TOPOLOJ SORULARI. Ksm I. 1 Topological Notions. 1. Her açk aralk salt topolojiye göre R uzaynda açktr. Gösteriniz.
|
|
- Yeter Gökçe
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 1 Ksm I TOPOLOJ SORULARI 1 Topological Notions 1. Her açk aralk salt topolojiye göre R uzaynda açktr. Gösteriniz. 2. n Z olmak üzere (n, n + 1) aralklarnn bile³imi açktr. Gösteriniz. 3. {0} = ( 1 n, 1 n ) (1) n=1 e³itli ini kullanarak sonsuz sayda açk kümelerin arakesitinin açk olmayabilece ini gösteriniz. 4. Q rasyonel saylar kümesinin, salt topolojiye göre R uzaynda ne açk ne de kapal oldu unu gösteriniz. 5. Salt topolojiye göre R uzaynda bir (a, b) açk aral nn her x (a, b) ö esi için bir kom³uluk oldu unu gösteriniz. 6. (0, 1) =, 1 1n] oldu unu gösterinz. Buradan ³u sonucu çkarnz: Sonsuz sayda kapal n=2 [ 1 n kümelerin bile³imi kapal olmayabilir. 7. Daha ince topolojiye göre yo un bir alt-küme daha kaba topolojiye göre de yo undur. Ba³ka bir deyi³le, topoloji inceldikçe yo un alt-kümeler azalr, topoloji kabala³tkça yo un alt-kümeler ço alr. 8. Hiç bir yerde yo un bir kümenin kaplamnn da hiç bir yerde yo un oldu unu gösteriniz. 9. Her gerçel saynn rasyonel saylar kümesinin bir y lma noktas oldu unu; yani her x R için x Q oldu unu gösteriniz. 10. R üzerindeki salt topolojiye göre N do al saylar kümesinin hiç bir y lma noktas olmad n gösteriniz. 11. R üzerindeki salt topolojiye göre S = (0, 1) {3} kümesinin y lma noktalarn bulunuz. 12. R üzerindeki salt topolojiye göre, bir a saysnn bir S alt kümesinin y lma noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, S kümesi içinde a saysna yaknsayan ve sabit olmayan bir dizinin varl dr. Bunu simgesel olarak, a S (a n ) S : (n m (a n a m ) biçiminde yazabiliriz. 13. Bir kümenin içlemi, kapsad açk kümeler arasnda en büyük olandr. Gösteriniz. 14. Bir kümenin açk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, hiç bir kenar noktasn içermemesidir. Ba³ka bir deyi³le, (X; T ) uzaynda T T T T = dir. 15. (X; T ) uzaynnn AX alt kümesi için olur. 16. Topolojik Toplam Uzay: Ā = A A = A A
2 2 BASIS Topolojiler Toplam: (X ı, T ı ) uzaylar verilsin. ı j X ı X j = olsun. Bu ko³ulu sa layan uzaylar ailesine ayr³k (dijoint) uzaylar denir. bile³imi üzerinde T ailesini ³öyle tanmlayalm: S = T ı = {T : ( ı I) T T ı } U T U X ı T ı, (ı I) (S, T ) bir topolojik uzaydr. Gösteriniz. (Bu uzaya (X ı, T ı ) uzaylarnn topolojik toplam uzay denilir.) 18. Hiç bir has alt kümesi yo un olmayan uzay ayrk bir uzay mdr? 19. Saylabilir her alt kümesi kapal olan uzay ayrk bir uzay mdr? 2 Basis 3 Neigborhoods 1. (X, ) tam sralanm³ bir küme olsun. Her a, b X ö e çiftine kar³lk {x X : x > a}, {x X : x < b} ve {x X : a < x < b} kümeleri tanmlanyor. a, b ö eleri bütün X kümesini tarad nda elde edilecek bütün bu kümelerden olu³an ailenin X kümesi üzerinde bir topoloji taban oldu unu gösteriniz. Bu tabann üretti i topolojiye sra topolojisi denir. Bu topolojik uzayn kapal kümelerinin nasl oldu unu belirleyiniz. 