KUKLA DEĞİŞKENLERİN T İSTATİSTİĞİ İLE AYKIRI GÖZLEMLER TESPİT EDİLEMEZ

Transkript

1 Eoometr ve İstatst Sayı:5 0-4 İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ İKTİSAT FAKÜLTESİ EKONOMETRİ VE İSTATİSTİK DERGİSİ KUKLA DEĞİŞKENLERİN T İSTATİSTİĞİ İLE AYKIRI GÖZLEMLER TESPİT EDİLEMEZ Arzdar KİRACI* Özet Gücel yazıda, br gözlem ayırı gözlem outler olara tespt edleblme ç bu gözlem ula değşe le temsl edlmete ve ula değşe statstsel olara alamlı olup olmadığıa baılmatadır. Br gözlem ayırı gözlem olması ç ula değşe t-statstğ statstsel olara alamlı olma tez ullaılmatadır. Bu çalışma, bast bağlaşım model ullaara, bu tez doğru olmadığıı uramsal olara spatlamata ve br arşı örele bu tez çürütmetedr. Bu çalışma ç türetlmş örete, dreçl robust bağlaşım yötem le ayırı gözlem olara tespt edle br gözlem, ula değşe t-statstğ le tespt edlemedğ gösterlmetedr. Bua lavete, ula değşe eleme öeml bağlaşım statstler asıl etledğ de rdelemetedr. Aahtar Kelmeler: Dreçl bağlaşım, t-statstğ, ula değşe, ayırı gözlem, tez çürütme, bast bağlaşım model, tespt soruu, öre Jel Sııflaması: C, C3, C5, C5 Abstract I the curret lterature, order to be able to detect a sgle observato as a outler observato, ths observato s represeted by a dummy varable ad the dummy varable s checed for statstcal sgfcace. For a observato to be a outler observato, the thess of sgfcat t-statstcs of dummy varable s used. Ths paper proves usg a theoretc proof for smple regresso model that ths thess s wrog ad refutes ths thess usg a coutereample. The eample derved for ths paper llustrates that a outler observato detected by robust regresso methods caot be detected by the t-statstcs of dummy varable. I addto, the effect of addg a dummy varable to regresso o mportat regresso statstcs s vestgated. Keywords: Robust Regresso, t-statstcs, dummy varable, outler, refute the thess, smple regresso model, detecto problem, eample Jel Classfcato: C, C3, C5, C5 * Yrd. Doç. Dr., Başet Üverstes, İİBF Eoom Bölümü B09, 0680 Bağlıca Aara, Tel: / 74, E-Mal: arzdar@baset.edu.tr

2 Kula Değ. T İst. le Ayırı Gözlemler Tespt Edlemez. GİRİŞ Ayırı gözlemler, modelde yer almaya etl değşeler devreye grmes soucu yüse hata çere ve bu sebeple ver ümesde dğer gözlemler sahp olduğu doğrusal davraışa ayırı br davraış sergleye gözlem olara taımlaablr. E üçü areler EKK tahm edcs ya da ver tamamıı date ala başa br tahm edc böyle br durumda çömete Rousseeuw ve Leroy, 987 ve ayırı gözlem mtarıa göre EKKler hem yasızlı hem de tutarlılı özellğ aybetmetedr. Verde tedbr almada ayırı gözlem bıraılması durumuda, dğer gözlemler le ulaşılaca blmsel çıarsama souçlarıı tam ters souçlara ulaşılmasıa sebep olablmetedr Rousseeuw ve Va Aelst, 999. Bu durum büyü br tehle yaratmatadır, çüü EKK tahmler ço yaygı olara ullaılmata ve uzu zamada berdr e altel verler ble ayırı gözlem çerdğ, bua lavete altel tsad ver olmaya ço az sayıda aday ver olduğu blmetedr Zama vd., 00. Gözlemler çde ayırı gözlem buluması şüphesde, şüphel gözlemlere ula değşeler atayara ayırı gözlem olup olmadığıı sıama, e olay ayırı tespt yötemdr. Buu sebeb, maale tap ede bölümlerde gösterlebleceğ gb, br gözleme ula değşe atama, o gözlem ets bağlaşım tahmlerde Greee, 00 ve değşrlte varyasta, o ver slmes Studemud, 00 le ayı ety yaratmatadır. Kula değşe atamış gözlemler souçlar üzerde ets bu şelde elere ula değşe tarafıda ets elemeye br tae ble ayırı gözlem, EKKler ye çömes sağlayacatır. Böyle br şüphe durumuda ula değşe ullaılmada dreçl robust bağlaşım yötemler le bütü ayırı gözlemler eş-alı tespt zoruludur. Blmsel edesler taradığıda, 000 yılıda sora yapılmış ço sayıda çalışmada, hale bağlaşım aalzde br gözlem ayırı gözlem olduğuda şüpheleldğde o gözlem ç br ula değşe atamatadır. Br gözlem ayırı gözlem olduğua se t-statstğe baara arar verlmetedr. Bu çalışma, eğer br eoom şo, teoloj buluş, doğal afet veya yalış br ayıt soucu oluşmuş br ayırı gözlem varsa es ola değşe ula değşeler tarafıda temsl edleblrlğ tez rdelemetedr. Bua lavete bast bağlaşım model ç EKK yötem ullaıldığıda statstler ula değşe ullaımıda asıl

