60. Logaritma ve Üs Alma

Transkript

1 60. Logartma ve Üs Alma L ogartmalar de flk yötemlerle ta mlaablr. Lselerde ta mlad bçm, x = log yy= 0 x, bu yollar br yada e kolay br yada da e zorudur. E kolay d r çükü do ruda uygulamaya yöelktr. E zorudur çükü ) 0, 0 2 gb say lar ta mlamada varsayar, 2) Her oztf y say s 0 gb br say ya eflt oldu uu ka tlamada varsayar. Logartmay ta mlama br baflka yolu bu otlarda görmeyece mz tegral kullamakt r. Bz burada logartmay erdeyse lselerde ta mlad bçmyle ta mlayaca z; k fark m z olacak (o kadarc k olsu!): ) 0 taba yere e taba kullaaca z, 2) Ka tlamam fl olguya baflvurmayaca z. Logartmay (ama log u de l l y), ex foksyouu ters olarak ta mlayaca z. Ama öce braz ex foksyouda sözedelm. 639

2 Logartma ve Üs Alma 60.. Ex Foksyou () Poztf br a say s ve br q kesrl say s ç, a q say s Ösav 4.7 de sora ta mlam flt k ve ay sayfadak Teorem 8 de a q say s özellkler ka tlam flt k. (2) Bölüm 49 da oztf br a say s ve br r gerçel say s ç, a r say s, r ye yak saya herhag br (q ) kesrl say dzs ç, a r = lm a q olarak ta mlam flt k. Teorem 49.4, r a r foksyouu de ye gde sürekl br foksyo oldu uu söylüyor. (3) ex x br ser lmt olarak ta mlam flt k ve ex e e ad vermfltk. Souç 22.5 te her q kesrl say s ç, ex q = e q efltl ka tlam flt k. (4) Teorem 43A. de (ve Teorem 59.6 da) ex sürekl br foksyo oldu uu ka tlam flt k. (5) Teorem 49.2 de de ye gde ve üzere ay de- erler vere k foksyou eflt olduklar ka tlam flt k. fmd bular kullaarak afla dak teorem ka tlayablrz: Teorem 60.. Her r gerçel say s ç ex r = e r Ka t: Yukardak 2 ve 4 say l otlara göre, de ye gde ex foksyouyla re r foksyolar sürekldr ve 3 say l ota göre kesrl say lar üzere ay de erler al rlar. 5 say l ota göre bu foksyolar eflttrler Logartma Teorem 60.2 ve Ta m [Logartma]. ex : >0 foksyou sürekl, d flbükey ve arta br efllemedr. ex foksyou ters olarak ta mlaa foksyou sürekl, çbükey ve arta br efllemedr. Do al logartma l olarak yaz l r ve lm x l x = ve lm x0 l x = efltlkler sa lar.

3 60. Logartma ve Üs Alma 64 Ka t: ex sürekl oldu uu Teorem 43. de ka tlam flt k. x > 0 ke ex x x x x 0! oldu uda, Teorem 5.3 e göre, lm x ex x = Ayr ca, ex(x) = (ex x) /x oldu uda (bkz. Souç 22.) lm x ex x = 0 Arade er Teorem de dolay ex >0 kümesdek tüm de erler al r. Dolay s yla ex >0 foksyou örtedr. Arta oldu uu Souç 22.3 te ka tlam flt k. Demek k ex : >0 foksyou br efllemedr. ex foksyouu terse l dyelm: l : >0 ve l y = xex x = y Arta br foksyou ters de arta oldu uda, l arta br foksyodur. ex d flbükey oldu uu Teorem 59.6 da ka tlam flt k. Demek k Teorem 59.7 ye göre l çbükey br foksyodur. Ayr ca, lm x ex x = oldu uda lm x l x = olur ve lm x ex x = 0 oldu uda, lm x0 l x = l foksyouu graf afla dak gbdr. (Brbr ters ola foksyolar graf y = x do rusua göre brbr smetr drler.)

4 Logartma ve Üs Alma y = ex x = e x e y = x y = l x e Logartma Özellkler Logartma brkaç özell ka tlayal m. Elbette ka tlar m zda logartma ta m a,: l y = xex x = y formülüe, ya ex foksyouu özellklere baflvuraca z. ex 0 = oldu uda l = 0 ex = e oldu uda l e = ex foksyou 0 da büyük say larda de büyük ve 0 da küçük say larda de küçük de erler ald da, l y 0 y öermes geçerldr. l y = x ve l y = x olsu. (Burada y ve y oztf olmak zorudalar, yoksa efltlkler alams z ) Demek k, ex x = y ve ex x = y. Bu k efltl taraf tarafa çaral m: (ex x)(ex x ) = yy elde ederz. Öte yada (ex x)(ex x ) = ex(x + x ). Demek k, ex(x + x ) = yy.

