Soru Toplam Puanlama Alınan Puan

Transkript

1 No: Ad-Soyad: İmza: Soru Toplam Puanlama Alınan Puan CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90 Dakika. İstediğiniz 5 soruyu cevaplayınız. 1. I = [0, 1] R birim aralık ve S 1 R 2 birim çember olmak üzere f : I S 1, f(t) = e 2πit dönüşümünün homeomorfizma olup olmadığını belirleyiniz. Cevap : f dönüşümünün homeomorfizma olmadığını gösterelim. Bunun için f nin homeomorfizma olduğunu kabul edip çelişki elde edeceğiz. f homeomorfizma olduğundan I { 1 2 } S1 {( 1, 0)} homeomorfizması mevcuttur. Ancak I { 1 2 } uzayı yol bağlantısız iken S1 ( 1, 0) uzayı yol bağlantılı olacağından bu iki uzay birbirine homeomorf olamaz. Kabulümüz yanlıştır. O halde f dönüşümü homeomorfizma olamaz. 2. p : X Y sürekli ve örten bir dönüşüm olsun. Eğer p dönüşümü açık dönüşüm ise p identifikasyon dönüşümdür. İspatlayınız. Cevap : p : X Y örten, sürekli ve açık dönüşüm olsun. p identifikasyon dönüşüm : ( V Y, Y de açık p 1 (V ), X de açıktır.) ( :) p sürekli olduğundan aşikardır. ( :) p 1 (V ), X de açık olsun. p açık dönüşüm olduğundan p(p 1 (V )) = (pp 1 (V )), Y de açıktır. p örten dönüşüm olduğundan pp 1 (V ) = V dir. O halde V, Y de açıktır.

2 3. Z tamsayılar kümesi üzerinde n Z için {n} n tek B(n) = {n 1, n, n + 1} n çift olmak üzere B = {B(n) : n Z} koleksiyonunu baz kabul eden topolojiyi ele alalım. Y = Z + negatif olmayan tamsayılar kümesi olmak üzere z, z 0 f : Z Y, x f(x) = z, z < 0 dönüşümü verilsin. Bu durumda Y üzerindeki identifikasyon topolojisini belirleyiniz. Cevap : Y üzerindeki identifikasyon topolojisi τ Y = {G Y : f 1 (G) Z açık} şeklinde tanımlanır. Buna göre z Z için z tek ise f 1 ({z}) = { z, z} = B(z) B( z) kümesi Z de açık olduğundan {z} kümesi Y de açıktır. z çift ise f 1 ({z}) = { z, z} kümesi Z de açık değildir ancak f 1 ({z, z 1, z + 1}) = { z, z, z 1, z + 1, z + 1, z 1} = B(z) B( z) olacağından z çift tamsayısını içeren en küçük açık küme {z, z 1, z + 1} dir. 4. Aşağıda şekilde verilen çaydanlığı ve kapağınının bir ekli uzay yapısına sahip olduğunu açıklayınız. Cevap : Çaydanlığı ve kapağını R 3 ün birer alt kümeleri gibi düşünelim. Buna göre X uzayını çaydanlık, A kapalı alt kümesini çaydanlığın ağzı Y uzayını da çaydanlığın kapağı olarak düşünelim. A kapalı alt kümesi çembere ve Y uzayı ise diske homeomorftur. A alt kümesi Y nin sınır çemberine gömüleceğinden f : A Y sürekli dönüşümünü bu şekilde alabiliriz. Buna göre

