Ayrık Zaman Genetik-LQR Kontrolör Kullanılarak Kaotik Bir Osilatörün Çıkış İşaretinin Optimal Kontrolü

Transkript

1 t International Conference on Engeneering Technology and Applied Science Afyon Kocatepe Univerity, Turkey 2-22 April 26 Ayrık Zaman Genetik-LQR Kontrolör Kullanılarak Kaotik Bir Oilatörün Çıkış İşaretinin Optimal Kontrolü Aydın Mühürcü,* -Ercan Köe 2 ÖZET: Bu çalışmada, doğrual olmayan denklemlere ahip bir kaotik oilatörün durum değişkenlerinin referan tabanlı optimal kontrolü ele alınmıştır. Optimizayon yöntemi olarak ayrık zaman LQR eçilmiştir. Değişkenleri kontrol edilecek kaotik oilatör olarak Lorenz kullanılmıştır. Bu çalışmada, LQR optimizayon heabında yer alan Ricatti denklemine ait Q ve R parametrelerinin optimizayonu Genetik algoritma ile heaplanmaı önerilmiştir. Genetik algoritmanın kullanılmaı ile kontrol ürecinde doğruallaştırma noktaı gözetmeden giriş referan değeri aralığı için optimum kontrolör parametreleri belirlenebilmiştir. Çalışma, Matlab-Simulink'de eşzamanlı imülayon ortamında gerçekleştirilmiştir. Kapalı çevrim LQR kontrol itemi uygun bir örnekleme peryodu kullanılarak ayrıklaştırılmış ve yazılım kodlarına dönüştürülerek Matlab-OptimTool GUI üzerinden Genetik-Optimizayonu ağlanmıştır. Kontrol imülayon onuçları önermiş olduğumuz yöntemin, doğrual olmayan kaotik itemlerin değişken refanlı LQR tabanlı optimal kontrolü için uygun olduğunu götermiştir. Anahtar Kelimeler: Lorenz, Kaotik Sitem,Non-lineer, Dinamik Davranış, Genetik,Optimizayon, LQR, Kontrol, Ayrık Zaman GİRİŞ Optimizayon, itemlerin en verimli noktalarda çalışmaını ağlamaktadır. Bundan dolayı, on yıllarda optimizayon yöntemlerinin kullanılmaı bir çok diiplin için kaçınılmaz hale gelmiştir. Bilim inanları ve araştırmacılar, bir yandan yeni optimizayon yöntemleri geliştirirken, diğer bir yandan da bu yöntemleri bir çok alana uygulamışlardır. Bu uygulama alanlarının en önemlilerinden araında, kontrol uygulamaları göterilebilir. Söz konuu bu uygulama alanında optimizayon yöntemleri kullanılarak, kontrolörün optimum noktalarda çalışmaı ağlanmaktadır. Son yılarda geliştirilen ve bir çok alana uygulanan en önemli ezgiel optimizayon algoritmaları, yapay arı kolonii algoritmaı [], ateş böceği algoritmaı [2], yaraa algoritmaı [3], virü optimizayon algoritmaı [4], genetik algoritma [5], guguk kuşu algoritmaı [6], diferaniyel evrim ve parçacık ürüü optimizayonu [7], olarak ıralanabilir. Yukarıda bahedilen optimizayon algoritmalarının kullanıldığı kontrol uygulamalarının bazıları şunlardır. Dokuz baralı bir elektrik güç iteminde ki gerilim kontrolü için kayan kipli kontrol itemin katayıları genetik algoritma ile optimal olarak heaplanmıştır [5]. Kumar ve arkadaşları, güç iteminin otomatik üretim kontrolü için öğretmeöğrenme temelli optimizayon algoritmaı geliştirmişlerdir [8]. Wang ve arkadaşları, tatik şekil denetimi ve dağıtılmış piezoelektrik aktüatör ile akıllı reflektör optimal taarımı için bir onlu eleman formülayonu