4) Furier Donusumu. 5) Ayrik isaretler isaretlerin in bilgisayara aktarilmasi. Ornekleme teoremi Ayrik Furier Donusumu Hizli Furier DOnusumu

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "4) Furier Donusumu. 5) Ayrik isaretler isaretlerin in bilgisayara aktarilmasi. Ornekleme teoremi Ayrik Furier Donusumu Hizli Furier DOnusumu"

Transkript

1 )Temel Isaret Bilgisi Isaret Kavrami, Isaretlerin Olculmesi, Gurultu Kavrami, Isaretlerin Bilgisayara Aktarilmasi, Yuvarlatma Hatalari ve AD kartinin Cozunurlugu, Isaretlerin Degerlendirilmesi 2) Periyodik Isaretler Genlik (amplitude, magnitude), Periyot, Faz (aci)(phase) Sinuzoidal Isaretlerin Spektrumu 3)Isaretlerin Sinuzoidal Terimlerin Toplami Cinsinden Ifade Edilmesi, Furier Serileri 4) Furier Donusumu 5) Ayrik isaretler isaretlerin in bilgisayara aktarilmasi. Ornekleme teoremi Ayrik Furier Donusumu Hizli Furier DOnusumu 6) LINEER SISTEMLER anlog sistemlerin transfer fonksiyonu ayrik sistemler 7) Filtre(suzgec) Kavrami ve FIR FIR filtre tasarimi Filtre Kavrami FIR filtre tasarimi 8) Laplas donusumleri $Z$ donusumleri 9) Analog Filtre Dizayni Genlik Karakteristigi Bilinen Analog Filtrenin Transfer Genlik karakteristigi grafik olarak verilen filtrenin $ H(jw) ^2$ genlik fonksiyonunun hesaplanmasi AGF den Diger tip Filtrelerin elde edilmesi Frekans Donusumleri} 0) Analog Filtrelerin gerceklemesi )IIR filtreler ve Analog Sistemlerin Sayisal Esdegeri 2) Sayisal Filtrelerin Gerceklemesi )Direk Programlama,2)Standart Programlama, 3)Paralel Programlama 4)Seri Programlama (IANALA) 3)Merdiven tipi Programlama 4)Kafes Yapisinda Programlamma 5)Durum deklemleri fomunda gercekleme

2 Temel Isaret Bilgisi Isaret Kavrami Zamana bagli olarak degisen buyuklukler isaret olarak adlandirilir. Gunun degisik saatlerindeki elektrik tuketimini gosteren grafik veya oda sicakligin zamana gore degisimini gosteren grafik muhendislik dilinde isaret olarak adlandirilir. Mesela Tablo(.)de gosterilen gunun degisik saatlerindeki sicalik degerlerini ele alalim. Bu tablo gercekte bir isareti gosterir. Isaretin grafigi sekil(.)'de gosterilmistir. Bunun gibi sekil(.2)'de gosterilen icten yanmali bir dizel motorun icindeki sicakliklarin degisimini gosteren grafik de isaret olarak adlandirlir. Saat Sicaklik 0 C Tablo(.) Gunun degisik saatlerindeki sicaklik degisimi a)sutun gosterimi b)cizgi grafik gosterimi Sekil(.)Gunun degisik saatlerindeki sicakligin grafik olarak gosterimi Sekil (.)a ve (.)b degosterilen grafikler ayni veriyi kullanirlar. Veri sayisi az ise a)gosterimi daha kolay anlasilir. Veri sayisi cok ise (..)b de verilen grafik daha kolay anlasilir. Tablo(.2) de bir dizel motorun sicakliginin 60 milisaniye sure ile degisimi verilmistir. Zaman (milisan) sicaklik Zaman (milisan) sicaklik

3 Zaman (milisan) sicaklik Tablo(.2)Bir dizel motorun sicakliginin degisimi a)sutun gosterimi Sekil(.2)Bir dizel motorun sicakliginin degisiminin grafigi b)cizgi grafik gosterimi Gunun sicakliginin degisimi ile, motorun sicakliginin degisimi, her ikiside bir isarettir. Birisinde degisim cok yavas digerinde cok hizlidir. Sekil(.3)de gosterilen duzenegi ele alalim. Burada m ile gosterilen bir agirlik bir yaya baglanmis ve yay da bir iple sabit bir noktaya baglanmistir. m ile gosterilen kutleye asagiya dogru, F kuvveti uygulansin. Bu durumda kutle once asagi dogru hareket edecek sonra yukariya dogru hareket edecek ve bu islem surekli olarak tekrar edecektir. Ortamda hava surtunmesi oldugundan bu hareket belli bir zaman sonra duracaktir. Simdi m kutlesine hic kuvvet uygulanmadigi durumda kutlenin alt ucunu x=0 noktasi olarak ele alalim. Kuvvetin uygulandigi ani t=0 ani kabul ederek zamana gore kutlenin hareketini kaydederek sekil(.4)de oldugu gibi grafigini cizelim. Elde edilen bu x(t) muhendislik terminolojisinde mekanik bir isaret olarak isimlendirilir x=0 m x Sekil(.3) Yay kutle sistemi Zaman (saniye) Hareket (mm) Zaman

4 (saniye) Hareket (mm) Tablo(.3) Yay kutle sisteminin zamana gore degisim degerleri Sekil(.4) Yay kutle sistemi ve mekanik x(t) isareti.. Sekil(.5) Depremde olculen sismik isaret Sekil(.6)da basit bir mikrofonun calisma prensibi gorulmektedir. Insan konustugunda (veya herhangibir cisim ses cikardiginda) havadaki molekulleri titrestirir. Bu titresim bir basinc olusturur. Bu basinc dalgasi bizim kulagimiza gelir ve biz de ses istiriz. Tablo(.6) da mikrofon hareketine iliskin veriler, sekil(.7)de ise buverilerin grafik gosterimi verilmistir. Sekil(.8)a,b,c de bir insanin aaaa, eeee ve harran universitesi teleffuz ederkenki grafigi verilmistir. Insandaki kanin basincini gosteren kalb kardiografisi olarak bilnen grafik tibbi bir isarettir. Bunun gibi elektrik, elektromekanik, hidrolik, pnumatik, kimya, jeodezi, tip vb gibi bilim dallarinda da isaret kavrami benzer sekilde tanimlanmistir.

5 Mikrofonun Calisma Prensibi Demir Cubuk Electrik Isareti (Voltaj) x=0 Magnetik Eleman Sekil(.6) Mikrofon sistemi EEE sesi (Ustteki adama ait eee sesi alttaki cocuga ait eeee sesi) Radara gelen yansima isarti Deprem esnasinda olculen titresim isareti

6 SCANNER SISTEMI Fotodiyotlar 2x2 pixel Resim(image)

7 Resme karsilik gelen volt degerleri Birinci satira ait volt degerleri (, 0.3, 0.6,,, 0, 0, 0,, 0.4,, 0.6) Ikinci satira ait volt degerleri ( 0.3,,, 0, 0, 0.3, 0.3, 0.3, 0, 0,, ) Birinci+ikinci satira ait volt degerleri (, 0.3, 0.6,,, 0, 0, 0,, 0.4,, ,,, 0, 0, 0.3, 0.3, 0.3, 0, 0,, ) Ilk 5 satira ait volt degerleri

8 Tum resme ait volt degerleri Gercek bir resim ve onaait volt degerleri Bir resim yaklasik olarak 600x400 = pixel. TV: bir saniyede 25 resim var. 25x240000= pixel. =6megapixel Bir TV signali bir saniyede 6 megapixel veri tasir. (6 Megahertz lik bir signal) Ses veya Muzik Microfon Electrik Isareti FAX Sayfasi Scanner Electrik Isareti Image Video Kamera Electrik Isareti

9 Isaretlerin Olculmesi Direk veya dolayli yoldan olculemeyen bir isaretin muhendislikte bir anlami yoktur. Isaretin olcumu icin ilk adim kucuk istisnalar disinda olculecek isaretin elektriksel isarete (elektrik akimi veya gerilimine) cevrilmesidir. Bu cevirmeyi yapan aletler duyarga(sensor, transducer) olarak adlandirilir. Sekil(.)Direnc yardimiyla mesafe olcumu Sekil(.) de mesafe olcen bir duyarganin prensip semasi goruluyor. Burada cubuk hareket ettikce R 2 direnci degisecektir. Olusan V 0 gerilimi x mesafesine ait bilgiyi tasiyacaktir. Duyargalar konusu bu kitabin kapsami disindadir. Ancak butun duyargalar temel itibarile yukaridakine benzer sekilde is goruruler. Mesela basinc olcen piezoelektrik bir duyarga basincla orantili bir gerilim urettigi gibi bir ultrasonik duyarga da uzerine dusen basincla orantili bir gerilim uretir. Bunun gibi bir radyo veya televizyon anteni de uzerine dusen elektromagnetik dalganin siddeti ile orantili bir gerilim uretir. Cep telefonunun anteni de kendine gelen elektromagnetik dalganin siddeti ile orantili bir gerilim uretir. Examples

10 v(t) Human Hearth Voltmeter (Capable of Measuring very low voltages) Electric Voltage Proportional to Heart rate v(t) Radar Signal Receiver Antenna Electric Voltage Proportional to Radar signal Human Body (Emits infrades light) Infrared Detector Electric Voltage Proportional to human temperature v(t) v(t) Human Picture Camera Electric Voltage Proportional to light v(t) Movement of Rocks Due to Earthquake Accelerator (Vibration Measurement Device) Electric Voltage Movement of rock In the above examples Microphone, Voltmetre, Receiveing Antenna, Infrared detector, Camera, Accelerator are all sensors. What We Measure Microphone example We measure air pressure Human heart example We measure the voltage produced by human body Radar Example We measure the amplitude of electromagnetic wave Infrared detector example We Measure the intensity of infrared light Camera example We Measure the intensity of visible light

11 Earthquake example We measure the acceleration Gurultu Kavrami Muhendislikte olculen bir isaretin yaninda istenmeyen fakat olcum esnasinda tabii olarak bulunan isaretler gurultu olarak adlandirilir. Mesela sekil(.)'deki duzenekle mesafe olcumu yapilirken o civarda bir elektrik dugmesi acilsa yada kapansa sisteme bir parazit(gurultu) isareti eklenecektir. Sekil(.2)'de bu durum gosterilmistir. Gurultu isareti kesikli yada surekli olabilir. Sekil(.)'deki duzenegin yakininda bir bir motor calissa bu motorun meydana getirdigi elektromanyetik etkiler olcme isaretine surekli olarak bir parazit(gurultu) ekleyecektir. Gurultu isaretlerinin degeri onceden hesaplanabiliyorsa bu tip gurultu isaretlerine deterministik gurultu isareti eger onceden hesaplanamiyorsa rasgele (random) isaretler denir. Yukaridaki olcme duzeneginde motorun cikardigi gurultu onceden hesaplanabilecegi icin deterministik gurultu sinifina girer. Elektrik acma kapama olayi ise ne zaman olacagi belli olmadigi icin rasgele gurltu sinifina girer. Sabit araliklarla elektrik dugmesinin acilip kapanmasi sonucu cikan gurultu ise haliyle deterministik gurultu olur. Rasgele isarete bir baska ornek atmosferde ucaga etki eden turbilans etkisi... seklinde gosterilebilir. Rasgele gurultu isaretleri onceden belli olmadigi icin bir matematiksel bir ifade ile gosterilemez. Ancak isaretin genligi ve frekansi hakkinda belirli sinirlar kabul edilip olcme duzenegi bu sinirlara toleransli olacak sekilde dizayn edilir. Bir isaretin dogru olarak olculmesi icin icindeki gurultu miktarinin az olmasi gerektigi aciktir. Isaretlerin Bilgisayara Aktarilmasi Ayrik isaretler zamanin belli anlarinda degerleri olan bu zaman araliginda degerlerinin anlami olmayan isaretlerdir. Ayrik isaretlerin bir kismi tabiati geregi ayriktir, (bir dukkandaki gunluk esya satis sayisi, bir yeri ziyaret eden gunluk insan sayisi gibi) bir kismi da surekli isaretlerin ayrik hale donusturulmus halidir (bir firinin sicakliginin her saat olculmesi, ucagin irtifasinin her dakika olculmesi gibi). Bilgisyarlarin gelismmesi ile isaretleri bilgisayara aktararak analiz etmek daha kolay hale gelmistir. Bilgisayara analog datanin aktarimi bilgisayara takilan elektronik devreler vasitasiyla yapilir. Analog datanin bilgisayara aktarilmasi endustride cok kullanildigi icin bu tip devreler ticari olarak imal edilmekte ve satilmaktadir. Bu tip elektronik devrelerin endustride en cok kullanilani piyasada PC olarak bilinen bilgisayarlar icin hazirlanmis olanlaridir. Bu tip devreler PC'lerin slotlarina hazir olarak takilmakta ve buyuk bir kullanim kolayligi gertirmektedir. Bu tip kartlari kullanan kisinin kart uzerindeki elektronik devrenin ic yapisini bilmesi gerekmez. Analog dijital cevirici kart veya kisaca AD cevirici kart olarak bilinen bu kartlar analog bir isareti belli araliklarla bilgisayara aktarir. Isareti Bilgisayara Aktarma Hizi Bir isaretin bilgisayara aktarilmasi demek isaretin belirli anlardaki degerinin bilgisayara aktarilmasi demektir, yoksa isaretin her t anindaki degerinin bilgisayara aktarilmasinin pratik bir anlami yoktur. a(t) Orijinal Isaret t (saniye)

12 b(t) Ornekleme Islemi (Ornekleme araligi Ts=) t (saniye) c(t) Orneklenmis Isaret t (saniye) d(t) Orneklenmis isaretten yeni isaret elde edilmesi t (saniye) d(t) Orneklenmis isaretten elde edilen yeni isaret Sekil (.5)Isaretin orneklenmesi t (saniye) Sekil(.5.a)daki g(t) isaretini ele alalim. Bu isaretin bilgisayara aktarilmasi icin sekildeki t anlarindaki degeri bilgisayar tarafindan olculmus olsun. t= ve t=2 arasindaki bir zamanda isaretin ne oldugu bilgisayar tarafindan bilinmemektedir. Bilgisayar isareti sekil(.5.d) deki gibi zannetmektedir. Isaret bilgisayara aktarildiginda bilgisayarin hafizasinda (veya bir data dosyasinda) tablo (.5)deki rakamlar olacaktir. Zaman Voltaj Degeri Ornekleme araligi T=0.5 olarak secilsin.

