GRAF MATRİSLERİ Giriş

Transkript

1 Giriş Bir graf (sisem) için Kirchhoff akım ve gerilim denklemleri marissel olarak yazılırsa, bu denklemlerde karşılaşılan marislere Graf Marisleri denir Bilindiği üzere KAY dan düğüm veya kesileme denklemleri, KGY dan ise çevre denklemleri elde edilmekedir Buna göre de üç çeşi graf marisi karşımıza çıkar

2 Bir sisemin grafında düğümler için Kirchhoff akım denklemleri n e j= a kj i j () = biçiminde yazılabilir Burda a kj, +, - ya da olup, n e grafaki eleman sayısını n d ise düğüm sayısını gösermekedir Bu denklem sisemi marissel olarak A b J e k =,,, ( ) = n d

3 3 GRAF MATRİSLERİ biçiminde yazılabilir Burada A b marisi, elemanları yalnızca ± ve olan bir marisir Je () ise biçiminde ne boyulu bir vekördür (süun marisi) = ) ( ) ( ) ( ) ( i i i J n e e

4 Şek de bir düğüm marisinde saır ve süunların devrede nelere karşı düşüğü göserilmişir dügümler elemanlar A b = Şek 4

5 Şimdi örnek olarak Ab marisinin nasıl yazıldığını görelim Şek deki grafa düğümler için Kirchhoff akım denklemleri Şek 5

6 şeklindedir Bu denklemleri marissel olarak yazarsak 6

7 7

8 denklemi elde edilir A b Şek deki grafda büün düğümler için yazılan düğüm marisidir Demik ki, bir grafda j inci eleman k ıncı düğüme bağlı ise A b marisinde a kj = ± dir Bağlı değilse sıfırdır Eğer j inci elemanın yönü k ıncı düğümden öeye doğru ise a kj = +, düğüme doğru ise a kj = - dir A b marisi n d x n e boyuunda olan bir dikdörgen marisdir Yukarıdaki örnekden de görüleceği üzere A b marisinin süunların herbirine sıfırdan farklı yalnızca iki eleman vardır Bunlardan biri + diğeri ise - dir Bu, A b marisinin genel bir özelliğidir Bunun nedeni, grafın herbir elemanının yanlızca iki düğüme bağlı olması ve herbir elemanın yönünün, bağlı olduğu düğümlerden birinden öeye ve 8 öeki düğüme doğru olması gerekiğindendir

9 A b nin rankı Yukarıda anlaılan nedenden öürü A b marisinin saırlarının oplamı sıfır verir Demek ki, bu marisin herhengi n d saırının oplamının ers işarelisi, geride kalan saırı verecekir Öyleyse A b nin saırlarından herhangi biri, öeki n d saıra bağlıdır Bu nedenle A b nin rankı n d den büyük olamaz A b marisinin saırlarından herhangi birini dışarıda bırakarak elde edilen n d saırlı marise biz DÜĞÜM MATRİSİ diyecek ve bu marisi A ile gösereceğiz (Bu marise indirgenmiş düğüm marisi de denir) 9

10 A b nin rankı Şimdi A nın rankını inceleyelim Bu incelemeyi yaparken şöyle bir yol ualım: Bir graf için yazılan A marisinin süunlarının yerlerini o şekilde değişirelim ki, ilk n d süun grafda seçilen belli bir ağaç içindeki dallara, geride kalan n e (n d ) süunda bu ağaca kiriş olan elemanlara karşı düşsün Böylece A marisi [ ] A A A = l (6) şeklinde bölümlenmiş olur Buradaki A al marisi grafda seçilen ağacın elemanlarına karşıdüşen süunların oluşurduğu n d boyulu bir kare maris, A l ise yeni aynı ağaca kiriş olan elemanlara karşıdüşen süunların oluşurduğu (n d )x(n e n d + ) boyulu bir marisdir

11 A b nin rankı Bunu bir örnekle göserelim Örnek ; Şek3

12 GRAF MATRİSLERİ -A b nin rankı = A (7) 7 no lu düğüm için de 7 [ ] saırı yazılabilir dallar kirişler

13 3 GRAF MATRİSLERİ A b nin rankı (6) ve (7) ye göre = A (8) Şimdi A marisinin deerminanını hesaplıyalım Ele alınan graf birleşik olduğundan seçilen ağaç da birleşikir Ondn dolayı aılan 7 düğüme bağlı olan en az bir dal bulunmalıdır Bu örnekde iki ade böyle dal vardır Bunlar 6 ve numaralı dallardır

