Süreklilik. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit

Transkript

1 Mtemtik Düns, 2008-III Mtemti in en önemli ve en temel konulr ndn birine geldik: Süreklilik. Her zmnki gibi öne kvrm n sezgisel nlm n ç kll m. Bz fonksionlr n grfi inde kopukluk oktur, bz lr nd ise tm tersine kopukluk vrd r. Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik ve Limit Süreklilik = ƒ() Grfi inde kopukluk olmn bir fonksion ƒ() = b = ƒ() Grfi inde nokts nd kopukluk oln bir fonksion Birini örnekte kopukluk okken ikini örnekte nokts nd bir kopukluk, ni bir s çrm vr. Mtemtiksel tn m birzdn veree iz, m flimdilik sezgi kznd rmk m l söleelim: Birini örnekteki gibi fonksionlr denir. kini örnekteki fonksion ise nokts nd ord bir kopukluk, bir s çr-, m vrd r. nsnlr süreklilikten dh çok hoflln rlr. Süreklilik ol n durumdur, nlfl lms, bfl ç kms dh kold r. Deprem gibi, uçurumdn uvrlnmk gibi, bs nç düflmesi gibi, ol n koflullr n süreklili inin bozuldu u durumlr ölümül olbilir. Atomun vrl kn tlnd ndn beri mddenin sürekli olmd n, sl nd vrl ktn çok okluk oldu unu bilioruz. Öte ndn mkroskopik düzede mddenin sürekli oldu unu vrsmk - bu vrs m nl fl d ols - mddei (ve hreketini) lg - lmm zd koll k s lr. 7 Her ne kdr snie, dkik, gün ve hft gibi prçlr rsk d, zmn n d sürekli oldu unu vrsr z. Örne in, insn duulr l lg lnmk bir süre için bir elmn n kbolup tekrr vr olbilee i, htt tüm evrenin donup tekrr hrekete geçee i vrs m bize pek innd r gelmez. Am neden olms n! Velhs l kelm, evren sürekli de süreksiz de ols, süreklii nlmk dh kold r. (MD-2007-IV, sf 34 te iflledi imiz bileflik fizler konusund bu dedi imizi destekleen çrp bir delil göstermifltik.) Sezgisel olrk kol lg lnbilen süreklilik/süreksizlik kvrm n mtemtiksellefltirmek pek o kdr kol olmm flt r. Süreklili in do ru düzgün mtemtiksel bir tn m n vermek 9 unu üz ld Cuh e nsip olmufltur. Tm mtemtiksel tn m sunmdn öne sezgilerimize birz dh mtemtiksel bir biçim vermee çl fll m. Süreksiz die nitelendirdi imiz ikini fonksion dikktlie bkl m. Belli ki sorun nokts nd. Bu noktd fonksion b de erini l or. Peki çok z de iflti inde fonksionun ld de er ne oluor? E er, n n s nd (ni dn dh büük) m çok k ns, ƒ(), ƒ() n n, ni b nin çok k n ndd r. Htt i n n s nd ve e çok çok k n lrk, ƒ() de erini ƒ() diledi- ƒ() ƒ() = b = ƒ() imiz kdr klflt rbiliriz., s dn ne kdr k n olurs, flekilden de nlfl l üzere, ƒ() de eri ƒ() o kdr k n olur. Öte ndn sol trftn klflt m zd, fonksionun de erleri ƒ(), ni b e de il, b den uzkt oln e çok klfl rlr; soldn istedi imiz kdr sokull m, fonksionun de erleri b e çok çok klflmzlr.

