4) Furier Donusumu. 5) Ayrik isaretler isaretlerin in bilgisayara aktarilmasi. Ornekleme teoremi Ayrik Furier Donusumu Hizli Furier DOnusumu

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "4) Furier Donusumu. 5) Ayrik isaretler isaretlerin in bilgisayara aktarilmasi. Ornekleme teoremi Ayrik Furier Donusumu Hizli Furier DOnusumu"

Transkript

1 )Temel Isaret Bilgisi Isaret Kavrami, Isaretlerin Olculmesi, Gurultu Kavrami, Isaretlerin Bilgisayara Aktarilmasi, Yuvarlatma Hatalari ve AD kartinin Cozunurlugu, Isaretlerin Degerlendirilmesi 2) Periyodik Isaretler Genlik (amplitude, magnitude), Periyot, Faz (aci)(phase) Sinuzoidal Isaretlerin Spektrumu 3)Isaretlerin Sinuzoidal Terimlerin Toplami Cinsinden Ifade Edilmesi, Furier Serileri 4) Furier Donusumu 5) Ayrik isaretler isaretlerin in bilgisayara aktarilmasi. Ornekleme teoremi Ayrik Furier Donusumu Hizli Furier DOnusumu 6) LINEER SISTEMLER anlog sistemlerin transfer fonksiyonu ayrik sistemler 7) Filtre(suzgec) Kavrami ve FIR FIR filtre tasarimi Filtre Kavrami FIR filtre tasarimi 8) Laplas donusumleri $Z$ donusumleri 9) Analog Filtre Dizayni Genlik Karakteristigi Bilinen Analog Filtrenin Transfer Genlik karakteristigi grafik olarak verilen filtrenin $ H(jw) ^2$ genlik fonksiyonunun hesaplanmasi AGF den Diger tip Filtrelerin elde edilmesi Frekans Donusumleri} 0) Analog Filtrelerin gerceklemesi )IIR filtreler ve Analog Sistemlerin Sayisal Esdegeri 2) Sayisal Filtrelerin Gerceklemesi )Direk Programlama,2)Standart Programlama, 3)Paralel Programlama 4)Seri Programlama (IANALA) 3)Merdiven tipi Programlama 4)Kafes Yapisinda Programlamma 5)Durum deklemleri fomunda gercekleme

2 Temel Isaret Bilgisi Isaret Kavrami Zamana bagli olarak degisen buyuklukler isaret olarak adlandirilir. Gunun degisik saatlerindeki elektrik tuketimini gosteren grafik veya oda sicakligin zamana gore degisimini gosteren grafik muhendislik dilinde isaret olarak adlandirilir. Mesela Tablo(.)de gosterilen gunun degisik saatlerindeki sicalik degerlerini ele alalim. Bu tablo gercekte bir isareti gosterir. Isaretin grafigi sekil(.)'de gosterilmistir. Bunun gibi sekil(.2)'de gosterilen icten yanmali bir dizel motorun icindeki sicakliklarin degisimini gosteren grafik de isaret olarak adlandirlir. Saat Sicaklik 0 C Tablo(.) Gunun degisik saatlerindeki sicaklik degisimi a)sutun gosterimi b)cizgi grafik gosterimi Sekil(.)Gunun degisik saatlerindeki sicakligin grafik olarak gosterimi Sekil (.)a ve (.)b degosterilen grafikler ayni veriyi kullanirlar. Veri sayisi az ise a)gosterimi daha kolay anlasilir. Veri sayisi cok ise (..)b de verilen grafik daha kolay anlasilir. Tablo(.2) de bir dizel motorun sicakliginin 60 milisaniye sure ile degisimi verilmistir. Zaman (milisan) sicaklik Zaman (milisan) sicaklik

3 Zaman (milisan) sicaklik Tablo(.2)Bir dizel motorun sicakliginin degisimi a)sutun gosterimi Sekil(.2)Bir dizel motorun sicakliginin degisiminin grafigi b)cizgi grafik gosterimi Gunun sicakliginin degisimi ile, motorun sicakliginin degisimi, her ikiside bir isarettir. Birisinde degisim cok yavas digerinde cok hizlidir. Sekil(.3)de gosterilen duzenegi ele alalim. Burada m ile gosterilen bir agirlik bir yaya baglanmis ve yay da bir iple sabit bir noktaya baglanmistir. m ile gosterilen kutleye asagiya dogru, F kuvveti uygulansin. Bu durumda kutle once asagi dogru hareket edecek sonra yukariya dogru hareket edecek ve bu islem surekli olarak tekrar edecektir. Ortamda hava surtunmesi oldugundan bu hareket belli bir zaman sonra duracaktir. Simdi m kutlesine hic kuvvet uygulanmadigi durumda kutlenin alt ucunu x=0 noktasi olarak ele alalim. Kuvvetin uygulandigi ani t=0 ani kabul ederek zamana gore kutlenin hareketini kaydederek sekil(.4)de oldugu gibi grafigini cizelim. Elde edilen bu x(t) muhendislik terminolojisinde mekanik bir isaret olarak isimlendirilir x=0 m x Sekil(.3) Yay kutle sistemi Zaman (saniye) Hareket (mm) Zaman

4 (saniye) Hareket (mm) Tablo(.3) Yay kutle sisteminin zamana gore degisim degerleri Sekil(.4) Yay kutle sistemi ve mekanik x(t) isareti.. Sekil(.5) Depremde olculen sismik isaret Sekil(.6)da basit bir mikrofonun calisma prensibi gorulmektedir. Insan konustugunda (veya herhangibir cisim ses cikardiginda) havadaki molekulleri titrestirir. Bu titresim bir basinc olusturur. Bu basinc dalgasi bizim kulagimiza gelir ve biz de ses istiriz. Tablo(.6) da mikrofon hareketine iliskin veriler, sekil(.7)de ise buverilerin grafik gosterimi verilmistir. Sekil(.8)a,b,c de bir insanin aaaa, eeee ve harran universitesi teleffuz ederkenki grafigi verilmistir. Insandaki kanin basincini gosteren kalb kardiografisi olarak bilnen grafik tibbi bir isarettir. Bunun gibi elektrik, elektromekanik, hidrolik, pnumatik, kimya, jeodezi, tip vb gibi bilim dallarinda da isaret kavrami benzer sekilde tanimlanmistir.

5 Mikrofonun Calisma Prensibi Demir Cubuk Electrik Isareti (Voltaj) x=0 Magnetik Eleman Sekil(.6) Mikrofon sistemi EEE sesi (Ustteki adama ait eee sesi alttaki cocuga ait eeee sesi) Radara gelen yansima isarti Deprem esnasinda olculen titresim isareti

6 SCANNER SISTEMI Fotodiyotlar 2x2 pixel Resim(image)

7 Resme karsilik gelen volt degerleri Birinci satira ait volt degerleri (, 0.3, 0.6,,, 0, 0, 0,, 0.4,, 0.6) Ikinci satira ait volt degerleri ( 0.3,,, 0, 0, 0.3, 0.3, 0.3, 0, 0,, ) Birinci+ikinci satira ait volt degerleri (, 0.3, 0.6,,, 0, 0, 0,, 0.4,, ,,, 0, 0, 0.3, 0.3, 0.3, 0, 0,, ) Ilk 5 satira ait volt degerleri

8 Tum resme ait volt degerleri Gercek bir resim ve onaait volt degerleri Bir resim yaklasik olarak 600x400 = pixel. TV: bir saniyede 25 resim var. 25x240000= pixel. =6megapixel Bir TV signali bir saniyede 6 megapixel veri tasir. (6 Megahertz lik bir signal) Ses veya Muzik Microfon Electrik Isareti FAX Sayfasi Scanner Electrik Isareti Image Video Kamera Electrik Isareti

9 Isaretlerin Olculmesi Direk veya dolayli yoldan olculemeyen bir isaretin muhendislikte bir anlami yoktur. Isaretin olcumu icin ilk adim kucuk istisnalar disinda olculecek isaretin elektriksel isarete (elektrik akimi veya gerilimine) cevrilmesidir. Bu cevirmeyi yapan aletler duyarga(sensor, transducer) olarak adlandirilir. Sekil(.)Direnc yardimiyla mesafe olcumu Sekil(.) de mesafe olcen bir duyarganin prensip semasi goruluyor. Burada cubuk hareket ettikce R 2 direnci degisecektir. Olusan V 0 gerilimi x mesafesine ait bilgiyi tasiyacaktir. Duyargalar konusu bu kitabin kapsami disindadir. Ancak butun duyargalar temel itibarile yukaridakine benzer sekilde is goruruler. Mesela basinc olcen piezoelektrik bir duyarga basincla orantili bir gerilim urettigi gibi bir ultrasonik duyarga da uzerine dusen basincla orantili bir gerilim uretir. Bunun gibi bir radyo veya televizyon anteni de uzerine dusen elektromagnetik dalganin siddeti ile orantili bir gerilim uretir. Cep telefonunun anteni de kendine gelen elektromagnetik dalganin siddeti ile orantili bir gerilim uretir. Examples

10 v(t) Human Hearth Voltmeter (Capable of Measuring very low voltages) Electric Voltage Proportional to Heart rate v(t) Radar Signal Receiver Antenna Electric Voltage Proportional to Radar signal Human Body (Emits infrades light) Infrared Detector Electric Voltage Proportional to human temperature v(t) v(t) Human Picture Camera Electric Voltage Proportional to light v(t) Movement of Rocks Due to Earthquake Accelerator (Vibration Measurement Device) Electric Voltage Movement of rock In the above examples Microphone, Voltmetre, Receiveing Antenna, Infrared detector, Camera, Accelerator are all sensors. What We Measure Microphone example We measure air pressure Human heart example We measure the voltage produced by human body Radar Example We measure the amplitude of electromagnetic wave Infrared detector example We Measure the intensity of infrared light Camera example We Measure the intensity of visible light

11 Earthquake example We measure the acceleration Gurultu Kavrami Muhendislikte olculen bir isaretin yaninda istenmeyen fakat olcum esnasinda tabii olarak bulunan isaretler gurultu olarak adlandirilir. Mesela sekil(.)'deki duzenekle mesafe olcumu yapilirken o civarda bir elektrik dugmesi acilsa yada kapansa sisteme bir parazit(gurultu) isareti eklenecektir. Sekil(.2)'de bu durum gosterilmistir. Gurultu isareti kesikli yada surekli olabilir. Sekil(.)'deki duzenegin yakininda bir bir motor calissa bu motorun meydana getirdigi elektromanyetik etkiler olcme isaretine surekli olarak bir parazit(gurultu) ekleyecektir. Gurultu isaretlerinin degeri onceden hesaplanabiliyorsa bu tip gurultu isaretlerine deterministik gurultu isareti eger onceden hesaplanamiyorsa rasgele (random) isaretler denir. Yukaridaki olcme duzeneginde motorun cikardigi gurultu onceden hesaplanabilecegi icin deterministik gurultu sinifina girer. Elektrik acma kapama olayi ise ne zaman olacagi belli olmadigi icin rasgele gurltu sinifina girer. Sabit araliklarla elektrik dugmesinin acilip kapanmasi sonucu cikan gurultu ise haliyle deterministik gurultu olur. Rasgele isarete bir baska ornek atmosferde ucaga etki eden turbilans etkisi... seklinde gosterilebilir. Rasgele gurultu isaretleri onceden belli olmadigi icin bir matematiksel bir ifade ile gosterilemez. Ancak isaretin genligi ve frekansi hakkinda belirli sinirlar kabul edilip olcme duzenegi bu sinirlara toleransli olacak sekilde dizayn edilir. Bir isaretin dogru olarak olculmesi icin icindeki gurultu miktarinin az olmasi gerektigi aciktir. Isaretlerin Bilgisayara Aktarilmasi Ayrik isaretler zamanin belli anlarinda degerleri olan bu zaman araliginda degerlerinin anlami olmayan isaretlerdir. Ayrik isaretlerin bir kismi tabiati geregi ayriktir, (bir dukkandaki gunluk esya satis sayisi, bir yeri ziyaret eden gunluk insan sayisi gibi) bir kismi da surekli isaretlerin ayrik hale donusturulmus halidir (bir firinin sicakliginin her saat olculmesi, ucagin irtifasinin her dakika olculmesi gibi). Bilgisyarlarin gelismmesi ile isaretleri bilgisayara aktararak analiz etmek daha kolay hale gelmistir. Bilgisayara analog datanin aktarimi bilgisayara takilan elektronik devreler vasitasiyla yapilir. Analog datanin bilgisayara aktarilmasi endustride cok kullanildigi icin bu tip devreler ticari olarak imal edilmekte ve satilmaktadir. Bu tip elektronik devrelerin endustride en cok kullanilani piyasada PC olarak bilinen bilgisayarlar icin hazirlanmis olanlaridir. Bu tip devreler PC'lerin slotlarina hazir olarak takilmakta ve buyuk bir kullanim kolayligi gertirmektedir. Bu tip kartlari kullanan kisinin kart uzerindeki elektronik devrenin ic yapisini bilmesi gerekmez. Analog dijital cevirici kart veya kisaca AD cevirici kart olarak bilinen bu kartlar analog bir isareti belli araliklarla bilgisayara aktarir. Isareti Bilgisayara Aktarma Hizi Bir isaretin bilgisayara aktarilmasi demek isaretin belirli anlardaki degerinin bilgisayara aktarilmasi demektir, yoksa isaretin her t anindaki degerinin bilgisayara aktarilmasinin pratik bir anlami yoktur. a(t) Orijinal Isaret t (saniye)

