BİLGİSAYAR GRAFİKLERİNDE YENİ BİR IŞIKLANDIRMA MODELİ

Transkript

1 EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (YÜKSEK LİSANS TEZİ) BİLGİSAYAR GRAFİKLERİNDE YENİ BİR IŞIKLANDIRMA MODELİ Muat KURT Uluslaaası Blgsaya Anablm Dalı Blm Dalı Kodu : Sunuş Tah : Tez Danışmanı : Pof. D. Aydın ÖZTÜRK BORNOVA - İZMİR

2

3 III Muat KURT taafından YÜKSEK LİSANS TEZİ olaak sunulan Blgsaya Gafklende Yen B Işıklandıma Model başlıklı bu çalışma E.Ü. Fen Blmle Ensttüsü Eğtm ve Öğetm Yöneges nn lgl hükümle uyaınca taafımızdan değelendleek savunmaya değe bulunmuş ve tahnde yapılan tez savunma sınavında aday oyblğ/oyçokluğu le başaılı bulunmuştu. Jü Üyele: İmza: Jü Başkanı : Pof. D. Aydın Öztük... Rapotö Üye: Yd. Doç. D. Cengz Güngö... Üye : Pof. D. Seda Koukoğlu...

4

5 V ÖZET BİLGİSAYAR GRAFİKLERİNDE YENİ BİR IŞIKLANDIRMA MODELİ KURT, Muat Yüksek Lsans Tez, Uluslaaası Blgsaya Ensttüsü Tez Yönetcs: Pof. D. Aydın ÖZTÜRK Ağustos 007, 1 sayfa Blgsaya gafklende ve blgsaya vzyonunda ışığın yüzey le etkleşmnn modellenmesne htyaç duyulmaktadı. Bu amaçla da İk Yönlü Yansıma Dağılım Fonksyonlaı (BRDFs) kullanılmaktadı. Bu tez pojesnde; öncelkle İk Yönlü Yansıma Dağılım Fonksyonu (BRDF) tem ele alınmış, daha sona en popüle analtk BRDF modelle ncelenmşt. Daha sona, bu modellen paametelenn tahmnlenmes ncelenmşt. Bu tezde; yen b BRDF model sunulmuştu. Bu yen BRDF modelnn bütün paametele doğusaldı ve temel bleşenle cnsnden sunulmaktadı. Bu model dffuse ve palak malzemele çn uygundu. Yen BRDF model en popüle analtk BRDF modelle le faklı ölçülmüş BRDF ve setle üzende kıyaslanmıştı. Ayıca, yen BRDF modelnn paametelenn tahmnnde yen b yöntem sunulmuştu. Bu yöntem ölçülmüş BRDF vesnn çndek güültüyü elmne ede. Bu yöntem ynelemel b yöntemd ve he b BRDF vesne ağılıkla veeek vey en y şeklde temsl etmeye dayanı. Anahta sözcükle: BRDF, analtk BRDF model, doğusal BRDF model, temel bleşenle.

6

7 VII ABSTRACT A NEW ILLUMINATION MODEL IN COMPUTER GRAPHICS KURT, Muat MSc n Intenatonal Compute Insttute Supevso: Pof. D. Aydın ÖZTÜRK August 007, 1 pages It s needed to model that descbes the nteactons between lght and suface n compute gaphcs and compute vson. Bdectonal Reflectance Dstbuton Functons (BRDFs) have been used fo ths pupose. In ths thess poject; fst, Bdectonal Reflectance Dstbuton Functon (BRDF) tem has been handled, then most popula analytcal BRDF models have been nvestgated. Afte that, paametes estmatons of these models have been nvestgated. In ths thess; a new BRDF model has been poposed. All of the paametees of ths new BRDF model ae lnea and they ae epesented n pncpal components. Ths model s fo both dffuse and glossy mateals. The new BRDF model has been compaed wth most popula analytcal BRDF models on dffeent measued BRDF data sets. A new method has also been poposed fo estmaton of paametes of the new BRDF model. Ths method elmnates nose whch has been n measued BRDF data. Ths method s an teatve method and gves weghts to each BRDF data to epesent t n most sutable way. Keywods: BRDF, analytcal BRDF model, lnea BRDF model, pncpal components.

8

9 IX TEŞEKKÜR Öncelkle bu tez konusu üzende bana çalışma mkânı sunan tez danışmanım Pof. D. Aydın Öztük e çalışma süesnce deneym, blgs ve öneleyle aaştıma ve gelştmey yönlendmes ve sağladığı kaynaklala destek olmasından dolayı teşekküü b boç blm. Ayıca ölçümlemş olduklaı BRDF ve setn bu çalışmada kullanılmasına zn veen Wojcech Matusk et al. (003) a teşekkü edem. Bu çalışmamı dama yanımda olan ve manev desteklen esgemeyen aleme; annem ve baba ma adıyoum.

10

11 XI İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET..V ABSTRACT... VII TEŞEKKÜR... IX İÇİNDEKİLER... XI İÇİNDEKİLER (devam)... XII ŞEKİLLER DİZİNİ... XIV ŞEKİLLER DİZİNİ (devam)... XV ÇİZELGELER DİZİNİ... XVI KISALTMALAR DİZİNİ... XVII 1 GİRİŞ... 1 BRDF İzotopk ve Anzotopk BRDF BRDF n Özellkle Negatf Olmama (Non-negatvty) Enejnn Kounumu (Enegy Consevaton) Kaşılıklı Olma (Recpocty) ANALİTİK BRDF MODELLERİ Olgusal BRDF Modelle Lambetan BRDF model Phong BRDF model Blnn-Phong BRDF model... 16

12 XII İÇİNDEKİLER (devam) Sayfa Wad BRDF model Wad-Due BRDF model Lafotune BRDF model Ashkhmn-Shley BRDF model Koendenk BRDF model Fzksel Tabanlı BRDF Modelle Oen-Naya BRDF model Toance-Spaow BRDF model Cook-Toance BRDF model RENDERING İnteaktf Rendeng Fzksel Tabanlı Rendeng Olasılık tanımlaı Monte Calo ntegasyonu Pbt MODEL PARAMETRELERİNİN TAHMİN EDİLMESİ En Küçük Kaele Metodu Doğusal Olmayan Paametelen Tahmn Objektf Fonksyonun Seçm Sağlam En Küçük Kaele Metodu ANA BİLEŞENLER ANALİZİ YENİ BİR IŞIKLANDIRMA MODELİ KULLANILAN BRDF VERİ SETLERİ KARŞILAŞTIRMALAR VE SONUÇLAR... 81

13 XIII İÇİNDEKİLER (devam) Sayfa 10 SONUÇ KAYNAKLAR DİZİNİ... 9 KAYNAKLAR DİZİNİ (devam edyo) EKLER Ek 1 CUReT Ve Setndek Ölçümlenen Malzemele Ek Analtk BRDF Modellenn B Aada Göstem Ek 3 Bazı Analtk BRDF Modellenn Tahmn Edlen Paametele Ek 4 Tükçe-İnglzce Temle Sözlüğü ÖZGEÇMİŞ... 1

14 XIV ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl Sayfa.1 BRDF, f, gden yönündek ışımanın L(θ,φ ) gelen yönündek palamaya E(θ,φ ) oanı olaak tanımlanı (Matusk den 003) İk enkl ışık kaynağı ve b beyaz ışık kaynağı le ışıklandıılan göüntü. Soldak küe ölçülmüş boya BRDF lenn Lambetan BRDF model le sunuluşuna sahp ken, sağdak küe Lafotune BRDF model le sunulmaktadı. Q-Panel se ölçülmüş çelk BRDF nn Lafotune BRDF model le sunuluşunu göstemekted (Lafotune et al. dan 1997) (a) Geçek slndk kl vazo, (b) Aynı mateyaln Lambetan BRDF model le sunumu, (c) Aynı mateyaln Oen-Naya BRDF model le sunumu. He üç duumda da ışıklandıma bakış vektöü yönünden yapılmaktadı (Oen and Naya dan 1994) (a) m=0. çn Beckmann dağılımı, (b) m=0. çn Gaussan dağılımı, (c) m=0.6 çn Beckmann dağılımı, (d) m=0.6 çn Gaussan dağılımı (Cook and Toance dan 1981) Lawence et al. (004) un çalışmasında kullandığı göüntünün PBRT kullanılaak yenden elde edlmş göüntüsü En küçük kaele yöntem le sağlam en küçük kaele yöntemnn kıyaslaması Paametele Conell mstk lakeden tahmn edlmş zotopk polnom modeln k temel bleşennn b fonksyonu olaak sunumu CUReT ve setnde ölçümlede kullanılan 61 yüzey (Dana et al. dan 1996) Tmsah lakenn göünümü (Conell den 007)... 76

15 XV ŞEKİLLER DİZİNİ (devam) Şekl Sayfa 8.3 Matusk et al. ın ve setndek ölçümü yapılan 100 mateyaln esm (Matusk den 003) İk faklı koodnat sstem (Matusk den 003) Değşen polnom deecele le sunulan vazola Dokuz faklı analtk BRDF model le sunulan küele Soğukkanlı dagonun sekz adet faklı analtk BRDF model le sunumu Sekz analtk BRDF modelnn CUReT ve setndek 5 zotopk mateyalde vedğ hatala İk doğusal analtk BRDF modelnn CUReT ve setndek 5 zotopk mateyalde vedğ hatala Polnom modeln kaşılıklı olma pensbn sağlaması... 88

16 XVI ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge Sayfa 4.1 obusft fonksyonunda kullanılablen ağılık fonksyonlaı ve aldıklaı paametele Polnom modelnn değşen polnom deecelene göe paamete adetle ve hata değele Dokuz adet analtk BRDF modelnn CUReT (007) ve setne at beş adet mateyal üzendek paametelenn tahmn sonucu oluşan hatalaı Sekz adet analtk BRDF modelnn Matusk et al. (003) un ve setne at beş adet mateyal üzendek paametelenn tahmn sonucu oluşan hatalaı ve PSNR değele Sekz adet analtk BRDF modelnn otalama paamete tahmn zamanlaı... 88

17 XVII KISALTMALAR DİZİNİ API BRDF BRDFs BSSRDF CDF CUReT GAF MIS MSE PBRT PCA PDF PSNR QP RMS SQP : Applcaton Pogammng Inteface : Bdectonal Reflectance Dstbuton Functon : Bdectonal Reflectance Dstbuton Functons : Bdectonal Scatteng Suface Reflectance Dstbuton Functon : Cumulatve Dstbuton Functon : Columba-Utecht Reflectance and Textue Database : Geometcal Attenuaton Facto : Multple Impotance Samplng : Mean Squaed Eo : Physcally Based Rendeng Tool : Pncpal Components Analyss : Pobablty Densty Functon : Peak Sgnal-to-Nose Rato : Quadatc Pogammng : Root Mean Squae : Sequental Quadatc Pogammng

18 XVIII

19 1 1 GİRİŞ Blgsaya gafklende ve blgsaya vzyonunda ışık ve mateyallen bbleyle etkleşmn (nteacton) ele alan kapsamlı modelle tanımlamak öneml b poblemd. Kamaşık yüzeylen göünüşünü modelleyeblmek çn, bu yüzeyleden ışığın yansımasının tam olaak tanımlanması geek. Bu amaçla, İk Yönlü Yansıma Dağılım Fonksyonu (Bdectonal Reflectance Dstbuton Functon) (Ncodemus et al., 1977) yüzeyn göünüşünü modellemek çn kullanılmaktadı. Teok olaak BRDF; gelen ışık vektöü, gden ışık (bakış) vektöü, dalga boyu ve yüzey pozsyonu gb bçok faktöe bağlıdı. BRDF n yüzeyn pozsyonuna göe değşmne pozsyonel vayans den. Çoğunlukla pozsyonel vayans BRDF tanımının çne dahl edlmez ve BRDF gelen ışık vektöü, gden bakış vektöü ve dalga boyunun b fonksyonu olaak ele alını. Böyle BRDF lee pozsyon bağımsız BRDF le den. Pozsyondan bağımsız olma ancak homojen mateyalle çn geçeld. Pozsyonel vayansı dahl etmenn b yolu se detay dokulaının kullanımıdı. Ayıca, genellkle dalga boyu da hesap çne alınmaz. Yene, BRDF değe he b enk kanalı (Kımızı, Yeşl, Mav) veya he dalga boyu çn ayı ayı hesaplanı. Sonuç olaak BRDF döt değşkenl b fonksyon olaak düşünülebl. Genellkle BRDF le analtk fonksyonla kullanılaak modellen. Bu analtk BRDF modelle fzksel tabanlı analtk yansıma modelle ve olgusal (phonomenologcal) analtk yansıma modelle olaak sınıflanablle. Analtk BRDF modellenn bçoğu teode ölçüleblen mateyal paametelene sahpt. Ancak bu patkte geçekleştmes oldukça zodu. Ayıca analtk modellen b çoğu doğusal olmayan paametelee sahpt ve bu paametele bellemenn blnen bçok

20 zoluklaı vadı. Model paametelen doğudan ölçmeye b altenatf, gelen ve gden (bakış) açılaının faklı kombnasyonlaı le mateyalle üzenden BRDF ves ölçümlemek ve daha sona analtk model bu veye çeştl optmzasyon teknkle le uydumaktı. Ancak bu ölçme ve uyduma şlemlende bçok hata vadı. Bncs, analtk modellen hemen hemen heps doğusal olmayan paametelee sahpt. Doğusal olmayan paametelen tahmn bazı optmzasyon algotmalaının uygulanmasını geekt. İkncs, kullanılan lop (lobe) adedne göe, tahmn edlmes geeken doğusal olmayan paamete aded oldukça fazla olabl ve optmzasyon sonuçlaı doğusal olmayan paametelen başlangıç değele le oldukça yakından lşkld. Bu duumda global mnmumun bulunması oldukça zolaşı. Hatta needeyse mkânsızlaşı. Öneğn Lafotune modelnde (Lafotune et al., 1997) zotopk duum çn tahmn edlmes geeken doğusal olmayan paamete aded b lop çn 3, k lop çn 6 dı. Üçüncüsü, büyük BRDF ve setle kullanıldığında, doğusal olmayan paametelen tahmn edlme malyet çok yüksel. Dödüncüsü, doğusal olmayan paametelen tahmnlenmes çn geekl olan objektf fonksyonun seçm çok net değld. Sıadan en küçük kaele yöntem he önek noktasındak vayansın aynı olduğunu kabul ede. Ancak BRDF vesndek vayansın homojen olmadığı blnen b şeyd ve bu yüzden bazı ağılıklandıma fonksyonlaı vayansı stablze etmek çn önelmşt. Bunun yanında ökld mesafesne dayanan metk y b metk değld, çünkü bu metk sstem specula pkle geeğnden fazla vugula ken, off-specula yansıma özellklen se yok faz ede (Matusk, 003). Son olaak, doğusal olmayan paametelee sahp analtk modellede, global mnmumu elde edeblmek çn doğusal olmayan paametelee faklı başlangıç değele veleek bden fazla kez tahmnleme yapılması geekebl. Çünkü

21 3 başlangıç değelenn kaltes modeln nha paamete değelenn üzende büyük etkye sahpt. B dğe BRDF modelleme yöntem se, çok sık b şeklde BRDF ves ölçümlemek, bunlaı daha sona lstelemek ve bu lstelenmş ölçümlemele BDRF olaak kullanmaktı. Bu yöntem daha önce analtk modelle çn sayılmış olan bçok dezavantajı yok ede. BRDF le ölçümlemek çn kullanılan geeç se gonoeflectomete olaak smlendl. Bu geeç b fotomete ve b ışık kaynağından meydana gelmşt ve blgsaya kontolü altında ölçümleme geçekleş. Tasaım olaak bu geeçle, hehang b zamanda yalnızca tek b ışıma ölçümlemes geçekleştebl k bu oldukça zaman hacayıcı b duum meydana get. Bu duum daha sona gelştlen dğe yöntemle le hehang b zamanda daha fazla ölçüm yapılacak hale getlmşt. Genel olaak bu BRDF modelleme yöntemne de bakıldığında bazı dezavantajlaının olduğu göülmekted. Bncs, bu yöntem analtk modellee göe daha çok depolama alanı geekt. İkncs, ölçümlemenn bell b sstematk çnde yapılma zounluluğu vadı. Yan, ölçümlemenn lsteleneblmes çn bell sabt aalıklala ölçümlenmş BRDF vesne htyaç vadı. Bu duuma analtk modellede htyaç duyulmaz. Bu tez çalışmasında, bütün bu duumla göz önünde tutulaak altenatf b BRDF model sunulmuştu. Önelen BRDF model analtkt. Doğusal paametelee sahpt. Dolayısıyla hem ölçülmüş BRDF vesnn lstelenmesne dayanan modellen sahp olduğu dezavantajlaa hem doğusal olmayan paametelee sahp analtk BRDF modellenn sahp olduğu dezavantajlaa sahp değld. Bu tez kapsamında önelen yen analtk BRDF modelnde öncelkle döt boyutlu BRDF ves yen b dk koodnat sstem çnde sunulmuştu. Bu dk koodnat sstemne tansfomasyonun

22 4 sağlanablmes çn temel bleşenle analz (PCA) kullanılmıştı. Daha sona bu dk koodnat sstem çndek değşkenle hesaba alınaak polnom egesyon modelle kullanılıp BRDF modellemes sağlanmıştı. Sonuç model olgusaldı, doğusaldı, hem zotopk hem anzotopk mateyalle çn kullanılabl. Yöntem özellkle dffuse ve palak mateyalle çn uygundu. Ayıca yöntem hem bastt, hem hesaplamsal olaak etknd. Çeştl BRDF ve setle üzende denenen bu yöntemn y sonuçla vedğ gözlemlenmşt. Bu tez çalışmasında ayıca mevcut model uyduma şlemle ve objektf fonksyonlaına altenatf başka b objektf fonksyon önelmşt. Mevcut yöntemle genel olaak BRDF vesn kosnüs le ağılıklandımaktadıla. Bzm önedğmz yöntem se sağlam (obust) en küçük kaele yöntemn kullanmaktadı ve BRDF vesn ynelemel b posedü le bsquae ağılıkla le ağılıklandımaktadı. Tez çalışması boyunca, önelen yen doğusal modeln paametele bu yöntem le elde edlmşt. Tezn ge kalan kısmı şu şeklde oganze edlmşt: İknc bölümde, BRDF temnn ayıntılı tanımına ye velmşt. Bu ayıntılı tanım çnde BRDF n bm, BRDF n özellkle, zotopk ve anzotopk BRDF len açıklanması, ışınölçüm gb konula ele alınmaktadı. Üçüncü bölümde, en popüle olaak kabul göen analtk BRDF modelle ncelenmşt. Bu bölümde modellen fomülle, ayıntılı tanımlamalaı ve hang BRDF sınıfının çnde ye aldıklaı gb konula ele alınmaktadı. Bölüm döt, Monte Calo ntegasyonu üzene açıklamalaı ve modellen uygulanmasında kullanılan Physcally Based Rendeng Tool (PBRT) üzene ncelemele çemekted. Beşnc bölümde, analtk modellen paametelenn tahmnlemes ve kullanılan objektf fonksyonla açıklanmaktadı. Doğusal olmayan paametelen nasıl tahmnlendğ, en küçük kaele yöntem ve kullanılan

23 5 ağılıklandıma yöntemle bu kısımda anlatılmaktadı. Altıncı bölümde, ana bleşen yaklaşımı ele alınmıştı. Bu bölümde tez kapsamı çnde önelen yen doğusal modeln bleşenlenden b olan ana bleşenle analz ayıntılı olaak sunulmaktadı. Yednc bölümde, tez kapsamı çnde önelen yen BRDF modelnn ayıntılı açıklaması bulunmaktadı. Sekznc bölümde, tez kapsamında kullanılan BRDF ve setle ncelenmekted. Dokuzuncu bölümde se, tez kapsamı çnde önelen doğusal paametelee sahp yen analtk model le lgl sonuçla ve dğe analtk modelle le kıyaslamala sunulmuştu. Onuncu bölümde, sonuç ve leye dönük çalışmala ele alınmıştı. Bu bölümü kaynakla dzn ve ekle takp etmekted.