13 b 2 (t) Ornekleme Islemi (Ornekleme araligi T=0.5) t (saniye) d 2 (t) Orneklenmis isaretten elde edilen yeni isaret t (saniye) Sekil(.6) isaretin Ts=0.5 saniye araliklarla orneklenmesi. Bu durumda bilgisayar isareti sekil(.6.b) deki gibi varsayacatir. Ornekleme araligini T=0.0 secelim bu durumda bilgisayar iareti Sekil(.7) dekii gibi varsaycaktir. a(t) Orijinal Isaret t (saniye) Sekil(.7) isaretin Ts=0.0 saniye araliklarla orneklenmesi sonucu isaretin yeniden elde edilmesi. a) g(t)=sin 2t isaretinin orneklenmesi

14 original signal f=2 T= Ts=0.0 Ns= Ts=0.05 Ns= Ts=0. Ns= Ts=0.2 Ns= x Ts=0.3 Ns= Ts=0.4 Ns= x 0-5 Ts=0.25 Ns= Ts=0.0,0,02 0.,0.4 saniye araliklarla ornekleyelim. gercek isaret sinus oldugu halde bilgisayara gelen bilgi sinuse benzer hali kalmamistir. O halde hemen su sorular akla gelir. Bilgisayara aktarilan data hangi olcude gercek isareti temsil eder? Gercek isarete benzemesi icin ornekleme araligi ne kadar kucuk olmalidir ki bilgisayardaki rakamlar gercek isaretin tasidigi bilgileri tasisin? Fabrikanizdaki bilgisayara boyle bir kart takmaniz gerektiginde, yukaridaki bilgilerin isigi altinda bilgisayara aktarma hizi cok yuksek olan kart lazim diyeceginiz aciktir. Ancak burada fiat faktoru iisin icine

15 girer. Bilgisayara data aktarma hizi yuksek olan kartin fiati da yuksektir. O halde hangi hizda bir AD karti takilacak sorusu bilgisayara aktarilacak isaret nasildir sorusunu gundeme getirmektedir. Bolum(??)de t,t 2 araliginin ne kadar kucuk olmasi konusu incelenecektir. Yuvarlatma Hatalari ve AD kartinin Cozunurlugu Sekil(.7)'de gosterilen g(t) isaretini bilgisayara aktarmak isteyelim. AD cevirici kartina isaretin maximum ve minimum degeleri onceden bildirildigini varsayalim. (Bu islem A/D cevirici kartin kullaniminda onceden ayarlanir). a(t) t (saniye) Sekil(.8) A/D cevirici karti verilen maximum ve minimum degerler arasini N bolgeye boler. Analog g(t) isaretinin herhangibir andaki degeri bu bolgelerden birinde oldugu varsayilir. Ornek olarak sekil(.8)'de gosterilen isaret bilgisayara aktarim icin 4 bolgeye ayrilmistir. Bu durumda t= anindaki gerilim 5V olarak alinacak t=2 anindaki gerilim ise 0V olarak alinacaktir. Gercekte t= noktasindaki gerilim 5.3V t=2 noktasindaki gerilim ise 9.V dur. Gerilimin daha hassas olarak olculebilmesi icin bolge sayisinin artirilmasi gerekir. Iste A/D kartinin ayirabildigi bolge sayisina A/D kartinin cozunurlugu denir. a(t) t (saniye) Sekil(.9) Sekil(.9) da isaret 8 bolgeye ayrilmistir. ( ) Konuyu daha acik gorebilmek icin bilgisayarlarin yapisina kisaca bakalim. Bugunku bilgisayar teknolojisi ikili sistem uzerine bina edilmistir. Bilgisayarlarda rakamlar 0 ve 'lerin kombinezonlari seklinde tutulur. Kelimelerin cumlelerin, resimlerin sekillerin bilgisayarda tutulmasi da ayni sekilde ikili sistem iledir. Piyasada ticari amacli satilan kartlarin cozunurlugu 4-bit, 8-bit, 2-bit, 6-bit olarak verilir. Bit sayisi arttikca A/D kartinin ayirabilecegi bolge sayisi da artacak dolayisiyla daha hassas olcum yapilacaktir. 4 bitlik ve 2 bitlik iki A/D cevirici karti ele alalim. 4-bitlik kartin ayirabilecegi bolge sayisi 2 4 =6 olurken 6 bitlik bir kartin ayirabilecegi bolge sayisi 2 6 =65536 olacaktir.

16 Isaretlerin Degerlendirilmesi Sekil(.8)'de genel bir isaret isleme duzenegi gosterilmistir. Olculen isaret icin ilk yapilacak islem isaretin icinde gurultunun ayiklanarak gercek isaretin elde edilmesidir. Bu is filtre kullanarak veya degisik bilgisayara algoritmalari kullanarak yapilir. Gurultuden ayiklanmis bir isaret uzerinde bir yorum yapmak cogu kere imkansizdir. Bu yuzden isaretin Furier donusumu alinir. Isaret bilgisayara aktarilmissa cesitli (akilli) algoritmalar kullanilarak isaret icindeki gurultu giderilebilir. Olcme g(t)+n(t) gurultu g(t) isaret gozlem ve yorum duzenegi ayilama isleme Sekil(.8)Genel bir isaret isleme duzenegi Examples of Signal Processings Expert Knowledge Signal Source Measurement Device Signal Processor Required Information Doctor s Knowledge Human Hearth Voltmeter (Capable of Measuring very low voltages) Signal Processor Atrium of the hearth is abnormal Radar Engineer s Knowledge Radar Signal Receiver Antenna Signal Processor There is an aircraft at 200 Km in the Noth-East, 000m Altitude

17 Night Vision Engineer s Knowledge Human Body Infrared Detector Signal Processor There is Someone at 50m ahead Explosive Detector Army s Knowledge Metal Case Metal Detector Signal Processor There is an Explosive at 75 cm Depth Speech Recognition Speech Engineer s Knowledge Human Voice Microphone Signal Processor This voice is Mr. A. B s voice Image Recognition Engineer s Knowledge Human Picture Digital Camera Recorder Signal Processor This is Mr. A. B s Picture

18 Movement of Rocks Due to Earhquake Seismic Application Accelerator (Vibration Measurement Device) Signal Processor Eartquake Engineer s Knowledge There is an Eartquake at 500Km East of Japan Digital Signal Processing n (t) n 2 (t) n 3 (t) Signal Source g(t) Measurement Device g(t) + n 2 (t) + n 2 (t) A/D Converter g(t) + n 2 (t) + n 2 (t) + n 3 (t) g(t) + n 2 (t) + n 2 (t) + n 3 (t) Digital Signal Processor Correct Information about g(t)

19 Periyodik Isaretler PERIYODIK ISARETLER VE SPEKTRUMLARI Onceki bolumde aciklanan isaretler genel olarak periyodik isaretlerdir. Mesela sekil(.33)'deki yay kutle sisteminde hava surtunmesi olmasa x(t) grafigi sonumlenmeden sonsuza kadar periyodik olarak artip azalacaktir. Boyle bir x(t) isareti peroyodik bir isaret olarak adlandirilir. g(t) t Sekil(.33) Periyodik Isaret Bu kitapda kucuk harf zamana bagli isareti buyuk harfde o isaretin Furier donusumu, Laplas donusumu veya Z donusumu gosterir. kucuk x ile buyuk X birbirine benzediginden karisikliga sebeb olmamasi icin isaret g(t) veya f(t) notasyonlari ile gosterilecektir. Periyodik isareti karakterize eden 3 temel ozellik vardor. genlik, frekans ve faz Sekil(.2) de bu ozellikler gosterilmistir. Genlik (amplitude, magnitude): Genlik olarak bazen alt tepeden ust tepeye uzaklik olan AB uzakligi alinir, isaretin pozitif ve negatif taraflari simetrik ise cogu kere tepeden tepeye uzakligin yarisi olan OA uzakligi genlik olarak alinir. Periyot: g(t)=g(t+t), T 0 esitligini saglayan en kucuk T degerine g(t) isaretinin periyodu denir. Frekans (frequency): f=(/t) ifadesine g(t) nin frekans?, w=2πf=((2π)/t) ifadesine g(t) nin acisal frekansi denir. T'nin birimi saniye, f'nin birimi Hertz, w'nun birimi radyan'dir. g(t) Periyod Genlik A O B t Periyod Sekil(.33) Periyodik Isaretin genligi ve periyodu

20 Genlik g(t) A O B Faz Faz Faz Sekil(.34)Periyodik iki isaret arasindaki faz farki t Faz (aci)(phase): Periyodik bir isaretin acisi(fazi) ya sabit bir referans noktasina gore veya ayni periyotda baska bir sekle gore tarif edilir. Bir periyotluk zaman ye karsilik gelir. Sekil(.34) de ayni periyotda iki isaret arasindaki faz farki gosterilmistir. Periyodik isaretler ileriki bolumlerde isbatlanacagi uzere sinus ve kosinuslu terimlerin toplami olarak yazilabilir.

21 Periyodik isaretler ileriki bolumlerde isbatlanacagi uzere sinus ve kosinuslu terimlerin toplami olarak yazilabilir. gt a 0 a cosw 0 t a 2 cos2w 0 t a 3 cos3w 0 t...a k coskw 0 t b sinw 0 t b 2 sin2w 0 t b 3 sin3w 0 t...b k sinkw 0 t xa k a 0 n a n cosnw 0 t b n sinnw 0 t seklinde bir isaret dusunelim. Bu isaretin periyodik oldugu ve periyodunun T 0 w 2 0 oldugu kolayca gosterilebilir. gt T 0 a 0 k a n cosnw 0 t T 0 b n sinnw 0 t T 0 k a 0 n a n cosnw 0 t nw 0 T 0 b n sinnw 0 t nw 0 T 0 k a 0 n a n cosnw 0 t n2 b n sinnw 0 t n2 k a 0 n a n cosnw 0 t b n sinnw 0 t gt 2 Not: w 0 T 0 w 0 w0 2 ve cosnw 0 t 2n cosnw 0 t cos2n sinnw 0 t sin2n cosnw 0 t oldugu dikkate alinmistir. (ref: xa) esitligi ile verilen gt isareti Acospt Bsinpt A 2 B 2 cospt argtg B A dcospt n a24 seklindeki trigonometrik baginti yardimiyla ayni frekansdaki sinus ve kosinus terimleri tek terim haline getirilerek k gt a 0 n formunda da gosterilir. k a n cosnw 0 t b n sinnw 0 t d 0 n d n cosnw 0 t n xaq O halde icinde w 0,2w 0,3w 0,...kw 0 frekansli bilesenler bulunan bir gt isareti T 0 w 2 0 periyodu ile periyodiktir. (ref: xa esitliginde a, a 2,...a k, b, b 2,...b k katsayilari degistirilerek cesitli isaretler olusturulabilir. Ornek olarak T , a 3, a 2 2, a 3 5 ve diger katsayilar sifir olsa. w xt 3cos25t 2cos50t 5cos75t elde edilir.

