11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016

Transkript

1 11. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 23, Önceki Ders Üzerine Bazı Notlar Wikipedia dan Killing ile ilgili bir alıntıyla başlayalım. "1880 civarında, Killing Sophus Lie den bağımsız olarak Lie cebirlerini icat etti. Killing in üniversitesinin kütüphanesi Lie nin makalesinin yayınlandığı İskandinav dergisini içermiyordu. (Sonrasında Lie Killing i küçümseyerek, belki de rekabetçi ruhundan dolayı, kendisi tarafından kanıtlanmış olan her şeyin geçerli olduğunu ve Killing tarafından eklenenlerin ise geçersiz olduğunu iddia etti). Nitekim, Killing in çalışmaları mantıksal olarak çok güçlü değildi, ancak grupların sınıflaması açısın dan çok görkemli hedefleri vardı ve bir çok kanıtlanmamış varsayımlarının doğru olduğu zamanla ortaya çıktı. Killing in hedefleri çok yüksek olduğu için, kendi başarısı hakkında oldukça mütevazi idi. Killing, 1888 den 1890 a kadar, Cartan altcebiri ve Cartan matrisi kavramlarını icat ederek sonlu boyutlu basit kompleks (karmaşık) Lie cebirlerini sınıflandırmıştı. Elie Cartan ın doktora tezi esasen Killing in makalesinin yeniden yazılmış bir haliydi. Killing ayrıca kök sistemi kavramını ortaya çıkardı yılında, Killing bir de istisnai Lie cebiri g 2 nin keşfetti; onun kök sistemi sınıflandırması tüm istisnai durumlarıortaya çıkardı, ama somut yapılandırmalar, tanımlamalar çok sonra geldi. A. J. Coleman nın da dediği gibi 1

2 "Killing Weyl grubunun karakteristik denklemini Weyl daha 3 yaşındayken ortaya koymuş ve Coxeter doğmadan 19 yıl önce, Coxeter dönüşümlerinin mertebelerini listelemişti. "" Diyelim ki, E pozitif-tanımlı simetrik bilineer formlu (yani iç çarpım (.,.) : E E R) bir Öklid uzayı olsun. Daha önce kullandığımız gibi, α E ye dik olan H α := kerα E ya göre yansıma ile tanımlanan s α : E E doğrusal otomorfizmasını sadece α ile gösterelim. imdi kök sisteminin tanımını bir kere daha hatırlatalım; eğer sıfırdan farklı vektörlerin sonlu koleksiyonu Φ E, 1. E = Span R Φ, 2. Her α Φ için, Φ içerisindeki tek sayısal katı α, 3. Her α Φ için, s α (Φ) = Φ, 4. Her α, β Φ için, 2 (β,α) (α,α) β = 2 cos 2θ, (θ: α ve β arasındaki açı) α özelliklerinin hepsini sağlıyorsa, Φ kök sistemi olarak adlandırılır. Açıklama 1.1. Lie cebirleri bağlamında, E köklerle gerilen bir vektör uzayı ve E üzerindeki iç çarpım aslında Cartan altcebiri üzerindeki Killing formundan indirgemiş bir iç çarpımdır. Kök sistemi Φ indirgenemez olarak adlandırılır, eğer farklı diğer iki kök sisteminin birleşimi şeklinde yazılamıyorsa. Basit Lie cebirlerine karşılık gelen kök sistemleri aslında indirgenemez kök sistemleridir. Yukarıda vermiş olduğumuz dört aksiyom gereğince, köklerin uzunluklarının oranı ve aralarındaki açı keyfi olamaz. Gerçekten de, olası bütün açıların π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5π/6, olduğu aşikardır. Bu gözlem bize olası bütün birbirine eşdeğer olmayan indirgenemez kök sistemlerini listelememizi sağlar. E nin boyutu kök sistemi Φ E nin mertebesi olarak adlandırılır. 2