2. Salt topolojiye göre R uzaynda herhangi farkl iki noktann birbirleriyle kesi³meyen birer kom³ulu u vardr; yani x, y R x < y noktalar için U V = olacak biçimde U B(x) ve V B(y) kom³uluklar vardr. 4 Seperation Axioms 1. R 2 düzleminde [a, b) [c, d) = {(x, y) a x < b, c y < d} yar-açk diktörtgenlerinin do urdu u topolojiyi T ile gösterelim. Y = {(x, y) x + y = 1} do rusu üzerindeki rasyonel koordinatl noktalarn olu³turdu u küme A olsun ve B = Y A diyelim. (i) A ve B kümeleri (R 2, T ) uzaynda kapaldr; (ii) de ildir. A ve B nin birbirinden ayrk birer kom³ulu u olamaz; yani (R 2, T ) normal bir uzay 2. Bir T 1 uzaynda sonlu bir kümenin hiç bir y lma noktas yoktur. Gösteriniz. 3. T 0 uzaynn her alt uzay da T 0 dr. Gösteriniz. 4. T 1 uzaynn her alt uzay da T 1 dr. Gösteriniz. 5. T 2 uzaynn her alt uzay da T 2 dr. Gösteriniz. 6. T 0 uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi de T 0 uzaydr. Gösteriniz. 7. T 1 uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi de T 1 uzaydr. Gösteriniz. 8. T 2 uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi de T 2 uzaydr. Gösteriniz. 9. X = {a, b, c} kümesi üzerinde T = {, X, {a}, {b, c}} topolojisi veriliyor. (X, T ) nn normal bir uzay oldu unu ama Hausdor olmad n gösteriniz. 10. X = {x R 0 < x < 1/2, 1/2 < x < 1} kümesi veriliyor. Sabit bir α [0, 1/2] ve sabit bir β [1/3, 1] gerçel saysna kar³lk T αβ = {x X α < x < β} kümesini olu³turalm. T = {T αβ 0 a 1/2, 1/2 β 1} ailesinin X üzerinde bir topoloji olu³turdu unu gösteriniz. Bu uzay normaldir, ama Hausdor de ildir. Neden?
3 5 FUNCTIONS Tamamen düzenli (X, V ) uzay üzerinde tanml bütün sürekli fonksiyonlar kümesi olsun. C(X) uzaynn noktalar ayrd n gösteriniz. C(X) = {f : X (R, T ) f sürekli (2) 12. X = (R {0}) (R {1}) R 2 kümesi üzerinde (x, 0) (x, 1) x 0 ba nts veriliyor. Gösteriniz ki; (a) Bu ba nt bir denklik ba ntsdr. (b) X/ bölüm uzay yerel Öklidyendir. (c) X/ bölüm uzay kinci saylabilme Aksiyomu'nu sa lar. (d) X/ bölüm uzay Hausdor de ildir. 13. Ayr³k (disjoint) Hausdor uzaylarn topolojik toplam da Hausdor uzaydr. Gösteriniz. 5 Functions 1. Sonlu sayda açk dönü³ümlerin çarpm açk bir dönü³ümdür. Gösteriniz. 2. Sonlu sayda kapal dönü³ümlerin çarpm kapal bir dönü³ümdür. Gösteriniz. 3. Topoloji inceldikçe sürekli fonksiyonlar artar, topoloji kabala³tkça sürekli fonksiyonlar azalr. 4. f(x) = tan( π 2 x) dönü³ümünün ( 1, 1) den R ye bir e³yap dönü³ümü oldu unu gösteriniz. 5. (X, T ) uzaynn ayrk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, X uzayndan her Y uzayna tanml fonksiyonlarn sürekli olmasdr. 6. Bo³ olmayan bir X kümesi veriliyor. X üzerinde öyle bir T topolojisi kurunuz ki, her (Y, S ) uzayndan (X, T ) uzayna tanml her fonsiyon sürekli olsun. Bu topolojiyi belirleyiniz. 