12 b(t) Ornekleme Islemi (Ornekleme araligi Ts=) t (saniye) c(t) Orneklenmis Isaret t (saniye) d(t) Orneklenmis isaretten yeni isaret elde edilmesi t (saniye) d(t) Orneklenmis isaretten elde edilen yeni isaret Sekil (.5)Isaretin orneklenmesi t (saniye) Sekil(.5.a)daki g(t) isaretini ele alalim. Bu isaretin bilgisayara aktarilmasi icin sekildeki t anlarindaki degeri bilgisayar tarafindan olculmus olsun. t= ve t=2 arasindaki bir zamanda isaretin ne oldugu bilgisayar tarafindan bilinmemektedir. Bilgisayar isareti sekil(.5.d) deki gibi zannetmektedir. Isaret bilgisayara aktarildiginda bilgisayarin hafizasinda (veya bir data dosyasinda) tablo (.5)deki rakamlar olacaktir. Zaman Voltaj Degeri Ornekleme araligi T=0.5 olarak secilsin.

13 b 2 (t) Ornekleme Islemi (Ornekleme araligi T=0.5) t (saniye) d 2 (t) Orneklenmis isaretten elde edilen yeni isaret t (saniye) Sekil(.6) isaretin Ts=0.5 saniye araliklarla orneklenmesi. Bu durumda bilgisayar isareti sekil(.6.b) deki gibi varsayacatir. Ornekleme araligini T=0.0 secelim bu durumda bilgisayar iareti Sekil(.7) dekii gibi varsaycaktir. a(t) Orijinal Isaret t (saniye) Sekil(.7) isaretin Ts=0.0 saniye araliklarla orneklenmesi sonucu isaretin yeniden elde edilmesi. a) g(t)=sin 2t isaretinin orneklenmesi

14 original signal f=2 T= Ts=0.0 Ns= Ts=0.05 Ns= Ts=0. Ns= Ts=0.2 Ns= x Ts=0.3 Ns= Ts=0.4 Ns= x 0-5 Ts=0.25 Ns= Ts=0.0,0,02 0.,0.4 saniye araliklarla ornekleyelim. gercek isaret sinus oldugu halde bilgisayara gelen bilgi sinuse benzer hali kalmamistir. O halde hemen su sorular akla gelir. Bilgisayara aktarilan data hangi olcude gercek isareti temsil eder? Gercek isarete benzemesi icin ornekleme araligi ne kadar kucuk olmalidir ki bilgisayardaki rakamlar gercek isaretin tasidigi bilgileri tasisin? Fabrikanizdaki bilgisayara boyle bir kart takmaniz gerektiginde, yukaridaki bilgilerin isigi altinda bilgisayara aktarma hizi cok yuksek olan kart lazim diyeceginiz aciktir. Ancak burada fiat faktoru iisin icine

15 girer. Bilgisayara data aktarma hizi yuksek olan kartin fiati da yuksektir. O halde hangi hizda bir AD karti takilacak sorusu bilgisayara aktarilacak isaret nasildir sorusunu gundeme getirmektedir. Bolum(??)de t,t 2 araliginin ne kadar kucuk olmasi konusu incelenecektir. Yuvarlatma Hatalari ve AD kartinin Cozunurlugu Sekil(.7)'de gosterilen g(t) isaretini bilgisayara aktarmak isteyelim. AD cevirici kartina isaretin maximum ve minimum degeleri onceden bildirildigini varsayalim. (Bu islem A/D cevirici kartin kullaniminda onceden ayarlanir). a(t) t (saniye) Sekil(.8) A/D cevirici karti verilen maximum ve minimum degerler arasini N bolgeye boler. Analog g(t) isaretinin herhangibir andaki degeri bu bolgelerden birinde oldugu varsayilir. Ornek olarak sekil(.8)'de gosterilen isaret bilgisayara aktarim icin 4 bolgeye ayrilmistir. Bu durumda t= anindaki gerilim 5V olarak alinacak t=2 anindaki gerilim ise 0V olarak alinacaktir. Gercekte t= noktasindaki gerilim 5.3V t=2 noktasindaki gerilim ise 9.V dur. Gerilimin daha hassas olarak olculebilmesi icin bolge sayisinin artirilmasi gerekir. Iste A/D kartinin ayirabildigi bolge sayisina A/D kartinin cozunurlugu denir. a(t) t (saniye) Sekil(.9) Sekil(.9) da isaret 8 bolgeye ayrilmistir. ( ) Konuyu daha acik gorebilmek icin bilgisayarlarin yapisina kisaca bakalim. Bugunku bilgisayar teknolojisi ikili sistem uzerine bina edilmistir. Bilgisayarlarda rakamlar 0 ve 'lerin kombinezonlari seklinde tutulur. Kelimelerin cumlelerin, resimlerin sekillerin bilgisayarda tutulmasi da ayni sekilde ikili sistem iledir. Piyasada ticari amacli satilan kartlarin cozunurlugu 4-bit, 8-bit, 2-bit, 6-bit olarak verilir. Bit sayisi arttikca A/D kartinin ayirabilecegi bolge sayisi da artacak dolayisiyla daha hassas olcum yapilacaktir. 4 bitlik ve 2 bitlik iki A/D cevirici karti ele alalim. 4-bitlik kartin ayirabilecegi bolge sayisi 2 4 =6 olurken 6 bitlik bir kartin ayirabilecegi bolge sayisi 2 6 =65536 olacaktir.

16 Isaretlerin Degerlendirilmesi Sekil(.8)'de genel bir isaret isleme duzenegi gosterilmistir. Olculen isaret icin ilk yapilacak islem isaretin icinde gurultunun ayiklanarak gercek isaretin elde edilmesidir. Bu is filtre kullanarak veya degisik bilgisayara algoritmalari kullanarak yapilir. Gurultuden ayiklanmis bir isaret uzerinde bir yorum yapmak cogu kere imkansizdir. Bu yuzden isaretin Furier donusumu alinir. Isaret bilgisayara aktarilmissa cesitli (akilli) algoritmalar kullanilarak isaret icindeki gurultu giderilebilir. Olcme g(t)+n(t) gurultu g(t) isaret gozlem ve yorum duzenegi ayilama isleme Sekil(.8)Genel bir isaret isleme duzenegi Examples of Signal Processings Expert Knowledge Signal Source Measurement Device Signal Processor Required Information Doctor s Knowledge Human Hearth Voltmeter (Capable of Measuring very low voltages) Signal Processor Atrium of the hearth is abnormal Radar Engineer s Knowledge Radar Signal Receiver Antenna Signal Processor There is an aircraft at 200 Km in the Noth-East, 000m Altitude

17 Night Vision Engineer s Knowledge Human Body Infrared Detector Signal Processor There is Someone at 50m ahead Explosive Detector Army s Knowledge Metal Case Metal Detector Signal Processor There is an Explosive at 75 cm Depth Speech Recognition Speech Engineer s Knowledge Human Voice Microphone Signal Processor This voice is Mr. A. B s voice Image Recognition Engineer s Knowledge Human Picture Digital Camera Recorder Signal Processor This is Mr. A. B s Picture

18 Movement of Rocks Due to Earhquake Seismic Application Accelerator (Vibration Measurement Device) Signal Processor Eartquake Engineer s Knowledge There is an Eartquake at 500Km East of Japan Digital Signal Processing n (t) n 2 (t) n 3 (t) Signal Source g(t) Measurement Device g(t) + n 2 (t) + n 2 (t) A/D Converter g(t) + n 2 (t) + n 2 (t) + n 3 (t) g(t) + n 2 (t) + n 2 (t) + n 3 (t) Digital Signal Processor Correct Information about g(t)

19 Periyodik Isaretler PERIYODIK ISARETLER VE SPEKTRUMLARI Onceki bolumde aciklanan isaretler genel olarak periyodik isaretlerdir. Mesela sekil(.33)'deki yay kutle sisteminde hava surtunmesi olmasa x(t) grafigi sonumlenmeden sonsuza kadar periyodik olarak artip azalacaktir. Boyle bir x(t) isareti peroyodik bir isaret olarak adlandirilir. g(t) t Sekil(.33) Periyodik Isaret Bu kitapda kucuk harf zamana bagli isareti buyuk harfde o isaretin Furier donusumu, Laplas donusumu veya Z donusumu gosterir. kucuk x ile buyuk X birbirine benzediginden karisikliga sebeb olmamasi icin isaret g(t) veya f(t) notasyonlari ile gosterilecektir. Periyodik isareti karakterize eden 3 temel ozellik vardor. genlik, frekans ve faz Sekil(.2) de bu ozellikler gosterilmistir. Genlik (amplitude, magnitude): Genlik olarak bazen alt tepeden ust tepeye uzaklik olan AB uzakligi alinir, isaretin pozitif ve negatif taraflari simetrik ise cogu kere tepeden tepeye uzakligin yarisi olan OA uzakligi genlik olarak alinir. Periyot: g(t)=g(t+t), T 0 esitligini saglayan en kucuk T degerine g(t) isaretinin periyodu denir. Frekans (frequency): f=(/t) ifadesine g(t) nin frekans?, w=2πf=((2π)/t) ifadesine g(t) nin acisal frekansi denir. T'nin birimi saniye, f'nin birimi Hertz, w'nun birimi radyan'dir. g(t) Periyod Genlik A O B t Periyod Sekil(.33) Periyodik Isaretin genligi ve periyodu

20 Genlik g(t) A O B Faz Faz Faz Sekil(.34)Periyodik iki isaret arasindaki faz farki t Faz (aci)(phase): Periyodik bir isaretin acisi(fazi) ya sabit bir referans noktasina gore veya ayni periyotda baska bir sekle gore tarif edilir. Bir periyotluk zaman ye karsilik gelir. Sekil(.34) de ayni periyotda iki isaret arasindaki faz farki gosterilmistir. Periyodik isaretler ileriki bolumlerde isbatlanacagi uzere sinus ve kosinuslu terimlerin toplami olarak yazilabilir.

21 Periyodik isaretler ileriki bolumlerde isbatlanacagi uzere sinus ve kosinuslu terimlerin toplami olarak yazilabilir. gt a 0 a cosw 0 t a 2 cos2w 0 t a 3 cos3w 0 t...a k coskw 0 t b sinw 0 t b 2 sin2w 0 t b 3 sin3w 0 t...b k sinkw 0 t xa k a 0 n a n cosnw 0 t b n sinnw 0 t seklinde bir isaret dusunelim. Bu isaretin periyodik oldugu ve periyodunun T 0 w 2 0 oldugu kolayca gosterilebilir. gt T 0 a 0 k a n cosnw 0 t T 0 b n sinnw 0 t T 0 k a 0 n a n cosnw 0 t nw 0 T 0 b n sinnw 0 t nw 0 T 0 k a 0 n a n cosnw 0 t n2 b n sinnw 0 t n2 k a 0 n a n cosnw 0 t b n sinnw 0 t gt 2 Not: w 0 T 0 w 0 w0 2 ve cosnw 0 t 2n cosnw 0 t cos2n sinnw 0 t sin2n cosnw 0 t oldugu dikkate alinmistir. (ref: xa) esitligi ile verilen gt isareti Acospt Bsinpt A 2 B 2 cospt argtg B A dcospt n a24 seklindeki trigonometrik baginti yardimiyla ayni frekansdaki sinus ve kosinus terimleri tek terim haline getirilerek k gt a 0 n formunda da gosterilir. k a n cosnw 0 t b n sinnw 0 t d 0 n d n cosnw 0 t n xaq O halde icinde w 0,2w 0,3w 0,...kw 0 frekansli bilesenler bulunan bir gt isareti T 0 w 2 0 periyodu ile periyodiktir. (ref: xa esitliginde a, a 2,...a k, b, b 2,...b k katsayilari degistirilerek cesitli isaretler olusturulabilir. Ornek olarak T , a 3, a 2 2, a 3 5 ve diger katsayilar sifir olsa. w xt 3cos25t 2cos50t 5cos75t elde edilir.