14 4 GRAF MATRİSLERİ -A b nin rankı Bunlara karşı düşen süunlarda sıfırdan farklı birer eleman kalacağı açıkır Bunlardan numaralı süuna göre A nin deerminanını hesaplayalım Bu deerminan numaralı süundaki - elemanına göre açılırsa, deerminanın değeri bu - elemanına karşıdüşen kofakörün ers işarelisi olacakır Şimdi bu kofakörün marisini yazalım (9)

15 -A b nin rankı Elde edilen bu maris numaralı eleman aıldıkan sonra elde edilen n d ane dalı bulunan bir ağacın A marisi olarak düşünülebilir (Bu marisde 7 düğümüne ek olarak 6 düğümüne karşıdüşen saır da yazılmamış gibi düşünülebilir) Şimdi geriye kalan ağaçda 6 numaralı dal 7 düğümüne bağlıdır ve bu dala karşıdüşen süunda bulunan sıfırdan farklı eleman - dir Bu süuna göre deerminan hesaplanırsa deerminanın değeri, a 36 nın kofakör ers işarelisi olacakır Bu kofakörün marisi () 5

16 -A b nin rankı Olur Yukarıda söylenenleri a 44 için ekrarlarsak bu marisin deerminanı a 44 = - ile () marisinin deerminanı çarpımına eşiir Bu maris de a 3 veya a 5 ye göre açılabilir a 3 e göre açılırsa bu marisin deerminanı a 3 = l ile 5 9 () marisinin deerminanının çarpımına eşiir 6

17 -A b nin rankı Bu maris de veya 9 uncu süunlara göre açılabilir 9 a göre açılırsa kofakör olarak -l kalmakadır ki o da 4 ile 5düğümleri ile numaralı daldan oluşmuş bir grafa karşıdüşer Demek ki ( a )( a ) a a = ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) de A = a, a5 6 Böylece verilen örnek için A nin deerminanının sıfırdan farklı olduğu ve A marisinin rankının da nd - l = 6 olduğu anılanmış olmakadır A marisinin rankının hesaplanması için verilen örnek birleşik graflar için genel bir örnekir ve şimdi aşağıdaki eoremi verebiliriz 7

18 -A b nin rankı Teorem : Bir birleşik grafa karşıdüşen düğüm marisi A nın rankı n d - l dir Bu grafın herhangi bir ağacına karşıdüşen A marisinin deerminanı ise + veya -l-dir Tanı: Verilen birleşik graf için yazılan düğüm marisi Ab ve bundan bir saır aılarak elde edilen düğüm marisi A olsun A marisini, A dallara, Al ise kirişlere karşıdüşmek üzere biçiminde bölmeliyelim Ağaç birleşik olacağından, Ab marisinden çıkarılan saıra karşıdüşen düğüme bağlı en az bir dal bulunacakır A de, bu dala karşıdüşen süunda sıfırdan farklı (±) olan bir ek eleman bulunacakır Dolayısıyla de A, bu elemanın kofakörüne, ya da bu kofakörün ers işarelisine eşi olacakır Bu kofakör, A den bir saır ve süun aılarak elde edilen bir almarisin deerminanıdır A b marisinden çıkarılan saıra karşı düşen düğüme bağlı birden fazla dal varsa, bu durumda sözkonusu düğüme bağlı olan elemanlara karşı düşen büün süunlarda sıfırdan farklı (±) yalnız birer eleman bulunacakır Dolayısıyla A nin deerminanının hesaplanması 8 bu süunlardan herhangi birine göre yapılabilir

19 -A b nin rankı Eğer A den aılan süunun karşıdüşdüğü dal n d düğümlü ağacı iki parçaya ayırıyorsa, aılan ikinci saıra karşıdüşen düğüme bağlı öeki elemana ilişkin süunda da sıfırdan farklı (±) bir ek eleman bulunacakır, öyleyse bu durumda elde edilen (n d - )x(n d -) boyulu almarisde sıfırdan farklı bir ek eleman bulunan iki süun bulunacakır Bu durumda da bu almarisin deerminanının açınımı bu iki süundan birine göre yapılabilir Bu işlem ağaça hiçbir eleman kalmayana dek, başka bir deyişle ek bir düğüm kalana dek uygulanırsa, merebesi bir olan bir kofakör elde edilir ki, bu kofakörün değeri de ± dir Böylece A b nin (n d - )x(n d - ) boyulu bir almarisinin nonsingüler olduğu, yani A b nin rankının n d - olduğu anılanmış olmakadır Bu eoremden görülmekedir ki, ele alınan grafda seçilecek her ağaç için yazılacak A marisi nonsingülerdir Bunun ersi de doğrudur: Verilen bir düğüm marisi A nın n d - inci merebeden herhangi nonsingüler bir almarisi bir ağaca karşı düşer Bunun anıı ileride verilecekir 9