3 Eoometr ve İstatst Sayı:5 0 3 etlemete olduğu uramsal olara celemetedr. Bu çalışmada t-statstğ her zama bu ouda başarılı olmadığı uramsal olara spatlamata ve bu çalışma ç hazırlamış örelerde gösterlmetedr. Bu sayede bağlaşımda şüphel gözlemler ayırı gözlem olup olmayacağı daha güvelr br bçmde tespt edleblecetr. Bu maale c bölümü, ula değşelerle t-statstğ brlte ullaılması soucuda statstler asıl etledğ uramsal olara göstermetedr. Bu teor bulgularla, br ayırı gözlem ver ümesde çıarma ya da ula değşele bırama ousuda da yorum yapılmatadır. Tap ede üçücü bölüm uramsal bulgularda çıarsama yapmata ve dreçl bağlaşım yazııda ayırı gözlem tespt etme ç ullaıla yötemler bağlaşım souçlarıda asıl elde edleceğ gösterlmetedr. Ye bu bölümde br örele t-statstğ yetersz aldığı gösterlmetedr. Br tez çürütme ç br arşı br tez ya da öre yeterl olmatadır, bu çalışma bu çürütme blmsel atısıı sağlamatadır. So bölüm souçları özetlemetedr.. KUKLA DEĞİŞKEN MODELİ Br tez çürütme ç bast br öre ble yeterl olableceğde, souçları olay türetleblmes ç y = β + β + β + u =,..., bast bağlaşım model ullaılmatadır. Bu modelde β aaütle bağlaşım parametreler, y bağımlı değşe gözlemler, bağımsız değşe gözlemler, u Normal dağılımda gele hata term, ula değşe değerler, b EKK tahm edcler parametreler, b b b y u ˆ alıtı değerler ve gözlem sayısıı temsl etmetedr. Bu çalışmada ayırı gözlem so gözlem olduğu varsayılmata, bu sebeple so ayırı gözlem ç = değer almata, dğer gözlemler ç =0 =,...,- değer almatadır. Bu model ç EKK tahm edcler aşağıda gb çımatadır. y y b y y b

