GEOMETRİ. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan başlayarak gezimize çıkalım.

Transkript

1 GEOMETRİ Geometriyi seven veya sevmeyenler için farklı bir bakış açısı. Gerçeğin kilidini açacak anahtarın Aritmetik ve Geometri olduğunu söyleyen ve Tanrının da bir Matematikçi olduğuna inanan ünlü düşünür Platon un açtığı kapıdan birlikte geçelim. Geometri bilmeyen bu kapıdan giremez diyen düşünüre saygılarımızla. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan başlayarak gezimize çıkalım. NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM ve UZAY Tanımsız Terim olarak alınacaktır. Terimlerin tanımları yapılmayacak, ne anlamda kullanıldıkları sezginize ve hayal gücünüze bırakılacaktır. Hayal gücümüzü sınamaya aşağıdaki örnekle başlayalım. Şekildeki küpte; Küp ün köşeleri birer Nokta dır. A, B, C, D, A, B, C, D Sekiz nokta. Küp ün ayrıtları (kenarları) her iki uçtan sonsuza uzatılırsa birer Doğru dur. AB, BC, CD, DA, AA, BB, CC, DD, A B, B C, C D, D A Oniki doğru. Küp ün yüzleri her yönden sonsuza uzatılırsa birer Düzlem oluşturur. ABCD, A B C D, ABB A, DCC D, BCC B, ADD A Altı düzlem.

2 Tanımsız terimleri biraz daha irdelersek, Noktanın boyutunun olmadığını, Doğrunun bir boyutlu, Düzlemin iki boyutlu ve Düzlemin de üç boyutlu olduğunu söyleyebiliriz. Boyut kavramını açtığımızda; Doğru üzerindeki bir noktanın yerini belirtmek için bir gerçek sayı yeterlidir. Sayı ekseni üzerindeki A noktasına karşı gelen 2 sayısı, A nın başlangıç noktası O dan 2 birim uzaklıkta olduğunu, B noktasına karşı gelen -3 sayısı, B nin başlangıç noktası O dan (diğer tarafında) 3 birim uzaklıkta olduğunu gösterir. A(2), B(-3) olarak gösterilir. Düzlemdeki bir noktanın yerini belirtmek için bir gerçek sayı ikilisi gerekir. Düzlemde (R 2 de) A noktasına karşı gelen (2,3) gerçek sayı ikilisi, A nın x ekseninden3, y ekseninden 2 birim uzakta olduğunu, B noktasına karşı gelen (-2,4) gerçek sayı ikilisi, B nin x ekseninden 4, y ekseninden (diğer tarafında) 2 birim uzaklıkta olduğunu gösterir. A(2,3) ve B(-2,4) olarak gösterilir. Uzayda bir noktanın yerini belirtmek için bir gerçek sayı üçlüsü gerekir.

3 Uzayda (R 3 de) A noktasına karşı gelen (3,4,5) sıralı üçlüsü, A nın y0z düzleminden 3, x0z düzleminden 4, x0y düzleminden 5 birim uzaklıkta olduğunu gösterir. A(3,4,5) olarak gösterilir. A noktasına karşı gelen sayı (sayılar), noktanın koordinatlarıdır. Doğruda bir sayı, düzlemde iki sayı, uzayda üç sayı kullanıldığından, doğru bir boyutlu, düzlem iki boyutlu ve uzay üç boyutludur. Bir başka deyimle; Noktanın boyu, eni ve yüksekliğinden söz edilemeyeceğinden nokta boyutsuz. Doğruda yalnızca uzunluktan söz edilebileceğinden doğru bir boyutlu. Düzlemde uzunluk ve genişlikten söz edilebileceğinden düzlem iki boyutlu. Uzayda uzunluk, genişlik ve yükseklikten söz edilebileceğinden uzay üç boyutludur. Verilen bir noktadan, verilen uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri nedir? Sorusunun yanıtı, Düzlemde veya Uzayda sorulmuş olmasına göre değişiktir. Düzlemde (R 2 de) verilen bir noktadan, verilen uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri ÇEMBER. Uzayda (R 3 de) verilen bir noktadan, verilen uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri KÜREdir. Yolculuğa başlamış iken, AB doğrusu üzerindeki A ve B noktalarının doğruyu kaç bölgeye ayırdığını, E düzleminde alınan d ve l doğrularının düzlemi kaç bölgeye ayırdığını, Uzayda alınan E ve F düzlemlerinin uzayı kaç bölgeye ayırdığını şimdilik soru olarak bırakıp daha temel konulara dönelim. Geometriyi anlayabilmek için öncelikle şekilleri ve sembolleri iyi okumak gerekir. Örneğin; A ve B noktalarından geçip, C noktasından geçmeyen d doğrusu (A ve B noktaları d doğrusu üzerinde, C noktası d doğrusunun dışında) şekil olarak; Ve semboller ile A d, B d, C d biçiminde gösterilir. Nasıl bazı terimleri tanımsız olarak aldıysak, bazı önermeleri de irdelemeden kabul edeceğiz. Doğruluğunu ispatsız olarak kabulleneceğimiz bu önermelere Aksiyom adı verilir. Hiç vakit kaybetmeden Aksiyomlarımızı sıralayıp Geometri yapımızı kuralım. AKSİYOM: Farklı iki nokta bir ve yalnız bir doğru belirtir. Bu demektir ki; farklı iki nokta verildiğinde bu noktalardan geçen bir doğru, bir doğru verildiğinde üzerinde farklı iki nokta düşünülmelidir. Herhangi üçü doğrusal olmayan (aynı doğru üzerinde bulunmayan) 5 farklı nokta kaç doğru belirtir? sorusunun yanıtı: C(5,2)=. =10.