20 Bir Grafdaki Ağaç Sayısı Yukarıdaki sonuca göre bir grafdan elde edilebilecek ağaçların sayısı hesaplanabilir A marisinden elde edilebilecek her nonsingüler maris bir ağaca karşıdüşüğüne göre, ağaç sayısını hesaplayabilmek için yapılacak iş, A marisinin içindeki büün nonsingüler marisleri saymakır Bunu yapmak oldukça uzun bir işlemdir Bu işlem Bine-Cauchy eoremi yardımıyla kolay bir şekilde yapılabilir Bu eoreme göre m < n olmak üzere, mxn boyuunda olan bir A marisi ile, nxm boyuunda olan bir B marisi çarpımının deerminanı deab = ( Aile B nin birbirine karşıdüşen minörlerin çarpımı) olarak hesaplanabilir

21 GRAF MATRİSLERİ Bir Grafdaki Ağaç Sayısı Örnek: = 3 A = B marislerini ele alalım = 4 7 AB de AB = -3

22 GRAF MATRİSLERİ Bir Grafdaki Ağaç Sayısı Bine-Cauchy eoremine göre = + + = 3 3 de AB ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 = + + = bulunur Bu da yukarıda bulunan sonuçla aynıdır

23 Bir Grafdaki Ağaç Sayısı Teorem : Bir birleşik grafdaki ağaç sayısı de (AA ) dir Tanı: Yukarıda verilen Bine-Cauchy eoremini kullanarak de AA = ( A ve A marislerinin birbirlerine karşıdüşen minörlerinin çarpımları) = (A nın sıfırdan farklı büün minörlerinin karaleri) yazılabilir A nın sıfırdan farklı her minörü ± olacağına göre, her bir sıfırdan farklı minör için yukarıdaki formülde l sayısı elde edilecek, bunların oplamı ise kaç ane sıfırdan farklı minör olduğunu, dolayısıyla ağaç sayısını göserecekir 3

24 Örnek: 3 GRAF MATRİSLERİ Bir Grafdaki Ağaç Sayısı A = (3) marisini ele alalım 3 de AA = de de 3 = = 6 3 4

25 Bir Grafdaki Ağaç Sayısı Bu örnekeki A marisine karşıdüşen bir graf Şek4 de göserilmişir Şek4 Bu grafaki ağaç sayısı 6 dır 5

26 Graflarda izomorfizim Verilen bir grafın A marisini yazmak kolay bir işlemdir Faka problem bunun ersi de olabilir Verilen bir A marisine karşıdüşen grafin da bulunması isenebilir Bu durumda yapılacak işlem şudur: Verilen A marisinin saır sayısından bir fazla sayıda düğüm alınır Bu düğümler marisdeki saırlara göre numaralanır Bundan sonra herbir süun eker eker ele alınır Bir süunda sıfırdan farklı en çok iki eleman bulunacakır Bu elemanlar hangi saırlarda ise, bu saırlara karşıdüşen düğümler arasına bir graf elemanı çizilir Eğer ele alınan süunda sıfırdan farklı bir ek eleman varsa, o elemanın bulunduğu saıra karşıdüşen düğüm ile fazladan konulan düğüm arasına bir eleman bağlanır Yönlendirme ise süundaki elemanların işarelerine göre yapılır 6

27 7 GRAF MATRİSLERİ Graflarda izomorfizim Örnek: 4 = A (4) Bu A marisine karşıdüşen değişik görünüşlü iki graf Şek5 de göserilmişir

28 Graflarda izomorfizim (a) Şek5 3 4 (b) 8

29 Graflarda izomorfizim Tanım: İki grafa karşıdüsen düğüm marislerinden biri, öekinden saır ve süunlar arasında değişirmeler yapılarak elde edilebiliyorsa bu iki graf izomorfdur denir, iki grafin izomorfik olması için, bu iki grafdaki düğüm sayılarının ve eleman sayılarının aynı olması ve bu grafların düğümleri ve elemanları arasında belli bir kurala göre karşıdüşme bulunması gerekir Bu kural ise, bu karşıdüşmenin aynı düğüm marislerini verecek biçimde olmasıdır 9