4 Kula Değ. T İst. le Ayırı Gözlemler Tespt Edlemez s y b b = y -b -b 3 b uˆ 3 Ayırı gözlem ula değşele temsl edldğde ve tahmler celedğde, ayırı gözlem ets sadece delem de yer ala ula değşe tahm edle parametre atsayısıda olduğu görülmetedr, çüü. gözlemle lgl blg sadece bu delemde yer almatadır. Tahm edcler, daha öce çalışmalarda belrtldğ gb, br gözlem ç ula değşe ullaıldığıda Greee 00:7 EKK parametreler, bu gözlem slp bağlaşım yapıldığıda elde edle parametreler le ayı olduğu, bua lavete Studemud 00:4 değşrlğ s de ayı özellğ gösterdğ soucuu destelemetedr. ^u y b b b 0 ˆ Öeml br özell, ula değşe le temsl edle gözlem alıtı değer delem de gösterldğ gb sıfır çımasıdır. Bu özell çolu bağlaşım model ç de geçerl olmatadır, çüü yapısı gereğ ula değşe sadece atadığı gözlem tarafıda etlemetedr. EKK amaç fosyouda drgeme yapıldığıda, EKKler yötem ula değşe alıtısıı sıfır yapara hem lgl alıtıyı hem de geel toplamı drgemetedr. Pe burada ala gelece br soru ayırı gözlem sahp olduğu yüse hata mtarıı ereye gttğ olacatır. Delem celedğde ula değşe atsayısıı aslıda hataı heps temsl ettğ görülecetr.. Kula Değşe Katsayısı Br Kalıtıdır Delem celedğde. ayırı gözlem ets çermeye ve sadece dğer gözlemler yaptığı b ve b tahmler ullaılara br alıtı hesaplamatadır. Kısaca, ula değşe atsayısı ayırı gözlem sahp olduğu yüse hata mtarı temsl ede br alıtıdır. Dreçl bağlaşım aalzde ayırı gözlemler tespt etme ç değş yötemler mevcuttur. Geel olara şüphel gözlemler ver ümesde çıarılıp EKK veya başa br 4

5 Eoometr ve İstatst Sayı:5 0 yötemle parametreler hesaplamata ve bu parametreler soucuda şüphel gözlemler alıtıları celemetedr. Eğer şüphel gözlemler bu tahmde ço sapma gösterrse o zama ayırı gözlem olara tespt edlmetedr. Bu sebeple, ula değşe atsayısı şüphel gözlem dğer gözlemler göstermş olduğu doğrusallıta uzalığı göstereceğ ç, bu yötem ayırı değerler tespt etme ç ullaılablr. Faat braz sora bölümlerde gösterleceğ gb t-statstğ bu ş ç ullaılamaz.. Kula Değşe Bağlaşım Souçlarıa Ets Tahm edcler ve değşrl açısıda ayırı gözlem olduğuda şüphelele gözlem verde çıarmala ou ula değşele temsl etme açısıda br far yotur, faat dğer öeml statstler ola belrleme atsayısı R bu durumda etlemetedr. Eğer ula değşel bağlaşımı belrleme atsayısı R ve ayırı gözlem olmada bağlaşımı belrleme atsayısı, R le gösterlece olursa o zama altta lş oluşmatadır: y uˆ y R R y uˆ y 3 Delem 3 celedğde belrll atsayısı arasıda far y y 0 termde ayalamatadır. Ver ümesde yer ala br ayırı gözlem y değer stsa durumlar dışıda, dğer gözlemler ortalamasıa eşt olma olasılığıı sıfıra yaı olduğu düşüülece olursa o zama delem 3 eştl sağlamayacatır. Burada çıa öeml br souç bağlaşıma elemş ula değşeler belrll atsayılarıı arttırıcı yöde et yaratablecelerdr. Ne adar ço ula değşe ullaılaca olursa o adar yüse belrll atsayıları elde edlecetr. Bu durum çolu bağlaşım model ç de geçerl olacatır, çüü R alıtıları ve bağımlı değşe date ala br statsttr. Kalıtılar ço sayıda bağımsız değşe ets çerdğ ç R olaylıla hesaplaablmetedr. Bast bağlaşım model ç F-statstğ ullaılamamatadır, faat ula değşeler alıtıları ullaılara çolu bağlaşım model ç F-statstğ davraışı belrleeblr. 5