2 Mtemtik Düns, 2008-III lk fonksiond böle bir sorun olmz. vfl vfl de iflti inde, ƒ() de vfl vfl de iflir. kini fonksiond ise, n n solundn s n d s ndn solun geçerken bir s çrm fln r. Süreklili in mtemtiksel tn m n vermenin zmn geldi. A, nin bir ltkümesi, ƒ : A bir fonksion ve A olsun. ƒ nin nokts nd sürekli olms n n mtemtiksel nlm n veree iz. b = ƒ() olsun. Afl dki flekilden tkip edelim. ƒ() = b = ƒ() Herhngi bir > 0 ll m. u çok çok küçük (m pozitif) bir s olrk lg ll m. Ve ekseninde (b, b + ) rl n ve o rl n belirledi- i t flerite bkl m. Öle bir > 0 vr ki, (, + ) rl n n ƒ lt nd imgesi (b, b + ) rl n n içine düfler. Sdelefltirilmifl flekil fl d: b+ ƒ() = b b + = ƒ() flte d süreklili in tn m nen bunu ifde edeek, tek bir frkl ki (, + ) rl n n ƒ lt nd imgesi (b, b + ) rl n n içine düfler erine (, + ) A kümesinin ƒ lt nd imgesi (b, b + ) rl n n içine düfler demeliiz çünkü ƒ fonksionu (, + ) rl - n n tüm noktlr nd tn ml olmbilir. Mtemtiksel tn m sll m: b+ ƒ() = b b = ƒ() Tn m. A, nin bir ltkümesi, ƒ : A bir fonksion ve Aolsun. E er her > 0 için, ƒ((, + ) A) (ƒ(), ƒ() + ) iliflkisini s ln bir > 0 vrs, ƒ fonksionun d sürekli denir. Bu flerit fonksionun grfi ini çeflitli erlerden keser ve bu kesiflimler n n ivr nd bir bölge belirlerler. b+ ƒ() = b b = ƒ() ivr nd grfi e dh k ndn bkl m: b+ ƒ() = b b + = ƒ() An tn m kümelerle ( d rl klrl) de il de elemnlrl ifde edebiliriz: Tn m. A, nin bir ltkümesi, ƒ : A bir fonksion ve Aolsun. E er her > 0 için, A n n < eflitsizli ini s ln her elemn n n ƒ() ƒ() < eflitsizli ini de s lmk zorund oldu u bir > 0 vrs, o zmn ƒ fonksionun d sürekli denir. ki tn m rs nd bir r m olmd n okur ikn olml d r; bir ipuu verelim: < koflulul (, + ) koflulu rs nd bir r m oktur. ƒ()+ ƒ() ƒ() + = ƒ() ƒ nin d sürekli oldu unu kn tlmk için: verilmifl, bul 8

3 Mtemtik Düns, 2008-III Yukrdki tn m birz dh çl m. Verilmifl bir ƒ : A fonksionunun bir Aelemn nd sürekli olms için her > 0 için öle bir > 0 olml ki, her Aiçin, < ƒ() ƒ() < (*) olsun. Tn m çerçeveleelim ki sürekli gözümüzün önünde bulunsun: Tn m kümesinin her nokts nd sürekli oln bir fonksion sürekli fonksion denir. Bir ƒ : A fonksionunun bir Anokts nd sürekli olms için, her > 0 için öle bir > 0 olml ki, her Aiçin, < ƒ() ƒ() < (*) olsun. Do l m Süreksiz Bir Fonksion P 0 B 2 A Düzlemde güzel (ni sürekli) bir e ri ve bir de bir P nokts ll m. P den geçen do rulr e rii bz noktlrd keser. ƒ( ), t do rul dereelik bir ç pn do runun e rii kesti i nokt s s olsun. Örne in ƒ(0) = ƒ(90) = 0. Do rulr P ivr nd vfl vfl döndü- ünde, ƒ s çrmlr pr. Bu s çrmlr genellikle do runun e rie te et oldu u ç lrd medn gelir. Burd, do l biçimde tn mlnm fl m sürekli olmn bir fonksion sözkonusu Tn m trtl m trt fll m. Her fleden öne, tüm ur lr krfl n nerdese her ö reninin kç n lmz olrk pt ve muhtemelen bu ur dn sonr d p bir nl fltn sözedelim. Fonksionun d sürekli oldu unu kn tlmk için, verilen her > 0 için (*) koflulunu s ln