22 Sekil(xz3) Cesitli sinuzoidal isaretlerden uretilmis periyodik isaretler Sekil(xz5)Ayni frekansdaki sinus ve kosinus isaretlerin toplami yine ayi frekansdadir. Yukaridaki islemlerin tersi de bazi istisnalar disinda dogrudur. Yani T 0 periyotlu bir isaret w 0, 2w 0, 3w 0, kw 0, acisal frekansli sinus ve kosinus fonksiyonlari cinsinden yazilabilir. Bir periyodik isaretin sinus ve kosinus fonksiyonlari cinsinden yazilmasi islemine isaretin FURIER SERISIne acilmasi denir. Fiziksel olarak elde edilen butun periyodik isaretler Furier serisine acilabilir. Furier serilerine girmeden once isaretlerin spektrumu kavraminin incelenmesi faydali olacaktir.

23 Sinuzoidal Isaretlerin Spektrumu g(t)=acos(w 0 t+θ) seklindeki bir isarette A genlik, w 0 acisal frekans θ aci(faz)dir. Pratikteki isaretler tek bir sinuzoidal dalgadan degil bircok sinuzoidal dalganin toplamindan meydana gelir. Bu tip isaretleri bir grafikte toplayarak gozlemlemek icin genlikler bir eksende fazlar bir eksende gosterilir. Isaretin fazi icin kosinus'lu terim referans alinir. Yani cos(wt) nin fazi 0 cos(wt+θ) nin fazi θ dir. Sinuslu terimlerin fazi asagida gorulecegi gibi trigonometrik bagintilar kullanilarak kosinuslu terim haline getirilirerek bulunur. Kosinuslu terimin fazinin sifir kabul edilmesinin nedeni geleneksel olarak sinuzoidal terimleri kompleks duzlemde donen vektorlerden meydana geldigi varsayilarak incelenmesi ve kosinuslu terimi temsil eden vektorlerin baslangic noktasinin reel eksen olmasidir. Tek Tarafli Spektrum Yukarida anlatilanlara gore g(t)=5cos(2t)+0 cos(5t+20)+3 cos(7t-60)+5 cos(2t+40) isaretinin spektrumu sekil(xz23) deki gibi olacaktir. Sekil(xz23) g(t)=5cos(2t)+0 cos(5t+20)+3 cos(7t-60)+5 cos(2t+40) isaretinin tek tarafli spektrumu g(t)'nin icinde sinuslu terim varsa, bazi terimler negatif ise asagidaki bagintilar kullanilarak butun terimler pozitif ve sadece kosinus terimlerini icerir eder hale getirilir. cos(-x)=cos(x) sin(-x)=-sin(x) sin(x)=cos(90-x)=cos(x-90) -sin(x)=sin(-x)=cos(90+x)=cos(x+90) -cos(x)=cos(x-80)=cos(x+80) cos(x+y)= cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y) sin(x+y)= sin(x) cos(y) + sin(y) sin(x) g(t) nin icinde ayni frekansda sinus ve kosinuslu terimler varsa 2 2 A cos(x) + B sin(x) = A + B cos(x- θ), θ= tan - (B/A) trigonometrik bagintilar yardimiyla tek bir terim haline getirilir. Yukaridaki bagintida tan - (B/A) ifadesini hesaplarken A ve B nin isaretlerine dikkat etmek lazimdir. ozellikle tan - (B/A) tan - ((-B)/(-A)) tan - ((-B)/A) tan - (B/(-A)) oldugu gozden kacirilmamalidir. Ornek olarak asagidaki numerik ifadeleri inceleyiniz. 3cos(20t) + 4sin(20t) = (3²+4²) cos(20t-argtg(4/3)) = 5cos(20t-53.)

24 -3cos(20t) + 4sin(20t) = 5cos(20t-argtg(4/(-3))) =5cos(20t-(80-53.)) =5cos(20t-26.9) -3cos(20t)-4sin(20t) = 5cos(20t-argtg((-4)/(-3))) =5cos(20t-(80+53.))=5cos(20t-233.3) 3cos(20t)-4sin(20t)=5cos(20t-argtg((-4)/3)) =5cos(20t-( ))= 5cos(20t-306.9) Ayrica cos(x)=cos(x+360)=cos(x-360) bagintisi kullanilarak. cos(20t-306.9)=cos(20t+53.) ve cos(20t )=cos(20t+27) elde edilir. isaretin fazi arasinda incelenir. Ornek Problem: Asagidaki ifadeleri kosinuslu terime cevirin. a)sin(2t+25) b)-sin(5t) c) -sin(7t+60) d) -sin(9t-30) e) -cos(7t) f) -cos(7t-50) g) 3sin(2t)+6cos(2t) h) 3sin(2t)-6cos(2t) j)-3sin(2t)+6cos(2t) k) -3sin(2t)-6cos(2t) m)2sin(2t+30)+3cos(2t+60) Cevaplar a) sin(2t+25) = cos(2t )= cos(2t +35) b)-sin(5t)=cos(5t+90) c) -sin(7t+60)= cos(7t+60+90)= cos(7t+50) d) -sin(9t-30)= cos(9t-30+90)= cos(9t+60) e) -cos(7t)= cos(7t+80) f) -cos(7t-50)= cos(7t-50+80)= cos(7t+30) = 45 = 6.7, tan - (3/6) =26.5, tan - (-3/6) =-26.5, tan - (3/-6) = =53.5 tan - (-3/-6) = =206.5 g) 3sin(2t)+6cos(2t)= 6.7cos(2t-26.5) h) 3sin(2t)-6cos(2t)= 6.7cos(2t+53.5) j)-3sin(2t)+6cos(2t) =6.7cos(2t+26.5) k) -3sin(2t)-6cos(2t)= 6.7cos(2t+206.5)= 6.7cos(2t-53.5) m) 2sin(2t+30)+3cos(2t+60) Ornek Problem: g(t)=4 sin(2t+25) -0sin(5t) - 8sin(7t+60) cos(9t) - 5 cos(3t-50) ifadesinin spektrumunu cizin. Cozum: Yukaridaki ifadeler yerlerine konulursa g(t)=4 cos(2t+35) + 0cos(5t+90) + 8cos(7t+50) + cos(9t+80) + 5 cos(3t+30) elde edilir.

25 Cift Tarafli Spektrum Sinus ve kosinusterimleri ustel formda yazilarak cift tarafli spektrum elde edilir. Cift tarafli spektrum matematik islemlerin daha kolay yapilmasini saglar. gt Ae jw0t seklindeki bir ifadede A genlik, w 0 acisal frekans, fazi gosterir. ornek olarak gt 44e j6t 29e j6t20 7e j22t 60 4e j35t40 isaretinin spektrumu sekil(ref: xz26) daki gibidir. xz26 gt 44e j6t 29e j6t20 7e j22t 60 4e j35t40 isaretinin spektrumu Isaret sinuzoidal formda verilmisse coswt ejwt e jwt 2 sinwt ejwt e jwt 2j bagintilari kullanilarak sinus ve kosinuslu terimler ustel hale getirilir ve spektrum cizilir. gt 5cos2t 0cos5t 20 3cos7t 60 5cos2t 40 isaretinin cift tarafli spektrumunu cizin. Sinuzoidal terimleri ustel hale getirelim. cos2t ej2t e j2t 2 cos5t 20 ej5t20 e j5t20 2 cos7t 60 ej7t 60 e j7t 60 2 cos2t 40 ej2t40 e j2t40 2 gt 5cos2t 0cos5t 20 3cos7t 60 5cos2t 40 5 ej2t e j2t 2 0 ej5t20 e j5t ej2t40 e j2t ej7t 60 e j7t e j2t40. 5e j7t 60 5e j5t e j2t 7. 5e j2t 5e j5t20. 5e j7t e j2t40 Onceki ornekte oldugu gibi spektrum cizilir. #

26 Sekil(xz27) gt 5cos2t 0cos5t 20 3cos7t 60 5cos2t 40 isaretinin cift tarafli spektrumu Sekil (ref: xz23) deki tek tarafli spektrum ile sekil (ref: xz27) deki cift tarafli spektrum arasinda gorulen iliski aciktir. cift taraflli spektrumda genlikler yariya inmistir ve spektrum cift smetriye sahiptir. Faz spektrumu ise tek simetriye sahiptir..

27 Isaretlerin Sinuzoidal Terimlerin Toplami Cinsinden Ifade Edilmesi, Furier Serileri Bir onceki bolumde periyodik bir isaretin bazi istisnalar disinda sinuzidal bilesenler cinsinden yazilabilecegini gormustuk. a,a 2...a k, b,b 2,...b k katsayilarinin hesabina baslamadan once periyodik isaretin sinuzidal terimlerin toplami cinsinden yazilmasi ne ise yarar bir ornek uzerinde kisaca inceleyelim. Pratikte olculen isaretler zaman domenindedir. Zaman domenindeki isaretlerin incelenmesi ve yorumlanmasi zor hatta cogu kere imkansizdir. Asagida sinuzoidal isaretlerin zaman domeninde ve frekans domeninde grafikleri verilmistir. Isaretlerin zaman domenindeki grafiklerine bakarak isaretin icinde hangi sinuzoidal bilesenler var bulmamiz imkansiz. Halbuki isaretin spektrumuna bakarak isaret hakkinda kolayca bilgi sahibi olabiliriz.

28 Eee sesinin bir adam ve bir cocuk tarafindan soylemesi ve bu seslerin spektrumu Radar isareti ve spektrumu

29 Deprem esnasinda olculen titresim ve spektrumu. Goruldugu gibi zaman domenindeki verilere bakarak bir yorum yapilamazken, spektrumlarina bakarak yorum yapmak cok daha kolay olmaktadir. Spektrum nedir nasil elede edilir.

30 Furier Serisi Katsayilarinin Hesabi ( ref: xa) bagintisi geregi periyodik bir gt isaretinin k gt a 0 p a p cospw 0 t b p sinpw 0 t seklinde yazilabilecegini gormustuk. (A cosx B sinx A 2 B 2 cosx, tan bp a p bagintisi uyarinca gt isareti k a 0 p d p cospw 0 t p seklinde yazilabilir. burada d p a 2 p b 2 p, p tan bp a p seklindedir. Bu bolumde a 0, a, a 2...a k, b, b 2...b k katsayilarinin nasil hesaplanagi aciklanacaktir. Asagidaki belirli integrallerin hesabi kismi integrasyon yontemiyle integraller kolayca yapilabilir. Problem(xz76) re bakiniz. Burada w 0 2 T 0 ve k, n tamsayidir. t 0T 0 coskw 0 t cosnw 0 t dt t0 0 k n T 0 2 k n s t 0T 0 sinkw 0 t sinnw 0 t dt t0 0 k n T 0 2 k n s2 (ref: xa) esitliginin her iki tarafini t 0, t 0T 0 gtdt t0 t0 t 0T 0 sinkw 0 t cosnw 0 t dt 0 s3 t0 t 0T 0 sinkw 0 t dt 0 s4 t0 t 0T 0 coskw 0 t dt 0 s5 t0 T 0 araliginda integralini alalim. t 0T 0 a 0 dt t0 k t 0T 0 n a n cosnw 0 tdt b n sinnw 0 tdt k t 0T 0 t 0T 0 t 0T 0 a 0 dt t0 a n cosnw 0 tdt t0 b n sinnw 0 tdt t0 n Toplam isaretinin icindeki integraller (ref: s4) ve (ref: s5) bagintilarindan dolayi sifirdir. Dolayisiyla t0 t 0T 0 t a 0 dt a 0 t 0T 0 t0 dt a 0 T 0 t0 t 0T 0 gtdt a 0 T 0 olacaktir. Sonuc olarak a 0 katsayisi a 0 T 0 t0 t 0T 0 gtdt s56 seklinde hesaplanabilir. (ref: xa) esitliginin her iki tarafini cospw 0 t ile carpip her iki tarafi t 0, t 0 T 0 arasinda integre edelim. t 0T 0 t 0T 0 t 0T 0 gt cospw 0 t dt t0 a 0 cospw 0 t dt t0 a cosw 0 t cospw 0 t dt t0 t 0T 0 a 2 cos2w 0 t cospw 0 t dt t0... t0 t 0T 0 a p cospw 0 t cospw 0 t dt... t 0T 0 a k coskw 0 t cospw 0 t dt t0 t0 t 0T 0 b sinw 0 t cospw 0 t dt

