MAGNİTÜD-SIKLIK İLİŞKİSİ PARAMETRELERİNİN ROBUST TAHMİNİ

Transkript

1 . Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası -4 Ekim 0 ODTÜ ANKARA MAGNİTÜD-SIKLIK İLİŞKİSİ PARAMETRELERİNİN ROBUST TAHMİNİ Ayşe D. AKKAYA ve M. Semih YÜCEMEN Profesör, İstatistik Bölümü, ODTÜ, Akara, Türkiye Profesör, İşaat Mühedisliği ve Deprem Çalışmaları Bölümleri, ODTÜ, Akara, Türkiye akkay@metu.edu.tr ÖZET: Bu çalışmada Richter i doğrusal deprem magitüdü-sıklık ilişkisi icelemiş ve bu ilişkideki a ve b parametreleri ormal dağılıma sahip olmaya hata terimleri içi uyarlamış e çok olabilirlik tahmi yötemiyle elde edilmiştir. Tüm Kuzey Aadolu fay hattı içi magitüd-sıklık ilişkisideki a ve b parametrelerii e küçük kareler ve uyarlamış e çok olabilirlik tahmicileri hesaplamış ve bu tahmicileri etkilik ve robustlık özellikleri karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma soucuda uyarlamış e çok olabilirlik tahmicisii e küçük kareler tahmiciside çok daha etki ve robust olduğu gösterilmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Uyarlamış e çok olabilirlik, deprem magitüdü-sıklık ilişkisi, sismik tehlike, Kuzey Aadolu fay hattı. GİRİŞ Olasılıksal sismik tehlike aalizide (OSTA) depremleri magitüd açısıda gösterdikleri rassallık doğruda doğruya bir olasılık dağılımı ile taımlaır. Bu olasılık dağılımı, deprem magitüdleri ile buları oluş sıklıkları arasıdaki ilişkiyi göstere bağıtılarda çıkartılır. E yaygı kullaıla ilişki Richter (958) tarafıda öerile aşağıdaki doğrusal magitüd-sıklık ilişkisidir: ( ) a bm log 0 N m = () burada, N(m) = birim zama içide magitüd değeri m ye eşit ya da m de büyük ortalama deprem sayısı; a ve b = ilgili bölge içi saptaa katsayılar; m = Richter magitüdü ve log 0 = 0 tabaıa göre logaritmadır. Eğer α = a(l 0) ve β = b(l 0) olarak taımlaırsa, Deklem şu şekilde yazılabilir. ( ) e α βm N m = () Deklem de α, bir bölgede olabilecek depremleri toplam sayısıa ilişki bilgiyi yasıtmaktadır. α değeri, geellikle göz öüde tutula bölgei büyüklüğü ve icelee zama süresi ile doğruda doğruya ilgilidir. Bua karşılık β değeri daha çok bölgei tektoik yapısı ile ilişkilidir ve büyük magitüdlü depremleri küçüklere ola göreceli oraıı gösterir. Bu bakımda, β değeri bölgei tektoik açıda sismik etkiliğii bir göstergesi olarak kabul edilir. β ı değeri sismik bölgeler arasıda farklılık göstermektedir. Sismik tehlikei tahmiide yaygı bir biçimde kullaıla Richter i doğrusal deprem magitüdü-sıklık ilişkisii (Deklem ) parametreleri, a ve b i doğru tahmii, sismik tehlike değerlerii geçerliliği bakımıda çok öemlidir. Bu parametreleri tahmii içi değişik istatistiksel yötemler kullaılmaktadır. E küçük kareler (EKK) ve e çok olabilirlik (EÇO) istatistiksel tahmi yötemleri e fazla tercih edilelerdir. Acak bu tahmi yötemleri kullaılırke sağlaması gereke varsayımları geçerliliği adire kotrol

