AccTR Virtual Institute of Accelerator Physics. The Physics of Particle Accelerators An Introduction. Chapter : 3.12, 3.13

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "AccTR Virtual Institute of Accelerator Physics. The Physics of Particle Accelerators An Introduction. Chapter : 3.12, 3.13"

Bercu Atalar
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 AccTR Virtual Institute of Accelerator Physics The Physics of Particle Accelerators An Introduction Klaus Wille Chapter : 3.12, 3.13 By Betül YASATEKİN , Ankara 1

2 İçindekiler 3.12 Demet Optikleri Eşlemesi Bir boyutta Durum n-boyutta Durum 3.13 Dairesel Hızlandırıcılarda Periyodiklik Koşulları Periyodik Çözüm Simetrik Çözüm Bir Örnek: FODO Yapılı Bir Dairesel Hızlandırıcının Demet Optiği 2

3 Demet Optikleri Eşlemesi Demet optiği sistemlerinde optik fonksiyon değerlerini belirlemek son derece önemli Bu değerler hızlandırıcı girişinde ya da sistemin gereksinimlerine göre belirleniyor. Magnetlerine yapısına bağlı olarak değişen optik fonksiyonlar aşağıdaki matris kullanılarak belirlenebilir. 3

4 Demet Optikleri Eşlemesi Demet optiğinde asıl gerekli olan dörtkutuplu magnetlerin k sabitlerinin belirlenmesi Yani optik fonksiyonların gereken değerleri alması daha doğrusu magnet yapısı sonundaki değerleri bilmemiz gerekli; bu işleme demet optiği eşlemesi diyoruz. 4

5 Demet Optikleri Eşlemesi Şekil 3.28 problemi gösteriyor. Herhangi bir s noktasındaki optik fonksiyon değerleri ile bizim dörtkutuplu sabiti k j arasındaki bağıntıyı bilmek istiyoruz. 5

6 Demet Optikleri Eşlemesi Hatırlayalım: Dörtkutuplu magnet sabitleri 3.84 ve 3.85 ile verilen transfer matrisleriyle hesaplanıyordu. 6

7 Demet Optikleri Eşlemesi Daha sonra ve ya ifadeleriyle beta fonksiyonunu ve alanı(gradient) elde ediyorduk. 7

8 Demet Optikleri Eşlemesi Dağınım bağıntısı ve alan da -parçacık gezingesini belirlerken olduğu gibi- dörtkutuplu magnet sabitleriyle belirlenir. Örnek verelim: 3.165'i analitik metodlar kullanarak k j ile bağıntılı bulmak mümkün değil bu yüzden nümerik iterasyon kullanarak çözmeye çalışmalı.. 8

9 Bir Boyutta Durum Örneğin β E -> β ideal 'e eşit olsun. Keyfi bir k 0 değerine sahip bir dörtkutuplu magnet seçelim. Magnet yapısı sonunda beta fonksiyonu β E (k 0 ) değerine sahip olacak. Ama bu beklenen değere eşit olmayacak bu yüzden beta fonksiyonunu k'ya bağlı olarak bulmamız gerekiyor. 9

10 Bir Boyutta Durum Beta fonksiyonunun gerçek ve ideal değerleri arasındaki fark, dörtkutuplu sabitlerinin farkının fonksiyonu olacak şekilde genişletilebilir. Yani; k'ya bağlı beta fonksiyonunun diferensiyeli her zaman k=k 0 'da sağlanır. 10

11 Bir Boyutta Durum Bütün quadratik ve üstel terimleri ihmal edersek yaklaşıklıkla 3.167'yi elde ederiz. Burdan k'yı çekersek; 11

12 Bir Boyutta Durum Yine de bu çözüm ihmaller yüzünden tam doğru değil fakat genelleştirmek yapacak olursak; İstenilen hassasiyete ulaşana kadar birçok kere tekrarlanabilir bu süreç ve başlangıç k 0 değeri deneme yanılma yoluyla belirlenebilir. 12

13 Bir Boyutta Durum Beta fonksiyonunun k=k p noktasında türevi, magnet yapısı sonundaki β E (k p + Δ k) değeri kullanılarak hesaplanır. (Burda Δk magnet sabitindeki sonsuz küçük değişim) 13

14 n-boyutta Durum Tek bir dörtkutuplu magnet ile sadece bir tane optik fonksiyonun ayarlanması mümkün değildir. Çünkü değişken dörtkutuplu kuvvetleri bütün optik fonksiyonları etkileyecektir. 14

15 n-boyutta Durum m>=n olmalı.. 15

16 n-boyutta Durum f i 'nin n-tane dörtkutuplu sabitine bağlılığı şu şekilde : Keyfi başlangıç dörtkutuplu sabit değerlerine sahip K vektörü : Magnet yapısı sonunda son fonksiyon değeri : Fonksiyonların ideal değerleri : 16

17 n-boyutta Durum response matris A olarak bilinir. 17

18 n-boyutta Durum 3.173'ü basitçe şu şekilde yazarız : Burdan k j sabiti için çözersek ; Genelleştirerek iterasyonu hemen buluruz :) 18