7. f : (X, T ) (Y, S ) sürekli ve örten bir fonksiyon ise, X uzaynn yo un alt kümelerini Y uzaynn yo un alt kümelerine resmeder; yani olur. Gösteriniz. Ā = X f(a) = Y (3) 8. f : (X, T ) (Y, S ) fonksiyonu X uzaynn yo un alt kümelerini Y uzaynn yo un alt kümelerine resmederse, sürekli midir? Simgelerle söylersek, olmas f fonksiyonunun sürekli olmasn gerektirir mi? Neden? Ā = X f(a) = Y (4) 9. f : (X, T ) (Y, S ) sürekli ve örten bir fonksiyon ise T topolojisinin bir tabann S topolojisinin bir tabanna resmeder mi? Simgelerle söylersek, B ailesi T topolojisinin bir taban oldu unda f(b) ailesi S topolojisinin bir taban olur mu? Neden? 10. I : (X, T ) (X, T ) özde³lik (birim) fonksiyonu her x X için I(x) = x olan fonsiyondur. I özde³lik dönü³ümünün bir topolojik e³yap dönü³ümü (homeomorphism) oldu unu gösteriniz. 11. f : (X, T ) (Y, S ) fonksiyonu bire-bir-içine (injective) olsun. E er f ve f 1 fonksiyonlarnn her ikisi de sürekli iseler, f fonksiyonuna bir gömme dönü³ümüdür, denilir. Bu durumda, her x X için g : X f(x) diye tanmlanan g fonksiyonu bir topolojik e³yap dönü³ümüdür (homeomorphism). Gösteriniz
4 6 LIMIT 4 6 Limit 1. A³a daki dizilerin herbirisinin, varsa, limit ve y lma noktalarn bulunuz: (a) Her n N için (n = 3) diye tanmlanan (a n ) sabit dizisi. (b) Belli bir n 0 indisinden sonra terimleri sabit olan dizi; yani { n, n n 0 a n = a, n > n 0, a sabit (5) biçiminde tanmlanan (a n ) dizisi. (c) Genel terimi a n = 5 5 n olan (a n) dizisi. (d) Genel terimi a n = n olan (a n) dizisi. (e) Genel terimi a n = ( 1) n 1 n olan (a n) dizisi. (f) Genel terimi a n = n olan (a n ) dizisi. (g) Genel terimi a n n (mod 3) olan (a n ) dizisi. (h) f : N Q [0, 1] fonksiyonu f(n) = 1 n diye tanmlanan bire-bir-içine bir fonksiyon olmak üzere, a n = f(n) dizisi. [Böyle bir fonksiyonun varl n gösteriniz.] 2. Dizileri, genellikle, genel terimini belirten bir ifade ile yazarz. Örne in, (1/n), (n 2 ), (1/(n 2 +1)),.... Bazen de genel terimi belirli klmaya yetecek kadar terimi ard arda yazarak diziyi belirleyebiliriz Örne in, (0, 2, 4, 6, 8,...) dizisinin genel teriminin (2n) oldu u hemen görülüyor. Ama baz dizilerin genel terimini bulmak için snama-deneme yolundan ba³ka bir yöntem olmayabilir. A³a daki dizilerin genel terimlerini snama-deneme yoluyla bulunuz: (1, 4, 9, 16,...) (6) (2, 5, 10, 17, 26,...) (7) (1, 3, 6, 10, 15,...) (8) Çözümler, srasyla, a³a dadr: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Fibonacci dizisi (9) (n 2 ), (n 2 + 1), (n(n + 1)/2), (a n+2 = a n+1 + a n ) 3. Genel terimi recursive olarak (a n+2 = a n+1 + a n ) biçiminde tanmlanan Fibonacci dizisinin salt topolojiye göre raksayan bir dizi oldu unu gösteriniz. 4. Yaknsak bir dizinin her alt dizisinin de yaknsak ve ayn limite sahip oldu unu gösteriniz. 5. R üzerindeki salt topolojiye göre, bir a saysnn bir S alt kümesinin y lma noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, S kümesi içinde a saysna yaknsayan ve sabit olmayan bir dizinin varl dr. Bunu simgesel olarak, a S (a n ) S : (n m (a n a m ) biçiminde yazabiliriz. Gösteriniz. 7 Compactness 1.