2 . Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası -4 Ekim 0 ODTÜ ANKARA edilmekte ve bu durum yalış souçlara yol açabilmektedir. Öreği EKK ile elde edile tahmicileri ormal olmaya dağılımlar içi etki ve robust olmadıkları belirlemiştir (Akkaya ve Tiku, 008). EÇO yötemide ise elde edile deklemleri çözümü içerdikleri doğrusal olmaya foksiyolar edeiyle, iteratif çözüm yapılsa bile, çok zordur. Ayrıca iteratif çözümler sırasıda bir çok problemle karşılaşmak mümküdür. Bu bildiride, Richter i doğrusal deprem magitüdü-sıklık ilişkisideki a ve b parametrelerii ormal olmaya hata terimleri içi uyarlamış e çok olabilirlik (UEÇO) tahmi yötemiyle elde edilmesi içi gerekli deklemler çıkartılmış, EKK ve UEÇO tahmicilerii etkilik özellikleri karşılaştırılmıştır. UEÇO tahmicilerii robust olma özelliği ise sayfa kısıtlaması edeiyle bu bildiride ele alımamıştır. Bu özellik ayrıtılı bir biçimde Tiku ve Akkaya (004) da açıklamaktadır. Yötemi uygulamasıı göstermek amacı ile de tüm Kuzey Aadolu fay hattı içi deprem magitüdü-sıklık ilişkisideki a ve b parametrelerii UEÇO tahmicileri hesaplamıştır.. DEPREM MAGNİTÜDÜ-SIKLIK İLİŞKİSİNDEKİ PARAMETRELERİN TAHMİNİ.. Magitüd-Sıklık Modeli Richter i ilişkisi (Deklem ()) doğrusal bir regresyo modelidir: y i = a + bm i + e i, i (3) burada y = log 0 N ve e rassal hata terimi olup ormal, N(0, σ ), dağılıma sahip olduğu varsayılır. Deklem (3) de verile modeli parametrelerii tahmi etmek içi geellikle EKK ve EÇO yötemleri kullaılmaktadır. Geçmiş deprem verileri hata terimleri dağılımıı ormal olduğu varsayımıı sağlarsa EKK ve EÇO yötemleri ile elde edile a ve b parametrelerii tahmicileri birbirie eşittir. Acak bir çok uygulamada hata terimleri dağılımıı ormal olmadığı gözlemiştir (Spjotvoll ve Aastveit (980)). Bu durumda EKK tahmicilerii etki ve robust olmadığı bilimektedir (Islam ve Tiku (004); Akkaya ve Tiku (008)). Diğer yada EÇO tahmicilerii bulmak içi kullaıla EÇO deklemlerii çözümü iteratif çözümler kullaılsa bile sıklıkla içerdikleri doğrusal olmaya foksiyolar edeiyle i) yavaş yakısama, (ii) yalış değerlere yakısama ve (iii) hiç bir değere yakısamama (Puthepura ve Siha (986)) gibi edelerle çok zor baze de imkasız olmaktadır. İteratif çözümler kullaılarak deklemler çözülebilse bile çok yoğu simülasyolar kullaılmada EÇO tahmicilerii istatistiksel özelliklerii bulmak, özellikle küçük öreklemler içi, çok zor olmaktadır...uyarlamış E Çok Olabilirlik Yötemi Tiku (967) tarafıda öerile ve Tiku ve Suresh (99) tarafıda geliştirile uyarlamış e çok olabilirlik tahmi yötemi bu tür problemlere çözüm getirmekte ve bu parametreleri robust bir biçimde tahmiie olaak sağlamaktadır. Uyarlamış e çok olabilirlik tahmi yötemi üç basamakta özetleebilir: e çok olabilirlik deklemleri sıralı istatistikler ciside yazılır, (ii) doğrusal olmaya foksiyolar doğrusal foksiyolara yaklaştırılır ve (iii) elde edile deklemler çözülür. Bu çözümlerde elde edile tahmicilere UEÇO tahmicileri deir. Uyarlamış e çok olabilirlik tahmicileri gözlemleri foksiyolarıdır ve kolaylıkla hesaplaabilir. Bu tahmiciler e küçük kareler tahmicileride (özellikle öreklem büyük olduğuda) çok daha etki, asimptotik olarak tam etkiliğe (yasız ve e küçük varyaslı) sahip ve robusttır. Bu bildiride, Richter i doğrusal magitüd-sıklık ilişkisideki a ve b parametrelerii tahmicilerii beta dağılımıa sahip hata terimleri içi UEÇO tahmi yötemiyle elde edilmesi içi gerekli deklemler çıkartılmıştır. Burada beta dağılımıı seçilme edei uygulama da tüm Kuzey Aadolu fay hattı (Şekil ) içi deprem magitüdü-sıklık ilişkisideki hata terimlerii bu dağılıma sahip olmasıdır.

3 . Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası -4 Ekim 0 ODTÜ ANKARA.3. Beta Dağılımı Deklem (3) deki hata terimlerii, e i, Deklem (4) de verile beta (u,v) dağılımıa sahip bezer ve bağımsız rassal değişkeler olduğuu varsayalım, u v f(e) = (e / σ) ( (e / σ)), 0 < e < ; β(u, v) (4) burada β (u, v) beta foksiyou, σ ise hata terimii ölçek parametresidir. Hata terimlerii beklee değeri ve varyası ise sırasıyla, aşağıdaki gibidir: u uv E (e) = σ ve V(e) = σ. (5) u + v (u + v) (u + v + ) Deklem (4) değişik u ve v parametreleri içi hem simetrik hem de çarpık (skewed) dağılımları temsil eder. Öreği u ve v i küçük değerleri içi (u v), Deklem (4) kısa-kuyruklu simetrik bir dağılım olur. Deklem (6) da verile olabilirlik foksiyou u v L z i i = i σ = i i σ σ i ( z ), z e / (y a bm ) / ( i ), (6) kullaılarak aşağıdaki olabilirlik deklemleri elde edilir: l L (u ) (v ) = zi + ( zi ) = 0, a σ σ l L (u ) (v ) = mizi + mi ( z) = 0 ad b σ σ l L (u ) (v ) = zizi + ( zi ) zi = 0. σ σ σ σ (7) (8) (9) Olabilirlik foksiyoları, g (z i )= zi ve g (z i )= ( z i ) gibi doğrusal olmaya foksiyolar içerdiğide Deklem (7)-(9) ile verile eşitlikleri kesi ve açık çözümü yoktur. Dolayısıyla EÇO tahmicilerii bulmak mümkü olmamaktadır. UEÇO Tahmicileri: UEÇO tahmicilerii bulmak içi öce olabilirlik deklemlerideki (Deklem (7)-(9)), z i,, aşağıdaki sıralı istatistikler, z, ciside yazılır. z () z()... z(); z = (y a bm ) / σ ( i ) (0) Daha sora g (z ) ve g (z ) aşağıdaki doğrusal foksiyolar ile değiştirilir: g (z ) = z αi βi z ve g (z ) = ( z ) α i + βiz () 3

4 . Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası -4 Ekim 0 ODTÜ ANKARA Deklem () de verile eşitlikleri iki tarafı arasıdaki farklar öreklem sayısı arttıkça sıfıra yakısar. α, β, α ad β Taylor serisii i. populasyo kuatili, t, etrafıdaki açılımıda elde edilir: i i i i α = t, β = t ve α = ( t ) β t, β = ( t ). () i i t i değerleri Deklem (3) ü çözümüde buluabilir: i i i t (i ) β(u, v) u v (z) ( z) dz 0 i =, + i. (3) Üçücü ve so basamakta ise Deklem (), Deklem (7)-(9) a yerleştirilir. Bu deklemleri çözümü soucuda aşağıda verile UEÇO tahmicileri elde edilir: = y[.] bˆm [ ] ( / ν) σˆ, bˆ = K Dσˆ ve ˆ σ = { B + (B + 4C)}/ { ( ) }, â. K = νi (m[ i] m[.])y[ i] / νi (m[ i] m[.]), D = δi (m[ i] m[.]) / νi (m[ i] m[.]), B = δi { y[ i] y[.] K(m[ i] m[.])} ve C = νi { y[ i] y[.] K(m[ i] m[.])} ; ν i = ( u ) βi + (v ) βi ve δi = (u ) αi (v ) α i. (4) Hesaplamalar: İlk olarak a ve b parametrelerii EKK tahmicileri, verile hata terimleri tahmi edilir. a i ve b i kullaılarak Deklem (5) de ei = yi ai bimi ( i ). (5) Daha sora hata terimleri küçükte büyüğe doğru sıraya dizilir ve (y i, u i ) çiftii e i küçükte büyüğe sıraladığıda ei i i. sıralı değerie karşılık gele değerleri, ( y [ i ], u [ i ]), buluur. Bu değerler kullaılarak UEÇO tahmicileri, â i ve bˆ i, hesaplaır. Deklem (5) de a i ve b i yerie hesaplaa UEÇO tahmicileri kullaılarak yei hata terimleri tahmi edilir ve yei ( y[ i ], u[ i]) çifti buluur. Revize edile UEÇO tahmicileri yeide hesaplaır. Bu işlem bir kez daha tekrarlaır. Böylece UEÇO tahmicileri EKK tahmicilerii kullaıldığı ilk basamak hariç iki iterasyola tahmi edilir. Bu işlem tahmicileri yeterice istikrarlı hale getirebilmek içi yapılır. Buu edei UEÇO tahmicileri hesaplaırke sadece ei leri göreceli büyüklüklerii gerekli olmasıdır (Islam ve Tiku, 004; Akkaya ve Tiku, 008). 4