4 Analitik geometride: İki nokta verildiğinde, bu iki noktadan geçen doğrunun denklemi, doğru denklemi verildiğinde de, üzerindeki iki nokta (genellikle, eksenleri kestiği noktalar) düşünülmelidir. SONUÇ: Farklı iki doğru en çok bir noktada kesişir. Genelleme yapıldığında: n tane farklı nokta (herhangi üçü doğrusal olmayan) C(n,2)= ( ) n tane farklı doğru en çok C(n,2) = n(n 1) 2 noktada kesişir. doğru belirtir. Aynı düzlem içinde olup kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir. İki doğrunun paralel olması için ortak noktalarının olmaması yetmez, aynı düzlem içinde olmaları da gerekir. d 1 E, d 2 E ve d 1 d 2 =Ø d 1 //d 2 Farklı düzlemler içinde olup kesişmeyen doğrulara aykırı doğrular denir. d 1 E, d 2 F ve d 1 d 2 =Ø d 1 ve d 2 Aykırı doğrulardır. Geometri ile sayılar arasındaki ilişkilere başlamış iken aşağıdaki problemlerin çözümüne de bir göz atalım. Bakalım altından ne gibi gerçekler çıkacak. Bir demir çubuğu 2 dakikada kesebilen demirci, 12 m. uzunluğundaki demir çubuğu 3 parçaya kaç dakikada ayırır? Bir kesim 2 dakika sürdüğüne göre, 3 kesim 3.2=6 dakika sürer diyenler yanılgıya düşecektir. Çünkü, çubuğu 3 parçaya ayırmak için iki kesim yapılacaktır. Doğru yanıt 2.2=4 dakika olmalıdır.

5 100 metre uzunluğundaki bir yol kıyısına tek taraflı 5 metrede bir ağaç dikilecektir. Yolun başına ve sonuna da ağaç dikileceğine göre kaç ağaç gerekir? 100:5=20 ağaç gerekir yanıtı yanlış olacaktır. Evet, 5 er metrelik 20 aralık var ve her aralık için bir ağaç dikilecektir fakat yolun başına da dikilecek ağacı unutmamak gerekir. Bu yüzden 100:5=20 ve 20+1=21 ağaç gerekir yanıtı doğru yanıt olacaktır. Yukarıdaki soruların çözümlerindeki mantık, doğru üzerindeki noktalar doğruyu kaç parçaya ayırır sorusunun çözümünde gizlidir. Doğru üzerinde herhangi bir nokta seçilmediğinde, doğru tek parçadır. Seçilen nokta sayısı: 0 Parça sayısı: 1 Adım adım ilerlediğimizde, Seçilen nokta sayısı: 1 Parça sayısı: 2 Seçilen nokta sayısı: 2 Parça sayısı: 3... Seçilen nokta sayısı: n Parça sayısı: n+1 Parça sayısı = C(n,0)+C(n,1) = n+1 Düzlem üzerine herhangi bir doğru çizilmediğinde, düzlem tek parçadır. Çizilen doğru sayısı: 0 Parça sayısı: 1 Çizilen doğru sayısı: 1 Parça sayısı: 2 Çizilen doğru sayısı: 2 Parça sayısı: 3 veya 4 Çizilen doğru sayısı: 3 Parça sayısı: 4 veya 7... Çizilen doğru sayısı: n Parça sayısı: en az n+1, en çok Parça sayısı (en çok)=c(n,0)+c(n,1)+c(n,2)= Aşağıda düzlemde çizilen 4 doğrunun düzlemde ayırdığı parçalar araştırılmıştır. d 1 //d 2 //d 3 d 1 //d 2 d 1 d 2 d 3 ={A} d 1 d 2 ={A} d 3 d 2 ={B} d 1 d 3 ={C}