5 8 PRODUCT SPACES 5 8 Product Spaces 1. (X i, T i ) uzaylarnn herbiri içinde kapal olan bir K i X i kümesi veriliyor. K 1 K 2 K 3 K n kümesinin X 1 X 2 X 3 X n çarpm uzaynda kapal oldu unu gösteriniz. 2. A saylamayan bir küme olsun. Her α A için X α = {0, 1} kümesini tanmlayalm ve her birisi üzerinde ayrk topoloji var olsun. X = Π α A X α = {0, 1} A (10) kartezyen çarpm kümesi üzerinde X α uzaylarnn çarpm topolojisi konulmu³ olsun. imdi p = (p α ) X noktasn her α A için p α = 1 olacak biçimde seçelim. q = (q α ) X noktasn ise saylabilir saydaki α indisi d³nda q α = 0 olacak biçimde seçelim; yani ancak saylabilir saydaki bile³eni 1 e e³it olsun. Bu durumda, gösteriniz ki, (a) p noktasnn saylabilir bir kom³uluklar taban yoktur. (b) Kapsama ba ntsna göre sralanm³ bir kom³uluklar taban yoktur. (c) K = X ve H kümesi K nn saylabilir bir alt kümesi ise H K olur. (d) K içinde p noktasna yaknsayan bir a bulunuz. (e) Her λ Λ için bir X λ uzay ile bunun bir A λ X λ alt-kümesi verilmi³ olsun. A = ΠA λ, λ Λ kartezyen çarpmn dü³ünelim. i. E er A λ kümeleri açk ve hemen her λ Λ için A λ = X λ ise A kümesinin çarpm uzayda açk oldu unu biliyoruz. Bunun kar³tnn da do rulu unu gösteriniz. ii. A kartezyen çarpmnn kapal olmas için gerekli ve yeterli ko³ul A λ çarpanlarnn herbirisinin kapal olmasdr. Gösteriniz. Buradan e³itli ini çkarnz. Ā = ΠĀλ, λ Λ iii. A kümesi ne zaman çarpm uzay içinde yo un olur? (f) Her n do al says için X n kümesi 0 ile 1 ö elerinden olu³an kümeye e³it olsun; yani X n = {0, 1} olsun. Bu kümeler üzerinde ayrk topolojiyi varsayalm. imdi X = ΠX n, n N çarpm uzayn dü³ünelim. Her n do al says için V n = {0} kümesi çarpan uzaylarda açktr. Ama V = ΠV n, n N, kartezyen çarpm, çarpm uzay içinde açk bir küme de ildir. Gösteriniz. (g) X ile Y iki topolojik uzay ve A B ile B Y kapal iseler A B nin çarpm uzayda kapal oldu unu gösteriniz. (h) X ile Y iki topolojik uzay ve W X Y çarpm uzayda açk ise i. π 1 (W ) X ile π 2 (W ) Y izdü³ümlerinin açk kümeler oldu unu gösteriniz. ii. Yukardaki özeli in kapal kümeler için genel olarak sa lanmad n bir örnekle gösteriniz. (i) (X i, T i ) uzaylarnn herbiri içinde kapal olan bir K i X i kümesi veriliyor. K 1 K 2 K 3 K n kümesinin X 1 X 2 X 3 X n çarpm uzaynda kapal oldu unu gösteriniz. (j) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn örten oldu unu gösteriniz. (k) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn sürekli oldu unu gösteriniz. (l) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn açk oldu unu gösteriniz. (m) f : (X, T ) (Y, S ) fonksiyonu X uzaynn yo un alt kümelerini Y uzaynn yo un alt kümelerine resmederse, sürekli midir? Simgelerle söylersek, olmas f fonksiyonunun sürekli olmasn gerektirir mi? Neden? Ā = X f(a) = Y (11)
6 9 QUOTIENT SPACES 6 9 Quotient Spaces 1. ϕ : X Y bir bölüm dönü³ümü ise, ϕ nin bir doymu³ açk ya da kapal alt kümeye kstlanm³ da bir bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz. 2. X bir topolojik uzay ise = {(x, x) : x x} X X (12) kö³egeninin X X çarpm uzaynda kapal olmas için gerekli ve yeterli ko³ul X uzaynn Hausdor olmasdr. 3. Bir çarpm uzaydan bile³en uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlar birer bölüm dönü³ümüdür; yani (X i, T i ) uzaylar verilmi³se pi i : X 1 X 2 X 3 X n X i (i = 1, 2, 3,..., n) dönü³ümleri birer bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz. 4. X bir topolojik uzay ise = {(x, x) : x x} X X (13) kö³egeninin X X çarpm uzaynda kapal olmas için gerekli ve yeterli ko³ul X uzaynn Hausdor olmasdr. 