24 6 BRDF Bu bölümde, öncelkle BRDF kavamını daha y kavayablmek çn bazı tanımlamalaa ye velmşt. Buadak tanımlamala (Ncodemus et al., 1977), (Pha and Humpheys, 004), ve (Matusk, 003) de ye alan tanımlamalaın ışığında sunulmaktadı. Işınölçüm (adomety), ışık yayılımı ve yansımasının tanımlanması çn temel matematksel geeçle ve tanımlamala çe. Bu geeçle ve tanımlamala endeng algotmalaının temeln oluştuula. Dolayısıyla, bu bölümde en öneml adometc büyüklükle tanımlanmaktadı. Bütün adometc ncelkle dalga boyu bağımlıdı. Ancak tanımlada bu vugulanmamıştı. Radometc büyüklükleden b tanes Radyasyon Akışdı (Radaton Flux, Radant Flux veya Electomagnetc Flux). Bm zamanda b yüzeyden veya b bölgeden geçen toplam enejye eştt. Bm Joules/second (J/s) veya en çok blnen halyle Watt (W) dı. Ф le sembolze edl. Fomülze edlse; dq Φ = (.1) dt Buada Q b gup fotonun enejsn, t se zamanı smgele. Hehang b ışık kaynağından çıkan toplam yayılım genellkle adyasyon akışı tem le fade edl. Işıma (adance) se dğe b adometc büyüklüktü ve bu büyüklükle çndek en önemlsd. Çünkü endeng algotmalaında en çok o kullanılı. B öneml neden de; bütün dğe adometc büyüklükle onun vasıtasıyla elde edlebl. Bu şlem sadece alan veya yönle boyunca ışımanın ntegalnn alınmasıyla olu. Işıma bm zdüşüülen alandak akış (flux) yoğunluğunun bm sold angle dak

25 7 değene eştt. B başka deyşle, sold angle boyunca k yönlen ufak b aalığı çnde seyahat eden adyasyon akışının zdüşüülen alan le kesştğ mktaını ölçe. Bm Watt/(mete.steadan) (W/(m.s)) dı. Genellkle L le sembolze edl ve bütün yönle (ω) çn tanımlanı; dφ dl( ω) = (.) cosθ dadω Buada Ф adyasyon akış değen, A alanı, ω se sold angle ı smgelemekted. Ayıca ışıma değe nsan gözü taafından algılanan palaklığın fzksel büyüklüğüne kaşılık gel. Radometc büyüklükleden b dğe se, Palamadı (adance). Radyasyon akışının alan yoğunluğu olaak tanımlanabl. B başka deyşle, bm alana düşen adyasyon akışı mktaına eştt. Bm Watt/mete (W/m ) d. E le sembolze edl. Bütün yönle (ω) çn tanımlanı; dφ de(ω ) = (.3) da Buada Ф adyasyon akış değen, A se alanı smgelemekted. Palama değe ayıca ışımanın sold angle boyunca ntegalnn alınmasıyla da elde edlebl. Işıma cnsnden fomülze edlse; de ( ω) =dl( ω)cosθ dω (.4) elde edl. Yoğunluk (ntensty) se dğe b adometc büyüklüktü. Bm sold angle dak adyasyon akış yoğunluğu olaak tanımlanabl. I le sembolze edl ve bm Watt/steadan (W/s) d. Bütün yönle (ω) çn fomülze edlse;

26 8 dφ I ( ω) = (.5) dω Buada Ф adyasyon akış değen, ω se sold angle ı smgelemekted. Yoğunluk ışığın yönsel dağılımını açıkla ve ancak nokta ışık kaynaklaında anlamlı b tanımdı. Yankı (eflecton) sabt b yüzeye veya b otama gelen adyasyon akışının (powe) fekansında hehang b değşm olmadan bu yüzeyden veya otamdan ayılması süecne velen addı. Yansıma (eflectance) se yansıtılan akışın gelen akış mktaına oanıdı, enejnn kounumundan dolayı 0 ve 1 aalığında b değe alabl (Ncodemus et al., 1977). İk Yönlü Yansıma Dağılım Fonksyonu (BRDF) se, yansımanın en kullanışlı modellenden b tanesd ve lk olaak ışınölçüm (adomety) alanında tanımlanmıştı. Işığın yalnızca düz doğula boyunca haeket ettğ kabulü le ışığın hehang b yüzeyden yankısının yönsel dağılımını ele alı. Işığın yüzeyn çne yayılan kısmı le lglenmez, sadece yüzeye değe değmez yansıyan kısmı le lglen. Esasında BRDF, İk Yönlü Saçılma Yüzey Yansıma Dağılım Fonksyonunun (BSSRDF) bastleştlmş b hald. BSSRDF de ışığın hang noktadan yüzeye geldğ ve hang noktadan yüzeyden ayıldığı da hesap çne alınmıştı. BRDF de yüzeyn homojen olduğu kabulü yapılı. Böylece BSSRDF, BRDF e ndgenmş olu. Doğada bu tp homojen yüzeylee çokça astlanı. Metalle, plastkle, boyalı yüzeyle vs. bu tp homojen yüzeylee önek velebl ve bu tp malzemele BRDF le modellemek oldukça uygundu. BRDF, dalga boyu bağımlılığı yok faz edldğ duumda döt değşkenl b fonksyon olaak ele alını; bunladan k tanes gelen ışık yönünü, k tanes se gden ışık (bakış) yönünü belt. Tanım olaak se; BRDF, yansıtılan yöndek gden ışımanın (L ), gelen yönünden yüzeye gelen palamaya (E ) oanıdı (Şekl.1). f le sembolze edl. Bm 1/steadan (s -1 ) dı. Fomülze

27 9 edlse; f ( θ φ, θ, φ ) ( θ, φ ) ( θ, φ ), = de dl ( θ, φ ) ( θ, φ ) cosθ d dl = (.6) L ω Şekl.1 BRDF, f, gden yönündek ışımanın L(θ,φ ) gelen yönündek palamaya E(θ, φ ) oanı olaak tanımlanı (Matusk den 003) Blgsaya gafklende, BRDF sayesnde hehang b gelen yönünden gelp hehang b gden (bakış) yönüne yansıtılan ışımanın mktaı bellenebl; L ( θ φ ) f ( θ, φ, θ, φ ) L ( θ, φ ) cos, = θ (.7) Buada gelen yönünden yüzeye tes eden ışıma değe cosθ tem le çapılaak palama değene dönüştüülmüş olu (Lawence, 006).

28 10.1 İzotopk ve Anzotopk BRDF Doğada bulunan bçok mateyal çn, ışığın gelen yönü ve gözün bakış yönü sabt olmak üzee mateyaln yüzey nomal etafında döndüülmes le yansıma değşmez. Bu özellğ gösteen malzemelee zotopk malzemele den. İzotopk mateyallee metalle, plastkle ve boyalı yüzeyle önek velebl (Lawence, 006). İzotopk BRDF le BRDF n öneml b alt sınıfıdı (Matusk, 003). İzotopk BRDF lede yüzeyn nomal etafında dönmes yansımayı değştmedğnden, BRDF üç boyutlu olaak sunulabl. İzotopk BRDF lede; f ( θ φ, θ, φ ) = f ( θ, θ, φ φ ), (.8) Eştlk.8 geçeld. Ayıca; φ dff φ φ = (.9) kabulüyle BRDF denklem Eştlk.10 dak gb yazılabl; f ( θ θ, φ ) ( θ, φdff ) ( θ, φ ) dff dl ( θ, φdff ) ( θ, φdff ) cosθ d dl, dff = = (.10) de L ω Sonuç olaak zotopk BRDF lede gelen ve gden (bakış) vektölenn azmuthal açılaının yalnız fakı alınaak BRDF le sunulabl. Anzotopk yüzeyle de se, zotopk yüzeylen aksne yüzeyn kend nomal etafında dönmesyle yansıma değe değş. Anzotopk yüzeylee önek olaak metal fıça, clalı metal, nsan saçı, kük ve ahşap velebl (Matusk, 003; Lawence, 006). Anzotopk BRDF le döt boyutlu olaak sunulmak zoundadıla.

29 11. BRDF n Özellkle BRDF len fzğn temel yasalaını sağlamalaı geek. Bu sayede fzksel olaak memnun edc BRDF le elde edlmş olunu. BRDF len fzğn temel yasalaını sağlayablmele çn aşağıdak kısıtlamalaa uymalaı geek...1 Negatf Olmama (Non-negatvty) Daha önce de değnldğ üzee yansıma değenn enejnn kounumundan dolayı mutlaka 0 le 1 aasında olması geek. Dolayısıyla gden ışımanın (L ) gelen ışımaya (L ) oanı mutlaka 0 le 1 aalığında olmalıdı. BRDF, bu oanın ayıca b de kosnüs tem le bölümünü çe. Dolayısıyla BRDF n aalığı 0 le (sonsuz) du. Ayıca şu da blnmeld k hem ışıma hem palama değele negatf olamaz. Dolayısıyla BRDF de negatf değe alamaz... Enejnn Kounumu (Enegy Consevaton) Hehang b fzksel sstemde enejnn kounumu mutlaka sağlanmalıdı. Dolayısıyla BRDF n de enejnn kounumunu sağlaması geek. Enejnn kounumuna göe; bütün olası yönlee b yüzey elemanından yansıtılan ışığın toplam enejsnn mktaı, kesnlkle o yüzey elemanına gelen enejnn mktaından fazla olamaz. Buna göe he b olası (θ, φ ) yönü çn; π π/ 0 0 f ( θ φ, θ, φ ) cosθ dω 1, (.11) denklem sağlanmalıdı. Ayıca dfeansyel sold angle dω Eştlk.1 dek gb yazılabl.

30 1 d ω = snθ dθ dφ (.1) Eştlk.1, Eştlk.11 de yene konusa enejnn kounumu şu şeklde de fade edleblmş olu; ππ/ 0 0 f ( θ, φ, θ, φ ) cosθ snθ dθ dφ 1 (.13)..3 Kaşılıklı Olma (Recpocty) Bu özellk ayıca Helmotz un kaşılıklı olma (ecpocty) kanunu olaak da bln (Matusk, 003). Bu yasa ışığın b dğe fzksel özellğnden kaynaklanı. Bu yasaya göe; BRDF değe, gelen vektöü ve gden (bakış) vektöü bbyle ye değştdğnde değe olaak değşmemeld. Yan; f ( θ φ, θ, φ ) f ( θ, φ, θ, φ ), = (.14) B başka deyşle ışığın yüzey üzenden yansıyaak meydana getdğ seyahat tese çevldğnde, ışık yne aynı yolu zlemeld ve BRDF he k duumda da aynı olmalıdı.

31 13 3 ANALİTİK BRDF MODELLERİ Mateyallen göünüşünün blgsaya modelle, doğu, az ve öz, hesaplamsal olaak ucuz olmalıdı (Lawence, 006). Bütün bunla ancak, BRDF len az sayıda paamete çeen analtk denklemle le modellenmes le başaılı. Bu analtk BRDF modelle k sınıfa ayılabl; olgusal (phonomenologcal) modelle ve fzksel tabanlı modelle. Olgusal modelle özel ampk fomülled ve yüzeylede göülen tpk yansıma özellklen yenden üetmeye çalışıla (Matusk, 003). Bu modelle ışık le yüzeyn bbyle olan etkleşmndek mevcut olan fzksel lşkle dkkate almazla ve buna göe BRDF modellemes geçekleştle. Fzksel tabanlı modelle se yüzeylen fzksel özellkle üzende bazı bastleştc kabulle yapala ve buna göe de BRDF modellemeye çalışıla. Fzksel tabanlı modelle genellkle bell b tptek mateyalle veya özel b olguyu modellele (Matusk, 003). Genel olaak, analtk BRDF modellenn sahp olduklaı paametele mateyal göünüşünde az veya çok etkye sahpt ve hatta bazı paametele modellen palaklık, enk gb özellklen kontol edele. 3.1 Olgusal BRDF Modelle Bu bölümde blgsaya gafklende en popüle olan olgusal modelle ncelenecekt. Genel olaak bu modelle ampk modelled ve bell yüzey dağılım fonksyonlaı kullanaak BRDF modellemeye çalışıla Lambetan BRDF model İlk sunulan BRDF model Lambetan BRDF modeld. Bu model Lambet n yasasına dayanı (Lambet, 1760). Bu yasaya göe, he gelen

32 14 ışık vektöü ve gden ışık (bakış) vektöü çft çn yüzey aynı mktada ışık yansıtı (Lawence, 006). Lambetan yüzey deal b dffuse dı, yan yüzeyn ışıma mktaı çıkış bakış vektöünden bağımsızdı (Oen and Naya, 1994). Fomülze edlse; k d f ( θ, φ, θ, φ ) = (3.1) π Buada k d modeln tek paametesd ve mateyaln yüzey albedo sudu. Dalga boyuna göe değşen b paameted ve genellkle üç enk bleşenyle sunulu (RGB veya HSV gb). Lambet n BRDF model şayet k d 1 se enejnn kounumunu sağlamış olu (Due, 004). Doğada tam olaak Lambetan yüzeyle mevcut olmasa da kuu veya mat yüzeylen göünüşlen tahmnleme çn deald (Lawence, 006). Genel olaak bakıldığında, ışık yüzeye geldğnde bell b kısmı yüzeyden yansıtılı. B dğe kısmı se yüzeyn çne geçe. Yüzeyn çne şleyen bu kısım yüzey tek edene kada yüzeyn elemanlaına çapaak haeket ede. İşte bu çapışma anındak ışığın dağılımı Lambetan dağılımı le modellen. Işık yüzeye değe değmez yüzeyden ayılan kısmı se specula bleşend ve bunu modellemek çn daha kamaşık modellee htyaç duyulu. Lambetan model yüzey yansımasının dffuse bleşenn sunmak çn bçok model çnde kullanılmaktadı. Oldukça popüle b modeld Phong BRDF model B dğe popüle BRDF model se Phong BRDF modeld (Phong, 1975). Bast b model olması ve hesaplamsal kolaylığı onu popüle kılmıştı. Model dffuse ve specula bleşenlen toplamından meydana gelmekted. Model şu şeklde fomülze edlebl;

33 f ( θ, φ, θ, φ ) k k ( n + ) ( ) n 15 d = + s cosα (3.) π π Buada k d dffuse yansıma katsayısı, k s specula yansıma katsayısıdı. n değe specula yankı üssüdü. Bu değe specula yansımanın genşlğn kontol ede. Bu değen büyük olması specula yansımayı kesknleştp daha palak b göünüm oluşmasını sağlaken, bu değen küçük olması specula yansımayı yaya ve daha mat b göüntü oluşmasına neden olu. α se, nomalleştlmş yankı vektöü (R) le gden ışık (bakış) vektöünün (V) aasındak açıya eştt. Yankı vektöü Eştlk 3.3 tek gb tanımlanablmekted; ( N L) N L R = (3.3) Buada N yüzey nomaln, L se gelen ışık vektöünü sembolze etmekted. Phong BRDF model lk olaak 1975 yılında sunulduğu halyle fzksel olaak memnun edc b halde değld. Yan, ne enejnn kounumunu sağlıyodu, ne de kaşılıklı olmayı sağlıyodu. Ancak daha sona bast değşklkle le model bunlaı sağlayan b hale geld (Bkz. Eştlk 3.). Uygulanması çok kolay ve hesaplamsal olaak çok etkn olmasından dolayı bçok gafk API (Applcaton Pogammng Inteface) snde ve endeng geeçlende hazı olaak bulunablmekted. En öneml dezavantajı se göüntüsel doğuluktan yoksun olmasıdı (Lawence, 006). Çünkü hang mateyal çn kullanılısa kullanılsın he zaman çn plastğe benze b göünüm oluşmasına sebebyet vemekted. Model genel olaak plastk ve yalıtkan malzemelen modellenmes çn uygundu (Lawence, 006).

34 Blnn-Phong BRDF model Phong BRDF modelnn b uyalaması Blnn (1977) taafından önelmşt. Phong model gb bu model de BRDF modellemek çn bast kosnüs lobunu kullanı. Blnn, ojnal modeldek gb gden ışık (bakış) vektöü (V) ve yankı vektöü (R) aasındak açıyı kullanmak yene, yüzey nomal vektöü (N) ve yaım (half) vektö (H) aasındak açıyı kullanmayı önemşt. Buna göe Blnn-Phong BRDF model fzksel olaak memnun edc halyle şöyle yazılabl; f ( θ, φ, θ, φ ) k k ( n + ) ( ) n d = + s cosδ (3.4) π π Buada da k d dffuse yansıma katsayısı, k s specula yansıma katsayısıdı. n değe de specula yankı üssüdü. Bu değe yne specula yansımanın genşlğn kontol ede. δ se nomal vektöü (N) le nomalleştlmş yaım vektöü (H) aasındak açıya eştt. Nomalleştlmş yaım vektö (H) şöyle tanımlanı; L + V H = (3.5) lenght(l + V) Buada L gelen ışık vektöünü, V se gden ışık (bakış) vektöünü sembolze etmekted. Blnn-Phong model ayıca N dot H ın b fonksyonu olaak, Phong model se V dot R nn b fonksyonu olaak göülebl. Nygan et al. (005), BRDF n N dot H ın b fonksyonu olaak modellenmesnn doğadak mateyallen specula yansımasını daha y sunduğunu spatlamıştı.

35 Wad BRDF model B dğe olgusal model Wad (199) taafından gelştlmşt. Bu model dffuse yankının modellenmes çn Lambetan BRDF modeln kullanı, specula yankının modellenmesnde se elptk Gaussan dağılımını kullanı. Model fzksel olaak memnun edcd; hem kaşılıklı olmayı sağla, hem de enejnn kounumunu yene get. İzotopk BRDF le çn model şu şeklde fomülze edlebl; ( N L)( N V ) [ tan δ / α ] k d 1 exp f ( θ, φ, θ, φ ) = + k s (3.6) π 4πα Buada k d dffuse yansıma katsayısı, k s specula yansıma katsayısıdı. δ nomal vektöü (N) le nomalleştlmş yaım vektö (H) aasındak açıya eştt. α se yüzey eğmnn standat sapmasıdı (RMS) (Wad, 199). α değenn küçük değele alması duumunda mateyal daha palak gözükü ken, büyük değele alması duumunda mateyal daha dffuse gözükü. Anzotopk BRDF le çn de Wad BRDF model mevcuttu. Fomülze edlse; f ( θ, φ, θ, φ ) k d = + k π s 1 exp tan cos φh δ α x ( N L)( N V ) 4πα xα y sn φ h + α y (3.7) Buada da k d dffuse yansıma katsayısı, k s specula yansıma katsayısıdı. δ da yne nomal vektöü (N) le nomalleştlmş yaım vektö (H) aasındak açıya eştt. φ se, yüzey düzlemne zdüşüülen yaım vektöünün (H) azmuth açısıdı. α x, x yönündek yüzey eğmnn h

36 18 standat sapmasıdı. α y, y yönündek yüzey eğmnn standat sapmasıdı. α x ve α y değelenn küçük değele alması duumunda mateyal daha palak gözükü ken, büyük değele alması duumunda mateyal daha dffuse gözükü. Wad BRDF modelnde şayet k d 0, k s 0, k d + k s 1, α x ve α y çok büyük değl se, bu model negatf olmayan, enejnn kounumunu sağlayan ve kaşılıklı olmayı sağlayan, yan fzksel olaak memnun edc BRDF le üet (Wad, 199; Lawence, 006). Wad BRDF modelnn gelştlme amacı zotopk ve anzotopk ölçülmüş yansıma velenn b kaç anlamlı paameteye sahp b ampk model le fade edleblmesd (Wad, 199). Modeln paametele fzksel olaak anlama sahpt ve geçel BRDF le üetmek çn, ölçülmüş veden bağımsız olaak da bu paametele ayalanabl (Wad, 199). Yan Wad BRDF modelnn paametele, sezg yoluyla anlaşılablen paameteled. Wad BRDF modelnn bçok çeşt mateyale at ölçülmüş vey uydumada y sonuçla vedğ spatlanmıştı (Nygan et al., 005). Ancak Wad BRDF model, eto-eflecton (ışığın kend geldğ yöne ge yansıtılması duumu) ve Fesnel efekt (ışığın gelş yönünün gazng açılaına yaklaştığında speculaty nn atması duumu) modelleyememekted (Matusk, 003) Wad-Due BRDF model Wad-Due BRDF model, Wad BRDF modelnn analz edlmes sonucu gelştlen b modeld. Wad BRDF modelnn enej denges analz edldğnde ve Wad BRDF modelnn Monte Calo önem öneklemesnn (mpotance samplng) dağılımı hesaplandığında göülmüştü k, Wad BRDF model faklı b nomalzasyona sahp