unmuşlardır [9]. Jia ve Yang giriş yoğunluğuna bağlı katı uzay araçları için hareket izleme kontrol orunu genetik algoritma temelli çalışmayı gerçekleştirmişlerdir []. Michielen ve arkadaşları, e radyayon azaltılmaı için birden fazla ayarlanmış rezonatörlerin LQR tabanlı optimizayon yöntemi geliştirmişlerdir []. Bu yöntemlerden birii olan LQR algoritmaı uygun bir durum geri belemeli denetleyici bulmak için otomatik bir yol ağlar. LQR yöntemi birçok alana uygulanmıştır. Duru, LQR yöntemini ulama kanallarının regülâyonu için kullanmıştır [2]. Bir başka çalışmada, Alan ve arkadaşları LQR yöntemini Doğru Akım Motorunun hız kontrolü için uygulanmıştır [3]. Önemli bir diğer çalışmada, Chen ve arkadaşları ter arkaç iteminde yükeklik kararlılığı için kullanmıştır [4]. Farklı bir çalışma da ie, Abbneh LQR yöntemini kao enkronizayon yöntemine uygulamıştır [5]. Bu çalışmada ie, Lorenz kaotik iteminin durum değişkenlerinin optimal kontrolü için ayrık zamanlı LQR yöntemi geliştirilmiştir. LQR yönteminin katayılarının optimizayonu, genetik algoritma kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Genetik algoritmaların, temel ilkeleri ilk kez Holland tarafından 975 yılında ortaya atılmış olmaına rağmen günümüzde hala yaygın olarak birçok mühendilik uygulamaında kullanılmaktadır. Genetik algoritma, çözüm için birçok yol önerir. Bu çözüm yöntemleri topluluğu popülayon olarak değerlendirilir. Bu popülayonu oluşturan vektörler, kromozomlar ve bireyler öncelikle ayıal olarak ifade edilir [6]. 2 LORENZ KAOTİK SİSTEM MODELİ Lorenz kaotik iteme ait matematikel ifadeler Eşitlik-'de verilmiştir []. Burada x, y ve z denklemin durum değişkenleri; a, b ve c denklemin abit parametreleridir. dx a( y x) dy cx xz y () dz xy b z

2 Eşitlik-'de verilmiş olan Lorenz kaotik eşitliklerine kontrol işareti (Ux, Uy ve Uz) ilave edilmiş Laplace uzayı dönüşümü Eşitlik 2'de verilmiştir. X ( ) ay ( ) ax ( ) U x ( ) Y ( ) cx ( ) X ( ) Z( ) Y( ) U ( ) (2) y Z( ) X ( ) Y( ) bz( ) U ( ) z Çalışma çerçeveinde, doğrual olmayan Lorenz durumları, referan tabanlı birbirinden bağımız 3 durum uzay kontrolörü tarafından kontrol edilmiştir. Kontrol ürecinde, aynı anda adet durumun kontrolü gerçekleştirilmiştir. Lorenz oilatörüne ait yapı ve bu yapının içine uyarlanmış kontrolörün blok diyagramı Şekil 'de verilmiştir. çevrim kontrol itemi yazılım ortamına aktarılmıştır, Şekil 2. Şekil. 2. Kapalı çevrim kontrol itemine ait yazılım Burada T,.5 eçilmiş olup örnekleme periyodunu temil eder [7]. z ( ) (3) T z 3 LQR TABANLI KONTROL Şekil.. MATLAB/SIMULINK ortamında Lorenz kaotik oilatörü ve entegre edilmiş durum uzay kontrolörleri Şekil. 