5. Bir çarpm uzaydan bile³en uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlar birer bölüm dönü³ümüdür; yani (X i, T i ) uzaylar verilmi³se π i : X 1 X 2 X 3 X n X i (i = 1, 2, 3,..., n) dönü³ümleri birer bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz. 6. X = (R {0}) (R {1}) R 2 kümesi üzerinde (x, 0) (x, 1) x 0 ba nts veriliyor. (a) Bu ba nt bir denklik ba ntsdr. (b) X/ bölüm uzay yerel Öklidyendir. (c) X/ bölüm uzay kinci saylabilme Aksiyomu'nu sa lar. (d) X/ bölüm uzay Hausdor de ildir. oldu unu gösteriniz. 7. Sonlu sayda açk dönü³ümlerin çarpm açk bir dönü³ümdür. Gösteriniz. 8. Sonlu sayda kapal dönü³ümlerin çarpm kapal bir dönü³ümdür. Gösteriniz. 10 Connected Spaces 1. X ba lantl bir uzay ve C ba lantl bir alt uzay olsun. A X kümesi için A C ve A C ise, A C oldu unu gösteriniz. 2. A³a daki kümelerin R içinde,salt topolojiye göre, tamamen ba lantsz olduklarn gösteriniz: (a) Cantor kümesi.
7 11 COMPARISONS OF TOPOLOGIES 7 (b) Rasyonel saylar kümesi. (c) rrasyonel saylar kümesi 3. X uzaynn ba lantl bile³enlerinin kümesini X ile gösterelim. X üzerinde bölüm topolojisi var olsun. X bölüm uzaynn tamamen ba lantsz oldu unu gösteriniz. 4. Tamamen ba lantsz uzayn her alt uzay da tamamen ba lantszdr. Gösteriniz. 5. Tamamen ba lantsz uzaylarn çarpm uzay da tamamen ba lantszdr. Gösteriniz. 6. R n içinde,salt topolojiye göre, açk ve ba lantl iki alt kümenin arakesiti ba lantl olmayabilir. Bir örnekle gösteriniz. 11 Comparisons of Topologies 1. Bir X kümesi üzerideki T 1 ve T 2 topolojileri arasnda T 1 T 2 ba nts var ise T 1 T 2 ba ntsnn da oldu unu gösteriniz. 2. kinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan uzay, Birinci Saylabilme Aksiyomunu da sa lar. Gösteriniz Metric Spaces Nets 1. Do al saylar kümesinin ba ntsna göre yönlenmi³ bir küme oldu unu gösteriniz. 2. Tanm?? deki (iii) ko³ulu yerine daha güçlü olan a³a daki ko³ulun konulabilece ini gösteriniz: Sonlu sayda λ 1, λ 2,..., λ n Λ ö elerine kar³lk e³itsizlikleri sa layan bir λ Λ ö esi vardr. λ 1 λ, λ 2 λ,..., λ n λ 3. X, T ) uzaynda x noktasnn B(x) kom³uluklar ailesinin yönlenmi³ bir sistem oldu unu gösteriniz. 4. Kapal [a, b] aral nda bir f fonksiyonunun Riemann integrali tanmlanrken [a, b] aral nn a = a 0 < a 1 < a 2 < a 3 <... < a n = b (14) bölüntüleri kurulur ve en büyük [a i 1, a i ] alt aral nn uzunlu u sfra giderken, Riemann toplamlarnn inf ve sup de erlerinin olup olmad na baklr. Alt aralklar iç-içe olan (??) bölüntülerinin yönlenmi³ bir sistem olu³turduklarn gösteriniz. 5. X kümesi üzerinde T 1 T 2 ko³ulunu sa layan T 1 ve T 2 topolojileri varsa, bir a n bu topolojilere göre yaknsamalar arasndaki fark nedir? 6. çindeki her a her noktasna yaknsyorsa, uzay ayrk de ildir. Gösteriniz. 7. Ayrk bir uzay a larn yaknsamas ile belirleyebilir misiniz? 8. (x λ ) a x limitine yaknsyorsa, her alt a nn da ayn noktaya yaknsad n gösteriniz. 9. X kümesi üzerinde T 1 ve T 2 topolojileri veriliyor. T 1 T 2 olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, T 2 topolojisine göre yaknsak olan a n T 1 topolojisine göre de yaknsak olmasdr. Gösteriniz. 10. X kümesi üzerinde T 1 ve T 2 topolojileri veriliyor. T 1 T 2 olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, T 2 topolojisine göre yaknsak olan a n T 1 topolojisine göre de yaknsak olmasdr. Gösteriniz.