37 19 olmalıdı (Due, 004). Wad-Due BRDF modelnde zotopk BRDF le çn kullanılan denklem şöyled; ( N L)( N V) [ tan δ / α ] kd 1 exp f ( θ, φ, θ, φ ) = + ks (3.8) π 4πα Buada kullanılan bütün paametelen anlamlaı, Eştlk 3.6 da kullanılan paametelen anlamlaı le aynıdı. Wad-Due BRDF model anzotopk BRDF le çn se şöyle tanımlanı; f (3.9) ( θ, φ, θ, φ ) k d = + k π s 1 exp tan cos φh δ α x ( N L)( N V ) 4πα xα y sn φ h + α y Buada da kullanılan tüm paametelen anlamlaı, Eştlk 3.7 de kullanılan paametelen anlamlaı le aynıdı. Wad BRDF modelne nazaan, Wad-Due BRDF model deal yansıma yönünde daha yüksek pklee sahpt ve bu duum ayıca BRDF ölçümlende de gözlemlenmşt (Due, 004). Due (004) taafından, Wad BRDF model çn kullanılan önekleme (samplng) metodunun Wad-Due BRDF modelnn Monte Calo önem öneklemesnde (mpotance samplng) kullanılmasının daha uygun olduğu spatlanmıştı. Dolayısıyla Wad BRDF modelnn önekleme metodu, Wad BRDF modelnn kendsnden zyade Wad- Due BRDF model çn daha uygundu (Due, 004). Son çalışmala göstemşt k, Wad-Due BRDF model bçok

38 0 çeşt mateyalde y sonuçla vemekted, ve Wad BRDF model le kıyaslandığında, bu modele göe daha y sonuçla vemekted (Nygan et al., 005). Ancak Wad-Due BRDF model de, eto-eflecton ve Fesnel efekt modelleyememekted Lafotune BRDF model Olgusal BRDF modellenden b dğe se Lafotune et al. (1997) taafından sunulmuştu. Model, kosnüs lop modelnn b genelleştmesd (Lafotune et al., 1997). B başka deyşle model, Phong BRDF modelnn genelleştlmş vesyonudu. Model fzksel olaak memnun edcd. Yan enejnn kounumunu sağla, kaşılıklı olmayı yene get. İzotopk duum çn model şu şeklde tanımlanabl; f kd ( θ, φ, θ, φ ) + k [ C ( l v + l v ) + C l v ] n n + = s xy x x y y z z z (3.10) π π [ max( C, C )] n Buada da k d dffuse yansıma katsayısı, k s specula yansıma katsayısıdı. C xy ve C z kosnüs lobunun büyüklüğünü ve yönünü kontol eden paameteled. n değe se specula üstü (Pha and Humpheys, 004). v x, v y ve v z gden ışık (bakış) vektöünün (V) katezyen koodnatladak üç bleşend. l x, l y ve l z se gelen ışık vektöünün (L) katezyen koodnatladak üç bleşend. Anzotopk BRDF le çn se model şöyle tanımlanmaktadı; f kd ( θ, φ, θ, φ ) = + k [ C l v + C l v + C l v ] π s x x x y y y n z z z π xy n + [ max( C, C, C )] n (3.11) Buada da paametelen anlamlaı Eştlk 3.11 le aynıdı, ancak x z y z

39 1 anzotopk BRDF lede kosnüs lobunun büyüklüğünü ve yönünü C x, C y ve C z kontol ede. Lafotune BRDF model geçek dünyada mevcut olan bçok çeşt olguyu sunablmekted (Matusk, 003; Lawence, 006) (Şekl 3.1). Bu model; Lambetan olmayan (non-lambetan) dffuse yankıyı ( gazng açılaında dffuse bleşenn azalması duumu), Fesnel etksn (ışığın gelş yönünün gazng açılaına yaklaştığında speculaty nn atması duumu), off-specula yankıyı ( speculaty nn maksmum değene mo yönünde değlde gazng yönünde ulaşması duumu), eto-eflecton ı (ışığın kend geldğ yöne ge yansıtılması duumu), ve anzotopy sunabl. Lafotune BRDF modelnde bu olgulaın bçoğu C x, C y ve C z paametelenn ayalanması le kolaylıkla geçekleştlebl. Öneğn; - C x = -C y ve C z bu k değeden küçük olacak şeklde seçlse offspecula etks sağlanmış olu. C x, C y ve C z nn heps poztf olaak seçlse eto-eflecton etks sağlanmış olu. C x = -C y = C z duumunda se model Phong BRDF modelne dönüşü. Modeln neden genelleştlmş Phong BRDF model olaak anıldığı da bu şeklde kolaylıkla göülmekted. Modeln b dğe avantajı se, Monte Calo algotmalaı çn modeln öneklemesnn mevcut olmasıdı. Lafotune et al. (1997) memnun edc sonuçlaı üç adet specula lop kullanaak elde etmşled. Çoklu loplu Lafotune BRDF model anzotopk duum çn şöyle tanımlanabl; f (3.1) S kd j j j j ( θ, φ, θ, φ ) = + k [ C l v + C l v + C l v ] π s j= 1 x x x y y y z z z n j π n + j j j [ max( C, C, C )] x j y z n j

40 Şekkl 3.1 İk enkl ışık kaynağı ve b beyaz ışık kaaynağı le ışıklaandıılan göüntüü. Solddak küe ölçülm müş boya BRDF lenn Lambetan BRDF moddel le sunuluşuna sahhp ken, sağdakk küe Lafotunne BRDF model le sunulmaktaddı. Q-Panel se ölççülmüş çelk BRD DF nn Lafotuune BRDF modeel le sunuluşunu göstemekted (Lafottune et al. dan 1997) 1 He ne kadda Lafotunne et al. (19997), kend model çnn üç speccula lop kkullanılmasınıı tavsye etsse de, Nygaan et al. (0005) taafından yapılan nceleme sonnucunda, üç adet a specula lop kullanaaak Lafotune BRDF modeln uyydumanın güvenl g sonuuçla üetmeedğ gözleemlenmşt. A Ancak yne buu çalışmada elde e edlen b dğe sonuç se, Lafotune BRDF F modeln k speculaa lop le kullanmak, b speccula lop lee kullanmayaa göe daha doğu sonuçlla üetmekteed. Modeel ayıca Phoong BRDF modelnn m b genelleştm mes olduğu çn, Phongg BRDF moodel gb bu model de V dot R nnn b fonksyyonu olaakk ölçülmüş BRDF vesn modellle ve bu duum BRD DF modeellemede N N dot H sunumuna nazaan, çook y sonuuçla üetllmemesne needen olmaktaadı. Ayıca bu b model, hee ne kada döt boyuttlu b fonksyon olsa da, bçok anzotopk specuula yansımaanın

41 3 elptk şekln sunmada uygun değld (Lawence, 006) Ashkhmn-Shley BRDF model B dğe olgusal model Ashkhmn ve Shley (000) taafından sunulmuştu. Model fzksel olaak memnun edcd. Yan enejnn kounumunu sağla ve kaşılıklı olmayı yene get. Ayıca model sezg yolu le anlaşılablen paametelee sahpt. Ashkhmn-Shley BRDF model ayıca şu olgulaı da sunablmekted; Lambetan olmayan dffuse yansıma, Fesnel etks ve anzotop. Modeln gelştlme anındak temel statej, anzotopk olan, Fesnel le ağılıklandıılmış Phong stl kosnüs lop model meydana getmekt (Ashkhmn and Shley, 000). Ashkhmn-Shley BRDF model BRDF, dğe bçok BRDF model gb, dffuse bleşen ve specula bleşenn toplamı olaak düşünü; f ( θ, φ, θ, φ ) f ( θ, φ, θ, φ ) + f ( θ, φ, θ, φ ) = (3.13) d s Dffuse bleşen çn, bçok BRDF modelndek gb bu modelde de Lambetan BRDF model kullanılabl. Ancak Lambetan olmayan dffuse yansıma olgusunu sunablmek çn Ashkhmn ve Shley (000) şu dffuse bleşenn kullanılmasını tavsye edele; f d d (, φ, θ, φ ) = ( 1 F ) 5 5 8k N L N V θ (3.14) 3π Buada k d yüzeyn dffuse albedo sudu. F 0 değe se ışığın mateyale, mateyaln nomal yönünde gelmes duumunda mateyaln yansıma değed.

42 4 İzotopk mateyalle çn Ashkhmn-Shley BRDF modelnn specula bleşen fomülze edlse; f s ( θ φ, θ, φ ) n ( N H ) ( V H ) max( ( N L),( N V )) n + 1 = k s Fesnel, 8π, 0 ( F V H ) (3.15) Buada k s specula yansıma katsayısıdı. n değe specula üstü. Bu değen büyük değele alması le daha specula mateyalle sunulmuş olunu, küçük değele alması le de daha dffuse mateyalle sunulmuş olunu. N nomal vektöü, L gelen ışık vektöünü ve V gden ışık (bakış) vektöünü suna. H nomalleştlmş yaım vektöüdü. F 0 değe ışığın yüzeye nomal vektö (N) yönünde gelmes duumunda mateyaln yansıma değed. Ashkhmn ve Shley (000), Fesnel tem çn Schlck n (1994) Fesnel oanı çn önedğ fomülü önemektedle; ( F, V H ) = F + ( 1- F )( V H ) 5 Fesnel 0 (3.16) Bu fomül geçek Fesnel fomülünün b tahmnlemesd. Ancak, Nygan et al. (005) ve Schlck (1994) taafından vugulandığı üzee bu fomülü kullanmak eksta b kayba yol açmamaktadı, üstelk bu tahmn fomül ojnale göe hesaplamsal olaak daha hızlıdı. Anzotopk mateyalle çn Ashkhmn-Shley BRDF modelnn specula bleşen şöyle fomülze edlebl; f s ( θ, φ, θ, φ ) = k s n ( n )( n ) ( N H ) u cos φ + n v sn φ u + 1 v + 1 8π ( V H ) max( ( N L),( N V )) Fesnel (3.17) Buada k s specula yansıma katsayısıdı. n u ve n v değele specula üsled. n u değe x yönündek speculaty kontol ede ken, n v

43 5 değe y yönündek speculaty kontol ede. Bu değelen büyük değele almalaı le daha specula mateyalle sunulmuş olunu, küçük değele almalaı le de daha dffuse mateyalle sunulmuş olunu. N nomal vektöü, L gelen ışık vektöünü ve V gden ışık (bakış) vektöünü suna. H nomalleştlmş yaım vektöüdü. φ değe se yaım vektöün (H) azmuth açısıdı. Buada kullanılan Fesnel fomülü Eştlk 3.15 dek le aynı fomüldü ve Eştlk 3.16 ya eştt. Ashkhmn-Shley BRDF model lk olaak Phong BRDF modeln efeans olaak kabul etse de daha sona bu duum (fomülleden de anlaşılacağı üzee) Blnn-Phong BRDF model le ye değştmşt. Buadak amaç specula lopun daha etkn önem öneklemesn yapablmekt (Ashkhmn and Shley, 000). Dolayısıyla Ashkhmn- Shley BRDF modelnn Monte Calo algotmalaı çn öneklemes mevcuttu. Modeln Phong ve Blnn-Phong BRDF modellen efeans olaak almasının neden se bu modellen bast ve bu yüzden de çok popüle olmalaıdı. Ashkhmn-Shley BRDF model, metalle ve plastkle gb oldukça yaygın mateyal çeştle üzende çok y b pefomans seglemekted (Nygan et al., 005) Koendenk BRDF model Koendenk et al. (1996) taafından sunulan dğe b olgusal modeld. Bu BRDF modelnde, BRDF vesnn özetleneblmes çn; bm boylu (othonomal) fonksyonla le yaım küenn kendsyle çapımı le oluştuulan bölge (doman) üzende (H S x H S ) BRDF tanımlanı. Bu amaçla kullanılan fonksyonla se Zenke polnomlaıdı. Koendenk BRDF model kaşılıklı olmayı sağla. Hem zotopk duum hem anzotopk duum çn BRDF sunumlaı mevcuttu. İzotopk

44 6 duum da Zenke polnomlaı üç değşken le tanımlanı. Bu değşkenle; θ, θ ve φ = φ - φ d. Anzotopk duumda se Zenke polnomlaı döt değşken le tanımlanı. Bu değşkenle; θ, θ, φ, φ d. Koendenk BRDF modelnn bütün paametele doğusaldı ve paametele sezg yoluyla anlaşılablen paametele değld. İzotopk mateyalle çn;. deece Zenke polnomlaı le BRDF sunumu 5 paamete geekt, 4. deece Zenke polnomlaı le BRDF sunumu 14 paamete geekt, 8. deece Zenke polnomlaı le BRDF sunumu 55 paamete geekt. Anzotopk mateyalle çn se;. deece Zenke polnomlaı le BRDF sunumu 14 paamete geekt, 4. deece Zenke polnomlaı le BRDF sunumu 55 paamete geekt, 8. deece Zenke polnomlaı le BRDF sunumu 95 paamete geekt (Koendenk et al., 1996). Bu modeln sıfııncı deeceden tem Lambetan BRDF modelne eştt. Ayıca bu model taafından eto-eflecton olgusu da sunulabl. Ancak tam speculaty nn sunulablmes çn sonsuz adet tem geekmekted (Koendenk et al., 1996). Bu sunum Foue selene oldukça benzemekted (Koendenk et al., 1996). Foue selendek gb Koendenk BRDF sunumunda da lopun genşlğ sunumun deeces le doğu oantılıdı. Yan he k sunumda da sunumlaın deeces attıkça daha specula malzemele sunulabl. Teok olaak, Koendenk BRDF model küesel (sphecal) hamonkle le BRDF sunumundan üstündü. Çünkü küesel hamonkle bütün bm küe (S ) üzende tanımlı tüm b dkgen (othogonal) temeld (bass), ancak Koendenk BRDF model yaım küe (H S ) üzende tanımlı dkgen b temele sahpt. Ancak patkte küesel hamonkle le BRDF sunumunun Koendenk BRDF modelnden kötü olduğu kesnlkle söylenemez.

45 7 Koendenk BRDF modelnn detaylı fomüllene bu tezde ye velmemşt. Çünkü oldukça kamaşıktıla. 3. Fzksel Tabanlı BRDF Modelle Bu bölümde blgsaya gafklende en popüle olan fzksel tabanlı BRDF modelle ncelenecekt. Fzksel tabanlı modelle lk olaak uygulamalı fzkçle taafından gelştlmşt (Matusk, 003). Fzksel tabanlı BRDF modellende fzksel doğuluğu yene getmek, bu modellen çıkış noktası olmuştu. Dolayısıyla fzksel tabanlı BRDF modelle, temel fzksel pensple temel alıla. Fesnel etks gb, yüzeyn mcofacet ladan meydana getlmes gb, gölgelemek (shadowng), maskelemek (maskng) etkle gb temel pensple hemen hemen bütün fzksel tabanlı BRDF modellende otak olaak göülmekted. Genel olaak, yüzey üzende bell kabulle yapala ve buna göe yüzeyn ışık le lşksn modellemeye çalışıla Oen-Naya BRDF model Oen ve Naya (1994) geçek dünyadak nesnelen dffuse yansıma çn mükemmel Lambetan yansımasını seglemedklen gözlemledle (Şekl 3.). Onla, alçı, kum, kl, kumaş gb püüzlü dffuse yüzeylen Lambetan davanıştan cdd sapmala göstedğn gözlemledle (Oen and Naya, 1994). Özellkle püüzlü dffuse yüzeylede, bakış yönü ışığın geldğ yöne doğu yaklaştıkça yüzeyn palaklığı atmaktadı. Onlada bu duumu dkkate alaak püüzlü yüzeyleden dffuse yansımasını tahmn edecek b model gelştdle. Onlaın modelne göe, püüzlü yüzeyle smetk V-şekll oluklaın b koleksyonundan oluşmaktadı (Pha and Humpheys, 004). Onla daha sona bu he mcofacet n (oluğun yüzle) mükemmel Lambetan

46 8 Şekl 3. (a) Geçek slndk kl vazo, (b) Aynı mateyaln Lambetan BRDF model le sunumu, (c) Aynı mateyaln Oen-Naya BRDF model le sunumu. He üç duumda da ışıklandıma bakış vektöü yönünden yapılmaktadı (Oen and Naya dan 1994) yansıması segledğn vasaydıla, ve buna göe oluklaın hepsnn bleşk yansımasını modelleyen b BRDF model gelştdle (Pha and Humpheys, 004). He b mcofacet Lambetan davanış göstese de sonuç model Lambetan olmayan davanış seglemekted. Oen-Naya BRDF model facet le aasındak maskeleme (Vşekll oluk çnde komşu yüzün dğen engellemes ve böylece mcofacet ın bell b mktaının bakan taafından göülmes), gölgeleme (V-şekll oluk çnde komşu yüzün dğen engellemes ve böylece mcofacet ın bell b mktaının ışık alablmes) ve ışık ışınlaının komşu yüzeyle aasında sekmes (nteeflecton) etklen de hesaba almaktadı. Model şu şeklde fomülze edlebl; f 1 ( θ, φ, θ, φ ) f ( θ, φ, θ, φ ) + f ( θ, φ, θ, φ ) = (3.18) Buadak lk bleşen (f 1 ) mcofacet laın dağılımının, Gaussan dağılımı le modellenmes le bulunmuştu. İzotopk mateyal kabulü yapıldığı çn, Gaussan dağılımında tek paamete yeteld. Bu bleşen gölgeleme ve maskeleme etklenn hesaba alındığı bleşend. Sonuç olaak bu bleşen şöyle fomülze edlebl;

47 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = tan ; ; tan ; ; ;,,, β α σ β α φ φ β σ φ φ β α φ φ σ π φ θ φ θ C cos 1- C cos C k f d (3.19) Buadak katsayıla se şöyled; [ ] [ ] Mn Max θ θ β θ θ α,, = = (3.0) ( ) sn 0.09 sn = + + = + = π αβ σ σ π β α σ σ φ φ α σ σ σ σ C othewse cos f C C (3.1) Buadak k d dffuse yansıma katsayısıdı. σ değe se yön açısının standat sapmasıdı (Pha and Humpheys, 004). B başka deyşle yüzeyn püüzlülük katsayısıdı (Oen and Naya, 1994). Oen-Naya BRDF modelndek knc bleşen (f ) se nteeflecton etksn hesaba alan bleşend. Inteeflecton tem şöyle açıklanabl; ışığın bell b kısmının yüzeyn çne şlemes sonucu yüzey tek edene kada yüzey elemanlaına çapaak haeket ede. Bu

48 30 çapaak haeket etme esnasında mateyal ışıklandıılmış olu. Oen- Naya BRDF model bu davanışı şu denklem le fomülze etmşt; k d σ β f ( θ, φ, θ, φ ) = cos( φ φ ) (3.) π σ π Buadak değşkenlen anlamlaı Eştlk 3.19 dekle le aynıdı. Oen ve Naya (1994) sunduklaı modeln daha az hesaplamsal malyete sahp olan b tahmnlemesn de sunmuşladı. Sunduklaı bu tahmnleme BRDF model, ojnal fomüle (Bkz. Eştlk 3.18) göe daha az hassastı. Bu tahmn modelde, ojnal modele göe nteeflecton etks yoktu. Ayıca C 3 tem de çıkaılmıştı. Sonuç model şöyled; f k = (3.3) π d ( θ φ, θ, φ ) ( A + BMax[ 0, cos( φ φ )] sn α tan β ), Bu modeldek katsayıla se şöyled; A = σ σ B = 0.45 σ σ (3.4) Dğe katsayılaın ve değşkenlen anlamlaı se ojnal fomüldekle (Bkz. Eştlk 3.18) le aynıdı. α ve β temlenn kaşılığı se Eştlk 3.0 de bulunabl. Oen-Naya BRDF modelnn en blnen ve en çok kullanılan hal Eştlk 3.3 de mevcut olan tahmnleme fomülüdü. Ayıca Oen-Naya BRDF modelnde yüzey püüzlülük katsayısı (σ) sıfıa eşt olduğunda, Oen-Naya BRDF model Lambetan BRDF modelne dönüşmekted.