22 Sekil(xz3) Cesitli sinuzoidal isaretlerden uretilmis periyodik isaretler Sekil(xz5)Ayni frekansdaki sinus ve kosinus isaretlerin toplami yine ayi frekansdadir. Yukaridaki islemlerin tersi de bazi istisnalar disinda dogrudur. Yani T 0 periyotlu bir isaret w 0, 2w 0, 3w 0, kw 0, acisal frekansli sinus ve kosinus fonksiyonlari cinsinden yazilabilir. Bir periyodik isaretin sinus ve kosinus fonksiyonlari cinsinden yazilmasi islemine isaretin FURIER SERISIne acilmasi denir. Fiziksel olarak elde edilen butun periyodik isaretler Furier serisine acilabilir. Furier serilerine girmeden once isaretlerin spektrumu kavraminin incelenmesi faydali olacaktir.

23 Sinuzoidal Isaretlerin Spektrumu g(t)=acos(w 0 t+θ) seklindeki bir isarette A genlik, w 0 acisal frekans θ aci(faz)dir. Pratikteki isaretler tek bir sinuzoidal dalgadan degil bircok sinuzoidal dalganin toplamindan meydana gelir. Bu tip isaretleri bir grafikte toplayarak gozlemlemek icin genlikler bir eksende fazlar bir eksende gosterilir. Isaretin fazi icin kosinus'lu terim referans alinir. Yani cos(wt) nin fazi 0 cos(wt+θ) nin fazi θ dir. Sinuslu terimlerin fazi asagida gorulecegi gibi trigonometrik bagintilar kullanilarak kosinuslu terim haline getirilirerek bulunur. Kosinuslu terimin fazinin sifir kabul edilmesinin nedeni geleneksel olarak sinuzoidal terimleri kompleks duzlemde donen vektorlerden meydana geldigi varsayilarak incelenmesi ve kosinuslu terimi temsil eden vektorlerin baslangic noktasinin reel eksen olmasidir. Tek Tarafli Spektrum Yukarida anlatilanlara gore g(t)=5cos(2t)+0 cos(5t+20)+3 cos(7t-60)+5 cos(2t+40) isaretinin spektrumu sekil(xz23) deki gibi olacaktir. Sekil(xz23) g(t)=5cos(2t)+0 cos(5t+20)+3 cos(7t-60)+5 cos(2t+40) isaretinin tek tarafli spektrumu g(t)'nin icinde sinuslu terim varsa, bazi terimler negatif ise asagidaki bagintilar kullanilarak butun terimler pozitif ve sadece kosinus terimlerini icerir eder hale getirilir. cos(-x)=cos(x) sin(-x)=-sin(x) sin(x)=cos(90-x)=cos(x-90) -sin(x)=sin(-x)=cos(90+x)=cos(x+90) -cos(x)=cos(x-80)=cos(x+80) cos(x+y)= cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y) sin(x+y)= sin(x) cos(y) + sin(y) sin(x) g(t) nin icinde ayni frekansda sinus ve kosinuslu terimler varsa 2 2 A cos(x) + B sin(x) = A + B cos(x- θ), θ= tan - (B/A) trigonometrik bagintilar yardimiyla tek bir terim haline getirilir. Yukaridaki bagintida tan - (B/A) ifadesini hesaplarken A ve B nin isaretlerine dikkat etmek lazimdir. ozellikle tan - (B/A) tan - ((-B)/(-A)) tan - ((-B)/A) tan - (B/(-A)) oldugu gozden kacirilmamalidir. Ornek olarak asagidaki numerik ifadeleri inceleyiniz. 3cos(20t) + 4sin(20t) = (3²+4²) cos(20t-argtg(4/3)) = 5cos(20t-53.)

24 -3cos(20t) + 4sin(20t) = 5cos(20t-argtg(4/(-3))) =5cos(20t-(80-53.)) =5cos(20t-26.9) -3cos(20t)-4sin(20t) = 5cos(20t-argtg((-4)/(-3))) =5cos(20t-(80+53.))=5cos(20t-233.3) 3cos(20t)-4sin(20t)=5cos(20t-argtg((-4)/3)) =5cos(20t-( ))= 5cos(20t-306.9) Ayrica cos(x)=cos(x+360)=cos(x-360) bagintisi kullanilarak. cos(20t-306.9)=cos(20t+53.) ve cos(20t )=cos(20t+27) elde edilir. isaretin fazi arasinda incelenir. Ornek Problem: Asagidaki ifadeleri kosinuslu terime cevirin. a)sin(2t+25) b)-sin(5t) c) -sin(7t+60) d) -sin(9t-30) e) -cos(7t) f) -cos(7t-50) g) 3sin(2t)+6cos(2t) h) 3sin(2t)-6cos(2t) j)-3sin(2t)+6cos(2t) k) -3sin(2t)-6cos(2t) m)2sin(2t+30)+3cos(2t+60) Cevaplar a) sin(2t+25) = cos(2t )= cos(2t +35) b)-sin(5t)=cos(5t+90) c) -sin(7t+60)= cos(7t+60+90)= cos(7t+50) d) -sin(9t-30)= cos(9t-30+90)= cos(9t+60) e) -cos(7t)= cos(7t+80) f) -cos(7t-50)= cos(7t-50+80)= cos(7t+30) = 45 = 6.7, tan - (3/6) =26.5, tan - (-3/6) =-26.5, tan - (3/-6) = =53.5 tan - (-3/-6) = =206.5 g) 3sin(2t)+6cos(2t)= 6.7cos(2t-26.5) h) 3sin(2t)-6cos(2t)= 6.7cos(2t+53.5) j)-3sin(2t)+6cos(2t) =6.7cos(2t+26.5) k) -3sin(2t)-6cos(2t)= 6.7cos(2t+206.5)= 6.7cos(2t-53.5) m) 2sin(2t+30)+3cos(2t+60) Ornek Problem: g(t)=4 sin(2t+25) -0sin(5t) - 8sin(7t+60) cos(9t) - 5 cos(3t-50) ifadesinin spektrumunu cizin. Cozum: Yukaridaki ifadeler yerlerine konulursa g(t)=4 cos(2t+35) + 0cos(5t+90) + 8cos(7t+50) + cos(9t+80) + 5 cos(3t+30) elde edilir.

25 Cift Tarafli Spektrum Sinus ve kosinusterimleri ustel formda yazilarak cift tarafli spektrum elde edilir. Cift tarafli spektrum matematik islemlerin daha kolay yapilmasini saglar. gt Ae jw0t seklindeki bir ifadede A genlik, w 0 acisal frekans, fazi gosterir. ornek olarak gt 44e j6t 29e j6t20 7e j22t 60 4e j35t40 isaretinin spektrumu sekil(ref: xz26) daki gibidir. xz26 gt 44e j6t 29e j6t20 7e j22t 60 4e j35t40 isaretinin spektrumu Isaret sinuzoidal formda verilmisse coswt ejwt e jwt 2 sinwt ejwt e jwt 2j bagintilari kullanilarak sinus ve kosinuslu terimler ustel hale getirilir ve spektrum cizilir. gt 5cos2t 0cos5t 20 3cos7t 60 5cos2t 40 isaretinin cift tarafli spektrumunu cizin. Sinuzoidal terimleri ustel hale getirelim. cos2t ej2t e j2t 2 cos5t 20 ej5t20 e j5t20 2 cos7t 60 ej7t 60 e j7t 60 2 cos2t 40 ej2t40 e j2t40 2 gt 5cos2t 0cos5t 20 3cos7t 60 5cos2t 40 5 ej2t e j2t 2 0 ej5t20 e j5t ej2t40 e j2t ej7t 60 e j7t e j2t40. 5e j7t 60 5e j5t e j2t 7. 5e j2t 5e j5t20. 5e j7t e j2t40 Onceki ornekte oldugu gibi spektrum cizilir. #

26 Sekil(xz27) gt 5cos2t 0cos5t 20 3cos7t 60 5cos2t 40 isaretinin cift tarafli spektrumu Sekil (ref: xz23) deki tek tarafli spektrum ile sekil (ref: xz27) deki cift tarafli spektrum arasinda gorulen iliski aciktir. cift taraflli spektrumda genlikler yariya inmistir ve spektrum cift smetriye sahiptir. Faz spektrumu ise tek simetriye sahiptir..

27 Isaretlerin Sinuzoidal Terimlerin Toplami Cinsinden Ifade Edilmesi, Furier Serileri Bir onceki bolumde periyodik bir isaretin bazi istisnalar disinda sinuzidal bilesenler cinsinden yazilabilecegini gormustuk. a,a 2...a k, b,b 2,...b k katsayilarinin hesabina baslamadan once periyodik isaretin sinuzidal terimlerin toplami cinsinden yazilmasi ne ise yarar bir ornek uzerinde kisaca inceleyelim. Pratikte olculen isaretler zaman domenindedir. Zaman domenindeki isaretlerin incelenmesi ve yorumlanmasi zor hatta cogu kere imkansizdir. Asagida sinuzoidal isaretlerin zaman domeninde ve frekans domeninde grafikleri verilmistir. Isaretlerin zaman domenindeki grafiklerine bakarak isaretin icinde hangi sinuzoidal bilesenler var bulmamiz imkansiz. Halbuki isaretin spektrumuna bakarak isaret hakkinda kolayca bilgi sahibi olabiliriz.

28 Eee sesinin bir adam ve bir cocuk tarafindan soylemesi ve bu seslerin spektrumu Radar isareti ve spektrumu

29 Deprem esnasinda olculen titresim ve spektrumu. Goruldugu gibi zaman domenindeki verilere bakarak bir yorum yapilamazken, spektrumlarina bakarak yorum yapmak cok daha kolay olmaktadir. Spektrum nedir nasil elede edilir.

30 Furier Serisi Katsayilarinin Hesabi ( ref: xa) bagintisi geregi periyodik bir gt isaretinin k gt a 0 p a p cospw 0 t b p sinpw 0 t seklinde yazilabilecegini gormustuk. (A cosx B sinx A 2 B 2 cosx, tan bp a p bagintisi uyarinca gt isareti k a 0 p d p cospw 0 t p seklinde yazilabilir. burada d p a 2 p b 2 p, p tan bp a p seklindedir. Bu bolumde a 0, a, a 2...a k, b, b 2...b k katsayilarinin nasil hesaplanagi aciklanacaktir. Asagidaki belirli integrallerin hesabi kismi integrasyon yontemiyle integraller kolayca yapilabilir. Problem(xz76) re bakiniz. Burada w 0 2 T 0 ve k, n tamsayidir. t 0T 0 coskw 0 t cosnw 0 t dt t0 0 k n T 0 2 k n s t 0T 0 sinkw 0 t sinnw 0 t dt t0 0 k n T 0 2 k n s2 (ref: xa) esitliginin her iki tarafini t 0, t 0T 0 gtdt t0 t0 t 0T 0 sinkw 0 t cosnw 0 t dt 0 s3 t0 t 0T 0 sinkw 0 t dt 0 s4 t0 t 0T 0 coskw 0 t dt 0 s5 t0 T 0 araliginda integralini alalim. t 0T 0 a 0 dt t0 k t 0T 0 n a n cosnw 0 tdt b n sinnw 0 tdt k t 0T 0 t 0T 0 t 0T 0 a 0 dt t0 a n cosnw 0 tdt t0 b n sinnw 0 tdt t0 n Toplam isaretinin icindeki integraller (ref: s4) ve (ref: s5) bagintilarindan dolayi sifirdir. Dolayisiyla t0 t 0T 0 t a 0 dt a 0 t 0T 0 t0 dt a 0 T 0 t0 t 0T 0 gtdt a 0 T 0 olacaktir. Sonuc olarak a 0 katsayisi a 0 T 0 t0 t 0T 0 gtdt s56 seklinde hesaplanabilir. (ref: xa) esitliginin her iki tarafini cospw 0 t ile carpip her iki tarafi t 0, t 0 T 0 arasinda integre edelim. t 0T 0 t 0T 0 t 0T 0 gt cospw 0 t dt t0 a 0 cospw 0 t dt t0 a cosw 0 t cospw 0 t dt t0 t 0T 0 a 2 cos2w 0 t cospw 0 t dt t0... t0 t 0T 0 a p cospw 0 t cospw 0 t dt... t 0T 0 a k coskw 0 t cospw 0 t dt t0 t0 t 0T 0 b sinw 0 t cospw 0 t dt