8 14 FILTERS Önerme?? yi ispatlaynz. 12. {X ı ı I} topolojik uzaylarnn çarpm uzay X = Π ı I X ı olsun. X içinde bir (x λ ), λ Λ, a verilsin. Tabii bu a n her x λ ö esi X = Π ı I X ı çarpm uzaynn bir ö esi oldu undan x λ = (x λı ), ı I, x λı X ı biçiminde olacaktr. Bu demektir ki, ı sabit klnd nda, her X ı bile³eni (çarpan uzay) üzerinde bir (x λı ), λ Λ a olu³ur. Gösteriniz ki (x λ ) a nn bir x = (x ı ) X noktasna yaknsamas için gerekli ve yeterli ko³ul her ı I için X ı bile³eni üzerindeki {(x λı ) : λ Λ} a nn x ı X ı noktasna yaknsamasdr. 14 Filters 1. Yalnzca iki ö esi olan X = {x, y} kümesi üzerinde ayrk olmayan topoloji var olsun. (a) S = {{x}, {x, y}} ailesinin bir süzgeç oldu unu gösteriniz. (b) S süzgecinin hem x, hem y noktasna yaknsad n gösteriniz. (c) Buradan, bir süzgecin limitinin tek olmayabilece i sonucunu çkarnz. 2. Sonlu bir X kümesi üzerindeki her U a³kn süzgeci için U = {A : A X, x A} olacak ³ekilde bir x X noktas vardr. Gösteriniz. 3. X kümesi içinde (x λ ), (λ Λ) a verilsin. Her ı için F ı = {x j : j ı} kümesi tanmlanyor. (a) F = {F ı : ı I} ailesinin X kümesi üzerinde bir süzgeç taban olu³turdu unu gösteriniz. (b) x ı p F p oldu unu gösteriniz. 4. F P(X) süzgeç taban verilsin. F üzerinde ba nts a³a daki gibi tanmlanyor: U V U V (a) (F, ) sisteminin tikel sral bir sistem oldu unu gösteriniz. (b) Her (x U ) U F Π U F U ö esinin X içinde (x U ) U F X a n belirledi ini gösteriniz. (c) Bu ³ekilde seçilen her (x U ) U F X a için oldu unu gösteriniz. F p x U p 5. Birinci saylabilme Aksiyomunu sa layan (X, T ) topolojik uzaynn bir A X alt kümesi veriliyor. x Ā olmas için gerekli ve yeterli ko³ul A kümesi içinde x ö esine yaknsayan bir (x n, (n N) dizisinin olmasdr. Gösteriniz. 6. (X, T ) topolojik uzaynn bir A X alt kümesi veriliyor. (a) x Ā olmas için gerekli ve yeterli ko³ul A kümesi içinde x ö esine yaknsayan bir (x λ), (λ Λ) a nn olmasdr. Gösteriniz. (b) Yukarda "a " yerine "dizi" konulursa ne olur? (c) x Ā olmas için gerekli ve yeterli ko³ul P(A) içinde x ö esine yaknsayan bir F süzgecinin olmasdr. Gösteriniz. 7. X kümesi üzerindeki en küçük süzgeç hangisidir? 8. X kümesinin birden çok ö esi varsa, bu küme üzerindeki süzgeçler ailesinin en büyük ö esi yoktur.
9 15 COMPACT SPACES 9 15 Compact Spaces 1. X tkz ve Y Hausdor ise sürekli f : Y fonksiyonu kapaldr. Gösteriniz. 2. Y tkz ise π 1 : X Y Y izdü³ümü kapal bir dönü³ümdür. Gösteriniz. 3. Y tkz ve hausdor ise f : X Y dönü³ümünün sürekli olmas için gerekli ve yeterli ko³ul gra inin X Y içinde kapal olmasdr. G f = {(x, f(x)) : x X} 4. f : X Y dönü³ümü kapal, sürekli ve bire-bir-örten olsun. Y tkz oldu unda, her y Y için f 1 ({y}) X tkz ise, X uzaynn da tkz oldu unu gösteriniz. 5.
TOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir?
1 TOPOLOJ TEST A 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? (a) Açk kümeleri belirleme (b) Kapal kümeleri belirleme (c) Alt-kümeleri belirleme (d) Kaplamlar belirleme (e) çlemleri belirleme
DetaylıTOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir?
1 TOPOLOJ TEST B 1. {( 1) n 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas yoktur. (c)
DetaylıTOPOLOGY TEST A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de ildir? 3. A³a dakilerden hangisi a³kn bir süzgeç de ildir?
1 TOPOLOGY TEST 02 1. S ailesi X kümesi üzerinde bir süzgeç ise, a³a dakilerden hangisi sa lanmaz? (a) / S (b) * S (c) X S (d) A, B S A B S (e) (V S ) (V W ) W S 2. A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de
Detaylıf 1 (H ) T f 1 (H ) = T
Bölüm 15 TIKIZLIK 15.1 TIKIZ UZAYLAR 15.1.1 Problemler 1. Her sonlu topolojik uzay tkzdr. 2. Ayrk bir topolojik uzayn tkz olmas için gerekli ve yeterli ko³ul sonlu olmasdr. 3. Ayn bir küme üzerinde S T
DetaylıÇarpm ve Bölüm Uzaylar
1 Ksm I Çarpm ve Bölüm Uzaylar ÇARPIM UZAYLARI 1 ÇARPIM TOPOLOJ S 2 KARMA P R O B E M L E R 1. A ile B, srasyla, (X, T )X ile (Y, S ) topolojik uzaylarnn birer alt-kümesi olsunlar. (a) (A B) = A B (b)
DetaylıS = {T Y, X S T T, S S} (9.1)
Bölüm 9 ÇARPIM UZAYLARI 9.1 ÇARPIM TOPOLOJ S Bo³ olmayan kümelerden olu³an bo³ olmayan bir ailenin kartezyen çarpmnn da bo³ olmad n, Seçme Aksiyomu [13],[20], [8] ile kabul ediyoruz. imdi verilen aileye
Detaylı(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2]
Bölüm 5 KOM ULUKLAR 5.1 KOM ULUKLAR Tanm 5.1.1. (X, T ) bir topolojik uzay ve A ile N kümeleri X uzaynn iki alt-kümesi olsun. E er A T N olacak ³ekilde her hangi bir T T varsa, N kümesine A nn bir kom³ulu
Detaylıf( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V
Bölüm 6 SÜREKL FONKS YONLAR 6.1 YEREL SÜREKL L K Tanm 6.1.1. (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f(x 0 ) ö esinin her V kom³ulu una kar³lk f(u) V olacak ³ekilde x
DetaylıA = i I{B i : B i S} A = x A{B x A : B x S}
Bölüm 4 TOPOLOJ TABANI 4.1 TOPOLOJ TABANI Tanm 4.1.1. Bir S P(X) ailesi verilsin. S ye ait kümelerin her hangi bir bile³imine e³it olan bütün kümelerin olu³turdu u aileye S nin üretti i (do urdu u) aile
Detaylı19.8. PROBLEMLER 0.1 PROBLEMLER 0.1. PROBLEMLER a herhangi bir nicelik says ise
0.1. PROBLEMLER 1 19.8. PROBLEMLER // 0.1 PROBLEMLER // 1. a herhangi bir nicelik says ise (i) a + 0 = a, a0 = 0, a 0 = 1 oldu unu gösteriniz. A³a daki kümelerin e³güçlülü ünden nicelik saylar için istenen
DetaylıA = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A
Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha
DetaylıBÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi
BÖLÜM 1 Matematiksel ndüksiyon Prensibi Matematiksel indüksiyon prensibini kullanarak a³a daki e³it(siz)liklerin her n N için gerçeklendi ini ispatlaynz. 1. 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 2.
