ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006

Transkript

1 ĐST 49 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 006 Adı Soyadı:KEY No: 1. Aşağıdaki problemi grafik yöntemle çözünüz. Đkinci kısıt için marjinal değeri belirleyiniz. Maximize Z X X subject to: X 1 + X 4 -X 1 + X 15 5 X 1 + X 45 X 1, X 0 Köşeler ZX 1 +4X A: (0,0) 0 B: (0, 5) 0 C: (, 6) 7 ** Optimum çözüm D: (7, 10/) 61/ E: (9, 0) 9 S 1 0 S 0 S 1 Đkinci kısıtın sağ taraf değeri 15 değil de 16 olsa idi C noktasının yeni koordinatları: ( 8/, 56/9) olurdu. Bu noktada hesaplanacak Z değeri: Z new 48/9 olurdu. U Z new - Z old 48/9-7 (48-4)/95/9 olur.

2 . a) Aşağıda verilen doğrusal programlama probleminin çözümünde aşağıda verilen simpleks tablosuna ulaşılmıştır. Bu tabloyu kullanarak verilen çözümün optimum olup olmadığını saptayınız. Çözüm optimum değilse optimum çözümü bulunuz. Gerekirse verilen boş tabloları kullanınız. Max. Z X + X s.t. X + 4X + X X + X + X 1+ 4X 1 1 X 1+ X + X X 1, X, X X 1 X X S 1 S S Basis C j RHS Ratio X 4 /4 1 1/ 1/ S 0 5/4 0 / -1/ S 0-5/4 0 1/ -/ Z j C j -Z j (/)R ---R ; (-1/)R +R 1 ---R 1 ; (-1/)R +R ---R X 1 X X S 1 S S Basis C j RHS Ratio X 4 1/ 1 0 1/ -1/ 0 0 X 5/ /6 / 0 10 S 0-5/ 0 0 -/ -1/ 1 5 Z j /6 4 5/6 / C j -Z j -11/ /6 -/ 0 Optimum Çözüm: X 1 0 X 0 X 10 S 1 0 S 0 S 5 Z110 b) Son simpleks tablosundaki bilgileri kullanarak, X nin objektif fonksiyondaki katsayısı C için mevcut çözümün optimum oluşunu bozmayacak değişim aralığını hesaplayınız. C 5 olsa çözüm nasıl değişirdi? X 1 X X S 1 S S Basis C j 4+d RHS Ratio X 4+d X S 0 Z j /6+d/ 4+d 5/6+d/ /-d/ d C j -Z j -11/6-d/ 0 0-5/6-d/ -/+d/ 0-11/6-d/ 0, -5/6-d/ 0, -/+d/ 0 eşitsizlikleri d için ortak çözülürse -5/ d bulunur ve bunun sonucu olarak da / c 6 elde edilir. C 5 olsa d1 olurdu ve bu durumda Z New 110+0(d)110+0(1)10 olur. c) Son simpleks tablosundaki bilgileri kullanarak, birinci kısıtın sağ taraf değeri olarak verilen 100 değerinin alt -üst limit değerlerini hesaplayıp bu limitlerin ne anlama geldiğini açıklayınız. Örneğin birinci kısıtın sağ taraf değeri 100 olmak yerine 105 olsa optimum çözüm değişir mi? Değişirse yeni çözümü veriniz.

3 X S new olarak da 0+ d / 0 10 d / d / 0 eşitsizlikleri ortak çözülürse 60 d 7. 5 bulunur ve bunun sonucu 40 b olur. b olsa d5 olacağı için X S new 0+ d / X 10 d / 6 5 d / S new 0+ 5/ X 10 5/ 6 5 (5) / S new 65 / 55 / 6 5 / ve Z4(65/)+(55/6)60/+165/6685/ olur. d) Eldeki kaynakların marjinal değerlerini (gölge fiyatlarını) belirtiniz. Birinci kaynaktan temin edilecek ilave her bir birimin fiyatı 0.55 olsa ve size bu fiyattan 7 birim daha satmayı teklif etseler alır mısınız? Neden? Marjinal değerler: u / 6; u / ; u Birinci kaynağın Marjinal değeri 5/60.8 olduğu; maliyet 0.55 olduğu ve ayrıca birinci kaynağa ilave edilebilecek miktarın üst sınırı da 7.5 olduğu için birim maliyeti 0.55 olan bu kaynaktan 7 birim daha almak, her bir ilave birimlik artış toplam karı (5/6-0.55) birim artıracağı için, uygun bir karar olacaktır.. Đki farklı DP probleminin simpleks metodu ile çözümünde aşağıdaki tablolara ulaşılmıştır. Tablolardaki eksikleri tamamladıktan sonra i) problemin çözümünün olup olmadığını, ii) çözümü varsa tablodan elde edilen çözümü, iii) birden fazla optimum özümü varsa en az bir optimum çözüm daha veriniz. a) Max Z 4 X X s.t. X 1 + X 10 - X 1 + X 8 X 1, X 0 X 1 X S 1 S A Basis C J M RHS X / A -M - 0-1/ -1 1 Z j 8+M 8 4+M/ M -M 40-M C j - Z j -4-M 0-4-M/ -M 0 C j - Z j değerlerinin hepsi 0 olduğu için bu tablo son simpleks tablosudur. Ancak Basis te bir yapay(artificial) değişken yer aldığı için bu problemin çözümü yoktur. (Infeasible) b) Max Z X 1 + X + X s.t. 4X 1 + X + X 4 X X + 0 X 0 4X X + X 16

