MAK 210 SAYISAL ANALİZ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MAK 210 SAYISAL ANALİZ"

Transkript

1 MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1

2 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması işlemidir. Dolayısıyla bir fonksiyonun belli sınırlar arasında integrali, fonksiyon eğrisinin altında ve sınır değerler arasında kalan toplam alanı vermektedir. Bu bakımdan integrasyon işlemi mühendislikte düzenli veya düzensiz şekillerin alanlarının veya hacimlerinin hesaplanmasında, ortalama değerlerin bulunmasında, alan ve eylemsizlik momentlerinin elde edilmesinde, toplam kütlenin bulunmasında, hız ve alınan yolların hesaplanmasında, transfer edilen toplam ısı miktarının hesabında vb. yaygın olarak kullanılır. 2

3 Her fonksiyonun integrali analitik olarak alınamayacağı gibi bazı durumlarda da fonksiyonun analitik ifadesi yerine belli bir aralıkta fonksiyonun aldığı sayısal değerler tablo halinde verilebilir. Her durumda, analitik veya tablo halinde verilen bir f(x) fonksiyonunun belirli integralini sayısal yöntemler kullanılarak hesaplamak mümkündür. Sayısal integrasyon yöntemlerinin temelini eğri altındaki alanı dilimlere bölmek veya fonksiyon yerine verilen aralıktaki noktalardan geçen interpolasyon polinomlarını kullanmak oluşturur. Yani f(x) fonksiyonunun a, b aralığında belirli integrali için b b f x. dx y p x. dx (8.1) a a Yaklaşımı yapılabilir. Sayısal olarak alınan bu belirli integrale literatürde 3

4 quadrature de denmektedir. Bu terim şekli karelere bölerek alan ve hacim hesaplama anlamına gelmektedir. Denklem (8.1) de kullanılacak interpolasyon polinomuna göre değişik sayısal integrasyon formülleri elde edilebilir. Yapılan yaklaşım nedeniyle bu formüller belli bir hata içerecektir. Bu integrasyon hatası aynı prensipten hareketle bulunabilir. Örneğin, Newton-Gregory ilerleme polinomu kullanıldığında elde edilecek formülün hatası e i = a b s n + 1 hn+1 y n+1 x s dx (8.2) İfadesinden bulunabilir. Bu kısımda yaygın olarak kullanılan üç integrasyon formülünün, Newton-Gregory ilerleme polinomunun üç ayrı hali kullanılarak 4

5 nasıl elde edildiği açıklanacaktır. YAMUK (TRAPEZ) KURALI İnterpolasyon polinomu olarak, Newton-Gregory ilerleme polinomunun n = 1 hali yani lineer interpolasyon kullanılması ile elde edilen integrasyon formülüdür. Lineer interpolasyon y p = y 0 + s. y 0 alınırsa ve s = x x 0 h ds = 1 h dx 5

6 Diferansiyel kullanılırsa fonksiyonun belirli integrali, integral sınırlarına da dikkat ederek x 1 x 1 s=1 1 A = f x. dx y p x. dx = y p. h. ds x 0 s=0 x 0 = y 0 + s. y 0 0. h. ds yazılabilir. Bu integral kolayca alınarak A h. y 0. s + y 0 s A h. y 0 + y 0 2 = h. y 0 + y 1 y 0 2 veya 6

7 y y 0 h x 0 = a x 1 = b x Şekil 8.1. Eğri altındaki alanın yamuk kuralı ile yaklaşık hesabı A h 2 (y 0 + y 1 ) sonucu bulunur. Bu bilindiği gibi yamuk alanı olup eğri altındaki alan yamuk gibi düşünülerek yaklaşık olarak bulunmuş olur (Şekil 8.1). 7

8 Bu yüzden yukarıdaki formül yamuk veya trapez kuralı olarak adlandırılır. Yamuk kuralının hatası, n = 1 alınarak Denklem 8.2 den hesaplanabilir. x 1 s. (s 1) 2 e i = h. y n+1. x 2 s. dx = x 0 s s 1 2 Burada y (x s ) türevinin bu aralıkta yaklaşık olarak sabit kaldığı kabul edilirse 0 1. h. h 2. y x s. ds 1 e i = 1 2 h. h2. y x s. s 2 s. ds = 1 2 h3 y x s. 0 e i = h3 12. y x s x 0 x s x 1 (8.4) s 3 3 s

9 bulunur. Burada hatanın h 3 ile orantılı olduğu görülmektedir. Dilim kalınlığı x = h nın küçük olması hatanın da kübik olarak azalacağı anlamına gelir. Ayrıca fonksiyonun lineer olması halinde ikinci türevi sıfır olacağından hata sıfır olacak yani tam sonuç bulunmuş olacaktır. Bazı durumlarda birden fazla dilim verilebilir veya integral aralığı geniş ise hatayı azaltmak üzere verilen aralık birden fazla dilime bölünebilir. a, b aralığı n tane eşit kalınlıklı dilime bölünmüş ise h = b a n olacaktır (Şekil 8.2). Bu durumda her dilime yamuk kuralının uygulanmasıyla genel bir ifade bulunabilir. 9