31 t0 t 0T 0 b 2 sin2w 0 t cospw 0 t dt... t0 t 0T 0 b p sinpw 0 t cospw 0 t dt... t 0T 0 b k sinkw 0 t cospw 0 t dt s2 t0 Estiligin sag tarafindaki birinci integral (ref: s5) esitliginden dolayi sifirdir. a m cospw 0 t cospw 0 t li terim haric diger integraller de (ref: s),(ref: s2) ve (ref: s3) esitligi geregi (k n sikki) sifirdir. Kalan terim ise (ref: s) esitligi geregi (k n sikki) t 0T 0 T a p cospw 0 t cospw 0 tdt a 0 m t0 2 olacaktir. Dolayisiyla (ref: s2) esitligi t 0T 0 gt cospw 0 tdt a T 0 p t0 2 veya a p 2 T 0 t0 t 0T 0 gt cospw0 t dt s57 seklinde yazilabilir. Sonuc olarak a, a 2,...a n katsayilari yukaridaki formuldeki gibi hesaplanabilir. Simdi (ref: xa) esitliginin her iki tarafini sinpw 0 t ile carpip her iki tarafi t 0, t 0 T 0 arasinda integre edelim. t 0T 0 gt sinpw 0 t dt t0 t0 t 0T 0 a 0 sinpw 0 t dt t0 t 0T 0 a cosw 0 t sinpw 0 t dt t 0T 0 a 2 cos2w 0 t sinpw 0 t dt t0... t0 t 0T 0 a p cospw 0 t sinpw 0 tdt... t 0T 0 a k coskw 0 t sinpw 0 t dt t0 t0 t 0T 0 b sinw 0 t sinpw 0 t dt t 0T 0 b 2 sin2w 0 t sinpw 0 t dt t0... t0 t 0T 0 b p sinpw 0 t sinpw 0 t dt... t 0T 0 b k sinkw 0 t sinpw 0 t dt s25 t0 Yukaridakine benzer sekilde esitligin sag tarafindaki integraller a p sinpw 0 t sinpw 0 t li terim haric diger elemanlar sifir olacaktir. Bu yuzden (ref: s25) esitligi t 0T 0 T gt sinpw 0 tdt b 0 p t0 2 seklinde yazilabilir. Dolayisiyla b p katsayilari b p 2 T 0 t 0T 0 g(t) sin(pw0 t) dt s26 t0 seklinde hesaplanabilir. Sekil(ref: xz45) deki gt isaretinin Furier serisi katsaylarini hesaplayn. Sekil(xz45) Periyodik gt e t isareti.

32 Sekilden goruldugu gibi isaretin periyodu T 0 2 frekansi f 0 T 0 2 acisal frekansi w 0 2f dir. a 0 T t 0T 0 0 gtdt t0 T T 0 /2 0 gtdt 2 0 e t dt 0 2 e t e /2 e benzer sekilde a p ve b p katsayilari da hesaplanir. a p 2 T 0 0 /2 e t cospw 0 tdt 2 T 0 p 2 w 0 2 e t cospw 0 t pw 0 sinpw 0 t p e t 0.5 cosp4t p4sinp4t 0 4 p e 0.5 cosp40. 5 p4sinp40. 5 e 0 cosp40 p4sinp40 4 p e e p e p b p 2 T 0 0 /2 e t sinpw 0 tdt 2 T 0 p 2 w 0 2 e t sinpw 0 t pw 0 cospw 0 t p e t 0.5 sinp4t pw 0 cosp4t 0 4 p e 0.5 sinp40. 5 p4cosp40. 5 e 0 sinp40 p4cosp40 4 p e p4 e 0 0 p4 4 p e 0.5 p4 p4 44p e 0.5 p p p 2 4 2

33 p, icin a.58 p b 6.32p p p2, icin a 2.58 p b p p p3,4,5... icin hesaplanip tablo yapalim. p a p b p Tablo(xt54) gt e t fonksiyonuna iliskin Furier serisi katsayilari k gt a 0 p a p cospw 0 t b p sinpw 0 t a 0 a cosw 0 t b sinw 0 t a 2 cos2w 0 t b 2 sin2w 0 t a 3 cos3w 0 t b 3 sin3w 0 t cos2. 56t 0. 24sin2. 56t cos25. 3t sin25. 3t 0. 00cos37. 7t sin37. 7t... Ayni frekansdaki terimleri birlestirelim. [A cosx B sinx A 2 B 2 cosx, tan bp a p cos2. 56t 0. 24sin2. 56t cos2. 56t tan cos2. 56t cos25. 3t sin25. 3t 0.06 cos25. 3t cos37. 7t sin37. 7t cos37. 7t 88 bu sekilde devam edilirse gt cos2. 56t cos25. 3t cos37. 7t cos50. 26t cos62. 83t cos75. 39t cos87. 96t cos00. 8t cos3t elde edilir. Bu gt isaretinin spektrumunu cizelim.

34 Sekil(xz46) gt e t (0t0.5 ile periyodik) isaretinin genlik ve faz spektrumu Burada sadece ilk 9 bilesen cizilmistir. Grafik sonsuza kadar gitmektedir. Bu spektrum ne anlama gelir. Simdi bunun uzerinde duralim. Biz gt e t isaretini furieer serisine actik ve elde ettigimiz seriden tekrar gt e t fonsiyonunu elde etmeye calisiyoruz. Sekil(xz49)da ilk iki terim, ilk uc terim, ilk dort terim alarak gt e t fonksiyonunu elde etmeye calistik. Kabaca goz karari ile baktigimizda Ilk dort terimi alinca elde ettigimiz fonksiyon gt e t ya benzemeye basladi. Bu sekilde devam ederek ilk 5 terim, ilk 0, 20,50 terim alarak fonksiyon sekil(xz5) de cizilmistir.

35 Sekil(xz49) gt e t isaretinin Furier Serisinden elde edilmesi. Sekil(xz5) Furier Serisinde daha cok terim alarak gt e t nin elde edilmesi. Ornek Problem Sekil(ref: cx) deki dikdortgen darbe katarinin Furier serisi katsayilarini hesaplayin Sekil(cx) Dikdortgen darbe katari Sekilden goruldugu gibi isaretin periyodu T 0 frekansi f 0 T 0 acisal frekansi w 0 2f 2 a 0 T 0 t0 t 0T 0 gtdt T T 0/2 0 T0/2 gtdt T 0 dir. T p/2 0 0 dt T0/2 T0 q/2 q/2 Adt T0 q/2 T 0/2 0 dt 0 q/2 T0 Adt 0 q/2 Benzer sekilde a p 0 T q/2 At q/2 0 Aq 2 T 2 q/2 0 Acospw0 tdt 0 2 q/2 q/2 T 0 p Asinpt q/2 2A pq p sin T 0 veya (ref: a24) deki formda yazarsak b p T 2 q/2 0 Asinpw0 tdt 0 q/2 d 0 Aq T 0 d n p 2a pq sin T 0 Ve g(t) isareti seklinde yazilabilir. gt Aq T 0 n n 0 n : cift n : tek 2a pq p sin cospw T 0 t z 0

36 q 0. 2, T 0 haline iliskin degisik p degerleri icin a p, d p, p degerleri tablo(ref: xt65)da verilmistir. p a p d p p Tablo(xt65) Dikdortgen darbe katarina iliskin Furier serisi katsayilari Sekil(xz2)Dikdortgen darbe katarina iliskin genlik ve faz spektrumu Sekil(xz22) (Genlik ve faz beraber) tek eksende cizilmis spektrum Goruldugu gibi gt nin fazi n ya sifir veya 80 0 olmaktadir. Bu gibi durumlarda gt nin genligini ve fazini ayri ayri grafiklerde gostermek yerine tek grafikte gosterilebilir. Yani a p nin p ye gore degisimi cizilerek gt nin spektrumu incelenebilir. Sekil(ref: xz2) genlik ve faz spektrumu ayri ayri cizilmis. Sekil(ref: xz22) de gt nin spektrumu tek grafikte gosterilmistir.

37 Sekil(xz56)Dikdortgen darbe katarinin furier serisinden elde edilmesi q0.2, T0 Sekil(xz57)Dikdortgen darbe katarinin furier serisinden elde edilmesi Ozel Durumlar.) gt tek fonksiyon ise: Eger gt tek fonksiyon ise yani gt g t # ozelligini sagliyorsa x gt 0 x olur ve (ref: s57) ile verilen integral sifir olur. Ayrica (ref: s26) integralini 0 2 araliginda hesaplamak yerine 0 araliginda hesaplayip iki kati alinarak basitlestirme yapilabilir. Ozetle: 2.) gt cift fonksiyon ise: Eger gt cift fonksiyon ise yani ozelligini sagliyorsa olur. Yukaridaki gibi burada da seklinde basitlestirmeler yapilir. gt g t ise a p 0, b p 4 T 0 t0 x x t 0 T 0 2 gt sinpw 0 t dt xqe26 gt g t # gt 2 0 x gt gt g t ise b p 0, a p 4 T 0 t0 t 0 T 0 2 gt cospw 0 t dt xqe28

38 gt fonksiyonu gt T gt seklinde bir simetriye sahipse yukaridaki formuller daha da basitlesir ) gt g t ve gt T gt ise: Sinus teimlerine iliskin cift katsayilar sifir olur. 2 gt g t ve ise : gt T 2 gt a p 0 b 2p 0 b 2p 4 T 0 t 0 T 0 2 gt sin2p w 0 t dt t0 p,2,3,... xqe ) gt g t ve gt T gt ise: kosinus teimlerine iliskin cift katsayilar sifir olur. 2 gt g t ve ise : gt T 2 gt b p 0 a 2p 0 a 2p 4 T 0 t 0 T 0 2 gt cos2p w 0 t dt t0 p,2,3,... xqe32 Komplex Furier Serisi Katsayilarinin Hesabi gt isareti (ref: xa) esitligi ile olarak verilmisti k gt a 0 a p cospw 0 t b p sinpw 0 t r p cospw 0 t ejpw0t e jpw0t 2 bagintilari kullanilarak (ref: r) esitligi asagidaki sekilde yazilabilir. k gt a 0 p k a 0 p a p e jpw0t e jpw0t 2 a p 2 b p 2j c p a p 2 b p 2j ve e jpw0t sinpw 0 t ejpw0t e jpw0t 2j b p e jpw0t e jpw0t 2j a p 2 b p 2j c p a p 2 b p 2j e jpw0t r3 tanimlari yapilarak (ref: r3) esitligi k gt c 0 c p e jpw0t c p e jpw0t rx5 p seklinde yazilabilir. Dolayisi ile reel periyodik bir gt fonksiyonu kompleks ustel fonksiyonlarin toplami seklinde yazilabilir. gt c 0 c e jw0t c e jw0t c 2 e j2w0t c 2 e j2w0t c 3 e j3w0t c 3 e j3w0t...c k e jkw0t c k e jkw0t r7 k gt c p e jpw0t r2 p k gt nin icinde sonsuz sayida terim varsa toplam in alt ve ust sinirlari da sonsuz k olacagi aciktir. Yukaridaki bagintilardan acikca goruldugu gibi c p a p 2 b p 2j 2 a p b p j 2 a p jb p #

39 c p a p 2 b p 2j 2 a p jb p # c 0 a 0 # a p c p c p b p jc p c p # d p 2 c p p c p # c p, c p katasayilari a p, b p katsayilarindan yukaridaki bagintilar yardimiyla hesaplanabilir. Ancak direk olarak gt fonksiyonundan hesaplamak daha kolaydir. Once asagidaki belirli integrallerin hesaplanmmasi gerekir. (Bkz. C.P.ref: xp57) t 0T 0 e jkw0t e jpw0t t 0T 0 dt t0 e jk pw0t 0 k p dt t0 T 0 k p (ref: r7) esitliginin her iki tarafini e jpw0t ile carpip t 0, t 0 T 0 arasi integre edelim. t 0T 0 gte jpw0t t 0T 0 dt t0 c 0 e jpw0t dt t0 r6 t 0T 0 c e jw0t e jpw0t dt t0 t0 t 0T 0 c e jw0t e jpw0t dt t 0T 0 c 2 e j2w0t e jpw0t dt t0 t0 t 0T 0 c 2 e j2w0t e jpw0t dt... t 0T 0 c p e jpw0t e jpw0t dt t0 t0 t 0T 0 c p e jpw0t e jpw0t dt... t 0T 0 c k e jkw0t e jpw0t dt t0 t0 t 0T 0 c k e jkw0t e jpw0t dt r20 Esitligin sag tarafindaki integraller c p e jpw0t e jpw0t dt terimli haric digerleri (ref: r6) bagintisi geregi sifirdir. t 0T 0 c p e jpw0t e jpw0t dt t0 t0 t 0T 0 c p e 0 dt c p T 0 Bu sartlarda (ref: r20) esitligi yeniden yazilirsa t 0T 0 gte jpw0t dt c p T 0 t0 c p T 0 t0 t 0T 0 gte jpw 0t dt rx45 olarak bulunur. Ornek Problem: Sekil (ref: xz45) daki gt e t isaretinin Kompleks Furier serisi katsayilarini hesaplayin gt c p e jpw0t c p t 0T 0 T 0 gte jpw0t dt t0 p Sekilden goruldugu gibi isaretin periyodu T 0 2 frekansi f 0 T 0 2 acisal frekansi w 0 2f 4 dir. c p T 0 t0 t 0T 0 gte jpw0t dt T 0 0 T 0 e t e jpw0t dt 2 0 /2 e jpw 0t dt /2 2 jpw 0 e jpw0t 2 e jpw0 2 e 0 jpw e jpw /2 e jpw0/2 2 0 jp4 e /2 e jp2