6 Kula Değ. T İst. le Ayırı Gözlemler Tespt Edlemez Kula değşel bağlaşımda ayırı gözlem ola gözlem alıtısı delem ullaılara u = 0 bulumatadır. Buu alamı ula değşeler alıtılarıı değşrl çözümleme ANOVA aalzde ets olmamasıdır. Bu sebeple bağlaşımda e adar değşe olursa olsu ANOVA yötemde etl olaca statstler ula değşeler tarafıda temsl edlmeye gözlemler tarafıda belrleecetr. Yapılaca F-test se ula değşe atsayısı dışıda atsayıları eşalı olara sıfır olma ösavı olacatır. Delem de gösterldğ gb her ula değşele R artacatır, eğer l bağlaşımda ula değşe sayısı se o zama dr /dl > 0 olacatır. Bua lavete, d term bağlaşımda ula değşe dışıda değşe sayısıı verece olursa, çolu bağlaşım aalzde aşağıda F-statstğ formülü ve R ullaılara altta yorum yapılablr. df dl dr R R d l d l dl 4 d l R Delem 4 te çıa term ç es br şaret belrleme mümü değldr, dolayısıyla bağlaşıma elee ula değşe sayısı arttıça F-statstğ artablr ya da azalablr. Faat gözlem sayısı fazla >> d, l se bu delem 4 altta delem bçmde yazılablr: df dl dr [ d l R R ] dl d l R Bu delem celedğde mar R 0. 5olmata çüü 0<R < ve büyü htmalle d l dr / dl term eğer ula değşe ayırı term temsl edyorsa dr / dl büyü br değer olacağı ç daha büyü olacatır. Bua lavete çolu bağlaşım modelde d> olacağı ç df/dl > 0 çıma olasılığı ço uvvetldr. Bu durum tap ede örete de gösterlmştr. dr dl dr d l R dl 5 d l 6

7 Eoometr ve İstatst Sayı:5 0 Ayı durum ayarlamış belrll atsayısı R = / d l R ç de geçerldr. Delem 5 ç es hüüm verme mâsızdır, faat gözlem sayısı fazla se >> d, l delem 5 altta delem bçmde yazılablr: d R dr R dl dl Bu delemde R term ets gözlem arttıça azalmata ve altta delemde gösterldğ gb ayarlamış belrll atsayısı R, belrll atsayısı le ayı davraışı göstermetedr. Bu sebeple gözlem sayısı fazla se d R /dl > 0 olacatır. lm dr dl dr dl 0 Modele ula değşe eleme öeml statstler üzerde etl olduğu görülmetedr. Özellle model urma sürecde etl ola R değer artması yaıltıcı souçlar doğuracatır. Bua lavete, ayırı değer bağlaşımda ula değşele bıramalı mı yosa ayırı gözlemler ver ümesde çıarmalı mı sorusua bu şelde yaıt buluablmetedr. Bu yaıt, ula değşeler model yleştrmede öeml statstler yleştrmes sebeb le ayırı gözlemlerle ula değşeler çıarmaı daha blmsel olacağıdır. 3. KUKLA DEĞİŞKEN İLE AYKIRI GÖZLEM TESPİTİ Bölüm. de belrtldğ gb ula değşeler atsayısı dğer gözlemler oluşturduğu doğrusallığa uzalığı ölçe dreçl br alıtıdır. Bua lavete, daha öce belrtldğ gb ula değşel bağlaşımda bağlaşım değşrlğ ayırı gözlemlerde etlememetedr. Bu blgler braraya getrldğde altta yer ala statst dreçl bağlaşımda ayırı gözlem tespt etme ç ullaıla stadardze edlmş dreçl alıtı SDK değer olmatadır. Bu değer veya.5 te büyü olması durumuda br gözlem dreçl bağlaşım yötemler tarafıda ayırı değer olara tespt edlmetedr Rousseeuw ve Leroy,

8 Kula Değ. T İst. le Ayırı Gözlemler Tespt Edlemez 8 s b s b SDK 6 Bast bağlaşım model ç delem 6 ve ula değşe t-değer arşılaştırılaca olursa s arasıda far ortaya çımatadır. SDK t 7 Öer: Kula değşe t-statstğ yöüde aşırı değer ala ayırı değerler tespt edemez. İspat: Delem 7 celeece olursa EKKde ula değşe t-değer hem SDK değerde farlı olmata, hem de ayırı gözlemde etlemetedr. Kareö çde term, ayırı gözlem değere göre ço üçü değerler alablmete, böylece t-değer SDK değer altıa dreblmete ve bu durumda bu statst güvelmez olmatadır. Krt t c değer ç t tablosu celedğde %5 alamlılı düzeyde ço sayıda gözlem ç rt değer e düşü değer ola.96 olmatadır. Böylece t <.96 = t c ola faat SK >.5 ola ayırı değer gözlem mümü olmatadır. Delem 7 ullaılara tap ede eştszlğ sağlaya ayırı değer mevcuttur t