10 y x 0 x 1 x 2 x n = b x Şekil 8.2. Yamuk kuralının n dilime uygulanması x n A = f x. dx h 2 y 0 + y 1 + h 2 (y 1 x 0 + y 2 ) + + h 2 (y n 1 + y n ) A h 2 y y y y n 1 + y n 10

11 Elde edilen bu genel yamuk formülünün hatası her dilimde oluşan hataların toplamından elde edilebilir. Toplam integrasyon hatası veya e it = h3 12. y x s1 h3 12. y x s2 h3 12. y x s3 n = h3 12. y (x si ) i=1 e it = b a 3 n 12n 3. y (x si ) i=1 olarak elde edilir. Ortalama türev tanımlayarak bu hatayı daha basit olarak yazmak mümkündür: 11

12 n y = 1 n y (x si ) i=1 İle toplam hata e it b a 3 12n 3. y = h2 12 b a. y yazılabilir. Görüldüğü gibi lokal hata mertebesi O(h 3 ) olmasına rağmen hataların birikmesiyle bu ifadede toplam hata mertebesi bir azalarak O(h 2 ) olmuştur. 12

13 Örnek 8.1: Değerleri verildiğine göre 0.5 A = f x dx 0 mertebesini belirtiniz. integralini hesaplayınız, hata x f(x) Çözüm: Genel yamuk kuralı ifadesi kullanılarak A h 2 y y y y n 1 + y n 13

14 = = 2.65 sonucu elde edilir. Burada yamuk kuralı birden fazla dilime ardışık uygulandığı için oluşan toplam hatanın mertebesi O h 2 = 0.01 dir. Hatanın tam olarak hesaplanabilmesi için fonksiyonun kendisi bilinmeli ve türevleri alınabilmelidir. 14

15 SİMPSON 1/3 KURALI Newton-Gregory ilerleme polinomunun n = 2 hali olan quadratik interpolasyon polinomu kullanılarak farklı bir integrasyon formülü bulunabilir. Ancak bunun için üç nokta yani iki dilim gerektiğinden integral sınırları x 0 ve x 2 olacaktır. (Şekil 8.3) y y 0 h h x 0 = a x 2 = b x Şekil 8.3. Simpson 1/3 kuralının uygulanması 15

16 b x 2 A = f x. dx y p x. dx a x 0 = y 0 + s y s. s y 0 hds = h. 2. y y y 0 veya A h 3 y 0 + 4y 1 + y 2 Simpson 1/3 kuralı denilen integrasyon formülü elde edilir. 16

17 Hata mertebesini bulmak üzere n = 2 için Eşt. 8.2 ile verilen hata integrali alınırsa sonucun sıfır olduğu görülür. Bu ise hatanın sıfır olduğu değil atılan terimlerden ilkinin sıfır olduğu anlamına gelir. Bu durumda atılan terimlerden ikincisi, yani n = 3 hali alınarak hata terimi elde edilebilir. n = 3 için hata teriminin integrali x 2 s. s 1 s 2 s 3 4 e i = h 24 x 0. y iv x s. dx e i = h. h4. y iv x s. (s 4 6s 3 e i = h5 90. y iv x s (x 0 x s x 2 ) s 2 6s). ds 17

18 bulunur. Burada hatanın h 5 ile orantılı olduğu görülmektedir. İntegrali alınan fonksiyonun kübik bir polinom olması halinde hatanın sıfır olacağı yani tam sonuç elde edileceği de görülmektedir. Çünkü kübik polinomun dördüncü türevi sıfır olacaktır. İntegralin alınacağı a, b aralığı eşit kalınlıklı n adet dilime bölünmüş ise yani h = b a n İse, her çift dilime Simpson 1/3 kuralı uygulanarak genel bir ifade bulunabilir. x n x 2 x 4 x n A = f x. dx = f x. dx + f x. dx + + f x. dx x 0 x 0 x 2 x n 2 18

19 h 3 y 0 + 4y 1 + y 2 + h 3 y y 3 + y h 3 (y n y n 1 + y n ) A h 3 [y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y y n y n 1 + y n ] burada şunu belirtmek gerekir ki kural her çift dilime uygulandığından, dilim sayısı (n) çift olmalıdır. Aksi halde bu yöntem doğrudan uygulanamaz. Çok sayıda dilim olması halinde integralin toplam hatası, ayrı ayrı hataların toplamına eşit olacaktır. Yani toplam integrasyon hatası e it = h5 90. y iv x s1 h5 90. y iv x s2 h5 90. y iv x s3 19