3. Kontrolör katayıları ve zamanlama anahtarı Şekil-'de yanıtılan durum değişkenleri geri beleme yöntemine dayalı kontrol yöntemi Şekil 2'de ayrıntılı bir biçimde verilmiştir. Kontrol bloğu içeriinde kullanılmış olan anahtarın görevi itenilen zaman aralığı için kontrol işaretini etkin hale getirmektir. Şekil 'de verilmiş olan kapalı çevrim kontrol iteminin kontrol parametreleri LQR (Linear Quadrati Regulator) tarafından en uygun değer atamaı gerçekleştirmiştir. Regülatöre ait Q ve R matrilerine ait parametre değerleri GA (Genetik Algoritma) tarafından en uygun biçimde eçilmiştir. GA'nın işletilebilmei için kapalı çevrim kontrol item yazılım ortamına aktarılmıştır. Bunun için öncelikle kontrol blok diyagramı ayrıklaştırılmıştır. Eşitlik-3'de verilmiş olan operatör ile (ileri fark yöntemi) öz konuu ayrıklaştırma işlemi gerçekleştirilip, doğrudan programlama [7] tekniklerinde faydalanılarak kapalı LQR, Eşitlik 4'de verilmiş olan amaç fonkiyonunu minimize ederek en uygun durum geri beleme katayılarını bulan bir algoritmadır. T T J x * Q * x u * R * u (4) LQR, bu amaç fonkiyonunu minimize edebilmei için Riccati denkleminden faydalanmaktadır, Eşitlik 5. A T * P P * A - P * B * R - * B T * P Q (5) Riccati denklemi üzerinden P matrii heaplanarak durum geri beleme katayı heabına geçilir, Eşitlik 6. K R * B T * P (6) Riccati denkleminde kullanılan A ve B doğrual item matrileri; Q ve R ie P matriinin en uygun parametre değerlerine ahip olabilmei için raal bir biçimde değer atanan Riccati matrileridir. 4 GENETİK ALGORİTMA TANIMLAMALARI Evrimel programlamanın bir parçaı olarak düşünülen genetik algoritmanın, günümüzdeki biçimi Holland tarafında 975 yılında doğal eçilim ilkeinden yararlanılarak geliştirilmiştir. Günümüzde hala yaygın olarak birçok mühendilik uygulamaında başarılı bir şekilde kullanılan bir arama yöntemidir. Standart bir genetik algoritma yordamı aşağıdaki gibi verilebilir. Olaı çözümlerin kodlandığı bir çözüm grubu oluşturulur. Bu grup popülayon olarak değerlendirilir. Çözümlerin kodları da kromozom olarak ifade edilir. Genellikle -3 bireyden oluşan bir toplum önerilir. Birey ayıı belirlendikten onra kromozomların probleme bağlı olarak kodlanmaı gerekir. Bu kodlama yöntemlerinden bazıları, ikili kodlama, permutayon kodlama, değer kodlama ve ağaç kodlama olarak ıralanabilir. Daha onra, bu kromozomlar yeni neilleri üreterek değişikliğe uğrarlar. Amaç

3 fonkiyonuna dayalı heap onraı kromozomların durumu değerlendirilir. Amaç fonkiyonu değerleri iyi olan kromozomlar kalırken diğerleri elenir. Bir onraki neil oluşturulurken kromozomlar, yeniden üretilebilir, çaprazlanabilir ve mutayona uğratılabilir. Her tekrarlama iterayon olarak adlandırılır. Sonuçta, en iyi bireylerin bulunduğu bir toplum elde edilmiş olur [6]. Bizim çalışmamızdaki bu işlemler Şekil 3'de göterilmiş olan genetik algoritma akış diyagramı kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Bu çalışmada, GA optimizayonunda kullanılacak amaç fonkiyonu olarak integrallenmiş karael hata (ISE) fonkiyonu eçilmiştir, Eşitlik-4. n 2 Iie k e k k (4) Şekil 3'de verilmiş olan akış diyagramı Matlab/Optimtool GUI içeriinde koşturulmuştur. dx x f x f x t f x * x t x x x uu T.5n T AT At xkt T e xkt e * B* Ad Bd Şekil. 