31 t0 t 0T 0 b 2 sin2w 0 t cospw 0 t dt... t0 t 0T 0 b p sinpw 0 t cospw 0 t dt... t 0T 0 b k sinkw 0 t cospw 0 t dt s2 t0 Estiligin sag tarafindaki birinci integral (ref: s5) esitliginden dolayi sifirdir. a m cospw 0 t cospw 0 t li terim haric diger integraller de (ref: s),(ref: s2) ve (ref: s3) esitligi geregi (k n sikki) sifirdir. Kalan terim ise (ref: s) esitligi geregi (k n sikki) t 0T 0 T a p cospw 0 t cospw 0 tdt a 0 m t0 2 olacaktir. Dolayisiyla (ref: s2) esitligi t 0T 0 gt cospw 0 tdt a T 0 p t0 2 veya a p 2 T 0 t0 t 0T 0 gt cospw0 t dt s57 seklinde yazilabilir. Sonuc olarak a, a 2,...a n katsayilari yukaridaki formuldeki gibi hesaplanabilir. Simdi (ref: xa) esitliginin her iki tarafini sinpw 0 t ile carpip her iki tarafi t 0, t 0 T 0 arasinda integre edelim. t 0T 0 gt sinpw 0 t dt t0 t0 t 0T 0 a 0 sinpw 0 t dt t0 t 0T 0 a cosw 0 t sinpw 0 t dt t 0T 0 a 2 cos2w 0 t sinpw 0 t dt t0... t0 t 0T 0 a p cospw 0 t sinpw 0 tdt... t 0T 0 a k coskw 0 t sinpw 0 t dt t0 t0 t 0T 0 b sinw 0 t sinpw 0 t dt t 0T 0 b 2 sin2w 0 t sinpw 0 t dt t0... t0 t 0T 0 b p sinpw 0 t sinpw 0 t dt... t 0T 0 b k sinkw 0 t sinpw 0 t dt s25 t0 Yukaridakine benzer sekilde esitligin sag tarafindaki integraller a p sinpw 0 t sinpw 0 t li terim haric diger elemanlar sifir olacaktir. Bu yuzden (ref: s25) esitligi t 0T 0 T gt sinpw 0 tdt b 0 p t0 2 seklinde yazilabilir. Dolayisiyla b p katsayilari b p 2 T 0 t 0T 0 g(t) sin(pw0 t) dt s26 t0 seklinde hesaplanabilir. Sekil(ref: xz45) deki gt isaretinin Furier serisi katsaylarini hesaplayn. Sekil(xz45) Periyodik gt e t isareti.

32 Sekilden goruldugu gibi isaretin periyodu T 0 2 frekansi f 0 T 0 2 acisal frekansi w 0 2f dir. a 0 T t 0T 0 0 gtdt t0 T T 0 /2 0 gtdt 2 0 e t dt 0 2 e t e /2 e benzer sekilde a p ve b p katsayilari da hesaplanir. a p 2 T 0 0 /2 e t cospw 0 tdt 2 T 0 p 2 w 0 2 e t cospw 0 t pw 0 sinpw 0 t p e t 0.5 cosp4t p4sinp4t 0 4 p e 0.5 cosp40. 5 p4sinp40. 5 e 0 cosp40 p4sinp40 4 p e e p e p b p 2 T 0 0 /2 e t sinpw 0 tdt 2 T 0 p 2 w 0 2 e t sinpw 0 t pw 0 cospw 0 t p e t 0.5 sinp4t pw 0 cosp4t 0 4 p e 0.5 sinp40. 5 p4cosp40. 5 e 0 sinp40 p4cosp40 4 p e p4 e 0 0 p4 4 p e 0.5 p4 p4 44p e 0.5 p p p 2 4 2

33 p, icin a.58 p b 6.32p p p2, icin a 2.58 p b p p p3,4,5... icin hesaplanip tablo yapalim. p a p b p Tablo(xt54) gt e t fonksiyonuna iliskin Furier serisi katsayilari k gt a 0 p a p cospw 0 t b p sinpw 0 t a 0 a cosw 0 t b sinw 0 t a 2 cos2w 0 t b 2 sin2w 0 t a 3 cos3w 0 t b 3 sin3w 0 t cos2. 56t 0. 24sin2. 56t cos25. 3t sin25. 3t 0. 00cos37. 7t sin37. 7t... Ayni frekansdaki terimleri birlestirelim. [A cosx B sinx A 2 B 2 cosx, tan bp a p cos2. 56t 0. 24sin2. 56t cos2. 56t tan cos2. 56t cos25. 3t sin25. 3t 0.06 cos25. 3t cos37. 7t sin37. 7t cos37. 7t 88 bu sekilde devam edilirse gt cos2. 56t cos25. 3t cos37. 7t cos50. 26t cos62. 83t cos75. 39t cos87. 96t cos00. 8t cos3t elde edilir. Bu gt isaretinin spektrumunu cizelim.

34 Sekil(xz46) gt e t (0t0.5 ile periyodik) isaretinin genlik ve faz spektrumu Burada sadece ilk 9 bilesen cizilmistir. Grafik sonsuza kadar gitmektedir. Bu spektrum ne anlama gelir. Simdi bunun uzerinde duralim. Biz gt e t isaretini furieer serisine actik ve elde ettigimiz seriden tekrar gt e t fonsiyonunu elde etmeye calisiyoruz. Sekil(xz49)da ilk iki terim, ilk uc terim, ilk dort terim alarak gt e t fonksiyonunu elde etmeye calistik. Kabaca goz karari ile baktigimizda Ilk dort terimi alinca elde ettigimiz fonksiyon gt e t ya benzemeye basladi. Bu sekilde devam ederek ilk 5 terim, ilk 0, 20,50 terim alarak fonksiyon sekil(xz5) de cizilmistir.

35 Sekil(xz49) gt e t isaretinin Furier Serisinden elde edilmesi. Sekil(xz5) Furier Serisinde daha cok terim alarak gt e t nin elde edilmesi. Ornek Problem Sekil(ref: cx) deki dikdortgen darbe katarinin Furier serisi katsayilarini hesaplayin Sekil(cx) Dikdortgen darbe katari Sekilden goruldugu gibi isaretin periyodu T 0 frekansi f 0 T 0 acisal frekansi w 0 2f 2 a 0 T 0 t0 t 0T 0 gtdt T T 0/2 0 T0/2 gtdt T 0 dir. T p/2 0 0 dt T0/2 T0 q/2 q/2 Adt T0 q/2 T 0/2 0 dt 0 q/2 T0 Adt 0 q/2 Benzer sekilde a p 0 T q/2 At q/2 0 Aq 2 T 2 q/2 0 Acospw0 tdt 0 2 q/2 q/2 T 0 p Asinpt q/2 2A pq p sin T 0 veya (ref: a24) deki formda yazarsak b p T 2 q/2 0 Asinpw0 tdt 0 q/2 d 0 Aq T 0 d n p 2a pq sin T 0 Ve g(t) isareti seklinde yazilabilir. gt Aq T 0 n n 0 n : cift n : tek 2a pq p sin cospw T 0 t z 0

36 q 0. 2, T 0 haline iliskin degisik p degerleri icin a p, d p, p degerleri tablo(ref: xt65)da verilmistir. p a p d p p Tablo(xt65) Dikdortgen darbe katarina iliskin Furier serisi katsayilari Sekil(xz2)Dikdortgen darbe katarina iliskin genlik ve faz spektrumu Sekil(xz22) (Genlik ve faz beraber) tek eksende cizilmis spektrum Goruldugu gibi gt nin fazi n ya sifir veya 80 0 olmaktadir. Bu gibi durumlarda gt nin genligini ve fazini ayri ayri grafiklerde gostermek yerine tek grafikte gosterilebilir. Yani a p nin p ye gore degisimi cizilerek gt nin spektrumu incelenebilir. Sekil(ref: xz2) genlik ve faz spektrumu ayri ayri cizilmis. Sekil(ref: xz22) de gt nin spektrumu tek grafikte gosterilmistir.

37 Sekil(xz56)Dikdortgen darbe katarinin furier serisinden elde edilmesi q0.2, T0 Sekil(xz57)Dikdortgen darbe katarinin furier serisinden elde edilmesi Ozel Durumlar.) gt tek fonksiyon ise: Eger gt tek fonksiyon ise yani gt g t # ozelligini sagliyorsa x gt 0 x olur ve (ref: s57) ile verilen integral sifir olur. Ayrica (ref: s26) integralini 0 2 araliginda hesaplamak yerine 0 araliginda hesaplayip iki kati alinarak basitlestirme yapilabilir. Ozetle: 2.) gt cift fonksiyon ise: Eger gt cift fonksiyon ise yani ozelligini sagliyorsa olur. Yukaridaki gibi burada da seklinde basitlestirmeler yapilir. gt g t ise a p 0, b p 4 T 0 t0 x x t 0 T 0 2 gt sinpw 0 t dt xqe26 gt g t # gt 2 0 x gt gt g t ise b p 0, a p 4 T 0 t0 t 0 T 0 2 gt cospw 0 t dt xqe28

38 gt fonksiyonu gt T gt seklinde bir simetriye sahipse yukaridaki formuller daha da basitlesir ) gt g t ve gt T gt ise: Sinus teimlerine iliskin cift katsayilar sifir olur. 2 gt g t ve ise : gt T 2 gt a p 0 b 2p 0 b 2p 4 T 0 t 0 T 0 2 gt sin2p w 0 t dt t0 p,2,3,... xqe ) gt g t ve gt T gt ise: kosinus teimlerine iliskin cift katsayilar sifir olur. 2 gt g t ve ise : gt T 2 gt b p 0 a 2p 0 a 2p 4 T 0 t 0 T 0 2 gt cos2p w 0 t dt t0 p,2,3,... xqe32 Komplex Furier Serisi Katsayilarinin Hesabi gt isareti (ref: xa) esitligi ile olarak verilmisti k gt a 0 a p cospw 0 t b p sinpw 0 t r p cospw 0 t ejpw0t e jpw0t 2 bagintilari kullanilarak (ref: r) esitligi asagidaki sekilde yazilabilir. k gt a 0 p k a 0 p a p e jpw0t e jpw0t 2 a p 2 b p 2j c p a p 2 b p 2j ve e jpw0t sinpw 0 t ejpw0t e jpw0t 2j b p e jpw0t e jpw0t 2j a p 2 b p 2j c p a p 2 b p 2j e jpw0t r3 tanimlari yapilarak (ref: r3) esitligi k gt c 0 c p e jpw0t c p e jpw0t rx5 p seklinde yazilabilir. Dolayisi ile reel periyodik bir gt fonksiyonu kompleks ustel fonksiyonlarin toplami seklinde yazilabilir. gt c 0 c e jw0t c e jw0t c 2 e j2w0t c 2 e j2w0t c 3 e j3w0t c 3 e j3w0t...c k e jkw0t c k e jkw0t r7 k gt c p e jpw0t r2 p k gt nin icinde sonsuz sayida terim varsa toplam in alt ve ust sinirlari da sonsuz k olacagi aciktir. Yukaridaki bagintilardan acikca goruldugu gibi c p a p 2 b p 2j 2 a p b p j 2 a p jb p #