20 n = h5 90. y iv (x si ) i=1 veya e it = b a 5 n 90n 5. y (iv) (x si ) i=1 olarak elde edilir. Ortalama türev tanımlayarak bu hatayı daha basit olarak yazmak mümkündür. İntegrasyon formülü her iki dilime bir kez uygulandığına göre ortalama türev: y (iv) = 2 n n i=1 y iv (x si ) 20

21 ile toplam hata e it b a 5 180n 4. y iv = h4 180 b a. y(iv) yazılabilir. Görüldüğü gibi lokal hata mertebesi O(h 5 ) iken, hataların birikmesi nedeniyle bu ifadede toplam hata mertebesi bir azalarak O(h 4 ) olmuştur. 21

22 Örnek 8.2: Değerleri verildiğine göre 0.6 A = f x dx 0 mertebesini belirtiniz. integralini hesaplayınız, hata x f(x)

23 Çözüm: Verilen soruda dilim sayısı çift olduğundan (6 dilim, 7 nokta) genel Simpson 1/3 kuralı ifadesi doğrudan kullanılabilir: A h 3 [y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y y n y n 1 + y n ] = 0.1 [ ] 3 = değeri bulunur. Hata mertebesi ise O h 4 = 1x10 4 olacaktır. 23

24 SİMPSON 3/8 KURALI Yaygın olarak kullanılan bir başka integrasyon formülü, Newton-Gregory ilerleme polinomunun ilk dört teriminin alınması ile, yani kübik bir interpolasyon polinomu (n = 3) hali kullanılarak elde edilir. Ancak bu polinom 4 nokta kullandığından eşit aralıklı üç dilim üzerinden integrasyon alınmalıdır(şekil 8.4). y y 0 h h h x 0 = a x 3 = b x Şekil 8.4. Simpson 3/8 kuralının uygulanması 24

25 b x 3 A = f x. dx y p x. dx a x 0 = y 0 + s y s. s y 0 + s(s 1)(s 2) 3 y 3! 0 hds = h. 3. y y y y 0 veya A 3h 8 y 0 + 3y 1 + 3y 2 + y 3 Simpson 3/8 kuralı olarak bilinen formül elde edilir. Bunun hatası benzer şekilde bulunabilir. 25

26 Yani, n = 3 hali alınarak hata terimi elde edilebilir. n = 3 için hata teriminin integrali x 3 s. s 1 s 2 s 3 e i = h4 24 x 0. y iv x s. dx = h. h4. y iv x s. (s 4 6s 3 bulunur. Burada da hatanın h 5 ile orantılı olduğu görülmektedir s 2 6s). ds e i = h5 y iv x s (x 0 x s x 3 ) 26

27 Ancak Simpson 1/3 kuralındaki 1 90 katsayısı daha küçük olduğundan onun hatası daha küçüktür. Eşit kalınlıkta n dilim olması halinde Simpson 3/8 kaidesi, her üç dilime kuralın uygulanması halinde x 3 A = f x. dx x 0 3h 3 y 0 + 3y 1 + 3y 2 + y 3 + 3h 8 y y 4 + 3y 5 + y h 8 (y n 3 + 3y n 2 + 3y n 1 +) A 3h 8 [y 0 + 3y 1 + 3y 2 + 2y 3 + 3y y n 2 + 3y n 1 + y n ] 27

28 Genel ifadesi elde edilir. İntegralin alınacağı a, b aralığı eşit kalınlıklı n adet dilime bölünmüş ise yani h = b a n ise, oluşacak toplam hata benzer şekilde hesaplanabilir: 3 b a 5 e it = 80n 5. y (iv) (x si ) ortalama türev tanımlayarak bu hatayı daha basit olarak yazmak mümkündür. Her üç dilime bir kez uygulandığı düşünülürse ortalama hatayı n i=1 28

29 y (iv) = 3 n n i=1 y iv (x si ) şeklinde hesaplamak mümkündür. O halde toplam hata e it b a 5 80n 4. y iv = h4 80 b a. y(iv) olacaktır. Görüldüğü gibi lokal hata mertebesi O(h 5 ) iken, hataların birikmesi nedeniyle bu ifadede toplam hata mertebesi bir azalarak O(h 4 ) olmuştur. Simpson 1/3 yöntemine göre hata terimi daha büyüktür. Ancak dilim sayısı üç ve üçün katları olması halinde Simpson 3/8 kuralı doğrudan uygulanabilmektedir. 29

30 Dolayısıyla dilim sayısının çift olması halinde Simpson 1/3 kuralı tercih edilmelidir. Yukarıda elde edilen integrasyon formülleri Newton-Cotes integrasyon formülleri olarak da adlandırılır. Örnek 8.3: Örnek 8.2 de verilen problemi Simpson 3/8 kuralı ile çözünüz. Çözüm: Verilen soruda dilim sayısı 6 olduğundan genel Simpson 3/8 kuralı da doğrudan kullanılabilir: A 3h 8 [y 0 + 3y 1 + 3y 2 + 2y 3 + 3y y n 2 + 3y n 1 + y n ] = 3(0.1) 8 [ ] =