5 . Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası -4 Ekim 0 ODTÜ ANKARA EKK Tahmicileri: E küçük kareler tahmicileri aşağıdaki gibidir: u = σ a y bx, b = ( xi x)yi / (xi x) ve σ = s e /( uv /{(u + v) (u + v + )} ); u + v / se = { (yi y b(xi x)) /( )}, y = y / x = x /. (6) i, 5 i Deklem (6) da verile a ve σ parametrelerii EKK tahmicileri içi yalılık düzeltmesi yapılmıştır. Bu parametreleri UEÇO tahmicileri içi bu tür bir düzeltmeye gerek yoktur, çükü olar kedi kedilerie yalılık düzeltebilme özelliğie sahiptir. EKK Tahmicilerii Göreceli Etkilikleri (GE): EKK tahmicileri buluurke herhagi bir dağılım varsayımı yapılmamakta ve bu durum etkilik kaybıa ede olmaktadır. EKK tahmicilerii göreceli etkiliklerii GE=00(UEÇO tahmicisi varyası)/(ekk tahmicisi varyası) bulmak amacıyla [00,000/] Mote Carlo simülasyou kullaılmıştır. EKK tahmicilerii göreceli etkilikleri =30, 50 ve 00 öreklem içi Tablo de verilmiştir. Hesaplamalarda σ = alımıştır. Tahmicileri bezetim yoluyla elde edile ortalamaları yalılığı öemsiz olması edeiyle verilmemiştir. Tablo. EKK tahmicilerii göreceli etkilikleri (u=.5, v=.5) (u=.5, v=3.0) (u=.5, v=5) (u=.5, v=0) a b σ a b σ a b σ a b σ (u=4, v=.5) (u=4, v=3.0) (u=4, v=5) (u=4, v=0) (u=0,v=.5) (u=0, v=3.0) (u=0, v=5) (u=0, v=0) Tablo de görüldüğü gibi UEÇO tahmicileri, â, bˆ ve σˆ, EKK tahmicileride daha etkidir. UEÇO tahmicileri (u=0, v=0) değerleri içi sadece az bir farkla daha etkidir ve buu edei beta dağılımıı bu parametre değerleri içi ormal dağılıma bezerlik göstermesidir. 3. UYGULAMA 3. Sismik Veri Tabaı Uyarlamış e çok olabilirlik tahmi yötemi ile a ve b parametrelerii elde edilmesii uygulamasıı göstermek ve değişik tahmi yötemleride elde edile souçları karşılaştırmak amacı ile Kuzey Aadolu fay (KAF) hattı icelemiştir. KAF hattı yaklaşık 500 km uzuluğuda olup takribe 4 ve 4 Doğu boylamları arasıda yer almaktadır. KAF hattıı ve segmetlerii koumu içi değişik araştırmacılar farklı öerilerde bulumuşlardır. Bu çalışmada Bommer vd. (00) tarafıda verile koum, elde edile yei bilgilere göre

6 . Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası -4 Ekim 0 ODTÜ ANKARA yapıla bazı düzeltmelerde sora, beimsemiştir. Bua göre KAF hattıı ve dört segmetii belirlee koumları Şekil de gösterilmiştir. Çalışmada kullaıla deprem kataloğu, farklı kayaklarda toplaa deprem verilerii karşılaştırılarak birleştirilmeside elde edilmiştir. Kullaıla kayaklar şulardır: Afet İşleri Geel Müdürlüğü Deprem Araştırma Dairesi (GDDA-ERD, 004), Boğaziçi Üiversitesi Kadilli Rasathaesi ve Deprem Araştırma Estitüsü (KOERI, 004), Uluslararası Sismoloji Merkezi (ISC, 004a ve 004b) ve Birleşik Devletler Jeolojik Araştırmalar Kurumu (USGS, 004a ve 004b). Bu kataloglarda yer ala ve Ocak 900 ile Ocak 0 yılları arasıda ve Şekil de KAF hattıı gösterile sıırları (,, 3 ve 4 olu sismik kayaklar) içerisie düşe depremler sismik veri tabaıı oluşturmuştur. Değişik ölçeklerde verile magitüd değerleri Deiz ve Yüceme (00) tarafıda verile deklemler kullaılarak momet magitüd ölçeğie döüştürülmüş ve sadece magitüd değeri 4.5 ta büyük (M w 4.5) depremler dikkate alımıştır. Şekil. Kuzey Aadolu fay hattıı ve dört segmetii (Kayak No:,, 3, 4) koumları 