39 c p a p 2 b p 2j 2 a p jb p # c 0 a 0 # a p c p c p b p jc p c p # d p 2 c p p c p # c p, c p katasayilari a p, b p katsayilarindan yukaridaki bagintilar yardimiyla hesaplanabilir. Ancak direk olarak gt fonksiyonundan hesaplamak daha kolaydir. Once asagidaki belirli integrallerin hesaplanmmasi gerekir. (Bkz. C.P.ref: xp57) t 0T 0 e jkw0t e jpw0t t 0T 0 dt t0 e jk pw0t 0 k p dt t0 T 0 k p (ref: r7) esitliginin her iki tarafini e jpw0t ile carpip t 0, t 0 T 0 arasi integre edelim. t 0T 0 gte jpw0t t 0T 0 dt t0 c 0 e jpw0t dt t0 r6 t 0T 0 c e jw0t e jpw0t dt t0 t0 t 0T 0 c e jw0t e jpw0t dt t 0T 0 c 2 e j2w0t e jpw0t dt t0 t0 t 0T 0 c 2 e j2w0t e jpw0t dt... t 0T 0 c p e jpw0t e jpw0t dt t0 t0 t 0T 0 c p e jpw0t e jpw0t dt... t 0T 0 c k e jkw0t e jpw0t dt t0 t0 t 0T 0 c k e jkw0t e jpw0t dt r20 Esitligin sag tarafindaki integraller c p e jpw0t e jpw0t dt terimli haric digerleri (ref: r6) bagintisi geregi sifirdir. t 0T 0 c p e jpw0t e jpw0t dt t0 t0 t 0T 0 c p e 0 dt c p T 0 Bu sartlarda (ref: r20) esitligi yeniden yazilirsa t 0T 0 gte jpw0t dt c p T 0 t0 c p T 0 t0 t 0T 0 gte jpw 0t dt rx45 olarak bulunur. Ornek Problem: Sekil (ref: xz45) daki gt e t isaretinin Kompleks Furier serisi katsayilarini hesaplayin gt c p e jpw0t c p t 0T 0 T 0 gte jpw0t dt t0 p Sekilden goruldugu gibi isaretin periyodu T 0 2 frekansi f 0 T 0 2 acisal frekansi w 0 2f 4 dir. c p T 0 t0 t 0T 0 gte jpw0t dt T 0 0 T 0 e t e jpw0t dt 2 0 /2 e jpw 0t dt /2 2 jpw 0 e jpw0t 2 e jpw0 2 e 0 jpw e jpw /2 e jpw0/2 2 0 jp4 e /2 e jp2

40 2 j4p e / j4p Genlik ve faz (Ek-ref: appx3) de gosterildigi gibi hesaplanabilir. c p p 2 2 c p argtg Degisik p degerleri icin c p nin genligi ve fazi tablo(ref: xz32) da gosterilmistir. p c p 0.00 j j j j 0.03 c p c p Tablo(xz32) gt e t ye ait Komplex Furier serisi katsayilari argtg 4p 4p #

41 xz62 g(t)e t ye iliskin cift tarafli spektrum sekil(ref: xz62) de gt e t ye iliskin cift tarafli spektrum gorulmektedir. Ornek Problem Sekil(ref: cx) deki dikdortgen darbe katarinin kompleks Furier serisi katsayilarini hesaplayin. Sekilden goruldugu gibi isaretin periyodu T 0 frekansi f 0 T 0 acisal frekansi w 0 2f 2 T 0 dir. c p T t 0T 0 0 gte jpw0t q/2 dt t0 Ae jpw 0t dt T T 0/2 0 gte jpw 0t dt T0/2 T 0 q/2 T A e 0 jpw jpw0t q/2 q/2 A e 0 jpt 0 w jpw0q/2 e jpw0q/2 0 A jp2 2j 2j ejpw0q/2 e jpw0q/2 A j2p 2jsinpw 0q/2 A p sinpq/t 0 j0 c p A p sinpq/t A p sinpq/t 0 c p argtg 0 A p sinpq/t 0 0 sinpq/t 0 0 sinpq/t 0 0 Cesitli p degerleri icin c p nin genligi ve fazi tablo(ref: xt35) da gosterilmistir. p c p c p c p

42 Sekil(xz63) dikdortgen darbeye iliskin cift tarafli spektrum sonuc: Furier serisinden maksat bir isaretinin icindeki sinuzoidsal isaretlerin ortaya cikmasidir. gerek a p, b p katsayilarinda gerek d p, p katsayilarinda gerekse c p katsayilarindaki bilgiler ozdes bilgillerdir. Herhangi birisi varsa digerleri hesaplanabilir. a b ve b p katsayilari tek baslarina fiziksel yorumdamlama zorlugundan d p ve t p katsayilari hesaplanarak yorum yapilir. ote yandan c p katsayilari kompleks oldugundan onda da yorum yapmma zorlugu vardir. c p nin genlik ve faz spektrumu cizilerek yorum daha kolay yapilir. a 0 t T 0 0T 0 gtdt t0 a p 2 T 0 t0 t 0T 0 gt cospw0 t dt

43 b p 2 T 0 t 0T 0 gt sinpw0 t dt t0 c p T 0 t0 t 0T 0 gte jpw 0t dt c p 2 a p jb p c p 2 a p jb p c 0 a 0 a p c p c p d p 2 c p b p jc p c p p c p

44 Cozumlu Problemler C.P(xd58) gt cosat fonksiyonunun periyodunu bulun. Burada cosat T cosat esitligini saglayan T degerini ariyoruz. cosat T ifadesini acik olarak yazalim. cosat T cosat at cosatcosat sinatsinat Buradan acikca goruldugu gibi esitligin ikinci tarafinin cosat ye esit olmasi icin cosat sinat 0 olmasi gerekir. Bu durum da ancak at 0, at 2, at 2, at 4, at 4,... veya en genel halde k tamsayi olmak uzere at 2k T 2k a olmasi hallerinde saglanir. gt T gt esitligini saglayan sifirdan farkli en kucuk deger periyod kabul edildiginden k haline karsilik gelen degeri cosat nin periyodudur, T 2 a C.P(xd6) cos7t, cos0.5t, cos t, cos2 t, 0 cos7t, sin7t 3 fonksiyonlarinin periyodunu bulun. (C.P.ref: xd58) den cos7t nin peryodu T cos0.5t nin peryodu T cos 2 2 t nin peryodu T /3 cos2 t nin periyodu T pi 0 cos7t nin periyodu cos7t nin periyodu ile aynidir. (gt gt T ise A gt A gt T olacagi aciktir.) cos7t 20 nin periyodu cos7tnin periyodu ile aynidir. sin 7t nin periyodu cos7tnin periyodu ile aynidir. C.P(xd63) gt cosat cosbt fonksiyonunun periyodunu bulunuz. (C.P.ref: xd58) den cosat cosat T esitligini saglayan T degeri, k tamsayi olmak uzere

45 T 2k a olarak verilmisti. Benzer sekilde m tamsayi olmak uzere cosbt cosbt T 2 esitligini saglayan T 2 degeri T 2 2m b olacaktir. Eger T T T 2 esitligini saglayan bir T degerleri varsa cosat cosbt nin periyodu bu T degerlerinin en kucugu olacaktir. C.P(xd65) gt cos4t cos5t fonksiyonunun periyodunu bulun. (C.P.ref: xd63) den T 2m 4 T 2 2k 3 olarak bulunur. T T 2 olmasi icin 2 m 2 3 k m 4 3 k olmalidir. Bu esitligi saglayan m, k tamsayilari deneme ile bulunabilir. Yukaridaki esitligi saglayan k,m degerlerinin en kucugu k 3 m 4 olarak bulunur. O halde periyot T T 2 2 dir. 2k C.P(xd67) gt cos5t cos6 t fonksiyonunun periyodunu bulun. 2m 5 6 esitligini saglayacak k,m tamsayilari bulunamayacagi icin bu gt fonksiyonu periyodik degildir. C.P(xp3) gt 22cos4t 5sin0t 0 4.5sin3t 30 8cos25t 40 isaretinin tek tarafli spektrumunu cizin. sin0t 0 cos90 0t 0 cos90 0t 0 cos 0t 20 cos0t sin3t 30 cos90 3t 30 cos90 3t 30 cos 3t 60 cos3t 60 esitlikleri kullanilarak gt fonksiyonu gt 22cos4t 5cos0t cos3t 60 8cos25t 40 haline getirilir ve spektrum cizilir. Istenen spektrum sekil(ref: xz24)de gosterilmistir.

46 S(xz24) gt 22cos4t 5sin0t 0 4.5sin3t 30 8cos25t 40 isaretinin tek tarafli spektrumu. C.P(xp5) gt 33sin0t 9cos23t 30 6sin37t 60 cos58t 0 isaretinin spektrumunu cizin. sin0t cos0t 90 cos23t 30 cos23t cos23t 50 sin37t 60 cos37t cos37t 30 cos58t 0 cos58t 0 80 cos58t 70 bagintilari kullanilarak gt 33cos0t 90 9cos23t 50 6cos37t 30 cos58t 70 elde edilir. Bu isaretin spektrumu oncekilere benzer sekilde cizilir. Spektrum sekil(ref: xz25)de gosterilmistir.

47 S(xz25) gt 33sin0t 9cos23t 30 6sin37t 60 cos58t 0 isaretinin tek tarafli spektrumu C.P(xp7) Ornek problem gt 2cos0t 30 3cos0t 45 5sin0t 80 ifadesini tek terime indirgeyiniz. (Ek-ref: appx) de verilen cosa b ve sina b acilimlari kullanilarak gt 2cos0t 30 3cos0t 45 5sin0t 80 2cos0tcos30 sin0tsin30 3cos0tcos45 sin0tsin45 5sin0tcos80 cos0tsin80.07cos0t.98sin0t 2.259cos0t 8.28 bulunur. P(xz76) w 0 2 T 0 hesaplayin. ve k,n birer tamsayi olduguna gore asagidaki integralleri M t0 M 2 t0 t 0 T 0 sinkw0 t dt t 0 T 0 coskw0 t cosnw 0 t dt k tamsayi olmak uzere cos2k ve sin2k 0 oldugu gozonune alinirsa M integralini kolayca hesaplayabiliriz. t 0 T 0 M sinkw0 t dt t coskw t0 kw 0 t 0 T 0 t0 0 kw 0 coskw 0 t 0 T 0 coskw 0 t 0 kw 0 coskw 0 t 0 2k coskw 0 t 0 kw 0 coskw 0 t 0 cos2k sinkw 0 t 0 sin2k coskw 0 t 0 kw coskw 0 t 0 0 coskw 0 t 0 0 xqfw0 0 olarak bulunur. Ayni yontemle t 0 T 0 coskw0 t 0 xqfw03 t0 oldugu kolayca gosterilebilir. M 2 integali icin cosacosb cosa B cosa B bagintisi ve yukaridaki 2 tanimlar gozonune alinir.

48 M 2 t0 t 0 T 0 coskw0 t cosnw 0 t dt t0 t 0 T 0 2 coskw 0 t nw 0 t coskw 0 t nw 0 t dt 2 t 0 t 0 T 0coskw0 t nw 0 t dt 2 t0 t 0 T 0 coskw0 t nw 0 t dt t 0 T 0 t sinkw 2 kw 0 nw 0 t nw 0 t 0 T 0 sinkw 0 t 0 2 kw 0 nw 0 t nw 0 t 0 t 0 w 0 T 0 2 ve k tamsayi olmak uzere sinx 2k sinx oldugu dikkate alinirsa xd54 t sinkw 0 t nw 0 t 0 T 0 t0 sinkw 0 tt TT nw 0 tt TT sinkw 0 t 0 nw 0 t 0 sinkw 0 tt kw 0 TT nw 0 tt nw 0 T 0 sinkw 0 t 0 nw 0 t 0 sink nw 0 t 0 k nw 0 T 0 sink nw 0 t 0 sink nw 0 t 0 sink nw 0 t 0 0 elde edilir. Benzeri yontemle t sinkw 0 t nw 0 t 0 T 0 t0 0 oldugu da gosterilebilir. Dolayisiyla (ref: xd54) un iki terimi de sifir oldugundan k m hali icin M2 0 olarak bulunur. k m icin M 2 integrali M 2 t0 t 0 T 0 cos 2 kw 0 tdt haline gelir. cos 2 X cos2x bagintisini kullanarak ve yukaridaki islemlere benzer 2 islemlerle t 0 T 0 M 2 cos2kw t0 2 0 tdt 2 t sin2kw 0 t 2kw 0 t 0 T 0 t 0 bulunur. T 0 2 C.P(xp57) k,p birer tamsayi w 0 2 T 0 olduguna gore M t0 t 0 T 0 e jkw 0 t e jpw 0t dt