31 değeri bulunur. Hata mertebesi yine O h 4 = 1x10 4 olacaktır. Ancak hata miktarı Simpson 1/3 ten büyük olacaktır. Örnek 8.4: Yukarıda tablo halinde verilen fonksiyonu x = 1.6 dan x = 3.4 e kadar integre ediniz. x f(x)

32 Çözüm: a) Yamuk kuralı ile: n = = f x dx = n i=1 h 2 (f i + f i+1 ) = = b) Simpson 1/3 kuralı ile: Dilim sayısı (n) çift olmadığı için bu kural doğrudan uygullanamaz. ( x x x x x x x x ) 32

33 Çözüm: c) Simpson 1/3 kuralı ile: f x dx = 3x0.2 8 ( (11.023) ) = d) x = 1.6 den x = 1.8 e kadar yamuk, diğer kısım için Simpson 1/3 kuralı ile: f x dx = f x dx + f x dx = h 2 f 0 + f 1 + h 3 f 1 + 4f 2 + 2f 3 + 4f 4 + 2f 5 + 4f 6 + 2f 7 + 4f 8 + f 9 =

34 Not: Gerçek değer A = olup en küçük hata c şıkkında oluşmuştur. ÜNİFORM OLMAYAN NOKTALAR VE AÇIK İNTEGRASYON Uygulamada her zaman eşit kalınlıklı dilim olmaz. Dilim kalınlığının farklı olması hallerinde Simpson kuralları doğrudan uygulanamaz. Böyle durumlarda yapılacak en basit iş yamuk kurallarını her dilime uygulanarak çözüme ulaşmaktır. Uygulamada karşılaşılan bir başka durum integrasyon sınırlarının verilen noktaların dışına taşması durumudur (Şekil 8.5). Böyle bir durumda kullanılabilecek integrasyon formülleri benzer şekilde elde edilebilir. Bu formüllere açık integrasyon formülleri de denir. Bu formüllerin esası integrasyon aralığı ile ortalama kalınlığın çarpımıdır. Yani; 34

35 y y 0 h/2 h h/2 a x 0 x 1 b x Şekil 8.5. İntegral sınırlarının veri aralığını aşması b A = f x dx (b a)y a Burada hesaplanacak alanın ortalama kalınlığı verilen noktalardan elde edilebilir. 35

36 a) Tek nokta olması hali: İntegrasyon aralığında tek bir nokta (x 0, y 0 ) verilmiş olsun. Bu nokta ile [a, b] aralığı h kalınlığında iki dilime bölünmüş ise ortalama yükseklik y = y 0 olacaktır. Bu durumda aranan alan b A = f x dx (b a)y 0 a olacaktır. Bu hesapta oluşan hata yamuk kuralına benzetilerek bulunabilir. Aralığın uç noktalarının ortalaması 36

37 f a + f(b) 2 = y 0 olduğu dikkate alınır, Denklem (8.4) integral sınırları a ve b olarak (s = 0 dan 2 ye kadar) alınırsa hata terimi e i = h3 3. y (x s ) olarak elde edilir. 37

38 b) İki nokta olması hali: İntegrasyon aralığında iki nokta (x 0, y 0 ) verilmiş olsun (Şekil 8.5). Verilen bu noktalardan geçen bir doğru denklemi elde edip [a, b] aralığı boyunca integre edilerek aranan alan yaklaşık bulunabilir. Verilen (x 0, y 0 ) ve (x 1, y 2 ) noktalarından geçen doğru denklemi, interpolasyon polinomlarından birini kullanılarak y p = y 0 + x x 0 h (y 1 y 0 ) yazılabilir. Bu denklem integrasyon kullanılırsa b b b A = f x dx y p dx = y 0 + x x 0 (y h 1 y 0 ) a a a dx 38

39 (b a) y 0 + y 1 y 0 h a + b ( x 2 0 ) elde edilir. [a, x 0 ] ve x 1, b aralıkları eşit ve h veya Şekil 8.5 deki gibi h 2 ise yukarıdaki ifade daha basit bir hale gelecektir. A (b a) y 0 + y

40 c) Çok nokta olması hali: İntegrasyon aralığında çok nokta varsa benzer şekilde hareket edilir. Yani noktalardan geçen bir interpolasyon polinomu elde ederek istenen sınırlar arasında integrasyon gerçekleştirilir ve bir integrasyon formülü elde edilir. Örneğin a, b aralığında üç nokta varsa bu noktaların oluşturduğu eşit h kalınlıklı dört dilim üzerinden integrasyon için A (b a) 2y 0 y 1 + 2y 2 3 formülü elde edilecektir. Bu ifadenin hatası ise benzer şekilde hesaplanırsa e i = h5 y iv x s sonucu elde edilir. Daha fazla nokta verilmesi halinde izlenecek yöntem aynıdır. 40