49 Toance-Spaow BRDF model Toance ve Spaow (1967) taafından sunulan fzksel tabanlı BRDF model, blgsaya gafklendek lk mcofacet tabanlı modelleden bd. Onla yüzeyn smetk V-şekll oluk şeklne sahp mcofacet ladan meydana geldğn vasaymaktadıla (Toance and Spaow, 1967). Mcofacet laın bleşk dağılımı se Gaussan dağılım fonksyonu le tanımlanmaktadı. Bu dağılımı baz aça sek; ışığın specula olaak yansıtılması ancak ve ancak lokal nomal vektöü yaım vektöü (H) yönünde olan mcofacet laın sayesnde olmaktadı. Mcofacet laın dağılım fonksyonu, mcofacet laın bu yönü gösteenlenn mktaının dağılım fonksyonudu (Blnn, 1977). Toance-Spaow BRDF model zotopk mateyalle çn şu şeklde fomülze edlebl; f kd DG θ, = + k s Fensel( F0, V H ) (3.5) π 4 ( φ, θ, φ ) ( N L)( N V ) Buada k d dffuse yankı katsayısıdı, k s specula yankı katsayısıdı, N nomal vektödü, L gelen ışık vektöüdü, V gden ışık (bakış) vektöüdü, H yaım vektöüdü. D değe mcofacet dağılım fonksyonudu ve Toance-Spaow model çn bu bast Gaussan dağılımıdı. Bu dağılım fonksyonu fomülze edlse; 1 θ exp m D = πm (3.6) Buada θ değe nomalleştlmş yaım vektöünün (H) yükseltme (elevaton) açısıdı, m değe se yüzey eğmnn standat sapmasıdı (RMS). Toance-Spaow modelnde kullanılan G tem, Geometk

50 3 Azaltma Faktöü (GAF) dü. 0 (sıfı) le 1 (b) aasında değe alı. Yüzeyn smetk V-şekll olukladan (mcofacet) oluştuğu kabulüyle, ışığın mcofacet le le etkleşm sonucu maskeleme ve gölgelemeden dolayı ne kadalık b oanının yansıtıldığını hesapla. Maskeleme duumu ışığın mcofacet ın b yüzey taafından yansıtıldıktan sona, yansıtılan kısmın dğe mcofacet la taafından engellenmes duumudu. Gölgeleme duumu se, ışığın mcofacet ın yüzeyne gelmeden önce dğe mcofacet la taafından engellenmes duumudu. G değenn bellenmesnde ele alınan üçüncü b duum se, ışığın geldğ şeklde engellenmeden yansıtılması ve yne yansıtılan mktaın engellenmeden yüzeyden ayılması duumudu. Geometk Azaltma Faktöü şu şeklde bellen; maskeleme = ( N H )( N V ) ( V H ) gö lg eleme = ( N H )( N L) ( V H ) (3.7) G = mn { 1,maskeleme, gölgeleme } Toance-Spaow modelnde kullanılan Fesnel tem ( Fenel dye okunu) se b mcofacet a gelen ışığın ne kadaının yansıtılıp ne kadaının absobe edldğn belle (Blnn, 1977). B başka deyşle, yansıtılan ışığın mktaını oan olaak ve. Fesnel temnn fomülü çn Schlck (1994) taafından önelen tahmnleme fomülü kullanılabl (Bkz. Eştlk 3.16). Za daha önce de değnldğ üzee bu fomülü kullanmak esas fomülü kullanmaya göe nümek açıdan öneml b kayba yol açmamaktadı ve ayıca hesaplamsal olaak daha avantajlıdı (Nygan et al., 005; Schlck, 1994). Toance-Spaow BRDF model metalk ve ametalk yüzeyle çn

51 33 oldukça y sonuçla vemekted (Toance and Spaow, 1967). Ayıca bu model, Cook-Toance BRDF model le hem göüntüsel olaak hem sayısal sonuçla olaak hemen hemen aynı pefomansı seglemekted (Nygan et al., 005) Cook-Toance BRDF model Cook ve Toance (1981) taafından sunulan fzksel tabanlı BRDF model blgsaya gafklendek en popüle BRDF modellenden bd. Bu model Toance-Spaow BRDF modelnn b değşklğd (modfcaton) (Matusk, 003). Cook-Toance BRDF model, fzksel olaak memnun edc sonuçla üet. Yan model kaşılıklı olmayı sağla ve enejnn kounumunu gaant ede. Buadak yapılan kabulle Toance-Spaow BRDF model le hemen hemen aynıdı. Yüzeyn smetk V-şekll olukladan (mcofacet) meydana geldğ faz edlmekted. Buada da model geometk azaltma faktöüne (G) sahpt. Dolayısıyla model, gölgeleme ve maskeleme temlen hesaba alı. Ayıca modelde Fesnel davanışı da hesaba alını (ancak polazasyon hesaba alınmaz). Böylece model gazng açılaında speculaty nn atması duumunu hesaba almış olu. Ancak model ışığın mcofacet la aasında bden çok kez çapışmasını hesaba almaz (Matusk, 003). Cook-Toance BRDF model zotopk mateyalle çn şu şeklde fomülze edlebl; f k d k s DG θ, = + Fesnel( F0, V H ) (3.8) π π ( φ, θ, φ ) ( N L)( N V ) Buada k d dffuse yansıma katsayısıdı, k s specula yansıma katsayısıdı, G geometk azaltma faktöüdü ve Eştlk 3.7 dek gb hesaplanı. Fesnel fomülü çnse daha önce değnldğ gb Schlck (1994) n tahmnleme fomülü kullanılabl (Bkz. Eştlk 3.16).

52 34 Tahmnleme olmayan hal Cook ve Toance (1981) ın çalışması çnde bulunabl. Eştlk 3.8 de kullanılan F 0 tem ışığın yüzeye dk gelmes duumundak yansıma değed. N nomal vektödü, L gelen ışık vektöüdü, V gden ışık (bakış) vektöüdü, H nomalleştlmş yaım vektöüdü. Cook-Toance BRDF model mcofacet laın yönlenn dağılımı (D) çn Beckmann dağılım fonksyonunu kullanmaktadı. Mcofacet eğm dağılımı fonksyonu (D), yaım vektöün (H) yönünde olan mcofacet laın oanını ve (Cook and Toance, 1981), ve şu şeklde fomülze edlebl; [ ( tan m) ] 1 D = exp δ / 4 (3.9) m cos δ Buada m değe mcofacet laın RMS eğmne eştt. m değenn küçük değele alması oldukça specula mateyalle sunaken, büyük değele alması oldukça püüzlü ve dffuse mateyallen sunulmasını sağla. δ değe nomal vektö (N) ve yaım vektöü (H) aasındak açıya eştt. Şekl 3.3 de göüleceğ üzee, Beckmann dağılımı le Toance- Spaow BRDF modelnde mcofacet laın dağılımı çn kullanılan Gaussan dağılımı şekl olaak bbne çok benzemekted. Ancak Beckmann dağılımı Gaussan dağılımdak gb keyf b sabte htyaç duymaz ve bu halyle nomalleştlmşt. Yan enejnn kounumunu gaant ede. Toance-Spaow BRDF modelnde, keyf sabt yene, bu tezdek çalışmada Ramamooth ve Hanahan (001) ın çalışmalaında kullandıklaı gb 1 / (πm ) temn nomalzasyonu sağlamak çn kullanılmıştı ve Toance-Spaow BRDF modelnn bu halyle kullanımında hehang b sounla kaşılaşılmamıştı. Nygan et al. (005) ın da değndğ üzee Cook-Toance BRDF modelnde faklı mcofacet dağılım fonksyonlaı kullanmak hem nümek olaak hem

53 35 Şekl 3.3 (a) m=0. çn Beckmann dağılımı, (b) m=0. çn Gaussan dağılımı, (c) m=0.6 çn Beckmann dağılımı, (d) m=0.6 çn Gaussan dağılımı (Cook and Toance dan 1981) de göüntüsel olaak hemen hemen aynı sonuçlaa yol açmaktadı. Cook- Toance BRDF model ve Toance-Spaow BRDF modellenn yalnızca kullanılan mcofacet dağılım fonksyonlaı açısından faklı olduğu düşünülüse, bu k model bb le çok benzed denebl. Cook-Toance BRDF model de Lafotune BRDF modelnde olduğu gb bden çok specula loplu kullanılabl. Bu duum çn Cook-Toance BRDF model fomülze edlse; S j j d s D G, = + Fesnel 0 π j= 1 π ( N L)( N V ) j ( F V H ) k k f ( θ φ, θ, φ ), (3.30) Buadak bütün paametele ve anlamlaı Eştlk 3.8 dekle le aynıdı. S değe kullanılan toplam specula lop adedd. Nygan et al. (005) ın değndğ üzee bden çok specula lop kullanmak Cook-Toance BRDF model çn hem göüntüsel hem nümek olaak pefomansı

54 36 attııcı b duumdu. Ancak kden fazla lop kullanmayı da, güvenl sonuçla üetmedğnden dolayı Nygan et al. (005) tavsye etmemekted. Cook-Toance BRDF model mateyal le ışığın fzksel etkleşmne dayandığı çn, Phong BRDF model ve Lambetan BRDF modelne göe daha çok çeşt malzeme sunulabl (Lawence, 006). Ancak bu modellee göe hesaplamsal olaak daha kamaşıktı (Lawence, 006). Cook-Toance BRDF model yalnızca zotopk mateyalle çn mevcuttu. B dğe dezavantajı se Monte Calo algotmalaı çn modeln öneklemesnn mevcut olmamasıdı. Ancak bunun çn Lawence et al. (004) taafından b çözüm önelmekted. Ayıca, Cook-Toance BRDF model ışığın dalga boyundan daha büyük olan ölçekledek duumlaı hesaba alı ve bu bakış açısı dağılım ve kıınım gb etkle yok faz ede (Lawence, 006). He et al. (1991) un sunmuş olduğu dğe b fzksel tabanlı BRDF model bu tp davanışlaı hesaba almaktadı ancak onun oldukça kamaşık oluşu bçok platfomda kullanımını önlemekted.

55 37 4 RENDERING Rendeng üç boyutlu (3D) göünüm tanımlaması le k boyutlu (D) göüntü elde etme süecd (Pha and Humpheys, 004). Rendeng algotmalaı gd olaak göünüm çndek şekllen üç boyutlu geometsnn blgsaya modellen alı, ışıklandıma kaynaklaını alı, mateyal veya göünüm modellen alı ve bu beltlenlee göe spesfk b bakış noktasından göünümün b göüntüsünü hesapla (Lawence, 006). Tab k bu çok genş b konudu ve endeng algotmalaı üzene uzun zamandı oldukça yoğun aaştımala yapılmaktadı. Genel olaak bakılısa endeng algotmalaı k guba ayılmaktadı; nteaktf endeng algotmalaı ve fzksel tabanlı endeng algotmalaı. İnteaktf endeng geçekçlğ yüksek pefomansa ve düşük geckme süesne değş (Pha and Humpheys, 004). İnteaktf endeng e fotogeçekç olmayan endeng de den. Dğe yandan fzksel tabanlı endeng de se genellkle geçekçlk ana hedeft (Pha and Humpheys, 004). 4.1 İnteaktf Rendeng İnteaktf endeng algotmalaı geçek zamanlı fame hızında (öneğn 0 Hz) göüntüle hesaplamak çn dzayn edlle (Lawence, 006). Bu endeng algotmalaı vdeo oyunlaı gb, sanal geçeklk smülasyonlaı gb ve nteaktf ve göüntülemele gb uygulamalada uygundula (Lawence, 006). Ancak b göüntüyü 30-1 sanye gb b süede oluştumaya çalışmak tab k geçeklk konusunda da oldukça fazla b şeklde ödün velmesne neden olmaktadı. Bu algotmala tpk olaak bölgesel ışıklandıma etklen hesaba almaktadıla. Yan; nokta ışık kaynağından çıkan ışık yüzeyden yansı

56 38 ve kameaya doğu lele. Genel olaak bu duum şu şeklde fomülze edlebl; L S j j j j j ( θ φ ) = L ( θ, φ ) + f ( θ, φ, θ, φ ) L ( θ, φ ) e, cosθ (4.1) j= 1 Buada L değe yüzeyden yansıtılan ışımadı. L e değe se yüzeyn yaydığı ışıma değed. L değe S adet ışık kaynağının hehang bnn ışıma değed ve bu değe kosnüs tem le çapılaak yüzeye gelen palama değene çevlmş olunu. Bden çok ışık kaynağı olması duumunda yüzeyden yansıyan toplam ışıma he b ışık kaynağının yüzeyden yansıması le oluşan ışıma değelenn toplamına eştt. Eştlk 4.1 n hesaplamsal kamaşıklığı göünüm geomets le ışık kaynağı aded le göünüm çndek he BRDF n hesaplamsal malyet le doğu oantılıdı. Özelleştlmş gafk donanımı le nteaktf hız çnde bu he ne kada başaılsa ble, bçok göüntüsel efektten ödün velmş olunu (Lawence, 006). Ayıca gafk donanımı sınılı b belleğe sahpt (~51 MB), bu bellek çne hem göünüm geomets hem ışıklandıma modelle hem BRDF le yeleştlmek zoundadı (Lawence, 006). Dolayısıyla ölçülmüş BRDF velen nteaktf endeng çnde kullanmadan önce sıkıştıaak sunablmek yne öneml b konu halne gelmşt (Lawence, 006). j 4. Fzksel Tabanlı Rendeng Fzksel tabanlı endeng algotmalaı geçeklğ smüle etmeye çalışıla. Bunu, ışık ve maddenn etkleşmn fzğn pensplen kullanaak modelleme le başaıla (Pha and Humpheys, 004). Fzksel tabanlı endeng algotmalaı global ışıklandıma endeng algotmalaı olaak da bln.

57 39 Öneml göüntüsel etkle elde edeblmek çn, bu endeng algotmalaı ışığın yüzey elemanına çapmadan öncek bütün seyahatn smüle edele (Lawence, 006). Sonuç olaak, bu algotmala he göüntü pkselne gelen bütün ışınlaın ışıma değelen hesaplamakla lgldle (Lawence, 006). Işığın kaşılıklı olma özellğnden dolayı, bu duum tam tese çevlebl. Yansıtılan yön blnmekted ancak yansıtılan ışımanın değe blnmemekted (Matusk, 003). Yansıtılan ışıma değen tahmn etmek çn gelen ışıma değenn bütün yönle çn tahmnlenmes geek ve bu sayede BRDF le ntegasyon alınaak yansıtılan ışıma değe hesaplanmış olu. Bu duum fomülze edlse; L π π/ ( θ, φ ) = Le ( θ, φ ) + f ( θ, φ, θ, φ ) L ( θ, φ ) 0 0 cosθ snθ dθ dφ (4.) Buada L değe yüzeyden yansıtılan ışımadı. L e değe se yüzeyn yaydığı ışıma değed. L değe (θ,φ ) yönünden yüzeye gelen ışıma değed. Opak yüzey kabulü le ntegal yüzeyn üst yaım kües boyunca hesaplanı. Eştlk 4. ye knc çeşt Fedholm eştlkle adı vel (Lawence, 006). Bu eştlklen analtk çözümle ne yazık k mevcut değld, dolayısıyla nümek metotla le bu eştlğn değenn tahmnlemesnn yapılması geekmekted. L nn değenn doğu ve etkn b şeklde bulunablmes çn etkn nümek ntegasyon metotlaı üzene bçok aaştıma yapılmaktadı. Öneğn, yaımküe bnlece bölgeye ayılabl ve bu bölgelen he bnden b ışın göndelebl. Ancak bu yöntem oldukça malyetld. Monte Calo nümek ntegasyon metotlaı bu pobleme b çözüm get (Pha and Humpheys, 004). Bu yöntemle astgelelğ kullanaak bell b yakınsama oanı le ntegalle hesaplala. Bu yöntemlen b dğe avantajı se bden çok boyutlu ntegallede de etkn olaak çalışmalaıdı. Öneğn Tapezodal ntegal

58 40 alma yöntem ve Gaussan quadatue ntegal alma yöntem düşük boyutlada oldukça etkn olmalaına ağmen, bden çok boyut çemes duumunda bu yöntemlen yakınsama oanı ve etknlkle oldukça gelede kalı. Ayıca bu yöntemle keskl ntegallede de k endeng de oldukça kullanılı- kötü b pefomans otaya koymaktadıla. Monte Calo ntegasyon metodu esas olaak ntegaln değen tahmn etmek çn şans öneklemesn (andom samplng) kullanı (Pha and Humpheys, 004). Bu metodun en kullanışlı özellklenden b ntegaln değenn tahmnlenmes çn bölge üzende keyf noktalada ntegallenenn (ntegand) hesaplanablmesd (Pha and Humpheys, 004). Bu duum Monte Calo ntegasyon metodunu hem uygulaması kolay hem keskl ntegalle gb bçok çeşt ntegallenen (ntegal alınan fonksyon) de uygulanabl yapa (Pha and Humpheys, 004). Monte Calo ntegasyon metodunun ana dezavantajı se; eğe ntegal tahmn etmek çn n adet önek kullanılacak se, bu duumda algotmanın doğu sonuca yakınsama oanı O(n -1/ ) olu (Pha and Humpheys, 004). Üetlen göüntülede, Monte Calo ntegasyonu le yapılan önekleme sonucu oluşan kusula kendn güültü olaak göstemekted. Yan pkselle ya geeğnden fazla palaktı veya geeğnden fazla koyudu. Monte Calo ntegasyon metodu üzene yapılan hemen hemen bütün çalışmala çok az önek le en düşük hatayı, yan güültüyü, elde etme üzened (Pha and Humpheys, 004). Monte Calo ntegasyon metodunun y anlaşılablmes çn bazı olasılık temlenn tanımlaına htyaç duyulmaktadı. B sonak bölümde temel olasılık temlenn tanımlaı ele alınacaktı. Daha sona da bu tanımladan yaalanılaak Monte Calo ntegasyonu ayıntılı b şeklde ele alınacaktı.

59 Olasılık tanımlaı B astgele değşken X, b astgele süeçten seçlen b değed. Rastgele değşkenle keskl veya devamlı b bölgeden seçleblle. Tanımla çnde bu değe büyük hafle le sembolze edlecekt. Ancak bazı Yunan sembolle yne küçük kalacaktı. Özellkle öneml göülen b astgele değşken standat tekdüze (unfom) şans değşkend. Bu değşken ξ le sembolze edlmekted. Bu özel değşken k nedenden dolayı önemld. Bncs, bu değe yazılım le üetmek çok kolaydı. İkncs, standat tekdüze şans değşken le başlayaak ve bu değşkene bazı tansfomasyonla uygulayaak hehang b dağılımdan önekle üetmek mümkündü (Pha and Humpheys, 004). Olasılık yoğunluk fonksyonu (PDF), b değee sahp olan astgele değşkenn o değe alma olasılığını tanımla. PDF le kesnlkle negatf olmamalıdı ve he zaman onlaın tanım aalığı çnde ntegal değele 1 (b) olmalıdı. Tanım aalığı çnde bulunan [a, b] aalığı çn, PDF, astgele b değşkenn bu aalık çnde olma olasılığını veebl (Pha and Humpheys, 004); b ε = dx (4.3) a ( x [ a b] ) p( x) P, Kümülâtf dağılım fonksyonu (CDF), b değee sahp olan b astgele değşkenn, sahp olduğu değee eşt veya az olanlaının olasılıklaının toplamını ve; P ( x) P{ X x} = (4.4) PDF le CDF aasında tüev ntegal lşks vadı. Yan astgele b değşkenn CDF nn tüev o değşkenn PDF n ve.