30 Çevre Marisi Bir sisemin grafında çevreler için Kirchhoff gerilim denklemleri n e j= () = k =,,, b kjv j ç biçiminde yazılabilir Bu denklemlerde b kj, +, - ya da olup, n e devredeki eleman sayısını n ç ise çevre sayısını gösermekedir Bu denklem sisemi marisel olarak B V biçiminde yazılabilir ( ) = b e (5) n 3

31 Çevre Marisi Burada B b marisi, elemanları yalnızca ± ve olan bir marisir V e () ise V e () v v = v n e ( ) () () (6) biçiminde n e boyulu bir vekördür 3

32 Çevre Marisi Şek6 da bir çevre marisinde saır ve süunların devrede nelere karşı düşüğü göserilmişir çevreler elemanlar B b = n e n ç Şek6 3

33 Çevre Marisi Şimdi Şek7 deki örnek için Kirchhoff gerilim denklemlerini yazalım 6 3 VI III 3 V 4 VII I IV 5 II emel çevreler Şek7 33

34 Çevre Marisi I v + v3 + v4 = VI v 5 + v6 + v7 = II v 4 + v6 + v7 v8 = VII v v3 + v5 v8 = III v v v6 = VIII (7) IV v 4 + v5 v8 = IX V v v + v v X = Bu denklemleri marissel olarak yazarsak 34

35 35 GRAF MATRİSLERİ Çevre Marisi Bu denklemleri marissel olarak yazarsak = V V V V V V V V (8) b B elemanlar çevreler I II III IV V VI VII VIII

36 Çevre Marisi denklemi elde edilir B b grafdaki büün çevreler için yazılan çevre marisidir Şek7 deki grafda çok sayıda çevre bulunduğu için büün çevreler gözönüne alınmamışır Bu marisden görülmekedir ki, eğer j elemanı i inci çevrede bulunuyorsa b ij = ± dir, eğer bu eleman i inci çevrede yoksa b ij = dır Eğer j inci elemanın yönü i inci çevre yönü ile aynı ise b ij = +, aynı değilse b ij = - dir 36

37 B b nin rankı Teorem 3: Bir birleşik graf için B b, çevre marisinin rankı n e n d + dir Tanı: Yukarıdaki örneken görülmekedir ki, verilen bir grafda seçilen bir ağaca karşıdüşen n e n d + ane kirişe karşı düşen emel çevreler için yazılan denklemler ilk n e n d + denklem olacak şekilde denklemler yazılır ve kirişlere karşıdüşen süunlar marisde ilk n e n d + süun olacak şekilde süunların yerleri (3,7,,5) süunları başa gelecek biçimde değişirilirse B b marisi daima şeklinde yazılabilir kirişler dallar U B n e n d +{ { B B (9) 37

38 B b nin rankı Burada U, birim marisi gösermekedir Öyleyse B b nin rankı n e n d + den küçük olamaz Eğer B b, nin rankının n e n d + den büyük olamayacağı da göserilebilirse, rankın n e n d + e eşi olduğu anılanmış olur Bu anıı yapabilmek için aşağıdaki eoremi kullanalım: Teorem 4: Herhangi bir grafa ilişkin A b ve B b marislerinin aynı sıradaki süunları aynı graf elemanlarına karşıdüşmek koşuluyla A = veya = b B b B () b A b Tanı: A a nın k ıncı saırı grafdaki k ıncı düğüme, B b nin j inci süunu ise grafdaki j inci çevreye karşıdüşmekedir 38

39 B b nin rankı A b nin k ıncı saırıyla B b nin j inci süunu P = A B b b marisinin (k, j) elemanını verecekir Bu elemanın değerini hesaplayabilmek için aşağıdaki olasılıkları göz önüne almak gereklidir: - j çevresinde k ıncı düğüm bulunmuyorsa; j çevresi k düğümüne bağlı elemanlardan hiçbirini içermez Dolayısıyla bu durumda A b nin k ıncı saırındaki sıfırdan farklı elemanlara, B b nin j inci süununda karşı düşen elemanlar sıfır olacak, buna karşılık B b nin j inci süunundaki sıfırdan farklı elemanlara A b nin k ıncı saırında karşı düşen elemanlar sıfır olacakır Bunun sonucu olarak da bu durum için A b nin k ıncı saırı ile B b nin j inci süunları çarpımı sıfır olacakır 39