41 Örnek 8.5:. x f(x) Yukarıdaki tablo değerlerine göre f(x) fonksiyonun integralini [0,0.6] aralığında hesaplayınız. Çözüm: Verilen noktaları dikkate alarak verilen integrali iki kısım halinde alabiliriz A = f x dx = f x dx + f x dx

42 = 3.9 ÇOK KATLI İNTEGRALLER Tek katlı integral için elde edilen integrasyon formülleri çok katlı integrasyona genişletilebilir. Bunun için dikkat edilmesi gereken nokta integrasyonun hangi konumda ve hangi yönde yapıldığının ortaya konmasıdır. Burada örnek olarak f x, y = 0 fonksiyonunun iki katlı intagralinin alınışı izah edilecektir. x yönündeki dilim kalınlığı h ve adım sayacı i, y yönündeki dilim kalınlığı k ve adım sayacı j olsun. Her iki yönde de yamuk kuralı uygulanırsa 42

43 A = f x, y dxdy y j+1 x i+1 = f x, y dx dy = x i y j y j+1 y j h 2 f x, y + f(x + h, y) dy A = h 2 k 2 f x, y + f x, y + k + f(x + h, y) + f(x + h, y + k) A = hk 4 f i,j + f i,j+1 + f i+1,j + f i+1,j+1 ifadesi elde edilir. 43

44 Örnek 8.6:. x y = İki değişkene bağlı bir fonksiyon için yukarıdaki tablo değerleri verilmiştir. Çözüm: A = f x, y dydx = hk 4 f i,j + f i,j+1 + f i+1,j + f i+1,j+1 j=1 i=1 44

45 = = (0.5) j=1 3 i=1 f i,j + f i,j+1 + f i+1,j + f i+1,j+1 [ ] + [ ] + [ ] + ([ ] + [ ] + [ ]) + ([ ] + [ ] + [ ]) + ([ ] + [ ] + [ ]) 45

46 = (0.5)0.1 4 = (0.5)0.1 4 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 2.63 değeri elde edilir. Aynı soru tablonun ayrı ayrı sütunlarına yamuk kuralını uyguladıktan sonra bulunan değerlerin tekrar y yönünde integrasyonu ile çözülebilir. 46

47 y = 0.2 için: Yamuk kuralı ile 3 A 1 = f x, y dx = h 2 f 1,1 + 2f 2,1 + 2f 3,1 + f 4,1 = y = 0.3 için: Yamuk kuralı ile 3 A 2 = f x, y dx = h 2 f 1,2 + 2f 2,2 + 2f 3,2 + f 4,2 = y = 0.4 için: Yamuk kuralı ile 3 A 3 = f x, y dx = h 2 f 1,3 + 2f 2,3 + 2f 3,3 + f 4,3 =

48 y = 0.5 için: Yamuk kuralı ile 3 A 4 = f x, y dx = h 2 f 1,4 + 2f 2,4 + 2f 3,4 + f 4,4 = y = 0.6 için: Yamuk kuralı ile 3 A 5 = f x, y dx = h 2 f 1,5 + 2f 2,5 + 2f 3,5 + f 4,5 = Bulunan bu değerler y yönünde integre edilecektir. Dilim sayısı çift olduğundan Simpson 1/3 kuralı uygulanabilir. Buna göre 48

49 0.6 A = f x, y dx = k 3 A 1 + 4A 2 + 2A 3 + 4A 4 + A 5 = değeri bulunur. Örnek 8.7: Aşağıdaki integrali hata mertebesi O(h 6 ) olacak şekilde hesaplayınız. 2 A = xe 2x dx 0 49

50 Çözüm: İntegrali alınacak fonksiyon ve verilen aralıktaki değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. x y = f(x) f x = xe 2x Bu tablo değerleri kullanılarak istenen integral yamuk kuralı ile aşağıdaki gibi hesaplanabilir. n = 1 ve h 1 = 2 için: A 1 = h 2 y 0 + y 1 = =

51 n = 2 ve h 2 = 1 için: A 2 = h 2 y 0 + 2y 1 + y 2 = ( = Aynı işlem dört dilim için yapılırsa n = 4 ve h 2 = 0.5 için: A 3 = h 2 y 0 + 2y 1 + 2y 2 + 2y 3 + y 4 = = =

52 Aynı integrali dört dilim için Simpson 1/3 kuralı ile hesaplarsak A s h 3 y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + y 4 = [ ) + 2(7.389) + 4( ] = sonucu elde edilir. Gerçek sonuç ise analitik çözümden A = 0 2 xe 2x dx = e2x 4 (2x 1) 2 0 = e e =