40 2 j4p e / j4p Genlik ve faz (Ek-ref: appx3) de gosterildigi gibi hesaplanabilir. c p p 2 2 c p argtg Degisik p degerleri icin c p nin genligi ve fazi tablo(ref: xz32) da gosterilmistir. p c p 0.00 j j j j 0.03 c p c p Tablo(xz32) gt e t ye ait Komplex Furier serisi katsayilari argtg 4p 4p #

41 xz62 g(t)e t ye iliskin cift tarafli spektrum sekil(ref: xz62) de gt e t ye iliskin cift tarafli spektrum gorulmektedir. Ornek Problem Sekil(ref: cx) deki dikdortgen darbe katarinin kompleks Furier serisi katsayilarini hesaplayin. Sekilden goruldugu gibi isaretin periyodu T 0 frekansi f 0 T 0 acisal frekansi w 0 2f 2 T 0 dir. c p T t 0T 0 0 gte jpw0t q/2 dt t0 Ae jpw 0t dt T T 0/2 0 gte jpw 0t dt T0/2 T 0 q/2 T A e 0 jpw jpw0t q/2 q/2 A e 0 jpt 0 w jpw0q/2 e jpw0q/2 0 A jp2 2j 2j ejpw0q/2 e jpw0q/2 A j2p 2jsinpw 0q/2 A p sinpq/t 0 j0 c p A p sinpq/t A p sinpq/t 0 c p argtg 0 A p sinpq/t 0 0 sinpq/t 0 0 sinpq/t 0 0 Cesitli p degerleri icin c p nin genligi ve fazi tablo(ref: xt35) da gosterilmistir. p c p c p c p

42 Sekil(xz63) dikdortgen darbeye iliskin cift tarafli spektrum sonuc: Furier serisinden maksat bir isaretinin icindeki sinuzoidsal isaretlerin ortaya cikmasidir. gerek a p, b p katsayilarinda gerek d p, p katsayilarinda gerekse c p katsayilarindaki bilgiler ozdes bilgillerdir. Herhangi birisi varsa digerleri hesaplanabilir. a b ve b p katsayilari tek baslarina fiziksel yorumdamlama zorlugundan d p ve t p katsayilari hesaplanarak yorum yapilir. ote yandan c p katsayilari kompleks oldugundan onda da yorum yapmma zorlugu vardir. c p nin genlik ve faz spektrumu cizilerek yorum daha kolay yapilir. a 0 t T 0 0T 0 gtdt t0 a p 2 T 0 t0 t 0T 0 gt cospw0 t dt

43 b p 2 T 0 t 0T 0 gt sinpw0 t dt t0 c p T 0 t0 t 0T 0 gte jpw 0t dt c p 2 a p jb p c p 2 a p jb p c 0 a 0 a p c p c p d p 2 c p b p jc p c p p c p

44 Cozumlu Problemler C.P(xd58) gt cosat fonksiyonunun periyodunu bulun. Burada cosat T cosat esitligini saglayan T degerini ariyoruz. cosat T ifadesini acik olarak yazalim. cosat T cosat at cosatcosat sinatsinat Buradan acikca goruldugu gibi esitligin ikinci tarafinin cosat ye esit olmasi icin cosat sinat 0 olmasi gerekir. Bu durum da ancak at 0, at 2, at 2, at 4, at 4,... veya en genel halde k tamsayi olmak uzere at 2k T 2k a olmasi hallerinde saglanir. gt T gt esitligini saglayan sifirdan farkli en kucuk deger periyod kabul edildiginden k haline karsilik gelen degeri cosat nin periyodudur, T 2 a C.P(xd6) cos7t, cos0.5t, cos t, cos2 t, 0 cos7t, sin7t 3 fonksiyonlarinin periyodunu bulun. (C.P.ref: xd58) den cos7t nin peryodu T cos0.5t nin peryodu T cos 2 2 t nin peryodu T /3 cos2 t nin periyodu T pi 0 cos7t nin periyodu cos7t nin periyodu ile aynidir. (gt gt T ise A gt A gt T olacagi aciktir.) cos7t 20 nin periyodu cos7tnin periyodu ile aynidir. sin 7t nin periyodu cos7tnin periyodu ile aynidir. C.P(xd63) gt cosat cosbt fonksiyonunun periyodunu bulunuz. (C.P.ref: xd58) den cosat cosat T esitligini saglayan T degeri, k tamsayi olmak uzere

45 T 2k a olarak verilmisti. Benzer sekilde m tamsayi olmak uzere cosbt cosbt T 2 esitligini saglayan T 2 degeri T 2 2m b olacaktir. Eger T T T 2 esitligini saglayan bir T degerleri varsa cosat cosbt nin periyodu bu T degerlerinin en kucugu olacaktir. C.P(xd65) gt cos4t cos5t fonksiyonunun periyodunu bulun. (C.P.ref: xd63) den T 2m 4 T 2 2k 3 olarak bulunur. T T 2 olmasi icin 2 m 2 3 k m 4 3 k olmalidir. Bu esitligi saglayan m, k tamsayilari deneme ile bulunabilir. Yukaridaki esitligi saglayan k,m degerlerinin en kucugu k 3 m 4 olarak bulunur. O halde periyot T T 2 2 dir. 2k C.P(xd67) gt cos5t cos6 t fonksiyonunun periyodunu bulun. 2m 5 6 esitligini saglayacak k,m tamsayilari bulunamayacagi icin bu gt fonksiyonu periyodik degildir. C.P(xp3) gt 22cos4t 5sin0t 0 4.5sin3t 30 8cos25t 40 isaretinin tek tarafli spektrumunu cizin. sin0t 0 cos90 0t 0 cos90 0t 0 cos 0t 20 cos0t sin3t 30 cos90 3t 30 cos90 3t 30 cos 3t 60 cos3t 60 esitlikleri kullanilarak gt fonksiyonu gt 22cos4t 5cos0t cos3t 60 8cos25t 40 haline getirilir ve spektrum cizilir. Istenen spektrum sekil(ref: xz24)de gosterilmistir.

46 S(xz24) gt 22cos4t 5sin0t 0 4.5sin3t 30 8cos25t 40 isaretinin tek tarafli spektrumu. C.P(xp5) gt 33sin0t 9cos23t 30 6sin37t 60 cos58t 0 isaretinin spektrumunu cizin. sin0t cos0t 90 cos23t 30 cos23t cos23t 50 sin37t 60 cos37t cos37t 30 cos58t 0 cos58t 0 80 cos58t 70 bagintilari kullanilarak gt 33cos0t 90 9cos23t 50 6cos37t 30 cos58t 70 elde edilir. Bu isaretin spektrumu oncekilere benzer sekilde cizilir. Spektrum sekil(ref: xz25)de gosterilmistir.

47 S(xz25) gt 33sin0t 9cos23t 30 6sin37t 60 cos58t 0 isaretinin tek tarafli spektrumu C.P(xp7) Ornek problem gt 2cos0t 30 3cos0t 45 5sin0t 80 ifadesini tek terime indirgeyiniz. (Ek-ref: appx) de verilen cosa b ve sina b acilimlari kullanilarak gt 2cos0t 30 3cos0t 45 5sin0t 80 2cos0tcos30 sin0tsin30 3cos0tcos45 sin0tsin45 5sin0tcos80 cos0tsin80.07cos0t.98sin0t 2.259cos0t 8.28 bulunur. P(xz76) w 0 2 T 0 hesaplayin. ve k,n birer tamsayi olduguna gore asagidaki integralleri M t0 M 2 t0 t 0 T 0 sinkw0 t dt t 0 T 0 coskw0 t cosnw 0 t dt k tamsayi olmak uzere cos2k ve sin2k 0 oldugu gozonune alinirsa M integralini kolayca hesaplayabiliriz. t 0 T 0 M sinkw0 t dt t coskw t0 kw 0 t 0 T 0 t0 0 kw 0 coskw 0 t 0 T 0 coskw 0 t 0 kw 0 coskw 0 t 0 2k coskw 0 t 0 kw 0 coskw 0 t 0 cos2k sinkw 0 t 0 sin2k coskw 0 t 0 kw coskw 0 t 0 0 coskw 0 t 0 0 xqfw0 0 olarak bulunur. Ayni yontemle t 0 T 0 coskw0 t 0 xqfw03 t0 oldugu kolayca gosterilebilir. M 2 integali icin cosacosb cosa B cosa B bagintisi ve yukaridaki 2 tanimlar gozonune alinir.

48 M 2 t0 t 0 T 0 coskw0 t cosnw 0 t dt t0 t 0 T 0 2 coskw 0 t nw 0 t coskw 0 t nw 0 t dt 2 t 0 t 0 T 0coskw0 t nw 0 t dt 2 t0 t 0 T 0 coskw0 t nw 0 t dt t 0 T 0 t sinkw 2 kw 0 nw 0 t nw 0 t 0 T 0 sinkw 0 t 0 2 kw 0 nw 0 t nw 0 t 0 t 0 w 0 T 0 2 ve k tamsayi olmak uzere sinx 2k sinx oldugu dikkate alinirsa xd54 t sinkw 0 t nw 0 t 0 T 0 t0 sinkw 0 tt TT nw 0 tt TT sinkw 0 t 0 nw 0 t 0 sinkw 0 tt kw 0 TT nw 0 tt nw 0 T 0 sinkw 0 t 0 nw 0 t 0 sink nw 0 t 0 k nw 0 T 0 sink nw 0 t 0 sink nw 0 t 0 sink nw 0 t 0 0 elde edilir. Benzeri yontemle t sinkw 0 t nw 0 t 0 T 0 t0 0 oldugu da gosterilebilir. Dolayisiyla (ref: xd54) un iki terimi de sifir oldugundan k m hali icin M2 0 olarak bulunur. k m icin M 2 integrali M 2 t0 t 0 T 0 cos 2 kw 0 tdt haline gelir. cos 2 X cos2x bagintisini kullanarak ve yukaridaki islemlere benzer 2 islemlerle t 0 T 0 M 2 cos2kw t0 2 0 tdt 2 t sin2kw 0 t 2kw 0 t 0 T 0 t 0 bulunur. T 0 2 C.P(xp57) k,p birer tamsayi w 0 2 T 0 olduguna gore M t0 t 0 T 0 e jkw 0 t e jpw 0t dt

49 integralinin degerini hesaplayin. k p ve k p halleri ayri ayri ele aalinacaktir. Once k p halini ele alalim. M t0 t 0 T 0 e jkw 0 t e jpw 0t dt t0 t 0 T 0 e jkw 0 pw 0 t dt jkw 0 pw 0 e jkw 0 pw 0 tt 0 T 0 t 0 jkw 0 pw 0 ejkw 0 pw 0 t 0 T0 e jkw 0 pw 0 t 0 Not k p olsa idi bu integral alma islemi gecersiz olurdu. w 0 T 0 2 ve k p tamsayi olmak uzere e jk p2 oldugunu gozonune alarak koseli parantez icindeki ilk terimi hesaplayalim. e jkw 0 pw 0 t 0 T0 e jkw 0t 0 kw 0 T 0 pw 0 t 0 pw 0 T 0 e jk pw 0t 0 jk pw 0 T 0 e jk pw 0t 0e jk pw 0 T 0 e jk pw 0t 0 e jk pw 0 t 0e jk p2 olur. Bu deger yukarida yerine konursa koseli parantezin ici sifir olur. Dolayisiyla k p icin M 0 olur. Simdi k p veya k p 0 durumunu gozonune alalim. Bu durumda M integrali M t0 t 0 T 0 e jkw 0 t e jpw 0t dt t0 t 0 T 0 e jk pw 0 t dt t 0 T 0 e 0 t 0 T 0 dt t0.dt t 0 T 0 t t0 t 0 T 0 t 0 t0 olur. sonuc olarak T 0 t 0 T 0 e jkw 0 t e jpw0t dt t0 t0 t 0 T 0 e jk pw 0 t dt 0 k p k p T 0 xqf367 C.P(p448) gt cos 3 t fonksiyonunun Furier serisi katsayilarini komplex Furier serisi katsayilarini hesaplayin. Problem normal yollarla cozulebilir. Yani a 0 a p b p icin gerekli integraller yazilir integraller hesaplanir ve a 0 a p b p katsayilari bulunur. Ancak Burada daha kolay bir yol izlenecektir. bagintilari kullanilarak gt fonksiyonu cosacosb cosa b cosa b 2 cos 2 t cos2t 2

50 gt cos 3 t costcos 2 t cost cos2t 2 2 cost 2 cos3t cost cost 4 cos3t haline getirilir. Yukaridaki esitligi (ref: xa) esitligi ile karsilastirdigimizda acikca goruldugu gibi b p 0 a 0 0 a 3 4 bulunur. c p a 2 p jb p bagintisindan a 2 0 a 3 4 ve p 0 icin a p 0 c 0 0 c 3 8 c 3 8 c 2 0 c 2 0 c 3 8 c 3 8 ve olacaktir. p 0 icin c p 0 C.P(p385) Sekil(ref: cx2) deki impuls darbe katarinin kompleks Furier serisi katsayilarini hesaplayin. Sekil(cx2) Impuls Darbe katari c p T 0 t0 t 0 T 0 gte jpw 0 t dt T T 0 /2 0 T0/2 e jpw 0 t gtdt T q/2 0 te jpw 0 t dt q/2 (Ek-ref: appx5)de verilen bagintilar geregi oldugundan tft f0 q/2 tft f0 q/2 olacagi aciktir. dolayisiyla c p T 0 e jpw 00 T 0 s63 olarak bulunur.