40 B b nin rankı r m j n q k l Şek8 Bu durum için A b nin k ıncı saırı a k, göserilirse, B b nin j inci süunu b j ile 4

41 4 GRAF MATRİSLERİ B b nin rankı = = r q n m b a r q j k l l

42 B b nin rankı - j çevresinde k ıncı düğüm bulunuyorsa; j çevresi k ıncı düğüme bağlı elemanlardan ikisini içerecekir Bu durumda j çevresi ve k ıncı düğüme bağlı elemanların yönleri için sekiz olasılık vardır Şekil 9 da bu olasılıklar göserilmişir k k k k m j n m j n m j n m j n p kj =(-)()+(-)(-)= p kj =(-)()+()()= p kj =()(-)+()()= p kj =()(-)+(-)(-)= k k k k m j n m j n m j n m j n p kj =(-)(-)+(-)()= p kj =(-)(-)+()(-) Şek9 p kj =()()+()(-) p kj =()()+(-)()= 4

43 43 GRAF MATRİSLERİ B b nin rankı A b nin k ıncı saırı ile b B nin j inci süununun çarpımında sıfırdan farklı kakılar yalnızca bu iki elemandan gelecekir Şek9 dan görülebileceği üzere bu kakılardan biri + ise diğeri - dir ve oplamları sıfırdır Teorem 4 e örnek olmak üzere Şek7 deki grafa ilişkin bb b A çarpımı yapılırsa = b B b A = sonucu bulunur I II III IV V VI VII VIII IX

44 B b nin rankı B b nin rankınıın n e n d + den büyük olamayacağını göserebilmek için başka eoremden daha yararlanmak gerekmekedir Teorem 5 (Sylveser in sıfır yasası): P = [ P ij ] m, n ve Q = [ q ij ] n, p marislerinin çarpımı ise dir PQ = (P nin rankı) + (Q nun rankı) n () 44

45 B b nin rankı Tanı: P nin rankı r olsun P nin saır ve süunlarını o şekilde düzenleyelim ki yeni elde edilen P marisinin sol üs köşesinde r inci merebeden bir P marisi bulunsun: r n- r P = P P P () P n- r marisinin saırlarını da P nin süunlarında yapılan düzenlemeye uygun biçimde düzenleyerek yazabiliriz P = P P r Q Q = P Q (3) P 45

46 B b nin rankı (3) den ilk r saırına ilişkin denklem P Q + P Q veya Q + P P Q = elde edilir Şimdi Q marisi nonsingüler U Marisi ile çarpılırsa bulunur P U P P Q QP PQ = = U Q Q Q U P = r n-r (4) 46

47 B b nin rankı Bir marisin nonsingüler bir marisle çarpılması rankını değişirmez Öe yandan (4) denkleminin sağ arafındaki marisde sıfırdan farklı n r saır vardır Öyleyse (Q nun rankı) n r dir r = (P nin rankı) olduğuna göre (P nin rankı) + (Q nun rankı) n elde edilir göre Demek ki P = A b, Q = B b alınırsa Teorem 5 e (A b nin rankı) + (B b nin rankı) n e (6) (B b nin rankı) n e n d + sonucu elde edilir Öe yandan (B b nin rankı) n e n d + olduğu anılanmışır Öyleyse (B b nin rankı) = n e n d + dir 47

48 B b nin rankı Teorem 6 : Herhengi bir grafda (A b nin rankı) + (B b nin rankı) grafdaki eleman sayısıdır Tanı: Teorem 4 de ele alınan grafın birleşik olması koşulu olmadığına göre Teorem 5 de P = A b Q = alınırsa n = (grafdaki eleman sayısı) olacağına göre eorem anılanmış olur B b 48

49 B b nin rankı Teorem 7 : Bir birleşik grafa ilişkin düğüm marisi A dan elde edilecek n d inci merebeden nonsingüler herhangi bir almaris ancak ve ancak bir ağaca karşıdüşer Tanı: bu eoremin birinci bölümünün anıı Teorem in anıı içinde verildi Öyleyse burada, A dan elde edilebilecek n d inci merebeden herhangibir nonsingüler almarisin bir ağaca karşıdüşüğünü anılamamız yeerli olacakır Bunun için ise, Anın süunlarından, bir çevre oluşuran graf elemanlarına ilişkin olanların lineer bağımlı olduğunu gösermek yeerlidir 49