9 Eoometr ve İstatst Sayı: ] [ ] 0.669[ ] } [{ Bu c derecede,, ayırı gözlem değere bağlı br polomdur. Bu polomu atsayısı poztf olduğu ç >, ± yöüde büyü değerler aldığıda, o zama bu polom hep poztf olablmetedr. Kısaca t-stattğ.96 da üçü olure SKD.5ta büyü olablmetedr. Faat so eştszl yöüde büyü değerler almada da sağlaablmetedr. Eğer bu eştszlte ver sebeb le dscrmat hep egatf çıarsa o zama herhag br ayırı değerde bu eştszl sağlaaca ve t-statstğ le tespt edlemeyecetr. Bua lavete bu spat, ayırı gözlem tespt ç rt br değer tespt aca ayırı gözlem dağılımı blrse mümü olacağıı söylemete bu durum her ver ç ayrı rt değer hesaplamasıı geretrmetedr. Tap ede bölümde br örele bu durumlar gösterlmetedr.

10 Kula Değ. T İst. le Ayırı Gözlemler Tespt Edlemez 3. Öre Tablo : Bast bağlaşım model vers y Şel : Tablo de yer ala gözlemler gösterm Tablo, y = u u ~N0,0. model ç rastgele üretlmş ve uramı desteleyece şelde ayırı gözlem lave edlmş bast bağlaşım model vers çermetedr. Soucu. gözlem, bağlaşımı ula değşe t-değer alamsız olacağı br ayırı gözlemdr. Şel de gözlemler çoğuu sahp olduğu doğrusallıta EKK tahm edcs sapması gösterlmştr. Tablo ayırı gözlemle brlte, tablo 3 ayırı gözlem ula değşele temsl edldğde ve tablo 4 ayırı gözlemsz bağlaşım souçlarıı sumatadır. 0

11 Eoometr ve İstatst Sayı:5 0 Tablo celedğde, bağımsız değşe ayırı gözlemle brlte statstsel olara alamlı çıtığı ve model urma hatası olup olmadığıa bama ç Durb-Watso statstğ hesapladığıda.90 değer le böyle br durumu söz ousu olmadığı görülmetedr. Ayırı gözlem, EKK statstler ed lehe çevrmes sebeb le tahmler gerçe aaütle parametres ç yapılaca ösavları red etmetedr. Tablo de yer ala bağlaşım soucua tablo 3 te yer ala ula değşe t-değer sebep olablmetedr. Bu tabloda ula değşe t-değer statstsel olara alamsız çımata, faat SDK değer statstsel olara ço alamlı çımatadır. Dreçl bağlaşımda SDK değer ya da.5te büyü gözlemler ayırı gözlem olara taımlamatadır. Tablo : Ayırı gözlemle brlte bağlaşım souçları. R Düzeltlmş R Stadart Hata DW d Gözlem F Katsayılar Stadart Hata t-st. p-değer Kesşm E Tablo 3: Ayırı gözlem ula değşele temsl edldğ souçlar. R Düzeltlmş R Stadart Hata SDK Gözlem F Katsayılar Stadart Hata t-st. p-değer Kesşm