5 60. Logartma ve Üs Alma 643 Logartma ta m da dolay, l yy = x + x = l y + l y efltl geçerldr. Br baflka deyflle, as l ex foksyou tolamay çarmaya döüfltürüyorsa, ex ters ola l foksyou da çarmay tolamaya döüfltürür. E er y ve y egatf de erler alablrse, yukardak efltl, l yy = l y + l y olarak yazmak gerekr. l y = x ve r br gerçel say olsu. Teorem 60.2 de dolay e x = ex x = y. ve gee Teorem 60.2 de dolay ex xr = e xr = (e x ) r = y r (bkz. Souç 49.5.v). Demek k l y r = xr = rx = rl y r = ç l(/y) = l y elde edlr. E er y egatf de erler almas a z verrsek, yukardak efltl, l y r = rl y olarak yazmak gerekr. Öre, y egatf olablece göz öüde tutarak, l y 2 = 2l y yazmal. ex ve l foksyolar brbrler ters olduklar da, her y > 0 ç e l y = ex l y = y ve her x ç l e x = l ex x = x Bulduklar m z özetleyelm:

6 Logartma ve Üs Alma Teorem Her x, y >0 ve her r ç,. l = 0.. l e =.. l y 0 y. v. l xy = l x + l y. v. l y r = r l y ve l e r = r. v. l(/y) = l y. v. e l y = y Üs Alma Teorem E er a > 0 se r a r kural yla ta mlam fl de >0 kümese gde foksyo d flbükey br efllemedr. E er a > se foksyo artad r, yoksa azalad r. Ka t: r herhag br gerçel say olsu. O zama a r = v e l a r = v e r l a = ex(r l a) Buda da r a r foksyouu r r l a ve ex foksyolar bleflkes oldu u alafl l r. Bu k foksyo da sürekl olduklar da, r a r foksyou sürekldr. Ayr ca ex foksyou arta oldu uda (ya s ralamay korudu uda), r a r foksyouu arta ya da azala olmas r r l a foksyouu arta ya da azala olmas yla do ruda lflkldr, k bu da l a oztf ya da egatfl yle, ya a de büyük ya da küçük olmas yla lgldr. Bölüm 59.6 da, ƒ(x) foksyouyla ƒ(ax + b) foksyouu ç/d flbükeyl ay oldu uu söylemfltk (ka t da kolayd r), dolay s yla r a r foksyou aye ex foksyou gb d flbükeydr.

7 60. Logartma ve Üs Alma 645 Çefltl a > say lar ç r a r foksyolar grafkler afla da. y = c x y = b x c b a y = a x y = e y = /a x y = /b x Baflka Tabalarda Logartma l foksyouu yukarda l y = xe x = y formülüyle ta mlam flt k, ya l foksyouu r e r foksyouu ters olarak ta mlam flt. E er e yere br baflka a oztf say s al rsak e olur? Bfleyckler olmaz, sadece logartmay br baflka tabada ta mlam fl oluruz. log a : >0 foksyou de >0 kümese gde r a r kural yla ta mlam fl foksyou ters olsu. Demek k log a y = xa x = y ve her x > 0 ç log a a x = x ve her y ç a log a y = y.

8 Logartma ve Üs Alma Aye l ç ka tlad m z gb, log a y r = rlog a y Bu arada log e = l efltl e dkkatz çekerz. log a foksyouu uzu uzu çal flmaya gerek yok, çükü log a foksyouu log b csde yazablrz, yeter k a ve b olsu: a log a y = y efltl her k taraf a log b foksyouu uygularsak, log b ( a log a y ) = y, ya, log a y log b a = log b y, buluruz. Demek k logb y loga y. logb a E er b = e al rsak, log l a y y la efltl buluruz. So olarak, Teorem 60.4 tek, a 0 ve xç, a x = ex(x l a) efltl e dkkatz çekerm. Her k tarafa da l uygularsak buu do rulu u heme alafl l r. Al flt rmalar *. ƒ(x) = x lx foksyouu >0 üzere d flbükey oldu- uu ka tlay. 2. Br I aral da ta mlam fl ve oztf de erler ala br ƒ foksyou alal m. E er log ƒ(x) foksyou d flbükeyse, ƒ ye logartmk d flbükey der. Logartmk d flbükey foksyolar d flbükey olduklar ka tlay. ƒ(x) = x 2 foksyouu d flbükey olmas a karfl logartmk d flbükey olmad göster.