60 4 ( x) dp p ( x) = (4.5) dx Fonksyon f nn beklenen değe se, onun tanımlı olduğu aalık üzende, alableceğ değelenn dağılımı (p(x)) üzendek otalama değed. b E p [ f ( x) ] = f ( x) p( x) dx (4.6) a Monte Calo ntegasyon yöntem hehang b ntegaln beklenen değen hesaplamaktadı, dolayısıyla bu tem önemld. B fonksyonun vayansı se, fonksyonun beklenen değenden beklenen sapmasına eştt. Vayans tem, Monte Calo ntegasyon yöntem le tahmn edlen değen hatasını ntelendmek çn kullanılan temel b temd (Pha and Humpheys, 004). B fonksyonun vayansı şu şeklde tanımlanı; [ ] [ f ( x) ] E ( f ( x) - E[ f ( x) ]) V = (4.7) Beklenen değe ve vayans üç tane çok öneml özellğe sahpt; E [ af ( x) ] = ae[ f ( x) ] E f ( X ) = E[ f ( X )] (4.8) V [ af ( x) ] = a V [ f ( x) ] Bu özellklee göe vayans çok daha kolay b şeklde sunulabl; [ f ( x) ] E ( f ( x) ) [ ] - E f ( x ) [ ] V = (4.9)

61 Monte Calo ntegasyonu Aşağıdak gb b boyutlu ntegaln değe hesaplanmak stensn; = b a ( x) İntegal f dx (4.10) Eğe astgele değşken X, b PDF e göe bellenecek se, bu duumda Monte Calo tahmnleycs de k İntegal n tahmnleycs şu şeklde fomülze edlebl; F N = 1 N N = 1 f p ( X ) ( X ) (4.11) Dolayısıyla bu fomül ntegal tayn etmek çn kullanılabl. Buadak tek sınılama şudu; p(x) mutlaka F(x)>0 olduğu bölgede negatf olmamalıdı. Şu kolaylıkla göülebl k, bu tahmnleycnn beklenen değe f nn bulunması stenen ntegaln ve (Pha and Humpheys, 004). E [ F ] N = E = 1 N 1 N = 1 N N = 1 f p b a ( X ) ( X ) f 1 = N = 1 a ( x) dx = f ( x) b a N b f p dx ( x) ( x) p ( x) dx (4.1) Ayıca tahmnleyc F N n vayansı şu şeklde hesaplanabl; Va [ F ] N ( X ) ( X ) N f N 1 1 f = Va = Va N 1 p N = 1 p ( X ) ( X ) = f Va p ( X ) ( ) = X 1 N (4.13) Rendeng esnasında yüksek vayans güültülü göüntülen oluşmasına yol aça. Dolayısıyla göüntüyü düşük güültülü yapmak çn vayansı düşümek geekld. Bu duum Eştlk 4.13 den de anlaşılacağı üzee ya

62 44 önek (sample) adedn (N) attıaak başaılı veya yoğunluk fonksyonu p(x) ntegal alınan f(x) e yakın olacak şeklde belleyeek başaılı (Matusk, 003). Önek adedn (N) attımak algotmanın çalışma süesn attıdığından p(x) fonksyonunu uygun b şeklde bellemek oldukça aaştıılan b konu halne gelmşt. Monte Calo ntegasyonunun etknlğn attıacak yöntemleden b önem öneklemesd (mpotance samplng). Bu yöntem b vayans düşüme teknğd. Bu yönteme göe öyle b önekleme dağılımı seçlmeld k, ntegal alınan fonksyona şekl olaak benzemeld. Bu teknğn önem öneklemes olaak adlandıılma neden öneklen fonksyonun bölgesnn en öneml bölümlenden alınıyo olmasıdı -k bualada fonksyonun değe dğe yelee göe oldukça yüksekt (Pha and Humpheys, 004). Bu sayede çok az b adımla daha doğu b şeklde ntegal tahmnlenmş olu. Öneğn Eştlk 4.10 çn kullanılacak en mükemmel olasılık dağılım fonksyonu şu şeklded; a ( x) f p ( x) = b (4.14) f dx ( x) Eştlk 4.10 çn böyle b olasılık dağılım fonksyonu mükemmeld, çünkü bu Monte Calo tahmnleycsnn be b ntegal değen vemesn sağla. B başka deyşle vayansın sıfı (0) olmasına sebep olu. Ancak amaç zaten ntegaln değen bulmak olduğundan çnde cevabı aanan ntegal baındıan b olasılık yoğunluk fonksyonu kullanmak mkânsızdı. Dolayısıyla eğe p(x) şekl olaak f(x) e benze olaak seçlse vayans düşe (Pha and Humpheys, 004), önem öneklemes amacına ulaşmış olu. Önem öneklemesnde önekleme dağılımını kötü b şeklde seçmek tekdüze öneklemeden ble kötü sonuçla alınmasına neden

63 45 olabl. Ancak, önem öneklemes en çok kullanılan vayans düşüme teknklenden bd (Pha and Humpheys, 004). Çünkü uygulanması kolaydı ve y b önekleme dağılımı kullanıldığında oldukça efektft. Buaya kada olan bölümde tek b fonksyonun ntegasyonunun nasıl tahmn edleceğnden bahsedlmşt (Bkz. Eştlk 4.10). Ancak, aşağıdak gb b duumla kaşılaşıldığında ne yapılmalıdı?; b ( x) g( x)dx Integal = f (4.15) a Esasında böyle b poblem blgsaya gafklende oldukça fazla b şeklde kaşılaşılan b duumdu. Çünkü Eştlk 4. den de göüleceğ üzee BRDF, kosnüs çapanı ve gelen ışığın heps kendne özgü b dağılıma sahpt ve tüm bunlaın öneklemelenn ayı ayı ele alınıp daha sona bu önekleme yöntemlenn en optmum b şeklde kombne edlmes geekmekted. Böyle duumlada genellkle BRDF ve kosnüsün çapımı çn b önem öneklemes yöntem gelştl ve ışığın dağılımı çn ayı b önekleme yöntem gelştl ve daha sona bunla kombne edl. Tab k bu bleştme şlem çeştl zoluklaa sahpt. Çünkü b dağılım çn çok y olan b önekleme yönü, dğe çn oldukça kötü sonuçla vedebl. Öneğn ışığın ışımasının envoment map le tanımlandığı duumla çn etkn ışıklandıma önekleme yöntemle mevcuttu (Lawence, 006). Bu yöntemle özellkle dffuse ve yaı-palak mateyalle çn etkn sonuçla vemekted. Ancak bu yöntemle palak mateyalle ve yavaşça değşen envoment le çn y sonuçla vememekted (Lawence, 006). Böyle duumlada BRDF ve kosnüs temnn çapımına göe önem öneklemes yapmak tech edlen b yoldu (Lawence, 006).

64 46 Çoklu önem öneklemes (MIS) bast ve uygulanması kolay b yöntem le bu tp poblemlee çözüm bulan b teknkt (Pha and Humpheys, 004). Bu yöntem de hehang b dağılımdan elde edlen önek şayet dğe dağılıma uymazsa bu duum ağılıklandıma le gdel. Eğe p f ve p g Eştlk 4.15 dek f ve g fonksyonlaının önekleme dağılımlaı se, bu duumda Eştlk 4.15 dek ntegaln yen Monte Calo tahmnleycs MIS sayesnde şöyle bellen; FG N ( X ) g( X ) w f ( X ) p ( X ) n f n 1 f g f = + + n f n g = 1 f j= 1 ( Y j ) g( Y j ) wg ( Y j ) ( ) p g Y j (4.16) Buada n f, p f dağılım metodundan alınan önek adedd, n g, p g dağılım metodundan alınan önek adedd, w f ve w g se özel ağılıklandıma fonksyonlaıdı. Bu k fonksyon öyle b şeklde seçl k Eştlk 4.16 dak tahmnleycnn beklenen değe Eştlk 4.15 dek ntegaln değen ve (Pha and Humpheys, 004). Ağılıklandıma fonksyonlaı çn y b seçm balance heustc d; ( x) ( x) n s p s w s ( x) = (4.17) n p Balance heustc n önekle ağılıklandıaak vayansı düşümede y b yöntem olduğu spatlanmıştı (Pha and Humpheys, 004). Bu yöntem sayesnde daha önce değnlen bütün sıkıntıla otadan kalkmaktadı. Böylece, b yöntem çn uymayan önek uygun b şeklde ağılıklandıılaak vayansının düşük kalması sağlanı. Buna göe, Eştlk 4.16 yenden yazılısa; FG N ( X ) g( X ) n f ( X ) + n p ( X ) n = f + + n 1 f g n f ng = 1 n f p f g g j= 1 n f p f f ( Y j ) g( Y j ) ng ( ) ( ) Y j + ng p g Y j (4.18)

65 47 Patkte powe heustc vayansı daha da fazla düşümekted (Pha and Humpheys, 004). β üs olmak üzee, powe heustc şöyle yazılmaktadı; w s ( x) = β ( ns p s ( x) ) ( n p ( x) ) β (4.19) β çn k () değenn alınması y sonuçla vemekted. Monte Calo ntegasyon tahmnleycsnde b dğe öneml konu se astgele öneklen nasıl bellendğd. Önekle bell b olasılık dağılım fonksyonuna (p(x)) göe bellenle. Tansfomasyon metodunda olasılık yoğunluk fonksyonunun (p(x)) kümülâtf yoğunluk fonksyonu (P(x)) öncelkle hesaplanı. Daha sona P(x) n tes (P -1 ) hesaplanı. Daha sona b adet standat tekdüze şans değşken (ξ), [0,1] aalığında olmak üzee tüetl ve sona P -1 (ξ) değe bulunu. Bu bulunan değe de p(x) dağılımından öneklen. Bu sayede pdf olaak en yüksek değelee sahp olan bölgele daha çok öneklenmş olu ve böylece de Monte Calo tahmnleycs mümkün olduğunca çok az b adımda, ntegaln değen etkn b şeklde tahmn etmş olu. Dğe b deyşle tekdüze dağılıma sahp olan b değşken p(x) dağılımına uyan dğe b değşkene dönüştüülü ve önek olaak kullanılı. B dğe önekleme yöntem se eddetme (ejecton) yöntemd. Ayıntılaı Matusk (003), Pha ve Humpheys (004) çnde bulunabl. Bden fazla boyutlu dağılımlada se b boyutludan başlanı ve koşullu olasılık dağılımlaıyla bden çok boyuta geçl. Eştlk 4. çn, Monte Calo ntegasyon tahmnleycs genel olaak blndğ halyle yazılısa;

66 48 L (, φ ) = L ( θ, φ ) j j j j j ( θ, φ, θ, φ ) L ( θ, φ ) j j p( θ, φ θ φ ) N j 1 f cosθ θ e + (4.0) N j= 1, Buada gelş ışıma L çn tekdüze dağılıma sahp olduğu kabulü yapılmaktadı ve olasılık dağılım fonksyonunun BRDF ve kosnüs temne göe bellendğ kabulü yapılmaktadı (Matusk, 003). Şayet L nn de kend çnde b dağılıma sahp olduğu düşünülseyd, bu duumda Eştlk 4.0 nn, Eştlk 4.18 dek gb, Monte Calo tahmnleycsnn çoklu önem öneklemesne göe yazılması geekecekt. Ancak yalnız BRDF n önem öneklemes le lglenldğ duumlada Eştlk 4. nn tahmnleycs Eştlk 4.0 dek gb yazılı. BRDF ve kosnüs temnn çapımına göe önem öneklemes yapma şlem, BRDF den elde edlen olasılık yoğunluk fonksyonu (PDF) ve kümülâtf dağılım fonksyonu (CDF) sayesnde olu. Lambetan BRDF model, Blnn-Phong BRDF model, Wad BRDF model, Wad- Due BRDF model ve Lafotune BRDF model gb pek çok analtk BRDF modelnn CDF nn tesnn yaklaşık fadele mevcuttu. Bu CDF len teslenn fonksyonlaı, standat tekdüze şans değşkenlen BRDF n enejsne göe dağılmış yen b şans değşkenne dönüştüü (Lawence, 006). Ve bu sayede de önem öneklemes yapılmış olu. Öneğn Lambetan BRDF model (Bkz. Eştlk 3.1) ele alınısa, standat tekdüze şans değşkenle kullanılaak BRDF n enejsne göe bellenen yen değşkenle şöyled; θ = acsn φ = πξ ( ξ 1 ) (4.1) Buada ξ 1 ve ξ değele standat tekdüze şans değşkenled. θ ve φ değele le önek yönü bellenmş olu. Bu önek yönü çn pdf değe se;

67 49 cosθ p ( θ, φ θ, φ ) = π (4.) Eştlk 4.1 ve Eştlk 4. dek değele Eştlk 4.0 dek Monte Calo tahmnleycsnn çnde hehang b önek çn kullanılı. Bu sayede Lambetan BRDF modelnn önem öneklemes geçekleştlmş olunu. Anzotopk Wad BRDF modelnn (Bkz. Eştlk 3.7) specula bleşen çn önekleme yönü se şu şeklde bellen; θ h = actan cos φ / α h logξ x 1 + sn φ / α h y α y φ = h actan α x tan ( πξ ) (4.3) Buada knc ak tanjantı hesaplaken; φ h le πξ nn bm çembedek aynı çeyek dae bölgesnde kalmasını sağlamak geekmekted (Walte, 005). (θ h, φ h ) değele bu şeklde bellendkten sona, bu değele vasıtasıyla yaım vektöü (H) bellen ve daha sona gelen ışık vektöü (L) bellen; [ snθ cosφ,snθ snφ,cos ] H = θ h h h h h L = V ( H ) H V (4.4) Bu şlem sayesnde atık önek yönü (θ, φ ) bellenmş olu. Bu önek yönü çn pdf değe se şöyle bellen; p( θ, φ (4.5) 1 ( )( ) cos φh sn φh θ = +, φ ) exp tan θ 3 h 4πα xα y V H N H α x α y

68 50 Eştlk 4.5 dek pdf le Eştlk 4. dek pdf uygun b şeklde bleştleek Wad BRDF modelnn önem öneklemesnde kullanılmaktadı. Önekleme yönle de yne Eştlk 4.3 ve Eştlk 4.1 e göe bellenmekted. Bu önekleme yönle ve kaşılık gelen pdf değele Eştlk 4.0 dek Monte Calo ntegasyon tahmnleycsnde uygun b şeklde bleştleek kullanılmaktadı. Bazı analtk BRDF modellenn, öneğn Cook-Toance BRDF model, Toance-Spaow BRDF model gb, önem önekleme yöntemle analtk olaak mevcut değld. Çünkü bu BRDF modellenden elde edlen CDF le tese çevlebl değlled. Lawence et al. (004) taafından bu tp önem önekleme yöntemne sahp olmayan analtk BRDF modelle çn ve ölçülmüş BRDF ves çn etkn b önem önekleme yöntem sunulmuştu Pbt Physcally Based Rendeng Tool (PBRT) ışın-zleme (aytacng) algotmasına dayanan b endeng sstemd (Pha and Humpheys, 004). Işın-zleme algotmalaı sonsuz küçük ışık ışınlaının göünüm çndek zledkle yolu smüle edele. PBRT, adından da anlaşılacağı üzee fzksel tabanlı endeng (veya dğe smyle fotogeçekç endeng ) de kullanılmaktadı. PBRT üç hedef doğultusunda dzayn edlmşt; eksksz olmalıdı, aydınlatıcı olmalıdı, fzksel tabanlı olmalıdı (Pha and Humpheys, 004). İçnde bçok hazı algotma olduğu gb, kullanıcılaın da kend algotmalaını yazableceğ b platfom suna. Tez kapsamı boyunca analtk BRDF modellenn fzksel tabanlı olaak endeng nde PBRT kullanılmıştı. Şekl 4.1 de Lawence et al. (004) ın kend çalışmasında kullandığı b göüntünün PBRT le yenden sunumu göülmekted.

69 51 Şekl 4.1 Lawence et al. (004) un çalışmasında kullandığı göüntünün PBRT kullanılaak yenden elde edlmş göüntüsü Göüntünün elde edlmesnde kullanılan modelle be b Lawence et al. (004) un kend çalışmasında kullandıklaı le aynıdı. Sadece tek fak bu göüntünün endeng nde PBRT nn kullanılmışş olmasıdı.

70 5 5 MODEL PARAMETRELERİNİN TAHMİN EDİLMESİ Ölçülmüş BRDF vesn mevcut olan endeng algotmalaının çne dâhl etmenn en blnen yollaından b, analtk BRDF modellenn paametelen ölçülmüş BRDF vesne uydumaktı (Lawence, 006). Geçekte, Lafotune BRDF model, Wad BRDF model gb analtk modelle ölçülmüş BRDF vesne uyduulmak amacıyla dzayn edlmşled (Lawence, 006). Ancak genel olaak, analtk BRDF modelle doğusal paametelee sahp olduklaı gb doğusal olmayan paametelee de sahp olmaktadıla. Doğusal olmayan paametelen tahmnlenmes de çeştl zoluklaa sahpt. En önemls, doğusal olmayan paametelee sahp b analtk BRDF modelnn paametelenn tahmnnde global mnmum gaant değld. Ayıca, ölçülmüş BRDF ves ölçüm sıasındak zolukladan dolayı güvenl olmayan ve çeebl, yan güültü çeebl. Bütün bunla göz önünde bulunduulaak analtk BRDF modellenn paametelenn ölçülmüş BRDF ves üzenden etkn ve doğu b şeklde tahmnlenmes çn çeştl algotmala gelştlmşt ve kullanılmaktadı. Bu bölümde bu algotmala daha yakından ncelenecekt. 5.1 En Küçük Kaele Metodu B deneydek he b gözlem b çft sayı olduğunda, sayıladan bn dğenn yadımıyla tahmn etmeye çalışmak önemld (DeGoot and Schevsh, 00). En küçük kaele, gözlemlenen çftlen b öneğn kullanaak, değşkenleden bnn tahmnleycsn dğe le nşa eden b metottu (DeGoot and Schevsh, 00). Böyle b tahmnleycy oluştumanın b yolu gözlemlenen değelee düz b doğu uydumaktı. En küçük kaele yöntemne göe, doğu öyle b

71 53 şeklde çzlmeld k, bütün noktalaın doğudan dkey sapmalaının kaelenn toplamı mnmum olmalıdı (DeGoot and Schevsh, 00). Öneğn bnc deeceden keyf b düz doğu ele alınısa; y = β x 0 + β1 (5.1) Bu doğu denklemnde β 0 ve β 1 bellenmes geeken sabtled. Doğunun n adet noktaya uyduulacağı faz edlse, bu duumda n adet noktanın dkey mesafelenn kaelenn toplamı şöyle yazılabl; Q [ y - ( 0 + β1x )] = n = 1 β (5.) En küçük kaele yöntemne göe β 0 ve β 1 n değele öyle b şeklde seçlmeld k Q nun değe mnmum olmalıdı (DeGoot and Schevsh, 00). Q nun değen mnmum yapan değele bulmak çn öncelkle kısm tüevlen alınması geek; dq dβ 0 = - dq = - dβ 1 n ( y - β0 - β1x ) = 1 n ( y - β0 - β1x ) x = 1 (5.3) Bu kısm tüevlen he b sıfıa (0) eştlendğnde aşağıdak k eştlğ elde etmş oluuz; β n + β β 0 n x = 1 = 1 = 1 n n n 0 x + β1 x = = 1 = 1 = 1 n y x y (5.4) Eştlk 5.4, β 0 ve β 1 çn nomal eştlkle olaak smlendl (DeGoot

72 54 and Schevsh, 00). Q nun knc deece tüevle hesaba alındığında göülü k β 0 ve β 1 n nomal eştlkle sağlayan değele Eştlk 5. y mnmum yapacaktı. Bu değele le oluştuulan doğu denklem de (Bkz. Eştlk 5.1) en küçük kaele doğusu olaak smlendl. Buna göe, nomal eştlkle (Bkz. Eştlk 5.4) çözüldüğünde β 0 ve β 1 değele çn olması geeken değele şöyled; β = 1 β = y 0 ot n = 1 n x y - n x = 1 x - β x 1 ot ot - n x y ot ot (5.5) Buada x ot ve y ot değele n değe çn x ve y değelenn otalamalaına eştt. Eştlk 5.5 sayesnde bnc deeceden b polnomun (düz doğu) doğusal olan katsayılaı bulunmuş olu. Eğe bnc deeceden b polnom yene k deecesne (k ) sahp b polnom uyduulacaksa yöntem baz faklı olu. Uydumak stenlen polnom şöyle olsun; y = β β β β + β 3 k 0 + 1x + x + 3 x +... k x (5.6) En küçük kaele yöntemne göe β 0,...,β k değele öyle b şeklde seçlmeld k, noktalaın eğden dkey sapmalaının kaelenn toplamı mnmum olmalıdı. Yan; Q = n = 1 [ ( )] 3 k y - + β x + β x + β x β x β (5.7) eştlğn mnmum yapacak sabtle seçlmeld. Eğe Q nun k+1 adet kısm tüev alınıp ve he b sıfıa (0) eştlense, k+1 adet doğusal eştlk elde edlmş olunu ve bunlaın otak çözümünden de k+1 adet k

73 55 sabt bellenebl; β n + β 0 n k x β k x = 1 = 1 = 1 = 1 n n y n k + 1 x + β 1 x β k x = β 0 x y = 1 = 1 = 1 = 1 β n n n k k + 1 x + β 1 x β k 0 = 1 = 1 = 1 n n x k = n n = 1 x k y (5.8) Eştlk 5.8 dek eştlklee daha öncek gb nomal eştlkle den. Eğe şayet en az k+1 adet faklı değe n adet gözlem çnde mevcut se bu duumda Eştlk 5.8 n çözümü mevcuttu. Bu nomal eştlklen otak çözümünden gelen β 0,...,β k değele Q nun değen (Bkz. Eştlk 5.7) mnmum yapacaktı, ve bu değeleden oluştuulan polnoma da en küçük kaele polnomu den. Buaya kada anlatılan bölümde k değşken aasında en küçük kaele yöntemnn nasıl uygulandığına değnld. Eğe b değşkenn tahmnleycs bden fazla değşkene bağlı olaak oluştuulmak stenyosa aşağıdak gb doğusal b fonksyonun hesaba alınması geek; y = β 0 + β1x + β x + β3x βk xk 1 (5.9) Bu duumda da β 0,...,β k değele en küçük kaele yöntem le bellen. Bu duumda mnmumu aanan Q değe şöyled; Q [ ( )] y β1x 1 + β x + β 3 x β k xk = n = 1 β (5.10)