51 C.P(x448) Sekil(ref: xz76) da gosterilen ucgen dalganin Furier serisi katsayilarini hesaplayin. S(xz76) ucgen dalga acikca goruldugu gibi gt isaretinin periyodu T 0 q dur. gt isareti analitik olarak gt 4t q q 2 t 0 4t q 0 t q 2 seklinde ifade edilebilir. Furier serisi katsayilari bilinen yontemle hesaplanir. Benzer sekilde q 2 a 0 q a p 2 T 0 q T 0 q 2 cospw 0 tdt 0 q 2 q 2 2 T 0 q gtdt q 2 t 2t2 0 q q 2 q 2 4t q dt 0 t 2t2 q 2 q 0 4t q cospw 0 tdt 0 cospw 0 tdt q 2 cospw 0 tdt 8 T 0 q 0 0 q 2 q 2 4t q t q dt cospw 0 tdt q 4t q cospw 2 0tdt 4t 0 q cospw 0tdt tcospw 0 tdt 0 q 2 (ref: xqfw0) esitligi geregi birinci integral sifira esittir. ote yandan xcosaxdx a cosax x 2 a sinax tcospw 0 tdt bagintisindan faydalanarak ikinci parantezin icindeki integraller hesaplanirsa. a p 4 cosn n 2 2

52 bulunur.b p katsayisi benzeri yontemler kullanilarak ve xsinaxdx a sinax x 2 a cosax bagintisinddan faydalanilarak b p 0 oldugu kolayca gosterilebilir. kommpleks Furier katsayilari da c p 2 a p jb p 2 cosn n 2 2 olarak hesaplanir. C.P(x457) Sekil(ref: xqf6)deki alttan ve ustten kirpilmis kosinus dalgasi goruluyor. a) Verilen isaretin Furier serisi katsayilarini hesaplayin. b) 0.6 T 0 4, A 5 icin a p katsayilarinin numerik degerlerini hesaplayin. c) p 8 icin a p katsayilarini ihmal ederek gt isaretini sinuzoidal terimlerin toplami cinsinden yaziniz. d) Elde ettiginiz gt isareti ile asil gt isaretini karsilastirin. a)sekildeki dalga acikca goruldugu gibi gt T 2 gt Sekil(xqf6) gt g t ozelliklerini saglamaktadir. O halde (ref: xqe32) geregi Furier serisi katsayilari b p 0, a p 8 T 0 t0 t 0 T 0 4 p,3,5,7,9... gtcospw 0 t dt # bagintilari yardimiyla hesaplanabilir. a 0 katsayisi normal yolla hesaplanir. gt t eksenine gore simetrik oldugundan a 0 0 olur. Ote yandan 0 T 0 4 araliginda gt

53 fonksiyonu gt seklindedir ve Q Acosw 0 dir. O halde a p 8 T 0 t0 Q 0 t Acosqt t T 0 4 t 0 T 0 4 gtcospw 0 t dt 8 T 0 0 Qcospw0 t dt 8 T 0 T0 4 Acosw 0 tcospw 0 t dt 8 T 0 Q pw0 sinpw 0 8A T 0 2p w 0 sin cosacosb 0.5cosA B cosa B cosw 0 tcospw 0 t 0.5cosp w 0 t cosp p 2 2p w 0 sin 2p w 0 sinp w 0 2p w 0 sinp w 0 Ote yandan w 0 T 0 2 ve p,3,5,7,... icin p sin 0, 2 oldugu gozonune alinirsa p,3,5,7,... icin. sin p 2 0 p 2 a p 4Q p sinpw 0 4A 2p sinp w 0 2p sinp w 0 arak a,a 2,a 3,... katsayilari hesaplanir. p icin a katsayisi limit alinarak bulunur. a 4Q sinw 0 A 4 T 0 sin2w 0 b) Bulunan bagintida 0.6 T 0 4, A 5,w 0.57,Q A cosw 0 beta 3.53 degerleri konularak a 4.73, a 3 0.5, a 5 0.6, a bulunur. c) Dolayisiyla gt isarti gt 4.73cos.57t 0,5cos4.7t 0.6cos7.85t 0.09cos.0t seklinde yazilabilir. d) Elde edilen gt isareti sekil(ref: xqf63) de gosterilmistir.

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

Haberlesme Sistemleri 1)Haberleşme sistemlerinin temel bileşenleri verici, alici, iletim ortami, gurultu, distorsyon,

Haberlesme Sistemleri 1)Haberleşme sistemlerinin temel bileşenleri verici, alici, iletim ortami, gurultu, distorsyon, Haberlesme Sistemleri 1)Haberleşme sistemlerinin temel bileşenleri verici, alici, iletim ortami, gurultu, distorsyon, Hafta 1 2) Isaret ve spektrum kavrami, Isaretlerin zaman ve frekans analizi, 1,2 Fourier

Detaylı

ANALOG ELEKTRONİK - II. Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir.

ANALOG ELEKTRONİK - II. Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir. BÖLÜM 6 TÜREV ALICI DEVRE KONU: Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir. GEREKLİ DONANIM: Multimetre (Sayısal veya Analog) Güç Kaynağı: ±12V

Detaylı

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER Bu bölümde aşağıdaki başlıklar ele alınacaktır. Sonsuz dürtü yanıtlı filtre yapıları: Direkt Şekil-1, Direkt Şekil-II, Kaskad

Detaylı

ALTERNATĐF AKIM (AC) I AC NĐN ELDE EDĐLMESĐ; KARE VE ÜÇGEN DALGALAR

ALTERNATĐF AKIM (AC) I AC NĐN ELDE EDĐLMESĐ; KARE VE ÜÇGEN DALGALAR ALTERNATĐF AKIM (AC) I AC NĐN ELDE EDĐLMESĐ; KARE VE ÜÇGEN DALGALAR 1.1 Amaçlar AC nin Elde Edilmesi: Farklı ve değişken DC gerilimlerin anahtar ve potansiyometreler kullanılarak elde edilmesi. Kare dalga

Detaylı

Alternatif Akım Devre Analizi

Alternatif Akım Devre Analizi Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Emre ÖZER Alternatif Akımın Tanımı Zamaniçerisindeyönüveşiddeti belli bir düzen içerisinde (periyodik) değişen akıma alternatif akımdenir. En bilinen alternatif akım

Detaylı

Taşıyıcı İşaret (carrier) Mesajın Değerlendirilmesi. Mesaj (Bilgi) Kaynağı. Alıcı. Demodulasyon. Verici. Modulasyon. Mesaj İşareti

Taşıyıcı İşaret (carrier) Mesajın Değerlendirilmesi. Mesaj (Bilgi) Kaynağı. Alıcı. Demodulasyon. Verici. Modulasyon. Mesaj İşareti MODULASYON Bir bilgi sinyalinin, yayılım ortamında iletilebilmesi için başka bir taşıyıcı sinyal üzerine aktarılması olayına modülasyon adı verilir. Genelde orijinal sinyal taşıyıcının genlik, faz veya

Detaylı

4. ÜNİTE ALTERNATİF AKIMDA GÜÇ

4. ÜNİTE ALTERNATİF AKIMDA GÜÇ 4. ÜNİTE ALTERNATİF AKIMDA GÜÇ KONULAR 1. Ani Güç, Ortalama Güç 2. Dirençli Devrelerde Güç 3. Bobinli Devrelerde Güç 4. Kondansatörlü Devrelerde Güç 5. Güç Üçgeni 6. Güç Ölçme GİRİŞ Bir doğru akım devresinde

Detaylı

RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ

RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ RASTGELE BİR SİNYAL Gürültü rastgele bir sinyal olduğu için herhangi bir zamandaki değerini tahmin etmek imkansızdır. Bu sebeple tekrarlayan sinyallerde de kullandığımız ortalama

Detaylı

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DENEY FÖYÜ DENEY ADI AC AKIM, GERİLİM VE GÜÇ DENEYİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ DENEY SORUMLUSU DENEY GRUBU: DENEY TARİHİ : TESLİM

Detaylı

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir.

Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir. ALTERNATiF AKIM Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir. Doğru akım ve alternatif akım devrelerinde akım yönleri şekilde görüldüğü

Detaylı

7. DİRENÇ SIĞA (RC) DEVRELERİ AMAÇ

7. DİRENÇ SIĞA (RC) DEVRELERİ AMAÇ 7. DİENÇ SIĞA (C) DEELEİ AMAÇ Seri bağlı direnç ve kondansatörden oluşan bir devrenin davranışını inceleyerek kondansatörün durulma ve yarı ömür zamanını bulmak. AAÇLA DC Güç kaynağı, kondansatör, direnç,

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İLETİŞİM LABORATUARI SAYISAL FİLTRELER

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İLETİŞİM LABORATUARI SAYISAL FİLTRELER SAYISAL FİLTRELER Deney Amacı Sayısal filtre tasarımının ve kullanılmasının öğrenilmesi. Kapsam Ayrık zamanlı bir sistem transfer fonksiyonunun elde edilmesi. Filtren frekans tepkes elde edilmesi. Direct

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji

Detaylı

HABERLEŞMENIN AMACI. Haberleşme sistemleri istenilen haberleşme türüne göre tasarlanır.

HABERLEŞMENIN AMACI. Haberleşme sistemleri istenilen haberleşme türüne göre tasarlanır. 2 HABERLEŞMENIN AMACI Herhangi bir biçimdeki bilginin zaman ve uzay içinde, KAYNAK adı verilen bir noktadan KULLANICI olarak adlandırılan bir başka noktaya aktarılmasıdır. Haberleşme sistemleri istenilen

Detaylı

Düzenlilik = ((Vçıkış(yük yokken) - Vçıkış(yük varken)) / Vçıkış(yük varken)

Düzenlilik = ((Vçıkış(yük yokken) - Vçıkış(yük varken)) / Vçıkış(yük varken) KTÜ Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Sayısal Elektronik Laboratuarı DOĞRULTUCULAR Günümüzde bilgisayarlar başta olmak üzere bir çok elektronik cihazı doğru akımla çalıştığı bilinen

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

6. DİRENÇ ÖLÇME YÖNTEMLERİ VE WHEATSTONE KÖPRÜSÜ

6. DİRENÇ ÖLÇME YÖNTEMLERİ VE WHEATSTONE KÖPRÜSÜ AMAÇLAR 6. DİRENÇ ÖLÇME YÖNTEMLERİ VE WHEATSTONE KÖPRÜSÜ 1. Değeri bilinmeyen dirençleri voltmetreampermetre yöntemi ve Wheatstone Köprüsü yöntemi ile ölçmeyi öğrenmek 2. Hangi yöntemin hangi koşullar

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER

TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER SUNU PLANI Analog sayısal çevirici FIR Filtreler IIR Filtreler Adaptif Filtreler Pan-Tompkins Algoritması Araş. Gör. Berat Doğan 08/04/2015

Detaylı

ARAZIDE NOKTALARIN ISARETLENMESI- ARAZI ISLERI

ARAZIDE NOKTALARIN ISARETLENMESI- ARAZI ISLERI ARAZIDE NOKTALARIN ISARETLENMESI- ARAZI ISLERI Arazide açi ve uzunluk ölçmelerinin yapilabilmesi için noktalara ve bu noktalarla belirlenen dogrulara gereksinim vardir. Noktalar görünebilir olmali ve arandiklarinda

Detaylı

Temel Kavramlar. Elektrik Nedir? Elektrik nedir? Elektrikler geldi, gitti, çarpıldım derken neyi kastederiz?