49 integralinin degerini hesaplayin. k p ve k p halleri ayri ayri ele aalinacaktir. Once k p halini ele alalim. M t0 t 0 T 0 e jkw 0 t e jpw 0t dt t0 t 0 T 0 e jkw 0 pw 0 t dt jkw 0 pw 0 e jkw 0 pw 0 tt 0 T 0 t 0 jkw 0 pw 0 ejkw 0 pw 0 t 0 T0 e jkw 0 pw 0 t 0 Not k p olsa idi bu integral alma islemi gecersiz olurdu. w 0 T 0 2 ve k p tamsayi olmak uzere e jk p2 oldugunu gozonune alarak koseli parantez icindeki ilk terimi hesaplayalim. e jkw 0 pw 0 t 0 T0 e jkw 0t 0 kw 0 T 0 pw 0 t 0 pw 0 T 0 e jk pw 0t 0 jk pw 0 T 0 e jk pw 0t 0e jk pw 0 T 0 e jk pw 0t 0 e jk pw 0 t 0e jk p2 olur. Bu deger yukarida yerine konursa koseli parantezin ici sifir olur. Dolayisiyla k p icin M 0 olur. Simdi k p veya k p 0 durumunu gozonune alalim. Bu durumda M integrali M t0 t 0 T 0 e jkw 0 t e jpw 0t dt t0 t 0 T 0 e jk pw 0 t dt t 0 T 0 e 0 t 0 T 0 dt t0.dt t 0 T 0 t t0 t 0 T 0 t 0 t0 olur. sonuc olarak T 0 t 0 T 0 e jkw 0 t e jpw0t dt t0 t0 t 0 T 0 e jk pw 0 t dt 0 k p k p T 0 xqf367 C.P(p448) gt cos 3 t fonksiyonunun Furier serisi katsayilarini komplex Furier serisi katsayilarini hesaplayin. Problem normal yollarla cozulebilir. Yani a 0 a p b p icin gerekli integraller yazilir integraller hesaplanir ve a 0 a p b p katsayilari bulunur. Ancak Burada daha kolay bir yol izlenecektir. bagintilari kullanilarak gt fonksiyonu cosacosb cosa b cosa b 2 cos 2 t cos2t 2

50 gt cos 3 t costcos 2 t cost cos2t 2 2 cost 2 cos3t cost cost 4 cos3t haline getirilir. Yukaridaki esitligi (ref: xa) esitligi ile karsilastirdigimizda acikca goruldugu gibi b p 0 a 0 0 a 3 4 bulunur. c p a 2 p jb p bagintisindan a 2 0 a 3 4 ve p 0 icin a p 0 c 0 0 c 3 8 c 3 8 c 2 0 c 2 0 c 3 8 c 3 8 ve olacaktir. p 0 icin c p 0 C.P(p385) Sekil(ref: cx2) deki impuls darbe katarinin kompleks Furier serisi katsayilarini hesaplayin. Sekil(cx2) Impuls Darbe katari c p T 0 t0 t 0 T 0 gte jpw 0 t dt T T 0 /2 0 T0/2 e jpw 0 t gtdt T q/2 0 te jpw 0 t dt q/2 (Ek-ref: appx5)de verilen bagintilar geregi oldugundan tft f0 q/2 tft f0 q/2 olacagi aciktir. dolayisiyla c p T 0 e jpw 00 T 0 s63 olarak bulunur.

51 C.P(x448) Sekil(ref: xz76) da gosterilen ucgen dalganin Furier serisi katsayilarini hesaplayin. S(xz76) ucgen dalga acikca goruldugu gibi gt isaretinin periyodu T 0 q dur. gt isareti analitik olarak gt 4t q q 2 t 0 4t q 0 t q 2 seklinde ifade edilebilir. Furier serisi katsayilari bilinen yontemle hesaplanir. Benzer sekilde q 2 a 0 q a p 2 T 0 q T 0 q 2 cospw 0 tdt 0 q 2 q 2 2 T 0 q gtdt q 2 t 2t2 0 q q 2 q 2 4t q dt 0 t 2t2 q 2 q 0 4t q cospw 0 tdt 0 cospw 0 tdt q 2 cospw 0 tdt 8 T 0 q 0 0 q 2 q 2 4t q t q dt cospw 0 tdt q 4t q cospw 2 0tdt 4t 0 q cospw 0tdt tcospw 0 tdt 0 q 2 (ref: xqfw0) esitligi geregi birinci integral sifira esittir. ote yandan xcosaxdx a cosax x 2 a sinax tcospw 0 tdt bagintisindan faydalanarak ikinci parantezin icindeki integraller hesaplanirsa. a p 4 cosn n 2 2

52 bulunur.b p katsayisi benzeri yontemler kullanilarak ve xsinaxdx a sinax x 2 a cosax bagintisinddan faydalanilarak b p 0 oldugu kolayca gosterilebilir. kommpleks Furier katsayilari da c p 2 a p jb p 2 cosn n 2 2 olarak hesaplanir. C.P(x457) Sekil(ref: xqf6)deki alttan ve ustten kirpilmis kosinus dalgasi goruluyor. a) Verilen isaretin Furier serisi katsayilarini hesaplayin. b) 0.6 T 0 4, A 5 icin a p katsayilarinin numerik degerlerini hesaplayin. c) p 8 icin a p katsayilarini ihmal ederek gt isaretini sinuzoidal terimlerin toplami cinsinden yaziniz. d) Elde ettiginiz gt isareti ile asil gt isaretini karsilastirin. a)sekildeki dalga acikca goruldugu gibi gt T 2 gt Sekil(xqf6) gt g t ozelliklerini saglamaktadir. O halde (ref: xqe32) geregi Furier serisi katsayilari b p 0, a p 8 T 0 t0 t 0 T 0 4 p,3,5,7,9... gtcospw 0 t dt # bagintilari yardimiyla hesaplanabilir. a 0 katsayisi normal yolla hesaplanir. gt t eksenine gore simetrik oldugundan a 0 0 olur. Ote yandan 0 T 0 4 araliginda gt

53 fonksiyonu gt seklindedir ve Q Acosw 0 dir. O halde a p 8 T 0 t0 Q 0 t Acosqt t T 0 4 t 0 T 0 4 gtcospw 0 t dt 8 T 0 0 Qcospw0 t dt 8 T 0 T0 4 Acosw 0 tcospw 0 t dt 8 T 0 Q pw0 sinpw 0 8A T 0 2p w 0 sin cosacosb 0.5cosA B cosa B cosw 0 tcospw 0 t 0.5cosp w 0 t cosp p 2 2p w 0 sin 2p w 0 sinp w 0 2p w 0 sinp w 0 Ote yandan w 0 T 0 2 ve p,3,5,7,... icin p sin 0, 2 oldugu gozonune alinirsa p,3,5,7,... icin. sin p 2 0 p 2 a p 4Q p sinpw 0 4A 2p sinp w 0 2p sinp w 0 arak a,a 2,a 3,... katsayilari hesaplanir. p icin a katsayisi limit alinarak bulunur. a 4Q sinw 0 A 4 T 0 sin2w 0 b) Bulunan bagintida 0.6 T 0 4, A 5,w 0.57,Q A cosw 0 beta 3.53 degerleri konularak a 4.73, a 3 0.5, a 5 0.6, a bulunur. c) Dolayisiyla gt isarti gt 4.73cos.57t 0,5cos4.7t 0.6cos7.85t 0.09cos.0t seklinde yazilabilir. d) Elde edilen gt isareti sekil(ref: xqf63) de gosterilmistir.

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

5. Elektriksel Büyüklüklerin Ölçülebilen Değerleri

5. Elektriksel Büyüklüklerin Ölçülebilen Değerleri Elektrik devrelerinde ölçülebilen büyüklükler olan; 5. Elektriksel Büyüklüklerin Ölçülebilen Değerleri Akım Gerilim Devrede bulunan kaynakların tiplerine göre değişik şekillerde olabilir. Zamana bağlı

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu

İşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu İşaret ve Sistemler Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu Fourier Serileri Periyodik işaretlerin spektral analizini yapabilmek için periyodik işaretler sinüzoidal işaretlerin toplamına dönüştürülür

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 2: Spektral Analize Giriş

İşaret ve Sistemler. Ders 2: Spektral Analize Giriş İşaret ve Sistemler Ders 2: Spektral Analize Giriş Spektral Analiz A 1.Cos (2 f 1 t+ 1 ) ile belirtilen işaret: f 1 Hz frekansında, A 1 genliğinde ve fazı da Cos(2 f 1 t) ye göre 1 olan parametrelere sahiptir.

Detaylı

SİNYALLER ve SİSTEMLER

SİNYALLER ve SİSTEMLER SİNYALLER ve SİSTEMLER 1. Sinyallerin Sınıflandırılması 1.1 Sürekli Zamanlı ve Ayrık Zamanlı Sinyaller 1.2 Analog ve Sayısal Sinyaller Herhangi bir (a,b) reel sayı aralığında bir x(t) sinyali sonsuz değer

Detaylı

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

DENEY 7 DALGALI GERİLİM ÖLÇÜMLERİ - OSİLOSKOP

DENEY 7 DALGALI GERİLİM ÖLÇÜMLERİ - OSİLOSKOP DENEY 7 DALGALI GERİLİM ÖLÇÜMLERİ - OSİLOSKOP Amaç: Bu deneyin amacı, öğrencilerin alternatif akım ve gerilim hakkında bilgi edinmesini sağlamaktır. Deney sonunda öğrencilerin, periyot, frekans, genlik,

Detaylı

8. ALTERNATİF AKIM VE SERİ RLC DEVRESİ

8. ALTERNATİF AKIM VE SERİ RLC DEVRESİ 8. ATENATİF AKIM E SEİ DEESİ AMAÇA 1. Alternatif akım ve gerilim ölçmeyi öğrenmek. Direnç, kondansatör ve indüktans oluşan seri bir alternatif akım devresini analiz etmek AAÇA oltmetre, ampermetre, kondansatör

Detaylı

EEM HABERLEŞME TEORİSİ NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

EEM HABERLEŞME TEORİSİ NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ Dersin Öğretim Elemanı: Yrd. Doç. Dr. Yasin KABALCI Ders Görüşme

Detaylı

ALTERNATĐF AKIM (AC) I AC NĐN ELDE EDĐLMESĐ; KARE VE ÜÇGEN DALGALAR

ALTERNATĐF AKIM (AC) I AC NĐN ELDE EDĐLMESĐ; KARE VE ÜÇGEN DALGALAR ALTERNATĐF AKIM (AC) I AC NĐN ELDE EDĐLMESĐ; KARE VE ÜÇGEN DALGALAR 1.1 Amaçlar AC nin Elde Edilmesi: Farklı ve değişken DC gerilimlerin anahtar ve potansiyometreler kullanılarak elde edilmesi. Kare dalga

Detaylı

ANALOG ELEKTRONİK - II. Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir.