12 Kula Değ. T İst. le Ayırı Gözlemler Tespt Edlemez Tablo 4: Ayırı gözlem olmada bağlaşım souçları. R Düzeltlmş R Stadart Hata Gözlem 0 F Katsayılar Stadart Hata t-st. p-değer Kesşm Tablo 3 ve tablo 4 arşılaştırıldığıda, beledğ gb atsayılar ve bağlaşımı değşrlğ değşmemetedr. Kula değşel bağlaşımda beledğ gb her R değer ve F-değer de artmatadır. Katsayılar alamlı olmamalarıa rağme aaütle parametrelere ço yaı çımata ve aaütle parametres ç yapılaca ösav testler abul görmetedr. 4. SONUÇ Bu çalışma, urula bağlaşım model le ula değşe ve ayırı gözlem mevcudyetde, bağlaşım tahmler, değşrl, t-statstğ, belrll atsayısı R, F- statstğ hesaplamata ve teor olara ayırı gözlem tespt ç t-statstğ ullaılması durumuda bu yötem bazı durumlarda yetersz aldığı spatlamatadır. Bu çalışma bulgularıa göre, ula değşeler le ayırı gözlemler tespt edere dat etme geretğ ortaya çımatadır. Örele de gösterldğ gb hale sılıla yazıda ullaıla t- statstğ bu ouda yetersz alablmetedr. Çıa souçlarda date alıaca otalarda brs ula değşe ullamala, ula değşe temsl ettğ gözlem ver ümesde atmaı, bağlaşım atsayı tahm ve değşrl açısıda br farıı olmadığıdır. Faat, doğru model arayışıda R statstler celeere bu şlem yapılaca olursa ula değşel modeller R değerler daha fazla olacağı date alımalıdır. Kısaca ayırı gözlemler ula değşele modelde tutma modele atı yapmadığı halde bazı statstler yleştrmetedr. Bu sebeple ayırı gözlemler ve ula değşeler modelde çıarma daha blmsel olacatır.

13 Eoometr ve İstatst Sayı:5 0 Kula değşelerle ayırı değer tespt olay olmata ve ayı matıla şüphel gözlemler ç ullaıla Coo mesafes Coo, 985, DFFITS Bllgsley vd, 980, DFBETAS Bllgsley vd, 980 statstlerde daha olay hesaplaablmetedr. Faat bu tespt yapılıre bu çalışmada çıa souçlar date alımalıdır. Bua lavete, her ver ayırı gözlem tespt ç ayrı br rt t-değer tablosu hazırlaması geretğ çalışmada çıa başa souçlarda brdr. Br uyarı olara, ula değşe le ayırı gözlem tespt e olay dreçl bağlaşım yötem olmala brlte, bütü ayırı gözlemler ula değşeler le temsl edlmemes durumuda souçları güvelmez olacağı vurgulamalıdır. Souçlarda şüphe duyulması durumuda dreçl bağlaşım yötemler le verler ayırı gözlem ç taramalıdır. Ayırı gözlemler blmsel souç çıarmaya darbe vurmatadır, çüü ayırı gözlem mevcudyetde souçlar blmsel teoremler destelemeyeblmetedr. Bua arşı tedbr alımaması durumuda ösav aşamasıda bulua br ço teorem veya au, abul edlmede eleeblr. Bütü bu sebeplerde ötürü, blmsel ösavları ya da teoremler savuduğu frler dreçl bağlaşım sıamasıda geçmş verler le sıamadıça abul görmeler masız olacatır, çüü souçlar yaıltıcı olmatadır. AÇIKLAMA NOTLARI Bu çalışmada ullaıla eoometr termler Tür Dl Kurumu Eletro Eoometr Termler Sözlüğü de yararlaılara yazılmıştır. KAYNAKÇA Bllgsley, P., Belsley, D. A., Kuh, E., Welsch, R. E. 980 Regresso dagostcs: detfyg fluetal data ad sources of collearty. Wley Seres Probablty ad Mathematcal Statstcs; Wley, New Yor-Chchester-Brsbae. MR Coo, R. D Detecto of fluetal observato lear regresso. Techometrcs 9:5 8. MR Greee, W. H. 00. Ecoometrc Aalyss 5; Pretce Hall, NJ. Rousseeuw, P. J., ve Leroy, A. M Robust regresso ad outler detecto. Joh Wley & Sos, Ic., New Yor. MR

14 Kula Değ. T İst. le Ayırı Gözlemler Tespt Edlemez Rousseeuw, P. J., ve Va Aelst, S Postve-breadow robust methods computer vso. Computg Scece ad Statstcs 3: Studemud, A. H. 00. Usg Ecoometrcs: A Practcal Gude. Addso Wesley, Lodo. Zama, A., Rousseeuw, P. J., ve Orha, M. 00. Ecoometrc Applcatos of Hgh- Breadow Robust Regresso Techques. Ecoomcs Letters, 7: 8. 4