bir > 0 bulml z. Bu s s ve göre de iflebilir m ten b ms zd r. Tekrr edelim: ƒ fonksionu, X nokts ve > 0 s s verilior ve (*) koflulunu her A için s lnd ten b ms z bir > 0 rn or. Bu nokt kesinlikle gözden kçmml. Tn m dh simgesel olrk zmk rrl olbilir: > 0 > 0 A( < ƒ() ƒ() < ). Tn m trt flm devm edelim. E er verilmifl bir > 0 için, bir s s (*) koflulunu s l ors, dn küçük pozitif ler de (*) koflulunu n için s lrlr. Yni verilmifl bir için (*) koflulunu s ln tek bir oktur ve e er (*) koflulunu s ln bir vrs, istersek ve içimizden öle geçiors d gereklise, den, /2 den, /00 den ve istedi imiz herhngi pozitif bir s dn küçük seçebiliriz. Gene de bulunk n n verilen göre de iflti ini belirtelim: Genelde, küçüldükçe, d küçülmek zorundd r. Nitekim e er (, ) çifti (*) koflulunu s l ors ve e er < ise, o zmn (, ) çifti (*) koflulunu s lmbilir, çünkü bunun için eterine küçük olmbilir, dh d küçük seçmek zorund klbiliriz. Bu üzden bzen erine zmk erinde olbilir. Htt, göre de de- iflebilee inden, erine, d z lbilir. Bir ƒ : A fonksionunun bir Anokts nd sürekli oldu unu kn tlmk için, öne herhngi bir pozitif s s seçilir. Sonr, Aiçin, ƒ() ƒ() < eflitsizli inin s lnms için in ne kdr k n olms gerekti i rflt r l r. Bunun için, genellikle, ƒ() ƒ() ifdesile onn r. Amç, bu ifdele onrk, ifdei, bir biçimde, içinde bulunn bir ifdeden dh küçük olrk ifde etmektir. Bilmem kendimizi ii ifde edebildik mi? Ö retii olms ç s ndn çok bsit olmn, m gene de çok çok zor olmn örnekler sunmdn öne nokts n n tn m kümesinde olmk zorund oldu unu n mstl m (oks ƒ() dn sözedemeiz bile!) Örnek. ƒ() = 2 kurl l tn mlnm fl den e giden ƒ fonksionu süreklidir. (Burd A =.) 9

4 Mtemtik Düns, 2008-III = ƒ() = 2 = ƒ() + verilmifl, bulml z. E er öle bir vrs, n özelli i s ln den küçük bir vrd r. den küçük bulm çl flbiliriz. Kn t: olsun. Rstgele bir pozitif s - s seçelim. s s n çok küçük bir s olrk lg - ll m. fiimdi, Aiçin, ƒ() ƒ() < eflitsizli inin s lnms için in ne kdr k n olms gerekti ini rflt rl m; bkl m in belli bir > 0 mesfesinden dh k n olms bu eflitsizli in s lnms için eterli oluor mu, böle bir vr m? Bunun için ƒ() ƒ() ifdesile on z. Onl m: ƒ() ƒ() = 2 2 = +. Ond k. En s dki ifdesi hoflumuz gidior, çünkü i çok küçük olk flekilde seçersek, + ifdesinin de çok küçük olm ( dn küçük olm) ihtimli vr ve bizim de istedi- imiz tm bu. Am e er + çok rtrs, o zmn + ifdesini istedi imiz kdr küçültemeebiliriz. Demek ki + ifdesinin çok rtmd n, belli bir s trf ndn üstten s n rlnd - n kn tlml z. E er herhngi bir gerçel s s, bu do ru de il elbet, m i k n seçee imizi unutml m. E er in mesfesi ilelebet rtm ors, + ifdesi de zptedilemez bir biçimde rtmz. + ifdesini üstten s n rlmk için, - ilerde bu sözü tutmk üzere - bul m z den küçük l m z sözünü verelim. (Yukrdki flekil böle bir seçim pbilee imizi ç klm çl fl - or.) O zmn, i, < olk biçimde seçmifl ol z ve bu seçimle, < <, d < < +, ni 2 < + < 2 + olur; bölee, e er A = m{ 2, 2 + } ise, + < A eflitsizli ine ulflm fl oluruz. Bflld m z hesb bu eflitsizlik fl nd devm edelim: ƒ() ƒ() = 2 2 = + < A. Demek ki ƒ() ƒ() ifdesinin dn küçük olms için A ifdesinin dn küçük olms eterli. Dol s l /A dn küçük seçersek iflimiz ifl. Am bir dkik! n n sdee /A dn küçük olms etmez, den de küçük olml. Yni e er = min{ /A, } olrk seçersek, o zmn < eflitsizli inden ƒ() ƒ() < eflitsizli i ç kr. Bu kn t toprl p vst bir kitpt z ld biçimile gösterelim: > 0 herhngi bir s olsun. A = m{ 2, 2 + } olsun. Tn mdn dol A > 0 olur. Ve = min{ /A, } olsun., elbette pozitif bir s. Ve son olrk,, < eflitsizli ini s ls n. Bundn, s rs l, < <, + < < +, + < < +, + 2 < + < + 2, + < m{ + 2, + 2} = A eflitsizlikleri ç kr. Bu hesplr + s n rlmk için pt k: ƒ() ƒ() = 2 2 = + < A < A ( /A)A = buluruz, tm istedi imiz gibi. Kn t n çok çok kol olmd do ru m iflte mtemtik böle bir fle. Al flt rmlr.. ƒ() = kurl l tn mlnm fl den e giden ƒ fonksionunun sürekli oldu unu kn tl n. 2. ƒ() = 3 kurl l tn mlnm fl den e giden ƒ fonksionunun sürekli oldu unu kn tl n. Sürekli olmn bir fonksion örne i verelim. Verelim m öne bir noktd sürekli olmmn n ne demek oldu unu dh k ndn irdeleelim. Bir iki sf ukrd, ƒ : A fonksionunun bir Anokts nd sürekli olms için, 20

5 Mtemtik Düns, 2008-III > 0 > 0 A( < ƒ() ƒ() < ). önermesinin do ru olms gerekti ini sölemifltik. Bu önermenin tm tersini, ni z dd n zl m. Bunun için bsit mnt k kulln z. Yukrdki önermenin z dd, > 0 > 0 A( < ƒ() ƒ() ) önermesidir. Yni bir ƒ : A fonksionunun bir Anokts nd sürekli olmms için öle bir > 0 s s olml d r ki, hngi > 0 s s l n rs l ns n, < eflitsizli ini s ln m ƒ() ƒ() < eflitsizli ini s lmn bir A nokts olml d r. Örneklerle her flein dh ç k ol ndn kuflkumuz ok! Belki sosoloji kitplr d fl nd hemen her kitpt bulunn stndrt bir örnek verelim. fonksionu sürekli de ildir. ƒ, den e gider ve grfi i flöledir: Grfikten de nlfl l üzere, bu fonksion 0 d fl nd her noktd süreklidir, sdee 0 nokts nd süreksizdir. Bu sölediklerimizi mtemtiksel olrk kn tll m. /2 2. E er 0 ise fonksion nokts nd süreklidir. > 0 verilmifl olsun. (*) koflulunun bir > 0 trf ndn s lnd n göstermemiz gerekior. = /2 olsun., < koflulunu s ls n. O zmn, /2 = < < = /2, ni /2 < < + /2 olur. Bundn, e er < 0 ise, < + /2 = /2 < 0, ve > 0 ise, 0 < /2 = /2 < bulunur. Yni ile in iflretleri n d r, biri pozitifse di eri de pozitif, biri negtifse di eri de negtif olur. Dol s l ƒ() = ƒ() olur, ni ƒ() ƒ() = 0 < olur. stedi imiz kn tlnm flt r. Bir öneki örne i hfifçe de ifltiree iz, fonksionun kurl n olk m tn m kümesi bu sefer erine \ {0} olk. olsun. ƒ fonksionu süreklidir. +. Fonksion = 0 nokts nd sürekli de ildir. (*) koflulunun hiçbir > 0 için do ru olmd bir > 0 bulmk gerekior. Bir sonrki flekilden tkip edin. = olsun. fiimdi > 0 ne olurs olsun (dh do rusu, ne kdr küçük olurs olsun), = /2 l rsk, = /2 0 = /2 = /2 < olur m ƒ() ƒ() = ƒ( /2) ƒ(0) = 0 = = olur, ni ƒ() ƒ() < eflitsizli i do ru olmz. An sonuu = /2, d herhngi bir > 0 lrk d bulbilirdik tbii, eter ki olsun. Kn t nen bir öneki kn t gibidir, m tbii bu sefer 0 seçemeiz, çünkü fonksionun tn m kümesi \ {0} d r. ƒ, \ {0} dn e gider. fiimdi ilk bk flt flfl rt, ikini bk flt do l gelebileek bir sonuç kn tll m. Örnek 4. den e giden herhngi bir fonksion süreklidir. Kn t: ƒ : herhngi bir fonksion olsun. Burd A = dir., herhngi bir tms olsun. Ve > 0 verilmifl olsun. 