Temel Kavramlar. Elektrik Nedir? Elektrik nedir? Elektrikler geldi, gitti, çarpıldım derken neyi kastederiz? Temel Kavramlar Elektrik Nedir? Elektrik nedir? Elektrikler geldi, gitti, çarpıldım derken neyi kastederiz? 1 Elektriksel Yük Elektrik yükü bu dış yörüngede dolanan elektron sayısının çekirdekteki proton

Detaylı

I= V R /R = Vs/R =10/4=2.5A, P R =V R I=10 2.5=25W Vs kaynagi icin. P S = Vs I S = Vs (-I) =10 (-2.5)=-25W

I= V R /R = Vs/R =10/4=2.5A, P R =V R I=10 2.5=25W Vs kaynagi icin. P S = Vs I S = Vs (-I) =10 (-2.5)=-25W GU Devrelerde geriimin + ucundan akim girecek sekilde yon tanimi yapilmalidir. Yon bu sekilde tanimlanirsa = olur. Yon bu sekilde tanimlanirsa = - olur. Bunun gibi kapasite taniminda de d = seklindedir.

Detaylı

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide

Detaylı

Harici Fotoelektrik etki ve Planck sabiti deney seti

Harici Fotoelektrik etki ve Planck sabiti deney seti Deneyin Temeli Harici Fotoelektrik etki ve Planck sabiti deney seti Fotoelektrik etki modern fiziğin gelişimindeki anahtar deneylerden birisidir. Filaman lambadan çıkan beyaz ışık ızgaralı spektrometre

Detaylı

ELEKTRİK VE ELEKTRİK DEVRELERİ 2

ELEKTRİK VE ELEKTRİK DEVRELERİ 2 1 ELEKTİK VE ELEKTİK DEVELEİ ALTENATİF AKIM Enstrümantal Analiz, Doğru Akım Analitik sinyal transduserlerinden çıkan elektrik periyodik bir salınım gösterir. Bu salınımlar akım veya potansiyelin zamana

Detaylı

F AKIM DEVRELER A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER

F AKIM DEVRELER A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER ALTERNATİF AKIM DEVRELERİ A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER Alternatif akım devrelerinde akımın geçişine karşı üç çeşit direnç (zorluk) gösterilir. Devre elamanları dediğimiz bu dirençler: () R omik

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

6. Osiloskop. Periyodik ve periyodik olmayan elektriksel işaretlerin gözlenmesi ve ölçülmesini sağlayan elektronik bir cihazdır.

6. Osiloskop. Periyodik ve periyodik olmayan elektriksel işaretlerin gözlenmesi ve ölçülmesini sağlayan elektronik bir cihazdır. 6. Osiloskop Periyodik ve periyodik olmayan elektriksel işaretlerin gözlenmesi ve ölçülmesini sağlayan elektronik bir cihazdır. Osiloskoplar üç gruba ayrılabilir; 1. Analog osiloskoplar 2. Dijital osiloskoplar

Detaylı

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8 FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8 DC MOTORUN TÜM DURUM GERİ BESLEMELİ HIZ KONTROLÜ VE CE120 CONTROLLER SETİN

Detaylı

2. DA DEVRELERİNİN ANALİZİ

2. DA DEVRELERİNİN ANALİZİ 2. DA DEVRELERİNİN ANALİZİ 1 Hatları birbirini kesmeyecek şekilde bir düzlem üzerine çizilebilen devrelere Planar Devre adı verilir. Hatlarında kesişme olan bazı devreler de (şekil-a) kesişmeleri yok edecek

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Data Communications. Gazi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü. 5. Analog veri iletimi

Data Communications. Gazi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü. 5. Analog veri iletimi Veri İletişimi Data Communications Suat ÖZDEMİR Gazi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 5. Analog veri iletimi Sayısal analog çevirme http://ceng.gazi.edu.tr/~ozdemir/ 2 Sayısal analog çevirme

Detaylı

326 ELEKTRİK MAKİNALARI LABORATUVARI II ÜÇ-FAZ SİNCAP KAFESLİ ASENKRON (İNDÜKSİYON) MOTOR DENEY 326-04

326 ELEKTRİK MAKİNALARI LABORATUVARI II ÜÇ-FAZ SİNCAP KAFESLİ ASENKRON (İNDÜKSİYON) MOTOR DENEY 326-04 İNÖNÜ ÜNİERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜH. BÖL. 26 ELEKTRİK MAKİNALARI LABORATUARI II ÜÇ-FAZ SİNCAP KAFESLİ ASENKRON (İNDÜKSİYON) MOTOR DENEY 26-04. AMAÇ: Üç-faz sincap kafesli asenkron

Detaylı

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8 FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8 DC MOTORUN AYRIK ZAMANDA KONUM VE HIZ KONTROLÜ 1. Amaç: Bir DC motorunun konum

Detaylı

ALTERNATİF AKIM (AC) II SİNÜSOİDAL DALGA; KAREKTRİSTİK ÖZELLİKLERİ

ALTERNATİF AKIM (AC) II SİNÜSOİDAL DALGA; KAREKTRİSTİK ÖZELLİKLERİ . Amaçlar: EEM DENEY ALERNAİF AKIM (AC) II SİNÜSOİDAL DALGA; KAREKRİSİK ÖZELLİKLERİ Fonksiyon (işaret) jeneratörü kullanılarak sinüsoidal dalganın oluşturulması. Frekans (f), eriyot () ve açısal frekans

Detaylı

ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ FİZİK II LABORATUVARI DENEY 2 TRANSFORMATÖRLER

ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ FİZİK II LABORATUVARI DENEY 2 TRANSFORMATÖRLER ELEKTRİK ELEKTROİK MÜHEDİSLİĞİ FİZİK LABORATUVAR DEEY TRASFORMATÖRLER . Amaç: Bu deneyde:. Transformatörler yüksüz durumdayken giriş ve çıkış gerilimleri gözlenecek,. Transformatörler yüklü durumdayken

Detaylı

BSE 207 Mantık Devreleri Lojik Kapılar ve Lojik Devreler (Logic Gates And Logic Circuits)

BSE 207 Mantık Devreleri Lojik Kapılar ve Lojik Devreler (Logic Gates And Logic Circuits) SE 207 Mantık Devreleri Lojik Kapılar ve Lojik Devreler (Logic Gates nd Logic Circuits) Sakarya Üniversitesi Lojik Kapılar - maçlar Lojik kapıları ve lojik devreleri tanıtmak Temel işlemler olarak VE,

Detaylı

YILDIZLARIN HAREKETLERİ

YILDIZLARIN HAREKETLERİ Öz Hareket Gezegenlerden ayırdetmek için sabit olarak isimlendirdiğimiz yıldızlar da gerçekte hareketlidirler. Bu, çeşitli yollarla anlaşılır. Bir yıldızın ve sı iki veya üç farklı tarihte çok dikkatle

Detaylı

Gürültü Perdeleri (Bariyerleri) Prof.Dr.Mustafa KARAŞAHİN

Gürültü Perdeleri (Bariyerleri) Prof.Dr.Mustafa KARAŞAHİN Gürültü Perdeleri (Bariyerleri) Prof.Dr.Mustafa KARAŞAHİN Gürültü nedir? Basit olarak, istenmeyen veya zarar veren ses db Skalası Ağrı eşiği 30 mt uzaklıktaki karayolu Gece mesken alanları 300 mt yükseklikte

Detaylı

TÜBİTAK-BİDEB LİSE ÖĞRETMENLERİ (FİZİK, KİMYA, BİYOLOJİ VE MATEMATİK) PROJE DANIŞMANLIĞI EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI LİSE-1 (ÇALIŞTAY 2011) GRUP ADI: IŞIK HIZI

TÜBİTAK-BİDEB LİSE ÖĞRETMENLERİ (FİZİK, KİMYA, BİYOLOJİ VE MATEMATİK) PROJE DANIŞMANLIĞI EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI LİSE-1 (ÇALIŞTAY 2011) GRUP ADI: IŞIK HIZI TÜBİTAK-BİDEB LİSE ÖĞRETMENLERİ (FİZİK, KİMYA, BİYOLOJİ VE MATEMATİK) PROJE DANIŞMANLIĞI EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI LİSE-1 (ÇALIŞTAY 2011) GRUP ADI: IŞIK HIZI PROJE ADI IŞIK HIZININ HESAPLANMASI PROJE EKİBİ Erhan

Detaylı

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ

ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ ZAMAN SERİLERİNDE REGRESYON ANALİZİ 1 1. GİRİŞ Trent, serinin genelinde yukarıya ya da aşağıya doğru olan hareketlere denmektedir. Bu hareket bazen düz bir doğru şeklinde olmaktadır. Bu tür harekete sahip

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

ARTOS7F1 ARIZA TESPİT CİHAZI VE PC OSİLOSKOP 7 FONKSİYON 1 CİHAZDA

ARTOS7F1 ARIZA TESPİT CİHAZI VE PC OSİLOSKOP 7 FONKSİYON 1 CİHAZDA ARTOS7F1 ARIZA TESPİT CİHAZI VE PC OSİLOSKOP 7 FONKSİYON 1 CİHAZDA ARTOS7F1 Arıza Tespit Cihazı ve PC Osiloskop her tür elektronik kartın arızasını bulmada çok etkili bir sistemdir. Asıl tasarım amacı

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

SAYISAL ANALOG DÖNÜŞTÜRÜCÜ DENEYİ

SAYISAL ANALOG DÖNÜŞTÜRÜCÜ DENEYİ Deneyin Amacı: SAYISAL ANALOG DÖNÜŞTÜRÜCÜ DENEYİ Sayısal Analog Dönüştürücüleri (Digital to Analog Converter, DAC) tanımak ve kullanmaktır. Giriş: Sayısal Analog Dönüştürücüler (DAC) için kullanılan devrelerin

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

KONUM ALGILAMA YÖNTEMLERİ VE KONTROLÜ

KONUM ALGILAMA YÖNTEMLERİ VE KONTROLÜ KONUM ALGILAMA YÖNTEMLERİ VE KONTROLÜ 1. AMAÇ: Endüstride kullanılan direnç, kapasite ve indüktans tipi konum (yerdeğiştirme) algılama transdüserlerinin temel ilkelerini açıklayıp kapalı döngü denetim

Detaylı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı DENEY 0 Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı Amaç: Ölçüm metodu ve cihazına bağlı hata ve belirsizlikleri anlamak, fiziksel bir niceliği ölçüp hata ve belirsizlikleri tespit etmek, nedenlerini açıklamak. Genel

Detaylı

Mikroişlemci ile Analog-Sayısal Dönüştürücü (ADC)

Mikroişlemci ile Analog-Sayısal Dönüştürücü (ADC) KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MİKROİŞLEMCİ LABORATUARI Mikroişlemci ile Analog-Sayısal Dönüştürücü (ADC) 1. Giriş Analog işaretler analog donanım kullanılarak işlenebilir.

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Doç. Dr. İbrahim Altunbaş 11.01.2007 Araş. Gör. Hacı İlhan TEL 351 ANALOG HABERLEŞME Final Sınavı

Doç. Dr. İbrahim Altunbaş 11.01.2007 Araş. Gör. Hacı İlhan TEL 351 ANALOG HABERLEŞME Final Sınavı Doç. Dr. İbrahim Altunbaş 11.01.2007 Araş. Gör. Hacı İlhan TEL 351 ANALOG HABERLEŞME Final Sınavı 1) a) Aşağıdaki işaretlerin Fourier serisi katsayılarını yazınız. i) cos2π 0 t ii) sin2π 0 t iii) cos2π

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

Deney 32 de osiloskop AC ve DC gerilimleri ölçmek için kullanıldı. Osiloskop ayni zamanda dolaylı olarak frekansı ölçmek içinde kullanılabilir.

Deney 32 de osiloskop AC ve DC gerilimleri ölçmek için kullanıldı. Osiloskop ayni zamanda dolaylı olarak frekansı ölçmek içinde kullanılabilir. DENEY 35: FREKANS VE FAZ ÖLÇÜMÜ DENEYĐN AMACI: 1. Osiloskop kullanarak AC dalga formunun seklini belirlemek. 2. Çift taramalı osiloskop ile bir endüktanstın akım-gerilim arasındaki faz açısını ölmek. TEMEL

Detaylı

DENEY 1: Matlab de Temel Haberleşme Sistemleri Uygulamaları

DENEY 1: Matlab de Temel Haberleşme Sistemleri Uygulamaları DENEY 1: Matlab de Temel Haberleşme Sistemleri Uygulamaları AMAÇ: MATLAB programının temel özelliklerinin öğrenilmesi, analog işaretler ve sistemlerin sayısal bir ortamda benzetiminin yapılması ve incelenmesi.