3 A 1 Tek indirgenemez mertebe 1 kök sistemi A 2 B 2 G 2 A 1 A 1 İndirgenemez İndirgenemez İndirgenemez İndirgenebilir Figure 1.1: Bütün mertebe 1 ve 2 kök sistemleri A 3 Tipi B 3 Tipi C 3 Tipi Figure 1.2: İndirgenemez mertebe 3 kök sistemleri 3

4 2 Evrensel Bürüm Cebiri Bu bölümde, Knapp ın ve Humpreys in kitaplarından faydalanacağız. Her zaman ki gibi k cebirsel kapalı karaktestik 0 cisimini göstersin ve g, k üzerine bir Lie cebiri olsun. Şimdi, i N için, k-vektör uzayı T i = g g g olsun. g üzerine tensör cebiri T (g) sonsuz boyutlu T (g) = i 0 cebiridir ve çift taraflı X Y Y X [X, Y ] her X, Y g (2.1) ile üretilen ideali J(g) ile göstereceğiz. Notasyonel kolaylık olsun diye U(g) nin elemanlarını yazarken tensör gösterimini kullanmayacağız. Bölüm halkası T (g)/j(g), g nin evrensel bürüm (Lie) cebiridir ve U(g) ile gösterilir. Ayrıca elimizde ι : g = T 1 T (g) U(g) = T (g)/j(g) doğal gönderiminin olduğunu da söyleyebiliriz. (2.1) bağıntısından dolayı da elimizde her X, Y g için ι([x, Y ]) = XY Y X U(g) eşitliği vardır. Bu gönderimi genellikle bire-bir fonksiyonlar için kullanılan ι ile göstermemizin nedeni aslında ispatını burada vermeyecek olsakta bu gönderimin bire-bir olmasıdır. Açıklama 2.2. Kabul edelim ki A bir birleşik cebir olsun. Bu durumda (X, Y ) XY Y X gönderimi A üzerinde Lie cebir yapısı tanımlar. Teorem 2.3. A birimli birleşik cebir ve φ : g A Lie cebir homomorfizması olsun. O zaman, aşağıda verilen diyagramı değişmeli yapan yalnız ve yalnız bir φ : U(g) A cebir homomorfizması vardır; U(g) g A T i ι φ φ 4

5 Teoremin ispatının ana fikri tensör çarpımının evrensel özelliğinden var olduğunu bildiğimiz T (g) A gönderimine dayanmaktadır. Bu sebepledir ki çift taraflı J idealinin iki üretecinin 0 a gittiğini göstermek yeterlidir. Bu da bize g ve U(g) nin temsilleri arasındaki eşleşmeyi verir. Teorem 2.4. g nin temsilleri ve birimli sol U(g)-modülleri arasında bire-bir eşleşme vardır. Burada, birimliden kastımız U(g) nin birim elemanının sol U(g)-modülü üzerine birim operatörü gibi etki ettiğidir. U(g) değişmeli olmamasına rağmen, anti-kıvrılma ile donanımlıdır. Nitekim, X 1 X 2 X n ( 1) n X n X 2 X 1 gönderimi U(g) üzerinde bizim istediğimiz otomorfizmaya indirgenebilir. Bu anti-kıvrılma altında X U(g) in görüntüsünü X t ile gösterelim. Anti-kıvrılma ile kasdettiğimiz sol U(g)-modülü V nin sağ U(g)-modülü ya da tam tersi olmasıdır; yani X U(g), u V için, X u := u X t dir. Teorem 2.5. (Poincare-Birkhoff-Witt Teorem) g, tamsıralanmış A kümesiyle indekslenmiş {X i } i A bazına sahip bir Lie cebiri olsun. Sonra, i 1 < < i n ve s = 1,..., n, n Z için j s 0 indekleriyle verilen X j 1 i 1 X jn i n U(g) formundaki elemanlar U(g) için bir baz verir. Ayrıca, ι : g U(g) doğal dönüşümü birebirdir. V vektör uzayı üzerindeki simetrik cebiri T (g)/i(g) bölüm cebiridir öyle ki I(g) := XY Y X ile üretilen çift taraflı ideal ; X, Y g. Açıklama 2.6. Vektör uzayı üzerindeki simetrik cebir S(V ) yi P = k[z i : i A, z iler değişmeli ve cebirsel bağımsız] polinomlar halkası olarak ta düşünebiliriz. 5

