BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI:

Transkript

1 FOURIER SERİERİ GİRİŞ Elastisite probleminin çözümünde en büyü zorlu sınır şartlarının sağlatılmasındadır. Bu zorluğu gidermenin yollarından biride sınır yülerini Fourier serilerine açmatır. Fourier serilerinin her bir terimine arşı gelen çözüm bulunur ve bu çözümler toplanara asıl çözüm elde edilir. Bu yöntemin iyi ve ötü yönleri yöntem açılandıtan sonra belirtilecetir. BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇIIMI: Bir f() fonsiyonu periyodi ise fonsiyonu T periyodu aşağıda verilen eşitliği sağlayan en üçü pozitif sayıdır. f( ) f( T) ( ) (10.1) Fourier analizinin esas teoremine göre; periyodi bir f() fonsiyonu periyot içinde sonlu sayıda notalar dışında te değerli olara tanımlı, sonlu sayıda estremuma haiz, endisi ve birinci türevi parça parça süreli ise, 1 f( ) a0 acos( ) bsin( ) ( ) (10.) T 1 şelinde tanımlanan seri, düzgün olara f() fonsiyonuna yaınsar. f() fonsiyonun bu şeildei açılımına Fourier açılımı; a ve b atsayılarına Fourier atsayıları; seriye ise Fourier serisi adı verilir. Fourier serisi süresizli notalarında fonsiyonun sağ ve sol değerlerinin ortalamasına yaınsar. Yuarıda verilen yaınsama şartlarına Dirichlet şartları adı verilir. Bu şartlar yeterlili şartlarıdır. Yuarıda (10.) bağıntısında verilen a ve b atsayıları aşağıda verilen şeilde hesaplanır.

2 Elastisite T a f( )cos( ) d T 0 T b f( )sin( ) d T (10.3) (10.) eşitliği ile verilen seri bir n değerinde esildiğinde elde edilen bağıntıya n inci dereceden trigonometri ço terimli adı verilir. Bu bağıntı aşağıda verilmiştir. n 1 P ( ) a [ a cos( ) b sin( )] (10.4) n 0 1 Fourier açılımı yapılaca fonsiyon, periyot içinde simetri ise b atsayıları sıfır olacağından açılımda sinüslü terimler bulunmaz. a atsayıları ise (10.3) ile verilen ifadeler, periyodun yarısına adar integre edilip ii atı alınara bulunabilir. Fourier açılımı yapılaca fonsiyon, periyot içinde antisimetri ise a atsayıları sıfır olacağından açılımda osinüslü terimler bulunmaz. b atsayıları ise (10.10) ile verilen ifadeler periyot yarısına adar integre edilip ii atı alınara bulunabilir. Fourier serilerinin uygulamada ullanışlı olması için serinin yavaş yaınsamaması gereir. Fourier serileri, süresizli notalarında, fonsiyonun sağ ve sol değerlerinin ortalamasına yaınsar ve yaınsama sırasında aşırı salınımlar yapar. Bu olaya Gibbs olayı adı verilir. Bu salınımları önleme için fazla terim alma veya salınımları bastıran özel yöntemler uygulama gereir. Fonsiyonda süresizli var ise Fourier serisi 1/ şelinde yaınsar. Fonsiyonun birinci türevinde süresizli var ise Fourier serisi 1/ şelinde yaınsar. Genel olara fonsiyonun m inci türevinde süresizli var ise fonsiyon 1/ m+1 şelinde yaınsar. Görüldüğü gibi süresizliler Fourier serilerinin yaınsama hızına eti etmetedir. Ayrıca verilen fonsiyon aralı dışına genişletildiğinde fonsiyonun süresizli yapmayaca şeilde genişletilmesi halinde daha hızlı yalaşım sağlanabilir. Süresizliği aldırma için fonsiyonun ardışı ii süresizli notalarını birleştiren y=a+b doğrusu f() fonsiyonundan çıartılara süresizli aldırılabilir. Daha genel olara basit fonsiyonlar, örneğin ço terimliler, f() fonsiyonundan çıartılara fonsiyonun çeşitli türevlerindei süresizliler aldırılabilir.