3. KAF Hattı içi a, b ve σ Parametrelerii Uyarlamış E Çok Olabilirlik Tahmicileri UEÇO tahmi yötemii uygulamasıı göstermek amacıyla KAF hattıı tümü icelemiştir. Bu aalizi soucuda, e i leri ormal dağılıma sahip olduğu varsayımıı temel ala ve regresyo deklemi uyum iyiliğii ölçe geleeksel F testie göre, Richter i magitüd-sıklık ilişkisii uyum iyiliği açısıda alamlı olduğu görülmüştür (R =0.94, R korelasyo katsayısıdır). Buula birlikte küçükte büyüğe sıralamış e i leri (Deklem (5)) stadart ormal dağılımı kuatillerie, t, karşı çizilmesiyle elde edile ve e i leri dağılımıı ormal olması durumuda heme heme mükemmel doğrusal ilişki göstere Q-Q grafiği (Şekil ) e i leri kısa kuyruklu bir dağılıma sahip olduğua işaret etmektedir (Hamilto, 99, s. 6; Tiku ve Akkaya, 004). 6

7 . Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası -4 Ekim 0 ODTÜ ANKARA e Q Şekil. e i ler içi Q-Q grafiği Q-Q grafiği ve veride elde edile çarpıklık-basıklık değerleri dikkate alıdığıda, beta (u=5, v=.) dağılımıı e i ler içi uygu olduğu görülmüştür. Varsayıla dağılımıı parametrelerii yaklaşık olarak bulmak içi kullaıla başka bir yötem ise aşağıda özetlemiştir (Tiku ve Akkaya, 004): i) Varsayıla parametreler kullaılarak UEÇO tahmicileri buluur. ii) Bulua tahmiciler kullaılarak değişik (u,v) değerleri içi log-olabilirlik foksiyou ( / )l Lˆ = l( σˆ ) + ((u ) / ) l ẑi + ((v ) / ) l( ẑ i )} (7) hesaplaır. iii) Deklem (7) yi ebüyükleye (u, v) değerleri beta dağılımıı parametre değerleri olarak kullaılır. Bu uygulamada u = 5 ve v =. olarak bulumuştur. e i 'leri Beta (u=5, v=.) dağılımıı kuatillerie karşı çizile Q-Q grafiği R =0.99 değerii vermiş ve bu dağılımı hata terimleri içi ormal dağılımda çok daha uygu olduğu görülmüştür. UEÇO tahmicilerii robust olma özelliğide dolayı (u, v) i bu değerlere yakı diğer değerlerii kullaımı da uygu olacaktır. Beta (u=5, v=.) dağılımı kullaılarak elde edile a, b ve σ parametrelerii UEÇO ve EKK tahmileri ve tahmileri stadart hataları (SH) Tablo de verilmiştir: Tablo. KAF hattıı tümü içi a, b ve σ parametrelerii UEÇO ve EKK tahmileri ve stadart hataları UEÇO EKK Tahmi SH Tahmi SH A B σ * σ / )( + / i değeri, λ 4 = µ 4 / µ -3= -0. (Roy ve Tiku, 96) * ( λ4 ) Burada stadart hataları hesaplamak içi asimptotik varyaslar kullaılmıştır (Tiku ve Akkaya, 004). Tablo de de görüleceği gibi UEÇO ve EKK tahmileri birbirie çok yakı acak UEÇO tahmileri çok daha kesidir (UEÇO tahmilerii varyasları EKK tahmilerikide daha küçüktür). 7

8 . Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası -4 Ekim 0 ODTÜ ANKARA 4. SONUÇLAR Richter i magitüd-sıklık ilişkisi parametereleri a ve b i tahmii sismik tehlike aalizii öemli aşamalarıda biridir. Bu kouda yapılmış çalışmaları tümüde hata terimlerii ormal dağılıma sahip olduğu varsayımı yapılmıştır. Oysa gerçek veriler ışığıda yapıla aalizler, bu bildiride de gösterildiği gibi, ormal dağılım varsayımıı her zama geçerli olmadığıı ispatlamaktadır. Sıklıkla kullaıla EKK ve EÇO tahmi yötemleri ormal dağılıma sahip olmaya hata terimleri içi etki olmadığı gibi uygulamada da çok çeşitli zorluklarla karşılaşılmasıa ede olmaktadır. Bu çalışmada öerile UEÇO tahmicileri i) Asimptotik olarak tam etkidir, ii) küçük öreklemler içi eredeyse tam etkidir (yasız veya ihmal edilebilir derecede yalı ve varyasları