53 olarak elde edilir. Buna göre bulunan sonuçlar ve mutlak hatalar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Yöntem İntegral(A) Hata(e) Yamuk (n=1) Yamuk (n=2) Yamuk (n=4) Simpson 1/3 (n=4)

54 IMPROPER İNTEGRALLER Bazı durumlarda integrasyon sınırlarından biri veya her ikisi sonsuz olabilir. Bazen de integrali alınacak fonksiyon verilen sınırlardan biri veya ikisinde tanımsız iken integrasyon değeri sonlu olabilir. Bu gibi durumlarda yapılacak en basit iş sonsuz olan sınırlar yerine problemin karekterine göre çok büyük rakamlar kabul ederek integrali almaktır. Fonksiyonu tanımsız yapan sınırlar yerine ise, söz konusu sınır değerinde çok küçük bir δ değişimi yaparak sınırları tanımlı hale getirmek mümkündür. Ancak bu uygulamalarda hata payı yüksek olabileceği gibi gereksiz yere fazla hesaplama zamanı da harcanmış olabilir. Bu gibi durumlarda başvurulan bir başka yol da değişken dönüşümü yapmaktır. 54

55 Verilen belirli integrallerin limitleri sonlu olmayıp birisi sonsuz olursa, a b, +, x = 1 t m (m pozitif sayı) değişken dönüşümü ile sonsuzluk hali, sonlu hale sokulabilir. m = 1 alınırsa x iken en azından 1 x 2 kadar hızla sıfıra giden herhangi fonksiyon için dönüşüm yapılırsa a b f x dx = 1 a 1 t2 f 1 t dt 1 b sınırları sonlu olan bir integral elde edilmiş olur. Burada a. b > 0 dır. Yani a > 0, b = + ve a =, b < 0. Dikkat edilirse dönüştürülmüş fonksiyon integral sınırların birinde tanımsız hale gelebilmektedir. 55

56 Bu durumda integral sınır noktalarını kullanmayan açık integrasyon formüllerinin kullanılması mümkündür. Bu yapılırken açık integrasyon formüllerinin sadece tanımsızlık oluşan sınırda kullanılması diğer noktalarda ise bilinen kapalı integrasyon formüllerinden yararlanılması çoğunlukla başvurulan bir yoldur. İntegral sınırları farklı işaretli ise integral aşağıdaki gibi iki kısma ayrılarak b b b f x dx = f x dx + f x dx b yönteminin birinci intagral için uygulanması yoluna gidilir. İkinci integral ise bilinen şekilde alınır. 56

57 Örnek 8.8: İstatistikte önemli bir kavram olan kümülatif normal dağılım fonksiyonu aşağıda verildiğine göre, bir olayın (ortalama + bir standart sapma) dan küçük olma ihtimalini, yani φ(1) değerini hesaplayınız. x φ x = 1 2π e x2 2 dx Çözüm: Verilen sınır pozitif olduğundan integral aşağıdaki gibi iki parçaya ayrılarak alınabilir. 1 φ 1 = 1 2π e x2 2 dx 57

58 2 1 = 1 2π e x2 2 dx + e x2 2 dx 2 Birinci integrali almak üzere x = 1 t dönüşümü uygulanırsa 2 A 1 = e x2 2 dx = t 2 e 1 (2r2 ) dt olacaktır. İntegrali sayısal almak üzere h = seçilerek, gerekli f(t) değerleri hesaplanıp aşağıdaki tablo verilmiştir. 58

59 t f x = 1 t 2 e 1 (2r2 ) E b A = f x dx (b a)y 0 (8.16) a İlk iki dilime Simpson 1/3 kuralını, son iki dilime de, f(0) tanımsız olduğundan, açık integrasyon formülünü(denk.8.16) uygulayarak A 1 = (8.11x10 13 ) 3 =

60 değeri bulunur. İkinci integral için h = 0.5 seçerek gerekli değerler hesaplanırsa x f x = e x ve integral yine Simpson 1/3 kuralı ile alınırsa 60

61 A 2 = ( (1) ) = elde edilir. Bu değerlerin kullanılmasıyla A = φ 1 = 1 2π A 1 + A 2 = 1 2π sonucu bulunur. 61

62 Örnek 8.9: x f(x) Yukarıdaki tabloda verilen değerlerden yararlanarak; a) Newton-Gregory ilerleme polinomunu x = 1.5 ve takip eden noktalarda uygulayarak f(x) değişimini üçüncü dereceden bir polinom ile ifade ediniz. b) x = 1.7 noktasındaki f (x) türevini yaklaşık hesaplayınız. c) Simpson 3/8 kuralını uygulayarak fonksiyonu x = 1.3 den x = 2.5 e kadar integre ediniz. 62