74 56 k+1 adet nomal eştlk Q değenn kısm tüevle alınaak ve he b sıfıa (0) eştleneek bulunu. Bu eştlkle şöyled; β n + β 0 n x β k xk = 1 = 1 = 1 = 1 n n y n x1 + β 1 x β k x1xk = β 0 x = 1 = 1 = 1 = 1 β n n n xk + β 1 xk x β k 0 = 1 = 1 = 1 n n x k = n n = 1 x 1 k y y (5.11) Eştlk 5.11 n otak çözümünden elde edlecek β 0,...,β k değele Eştlk 5.10 u mnmum yapacaktı ve bu bulunan değelele oluştuulan fonksyon (Bkz. Eştlk 5.9) en küçük kaele doğusal fonksyonu olacaktı. Şmdye kada en küçük kaele yöntem le tahmn etmeye çalışılan değelen heps (β 0,...,β k ) doğusaldı. Dolayısıyla hehang b analtk BRDF modelnn doğusal paametele bu şeklde bulunabl. Paametelen doğusal olmaması duumunda se yne en küçük kaele yöntem kullanılabl ancak paamete değele bu duumda daha faklı b şeklde bulunu. B sonak bölümde bu amaçla kullanılan algotmala ele alınacaktı. 5. Doğusal Olmayan Paametelen Tahmn Analtk BRDF modellenn doğusal olmayan paametelenn tahmn çn lteatüde bkaç çeşt algotma önelmekted. Lafotune et al. (1997), Heubege ve Pasman (005), ve Matusk (003) n bu

75 57 amaçla kullandığı ve en çok blnen optmzasyon algotması Levenbeg- Maquadt (1963) algotmasıdı. Levenbeg-Maquadt algotması doğusal olmayan optmzasyon algotmasıdı ve eğm (gadent) aama metotlaının sınıfı çnde ye almaktadı (Heubege and Pasman, 005). Levenbeg-Maquadt algotması, optmzasyonu Gauss-Newton metodu le yapa. Gauss-Newton metodu doğusal olmayan en küçük kaele poblemnn çözümünü, doğusal en küçük kaele poblemlenn b ses le ye değşteek tahmn etmeye çalışı (Heubege and Pasman, 005). Algotmanın çalışablmes çn öncelkle doğusal olmayan paametelee başlangıç değele velmeld. Bçok Newton dan çıkasanan metot gb, Gauss-Newton metodu da şayet mnmumdan çok uzakta kalacak şeklde b başlangıçla başlatılısa doğu sonucu bulamaz. Ayıca kalan yok faz edlebl değl se, metot yakınsamayabl veya çok yavaş b şeklde yakınsa (Heubege and Pasman, 005). Dolayısıyla algotma lokal mnmum sonucu veebl. Levenbeg- Maquadt algotması Gauss-Newton metodu le Steepest Decent metodunun ağılıklandıılmış b kombnasyonudu (Heubege and Pasman, 005). Bu algotmanın patkte çok sağlam (obust) olmasını sağla ve dolayısıyla en çok blnen algotmaladan bd. Nygan et al. (005) taafından analtk BRDF modellenn doğusal olmayan paametelenn tahmn çn kullanılan b dğe algotma se sınılayıcı (constaned) doğusal olmayan optmzasyon teknğd. Kullanılan bu teknk Sequental Quadatc Pogammng (SQP) metoduna dayanmaktadı. SQP metoduna sınılayıcı yaı-newton (quas- Newton) metodu da den. SQP, he teasyonda knc deeceden pogamlama (quadatc pogammng) (QP) alt poblemn çöze. İknc deeceden pogamlama (QP), doğusal olaak sınılandıılmış knc deeceden b objektf fonksyonun mnmzasyonu veya maksmzasyonu le lglen.

76 58 Bu yöntemde de doğusal olmayan paametelee lk tahmn değe veleek algotma çalıştıılmaya başlanı. Ancak buada doğusal olmayan paametele çn bell kısıtla getlebl. Öneğn doğusal olmayan paametelen bell b aalık çnde kalması ve bu aalık çndek mnmumun veya maksmumun bulunması stenebl. B başka deyşle, algotma fonksyonu mnmum veya maksmum yapan doğusal olmayan paamete değen velen b aalık çnde aa. Bu algotmanın daha sağlıklı sonuçla vemesn sağlayan b faktödü. Ancak, algotma Newton dan çıkasandığı çn, doğusal olmayan paametele şayet mnmumdan çok uzakta kalacak şeklde b başlangıçla başlatılısa algotma doğu sonucu bulamaz. Analtk BRDF modellenn doğusal olmayan paametelenn ölçülmüş ve üzenden tahmnnde SQP y kullanmak daha avantajlıdı. Çünkü çoğunlukla analtk BRDF modellenn doğusal olmayan paametelenn bell sınıla çnde kalması geekmekted. Bu duum enejnn kounumu çn geektğ gb, fzksel olaak memnun edc sonuçla oluşmasına da yol açmaktadı. Sınılayıcı (constaned) doğusal olmayan optmzasyon teknğ sayesnde doğusal olmayan paametele çn aalıkla daha kolaylıkla velebleceğnden bu yöntem analtk BRDF modellenn doğusal olmayan paametelenn tahmn açısından daha avantajlıdı. Hem Levenbeg-Maquadt, hem de SQP nn MATLAB ın standat kütüphanes çnde uygulamalaı mevcuttu. Tez kapsamı çnde doğusal olmayan paametelen tahmn çn SQP yöntem kullanılmıştı. Sonuç olaak doğusal olmayan optmzasyon esas olaak global mnmumu gaant etmemek gb b pobleme sahpt ve bu hang yöntem kullanılısa kullanılsın doğusal olmayan optmzasyonun esas poblemd.

77 Objektf Fonksyonun Seçm Analtk BRDF modellenn paametelen ölçülmüş BRDF ves üzenden tahmn edeken objektf fonksyonu etkn olaak bellemek çok önemld. Ölçülmüş BRDF ves ölçüm esnasındak b takım yeteszlkleden dolayı güültü çeebl. Özellkle gazng açılaında ölçüm değele güvenl değld. Objektf fonksyonu etkn olaak bellemek hem doğusal olan hem de doğusal olmayan paametelen tahmnnde daha etkn sonuçla alınmasını sağla. Hehang b analtk BRDF modelnn b dffuse lop ve b specula lopun bleşmnden oluştuğu vasayılısa, model şu şeklde fomülze edlebl; M ( θ, φ, θ, φ ; p) = ( d, d, d ) dffuse + ( s, s, s ) specula( p, p,..., p ) o o g b (5.1) Buada d, d g, d b dffuse yansıma katsayılaıdı, s, s g, ve s b se specula yansıma katsayılaıdı. Bu altı paamete doğusaldı. p 0, p 1,...,p n se specula lop paameteled ve bu paametele doğusal değld. Doğusal paametelen tahmn çn doğusal en küçük kaele yöntem b alt posedü olaak kullanılı (Nygan et al., 005). Doğusal olmayan paametele çn se doğusal olmayan b optmzasyon algotmasına htyaç vadı. Bu algotmada kullanılabl olan b objektf fonksyon Nygan et al. (005) taafından önelmşt; g b 0 1 n E ( p) = [ ( θ, φ, θ o, φo ) cosθ - M ( θ, φ, θ o, φo ; p) cosθ ] w w R (5.13) Optmzasyon algotmalaı taafından mnmze edlmeye çalışılan bu objektf fonksyonda R ölçülmüş BRDF vesn, M analtk model (Bkz.

78 60 Eştlk 5.1), θ gelen vektöünün yükseltme açısını, ağılık w se sold angle doğulama temn fade etmekted. Toplam, bütün ölçülmüş BRDF ves üzende alınmaktadı. Bu metğn dğe b adı L metğd. Bu metğn en büyük avantajı doğusal paametelen ve doğusal olmayan paametelen ayı ayı tahmnlenp aynı optmzasyon çnde kullanılabl olmasını sağlamasıdı ve bu tahmn etme utnnn etknlğn ve stkaını attıı. Buadak cosθ tem BRDF ağılıklandımak çn kullanılmaktadı. Ayıca Nygan et al. (005) kend çalışması çnde gelen ve gden açılaı 80 deeceden büyük olan BRDF ölçümlen gazng açılaa çok yakın olduğu çn güvenl kabul etmemş ve paamete tahmnlemesnde bu BRDF velen kullanmamıştı. Nygan et al. (005) taafından cosθ le ağılıklandıılaak yapılan uyduma ve ağılıklandıılmadan yapılan uyduma sonuçlaı kıyaslanmış ve cosθ le ağılıklandımanın çok daha y endeng sonuçlaı otaya koyduğu gözlemlenmşt. Lafotune et al. (1997) taafından önelen b objektf fonksyon se ölçülmüş BRDF ves le BRDF modelnn faklaının hem gelen hem gden vektöün yükseltme (elevaton) açılaı le çapılmasıyla oluştuulmaktadı. Nygan et al. (005), bu objektf fonksyonun kend önedkle objektf fonksyon (Bkz. Eştlk 5.13) le göüntüsel olaak benze sonuçla otaya koyduğunu bulmuştu. Ayıca BRDF vesne kübk, logatmk gb tansfomasyonla uygulanaak da objektf fonksyonla oluştuulmaya çalışılmaktadı. Öneğn Matusk (003), Wad ve Lafotune BRDF modellen ölçülmüş BRDF vesne logatmk tansfomasyon le uydumuştu. Nygan et al. (005) ın dedğ gb, logatmk tansfomasyona dayanan metk sıfıa yakın bölgelede y sonuçla üetmemekted. Genel olaak, algısal olaak y sonuçla veeblecek ve aynı zamanda optmzasyonu stkalı (stable) olan b metk oluştumak oldukça aaştıılan b konudu.

79 Sağlam En Küçük Kaele Metodu Veledek güültüyü elmne etmeye yönelk kullanılan doğusal yöntemleden b sağlam en küçük kaele metodudu. Bu yöntem ynelemel (teatve) olaak vele yenden ağılıklandıaak en küçük kaele yöntem le paamete tahmn yapa. Yöntemde ağılıkla bell b ağılık fonksyonu yadımı le bulunu. He teasyonda kullanılan ağılık, b öncek teasyondan elde edlen kalanlaa (esdual) ağılık fonksyonunun uygulanmasıyla elde edl. Bu yöntem y b şeklde uyduulamayan noktalaa düşük ağılıkla ve. Bu yöntemden elde edlen sonuçla standat en küçük kaele metoduna (Bkz. Bölüm 5.1) göe outle laa daha az duyalıdı. Şekl 5.1 de sağlam en küçük kaele yöntemnn standat en küçük kaele yöntemne üstünlük sağladığı b duum sunulmaktadı. Şeklden de göüleceğ üzee böyle Şekl 5.1 En küçük kaele yöntem le sağlam en küçük kaele yöntemnn kıyaslaması

80 6 Ağılık Fonksyonu Fomülü Aya Sabt andews w = (abs()<p).* sn()./ 'bsquae' w = (abs()<1).* (1 -.^).^ 'cauchy' w = 1./ (1 +.^).385 'fa' w = 1./ (1 + abs()) 'hube' w = 1./ max(1, abs()) 'logstc' w = tanh()./ 1.05 'talwa' w = 1 * (abs()<1).795 'welsch' w = exp(-(.^)).985 Tablo 4.1 obustft fonksyonunda kullanılablen ağılık fonksyonlaı ve aldıklaı paametele duumlada sağlam en küçük kaele yöntem, standat en küçük kaele yöntemne göe daha düşük hatala vemekted. Bu yöntemn b uygulaması MATLAB standat kütüphanesnde obustft fonksyon smyle bulunmaktadı. Buadak mevcut olan algotmada seçleblecek ağılık fonksyonlaı le lgl blgle Tablo 4.1 den ncelenebl. Ağılık fonksyonundak değe şu şeklde bulunu; esd = tune s 1 h (5.14) Buadak esd değe b öncek teasyondan elde edlen kalanlaın vektöüdü, tune aya (tunng) sabtd, h en küçük kaele yöntemnden elde edlen leveage değelenn b vektöüdü, s se hata temnn standat sapmasının b tahmnlemesd ve şu şeklde bellen; MAD s = (5.15) Buada se MAD değe kalanlaın kend otalama değenden mutlak

81 63 sapmasının otalamasıdı değe se tahmnlemey nomal dağılıma göe taafsız (unbased) yapmak çn kullanılmaktadı. Sağlam en küçük kaele yöntemnde kullanılan aya sabt değenn büyük b değe alması duumunda büyük kalan değele daha az b şddetle aşağıya doğu ağılıklandıılı, küçük değele alması duumunda se büyük kalan değele daha büyük b şddetle aşağıya doğu ağılıklandıılı.

82 64 6 ANA BİLEŞENLER ANALİZİ Bu bölümde detaylı olaak anlatılan ana bleşenle analz (PCA) konusu Matusk (003), Oveall ve Klett (197), ve Cooley ve Lohnes (1971) de anlatılanla ışığında sunulmaktadı. Bazı duumlada, gd vektöünün boyutu oldukça büyüktü. Fakat vektöün bleşenle oldukça lşkld ve bu duum fazlalık blglen bu vektöde mevcut olduğunu belt. Böyle b duumda gd vektöünün boyutunu düşümek oldukça kullanışlı olacaktı. Bu opeasyonu yene getecek etkn b posedü se ana bleşenle analzd (PCA). PCA veya dğe smyle Kahunen- Loeve tansfomasyonu doğusal alt uzay tahmnlemes çn kullanılan öneml b metottu (Matusk, 003). Bu teknk k etkye sahpt. Bncs, gd vektöünün bleşenlen dkleşt. Yan b başka deyşle, gd vektöünün bleşenlen bbyle lşksz hale get. İkncs, sonuç dkgen (othogonal) bleşenle (dğe smyle ana bleşenle) sıala. Bu sıalama en çok vayasyona sahp olanın bnc sıada, knc en çok vayasyona sahp olanın knc sıada, üçüncü en çok vayasyona sahp olanın üçüncü sıada ve n. en çok vayasyona sahp olanın n. sıada olacağı şeklde olu. Bu sayede ve set çnde çok az vayasyona sahp olan bleşenle en sonda kalı ve elenebl olu. PCA n hedef, d<d olacak şeklde D boyutlu ojnal uzayı d boyutlu uzaya eşleyecek b doğusal tansfomasyon bulmaktı (Matusk, 003). Bu şlem ve hakkındak bçok blgy kouyaak yapmayı amaçla. Bu konu baz daha açılacak olunusa lk olaak bastlk açısından ojnal venn sıfı otalamaya sahp olduğunu kabul etmek geek. Eğe venn otalaması sıfıa eşt değlse, öncelkle venn otalamasının venn he b elemanından çıkaılması geekld. y b D boyutlu uzay çnde b önek noktasını sunan b vektö olsun ve mats Y de N adet noktanın b kümesn şaet etsn; Y = [y 1, y,.,y N ]. Bu noktala yen b bm boylu (othonomal) temel U çnde sunulablle;

83 65 U = [u 1,u,..,u D ]. Şöyle k; Y = UX (6.1) Buada X = [x 1, x,,x N ] ve noktalaının yen taban çndek koodnatlaını sunmaktadı. U T U = I olduğu çn, mats X şöyle yazılabl; X = U T Y (6.) Hedef boyutluluğu düşümek olduğu çn, he vektö y yalnıza d adet temel vektö kullanılaak tahmn edl; d y = x u (6.3) j= 1 j j Blg kaybını ölçmenn b yolu hatalaın kaelenn toplamını bulmaktı; E M 1 = N = 1 y y 1 = N D x = 1 j= d + 1 Eştlk 6. y kullanaak, Eştlk 6.4 şu şeklde de yazılabl; j (6.4) E M = 1 D N T T T ( u y ) = ujyyuj= j j= d + 1 = 1 1 D N 1 j= d + 1 = 1 j= d + 1 D u T j C u j (6.5) Buada C değe ve set çndek bütün noktalaın kovayans matsd ve şu şeklde fomülze edlebl; N T C = y y (6.6) = 1 u j vektöle kovayans mats C nn egenvalue ayışımına (decomposton) kaşılık geldğnde E M mnmum olu. Yan;

84 66 UΛ = CU Λ = U T CU (6.7) Buada Λ değe azalan egenvalue le λ (temel bleşen vayanslaı da den) nn b köşegen matsd ve U se kaşılık gelen egenvecto lenn b bm boylu matsd. Yan b başka deyşle U, temel bleşen vektölen çeen b matst. Döt temel bleşene sahp olunan b duumda, Λ şu şeklde göstelebl; λ1 0 Λ = λ λ λ4 (6.9) E M nn mnmum değe, Eştlk 6.10 da u j vektöle en düşük D-d adet egenvalue ye kaşılık geldğnde elde edl; E M = 1 D j j= d + 1 λ (6.10) Bu demekt k, Eştlk 6.3 de kullanılan u j vektöle en büyük egenvalue lee kaşılık gelen egenvecto le olmalıdı. Ancak, D değe çok büyük olduğunda kovayans mats C y ve onun egenvalue ayışımını hesaplamak çok zodu ve hatta bazı duumlada mkânsızdı. Bu duuma altenatf b hesaplama yöntem se Y T Y matsn kullanmaktı. İlk olaak, mats B ve onun egenvalue ayışımı tanımlanı; B = Y T Y = VΛ B V T (6.11)

85 67 Buada V değe egenvecto lenn bm boylu matsd ve Λ B se azalan egenvalue lenn köşegen matsd. Daha sona Eştlk 6.11 n he k taafı sol taafından Y le sağ taafından V le çapılısa; YY T YV = YVΛ B V T V (6.1) C(YV) = (YV) Λ B (6.13) Daha sona, he k taaf sağ taafından Λ -1/ B le çapılısa; C(YV) Λ B -1/ = (YV) Λ B Λ B -1/ (6.14) C(YVΛ -1/ B ) = (YV Λ -1/ B ) Λ B (6.15) Dkkat edlse YVΛ -1/ B mats bm boyludu; (YVΛ -1/ B ) T (YVΛ -1/ B ) = Λ -1/ B V T Y T -1/ YVΛ B = Λ -1/ B V T V Λ B V T -1/ V Λ B = I (6.16) Eştlk 6.7 dek bnc eştlk le kıyaslandığında göülmekted k U şöyle de yazılabl; U = YVΛ B -1/ (6.17) ve Λ = Λ B (6.18) d. Ayıca, koodnatlaı çeen X şu şeklde daha etkn olaak hesaplanabl; X = U T Y = (YV Λ -1/ B ) T Y = Λ -1/ B V T Y T Y = Λ -1/ B V T V Λ B V T = Λ 1/ B V T (6.19)

86 68 Genel olaak, temel bleşenlen eşsz b özellğ se adışık temel bleşen vektölenn hem geometk hem statstksel dkgenlğe sahp olmasıdı. İstatstksel dkgenlk k doğusal kombnasyon aasında sıfı koelasyon veya sıfı kovayans olması duumudu. Buna statstksel bağımsızlık da den. Geometk dkgenlk se, k vektöün ç (nne) çapımlaının sıfı olmasıdı. Bu k duum fomül le açıklanacak olusa, geometk dkgenlk çn Eştlk 6.0 ye, statstksel dkgenlk çn Eştlk 6.1 e bakmak geek; U T U = I (6.0) Λ = U T CU (6.1) Temel bleşenle analznn uygulaması çn standat MATLAB kütüphanesndek pncomp komutu kullanılmıştı. Bu komutta gd olaak X mats vel (Bkz. Eştlk 6.1). Fonksyon, U ve Y matslen döndüü (Bkz. Eştlk 6.1). Y değele daha önce de bahsedldğ gb temel bleşenle uzayındak X n sunumudu. U se yne daha önce değnldğ gb temel bleşen katsayılaını çeen b matst. U mats elde edldkten sona başka b matsn de yne aynı temel bleşenle uzayı çndek sunumu bulunabl. Ayıca pncomp fonksyonu, X n kovayans matsnn egenvalue laını çeen b vektö le he ve noktası çn Hottelng n T statstğn çeen b başka değe daha döndümekted. Temel bleşenle analz heteojen b önek çnde, beyle aasındak faklaın az sayıdak bleşk değşkenle le açıklanması hedeflenen duumlada kullanılmalıdı ve özel olaak seçlmş homojen önek çnde beyle aasındak benzelklen kaakteze edlmes hedeflenen b duumda se kullanılmamalıdı (Oveall and Klett, 197).