9 6. Efltszlkler Geçd Okur herhalde efltszlkler aalzdek öem kavram flt r. Bu bölümde aalzde öe ç ka brkaç klask efltszl ka tlayaca z. Teorem 6. [Jese Efltszl ]. I br aral k ve ƒ : I d flbükey br foksyo olsu, o zama her x,..., x I ve her t,..., t > 0 say lar ç t x I t olur ve t x t x ( ) t t efltszl geçerldr. Not. Efltszlk s k s k t + + t = durumuda fade edlr. Ntekm efltszlkte t yere,

10 Efltszlkler Geçd t al rsak o zama daha bast görüümlü ola t t x t x ( ) formülüü elde ederz. Not 2. Formüldek t say lar a, x ve ƒ(x ) say lar a rl klar dyeblrz; o zama tolamlar a rl kl ortalamalar olarak alg laablr, ortalama al yoruz ama baz say lara d erlerde daha fazla öem veryoruz alam da. Teoreme göre, e er ƒ d flbükeyse, say lar a rl kl ortalamalar ƒ-mges, ƒ-mgeler a rl kl ortalamas da küçükeflttr. Not 3. E er foksyo çbükeyse, efltszlkler ters çevrlr elbet. Teorem 6. Ka t : Not dek de flkl yaarak t ler tolam oldu uu varsayablrz. m{x } t x + + t x max{x } oldu uda t x + + t x I Efltszl üzerde tümevar mla ka tlayaca z. = durumuda her k taraf brbre eflttr. = 2 durumu se aye d flbükeyl ta m da ç - kar. fmd 3 olsu ve efltszl ç do ru oldu uu varsayal m. t + + t = t ve t = s olsu. O zama t + s = olur elbette. Hesalara bafllayal m. t t x t t x sx t t t x s x t t ( x s x ) ( ) ( ) t t x s x t ( ) ( ) ( x ).

11 6. Efltszlkler Geçd 649 E er her =,..., ç t = / al rsak, formülüü elde ederz. fmd ƒ(x) = l x olarak alal m, ve x say lar (zorulu olarak) oztf alal m. Logartma çbükey oldu uu blyoruz. Dolay s yla, Logartma (ya da ex) arta oldu uda, buda, x x xx elde ederz, k bu da meflhur artmetk-geometrk ortalama efltszl dr. (Buu daha bast ka tlar vard r.) Teorem 6.2 [Artmetk-Geometrk Ortalama Efltszl ]. E er x,..., x say lar oztfse x ( x ) l l( ) l( ) l ( ) / x x x x x x x x xx Ka tlayaca m z br sorak efltszlk Youg efltszl dye blr. Teorem 6.3 [Youg Efltszl ] a ve b 0 olsu. ve q say lar oztf olsular ve q efltszl sa las lar. O zama q a b ab q

12 Efltszlkler Geçd efltszl sa la r. Ayr ca efltlk sadece ve sadece a = b q ke geçerldr. Ka t: fl üf oktas, q la lb lab la lb q efltl. l foksyou çbükeyl de, e er t ve s say lar t + s = efltl sa l yorlarsa ve, > 0 se l(t + s) t l + sl elde ederz. Ayr ca, l kesk çbükey oldu uda, efltlk acak ve acak = se geçerldr. ve yere s ras yla a ve b q koyarsak, l(ta + sb q ) t la + slb q elde ederz, ve efltlk acak ve acak a = b q se geçerldr. fmd de t = / ve s = /q alal m. lk buldu umuz efltlkte devam edelm: q la lb q a b lab la lb l q q elde ederz. l arta oldu uda sted mz efltszl elde ederz. Ayr ca l kesk arta oldu uda, efltlk acak ve acak a = b q se geçerldr. Not. Teoremdek ve q say lar mecbure de büyük olduklar gözlemley. Not 2. = q = 2 lgç br özel haldr. Al flt rmalar. = q = 2 ç Teorem 6. e dyor? 2. Her fley Teorem 6.3 tek gb olsu, br de ayr ca > 0 olsu. O zama, q a b ab q / q