50 B b nin rankı A, Gerçeken, A B b b = olduğuna göre, ve A, A,, ne A nın süunlarını göseren vekörler olmak üzere i inci çevre için veya yazılabilir A A [ b b b ] i i = ine A n e b i A bi A + + bin e An = + e 5

51 B b nin rankı Eğer i inci çevrede n, n,, n k elemanları bulunuyorsa b in, b, = ± in b in k diğer büün b ij ler sıfır olacakır Öyleyse b in A i + b + + = in A i b in k Ai k olacakır ki, bu da A marisinin, i çevresine giren elemanlara ilişkin süunları arasında lineer bağımlılık olduğunu göserir Öyleyse A dan n d süun alınarak oluşurulan nonsingüler bir marisin süunları çevre oluşuramaz Dolayısıyla böyle bir nonsingüler marisin süunları dallara ilişkin olmak zorundadır 5

52 B b nin almarisleri ve özellikleri Teorem 8 : Bir birleşik grafda B b marisinin n e n d + saırlı ve rankı n e n d + olan herhangi bir almarisi B ise, bu B marisinin n e n d + inci merebeden nonsingüler bir almarisi ancak ve ancak bir kiriş akımına karşıdüşer Tanı: a) Almarisin süunlarının grafdaki kirişlere karşıdüşüğünü varsayalım Bu durumda B marisi [ ] B = B B l (7) biçiminde yazılabilir Burada B l kirişlere ilişkin süunlardan, B ise dallara ilişkin süunlardan oluşmuşur Öe yandan bu ağaç için emel çevre marisi B ye benzer biçimde bölmelenirse elde edilir B dallar kirişler [ B U ] = (8) f f dallar kirişler 5

53 B b nin almarisleri ve özellikleri B b nin büün almarisleri B f in saırlarıcinsinden bulunabildiğinden B = DB f (9) yazılabilir B ve B f in saırları lineer bağımsız olduğundan D nonsingüler bir marisir (7 9) dan ve [ B B ] D[ B U ] = (3) l f B l = DU = D (3) 53

54 B b nin almarisleri ve özellikleri b) Şimdi n e n d + süunun nonsingüler bir maris oluşurduğunu varsayalım Bu nonsingüler maris B olduğuna göre B marisi B = [ ] B B olacak biçimde bölmelensin B de n d süun olduğuna göre, yalnızca bu süunlara karşıdüşen elemanların oluşurduğu herhangi bir çevre bulunmayacağını anılamak B in kirişlere karşıdüşüğünü anılamak için yeerli olacakır (çünkü bu akdirde B nin süunlarına karşıdüşen elemanlar dallara ilişkin demekir) Böyle bir çevre varsa, B ye, bu 54 çevreye karşıdüşen bir b i saırı ekleyerek

55 B b nin almarisleri ve özellikleri B bi B = B bi marisi oluşurulabilir i elemanı alarak B ' B ± (3) b deki sıfırdan farklı olan bir (33) marisini oluşuralım Bu marisin deerminanı ± de B olacakır Bu durumda (3) deki marisin rankının n e n d + olması gerekir Halbuki bu maris B b nin bir almarisidir ve rankı n e n d + den büyük olamaz Öyleyse B nin süunları dallara karşıdüşer Dolayısıyla da nonsingüler olan B marisinin süunları 55 kirişlere karşıdüşmek zorundadır

56 B b nin almarisleri ve özellikleri Teorem 9 : Bir birleşik grafa ilişkin düğüm marisi [ ] A = A A l (34) olduğuna göre, aynı grafa ilişkin emel çevre marisi B f ve rankı ve saır sayısı n e n d + olan herhangi bir çevre marisi B ise süunları A nın süunlarıyla aynı biçimde düzenlemek koşuluyla B [ ( ) ] A A U = B (35) l [ ] U ( ) B = A A f l (36) biçiminde yazılabilir Tanı: Ab B b = dır A b den herhangi bir saır, süunun dışında kalanlar aılarak AB = ; yazılabilir B B A l l l (37) l [ A ] = A B + A B = l B b den de n e n d + 56