63 Çözüm: Problemin çözümü için verilen değerlerden yararlanılarak sonlu fark tablosu aşağıda hazırlanmıştır. x f(x) f 2 f 3 f 4 f

64 Çözüm: a) Newton-Gregory ilerleme polinomunda 1.5 ve sonraki x değerleri kullanabilmek için x 0 = 1.5 alınmalıdır. Üçüncü dereceden polinom için kullanılacak değerler: x 0 = 1.5, f 0 = 4.482, f 0 = 0.992, 2 f 0 = 0.220, 3 f 0 = h = 0.2 s = 5x 7.5 Newton-Gregory ilerleme polinomu: (3. derce için) = x (5x 7.5)(5x 7.5 1) (5x 7.5)(5x 7.5 1) (5x 7.5 2) 6 64

65 y p x = x x x bulunur. x = 1.7 noktasındaki türev için; 1. Yol: Newton-Gregory ilerleme polinomunun türev ifadesini kullanarak, Yaklaşık türev için ilk dört terimi alalım: x 0 = 1.7, f 0 = y p 1.7 = y (1.7) = p 2. Yol: (a) da bulunan üçüncü derece polinomun türevi alınarak, 65

66 y p x = 3x 2 4.7x y p 1.7 = 3(1.7) = 5.47 elde edilir. n = ( ) 0.2 = 6 bulunur. 6 sayısı 3 ün tam katı olduğundan Simpson 3/8 kuralı doğrudan uygulanabilir. Simpson 3/8 kuralı: f(x)dx 3h (f 0 + 3f 1 + 3f 2 + 2f f n 1 + f n ) 8 Buna göre; 66

67 f x dx = 3x0.2 ( ) 8 = bulunur. 67

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 10 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 9-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 1 GİRİŞ Diferansiyel denklemler, mühendislikte fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu

Detaylı

HATA VE HATA KAYNAKLARI...

HATA VE HATA KAYNAKLARI... İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün

Detaylı

dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir.

dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir. SAYISAL İNTEGRASYON TEK KATLI İNTEGRASYON Sayısal integrasyon çok geniş bir konudur. Burada problemli olmayan (genelde integrantın tekilliği olmayan, fazla salınım yapmayan, yaklaşım problemi bulunmayan)

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 1. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi SONLU FARKLAR İNTERPOLASYONU İleri Yönlü Sonlu Farklar İterpolasyonu

Detaylı

ATALET MOMENTİ. Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması.

ATALET MOMENTİ. Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. ATALET MOMENTİ Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması. UYGULAMALAR Şekilde gösterilen çark büyük bir kesiciye bağlıdır. Çarkın kütlesi, kesici bıçağa

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

Soru 1. Soru 4. Soru 2. Soru 5. Soru 3. Soru 6.

Soru 1. Soru 4. Soru 2. Soru 5. Soru 3. Soru 6. İ s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik -Bilgisayar Bölümü MB500, MC 56, MC 56 - NÜMERİK ANALİZ (I) 0 Ocak 0 CEVAPLAR Talimatlar Sınav süresi 5 dakikadır. İlk 0 dakika sınav salonunu

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik

Detaylı

Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği

Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği Analitik yollardan çözemediğimiz birçok matematiksel problemi sayısal yöntemlerle bilgisayarlar aracılığı ile çözmeye çalışırız. Bu şekilde Sayısal yöntemler kullanarak

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

5. SAYISAL İNTEGRASYON

5. SAYISAL İNTEGRASYON 5. SAYISAL İNTEGRASYON Bu kısımda sayısal integral alma yöntemlerinden bazıları anlatılacaktır. İntegral kısaca bir eğrinin veya fonksiyonun altında kalan alan olarak tanımlanabilir (Şekil 5.1 deki C œ

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ 1 SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ

1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 1 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu çözümlemelerin MATLAB ile bilgisayar ortamında

Detaylı

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJENİN AMACI: Polinom fonksiyon yardımıyla özdeş nesnelerin farklı kutulara istenilen koşullardaki dağılım sayısının hesaplanması

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş 1.Hafta Sayısal çözümleme nümerik analiz nümerik çözümleme, approximate computation mühendislikte sayısal yöntemler Computational mathematics Numerical analysis

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2.

DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2. DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2. Kategoriler Alt kategoriler Ders içerikleri Kazanımlar Dersler arası ilişki I. Analiz I.1. Fonksiyonlar I.1.1. Fonksiyonlara ait bazı önemli

Detaylı

HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15.

HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15. HARMONİK DENKLEM Harmonik denklemin sağ tarafının sıfır olması haline Laplace, sağ tarafının sıfır olmaması haline de Possion denklemi adı verilir. Possion ve Laplace denklemi, kısaca harmonik denklem

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

STATİK AĞIRLIK MERKEZİ. 3.1 İki Boyutlu Cisimler 3.2 Düzlem Eğriler 3.3 Bileşik Cisimler. 3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı

STATİK AĞIRLIK MERKEZİ. 3.1 İki Boyutlu Cisimler 3.2 Düzlem Eğriler 3.3 Bileşik Cisimler. 3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı 1 STATİK AĞIRLIK MERKEZİ 3.1 İki Boyutlu Cisimler 3.2 Düzlem Eğriler 3.3 Bileşik Cisimler 3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı 3.5 Pappus-Guldinus Teoremi 3.6 Yayılı Yüke Eşdeğer Tekil Yük 3.7 Sıvı

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi 1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.

Detaylı

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

TÜRKİYE NİN NÜFUSU. Prof.Dr.rer.nat. D.Ali Ercan ADD Bilim Kurulu Başkanı Nükler Fizik Uzmanı. dn (t) / dt = c. n (t)

TÜRKİYE NİN NÜFUSU. Prof.Dr.rer.nat. D.Ali Ercan ADD Bilim Kurulu Başkanı Nükler Fizik Uzmanı. dn (t) / dt = c. n (t) TÜRKİYE NİN NÜFUSU Prof.Dr.rer.nat. D.Ali Ercan ADD Bilim Kurulu Başkanı Nükler Fizik Uzmanı Nüfus sayımının yapılmadığı son on yıldan bu yana nüfus ve buna bağlı demografik verilerde çelişkili rakamların

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi 4. 4. Cismin ğırlığı Düzlemsel landa ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi Düzlemsel Eğride ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi 4.3 Bileşik Plak ve Teller 4.4 Pappus Guldinus Teoremleri 4.5 Üç Boyutlu Cisimlerde

Detaylı

İM 205-İnşaat Mühendisleri için MATLAB. Irfan Turk Fatih Üniversitesi,

İM 205-İnşaat Mühendisleri için MATLAB. Irfan Turk Fatih Üniversitesi, İM 205-İnşaat Mühendisleri için MATLAB Irfan Turk Fatih Üniversitesi, 2013-14 Konular 1) İnterpolasyon 2) Polinom Fonksiyonu 3) Sayısal İntegral Fonksiyonları 4) Sayısal İntegral Alma 5) Diferansiyel Denklemleri

Detaylı

U.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü ELN3102 OTOMATİK KONTROL Bahar Dönemi Yıliçi Sınavı Cevap Anahtarı

U.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü ELN3102 OTOMATİK KONTROL Bahar Dönemi Yıliçi Sınavı Cevap Anahtarı U.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü ELN30 OTOMATİK KONTROL 00 Bahar Dönemi Yıliçi Sınavı Cevap Anahtarı Sınav Süresi 90 dakikadır. Sınava Giren Öğrencinin AdıSoyadı :. Prof.Dr.

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu

İşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu İşaret ve Sistemler Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu Fourier Serileri Periyodik işaretlerin spektral analizini yapabilmek için periyodik işaretler sinüzoidal işaretlerin toplamına dönüştürülür

Detaylı

Şekil 5.1 Uçları dışa doğru açılmış, paralel plakalar sistemi

Şekil 5.1 Uçları dışa doğru açılmış, paralel plakalar sistemi 5. Paralel Plakalar Amaç Bu deneyde yüklü bir parçacığı elektrik alan içinde hızlandırmak için kullanılan paralel plakalı elektrot düzeneğinin bir eşdeğeri iki boyutlu olarak teledeltos kağıdına çizilerek,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

Sayı sistemleri-hesaplamalar. Sakarya Üniversitesi

Sayı sistemleri-hesaplamalar. Sakarya Üniversitesi Sayı sistemleri-hesaplamalar Sakarya Üniversitesi Sayı Sistemleri - Hesaplamalar Tüm sayı sistemlerinde sayılarda işaret kullanılabilir. Yani pozitif ve negatif sayılarla hesaplama yapılabilir. Bu gerçek

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever Ders #2 Otomatik Kontrol Laplas Dönüşümü Prof.Dr.Galip Cansever Pierre-Simon Laplace, 1749-1827 Matematiçi ve Astronomdur. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/biographies/laplace.html LAPLAS DÖNÜŞÜMÜ

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

Regresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT

Regresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT Regresyon ve İnterpolasyon Rıdvan YAKUT Eğri Uydurma Yöntemleri Regresyon En Küçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma Polinom Uydurma Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma İnterpolasyon Lagrange İnterpolasyonu (Polinomal

Detaylı

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU

Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU Örnek: Aşağıda 100 yetişkine ilişkin kolesterol değerlerini sınıflandırılarak aritmetik ortalamasını bulunuz (sınıf aralığını 20 alınız). 2 x A fb C 229.5 n 40 20 100 221.5 3 Örnek:.

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

2. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

2. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 2. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 HATA Sayısal yöntemler analitik çözümlerden farklı olarak

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Bir önceki

Detaylı

Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için

Detaylı