4 X 1 X X S 1 A 1 S S Basis C j M 0 0 RHS Ratio X 1 1 1/ /4 4 8 S / 1 - S Z j / 8 C j -Z j M 0-1/ C j - Z j değerlerinin hepsi 0 olduğu için bu tablo son simpleks tablosudur. Buradan optimum çözüm okunursa: X 1 4 X 0 X 0 S 1 1 A 1 0 S 1 S 0 Z8 Olur. Yukarıdaki tabloda X temel değişkenlerden biri olmadığı halde C j - Z j değeri sıfırdır. Bu da bu problemin alternatif optimum çözümü olduğunun işaretidir. Yani X Basis e girer ve X 1 de çıkar. Alternatif optimum aşağıdaki tabloda verilmiştir. R 1 ---R 1 ; R 1 +R ---R ; R ---R X 1 X X S 1 A 1 S S Basis C j M 0 0 RHS Ratio X / 8 S S Z j / 8 C j -Z j M 0-1/ Bu tablodan optimum çözüm okunursa: X 1 0 X 0 X 8 S 1 1 A 1 0 S 0 S 0 Z8 Elde edilir.

5 4. Bir işletmenin cevher çıkarılan üç maden ocağı (M1, M, M) ve üç adet de Đşleme Merkezi (D1, D, D) bulunmaktadır. Aşağıdaki tablonun en son sütununda Maden ocaklarının üretim kapasiteleri (bin ton olarak); en alt satırında Maden işleme merkezlerinin işleme kapasitelerinin alt sınır değerleri (bin ton olarak); tablonun (MĐ, DJ) gözelerinde de 1000 ton madenin MĐ den DJ ye ulaştırılma maliyetleri verilmiştir. Ayrıca, M den D ye gönderilecek maden miktarı D ye gönderileceklerin en az % 50 si kadar; M1 den D e gönderilecek maden miktarı da D e gönderileceklerin en az %0 u kadar olmalıdır. Đşleme Merkezleri Maden Ocakları D1 D D Üretim M M M Kapasite Toplam ulaştırma maliyetini minimize eden çözümünü verecek DP modelini oluşurunuz. X ij M i den D j ye gönderilecek cevher miktarı olsun (1000 ton olarak) ; i, j 1,, Min Z 80 X X X X X X + 10 X X X s.t. X 11 + X 1 + X 1 0 X 1 + X + X 15 X 1 + X + X 10 X 11 + X 1 + X 1 15 X 1 + X + X 15 X 1 + X + X 15 X 0.5( M 1 Kapasitesi M Kapasitesi M Kapasitesi D 1 Talebi D Talebi D Talebi X 1 + X + X ) M den D ye gönderilecek miktarın D ye gönderilecekler içindeki payı X 1 0.(X 1 + X + X ) M 1 den D e gönderilecek miktarın D e gönderilecekler içindeki payı

6 5. Fın-Fıs(FF) 800 gramlık kutularda karışık kuru yemiş hazırlayıp pazarlamaktadır. FF nin değişik ad ve içeriklerde hazırladığı dört farklı karışımın 800 gramlık bir paketindeki kuru yemiş türleri ve miktarları(gr olarak) aşağıdaki tabloda verildiği gibidir. Karışım Fındık Ay Leblebi Antep Yer Fıstığı Badem Fiyat/kutu çekirdeği Fıstığı Özel YTL Lüks YTL Kral YTL Parti YTL Fiyat/kg.60 YTL 1.5 YTL YTL YTL.5 YTL.75 YTL Stok (kg) 00 Sınırsız FF Kral adı verilen karışımdan en az 0 kutu, Özel karışımdan da en çok 50 kutu satabileceğini öngörmektedir. FF her bir karışımdan kaçar kutu hazırlayıp satmalıdır ki toplam karı maksimum olsun. ( modelleyiniz, çözüm için uğüraşmaynız) X 1 Özel karışımdan hazırlanacak 800 gramlık kutuların sayısı XLüks karışımdan hazırlanacak 800 gramlık kutuların sayısı X Kral karışımdan hazırlanacak 800 gramlık kutuların sayısı X 4 Parti karışımdan hazırlanacak 800 gramlık kutuların sayısı olsun. Bu karışımların 800 gramlık bir kutusunun maliyetlerini hesaplayalım. 1 kutu Özelin maliyeti 0.(.60)+ 0.(1.5)+0.1()+0.1()+0.1(.5)+0.1(.75) YTL, 1 kutu Lüksün maliyeti 0.(.60)+0.()+0.(.5)+0.1(.75).155 YTL 1 kutu Kralın maliyeti 0.(.60)+ 0.( )+ 0.(.5).4 YTL, 1 kutu Partinin maliyeti 0.4( 1.5) + 0.4(.5) 1.90 YTL. Şimdi de 800 gramlık bu karışımların satışından elde edilecek net karları hesaplayalım. 1 kutu Özelden elde edilecek kar YTL; 1 kutu Lüksden elde edilecek kar YTL 1 kutu Kraldan dan elde edilecek kar YTL 1 kutu Partiden den elde edilecek kar YTL olur. DP modelimiz: Max Z X X X X 4 s.t. X 0 X X 1 +0.X + 0. X X X X X 75 Kral satışı Özel satışı Mevcut Fındık Miktarı Mevcut Leblebi Miktarı Mevcut Antep Fıstığı Miktarı 0.1 X 1 +0.X + 0. X +0.4X 4 00 Mevcut Yer Fıstığı Miktarı 0.1 X X 00 Mevcut Badem Miktarı X i1,,,4 i 0