3. Q ve R parametrelerinin optimizayonu için GA akış diyagramı 5 OPTİMİZASYON SONUÇLARI GA parametre düzenlenmei Tablo 'de verilmiştir. Tablo. Genetik algoritma parametreleri Populayon büyüklüğü 5 Fitne Scaling Rank Sınır [;] Başlangıç aralığı [;] Seçim fonkiyonu Rulet Mutayon fonkiyonu Gauian Shrink:. Genetik değişim Bağımlı kııtlama Max iterayon Fitne limit e-5 Şekil 3'de verilmiş olan GA akış diyagramı kullanılarak Q ve R matrilerine ait en uygun parametre değerleri heaplanmıştır. Bu parametreler ınırları belirlenmiş olan geniş aralıklı çalışma noktaı için en uygun ortalama değerlerdir. Şekil 4 ve Şekil 5'de Q parametreinin Ux çıkışlı kontrolör için değişim üreci yanıtılmıştır. x raal[;] Q Q Q Q K LQR( A, B, Q, R) d d Şekil 4. Ux çıkışlı kontrolör için uygunluk fonkiyon değişimi Şekil 5. Ux çıkışlı kontrolör için Q parametre değişimi GA optimizayon onucunda elde edilen en uygun Q ve R parametre değerleri LQR algoritmaı kullanılarak, kontrolör parametreleri heaplandı. Optimizayon onucunda elde edilen Q, R, Kx, Ky ve Kz parametre değerleri Tablo 2'de yanıtılmıştır. Tablo 2. En uygun parametre değerleri. Kontrölür Q R Kx Ky Kz Tipi Ux 9e3 8.4e Uy Uz

4 6 BENZETİM SONUÇLARI Benzetim ortamı kontrol onuçları Şekil 6, 7, ve 8'de yanıtılmıştır. Şekil 6'da X-durumu için kontrol üreci yanıtılmıştır. Ayrıca Şekil 6'da XY-durumu için 2D faz portrei de yanıtılmıştır. Kontrol ürecinde amaçlanan referan değeri 4 olup kontrol 25. aniyeden onra başlatılmıştır. X-durumu, kontrol başlangıcından 2 aniye onra %'lik referan tabanlı hata aralığına ulaşmıştır. Y-durumu için Şekil 7; Z-durumu için Şekil 8'de kontrol başarıı yanıtılmıştır. (b) XZ-durumu faz portrei Şekil 7. Ref_y=5 ve kontrol başlangıcı 25.n a) Z-durum değişkeni (a) X-durum değişkeni b) YZ-durumu faz portrei Şekil 8. Ref_z=6 ve kontrol başlangıcı 25.n (b) Y-durum değişkeni (c) Z-durum değişkeni 7 SONUÇLAR Bu çalışmada doğrual olmayan denklemlere ahip Lorenz kaotik iteme ait çıkış değişkenleri, modern kontol algoritmalarından olan durum geri belemeli kontrol yöntemi kullanılarak değişken referanlı optimum kontrol başarılmıştır. Durum geri beleme katayıların heaplanmaı için LQR optimizayon yönteminden faydalanılmıştır. LQR algoritmaında, raal olarak atanan Q ve R matri parametreleri GA kullanılarak optimum heaplanmıştır. Böylece, doğrual olmayan item çıkışları değişken giriş referanı için minimum ürede minimum toplam kareel hata ile referan değeri izleyebilmiştir. REFERENCES (d) XY-durumu faz portrei Şekil 6. Ref_x=4 ve kontrol başlangıcı 25.n (a) Y-durum değişkeni [] Gholipour, Reza., Khoravi, Alireza., Mojallali, Hamed., (25). Multi-objective optimal back tepping controller deign for chao control in a rod-type plama torch ytem uing bee algorithm. Applied Mathematical Modeling, vol. 39 (5), p [2] Sekhar, G. T. Chandra., Sahu, Rabindra Kumar., Baliaringh, A. K., et al., (26). Load frequency control of power ytem under deregulated environment uing optimal firefly algorithm. International Journal of Electrical Power & Energy Sytem, vol. 74, p.95-2.