0 < eflitsiz- 2

6 Mtemtik Düns, 2008-III liklerini s ln herhngi bir s olrk seçelim, örne in = /2 olsun. O zmn e er ise ve, < koflulunu s l ors, = olmk zorundd r çünkü iki de iflik tms rs ndki frk den küçük olmz. Demek ki, bu durumd, ƒ() ƒ() = 0 < olur. stedi imiz bir kez dh kn tlnm flt r. Yukrdki örnekteki fonksionu her noktd sürekli k ln, de iflik tms lr rs ndki mesfenin den küçük olm d r. Dh do rusu, her tms n n belli bir komflulu u nd bir bflk tms n n bulunm d r. Bu fikri fl dki l flt rmd sömüree iz. Al flt rmlr. A = {/n : n \ {0}} olsun. ƒ : A herhngi bir fonksion olsun. ƒ nin sürekli oldu unu kn tl n. 2. A, ukrdki gibi olsun. B = A {0} olsun. ƒ : B herhngi bir fonksion olsun. ƒ nin 0 d sürekli olms için, lim n ƒ(/n) = ƒ(0) eflitli inin eter ve gerekli oldu unu kn tl n. 3. A, nin r k bir ltkümesi olsun, ni her A için, (, + ) A = {} eflitli ini s ln bir > 0 olsun. (Burd, göre de iflebilir.) A dn e giden her fonksionun sürekli oldu unu kn tl n. 4. A, nin bir ltkümesi olsun. A, A dn r k bir elemn olsun, ni (, + ) A = {} eflitli ini s ln bir > 0 olsun. A dn e giden her fonksionun d sürekli oldu unu kn tl n. 5. ƒ() = [] (= in tmk sm, bkz. MD III, sf 26, Teorem 6). ƒ : fonksionu hngi noktlrd sürekli de ildir? 6. nin sonlu bir kümesinden e giden her fonksionun sürekli oldu unu kn tl n. 7. den e giden sürekli bir fonksionun sbit olms gerekti ini kn tl n. 8. ƒ : fonksionu sürekli olsun m imgesi sonlu olsun. ƒ nin sbit bir fonksion oldu unu kn tl n. 9*. den giden her sürekli fonksionun sbit oldu unu kn tl n. 0*. den e giden her sürekli ve birebir fonksionun tersinin de sürekli oldu unu kn tl n. Bir bflk klsik örnekle z m z devm edelim: fonksionu nin hiçbir nokts nd sürekli de ildir. Bu fonksion ns l sürekli olsun ki, fonksion z rt p rt 0 ve de erlerini l or! Biçimsel kn t okur b rk oruz. Bir ipuu verelim ve \ kümelerinin her ikisi de de o undurlr, ni boflküme olmn herhngi bir ç k rl kt hem kesirli hem de kesirli olmn s lr vrd r. Kol (htt bu flmd birz fzl kol) m önemli iki örnek gelior son olrk: Örnek 6. Sbit bir fonksion süreklidir. Kn t: ƒ sbit bir fonksion olsun. > 0 ve > 0 ne olurs olsunlr, hep ƒ() ƒ() = 0 < olur. Demek ki ƒ süreklidir. Örnek 7. Özdefllik fonksionu süreklidir. Sbit fonksionunun grfi i kesintisizdir, dol s l bu fonksion her noktd süreklidir. = Özdefllik fonksionu Id nin grfi i çprz do rudur ve her do ru gibi bu grfik kesintisizdir. Dol s l, sezgisel bir bk fl ç s l, Id fonksionu her noktd sürekli olml d r. Kn t: Özdefllik fonksionunun Id () = kurl l tn mlnm fl Id : fonksionu oldu- unu n mst r z. ve > 0 verilmifl olsun. = > 0 ll m. O zmn < koflulunu s ln her için, Id () Id () = < = olur; bu d istedi imizi kn tlr. Örnek 8. Her için, ve + sürekli fonksionlrd r. 22