57 B b nin almarisleri ve özellikleri A nonsingüler olduğuna göre (37) den B bulunur Buradan B B f = A A B veya ( ) l l [ B Bl ] = Bl ( A Al ) [ B U ] = ( A A ) B [ ] U [ ] U = B A A (38) = (39) = (4) f elde edilir Ayrıca B l nonsingüler olduğuna göre (38) den A yazılabilir Buradan l l ( B ) = A B ( B ) = A ( B B ) = A B (4) l [ ( ) ] U B B A = A (4) l bulunur (4) dan çıkarılabilecek sonuç şudur: Bir birleşik graf için A marisinin verilmesiyle emel çevre marisi B f de verilmiş olmakadır Bu sonuç ise, A marisinin, bir grafa ilişkin büün bilgiyi içerdiğinin bir kanııdır 57 l l l l

58 Kesileme Marisi Bir sisemin grafında kesilemeler için Kircchoff akım denklemleri n e j= q kj i j () = k =,,,n k Bu denklemlerde q kj +, - yada olup, n e devredeki eleman sayısını, n k ise kesileme sayısını gösermekedir Bu denklem sisemi marissel olarak Q J ( ) = b e (43) biçiminde yazılabilir Burada Q b marisi, elemanları yalnızca ± ve olan bir marisdir 58

59 J e () ise GRAF MATRİSLERİ Kesileme Marisi J e () i i = i n e ( ) () () (44) biçiminde n e boyulu bir vekördür Şek da kesileme marisinde saır ve süunların grafda nelere karşı düşüğü göserilmişir 59

60 Kesileme Marisi kesilemeler elemanlar Q b = n e n k Şek Şimdi Şek7 deki örnek için Kirchhoff akım denklemlerini yazalım 6

61 Kesileme Marisi I i 3 i4 + i5 + i7 = VI i 5 + i7 + i8 = II i + i6 i7 = VII i i3 + i4 i5 i6 = III i + i + i3 = VIII i + i5 + i6 + i8 = IV i 3 + i4 + i8 = IX i i i4 i8 = V i i i4 + i5 + i7 = X 6

62 6 GRAF MATRİSLERİ Kesileme Marisi Bu denklemleri marissel olarak yazarsak = i i i i i i i i (46) b Q denklemi elde edilir I II III IV V VI VII VIII IX X n k

63 Kesileme Marisi IX III VII II V I 8 VI IV VIII Şek 63

64 Kesileme Marisi Q b grafdaki büün kesilemeler için yazılan kesileme marisidir Şek deki grafda çok sayıda kesileme bulunduğu için büün kesilemeler gözönüne alınmamışır Bu marisden görülmekedir ki, eğer j elemanı i inci kesilemede bulunuyorsa q ij = ± dir, eğer bu eleman i inci kesilemede yok ise q ij = dır Eğer j inci elemanın yönü i inci kesileme yönü ile aynı ise q ij = +, aynı değilse q ij = - dir (46) daki Q b marisinde ilk n d = 4 saır emel kesilemelere ilişkindir Burada emel kesilemeleri, sırasıyla 5, 6, ve 8 numaralı dal elemanları anımlamakadır Bu maris, 5, 6, ve 8 numaralı süunlar lk dör sıraya geirelecek biçimde yazılsaydı sol üs köşede 4 merebeden bir birim maris olurdu 64

65 Qb nin rankı Teorem : bir birleşik graf için Q b kesileme marisinin rankı n d dir Tanı: Yukarıdaki örnekden de görüldüğü üzere, Q b marisinde dalların anımladığı kesilemelere (emel kesilemeler) ilişkin saırlar en üseki n d - saır, dallara ilişkin süunlar da ilk n d süun olacak biçimde bir düzenleme yapılırsa, bu saır ve süunların oluşurduğu alrmaris diagonal bir maris olup, diagonalindeki elemanlar + lerdir Öyleyse Q b nin içinden her zaman n d - inci merebeden bir nonsingüler maris bulunabilir Dolayısıyla Q b nin rankı n d - den küçük olamaz Öe yandan grafda ele alınan herhangi bir düğüme bağlı olan elemanlar bir kesileme oluşururlar (Bu ancak şu koşulla doğrudur: Söz konusu düğüm ve buna bağlı elemanlar grafdan çıkarıldığında grafın geri kalan parçası birleşik bir graf olarak kalmalıdır Böyle graflara Parçalanamayan Graflar denir) Öyleyse Q b marisi, A b marisini bir almaris olarak içerecekir Bu özellik de Q b nin rankının n d - den küçük olamayacağını gösermekedir 65