6 Şimdi diyelim ki A = n 0 A n bir filtrelenmiş cebir olsun. A nın birleşik derecelendirilmiş cebiri gra = n 0 A n /A n 1, A 1 := 0 şeklinde verilir. PBW teoreminin en önemli sonuçlarından bir tanesi de aşağıdaki teorem ile verilebilir. Teorem 2.7. ψ : T (g) gru(g) doğrusal gönderimi T n U n /U n 1, n Z 0 doğal gönderiminin indirgemesi olsun. Bu durumda, ψ gönderimi I(g) idealinin çarpımını ve sıfırlanışını korur. Sonuçta ψ bize ψ : S(g) gru(g) doğrusal izomorfizmasını verir. T n S(g) kesişimi homojen simetrik (değişmeli) ninci dereceden tensörleri içermektedir ve bu kesişimi S n ile göstereceğiz. Şimdi S n permütasyon grubunu düşünelim. σ n (X 1 X r ) = 1 X τ(1) X τ(n) n! τ S n şeklinde tanımlanan σ n : S n U(g) gönderimi bize simetrikleştirme operatörünü vermektedir. Bundan sonra kolaylıkla gösterebiliriz ki U n = σn (S n ) U n 1. (2.8) Sonuç olarak, eğer n 0 için σ n lerin direk toplamını σ : S(g) U(g) olarak gösterirsek, σ nın gru(g) üzerine indirgenişi Teorem 2.7 de tanımlamış olduğumuz ψ gönderimine denktir. Bu gözlemin önemli bir sonucu da gru(g) simetrik Noetherian halkası S(g) ye izomorfik olduğundan evrensel bürüm cebiri gru(g) aslında sol-noetheriandır. 3 Serbest Lie Cebiri ve Serre Teoremi Bu bölümde, X sonlu bir kümeyi göstersin. X üzerinde serbest Lie cebiri vektör uzayı CX üzerindeki tensör cebirinden elde edilen tek Lie cebiri F dir, öyle ki her A, B, C F için 6

7 çarpım, A B = B A ve A (B C) + B (C A) + C (A B) = 0 şeklinde tanımlanır. Bu çarpımı braket ile göstereceğiz. Şunu da söylememiz gerekmektedir ki serbest Lie cebirinin varlığı açık olmakla beraber tekliğini göstermek için evrensel bürüm cebiri ve PBW teoremini kullanmamız gerekmektedir. Teorem 3.1. Φ indirgenemez somut kök sistemi olsun öyle ki = {α 1,..., α n } basit kökler kümesi ve F 3n-değişkenli X = {H 1,..., H n, X 1,..., X n, Y 1,..., Y n } kümesi üzerine serbest Lie cebiri. 1 i, j n için n ij = 2 (α i,α j ) (α j,α j ) olsun, ve bu durumda i j olduğunda n ij {0, 1, 2, 3} tür. Sonuç olarak, Lie cebiri F den aşağıdaki özellikleri sağlamak koşuluyla elde edilir; 1. [H i, H j ] = 0 her i, j için, 2. [X i, Y i ] = H i her i, ve [X i, Y j ] = 0 her i j için, 3. [H i, X j ] = n ji X j ve [H i, Y j ] = n ji Y j her i, j için, 4. Her i j için, a) eğer n ji = 0 ise, [X i, X j ] = [Y i, Y j ] = 0, b) eğer n ji = 1 ise, [X i, [X i, X j ]] = [Y i, [Y i, Y j ]] = 0, c) eğer n ji = 2 ise, [X i, [X i, [X i, X j ]]] = [Y i, [Y i, [Y i, Y j ]]] = 0, d) eğer n ji = 3 ise, [X i, [X i, [X i, [X i, X j ]]]] = [Y i, [Y i, [Y i, [Y i, Y j ]]]] = 0. References [1] Knapp, A. Lie Groups, Beyond an Introduction [2] Humphreys, J. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory 7