7 Mtemtik Düns, 2008-III Kn t: ƒ : fonksionu her için ƒ() = + formülüle tn mlnm fl olsun. ƒ nin her noktd sürekli oldu unu kn tll m., herhngi bir gerçel s olsun. > 0 olsun. = ll m. O zmn, < ise, ƒ() ƒ() = ( + ) ( + ) = < = olur. Dol s l ƒ fonksionu nokts nd süreklidir. Çrpm geçmeden öne ilerde çok önemli olk bir nokt prmk bsl m. Genellikle, bulunn s s ve s lr n göre de iflir. n n dn b ms z olms nerdese imkâns zd r d ukrdki son üç örnekte oldu u gibi, dn b ms z olk biçimde seçilebilir. Bu durumd çok güçlü bir süreklilik sözkonusudur ve bun düzgün süreklilik d verilir. Anlizin çok önemli bir kvrm oln düzgün süreklili e ilerde s k s k de inee iz. Çrpm gelelim. olsun. ƒ : fonksionu her için ƒ() = formülüle tn mlnm fl olsun. ƒ nin her noktd sürekli oldu unu kn tll m. E er = 0 ise, sbit 0 fonksionunu elde ederiz ve bu fonksionun (düzgün) sürekli oldu unu Örnek 6 dn bilioruz. Bundn böle 0 vrs m n pl m., herhngi bir gerçel s olsun. > 0 olsun. = / olsun. O zmn, e er < ise, ƒ() ƒ() = = < = olur. Dol s l ƒ fonksionu nokts nd süreklidir. Demek ki bu fonksion d süreklidir, üstelik düzgün süreklidir. Bundn sonrki sonuçlr mtemtikte folklor olrk nitelendirilir. Yni herkesin bildi i m kitplrd pek z lmn sonuçlr... = + = Örnek 9. Sürekli Fonksionlr Yp flt rmk/ Birlefltirmek. ki sürekli fonksionu p flt rrk ( d birlefltirerek) her zmn sürekli bir fonksion elde etmeiz. Örne in Örnek 2 deki fonksion iki sürekli fonksionun birleflimidir (hngileri?) m elde edilen fonksion sürekli de ildir. Örnek 5 te de n sorun vrd r. Öte ndn Örnek 3 teki gibi bz durumlrd p flt r lrk elde edilen iki sürekli fonksion süreklili i korur: Teorem. < b ve < d olsun. ƒ : (, b) ve g : (, d) iki sürekli fonksion olsun. Ar - her (, b) (, d) için ƒ() = g() eflitli inin do ru oldu unu vrsl m, o zmn, kurl l tn mlnn ƒ g : (, b) (, d) fonksionu süreklidir. ƒ b b Elde edilen ƒ g fonksionunun grfi inin ƒ ve g fonksionlr n n grfi inden ns l elde edilee- i ukrdki flekilde gösterilior. Önermenin, Örnek 3 teki gibi, (, b) (, d) = oldu u zmn d do ru oldu un dikktinizi çekeriz. Örne in b = oldu und... Bu dedi imiz, ine m önemli bir r nt d r. Ar fonksionlr n tn m rl klr n kpl d lbilirdik, önerme gene do ru olurdu. Bunun özel bir hli ƒ(b) = g(b) eflitli ini s ln ƒ : (, b] ve g : [b, ) fonksionlr n n p flt r lms l elde edilen fonksiondur. g ƒ g ƒ g fonksionunun grfi ini elde etmek için, ƒ ve g fonksionlr n n grfiklerini birlefltirmek eterlidir. d d 23