5 [3] Veyi, Mohammad., Soltanpour, Mohammad Reza., Khooban, Mohammad Haan., (25). A novel elf-adaptive modified bat fuzzy liding mode control of robot manipulator in preence of uncertaintie in tak pace. Robotica, vol. 33 (), p [4] Yun-Chia, Liang., Joue Rodolfo Cueva, Juarez., (26). A novel metaheuritic for continuou optimization problem: Viru optimization algorithm. Engineering Optimization, vol. 48 (), p [5] Ercan, Köe., Kadir, Abaci., Hakan, Kizmaz., Saadettin, Akoy., Mehmet Ali, Yalçın., (23). Sliding mode control baed on genetic algorithm for WSCC ytem include of SVC. Elektronika ir Elektrotechnika, vol. 9 (4), p [6] Sekhar, Pudi., Mohanty, Sanjeeb., (26). An enhanced cuckoo earch algorithm baed contingency contrained economic load dipatch for ecurity enhancement. International Journal of Electrical Power & Energy Sytem, vol. 75, p [7] Moharam, Amal., El-Hoeini, Motafa A., Ali, Heham A., (26). Deign of optimal PID controller uing hybrid differential evolution and particle warm optimization with an aging leader and challenger. Applied Soft Computing, vol. 38, p [8] Sahu, Rabindra Kumar., Panda, Sidhartha., (26). Teaching learning baed optimization algorithm for automatic generation control of power ytem uing 2-DOF PID controller. International Journal of Electrical Power & Energy Sytem, vol. 77, p [9] Wang, Zhi; Cao, Yuyan; Zhao, Yongzhi; et al. (26). Modeling and optimal deign for tatic hape control of mart reflector uing imulated annealingalgorithm. Journal of Intelligent Material Sytem and Structure, vol. 27 (5), p [] Jia, Yanlong., Yang, Xuebo., (26). Optimization of control parameter baed on genetic algorithm for pacecraft attitude tracking with input contraint., Neurocomputing, vol. 77, p [] Michielen, J., Arteaga, I. Lopez., Nijmeijer, H., (26). LQR-baed optimization of multiple tuned reonator for plate ound radiation reduction. Journal of Sound and Vibration, vol. 363, p [2] Ömer Faruk, Duru., (2). Linear-like dicretetime fuzzy control in the regulation of irrigation canal. Turk J. Agric For, vol. 34, p [3] Şinai, Arlan., Gülçin, Mühürcü., (24). Doğrual Kareel Gauian Kontrolü ile Doğru Akım Motorunun Hız Kontrolü Speed Control of Direct Current Motor with Linear Quadratic Gauian Control. Eleco 24, Elektrik Elektronik Bilgiayar ve Biyomedikal Mühendiliği Sempozyumu, p [4] Ping-Ho, Chen., Wei-Hiu, Hu., Ding- Shinan, Fong., (2). LQR-Mapped Fuzzy Controller Applied to Attitude Stabilization of a Power-Aided-Unicycle. Artificial Intelligence Application and Innovation, vol. 364, p [5] Ababneh, Mohammad., (25). Controlling of Chao Synchronization. Jordan Journal of Mechanical and Indutrial Engineering, vol. 9 (2), p [6] Vaif V., Nabiyev., (2). Yapay Zeka İnan- Bilgiayar Etkileşimi. Seçkin Yayıncılık, p [7] Fadali, M.S., Viioli A. (29). Digital control engineering. p. 9-5, Academic Pre. Yazar Adreileri Aydın Mühürcü, Department of Electrical and Electronic Engineering, Sakarya Univerity, 5487, Turkey, amuhurcu@akarya.edu.tr 2 Ercan Köe, Department of Mechatronic Engineering, Merin Univerity, 3348-Taru, Turkey, , ekoe@merin.edu.tr İletişim * Aydın Mühürcü, Department of Electrical and Electronic Engineering, Sakarya Univerity, 5487, Turkey, amuhurcu@akarya.edu.tr