6 Çemberin, n tanekeseni ile birlikte düzlemi kaç bölgeye ayırabileceğini ve n tane düzlemin uzayı kaç bölgeye ayırabileceğini ve de benzer soruları ilerideki konularda incelemek üzere tekrar doğruya dönelim. AKSİYOM: Bir doğrunun noktaları ile gerçek sayılar arasında bire-bir bir eşleme yapılabilir. Doğru üzerindeki her noktaya bir gerçek sayı, her gerçek sayıya da doğru üzerinde bir nokta karşı gelir. Sayılar ile birlikte bu doğruya Sayı Ekseni, sayı ekseni üzerindeki bir noktaya karşı gelen sayıya da bu noktanın Koordinatı denir. A(a) şeklinde gösterilir. A(a) ve B(b) noktaları arasındaki uzaklık: AB = a-b dir. A, B, C d ve AB + BC = AC ise B noktası, A ile C arasındadır denir. A(a), B(b), C(c) iken a < b < c ise B noktası, A ile C arasındadır. Örneğin; sayı ekseninde koordinatları sırasıyla 9 10, , olan A, B, C noktalarından arasındadır. < < eşitsizliği gereği B noktası A ve C Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] doğru parçası denir. [AB] = {C: AC + CB = AB } [AB] doğru parçasının uzunluğu AB biçiminde gösterilir. Uzunlukları eşit doğru parçalarına eş doğru parçaları denir. AB = CD [AB] [CD]

7 UYARI: Eşlik ve Eşitlik kavramları birbirine karıştırılmamalıdır. A(2), B(5), C(6) ve D(9) noktaları için; AB = 2-5 =3 ve CD = 6-9 =3 AB = CD =3 [AB] [CD] dir. Farklı noktalar kümesi olduklarından [AB] = [CD] yazılamaz. [AB] [CD] dir. C [AB] için AC = CB ise C noktası [AB] nin orta noktasıdır. x = a b 2 orta noktanın koordinatı.(aritmetik orta) [AB] doğru parçası ile, B noktası A ile C arasında olacak biçimde alınan bütün C noktaları kümesinin birleşimine [AB ışını denir. [AB = {C: AB + BC = AC } [AB] [AB ve [AD zıt ışınlardır. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümelerdir demiştik. Gelin bu kümelerle birkaç işlem yapalım. [AB [AD = d [AB [AD = {A} [AB [BD = [AB] A noktası dışında [AB ışınının noktalarının kümesine ( [AB {A} = ]AB ) ]AB yarı doğrusu denir. ]AB = {C: AB + BC = AC } ]AB]

8 ]AB ]AD = d-{a} ]AB ]AD = Ø Biraz daha doğru parçası ile ilgilenirsek; EK BİLGİ: Bir doğru üzerinde A(a) ve B(b) gibi iki nokta verildiğinde: CA k, a kb k 1 olan C(x) noktası için x dır. CB 1 k ( k< 0 alınırsa C arada, k > 0 alınırsa C dıştadır. ) Verilen bir doğru parçasını,verilen bir oranda içten ve dıştan bölen iki noktaya,bu doğru parçasını HARMONİK olarak böler denir. Harmonik bölme yapan dört noktanın koordinatları arasında: (a+b)(c+d) = 2(ab+cd) bağıntısı vardır. Örneğin; gelecek bölümlerde ayrıntılı olarak inceleyeceğimiz bir teorem: Üçgenin bir açısının iç ve dış açı ortayları, karşı kenarı harmonik olarak böler. Bu kadar bilgi birikimini şimdi birkaç soruda kullanalım. P her hangi bir nokta, AO 2OB iken: PA 2 PB k PO ise k sayısı kaçtır? ÇÖZÜM: PA =x ve AB =3y dersek; PB =x+3y, PO =x+2y değerlerini PA 2 PB k PO eşitliğinde yerlerine yazdığımızda x+2(x+3y)=k(x+2y) 3x+6y=k(x+2y) 3(x+2y)=k(x+2y) eşitliğinden k=3 bulunur.