ANALOG ELEKTRONİK - II. Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir. BÖLÜM 6 TÜREV ALICI DEVRE KONU: Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir. GEREKLİ DONANIM: Multimetre (Sayısal veya Analog) Güç Kaynağı: ±12V

Detaylı

, gerilimin maksimum değerini; ω = 2πf

, gerilimin maksimum değerini; ω = 2πf 8. ATENATİF AKIM E SEİ DEESİ AMAÇA 1. Alternatif akım ve gerilim ölçmeyi öğrenmek. Direnç, kondansatör ve indüktans oluşan seri bir alternatif akım devresini analiz etmek AAÇA oltmetre, ampermetre, kondansatör

Detaylı

Alternatif Akım Devre Analizi

Alternatif Akım Devre Analizi Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Emre ÖZER Alternatif Akımın Tanımı Zamaniçerisindeyönüveşiddeti belli bir düzen içerisinde (periyodik) değişen akıma alternatif akımdenir. En bilinen alternatif akım

Detaylı

DENEY FÖYÜ 4: Alternatif Akım ve Osiloskop

DENEY FÖYÜ 4: Alternatif Akım ve Osiloskop Deneyin Amacı: DENEY FÖYÜ 4: Alternatif Akım ve Osiloskop Osiloskop kullanarak alternatif gerilimlerin incelenmesi Deney Malzemeleri: 5 Adet 1kΩ, 5 adet 10kΩ, 5 Adet 2k2Ω, 1 Adet potansiyometre(1kω), 4

Detaylı

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER Bu bölümde aşağıdaki başlıklar ele alınacaktır. Sonsuz dürtü yanıtlı filtre yapıları: Direkt Şekil-1, Direkt Şekil-II, Kaskad

Detaylı

4. Sunum: AC Kalıcı Durum Analizi. Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık

4. Sunum: AC Kalıcı Durum Analizi. Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 4. Sunum: AC Kalıcı Durum Analizi Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 1 Giriş Aşağıdaki şekillere ve ifadelere bakalım ve daha önceki derslerimizden

Detaylı

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever Ders #2 Otomatik Kontrol Laplas Dönüşümü Prof.Dr.Galip Cansever Pierre-Simon Laplace, 1749-1827 Matematiçi ve Astronomdur. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/biographies/laplace.html LAPLAS DÖNÜŞÜMÜ

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Şekil 6.1 Basit sarkaç

Şekil 6.1 Basit sarkaç Deney No : M5 Deney Adı : BASİT SARKAÇ Deneyin Amacı yer çekimi ivmesinin belirlenmesi Teorik Bilgi : Sabit bir noktadan iple sarkıtılan bir cisim basit sarkaç olarak isimlendirilir. : Basit sarkaçta uzunluk

Detaylı

Haberlesme Sistemleri 1)Haberleşme sistemlerinin temel bileşenleri verici, alici, iletim ortami, gurultu, distorsyon,

Haberlesme Sistemleri 1)Haberleşme sistemlerinin temel bileşenleri verici, alici, iletim ortami, gurultu, distorsyon, Haberlesme Sistemleri 1)Haberleşme sistemlerinin temel bileşenleri verici, alici, iletim ortami, gurultu, distorsyon, Hafta 1 2) Isaret ve spektrum kavrami, Isaretlerin zaman ve frekans analizi, 1,2 Fourier

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

Taşıyıcı İşaret (carrier) Mesajın Değerlendirilmesi. Mesaj (Bilgi) Kaynağı. Alıcı. Demodulasyon. Verici. Modulasyon. Mesaj İşareti

Taşıyıcı İşaret (carrier) Mesajın Değerlendirilmesi. Mesaj (Bilgi) Kaynağı. Alıcı. Demodulasyon. Verici. Modulasyon. Mesaj İşareti MODULASYON Bir bilgi sinyalinin, yayılım ortamında iletilebilmesi için başka bir taşıyıcı sinyal üzerine aktarılması olayına modülasyon adı verilir. Genelde orijinal sinyal taşıyıcının genlik, faz veya

Detaylı

ALTERNATİF AKIMIN TANIMI

ALTERNATİF AKIMIN TANIMI ALTERNATİF AKIM ALTERNATİF AKIMIN TANIMI Belirli üreteçler sürekli kutup değiştiren elektrik enerjisi üretirler. (Örnek: Döner elektromekanik jeneratörler) Voltajın zamana bağlı olarak sürekli yön değiştirmesi

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

4. ÜNİTE ALTERNATİF AKIMDA GÜÇ

4. ÜNİTE ALTERNATİF AKIMDA GÜÇ 4. ÜNİTE ALTERNATİF AKIMDA GÜÇ KONULAR 1. Ani Güç, Ortalama Güç 2. Dirençli Devrelerde Güç 3. Bobinli Devrelerde Güç 4. Kondansatörlü Devrelerde Güç 5. Güç Üçgeni 6. Güç Ölçme GİRİŞ Bir doğru akım devresinde

Detaylı

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,

Detaylı

ALTERNATİF AKIMIN DENKLEMİ

ALTERNATİF AKIMIN DENKLEMİ 1 ALTERNATİF AKIMIN DENKLEMİ Ani ve Maksimum Değerler Alternatif akımın elde edilişi incelendiğinde iletkenin 90 ve 270 lik dönme hareketinin sonunda maksimum emk nın indüklendiği görülür. Alternatif akımın

Detaylı

İletken Düzlemler Üstüne Yerleştirilmiş Antenler

İletken Düzlemler Üstüne Yerleştirilmiş Antenler İletken Düzlemler Üstüne Yerleştirilmiş Antenler Buraya dek sınırsız ortamlarda tek başına bulunan antenlerin ışıma alanları incelendi. Anten yakınında bulunan başka bir ışınlayıcı ya da bir yansıtıcı,

Detaylı

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DENEY FÖYÜ DENEY ADI AC AKIM, GERİLİM VE GÜÇ DENEYİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ DENEY SORUMLUSU DENEY GRUBU: DENEY TARİHİ : TESLİM

Detaylı

Elektromanyetik Dalga Teorisi

Elektromanyetik Dalga Teorisi Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-1 Diferansiyel Formda Maxwell Denklemleri İntegral Formda Maxwell Denklemleri Fazörlerin Kullanımı Zamanda Harmonik Alanlar Malzeme Ortamı Dalga Denklemleri Michael Faraday,

Detaylı

İŞARET ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS) Dr. Akif AKGÜL oda no: 303 (T4 / EEM)

İŞARET ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS) Dr. Akif AKGÜL oda no: 303 (T4 / EEM) İşaret ve Sistemler İŞARET ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS) Dr. Akif AKGÜL aakgul@sakarya.edu.tr oda no: 303 (T4 / EEM) Kaynaklar: 1. Signals and Systems, Oppenheim. (Türkçe versiyonu: Akademi Yayıncılık)

Detaylı

Uçlarındaki gerilim U volt ve içinden t saniye süresince Q coulomb luk elektrik yükü geçen bir alıcıda görülen iş:

Uçlarındaki gerilim U volt ve içinden t saniye süresince Q coulomb luk elektrik yükü geçen bir alıcıda görülen iş: Etrafımızda oluşan değişmeleri iş, bu işi oluşturan yetenekleri de enerji olarak tanımlarız. Örneğin bir elektrik motorunun dönmesi ile bir iş yapılır ve bu işi yaparken de motor bir enerji kullanır. Mekanikte

Detaylı

B ol um 5 ANALOG IS ARETLER IN SPEKTRUM ANAL IZ I

B ol um 5 ANALOG IS ARETLER IN SPEKTRUM ANAL IZ I Bölüm 5 ANALOG İŞARETLERİN SPEKTRUM ANALİZİ 10 Bölüm 5. Analog İşaretlerin Spektrum Analizi 5.1 Fourier Serisi Sınırlı (t 1, t 2 ) aralığında tanımlanan f(t) fonksiyonunun sonlu Fourier serisi açılımı

Detaylı

Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi. Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU

Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi. Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU Makine Mühendisliği İçin Elektrik-Elektronik Bilgisi Ders Notu-3 Doğru Akım Devreleri Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU ELEKTROMOTOR KUVVETİ Kapalı bir devrede sabit bir akımın oluşturulabilmesi için

Detaylı

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin Temel ödevler Temel ödevler, konum değerlerinin bulunması ve aplikasyon işlemlerine dair matematiksel ve geometrik hesaplamaları içeren yöntemlerdir. öntemlerin isimleri genelde temel ödev olarak isimlendirilir.

Detaylı

RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ

RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ RASTGELE BİR SİNYAL Gürültü rastgele bir sinyal olduğu için herhangi bir zamandaki değerini tahmin etmek imkansızdır. Bu sebeple tekrarlayan sinyallerde de kullandığımız ortalama

Detaylı

7. DİRENÇ SIĞA (RC) DEVRELERİ AMAÇ

7. DİRENÇ SIĞA (RC) DEVRELERİ AMAÇ 7. DİENÇ SIĞA (C) DEELEİ AMAÇ Seri bağlı direnç ve kondansatörden oluşan bir devrenin davranışını inceleyerek kondansatörün durulma ve yarı ömür zamanını bulmak. AAÇLA DC Güç kaynağı, kondansatör, direnç,

Detaylı

Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir.

Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir. ALTERNATiF AKIM Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir. Doğru akım ve alternatif akım devrelerinde akım yönleri şekilde görüldüğü

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,

Detaylı

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından

Detaylı

14. SİNÜSOİDAL AKIMDA DİRENÇ, KAPASİTE, İNDÜKTANS VE ORTAK İNDÜKTANSIN ÖLÇÜLMESİ

14. SİNÜSOİDAL AKIMDA DİRENÇ, KAPASİTE, İNDÜKTANS VE ORTAK İNDÜKTANSIN ÖLÇÜLMESİ 14. SİNÜSOİDAL AKIMDA DİRENÇ, KAPASİTE, İNDÜKTANS VE ORTAK İNDÜKTANSIN ÖLÇÜLMESİ Sinüsoidal Akımda Direncin Ölçülmesi Sinüsoidal akımda, direnç üzerindeki gerilim ve akım dalga şekilleri ve fazörleri aşağıdaki

Detaylı

Şekil-1. Doğru ve Alternatif Akım dalga şekilleri

Şekil-1. Doğru ve Alternatif Akım dalga şekilleri 2. Alternatif Akım =AC (Alternating Current) Değeri ve yönü zamana göre belirli bir düzen içerisinde değişen akıma AC denir. En çok bilinen AC dalga biçimi Sinüs dalgasıdır. Bununla birlikte farklı uygulamalarda

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 1: Giriş

İşaret ve Sistemler. Ders 1: Giriş İşaret ve Sistemler Ders 1: Giriş Ders 1 Genel Bakış Haberleşme sistemlerinde temel kavramlar İşaretin tanımı ve çeşitleri Spektral Analiz Fazörlerin frekans düzleminde gösterilmesi. Periyodik işaretlerin

Detaylı

MİKROİŞLEMCİ İLE A/D DÖNÜŞÜMÜ

MİKROİŞLEMCİ İLE A/D DÖNÜŞÜMÜ KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR ORGANİZASYONU LABORATUVARI MİKROİŞLEMCİ İLE A/D DÖNÜŞÜMÜ 1. GİRİŞ Analog işaretleri sayısal işaretlere dönüştüren elektronik devrelere

Detaylı

Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi

Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi Bir sürekli-zaman işaretin sayısal işlenmesi üç adımdan oluşmaktadır: 1. Sürekli-zaman işaretinin bir ayrık-zaman işaretine dönüştürülmesi 2. Ayrık-zaman işaretin

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ LABORATUARI

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ LABORATUARI SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ LABORATUARI DENEYİ YAPTIRAN: DENEYİN ADI: DENEY NO: DENEYİ YAPANIN ADI ve SOYADI:

Detaylı

Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-3

Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-3 Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-3 Faz ve Grup Hızı Güç ve Enerji Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Eğik Gelişi Dik Kutuplama Paralel Kutuplama Faz ve Grup

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

DENEY 6 BASİT SARKAÇ

DENEY 6 BASİT SARKAÇ DENEY 6 BASİT SARKAÇ AMAÇ: Bir basit sarkacın temel fiziksel özelliklerinin incelenmesi. TEORİ: Basit sarkaç şekilde görüldüğü gibi kütlesiz bir ip ve ucuna asılı noktasal bir kütleden ibarettir. Şekil

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

Düzenlilik = ((Vçıkış(yük yokken) - Vçıkış(yük varken)) / Vçıkış(yük varken)

Düzenlilik = ((Vçıkış(yük yokken) - Vçıkış(yük varken)) / Vçıkış(yük varken) KTÜ Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Sayısal Elektronik Laboratuarı DOĞRULTUCULAR Günümüzde bilgisayarlar başta olmak üzere bir çok elektronik cihazı doğru akımla çalıştığı bilinen

Detaylı

Şekil 5.1 Uçları dışa doğru açılmış, paralel plakalar sistemi

Şekil 5.1 Uçları dışa doğru açılmış, paralel plakalar sistemi 5. Paralel Plakalar Amaç Bu deneyde yüklü bir parçacığı elektrik alan içinde hızlandırmak için kullanılan paralel plakalı elektrot düzeneğinin bir eşdeğeri iki boyutlu olarak teledeltos kağıdına çizilerek,

Detaylı

Doğru Akım Devreleri

Doğru Akım Devreleri Doğru Akım Devreleri ELEKTROMOTOR KUVVETİ Kapalı bir devrede sabit bir akımın oluşturulabilmesi için elektromotor kuvvet (emk) adı verilen bir enerji kaynağına ihtiyaç duyulmaktadır. Şekilde devreye elektromotor

Detaylı

Temel Kavramlar. Elektrik Nedir? Elektrik nedir? Elektrikler geldi, gitti, çarpıldım derken neyi kastederiz?