19 n-boyutta Durum A matrisinin bileşenleri adım adım belirlenir. Önce j. magneti seçeriz, sonra f 1 'den f n 'e bütün optik fonksiyonların değerlerini nümerik yöntemlerle hesaplarız. Dörtkutuplu sabitinin Δk kadar değişmesi de hesaba katılarak bütün optik fonksiyonlar tekrar hesaplanır ve j.inci kısmi vektörün bileşenleri ile verilir. 19

20 Dairesel Hızlandırıcılarda Periyodiklik Koşulları Dairesel hızlandırıcılarda magnet yapısının belirli başlangıç ya da son değeri yoktur. Yani optik fonksiyonlar yörünge boyunca belirli noktalarda eşlenmelidir. Diğer yandan dairesel hızlandırıcılarda yörünge kapalı olduğundan optik fonksiyonlar, yörünge tamamlandıktan sonra tekrar etmelidir. 20

21 Periyodik Çözüm Yörünge boyunca keyfi bir s o noktası seçelim. Hızlandırıcının çevresi L olmak üzere s o +L noktasında fonksiyonları bulmak istiyorum. Beklediğim; tam bir dolanımdan sonra s 0 noktasında aynı değerlere sahip olması. Bu durum ile verilen periyodiklik koşullarını doğurur. 21

22 Periyodik Çözüm Şimdi bir tam dolanım için M rev transfer matrisini belirleyelim ile verilen dönüşüm denklemine periyodiklik koşullarını uyguladığımızda 3.179'u akabinde 3.180'i elde ediyoruz. 22

23 Periyodik Çözüm Çarpım sonucunda 23

24 Periyodik Çözüm D ve D 'ünü çözersek 24

25 Simetrik Çözüm 25

26 Simetrik Çözüm Optik fonksiyonların türevleri A ve B noktalarında 0 olmalı! 26

27 Simetrik Çözüm B A her quadrantın başlangıcındaki beta matrisi ve B B de sonundaki beta matrisi ise dönüşüm yapıldığında elde edilir 'teki simetri koşulları yerine konursa ; 27

28 Simetrik Çözüm Bu eşitlikler quadrantın başlangıcında ve sonunda beta fonksiyonlarını verir. Bunları çözersek; Beta fonksiyonu her zaman pozitif Ve karekök içerisi 28

29 Simetrik Çözüm Dağınım için simetrik çözüm aradığımızda yine 3x3'lük matris alıyoruz ve dönüşüm ile Bu eşitlikten; 29

30 Simetrik Çözüm Sonra quadrantın başında ve sonunda dağınım bağıntıları şu şekilde bulunur. 30

31 Bir Örnek: FODO Yapılı Bir Dairesel Hızlandırıcının Demet Optiği 31

32 Bir Örnek: FODO Yapılı Bir Dairesel Hızlandırıcının Demet Optiği Toplamda 16 tane ikikutuplu varmış. Dörtkutupluların sayısı da 16 imiş. Ikikutuplularda dikdörtgen magnetler kullanılmış. 32 tane sürüklenme kısmi ile toplamda 96 tane transfer matrisi demek!!! Böyle küçük bir halkacık için çok büyük bir rakkam :p (Bunun hepsini hesaplamaya gerek yok) Çünkü FODO demek simetrik yapı demek.. 32

33 Bir Örnek: FODO Yapılı Bir Dairesel Hızlandırıcının Demet Optiği Toplam 8 tane hücre var. Bir hücre QF ile başlayıp QF ile bitiyor. Arasında iki tane bükücü magnet, bir tane dağıtıcı magnet QD ve 4 tane eş sürüklenme kısmı var. Şekilde fiziksel değerleriyle verilmiş ve görüldüğü gibi dörtkutuplunun tam ortası simetrik nokta seçiliyor. Hadi FODO hücrelerinden birinin optiğini hesaplayalım :)) 33

34 Bir Örnek: FODO Yapılı Bir Dairesel Hızlandırıcının Demet Optiği 34

35 Bir Örnek: FODO Yapılı Bir Dairesel Hızlandırıcının Demet Optiği 35

36 Bir Örnek: FODO Yapılı Bir Dairesel Hızlandırıcının Demet Optiği 36

37 Bir Örnek: FODO Yapılı Bir Dairesel Hızlandırıcının Demet Optiği 37

38 Bir Örnek: FODO Yapılı Bir Dairesel Hızlandırıcının Demet Optiği 3.189'u kullanarak hücrenin başında ve sonunda x-z düzleminde beta fonksiyonlarını hesaplayabiliriz. 38

39 Bir Örnek: FODO Yapılı Bir Dairesel Hızlandırıcının Demet Optiği Dağınım bağıntısını hesapladığımızda ; 39

40 Bir Örnek: FODO Yapılı Bir Dairesel Hızlandırıcının Demet Optiği 40

41 Teşekkür etmeyi unutuyordum :) 41

Benzer belgeler

Hızlandırıcı Fiziği. Enine Demet Dinamiği II. Dr. Öznur METE University of Manchester The Cockcroft Institute of Accelerator Science and Technology

Hızlandırıcı Fiziği. Enine Demet Dinamiği II. Dr. Öznur METE University of Manchester The Cockcroft Institute of Accelerator Science and Technology Hızlandırıcı Fiziği Enine Demet Dinamiği II Dr. Öznur METE University of Manchester The Cockcroft Institute of Accelerator Science and Technology İletişim Bilgileri oznur.mete@cockcroft.ac.uk oznur.mete@manchester.ac.uk