3 Fourier Serileri 3 FOURIER SERİERİ İE ÇÖZÜM Fourier serileri ile çözüm yönteminde serinin her terimine arşı gelen çözümler yapılaca sonunda bu çözümler toplanacatır. Burada yapılaca çözümlerde uzunluğu yüseliği h olan didörtgen bölgeler göz önüne alma alınacatır. Bu bölge için dört tip yüleme incelenecetir. Birinci Yüleme: Bu yüleme tipinde şeilde görüldüğü gibi y=+h enarında p ( ) bsin bsin ( ) olara verilsin. Şeilde =1 hali görülmetedir. Burada fazla indis ullanmama için ya bağlı α değeri sadece α olara gösterilmiştir. Sınır şartları: y=+h σ y =-b n sinα τ =0 y=-h σ y =0 τ =0 =± σ =0 dır. =± de dengeyi temin için R ayma uvvetleri bulunacatır. Problemin çözümü için Airy gerilme fonsiyonu olara F(,y)=f(y) sinα fonsiyonun deneyelim. Bu fonsiyon birharmoni denlemde yerine onulduğunda aşağıda verilen diferansiyel denlem ve çözümü bulunur. ıv 4 f ( y) f( y) f( y) 0 f ( y) C ch yc shyc ychyc yshy 1 3 4

4 4 Elastisite Gerilme fonsiyonu ve bundan elde edilen gerilmeler F(, y) sin ( C chyc shyc ychy C ysh y) sin C [ 1 chyc shy C3(shyych y) C4(chyysh y)] sin [ C1chyCshyC3ychy C4ysh y) cos C [ 1sh ycchy C3(chyysh y) C4(shyych y)] dir. Yuarıda verilen gerilmeler y=+h da σ y =-b n sin α ve τ =0; y=-h da σ y =τ =0 sınır şartlarında ullanılara C 1, C, C 3 ve C 4 değerleri aşağıda verilen şeilde elde edilir. shhhchh chhhshh C1 b C b (shh h) (shh h) chh shh C3 b C1 b (shh h) (shh h) Bulunan bu değerler Airy gerilme fonsiyonunda yerlerine yazıldıtan sonra Airy gerilme fonsiyonun türevleri alınara gerilmeler ifadeleri 1 1 bsin [ ( y) b sin [ ( y) y 3 3 b cos [ ( y) şelinde bulunur. Yuarıda verilen φ(y) ve ψ(y) fonsiyonları aşağıda verilmiştir. Denlemlerde değerine bağlılı α=π/ den gelmetedir. Fazla indis ullanmama için α yerine sadece α yazılmıştır. 1 ( hchhsh h)chyyshyshh ( y) sh h h ( hchhsh h)chyyshyshh ( y) sh h h 3 hshhchyyshychh ( y) sh h h

5 Fourier Serileri 5 1 ( hshhch h)shyychychh ( y) sh h h ( hshhch h)shyychychh ( y) sh h h 3 hchhshyychyshh ( y) sh h h Yuarıda verilen φ(y) fonsiyonları çift, ψ(y) fonsiyonları ise te fonsiyonlarıdır; yani φ(y)= φ(-y) ve -ψ(y)=ψ(-y) dir. Ayrıca y=±h olduğunda φ(y) ve ψ(y) fonsiyonları aşağıda verilen değerleri alır. 1 1 ( h) ( h) ( h) 0 ( h) Uç notalarda; =± değerinde sinα sıfır edeceğinden σ (y,=±)=0 olara sınır şartı sağlanır. R esme uvvetlerinin hesabı ise h h 3 3 R dy b cos [ ( y) dy h h integrali ile hesaplanacatır. ψ(y) te fonsiyon olduğundan integrali sıfırdır. İntegralin geri ısmı aşağıda verilmiştir. h 3 1 b R b cos ( y) dy bcos cos h =1 için R=b /π dir İinci Yüleme: Bu yüleme tipinde şeilde görüldüğü gibi y=-h enarında * * * p ( ) bsin bsin ( ) olara verilsin. Şeilde =1 hali görülmetedir. Sınır şartları: y=h σ y =0 τ =0 y=-h * y bsin τ =0 =± σ =0