Temel Kavramlar. Elektrik Nedir? Elektrik nedir? Elektrikler geldi, gitti, çarpıldım derken neyi kastederiz? Temel Kavramlar Elektrik Nedir? Elektrik nedir? Elektrikler geldi, gitti, çarpıldım derken neyi kastederiz? 1 Elektriksel Yük Elektrik yükü bu dış yörüngede dolanan elektron sayısının çekirdekteki proton

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

I= V R /R = Vs/R =10/4=2.5A, P R =V R I=10 2.5=25W Vs kaynagi icin. P S = Vs I S = Vs (-I) =10 (-2.5)=-25W

I= V R /R = Vs/R =10/4=2.5A, P R =V R I=10 2.5=25W Vs kaynagi icin. P S = Vs I S = Vs (-I) =10 (-2.5)=-25W GU Devrelerde geriimin + ucundan akim girecek sekilde yon tanimi yapilmalidir. Yon bu sekilde tanimlanirsa = olur. Yon bu sekilde tanimlanirsa = - olur. Bunun gibi kapasite taniminda de d = seklindedir.

Detaylı

TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER

TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER SUNU PLANI Analog sayısal çevirici FIR Filtreler IIR Filtreler Adaptif Filtreler Pan-Tompkins Algoritması Araş. Gör. Berat Doğan 08/04/2015

Detaylı

F AKIM DEVRELER A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER

F AKIM DEVRELER A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER ALTERNATİF AKIM DEVRELERİ A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER Alternatif akım devrelerinde akımın geçişine karşı üç çeşit direnç (zorluk) gösterilir. Devre elamanları dediğimiz bu dirençler: () R omik

Detaylı

6. DİRENÇ ÖLÇME YÖNTEMLERİ VE WHEATSTONE KÖPRÜSÜ

6. DİRENÇ ÖLÇME YÖNTEMLERİ VE WHEATSTONE KÖPRÜSÜ AMAÇLAR 6. DİRENÇ ÖLÇME YÖNTEMLERİ VE WHEATSTONE KÖPRÜSÜ 1. Değeri bilinmeyen dirençleri voltmetreampermetre yöntemi ve Wheatstone Köprüsü yöntemi ile ölçmeyi öğrenmek 2. Hangi yöntemin hangi koşullar

Detaylı

EEM HABERLEŞME TEORİSİ NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

EEM HABERLEŞME TEORİSİ NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ Dersin Öğretim Elemanı: Yrd. Doç. Dr. Yasin KABALCI Ders Görüşme

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü GEÇİCİ OLAYLARIN İNCELENMESİ

KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü GEÇİCİ OLAYLARIN İNCELENMESİ KARAENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ ELK008 EVRELER II LABORATUARI HAZIRLIK ÇALIŞMALARI GEÇİİ OLAYLARIN İNELENMESİ. Geçici olay ve Sürekli olay nedir? Kısaca açıklayınız.. Kondansatör ve Endüktans elemanlarına

Detaylı

MĐKROĐŞLEMCĐLĐ FONKSĐYON ÜRETECĐ

MĐKROĐŞLEMCĐLĐ FONKSĐYON ÜRETECĐ K TÜ Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Mikroişlemciler Laboratuarı MĐKROĐŞLEMCĐLĐ FONKSĐYON ÜRETECĐ Mikrobilgisayarların kullanım alanlarından biri de değişik biçimli periyodik işaretlerin

Detaylı

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İLETİŞİM LABORATUARI SAYISAL FİLTRELER

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İLETİŞİM LABORATUARI SAYISAL FİLTRELER SAYISAL FİLTRELER Deney Amacı Sayısal filtre tasarımının ve kullanılmasının öğrenilmesi. Kapsam Ayrık zamanlı bir sistem transfer fonksiyonunun elde edilmesi. Filtren frekans tepkes elde edilmesi. Direct

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

ALTERNATİF AKIM (AC) II SİNÜSOİDAL DALGA; KAREKTRİSTİK ÖZELLİKLERİ

ALTERNATİF AKIM (AC) II SİNÜSOİDAL DALGA; KAREKTRİSTİK ÖZELLİKLERİ . Amaçlar: EEM DENEY ALERNAİF AKIM (AC) II SİNÜSOİDAL DALGA; KAREKRİSİK ÖZELLİKLERİ Fonksiyon (işaret) jeneratörü kullanılarak sinüsoidal dalganın oluşturulması. Frekans (f), eriyot () ve açısal frekans

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

KMU MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ELETRONİK LABORATUVARI DENEY 1 OSİLOSKOP KULLANIMI

KMU MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ELETRONİK LABORATUVARI DENEY 1 OSİLOSKOP KULLANIMI KMU MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ELETRONİK LABORATUVARI DENEY 1 OSİLOSKOP KULLANIMI DENEY 1 OSİLOSKOP KULLANIMI Deneyin Amaçları Osiloskop kullanımını öğrenmek, Osiloskop grafiklerini

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Şeklinde ifade edilir. Çift yan bant modülasyonlu işaret ise aşağıdaki biçimdedir. ile çarpılırsa frekans alanında bu sinyal w o kadar kayar.

Şeklinde ifade edilir. Çift yan bant modülasyonlu işaret ise aşağıdaki biçimdedir. ile çarpılırsa frekans alanında bu sinyal w o kadar kayar. GENLİK MODÜLASYONU Mesaj sinyali m(t) nin taşıyıcı sinyal olan c(t) nin genliğini modüle etmesine genlik modülasyonu (GM) denir. Çeşitli genlik modülasyonu türleri vardır, bunlar: Çift yan bant modülasyonu,

Detaylı

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ History in Pictures - On January 5th, 1940, Edwin H. Armstrong transmitted thefirstfmradiosignalfromyonkers, NY to Alpine, NJ to Meriden, CT to Paxton, MA to Mount Washington. 5 January is National FM

Detaylı

HABERLEŞMENIN AMACI. Haberleşme sistemleri istenilen haberleşme türüne göre tasarlanır.

HABERLEŞMENIN AMACI. Haberleşme sistemleri istenilen haberleşme türüne göre tasarlanır. 2 HABERLEŞMENIN AMACI Herhangi bir biçimdeki bilginin zaman ve uzay içinde, KAYNAK adı verilen bir noktadan KULLANICI olarak adlandırılan bir başka noktaya aktarılmasıdır. Haberleşme sistemleri istenilen

Detaylı

Deney 5 : Ayrık Filtre Tasarımı. Prof. Dr. Aydın Akan Bahattin Karakaya Umut Gündoğdu Yeşim Hekim Tanç

Deney 5 : Ayrık Filtre Tasarımı. Prof. Dr. Aydın Akan Bahattin Karakaya Umut Gündoğdu Yeşim Hekim Tanç İ. Ü. Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İŞARET İŞLEME ve UYGULAMALARI Deney 5 : Ayrık Filtre Tasarımı Prof. Dr. Aydın Akan Bahattin Karakaya Umut Gündoğdu Yeşim Hekim Tanç Deney 5 : Ayrık Filtre Tasarımı 1.

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş 1.Hafta Sayısal çözümleme nümerik analiz nümerik çözümleme, approximate computation mühendislikte sayısal yöntemler Computational mathematics Numerical analysis

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

Algoritmalar ve Programlama. DERS - 4 Yrd. Doç. Dr. Ahmet SERBES

Algoritmalar ve Programlama. DERS - 4 Yrd. Doç. Dr. Ahmet SERBES Algoritmalar ve Programlama DERS - 4 Yrd. Doç. Dr. Ahmet SERBES Geçen Derste Değişken oluşturma Skaler Diziler, vektörler Matrisler Aritmetik işlemler Bazı fonksiyonların kullanımı Operatörler İlk değer

Detaylı

Bölüm 1. Elektriksel Büyüklükler ve Elektrik Devre Elemanları

Bölüm 1. Elektriksel Büyüklükler ve Elektrik Devre Elemanları Bölüm Elektriksel Büyüklükler ve Elektrik Devre Elemanları. Temel Elektriksel Büyüklükler: Akım, Gerilim, Güç, Enerji. Güç Polaritesi.3 Akım ve Gerilim Kaynakları F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. .. Temel

Detaylı

İnce Antenler. Hertz Dipolü

İnce Antenler. Hertz Dipolü İnce Antenler Çapları boylarına göre küçük olan antenlere ince antenler denir. Alanların hesabında antenlerin sonsuz ince kabul edilmesi kolaylık sağlar. Ancak anten empedansı bulunmak istendiğinde kalınlığın

Detaylı

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

8.KISIM OSİLOSKOP-2 DC + AC ŞEKLİNDEKİ TOPLAM İŞARETLERİN ÖLÇÜMÜ

8.KISIM OSİLOSKOP-2 DC + AC ŞEKLİNDEKİ TOPLAM İŞARETLERİN ÖLÇÜMÜ 8.KISIM OSİLOSKOP-2 DC + AC ŞEKLİNDEKİ TOPLAM İŞARETLERİN ÖLÇÜMÜ Osiloskobun DC ve AC seçici anahtarları kullanılarak yapılır. Böyle bir gerilime örnek olarak DC gerilim kaynaklarının çıkışında görülen

Detaylı

Harici Fotoelektrik etki ve Planck sabiti deney seti

Harici Fotoelektrik etki ve Planck sabiti deney seti Deneyin Temeli Harici Fotoelektrik etki ve Planck sabiti deney seti Fotoelektrik etki modern fiziğin gelişimindeki anahtar deneylerden birisidir. Filaman lambadan çıkan beyaz ışık ızgaralı spektrometre

Detaylı

ARAZIDE NOKTALARIN ISARETLENMESI- ARAZI ISLERI

ARAZIDE NOKTALARIN ISARETLENMESI- ARAZI ISLERI ARAZIDE NOKTALARIN ISARETLENMESI- ARAZI ISLERI Arazide açi ve uzunluk ölçmelerinin yapilabilmesi için noktalara ve bu noktalarla belirlenen dogrulara gereksinim vardir. Noktalar görünebilir olmali ve arandiklarinda

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Fizik 101: Ders 23 Gündem

Fizik 101: Ders 23 Gündem Fizik 101: Ders 3 Gündem Basit Harmonik Hereket Yatay yay ve kütle Sinus ve cosinus lerin anlamı Düşey yay ve kütle Enerji yaklaşımı Basit sarkaç Çubuk sarkaç Basit Harmonik Hareket (BHH) Ucunda bir kütle

Detaylı

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ 01.1.015 ÇALIŞMA SORULARI 1. Aşağıda verilen devrede anahtar uzun süre konumunda kalmış ve t=0 anında a) v 5 ( geriliminin tam çözümünü diferansiyel denklemlerden faydalanarak bulunuz.

Detaylı

DENEY 3: DFT-Discrete Fourier Transform. 2 cos Ω d. 2 sin Ω d FOURIER SERİSİ

DENEY 3: DFT-Discrete Fourier Transform. 2 cos Ω d. 2 sin Ω d FOURIER SERİSİ DENEY 3: DFT-Discrete Fourier Transform FOURIER SERİSİ Herhangi bir periyodik işaret sonsuz sayıda sinüzoidalin ağırlıklı toplamı olarak ifade edilebilir: 2 cosω sinω 1 Burada Ώ 0 birinci (temel) harmonik

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I. TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE Kontrol Sistemleri I Final Sınavı 9 Ağustos 24 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi 2 dakikadır.

Detaylı

2. DA DEVRELERİNİN ANALİZİ

2. DA DEVRELERİNİN ANALİZİ 2. DA DEVRELERİNİN ANALİZİ 1 Hatları birbirini kesmeyecek şekilde bir düzlem üzerine çizilebilen devrelere Planar Devre adı verilir. Hatlarında kesişme olan bazı devreler de (şekil-a) kesişmeleri yok edecek

Detaylı

EEM 202 DENEY 9 Ad&Soyad: No: RC DEVRELERİ-II DEĞİŞKEN BİR FREKANSTA RC DEVRELERİ (FİLTRELER)

EEM 202 DENEY 9 Ad&Soyad: No: RC DEVRELERİ-II DEĞİŞKEN BİR FREKANSTA RC DEVRELERİ (FİLTRELER) EEM 0 DENEY 9 Ad&oyad: R DEVRELERİ-II DEĞİŞKEN BİR FREKANTA R DEVRELERİ (FİLTRELER) 9. Amaçlar Değişken frekansta R devreleri: Kazanç ve faz karakteristikleri Alçak-Geçiren filtre Yüksek-Geçiren filtre

Detaylı