87 69 7 YENİ BİR IŞIKLANDIRMA MODELİ Bu bölümde teze smn de veen yen b ışıklandıma modelnn ayıntılı tanımlaması bulunmaktadı. Bu çalışmada, BRDF sunablmek çn doğusal paametelee sahp tepk (esponse) yüzey modelle kullanılmıştı. Tepk yüzey metodolojs, bden fazla olan açıklayıcı değşkenle le b adet bağımlı değşken aasındak lşky açıklamak çn oldukça yaygın b şeklde kullanılan b metottu. B tepk yüzey model, p deecesne ve k değşkenne sahp b polnom fonksyonu olaak tanımlanı (Cochan and Cox, 1966). Öneğn k değşkenl knc deeceden b tepk yüzey model şu şeklde fomülze edlebl; y = α + α x + α x + α x x + α x + x + e. (7.1) α 5 Buada e hata temn suna, x 1 ve x açıklayıcı değşkenled ve y se bağımlı değşkend. α 0, α 1, α, α 3, α 4, α 5 se tahmn edlmes geeken doğusal paameteled. Şayet açıklayıcı paametele dkgen se bu duumda etkleşm (nteacton) temlene kaşılık gelen katsayıla sıfı olu ve modelden çıkaılı. Açıklayıcı paametelen dkgen olması duumunda Eşklt 7.1 şöyle yazılmalıdı; y = α + α x + α x + α x + x + e. (7.) α 5 Gelen ışık vektöü L nn katezyen koodnatlaındak üç bleşen u x, u y, ve u z le tanımlanısa, ve gden bakış vektöü V nn katezyen koodnatlaındak üç bleşen v x, v y, v z le tanımlanısa ve buna göe de X 1 = u x v x, X = u y v y, X 3 = u z v z olaak tanımlanısa,. yüzey noktası çn b tepk yüzey model aşağıdak şeklde tanımlanabl; f + = α + α X X 1 + α X + X + α X (bnc deece etkles.) + yuksek deece etkles. + e X + α X + α X k k k L α 3k 1 α 3k 1 α 3k α 3k X 5 X + α X + L. 6 3 (7.3)

88 70 Dkkat edlse yukaıdak model doğusal paametelee sahpt. Paamete aded se polnomun deecesne bağlı olaak üssel b şeklde ata. Model bu halyle kaşılıklı olma pensbn yene getmekted. Bu model bastleştmenn b yolu se, üç boyutlu sstem dkgen b sstem çne dönüştümekt. Eğe yüzey dkgen değşkenle le tanımlanısa, bu duumda Eştlk 7.3 dek bnc deece etkleşm temle sıfı olacaktı. Çünkü yen uzay çndek açıklayıcı değşkenle bbnden bağımsız olacaktı. Tabk, yüksek deece etkleşm temle bu duumda modelden çıkaılamaz ama ve uzayı böyle b dkgen uzayının çne dönüştüüldüğünde yüksek deece etkleşm temlenn etklenn düşeceğ beklenebl. Bu amaçla hehang b dkgen tansfomasyon kullanılabl. Temel bleşenle, açıklayıcı değşkenlen dkgen tansfomasyonu çn seçlmşt. Temel bleşenle le lgl ayıntılı blg Bölüm 6 da bulunmaktadı. Genel olaak, temel bleşenle analz çok boyutlu ölçülmüş değşkenlen, daha az boyutlu dkgen değşkenlee dönüştüülmes çn kullanılmaktadı. Temel bleşenle analz sonucu elde edlen he dönüştüülmüş değşken ojnal değşkenlen b doğusal bleşmd. Dolayısıyla temel bleşenle analz doğusal b metottu. İlk temel bleşen ojnal değşkenlen tüm set çndek toplam vayasyonun maksmum mktaını hesaba almaktadı. İknc temel bleşen se knc en yüksek vayasyonu hesaba alı vs. Temel bleşenlen bu özellğ BRDF kabul edlebl b doğuluk le daha az b boyutla sunmak çn b yol suna. Z 1, Z, ve Z 3, Eştlk 7.3 de tanımlanmış olan X 1, X, ve X 3 ün temel bleşenle tansfomasyonu sonucu kaşılık gelen değşkenle olsun. B başka deyşle Z 1, Z ve Z 3, X 1, X ve X 3 ün temel bleşenle uzayı çndek sunumlaı olsunla. BRDF, bu dkgen temel bleşenle kullanılaak şu şeklde fomülze edlebl;

89 p p p p p p Z Z Z Z Z Z Z Z Z f ε β β β β β β β β β β = L (7.4) buada β, (=0, 1,, 3p) le tahmn edlmes geeken doğusal paameteled. ε se hata temd. Bu temn otalaması sıfı, vayansı se σ d. Eştlk 7.4 dek doğusal paametele ölçülmüş BRDF ve set üzenden en küçük kaele yöntem (Bkz. Bölüm 5.1) le kolaylıkla bulunabl. Doğusal olmayan paametelee sahp BRDF modellenn aksne, hehang b optmzasyon teknğne geek duymadan bu modeln paametele tahmnlenebl. Dğe yandan, bu model dffuse ve palak mateyalle y b şeklde sunablmekted. Specula mateyalle sunablmek çn oldukça yüksek deeceye sahp b şeklde sunum geekebl k, bu duum model kullanılmaz yapabl. Eştlk 7.4, anzotopk BRDF le sunmak çn kullanılmaktadı. Polnom modeln zotopk mateyalle çn uyduulması geektğnde de yapılması geeken yen değşkenle tanımlamaktı. Bu değşkenle; W 1 = u x v x + u y v y ve W = u z v z şeklnde tanımlanı. Bu duumda W 1 ve W değşkenlene temel bleşen le tansfomasyon uygulanı. Tansfomasyon sonucu elde edlen dkgen değşkenle Z 1 ve Z olduğu kabul edl se zotopk duum çn polnom model şu şeklde fomülze edl;. Z Z Z Z Z Z f p p p p ε β β β β β β β = L (7.5) buada da β, (=0, 1,, p) le tahmn edlmes geeken doğusal paameteled. ε se hata temd. Bu temn otalaması sıfı, vayansı se σ d. B zotopk BRDF n bnc temel bleşen (Z 1 ) ve knc

90 7 Şekl 7.1 Paametele Conell mstk lakeden tahmn edlmş zotopk polnom modeln k temel bleşennn b fonksyonu olaak sunumu temel bleşen (Z ) cnsnden sunumu Şekl 7.1 de sunulmaktadı. Eştlk 7.5 n paametelenn en küçük kaele tahmnleycs mats çapımlaı şeklnde şu şeklde yazılabl; βˆ = (Z'Z) 1 Z'f. (7.6) Buada βˆ b (p+1)x1 vektödü, Z se nx(p+1) lk b dzayn matsd. Z nn. satıı şu şeklde fade edlebl; z p p = { 1 Z Z LZ Z }. (7.7) 1 1 f se ölçülmüş BRDF len nx1 lk vektöüdü. βˆ nın tahmnlenmes sonucu oluştuulan modeln z noktasındak tahmnnn oluştuacağı otalama kae hata (MSE) se şu şeklde fomülze edlebl;

91 73 MSE = E{ f ( z,βˆ) η( z,α)} = V{ f ( z,βˆ)} + { E( f ( z,βˆ)) η( z,α)} = z( Z'Z ) 1 z'σ + { z( Z'Z ) 1 Z'η( z,α) η( z,α)} (7.8) Buada E beklenen değe, V se vayansı sembolze etmekted. η he noktada tam anlamıyla ölçülmüş BRDF vesne kaşılık değele üeten doğu model, α se onun paametelen sembolze etmekted. Yan bu duum fomülze edlse; { 1 α η( z,α)} ' = { η(z, α), η( z,α), L η( zn, )}. (7.9) Eştlk 7.8 den göüleceğ üzee tahmn hata knc tem le bellen. Bu tem ayıca uyduulan modeln eğlm (bas) tem olaak da bln. Önek uzayı üzendek maksmum tahmn hata, eğlm temnn b fonksyonu olaak şu şeklde fade edlebl; 1 δ max = max{ z (Z' Z) Z' η( z,α) η( z,α)} 1 n. (7.10) Bellenen Z mats ve doğu model çn tahmn hatanın hesabı çok kolaydı. Buadak doğu model ölçülmüş BRDF ves olaak seçlebleceğ gb hehang b analtk BRDF model (öneğn Lafotune BRDF model) olaak da seçlebl. Tez kapsamı boyunca yen polnom modeln heps doğusal olan paametele Bölüm 5.4 de değnlen sağlam en küçük kaele yöntem le bulunmuştu. Dğe analtk modellele kıyaslayablmek çn se, Eştlk 5.13 de fomülü velmş olan L metğ cnsnden de he b malzemedek tahmn hatası sunulmuştu.

92 74 8 KULLANILAN BRDF VERİ SETLERİ Tez kapsamı boyunca, analtk BRDF modellenn paametelen tahmn etmek çn üç faklı ölçülmüş BRDF ve set kullanılmıştı. Bunla CUReT ve set (CUReT, 007), Conell ünvestes taafından ölçümleneek hazılanmış olan ve set (Conell, 007) ve Matusk et al. taafından ölçümleneek hazılanan ve setd (Matusk et al., 003). CUReT de kullanılan BRDF ölçüm geec b obot, lamba, kşsel blgsaya, spektomete, ve vdeo kameasından oluşmaktadı (Dana et al., 1996). CUReT ve set 61 adet zotopk ve anzotopk mateyaln ölçümlenmes sonucu oluştuulan b ve setd. Bu ve setnde kullanılan malzemele Ek 1 dek Şekl 8.1 den göülebl. Şekl 8.1 de he malzemenn hemen üstünde sm ve numaası da bulunmaktadı. CUReT ve setndek malzemele fotometk ve geometk özellklen büyük b aalığını kapsayablmek amacına göe seçlmşled (Dana et al., 1996). Bunla çnde specula yüzeyle (alümnyum folyo, sun çm), dffuse yüzeyle (alçı, beton), zotopk yüzeyle (manta, de, sun köpük), anzotopk yüzeyle (saman, ftll kadfe, mısı kabuğu), büyük yükseklk vayasyonlaına sahp yüzeyle (buuşmuş kağıt, havlu kumaş, çakıl taşı), küçük yükseklk vayasyonlaına sahp yüzeyle (zımpaa kağıdı, taş ocağı kemd, tuğla), pastel yüzeyle (kağıt, pamuk), enkl yüzeyle (kadfe, halı), doğal yüzeyle (yosun, maul, kük), ve nsan yapımı yüzeyle (sünge, havlu kumaş, kadfe) bulunmaktadı (Dana et al., 1996). 9, 30, 31 ve 3 numaalı önekle, 11, 1 ve 14 numaalı öneklen yakın çekm göüntüled. Aynı tp yüzeylen faklı önekle tahta_a, tahta_b şeklnde haflele bbnden ayılmışladı. CUReT ve setndek toplam anzotopk malzeme aded 9 du. Bunla; önek 38 (çzgl kağıt), önek 40 (saman), önek 4 (ftll

93 75 kadfe), önek 44 (keten kumaş), önek 46 (pamuk), önek 51 (mısı kabuğu), önek 54 (tahta_a), önek 56 (tahta_b) ve önek 58 (ağaç) dı. CUReT ve setnde he b önek çn toplam 05 adet BRDF ölçümü yapılmıştı. Bu ölçümle kımızı, yeşl ve mav BRDF değele olaak sunulmuştu. BRDF n 4 boyutlu olduğu düşünüldüğünde bu mktadak önekleme oanı tab k yeteszd. BRDF n mevcut özellklen etkn b şeklde sunablmek çn daha sık b öneklemeye htyaç vadı. Bu duum BRDF uydumasının etknlğn de oldukça düşüen b etkend. Ayıca CUReT malzemelene genel olaak bakıldığında he öneğn makoskopk yüzey püüzlülüğüne veya dkkate değe den vayasyonlaa sahp olduğu göülmekted (Dana et al., 1996). Bunun yanında malzemelen dffuse ve palak malzemeleden oluştuğu, yüksek speculaty e sahp malzemelen ye almadığı gözlemlenmekted. Dana et al. (1996) ölçümledkle bu BRDF vele le Oen-Naya BRDF modelnn ve Koendenk BRDF modelnn bu malzemele çn paametelen tahmn etmşled. Ölçülmüş malzemelen BRDF vele ve bu k BRDF modelnn he b malzeme çn tahmn edldğ paametele CUReT (007) çnde bulunabl. B dğe ölçülmüş BRDF ve set se Conell (007) ünvestes taafından hazılanmıştı. Ölçüm sıasında gonoeflectomete ve kend göüntü tabanlı BRDF ölçüm teknklen kullanmışladı. Ölçülen mateyallen heps zotopkt. Ölçülen malzemele çnde; otomotv boyalaı (mstk lake, tmsah lake), spey boyalaı (kımızı enktek lal taşı, mav kylon lâteks), ev boyalaı (spey boyalı lâteks mav boya), nsan cld (43 yaşındak Kafkasyalı b ekeğn alnı, 3 yaşındak Hntl b ekeğn alnı), seamk yüzeyle (kl saksısı) ve mav aklk levha bulunmaktadı. Spey boyalaı otomotv boyalaına göe daha az palaktı. Şekl 8. de tmsah lakenn göüntüsü bulunmaktadı. Conell ve setnde, ölçüm sıasında 1439 adet ölçüm kombnasyonu kullanılaak

94 76 Şekl 8. Tmsah lakenn göünümü (Conell den 007) BRDF vele sunulmuştu. Ayıca malzemelen bçoğu le analtk Lafotune BRDF modelnn paametele tahmnlenmşt. Tahmnlenen paametele ve ölçülmüş BRDF vele Conell (007) de bulunabl. Genel olaak, bu ve set de dffuse ve palak malzemeleden oluşmaktadı. Ancak CUReT ve setndek gb malzemelen genel püüzlü seçlmemşt ölçüm BRDF n etkn sunumu çn yne tam olaak yetel değld. B dğe ölçülmüş BRDF ve set Matusk et al. (003) taafından sunulmuştu. Ölçülen malzemelen heps zotopkt ve toplam 100 adett. Şekl 8.3 den ölçümü yapılan 100 zotopk mateyaln esmle b aada göülebl. Matusk et al. (003), lk olaak 130 faklı mateyal ölçsele de bunladan anzotopye sahp olanlaını, homojenlğe sahp olmayanlaını, cdd alt yüzey saçılmasına sahp olanlaını eleyeek malzeme adedn 100 e ndmşled. Ölçülen mateyalle aasında metalle, plastkle, boyalı yüzeyle ve kumaşla bulunmaktadı (Nygan et al., 005). Matusk et al. (003), oldukça yüksek b deecede yansıtıcı özellkle bulunan mateyallen specula pklenn doğal zotopk

95 77 Şekl 8.3 Matusk et al. ın ve setndek ölçümü yapılan 100 mateyaln esm (Matusk den 003) BRDF paametzasyonu le sunulmasının oldukça zo olduğunu gözlemlemşled. B başka deyşle bu zotopk malzemele θ, θ, ve φ dff le sunmak çok zodu. Hatta he boyut çn 1 (b) deece hassasyetle önekleme ble yapılsa ojnal göüntüle yenden üetmenn mümkün olmadığını gözlemlemşled. BRDF velen daha etkn b şeklde önekleyeblmek çn, BRDF velen Rusnkewcz (1998) taafından sunulan faklı b koodnat sstem çnde sunmuşladı. Şekl 8.4.(a) da standat koodnat sstem göstelmekte ken, Şekl 8.4.(b) de Rusnkewcz (1998) taafından sunulan koodnat sstem göstelmekted. Rusnkewcz (1998) taafından sunulan bu koodnat sstem yaım açıya göe bellenen açılaa dayanı (Matusk, 003). Yaım açı (θ h ) amaca uygun b yansıma paametesd, çünkü bu açı deal yüzey nomaln tanımla öyle k bu nomale sahp b yüzey

96 78 Şekl 8.4 İk faklı koodnat sstem (Matusk den 003) (böyle b yüzeye mükemmel yansıtıcı da den) gelen ışığı olduğu gb gden (bakış) yönüne yansıtı. Bu koodnat sstem önekleme yoğunluğunun specula vugunun cvaında attıılablmesne olanak tanımaktadı. Dolayısıyla bu kısım daha y fade edleblmekted. Bu sıklık değşmn geçekleşteblmek çn se, Matusk et al. (003) yaım açı çn üssel eşleme uygulamışladı. Bunun çn kullanılan fomül Eştlk 8.1 den göülebl; h = kutu θ (8.1) Matusk et al. (003) zotopk BRDF le θ h, θ d, ve φ d ye göe ölçümlemşled. θ h çn 90, θ d çn 90 ve φ d çn 360 kutu kullanmışladı. Daha sona kaşılıklı olma pensbnden faydalanaak he hang b kayıpla kaşılaşmadan φ d çn 180 kutunun yetel olacağını bellemşled. Çünkü kaşılıklı olma pensbne göe Eştlk 8. geçeld; ( θ θ, φ ) f ( θ, θ φ + π ) f,, (8.) h d d = h d d

97 79 Buna göe he b zotopk BRDF 90x90x180 = adet ölçümleme le oldukça yüksek b hassasyette ölçümlemşle ve sunmuşladı. Matusk et al. (003), ölçümleme esnasında güvenl olmayan açı kombnasyonlaında bu açı kaşılığına kımızı, mav ve yeşl BRDF değele koymaktansa -1 değe koymuşladı. Bu sayede bu değelen güvenl olmadığını ve hehang b uyduma posedüünde de kullanılmaması geektğn şaet etmektedle. B malzemenn adet BRDF le sunulması BRDF n mevcut olan bütün özellklen etkn b şeklde sunumu çn yeteld. Matusk et al. (003), ölçümleme sonucu elde ettğ vey endeng de kullandıklaında, elde ettkle göüntülen ojnal göüntüle le eşleştğn göstemşled. Ancak ölçülmüş BRDF ves, b malzeme çn endeng esnasında yaklaşık 30 MB cvaında ye ayılmasını geekt k bu da cdd b depolama poblemn beabende get. Hatta yüzlece veya bnlece malzemenn aynı anda endeng n mkânsız kıla. Ölçülmüş BRDF ves çok olduğunda onladan etkn b şeklde önekleme yapıp ve daha sona bunu analtk modellen paametelen tahmn etmede kullanma da yne b dğe poblemd. Heubege ve Pasman (005) ın, Matusk et al. (003) ın ölçmüş olduğu bu veleden etkn b önekleme yapma konusunda b çalışması bulunmaktadı. Tez kapsamı boyunca Matusk et al. (003) ın ve set kullanılıken mümkün olduğunca çok b şeklde BRDF ves öneklenmeye çalışılmıştı. Bu amaçla endeng de kullanılan b küenn üzende oluşan bütün açı kombnasyonlaı Matusk et al. (003) ın BRDF ve setn önekleme çn kullanılmış ve bu ve set le analtk BRDF modellenn paametele tahmnlenmşt. Genel olaak bakılısa, Matusk et al. (003) ın ve set bçok çeşt BRDF sınıfını çnde baındıı. Yan püüzlü, dffuse, palak,

98 80 specula ve oldukça yüksek deeceden specula malzemele mevcuttu. Yüksek b deeceden hassasyete sahpt. Ayıca BRDF etkn b şeklde sunmaktadı. Nygan et al. (005), bu ve setn kullanaak en blnen analtk BRDF modellenn paametelen tahmn etmş ve modellen uyduma pefomansını kıyaslayan b çalışma geçekleştmşt. Bu çalışmadan da göüleceğ üzee analtk modellen bu ve setnden elde edlen paametele le sunumu modellen doğu ve hassas olmasını sağlamaktadı. Dolayısıyla hassas ölçümlenmş ve yüksek önekleme mkânına sahp b BRDF ve set BRDF modellenn pefomansını da attımaktadı.