8 Mtemtik Düns, 2008-III Öte ndn n önerme Örnek 2 de görüldü- ü gibi (, b) ve [b, ) rl klr için nl flt r. (, b) ve (, d) erine nin bmbflk ltkümelerini l rsk d teorem nl fl olur. Bkz. Örnek 5. Al flt rm. Teorem i ve dh sonr sölenenleri kn tl n. Yerellik Önermenin do rulu u süreklili in erel bir kvrm olms ndn knklnmktd r. Bu erel kvrm n birz çl m; nlizde çok önemlidir. Bir fonksionun belli bir nokts nd sürekli olms, sdee ve sdee o fonksionun ivr ndki dvrn fl n göre de iflir ve fonksionun dn uzkt neler pt ndn b ms zd r. Afl dki flekil okuru en z ndn görsel olrk dourml. ƒ ƒ b E er ƒ, (, b) rl n n her nokts nd süreklise ve g, (b, ) rl n n her nokts nd süreklise, o zmn ƒ g fonksionu (, b) (b, ) kümesinin her nokts nd süreklidir. b nokts ƒ g fonksionunun tn m kümesinde olmd için b nokts ndki süreksizlik intib ldt d r. X Y E er nokts ivr nd ƒ ve g fonksionlr eflitlerse, o zmn biri d süreklise, di eri de süreklidir. Bir sonrki önerme ise bu dedi imizin mtemtikçesidir. Teorem 2. X, Y ve X Yolsun. ƒ : X, g : Y iki fonksion olsun. Belli bir > 0 için (, + ) X Yolsun ve bu rl k üstünde ƒ = g eflitli ini, ni her (, + ) için ƒ() = g() eflitli ini vrsl m. O zmn, e er ƒ ve g fonksionlr ndn biri d süreklise di eri de d süreklidir. Kn t: Verilmifl bir > 0 için bulmm z gereken dn küçük seçmek eterlidir. Ar nt lr okur b rk oruz. Al flt rm. X, Y ve X Yolsun. ƒ : X, g : Y g g iki fonksion olsun. Belli bir > 0 için (, + ) Y X olsun ve (, + ) Y üstünde ƒ = g eflitli ini, ni her (, + ) Y için ƒ() = g() eflitli ini vrsl m. O zmn, e er ƒ fonksionu d süreklise g de d süreklidir. Bir sonrki teoremimiz, sürekli bir fonksionun k s tlnms n n d sürekli oldu unu söleeek. Öne fonksion k s tlmn n ne demek oldu unu n mstl m. ƒ, bir A kümesinden bir Y kümesine giden bir fonksion olsun. B, A n n bir ltkümesi olsun. g : B Yfonksionu her b Biçin, g(b) = ƒ(b) kurl l tn mlnm fl olsun. Yni g nin l de- erler ƒ fonksionu trf ndn belirlenmifl olsun. Bu durumd g fonksionun ƒ nin k s tln fl d verilir ve g = ƒ B z l r. Durum göre, kimi zmn d ƒ e g nin (bir) genifllemesi d verilir. Teorem 3. b B A ve ƒ : A olsun. E er ƒ fonksionu b de süreklise ƒ B fonksionu d b de süreklidir. Gözd : Kn t bundn dh kol bir teorem zor bulunur. Süreklilik konusund ilerki z lrd dh derinleflee iz. fiimdilik süreklili in oldukç bsit özelliklerinden sözedelim.. Süreklili i, nin bir A ltkümesinden e giden fonksionlr için tn mld k. Os, tn m bk l rs fonksionun ill e de il, nin bir ltkümesine gitmesi eterli, nitekim tn md fonksionun vr fl kümesini hiç kullnmd k, tek kullnd m z de erlerin gerçel s lr olms d. Yni A ve B, nin ltkümelerise ve ƒ : A B, A dn B e giden bir fonksions, süreklili i bu ƒ fonksionu için de tn mlbiliriz, n tn m kbul edelim, olsun bitsin. Bundn böle süreklili in nin bir ltkümesinden gene nin bir ltkümesine giden fonksionlr için tn mlnd n kbul edee iz. 2. E er ƒ : A Bfonksionu bir Anokts nd süreklise ve ƒ(a) C ise, n grfi i oln ve her Aiçin g() = ƒ() kurl l tn mlnn g : A Cfonksionu d nokts nd süreklidir. 3. E er ƒ : A Bfonksionu bir Anokts nd süreklise ve C A ise, her C için (ƒ C )() = ƒ() kurl l tn mlnn ƒ C : C B 24