3 şekildeki resmi X f Y ekli uzay gibi düşünebiliriz. 5. X kümesi üzerinde aşikar(indiskret) topolojisi tanımlı ve x 0 X olsun. a) x 0 baz noktalı herhangi bir f : I X kapalı yolunun x 0 noktasındaki e x0 : I X sabit dönüşümüne homotop olduğunu ispatlayınız. b) a) şıkkından hareketle Π 1 (X, x 0 ) temel grubunun aşikar grup olduğunu gösteriniz. Cevap : a) f ile e x0 arasında bir homotopi kurmamız gerekiyor. Bunun için x 0, t = 0 H : X I X, (x, t) H(x, t) = f(x), t (0, 1] dönüşümünü ele alalım. X üzerindeki topoloji aşikar olduğundan H dönüşümü süreklidir. Ayrıca H(x, 0) = x 0 = e x0 (x) ve H(x, 1) = f(x) olduğundan H fonksiyonu homotopi fonksiyonudur. b) Keyfi bir f : I X x 0 baz noktalı kapalı yolu x 0 noktasındaki e x0 sabit yoluna homotop olduğundan Π 1 (X, x 0 ) temel grubunda aynı denklik sınıfı içinde yer alacaklardır. Bu nedenle Π 1 (X, x 0 ) tek elemanlıdır, yani aşikar gruptur. 6. X bir topolojik uzay Y = Y 1 Y 2 çarpım uzayı ve f, g : X Y sürekli iki dönüşüm olsun. Eğer f ile g homotop iseler, bu takdirde π 1 : Y Y 1 birinci izdüşüm ve π 2 : Y Y 2 ikinci izdüşüm fonksiyonu olmak üzere k = 1, 2 için π k f ile π k g homotop olduğunu ispatlayınız. Cevap : f g olsun. Bu durumda H(x, 0) = f(x) ve H(x, 1) = g(x) olacak şekilde H : X I Y sürekli dönüşüm vardır. k = 1, 2 için K : X I Y k K(x, t) = π k H(x, t) dönüşümünü tanımlayalım. π k ve H sürekli olduğundan K da süreklidir. Ayrıca

4 K(x, 0) = π k f(x) ve K(x, 1) = π k g(x) olduğundan π k f π k g dir. 7. R 2 üzerinde çarpım topolojisi tanımlı ve A = {(x, y) : x y } R 2 alt uzayı olmak üzere Π 1 (A, (1, 1)) ile Π 1 (A, ( 1, 1)) gruplarının birbirine izomorf olup olmadığını açıklayınız. Cevap : A alt uzayı R 2 nin yol bağlantılı alt uzayıdır. Gerçekten de orjin noktası A ya ait olduğundan A daki herhangi iki nokta arasında bir yol mevcuttur. Bu nedenle temel grup baz noktasından bağımsız olur. O halde Π 1 (A, (1, 1)) ile Π 1 (A, ( 1, 1)) temel grupları izomorfturlar. 8. f : X Y homeomorfizma ise f nin indirgediği f : Π 1 (X, x) Π 1 (Y, f(x)) homomorfizmasının izomorfizma olduğunu ispatlayınız. Cevap : f sürekli olduğundan indirgediği homomorfizma f : Π 1 (X) Π 1 (Y ) [α] f ([α]) = [f α] şeklinde tanımlanır. f dönüşümü homeomorfizma olduğundan f k = 1 Y şekilde k : Y X sürekli dönüşümü vardır. f k = 1 Y olduğundan (f k) = 1 Π1 (Y ) elde edilir. Buradan ve k f = 1 X olacak f k = 1 Π1 (Y ) olacağından f surjektiftir. Benzer şekilde k f = 1 X olduğundan (k f) = 1 Π1 (X) elde edilir ve k f = 1 Π1 (X) olacağından f injektiftir. O halde f homomorfizması izomorfizmadır.

5 Teoremin tersi doğru değildir. R üzerinde standart topoloji ve D 2 R 2 diski de Eucilid uzayının alt uzayı olarak düşünülsün. Bu durumda R ve D 2 konveks olduklarından temel grupları aşikardır yani izomorftur. Ancak D 2 kompakt iken R kompakt olmadığından bu iki uzay birbirine homeomorf olamaz. Başarılar Dilerim. Prof. Dr. İsmet KARACA