e küçük varyas sıırıda çok az büyüktür) ve iii) gözlemleri açık foksiyoları olup, kolayca hesaplaabilir ve aalitik olarak iceleebilir. Yapıla uygulamada Kuzey Aadolu Fay hattıı tümü içi Richter i magtüd-sıklık ilişkisideki hata terimlerii dağılımıı ormal olmadığı ve buları beta dağılımı ile daha iyi temsil edilebileceği gösterilmiştir. Dolayısıyla, bu çalışmada a, b ve σ ı UEÇO tahmicilerii matematiksel formülleri beta dağılımı varsayımı altıda çıkartılmış ve bu tahmicileri etkilikleri EKK tahmicilerii etkilikleriyle karşılaştırılmıştır. Bu karşılaştırmalar Tablo de özetlemiştir. Tablo de de görüleceği üzere UEÇO tahmicileri EKK tahmicileride çok daha kesi ve robusttır. Bu souçlar doğrultusuda Richter i magtüd-sıklık ilişkisideki hata terimleri dağılımı dikkatle icelemeli ve ormal olmaya dağılımlar içi EKK (veya EÇO) tahmicileri yerie UEÇO tahmicileri kullaılmalıdır. KAYNAKLAR Richter, C.F. (958). Elemetary Seismology, W.H. Freema ad Co, Sa Fracisco: CA. Akkaya, A. D. ve Tiku, M. L. (008). Robust estimatio i multiple liear regressio model with o-gaussia oise. Automatica, 44, Tiku, M.L. ve Akkaya, A. D. (004). Robust Estimatio ad Hypothesis Testig. New Age Iteratioal Publishers, New Delhi. Spjotvoll, E. ve Aastveit, A. H. (980). Compariso of robust estimators o some data from field experimets. Scad. J. Statist., 7, -3. Islam, M. Q ve Tiku, M. L. (004). Multiple liear regressio model uder o-ormality. Commu. Stat.- Theory Meth. 33, Puthepura, S. ve Siha, N. K. (986). Modified maximum likelihood method for the robust estimatio of system parameters from very oisy data. Automatica,, Tiku, M. L. (967). Estimatig the mea ad stadard deviatio from a cesored ormal sample. Biometrika, 54, Tiku, M. L. ve Suresh, R. P. (99). A ew method of estimatio for locatio ad scale parameters. J. Stat. Pla. Ifer., 30, 8-9. Bommer, J, Spece, R, Erdik, M, Tabuchi, S, Aydioglu, N, Booth, E, Del Re, D, Peterke, O. (00). Developmet of a earthquake loss model for Turkish catastrophe isurace, Joural of Seismology, 6,

9 . Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası -4 Ekim 0 ODTÜ ANKARA GDDA-ERD, (004). Deprem Araştırma Dairesi İteret Sayfası: TURKNET, Afet İşleri Geel Müdürlüğü, Bayıdırlık ve İska Bakalığı, Akara. KOERI (004). Kadilli Rasathaesi ve Deprem Araştırma Estitüsü İteret Sayfası. Katalog, Boğaziçi Üiversitesi, İstabul. ISC (004a). Iteret page of the Earthquake Research Departmet of Turkey, Geeral Directorate of Disaster Affairs, Miistry of Public Works ad Settlemet, Akara, ISC Based, ISC (004b). Uluslararası Sismoloji Merkezi İteret Sayfası, O-lie Bulleti, Iteratl. Seis. Cet., Thatcham, Uited Kigdom. USGS (004a). Iteret page of the Uited States Geological Survey. U.S. Departmet of the Iterior, Resto, VA. USGS/NEIC (PDE) 973 Preset, available o-lie at USGS (004b). Iteret page of the Uited States Geological Survey. U.S. Departmet of the Iterior, Resto, VA. Sigificat Worldwide Earthquakes (50 B.C A.D.), available o-lie at Deiz, A. ve Yüceme, M.S. (00). Magitude coversio problem for the Turkish earthquake data. Natural Hazards, 55:, Hamilto, L. C. (99). Regressio with Graphics. Brooks/Cole Publishig Compay, CA. Roy, J. ve Tiku, M. L. (96). A Laguerre series approximatio to the samplig distributio of the variace. Sakhya, 4,