13 6. Efltszlkler Geçd 65 efltszl ka tlay. 3. Teorem 6.3 ü a, b ve, q say lar ç de l de, a, a 2,..., a 0 say lar ve 2 efltl sa laya, 2,..., > 0 say lar ç ka tlay. Teorem 6.4 [Hölder Efltszl ]. x, x 2,..., x ve y, y 2,..., y oztf gerçel say lar olsu. ve q say lar oztf olsular ve q efltszl sa las lar. O zama x y x y q q / / Ka t: x ve y yere s ras yla, x y ve x / y / q yazarak (buras öeml!) x y q varsay m yaablrz. Bu aflamada, art k, efltszl ka tlamal y z. Youg efltszl e göre, her =, 2,..., ç Bu efltszlkler taraf tarafa tolarsak, x y q x y xy q

14 Efltszlkler Geçd q x y xy q q x y q q buluruz, k bu da sted mz efltszlktr. Meflhur Cauchy-Schwarz Efltszl, Hölder efltszl = q = 2 durumudur: x, x 2,..., x ve y, y 2,..., y gerçel say larsa 2 x y x y 2 2. Buu güzel br ka t vard r, vermede geçemeyece z. z br blmeye olsu ve kc derecede ola flu oloma bakal m: (x z + y ) (x z + y ) 2. Bu olomu e fazla tek br kökü olablece de (o da y /x =... = y /x se), olomu dskrmat 0 da küçükeflt olmal d r. Bu olom 2 x 2 2 z 2 x y z y bçmde yaz lablr. Bu olomu dskrmat dörtte br, 2 x y x y 2 2 dr ve 0 da küçükeflt olmal d r. Teorem 6.5 [Mkowsk Efltszl ]. x, x 2,..., x, y, y 2,..., y 0 ve olsu. O zama, / x y x y / /

15 Ka t: q say s /q + / = olacak fleklde ta mlayal m ve braz öcek Hölder efltszl do ru yerde (üçücü sat rda dördücü sat ra geçerke, tam k kez) kullaal m: E sa dak (e afla dak) term e sola (e yukar ya) geçrrsek, sted mz elde ederz. E er = 2 al rsak, Mkowsk efltszl boyutlu uzay da üçge efltszl olarak blr: Br üçge k kear uzuluklar tolam üçücüsüü uzulu uda küçük olamaz. Mkowsk efltszl 0 le aras dak hçbr say s ç geçerl de ldr. (Okura al flt rma). Souç < ve x, y 0 olsu. O zama (x + y) x + y Ka t: z = y/x alarak ( + z) + z efltszl ka tlamak yeterl. z = t / ve r = / > alarak, ( + t r ) /r + t efltszl- ka tlamak yeterl. Teorem 6.5 te x =, y = 0, x 2 = 0, y 2 = t al rsak sted mz elde ederz. 6. Efltszlkler Geçd 653 x y x y x y x x y y x y x x y y x y x q q y x y x y x y ( )

16 Efltszlkler Geçd Teorem 6.7 [Mahler Efltszl ]. x, x 2,..., x ve y, y 2,..., y oztf gerçel say lar olsu. O zama, Ka t: Artmetk-geometrk ortalama efltszl de dolay ve Bu ks tolarsak, elde ederz. k k k k k k ( ) / x y x / y / / x x y / y x y x x y Teorem 6.8. E er 0 < x < ve 0 < r s se, ( x r ) /r ( x s ) /s Ka t: x x /r sürekl br foksyodur (Teorem 59.5 ve 59.9). Dolay s yla efltl x yere x /r ç ka tlamak yeterldr. O zama efltszlk ( x) /r ( x s/r ) /s efltszl e döüflür. u = s/r dersek, ( x) u x u efltszl ka tlamam z gerekt görürüz. Gee üs alma foksyouu sürekll de ve kesrl say lar yo ulu uda dolay, bu so efltszl kesrl u say lar ç ka tlamak yeterl. q > 0 do al say lar ç u = q/ olsu. ( x) q/ x q/ k x x y y x y / / y x y

17 6. Efltszlkler Geçd 655 efltszl ka tlamal y z. x yere x koyarsak, ( x ) q ( x q ) efltszl ka tlamam z gerekt görürüz. Buu, y sabtley q üzere tümevar mla ka tlayaca z. q = ç soru yok. Tümevar m ad m a bafllamada öce, q x x x q x efltszl de, aydalar efltleyerek ( x q ) ( x ) ( x q+ ) efltszl elde edelm. fmd hem buu hem de tümevar m varsay m kullaarak, ( x ) q+ = ( x ) q ( x ) ( x q ) ( x ) ( x q+ ) Teorem ka tlam flt r.