66 Qb nin rankı Q b nin rankının n d - den büyük olamayacağı da göserilebilirse eorem anılanmış olur Bu anıı yapabilmek için Şek yi gözönüne alalım Bu şekil bir grafı iki parçaya ayıran k ıncı kesilemeyi gösermekedir m k P P n Şek 66

67 Qb nin rankı Eğer bu kesilemeyi oluşraran elemanlardan biri, grafaki bir j çevresinde bulunuyorsa, bu kesilemeyi oluşuran bir başka eleman (n elemanı) daha bu çevre bu çevre içinde bulunmak zorundadır Çünkü j çevresinin P den başladığı düşünülürse, bu çevre üzerinden K den K ye bir m elemanı ile gidilecek ve çevrenin amamlanması için P den P e bir n elemanı ile dönülecekir Ele alınan çevreyi oluşuran yolun P den P ye bir kez gidiş-dönüş ile kapanması gerekmez Faka her gidişdönüşde kesilemeye giren ikişer eleman kullanılmış olacakır Sözkonusu k inci kesilemenin yönü ve j inci çevreye giren eleman çiflerinin yönleri için sekiz olasılık vardır Öyleyse Q b B b çarpımı oluşurulacak olursa Teorem 4 dekine benzer biçimde, QbB b = olduğu anılanabilir 67

68 Qb nin rankı Parçalanmayan graflarda herbir düğüme bağlı elemanlar da kesileme oluşurduğundan Q b nin içinde A b de vardır Şek 3a da {,,3,4,5}, Şek3b de ise {l,,3} ve{3,4,5} kesileme oluşurmazlar Bu ip graflara parçalanabilen graflar denir Bu ür graflarda kesileme anımının her düğüme uygulanamadığına dikka emek gereklidir Şek3 de parçalanabilen iki graf göserilmişir (a) Şek 3 (b) 68

69 Qb nin rankı Teorem : Birleşik graflar için Q B b b = b b = (49) dır Şimdi (49) için Slyverer in sıfır yasası uygulanırsa (Q b nin rankı) + n e - n d + n e (5) (Q b nin rankı) n d - (5) elde edilir Öe yandan Q b nin rankı n d olduğu göserilmişi Öyleyse Q b nin rankı = n d (5) dir 69

70 Qb, Bb ve Ab nin al marisleri arasındaki bağınılar Q B b b = bq b = B (53) olduğuna göre, Q b den herhangi sayıda saırın aılması, Bb den ise herhangi sayıda süunun aılması (53) ün geçerliliğini bozmayacakır Öyleyse, Q b den rankı n d olan, n d saırlı bir Q marisi, B b den rankı n e - n d + olan, n e - n d + saırlı bir B marisi alınarak QB = veya = yazılabilir BQ (54) 7

71 Qb, Bb ve Ab nin al marisleri arasındaki bağınılar Q nun emel kesilemelere karşıdüşüğünü varsayarsak veya Q Q f fl B yazılabilir Buradan Q f = B [ U Q ] = B + Q B = fl B l ( B ) = ( B B ) l l = B (55) [ ( ) ] U B B l = (56) bulunur (56), (4) ile karşılaşırılırsa A = A Q f (57) fl l veya bulunur Q [ U A A ] = A A = (58) l 7

72 Qb, Bb ve Ab nin al marisleri arasındaki bağınılar A non singüler bir maris olduğuna göre (58), seçilen herhangi bir ağaç için düğüm marisi A ile emel kesileme marisis Q f in saır eşdeğeri olduklarını gösermekedir Başka bir deyişle, A nın saırlarını Q f in lineer kombinezonları, Q f in saırlarını da A nın lineer kombinezonları biçiminde yazılabilir Şimdi (53) deki Q nun emel kesileme marisi, B nin de emel çevre marisi olduğu varsayılırsa, ve buradan B f [ U Q ] = Q f B f = fl (59) U B f + Q fl fl B f = Q = (6) elde edilir Öyleyse B f = [ Q fl U ] (6) veya Q = U (6) [ ] f B f yazılabilir Bu sonuç (56) da B l = U B = B f alarak da elde edilebilir 7

73 73 Örnekler Örnek 5: = b A marisinde saır ve süun işlemleri yaparak 4merebeden bir üs üçgen maris bulunuz ve b A nin rankının 4 olduğunu göseriniz