99 81 9 KARŞILAŞTIRMALAR VE SONUÇLAR Bölüm 7 de ayıntılaı sunulan polnom modelnn özellklen aaştıablmek ve sunablmek çn Bölüm 8 de değnlen üç adet ve set kullanılmıştı. CUReT (007) ve setndek 5 zotopk ve, Conell (007) ve setndek zotopk tmsah lake ve Matusk et al. (003) ve setndek 100 zotopk mateyalden bej-kumaş, koyu-mav-boya, yeşllâteks, tuuncu-boya ve saı-plastk kullanılmıştı. Modeln doğuluğu polnomun deeces p ye göe değşmekted. Ancak, doğuluğu attımak demek modele de daha fazla paamete eklenmes demekt. Bu duumu gösteeblmek çn global ışıklandıma le b vazo endeng geçekleştlmşt. Vazolada kullanmış olan modeln (Bkz. Eştlk 7.5) paametele Conell (007) tmsah lakeden ve CUReT (007) taş ocağı kemd malzemelenden tahmn edlmşt. Şekl 9.1.(a) da tmsah lake p=1 le, Şekl 9.1.(b) de tmsah lake p= le, Şekl 9.1.(c) de tmsah lake p=3 le, Şekl 9.1.(d) de tmsah lake p=4 le, Şekl 9.1.(e) de tmsah lake p=5 le, Şekl 9.1.(f) de tmsah lake p=6 le sunulmaktadı. Şekl 9.1.(g) de taş ocağı kemd p=1 le Şekl 9.1.(h) da taş ocağı kemd p= le Şekl 9.1.(ı) da taş ocağı kemd p=3 le Şekl 9.1.(j) de taş ocağı kemd p=4 le Şekl 9.1.(k) da taş ocağı kemd p=5 le Şekl 9.1.(m) de taş ocağı kemd p=6 le sunulmaktadı. Şekl 9.1 Değşen polnom deecele le sunulan vazola

100 8 Malzeme p=1 p= p=3 p=4 p=5 p=6 Hata #Pa Hata #Pa Hata #Pa Hata #Pa Hata #Pa Hata #Pa Tmsah lake Taş ocağı kemd Tablo 9.1 Polnom modelnn değşen polnom deecelene göe paamete adetle ve hata değele Tablo 9.1 de se, Şekl 9.1 de paametele tahmn edlen polnom modelnn he b deecesnde elde edlen L hatası ve kullanılan paamete aded bulunmaktadı. Hem Şekl 9.1 den hem Tablo 9.1 den göüleceğ üzee polnom modeln deeces attıkça göüntü kaltes atmaktadı. Ayıca polnom modeln deecesnn atması le mateyallen specula yansıması sunulmaya başlanmaktadı. Yen doğusal model, onun akple göüleblecek BRDF modelle le kıyaslayablmek çn sekz adet en çok blnen analtk BRDF model bellenmşt. Bu BRDF modelle; Ashkhmn-Shley, Blnn-Phong, Cook-Toance, Lafotune, Oen-Naya, Wad, Wad-Due ve Koendenk BRDF modelled. Koendenk BRDF model çn modeln deeces sekz (8) olaak alınmıştı. Bu modellen uyduma posedüü çn kullanılan yöntem ve he b malzeme çn elde edlen paametele Ek 3 den göülebl. Polnom modelnn deeces se yed (p=7) olaak alınmıştı. Daha y b göstem çn, CUReT ve setnden beş adet mateyal seçlmşt. Bunla; keçe, potakal kabuğu, taş ocağı kemd, aduvaz_a ve aduvaz_b d. Ek dek Şekl 9. bu modellen, bu mateyalle üzenden tahmn edlen paametele le küe üzende sunumunu göstemekted. Şekl 9..(a) satıında Ashkhmn-Shley BRDF model, Şekl 9..(b) satıında Blnn-Phong BRDF model, Şekl 9..(c) satıında Cook-Toance BRDF model, Şekl 9..(d) satıında

101 83 Lafotune BRDF model, Şekl 9..(e) satıında Oen-Naya BRDF model, Şekl 9..(f) satıında Wad BRDF model, Şekl 9..(g) satıında Wad-Due BRDF model, Şekl 9..(h) satıında Koendenk BRDF model, Şekl 9..(ı) satıında Polnom BRDF model sunulmaktadı. Şekl 9..(1) sütununda modellen keçe malzemesn sunumu, Şekl 9..() sütununda modellen potakal kabuğu malzemesn sunumu, Şekl 9..(3) sütununda modellen taş ocağı kemd malzemesn sunumu, Şekl 9..(4) sütununda modellen aduvaz_a malzemesn sunumu, Şekl 9..(5) sütununda modellen aduvaz_b malzemesn sunumu bulunmaktadı. Tablo 9. de se Şekl 9. dek modellen yne Şekl 9. de kullanılan malzemelede vedkle hatala bulunmaktadı. Buadak hatala L metğ cnsndend. Hem Şekl 9. den, hem Tablo 9. den göüleceğ üzee polnom model mümkün olduğunca az paameteye geeksnm duyaak BRDF le etkn b şeklde sunmaktadı. Şekl 9.3 de se seçlmş olan sekz adet analtk model, Matusk et Model Keçe Potakal Kab. Taş Ocağı Ke. Aduvaz_a Aduvaz_b Ashkhmn-Shley Blnn-Phong Cook-Toance Lafotune Oen-Naya Wad Wad-Due Koendenk (deece=8) Polnom (p=7) Tablo 9. Dokuz adet analtk BRDF modelnn CUReT (007) ve setne at beş adet mateyal üzendek paametelenn tahmn sonucu oluşan hatalaı

102 84 al. (003) ın ve setndek yeşl-lâteks malzemesnden tahmnlenen paametele le sunulmuştu. Şekl 9.3.(a) da efeans göüntü, Şekl 9.3.(b) de Ashkhmn-Shley model, Şekl 9.3.(c) de Blnn-Phong model, Şekl 9.3.(d) de Cook-Toance model, Şekl 9.3.(e) de Lafotune model, Şekl 9.3.(f) de Oen-Naya model, Şekl 9.3.(g) de Wad model, Şekl 9.3.(h) de Wad-Due model ve Şekl 9.3.(ı) da da Polnom model bulunmaktadı. Polnom modeln deeces buada beş (p =5) olaak seçlmşt. He b analtk BRDF modelnn efeans göüntüden fakı alınmış ve bu fak aynı modeln hemen sağ üst köşesnde göstelmşt. Fak esmlendek koyu bölgele yüksek fakı ve uyuşmazlığı şaet etmekted. Bu modellen heps çn ayıca Matusk et al. (003) ve setnden seçlmş olan beş mateyal le hatala ve pk snyal-güültü oanlaı (PSNR) hesaplanmıştı. Seçlmş olan beş mateyal; yeşl-lâteks, bej-kumaş, koyu-mav-boya, tuuncu-boya ve saıplastkt. Tablo 9.3 den sonuçla göülebl. Kullanılan hata metğ buada da L metğd. Şekl 9.3 den ve Tablo 9.3 den göülebleceğ üzee polnom model (p=5) bu mateyalle üzende oldukça üstün b pefomansa sahpt. Şekl 9.3 Soğukkanlı dagonun sekz adet faklı analtk BRDF model le sunumu

103 85 Model Bej-Kumaş Koyu-Mav-Bo. Yeşl-Lâteks Tuuncu-Boya Saı-Plastk Hata Psn Hata Psn Hata Psn Hata Psn Hata Psn Ash.-Shley Blnn-Phong Cook-Toance Lafotune Oen-Naya Wad Wad-Due Polnom (p=5) Tablo 9.3 Sekz adet analtk BRDF modelnn Matusk et al. (003) un ve setne at beş adet mateyal üzendek paametelenn tahmn sonucu oluşan hatalaı ve PSNR değele Daha le b sevyede kıyaslama yapablmek çn CUReT (007) ve setndek 5 zotopk mateyal sekz (8) analtk BRDF modelne uyduulmuştu. Doğusal olmayan paametelee sahp modellen tahmn edlen paametele ve uyduma posedüü Ek 3 den bakılabl. Polnom modeln katsayılaı sağlam en küçük kaele yöntemne göe bulunmuştu. Daha sona dğe modelle le kıyaslama yapablmek çn L metğ cnsnden hatası hesaplanmıştı. Bu posedü polnom model çn tez kapsamı boyunca süekl uygulanan uyduma ve hata hesaplama posedüüdü. Kıyaslama çn kullanılan metk L metğd. Sonuçlaın gafksel olaak göstem se Şekl 9.4 de bulunmaktadı. Şekl 9.4 de sonuçlaın daha y analz edleblmes çn hatala çzlmeden önce Cook-Toance (yeşl enkl) BRDF modelne göe sıalanmıştı. Polnom model çn deece yed (p=7) olaak bellenmşt ve polnom model 5 mateyalden 35 nde en düşük hatayı vemşt.

104 86 Şekl 9.4 Sekz analtk BRDF modelnn CUReT ve setndek 5 zotopk mateyalde vedğ hatala Şekl 9.5 de se Şekl 9.4 dekne benze b kıyaslama mevcuttu. Ancak buada doğusal paametelee sahp k model kıyaslanmaktadı. Bu modelle Zenke polnomlaına dayanan Koendenk BRDF model le polnom modeld. Koendenk BRDF model çn hem knc deeceden hem sekznc deeceden sunum kullanılmıştı. İknc deeceden sunum 5 doğusal paamete geektken, sekznc deeceden sunum 55 doğusal paamete geektmekted. Polnom model çn se de hem knc deeceden hem sekznc deeceden sunum mevcuttu. İknc deeceden polnom model 9 doğusal paamete geektken, sekznc deeceden polnom model 1 doğusal paamete geektmekted. Şekl 9.5 de sunulan hatala L metğ cnsndend. Gafğn daha y okunablmes çn hata değele sekznc deeceden polnom modelne (kımızı enkl) göe sıalandıktan sona çzlmşt. Gafkten de göülebleceğ üzee he k modelnde sunum doğuluğu modellen deeces attııldıkça atmaktadı.

105 87 Şekl 9.5 İk doğusal analtk BRDF modelnn CUReT ve setndek 5 zotopk mateyalde vedğ hatala Polnom modelnn b öneml özellğ se yansımanın kaşılıklı olma pensbn sağlıyo olmasıdı. Bu duum Şekl 9.6 dan göülebl. Şekl 9.6 da Matusk et al. (003) un ve setnden alınan tuuncu-boya malzemes beşnc deeceden polnom modele uyduulmuştu. Şekl 9.6.(a) da ölçülmüş ve le endeng geçekleştlen efeans göüntü mevcuttu. Şekl 9.6.(b) de se polnom modelnn göüntüsü mevcuttu. Şekl 9.6.(c) de se polnom modelnn yne aynı paametele le endeng geçekleştlmşt, ancak bu sefe gelen ışık vektöü (L) le gden ışık (bakış) vektöü (V) modelde ye değştleek endeng geçekleştlmşt. He b göüntünün sağ üst köşesne de efeans göüntüden fakının alınmasıyla elde edlen fak göüntüle yeleştlmşt. Fak göüntülenden de göüleceğ üzee polnom

106 88 Şekl 9.6 Polnom modeln kaşılıklı olma pensbn sağlaması model kaşılıklı olma pensbn eksksz yene get. CUReT (007) ve setndek 5 zotopk mateyaln paametele çeştl analtk BRDF modelle le tahmn edlken ayıca he b modeln paamete tahmn edlme zamanlaı da kaydedlmşt. Bu paamete tahmn zamanlaının otalaması alınaak sanye cnsnden Tablo 9.4 de sunulmuştu. Uyduma zamanlaının hesaplandığı blgsaya Pentum D.66 GHz 1 Gb RAM olan b makned. Paamete tahmn zamanlaı hesaplanıken polnom modelnn deeces yed (7) olaak seçlmşt. Tablo 9.4 den de anlaşılacağı üzee, polnom model kıyaslandığı dğe BRDF modellene göe en düşük otalama paamete tahmn zamanına sahpt. Model Zaman (sanye) Model Zaman (sanye) Ashkhmn-Shley Oen-Naya Blnn-Phong Wad Cook-Toance Wad-Due Lafotune Polnom (p=7) Tablo 9.4 Sekz adet analtk BRDF modelnn otalama paamete tahmn zamanlaı

107 89 10 SONUÇ Bu tez çalışmasında yen b analtk BRDF model sunulmuştu. Bu yen modeln bütün paametele doğusaldı. Model b tepk yüzey modeld. Modelde kullanılan açıklayıcı değşkenle temel bleşenle analz le b tansfomasyondan sona elde edlle. Model esas olaak bden fazla değşkenl polnom modeld. Dolayısıyla modeln paametelenn aded ve modeln deeces esnekt. Modeln paametelenn heps doğusal olduğu çn standat en küçük kaele yöntem le ölçülmüş BRDF vesnden kolaylıkla tahmn edlebl. Bu duum doğusal olmayan paametelee sahp BRDF modellene göe yen modeln en büyük atılaından bd. Doğusal olmayan BRDF modellende global mnmum gaant değl ken, tez kapsamında önelen yen BRDF model global mnmumu gaant ede. Tez kapsamı boyunca, yen analtk BRDF model çeştl ölçülmüş BRDF ve setle üzende denenmşt. Elde edlen sonuçladan sona göülmüştü k, yen analtk BRDF model dffuse, püüzlü ve palak zotopk mateyalle çn hem göüntüsel hem nümek olaak oldukça tatmn edc sonuçla vemekted. Specula zotopk mateyalle çn se modeln deeces oldukça yüksek b değe olaak seçlmes geekmekted k bu da model kullanılamaz yapmaktadı. Yen analtk BRDF model ayıca dğe analtk BRDF modellene göe hız olaak da çok etknd. Yapılan testle sonucu elde edlen b dğe sonuç se yen analtk BRDF modelnn otalama paamete tahmn sües dğe analtk BRDF modellenn hemen hemen yaısı kadadı. Tez kapsamı boyunca bütün analtk BRDF modellenn endeng çn Physcally Based Rendeng Tool (PBRT) kullanılmıştı. Yen analtk BRDF modelnn PBRT ye uygulanmasında ve endeng nde hehang b zolukla kaşılaşılmamıştı. Yen

108 90 analtk BRDF modelnn PBRT dek uygulamasında modeln önekleme yöntem olaak Lambetan BRDF modelnn önekleme yöntem (Bkz. Eştlk 4.1 ve Bkz. Eştlk 4.) kullanılmıştı. Model dffuse ve palak mateyalle çn kullanıldığından bu önekleme yöntem model çn yeteld. Tez kapsamı çnde önelen yen analtk BRDF modelnn paametelen tahmn çn standat en küçük kaele yöntem yene sağlam en küçük kaele yöntem kullanılmıştı. Böylece yen modeln, ölçülmüş BRDF ve setnde olablecek güültüden etklenmemes sağlanmıştı. Doğusal paametelee sahp olmayan analtk BRDF modellenn paametelenn tahmn çn zlenen posedü Ek 3 de ayıntılı olaak anlatılmaktadı. Genel olaak bakılısa, Nygan et al. (005) un zlemş olduğu posedü be b olaak kullanılmıştı. Ek 3 de ayıca bu modellen CUReT (007) ve setndek zotopk mateyalle çn tahmn edlen paametele de bulunmaktadı. Bu paametele he hang b endeng algotmasında bu BRDF modellenn uygulamalaında kullanılablle. Bütün analtk BRDF modellenn paametelenn tahmnnde MATLAB pogamı kullanılmıştı. İleye yönelk olaak, yen analtk BRDF modelnn daha etkn b önekleme metodunun gelştlmes düşünülmekted. Yen BRDF modelnn en lgnç özellklenden b tanes, polnomda kullanılan değşkenlen statstksel olaak bblenden bağımsız olmalaıdı. Model çn etkn b önem öneklemes yöntem gelştlken bu özellkten faydalanılması düşünülmekted. Ayıca BRDF le daha etkn b paametzasyon le tanımlanmasının aaştıılması da düşünülmekted. Bunun yanında bu aaştıılan yen paametzasyonla çnde dğe dkgen tansfomasyonlada aaştıılıp en etkn dkgen tansfomasyon metodunun bulunması amaçlanmaktadı. Sonuç olaak bu çalışmada, blgsaya gafklende öneml b

109 91 konu olan ışıklandıma konusu ve buna bağlı olaak BRDF genş b bçmde ele alınmaya çalışılmıştı. Analtk BRDF modelle üzene mevcut olan sıkıntıla ele alınmış ve bunlaa yönelk çözümle önelmşt. Bütün bunla ışığında, bu çalışmada yapılan analzle ve tez kapsamı çnde önelen doğusal paametelee sahp yen BRDF model bundan sona BRDF konusu üzene yapılacak çalışmala çn de b kaynak ntelğnded.

110 9 KAYNAKLAR DİZİNİ Ashkhmn, M. and Shley, P., 000, An ansotopc phong lght eflecton model, J. Gaph. Tools, 5():5-3. Blnn, J.F., 1977, Models of lght eflecton fo compute syntheszed pctues, Poceedngs of SIGGRAPH 77, Cochan, W.G. and Cox, G.M., 1966, Expemental Desgns, nd Edton, John Wley & Sons, 617p. Cook, R.L. and Toance, K.E., 1981, A eflectance model fo compute gaphcs, Poceedngs of SIGGRAPH 81, Cooley, W.W. and Lohnes, P.R., 1971, Multvaate Data Analyss, 1 st Edton, John Wley & Sons, 364p. Conell, 007, Conell Lght Measuement Laboatoy, ndex.html. CUReT, 007, Columba-Utecht Reflectance and Textue Database, Dana, K.J., van Gnneken, B., Naya, S.K. and Koendenk, J.J., 1996, Reflectance and Textue of Real-Wold Sufaces, Columba Unvesty Techncal Repot, No. CUCS , 9p. DeGoot, M.H. and Schevsh, M.J., 00, Pobablty and Statstcs, 3 d Edton, Addson Wesley, 816p.

111 93 KAYNAKLAR DİZİNİ (devam edyo) Due, A., 004, On the Wad model fo global llumnaton, Submtted fo evew, 8p. Heubege, J. and Pasman, W., 005, Data Fttng Repot, Delft Unvesty of Technology, 6p. He, X.D., Toance, K.E., Sllon, F.X. and Geenbeg, D.P., 1991, A compehensve physcal model fo lght eflecton, Poc. of SIGGRAPH 91, Koendenk, J.J., Van Doon, A.J. and Stavd, M., 1996, Bdectonal eflecton dstbuton functon expessed n tems of suface scatteng modes, Poc. of the 4 th Euopean Confeence on Compute Vson-Volume, Lafotune, E.P.F., Foo, S.-C., Toance, K.E. and Geenbeg, D.P., 1997, Non-lnea appoxmaton of eflectance functons, Poceedngs of SIGGRAPH 97, Lambet, J.H., 1760, Photomety, o, On the Measue and Gadatons of Lght, Colos, and Shade, The Illumnatng Engneeng Socety of Noth Ameca. Lawence, J.D., 006, Acquston and Repesentaton of Mateal Appeaance fo Edtng and Rendeng, PhD Thess, Pnceton Unvesty, 16p. Lawence, J., Rusnkewcz, S. and Ramamooth, R., 004, Effcent bdf mpotance samplng usng a factoed epesentaton, ACM Tans. Gaph., 3(3):

112 94 KAYNAKLAR DİZİNİ (devam edyo) Maquadt, D.W., 1963, An algothm fo least-squaes estmaton of nonlnea paametes, Jounal of the Socety fo Industal and Appled Mathematcs, 11: Matusk, W., 003, A Data-Dven Reflectance Model, PhD Thess, Massachusetts Insttute of Technology, 115p. Matusk, W., Pfste, H., Band, M. and McMllan, L., 003, A datadven eflectance model, ACM Tans. Gaph., (3): Ncodemus, F.E., Rchmond, J.C., Hsa, J.J., Gnsbeg, I.W. and Lmpes, T., 1977, Geometc Consdeatons and Nomenclatue fo Reflectance, Natonal Bueau of Standads (U.S.), Washngton, 67p. Nygan, A., Fedo, D. and Matusk, W., 005, Expemental analyss of bdf models, Poceedngs of the Euogaphcs Symposum on Rendeng, Oen, M. and Naya, S.K., 1994, Genealzaton of lambet s eflectance model, Poc. of SIGGRAPH 94, Oveall, J.E. and Klett, C.J., 197, Appled Multvaate Analyss, 1 st Edton, McGaw-Hll, 500p. Pha, M. and Humpheys, G., 004, Physcally Based Rendeng fom Theoy to Implementaton, Mogan Kaufmann, San Fancsco, 1019p. Phong, B.T., 1975, Illumnaton fo compute geneated pctues, Communcatons of ACM, 18(6):

113 95 KAYNAKLAR DİZİNİ (devam edyo) Ramamooth, R. and Hanahan, P., 001, A sgnal-pocessng famewok fo nvese endeng, Poc. of SIGGRAPH 01, Rusnkewcz, S., 1998, A new change of vaables fo effcent BRDF epesentaton, Rendeng Technques 98, 11-. Schlck, C., 1994, An nexpensve BRDF model fo physcally-based endeng, Compute Gaphcs Foum, 13(3): Toance, K.E. and Spaow, E.M., 1967, Theoy fo off-specula eflecton fom oughened sufaces, Jounal of the Optcal Socety of Ameca 57, 9: Walte, B., 005, Notes on the Wad BRDF, Conell Pogam of Compute Gaphcs, Techncal Repot PCG-05-06, 5p. Wad, G., 199, Measung and modelng ansotopc eflecton, Poceedngs of SIGGRAPH 9, 6():65-7.

114 96 EKLER Ek 1 CUReT Ve Setndek Ölçümlenen Malzemele Ek Analtk BRDF Modellenn B Aada Göstem Ek 3 Bazı Analtk BRDF Modellenn Tahmn Edlen Paametele Ek 4 Tükçe-İnglzce Temle Sözlüğü

115 97 Ek 1 CUReT Ve Setndek Ölçümlenen Malzemele Şekl 8.1 CUReT ve setnde ölçümlede kullanılan 61 yüzey (Dana et al. dan 1996)

116 98 Ek Analtk BRDF Modellenn B Aada Göstem (1) () (3) (4) (5) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (ı) Şekl 9. Dokuz faklı analtk BRDF model le sunulan küele