9 Mtemtik Düns, 2008-III fonksionu d nokts nd süreklidir. Bunu bilioruz. Öte ndn, ƒ : A Bfonksionu Anokts nd sürekli de ilse ve C Aise, ƒ C : C B fonksionu nokts nd pekâlâ sürekli olbilir. Nitekim ƒ ne olurs olsun, C = {} ise ƒ C fonksionu d süreklidir! (Bkz. Sf 22, Al flt rm 6.) Birz dh sofistike bir örnek verelim: ƒ, Örnek 2 deki fonksion olsun A =, = 0 ve C = (, ) [0, ) olsun, d C = [0, ) olsun. Bu durumd ƒ C fonksionu 0 d süreklidir. 4. ƒ : A Bbir fonksion olsun. C = { A: ƒ, d sürekli} olsun. O zmn ƒ C fonksionu süreklidir. Al flt rmlr. ƒ() = 2 kurl l tn mlnn ƒ : fonksionunun sürekli oldu unu ) Tn m bflvurrk, b) Bu z dki sonuçlrl kn tl n. 2. ƒ, (0, ) (2, 3) kümesinden e giden ve ƒ() = kurl l tn mlnn fonksion olsun. ƒ nin grfi ini çizin. ƒ nin sürekli oldu unu kn tl n. 3. ƒ, (0, 2) rl ndn e giden, (0, ) rl - üzerinde ƒ() = ve [, 2) rl üzerinde ƒ() = 2 kurl l tn mlnn fonksion olsun. ƒ nin grfi ini çizin. ƒ nin sürekli oldu unu kn tl n. 4. r olsun. ƒ : fonksionu, olrk tn mlns n. Hngi r s lr için ƒ süreklidir? 5. ƒ : olsun ve her için ƒ() = ƒ( ) olsun. E er ƒ, d süreklise, d d sürekli oldu unu kn tl n. Bundn ƒ, d sürekli de ilse d d sürekli olm n ç kr n. An flei ƒ( ) = ƒ() eflitli ini s ln bir fonksion için de p n. 6. Her için 0 ƒ() eflitsizli ini s ln bir fonksionun 0 d sürekli oldu unu kn tl n. 7. E er p ve q birbirine sl iki tms s, ƒ(p/q) = p + q olsun. Bu kurll tn mlnm fl oln ƒ : fonksionunun hiçbir noktd sürekli olmd n kn tl n. 7b. g : fonksionu, g() = /ƒ() kurl l tn mlns n. g fonksionun sürekli olmd - n kn tl n. 8. V nin bir ltkümesi olsun. E er I V koflulunu s ln ç k bir I rl vrs V e n n komflulu u d verilir. fiimdi ƒ : herhngi bir fonksion olsun. ƒ nin d sürekli olms için, ƒ() n n her V komflulu u için, ƒ (V) kümesi n n bir komflulu udur koflulunun eter ve gerek oldu unu kn tl n. 9. A, nin bir ltkümesi olsun. A olsun. A n n, bir > 0 için, A (, + ) ltkümesini içeren V ltkümelerine n n A d komflulu u d verilir. Demek ki n n A d komflulu u, n n (bir öneki sorud tn mlnn) bir komflulu ul A n n kesiflimidir. fiimdi ƒ : A herhngi bir fonksion olsun. ƒ nin d sürekli olms için, ƒ() n n de her V komflulu u için, ƒ (V) kümesi n n A d bir komflulu udur koflulunun eter ve gerek oldu unu kn tl n. Çeflit Çeflit Süreklilik Verdi imiz süreklilik tn m Cuh nin oldu u için bzen sürekli erine Cuh-sürekli denir. Süreklili in bflk dlrl n ln bflk tn mlr vrd r; örne in Heine-süreklilik. Heinesürekli bir fonksion k nsk bir dizii k nsk bir dizie götürür. Bu iki kvrm rs nd bir frk olmd n göree iz. Kulln ln bir bflk Cuh süreklili i kvrm dh vrd r: Cuh dizilerini Cuh dizilerine götüren bir fonksion d bzen Cuh sürekli denir. E er X ise, sürekli fonksionlr Cuh-sürekli olmbilirler. Örne in sf 2, Örnek 2 deki fonksion süreklidir m Cuh-sürekli de ildir. Öte ndn X = ise Cuh-sürekli bir fonksion sürekli olmk zorundd r. lerde kn tl m z bu sonuu flimdilik okur l flt rm olrk b rk oruz. 25