6 6 Elastisite dır. =± de dengeyi temin için R ayma uvvetleri bulunacatır. Bu hale ait bağıntılar daha öncei hale ait bağıntılar yardımı ile elde edilebilir. Bağıntılar şeilde görülen y eseni göre çıartıldığında aynısı elde edilir sonra y y dönüşümü yapılıp φ(y)= φ(-y) ve -ψ(y)=ψ(-y) olduğu ve olduğu göz önüne alınara aşağıdai sonuçlar bulunur. b sin [ ( y) * 1 1 b sin [ ( y) * y b cos [ ( y) * 3 3 Üçüncü Yüleme: Bu yüleme tipinde şeilde görüldüğü gibi y=+h enarında p ( ) acos acos ( ) olara verilsin. Şeilde =1 hali görülmetedir. Sınır şartları:

7 Fourier Serileri 7 y=h σ y =-p()=-a cosα τ =0 y=-h σ y =0 τ =0 dır. Gerilme fonsiyonunu daha öncei gerilme fonsiyonuna benzer olara F(, y) f( y)cos şelinde seçildiğinde gerilme ifadeleri daha önceilere benzemete olup aşağıda verilen şeildedir. 1 1 acos [ ( y) y acos [ ( y) 3 3 asin [ ( y) =± sınırındai şartlara gelince sin α sıfır olduğundan τ =0 şartı sağlanır. σ =0 şartı sağlanmaz. Onun yerine aşağıdai sonuç bulunur (integral alınıren ψ(y) fonsiyonunu te fonsiyon olduğu göz önüne alınmıştır). h h h h h 1 1 cos [ ( ) ( )] h h 1 dy acos ( y) dy 0 h dy a y y dy Yuarıda bulunan sonuç σ gerilmelerin bir uvvet çiftine eşdeğer olduğunu gösterir. Kuvvet çiftinin değeri aşağıda hesaplanmıştır. h h 1 1 cos [ ( ) ( )] h h M ydy a y y y dy a n M cos Bu momente ait gerilmeler ters olara yüleme gereir. Bu gerilmeler ise d M 3a y d d y cos 0 3 y I h dir. Sınır şartları tam sağlanmadığı için bu bir yalaşı çözümdür. Saint Venant prensibine göre ince uzun levhalar için geçerlidir.

8 8 Elastisite Dördüncü Yüleme: Bu yüleme tipinde levhanın y=-h enarında * * * p ( ) acos acos ( ) şelinde bir yü bulunmatadır. Bu yülemeye ait gerilmeler oordinat dönüşümleri ile a cos [ ( y) * 1 1 a cos [ ( y) * y a sin [ ( y) * 3 3 olara bulunur. =± sınırındai σ =0 şartı sağlanmaz. Daha önceden de olduğu gibi momentten * d M 3a y d d y cos 0 3 y I h doğan gerilmeler sisteme yülenir. Beşinci yüleme: Fourier açılımındai sabit terimden dolayı yüleme. Bu yüleme şeilde görülmetedir. Bu yülemeden doğan gerilmeler aşağıda verilmiştir. 0 1 * ( a0 a0) ( y y h y) 3 h * * 1 y ( a0 a0) ( y h y) ( a 3 0 a0) 4h * 3 ( a0 a0) ( h y ) 3 4h

9 Fourier Serileri 9 Genel hal: Şeilde görüldüğü gibi bir levhaya genel yüleme yapılsın. Bu durumda p() ve p*() yüleri peryodlu Fourier serilerine açıldığında aşağıda verilen bağıntılar elde edilir. 1 p( ) a0 [ acos( ) bsin( )] 1 1 p ( ) a [ a cos( ) b sin( )] * * * * 0 1 Yuarıda verilen yülerin sisteme yülenmesiyle elde edilen gerilmeler daha önce incelenen beş halin toplamı olacatır. Toplam yapıldığında bulunan sonuçlar [( a a ) ( y) ( a a ) cos( ) 0 * 1 * 1 * 1 * 1 [( b b) ( y) ( b b) sin( ) [( a a ) ( y) ( a a ) cos( ) 0 * * y y * * 1 [( b b) ( y) ( b b) sin( ) [( a a ) ( y) ( a a ) sin( ) 0 * 3 * 3 * 3 * 3 [( b b) ( y) ( b b) sin( )

10 10 Elastisite dir. Ayrıca uçlara d 3 y 1 * 3 ( )cos d d a a y 0 h 1 gerilmelerini yüleme gereir.