9 Bir [AB] doğru parçasının orta noktasının aynı tarafında P ve Q noktaları alınıyor. P noktası [AB] yi 3 2 oranında, Q noktası ise [AB] yi 4 3 oranında bölüyor. PQ 2 ise AB değeri kaçtır? ÇÖZÜM: 2 PA 2 P noktası [AB] yi oranında böldüğünden 3 PB 3 = = PA = 5 2 AB dir. 3 QA 3 Q noktası ise [AB] yi oranında böldüğünden 4 QB 4 3 QA = AB dir. 7 = = PQ = QA - PA = 7 3 AB AB = 35 1 AB =2 AB =70 birimdir. 1 1 AB AC AD ve CD 2 ise; 3 5 [AB] ve [AD] nin orta noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ÇÖZÜM: AB =x dersek, AC =3x ve AD =5x olur. AD - AC = CD CD =5x-3x =2x=2 [AB] nin orta noktası O 1, [AD] nin orta noktası O 2 alınırsa; AO 1 = ve AO 2 = O 1 O 2 = AO 2 - AO 1 = = 2x O 1 O 2 =2 bulunur.

10 AP 4 PB, AQ 3QB, AB 3 PQ kaç birimdir olduğuna göre, ÇÖZÜM: AP + PB =4 PB + PB =5 PB = AB =3 PB = AQ + QB =3 QB + QB =4 QB = AB =3 QB = PQ = QB - PB = birim bulunur. AB =6 br. AP 2 + PB 2 P [AB] olduğuna göre, toplamının en küçük değeri kaçtır? ÇÖZÜM: C noktası [AB] nin orta noktası olarak alındığında; AC = CB =3 olur. PC =x dersek; AP =3-x ve PB =x+3 AP 2 + PB 2 =(3-x) 2 +(3+x) 2 toplamın en küçük değeri alması için x=0 olmalıdır. AP 2 + PB 2 = =9+9=18 bulunur.

11 Geometride bir adım daha atarak Düzlem kavramını incelemeye başlayabiliriz. AKSİYOM: Doğrusal olmayan üç nokta bir ve yalnız bir düzlem belirtir. SONUÇLAR: Bir doğru ve dışındaki bir nokta, bir düzlem belirtir. Kesişen iki doğru, bir düzlem belirtir. Paralel iki doğru, bir düzlem belirtir. Bu önermelerden sonra, doğrusal olmayan üç nokta gördüğümüzde bir düzlem, Bir düzlem verildiğinde de üzerinde doğrusal olmayan üç nokta düşünülmelidir. TEOREM: Bir doğru içinde bulunmadığı bir düzlemi keserse arakesit kümesi bir tek noktadan oluşur. d E={A} DİKKAT: Düzlemde çizilen doğru, düzlemin bir alt kümesidir. DOĞRUNUN DÜZLEME PARALELLİĞİ: Düzlem ile ortak noktası olmayan doğrular, düzleme paraleldir denir. d E = Ø d//e

12 AKSİYOM: Kesişen farklı iki düzlemin arakesiti bir doğrudur. E 1 E 2 = d d E 1 ve d E 2 PARALEL İKİ DÜZLEM: Ortak noktaları olmayan düzlemler bir birine paraleldir. E 1 E 2 = Ø E 1 //E 2 KONVEKS KÜMELER : Kümeden alınan iki noktayı uç kabul eden doğru parçası kümenin bir alt kümesi ise kümeye Konvekstir denir. A,B K için; [AB] K ise K nokta kümesi konvekstir. ÖRNEK:

13 KONU TARAMA TESTİ: 1 1. Aşağıdakilerden hangisi tanımsız terim değildir? A) Nokta B) Doğru C) Düzlem D) Açı E) Uzay 2. Aşağıdaki geometrik şekillerden hangisi iki boyutludur? A) Nokta B) Doğru C) Doğru parçası D) Üçgen E) Işın 3. Bir düzlemin doğrusal olmayan en az a, uzayın düzlemsel olmayan en az b noktası vardır. Aksiyomunda a+b toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4. n kenarlı çokgeni taban kabul eden prizmada ayrıtların belirttiği kaç tane doğru vardır? A) n+2 B) 2n C) n 2 D) 3n E) 4n 5. Herhangi üç düzlem uzayı en çok kaç bölgeye ayırır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 6. Bir çemberin iki tane keseni çemberle birlikte düzlemi en az kaç bölgeye ayırır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 7. Sayı ekseni üzerindeki A, B, C noktalarının koordinatları sırasıyla x-2, x+2, x-3 olduğuna göre, hangi nokta diğer ikisi arasındadır? A) A B) B C) C D) A=B E) B=C

14 8. Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? A) A ve B konveks kümeleri için A B kümesi konvekstir. B) A ve B konveks olmayan kümeleri için A B kümesi konveks olabilir. C) Doğru parçası konvekstir. D) Farklı üç noktadan en çok bir düzlem geçer. E) Farklı iki noktadan en çok bir doğru geçer. 9. Farklı on nokta en çok kaç doğru belirtir? A) 25 B) 36 C) 45 D) 49 E) 50 YANIT ANAHTARI: 1.D 2.D 3.D 4.D 5.D 6.E 7.A 8.D 9.C