Detaylı

5. (10 Puan) Op-Amp devresine aşağıda gösterildiği gibi bir SİNÜS dalga formu uygulanmıştır. Op-Amp devresinin çıkış sinyal formunu çiziniz.

5. (10 Puan) Op-Amp devresine aşağıda gösterildiği gibi bir SİNÜS dalga formu uygulanmıştır. Op-Amp devresinin çıkış sinyal formunu çiziniz. MAK442 MT3-MEKATRONİK S Ü L E Y M A N D E MİREL ÜNİVERSİTES E Sİ M Ü H E N DİSLİK-MİMM A R L I K F A K Ü L T E Sİ M A KİNA M Ü H E N DİSLİĞİ BÖLÜMÜ Ü ÖĞRENCİ ADI NO İMZA SORU/PUAN 1/15 2/15 3/10 4/10 5/10

Detaylı

SİNYALLER VE SİSTEMLERİN MATLAB YARDIMIYLA BENZETİMİ

SİNYALLER VE SİSTEMLERİN MATLAB YARDIMIYLA BENZETİMİ SİNYALLER VE SİSTEMLERİN MATLAB YARDIMIYLA BENZETİMİ 2.1. Sinyal Üretimi Bu laboratuarda analog sinyaller ve sistemlerin sayısal bir ortamda benzetimini yapacağımız için örneklenmiş sinyaller üzerinde

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Data Communications. Gazi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü. 3. Veri ve Sinyaller

Data Communications. Gazi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü. 3. Veri ve Sinyaller Veri İletişimi Data Communications Suat ÖZDEMİR Gazi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 3. Veri ve Sinyaller Analog ve sayısal sinyal Fiziksel katmanın önemli işlevlerinden ş birisi iletim ortamında

Detaylı

ELASTİK DALGA TEORİSİ

ELASTİK DALGA TEORİSİ ELASTİK DALGA TEORİSİ ( - 5. ders ) Doç.Dr. Eşref YALÇINKAYA Geçtiğiiz hafta; Dalga hareketi ve türleri Yaılan dalga Yaılan dalga enerjisi ve sönülene Bu derste; Süperpozison prensibi Fourier analizi Dalgaların

Detaylı

T.C. KTO KARATAY ÜNİVERSİTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ

T.C. KTO KARATAY ÜNİVERSİTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ T.C. KTO KARATAY ÜNİVERSİTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ Aktif Titreşim Kontrolü için Bir Yapının Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Modelinin Elde Edilmesi ve PID, PPF Kontrolcü Tasarımları Arş.Gör. Erdi GÜLBAHÇE

Detaylı

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata Hata Hesabı Hata Nedir? Herhangi bir fiziksel büyüklüğün ölçülen değeri ile gerçek değeri arasındaki farka hata denir. Ölçülen bir fiziksel büyüklüğün sayısal değeri, yapılan deneysel hatalardan dolayı

Detaylı

ANALOG İLETİŞİM. 3. Kanal ayrımı sağlar. Yani modülasyon sayesinde aynı iletim hattında birden çok bilgi yollama olanağı sağlar.

ANALOG İLETİŞİM. 3. Kanal ayrımı sağlar. Yani modülasyon sayesinde aynı iletim hattında birden çok bilgi yollama olanağı sağlar. ANALOG İLETİŞİM Modülasyon: Çeşitli kaynaklar tarafından üretilen temel bant sinyalleri kanalda doğrudan iletim için uygun değildir. Bu nedenle, gönderileek bilgi işareti, iletim kanalına uygun bir biçime

Detaylı

DENEY 3. Maksimum Güç Transferi

DENEY 3. Maksimum Güç Transferi ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EEM2104 Elektrik Devreleri Laboratuarı II 2014-2015 Bahar DENEY 3 Maksimum Güç Transferi Deneyi Yapanın Değerlendirme Adı

Detaylı

Zaman Serileri. IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören

Zaman Serileri. IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören Zaman Serileri IENG 481 Tahmin Yöntemleri Dr. Hacer Güner Gören Zaman Serisi nedir? Kronolojik sırayla elde edilen verilere sahip değișkenlere zaman serisi adı verilmektedir. Genel olarak zaman serisi,

Detaylı

GÖRÜNTÜ İŞLEME HAFTA 1 1.GİRİŞ

GÖRÜNTÜ İŞLEME HAFTA 1 1.GİRİŞ GÖRÜNTÜ İŞLEME HAFTA 1 1.GİRİŞ GÖRÜNTÜ İŞLEME Hafta Hafta 1 Hafta 2 Hafta 3 Hafta 4 Hafta 5 Hafta 6 Hafta 7 Hafta 8 Hafta 9 Hafta 10 Hafta 11 Hafta 12 Hafta 13 Hafta 14 Konu Giriş Digital Görüntü Temelleri-1

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin. Alternatif Gerilim. Alternatif Akımın Fazör Olarak İfadesi. Temel Devre Elemanlarının AG Etkisi Altındaki Davranışları

Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin. Alternatif Gerilim. Alternatif Akımın Fazör Olarak İfadesi. Temel Devre Elemanlarının AG Etkisi Altındaki Davranışları Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin İçerik Alternatif Gerilim Faz Kavramı ın Fazör Olarak İfadesi Direnç, Reaktans ve Empedans Kavramları Devresinde Güç 2 Alternatif Gerilim Alternatif gerilim, devre üzerindeki

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I. TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 3 Kontrol Sistemleri I Ara Sınav 8 Haziran 4 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi dakikadır.

Detaylı

Kontrol Sistemlerinin Analizi

Kontrol Sistemlerinin Analizi Sistemlerin analizi Kontrol Sistemlerinin Analizi Otomatik kontrol mühendisinin görevi sisteme uygun kontrolör tasarlamaktır. Bunun için öncelikle sistemin analiz edilmesi gerekir. Bunun için test sinyalleri

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAK - 402 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI DENEY 4

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAK - 402 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI DENEY 4 BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAK - 0 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI DENEY İÇİNDE SABİT SICAKLIKTA SİLİNDİRİK ISITICI BULUNAN DİKDÖRTGEN PRİZMATİK SAC KUTU YÜZEYLERİNDEN ZORLANMIŞ TAŞINIM

Detaylı

Endüstriyel Sensörler ve Uygulama Alanları Kalite kontrol amaçlı ölçme sistemleri, üretim ve montaj hatlarında imalat sürecinin en önemli aşamalarındandır. Günümüz teknolojisi mükemmelliği ve üretimdeki

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUARI

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUARI SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUARI DENEYİ YAPTIRAN: DENEYİN ADI: DENEY NO: DENEYİ YAPANIN ADI ve SOYADI: SINIFI: OKUL NO: DENEY GRUP NO:

Detaylı

TEK FAZLI KONTROLLU VE KONTROLSUZ DOĞRULTUCULAR

TEK FAZLI KONTROLLU VE KONTROLSUZ DOĞRULTUCULAR FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ GÜÇ ELEKTRONİĞİ LABORATUVARI DENEY NO:1 TEK FAZLI KONTROLLU VE KONTROLSUZ DOĞRULTUCULAR 1.1 Giriş Diyod ve tristör gibi

Detaylı

BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METOTLAR II DOĞRUSAL ISI İLETİMİ DENEYİ 1.Deneyin Adı: Doğrusal ısı iletimi deneyi..

Detaylı

ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİSİ DERS - 5

ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİSİ DERS - 5 ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİSİ DERS - 5 İletim Hatları İLETİM HATLARI İletim hatlarının tarihsel gelişimi iki iletkenli basit hatlarla (ilk telefon hatlarında olduğu gibi) başlamıştır. Mikrodalga enerjisinin

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ELE 201L DEVRE ANALİZİ LABORATUVARI

ELE 201L DEVRE ANALİZİ LABORATUVARI ELE 201L DEVRE ANALİZİ LABORATUVARI Deney 1 Temel Elektronik Ölçümler 1. Hazırlık a. Dersin internet sitesinde yayınlanan Laboratuvar Güvenliği ve cihazlarla ilgili bildirileri okuyunuz. b. Ön-çalışmanız

Detaylı

MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ UYGULAMASI (HRT4362) 8. Yarıyıl

MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ UYGULAMASI (HRT4362) 8. Yarıyıl İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü Ölçme Tekniği Anabilim Dalı MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ UYGULAMASI (HRT4362) 8. Yarıyıl D U L K Kredi 2 0 2 3 ECTS 2 0 2 3 UYGULAMA-1 ELEKTRONİK ALETLERİN KALİBRASYONU

Detaylı

AC-DC Dönüştürücülerin Genel Özellikleri

AC-DC Dönüştürücülerin Genel Özellikleri AC-DC Dönüştürücülerin Genel Özellikleri U : AC girişteki efektif faz gerilimi f : Frekans q : Faz sayısı I d, I y : DC çıkış veya yük akımı (ortalama değer) U d U d : DC çıkış gerilimi, U d = f() : Maksimum

Detaylı

KST Lab. Shake Table Deney Föyü

KST Lab. Shake Table Deney Föyü KST Lab. Shake Table Deney Föyü 1. Shake Table Deney Düzeneği Quanser Shake Table, yapısal dinamikler, titreşim yalıtımı, geri-beslemeli kontrol gibi çeşitli konularda eğitici bir deney düzeneğidir. Üzerine

Detaylı

Geometrik nivelmanda önemli hata kaynakları Nivelmanda oluşabilecek model hataları iki bölümde incelenebilir. Bunlar: Aletsel (Nivo ve Mira) Hatalar Çevresel Koşullardan Kaynaklanan Hatalar 1. Aletsel

Detaylı

KARABÜK ÜNİVERSİTESİ Öğretim Üyesi: Doç.Dr. Tamila ANUTGAN 1

KARABÜK ÜNİVERSİTESİ Öğretim Üyesi: Doç.Dr. Tamila ANUTGAN 1 KARABÜK ÜNİVERSİTESİ Öğretim Üyesi: Doç.Dr. Tamila ANUTGAN 1 Bu bölüm, çeşitli şekillerde birbirlerine bağlanmış bataryalar, dirençlerden oluşan bazı basit devrelerin incelenmesi ile ilgilidir. Bu tür

Detaylı

DENEY: 1.1 EVİREN YÜKSELTECİN DC DA ÇALIŞMASININ İNCELENMESİ

DENEY: 1.1 EVİREN YÜKSELTECİN DC DA ÇALIŞMASININ İNCELENMESİ DENEY: 1.1 EVİREN YÜKSELTECİN DC DA ÇALIŞMASININ İNCELENMESİ HAZIRLIK BİLGİLERİ: Şekil 1.1 de işlemsel yükseltecin eviren yükselteç olarak çalışması görülmektedir. İşlemsel yükselteçler iyi bir DC yükseltecidir.

Detaylı

2 MALZEME ÖZELLİKLERİ

2 MALZEME ÖZELLİKLERİ ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 TEMEL KAVRAMLAR 11 1.1. Fizik 12 1.2. Fiziksel Büyüklükler 12 1.3. Ölçme ve Birim Sistemleri 13 1.4. Çevirmeler 15 1.5. Üstel İfadeler ve İşlemler 18 1.6. Boyut Denklemleri

Detaylı

6.12 Örnekler PROBLEMLER

6.12 Örnekler PROBLEMLER 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Çok Parçalı Taşıyıcı Sistemler Kafes Sistemler Kafes Köprüler Kafes Çatılar Tam, Eksik ve Fazla Bağlı Kafes Sistemler Kafes Sistemler İçin Çözüm Yöntemleri Kafes Sistemlerde

Detaylı

REAKTİF GÜÇ İHTİYACININ TESPİTİ. Aktif güç sabit. Şekil 5a ya göre kompanzasyondan önceki reaktif güç. Q 1 = P 1 * tan ø 1 ( a )

REAKTİF GÜÇ İHTİYACININ TESPİTİ. Aktif güç sabit. Şekil 5a ya göre kompanzasyondan önceki reaktif güç. Q 1 = P 1 * tan ø 1 ( a ) REAKTİF GÜÇ İHTİYACININ TESPİTİ Aktif güç sabit Şekil 5a ya göre kompanzasyondan önceki reaktif güç Q = P * tan ø ( a ) kompanzasyondan sonra ise Q 2 = P * tan ø 2 ( b ) dir. Buna göre kondansatör gücü

Detaylı

9. Güç ve Enerji Ölçümü

9. Güç ve Enerji Ölçümü 9. Güç ve Enerji Ölçümü Güç ve Güç Ölçümü: Doğru akım devrelerinde, sürekli halde sadece direnç etkisi mevcuttur. Bu yüzden doğru akım devrelerinde sadece dirence ait olan güçten bahsedilir. Sürekli halde

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı