksimum veya başka bir deyişle aydınlık saçak oluşur. ÖRNEK-5 Tek renkli faz uyumlu (koherent) bir ışık kaynağı şekildeki gibi birbirine paralel ve aralarındaki uzaklıklar d olan S 1, S ve S 3 yarıklarına geliyor (Şekile bakınız). Bu yarıklardan çıkan dalgaların genliklerinin eşit (E 0 ), aynı ω frekanslı ve ardışık faz farklarının φ = πdsinθ/λ ifadesi tanımlıdır. a) P noktasındaki şiddetin 54

55 I = I 0 9 [1 + cos (πdsinθ)] λ ifadesi ile verileceğini gösteriniz. Burada I 0 birincil maksimumların şiddettir. b) İkincil maksimumların şiddetinin birinci maksimumların şiddetine oranını bulunuz. Çözüm a) S 1, S ve S 3 yarıklarından P noktasına gelen dalgaları, sırasıyla, E 1 = E 0 cos (ωt), E = E 0 cos (ωt + φ) ve E 3 = E 0 cos (ωt + φ) şeklinde yazabiliriz. Buradan E 1 + E 3 = E 0 cos(ωt) + E 0 cos(ωt + φ) = E 0 [cos (φ)cos (ωt + φ)] yazılabilir. Buna E yi de eklersek E p = E 1 + E + E 3 = E 0 cos(ωt + φ) + E 0 [cos (φ)cos (ωt + φ)] = E 0 cos(ωt + φ) [1 + cos (φ)] yazabiliriz. P noktasındaki şiddet E p nin karesinin bir periyot zaman dilimindeki ortalaması olarak alındığını biliyorsunuz yani I = 1 T T E P 0 dt = 1 T T [E 0 cos(ωt + φ) [1 + cos(φ)]] 0 I = E 0 [1 + os (φ)] 1 T T cos (ωt + φ) dt = 1 E 0 0 [1 + cos (φ)] elde edilir. Şiddetin maksimum değeri ( I 0 ), cos(φ) = 1 olduğuna olur. Bu durumda I 0 = 1 E 0 [1 + ] = 9 E 0 yazılır. dt Buradan veya 1 I = E 0 [1 + cos (φ)] [1 + cos (φ)] = I 0 9 E

56 sonucu elde edilir. b) I = I 0 9 [1 + cos (φ)] = I 0 9 fonksiyonunda cos(φ) = 1 I = I 0 [1 + cos(φ)] 9 [1 + cos (πdsinθ)] λ olduğu yerlerde I şiddetinin sıfır olacağı açıktır. cos(φ) = +1 olan yerlerde ise şiddetin değeri birincil maksimum değerini alır (I=I 0 ). cos(φ) = 1 olan yerlerde ise I şiddetinin değeri I = I 0 9 olacaktır. Sonuç olarak ikincil maksimumların genliğinin maksimumların genliğine oranı için yazabiliriz. I I 0 = 1 9 I = I 0 9 [1 + cos (φ)] = I 0 9 [1 + cos (πdsinθ)] λ ve birincil fonksiyonunda I nın dsinθ ye bağlı değişim grafiği aşağıdaki şekilde verilmiştir. λ Burada yarık sayısı N=3 olduğundan birincil maksimumlar arasında N-=1 tane ikincil maksimum olduğuna dikkat ediniz (Ders notların girişim ızgarası ara başlığına bakınız). 56

57 ÖRNEK-6 Çift yarık girişim deneyinde S kaynağı S 1 yarığına S yarığından yarım dalga boyu daha yakındır. Maksimum ve minimumların yerlerini belirleyiniz. θ = 0 noktası maksimum mu yoksa minimum mudur? Çözüm: Ders notlarında çift yarık deneyi anlatılmıştır. Burada verilen problemdeki fark, S kaynağının S 1 ve S yarıklarına eşit uzaklıkta olmayışıdır yani S kaynağının S 1 yarığına S yarığından yarım dalga boyu (λ/) kadar daha yakındır. Bu durumda P noktasına gelen dalgaların yol farklarına λ/ ilave etmek gerekir: Δr = 1 λ + dsinθ P noktasında maksimum olabilmesi için bu yol farkının dalga boyunun tam katlarına eşit olması gerekir: Buradan 1 λ + dsinθ max = mλ dsinθ max = (m 1 ) λ, m = 0, 1,, 3, yazılır. 57