DetaylıKsm I. Simgeler ve Terimler
Ksm I Simgeler ve Terimler 1 Bölüm 1 S MGELER ve TER MLER 1.1 KÜMELER CEB R 1.2 FONKS YON 1.3 DENKL K BA INTISI 1.4 SIRALAMA BA INTILARI 1.5 SEÇME AKS YOMU SEÇME AKS YOMU ve E DE ERLER 3 4 BÖLÜM 1. S
DetaylıSoru Toplam Puanlama Alnan Puan
26.11.2013 No: Ad-Soyad: mza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Toplam Puanlama 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 105 Alnan Puan 405024142006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI SORULARI (ÖRGÜN Ö
DetaylıSoyut Matematik Test A
1 Soyut Matematik Test A 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. Her hangi bir A kümeler ailesi üzerinde
DetaylıSoyut Matematik Test B
1 Soyut Matematik Test B 1. Hangisi tümel (tam, linear) sralama ba ntsdr? (a) Yansmal, antisimetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (b) Yansmal, simetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (c) Yansmaz,
DetaylıSoru Toplam Puanlama Alnan Puan
..04 No: Ad-Soyad: mza: Soru.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 0 0 0 5 0 0 0 0 00 Alnan Puan 04043006. CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI ( K NC Ö RET M) Not: Süre 90 Dakika. stedi iniz 7 soruyu
Detaylı0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27)
230 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR 17.2 METR K METR K UZAY KAVRAMI Normlanm³ bir uzay, her³eyden önce bir vektör uzaydr, yani (X, ) normlanm³ bir uzay ise, X kümesi üzerinde bir vektör uzay yaps vardr. Oysa,
DetaylıBÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.
BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini
DetaylıP = {x A (y A y x) f(y) x} (22.6) M p = {m A m p f(p) m} (22.8)
Bölüm 22 SEÇME AKS YOMU SEÇME AKS YOMU VE E DE ERLER 22.1 G R Bir X kümesi dü³ünelim. Bu küme ya bo³tur ya de ildir. De ilse, X kümesine ait bir ö e seçilebilir. imdi ba³ka bir Y kümesi daha dü³ünelim.
DetaylıSoyut Matematik Test 01
1 Soyut Matematik Test 01 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. A³a dakilerden hangisi do rudur?
Detaylıx = [x] = [x] β = {y (x,y) β} (8.5) X = {x x X}. x,y X [(x = y) (x y = )]. b(b [x]) b [y] [x] [y] (8.8)
Bölüm 8 DENKL K BA INTILARI 8.1 DENKL K BA INTISI 8.1.1 E³itlik Kavramnn Genelle³mesi Matematikte ve ba³ka bilim dallarnda, birbirlerine e³it olmayan, ama e³itli e benzer niteliklere sahip nesnelerle sk
DetaylıMC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER
MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak
Detaylı(sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x)
Bölüm 13 MATEMAT KSEL YAPILAR 13.1 YAPI KAVRAMI Ça da³ Matematik kümeleri, kümeler üzerindeki yaplar, yaplar arasndaki dönü³ümleri inceler. Buraya dek ö e, küme, i³lem, fonksiyon kavramlarn kullandk. Bunlar
DetaylıARA SINAV II. (1) (x k ) k N, R n içinde yaknsak ve limiti x olan bir dizi olsun. {x} = oldu unu gösteriniz.
MC 411/ANAL Z IV ARA SINAV II ÇÖZÜMLER 1 x k k N, R n içinde yaknsak iti x olan bir dizi olsun. {x} = {x m m k} k=1 Çözüm. Her k N için A k := {x m m k} olsun. x k k N dizisinin iti x oldu undan, A k =
Detaylı18.702 Cebir II 2008 Bahar
MIT Açk Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.702 Cebir II 2008 Bahar Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm artlar hakknda bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıXIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009
XIV. Ulusal ntalya Matematk Olmpyat rnc ³ama Snav Sorular -009 c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Soru 1. dar açl üçgeninde m() = 45 'dir. 'dan 'ye indirilmi³ dikmenin aya E ve 'den
DetaylıL SANS YERLE T RME SINAVI 1
LSANS YERLETRME SINAVI MATEMATK TEST SORU KTAPÇII 9 HAZRAN 00. ( )( + ) + ( )( ) = 0 eitliini salayan gerçel saylarnn toplam kaçtr?. ( )( ) < 0 eitsizliinin gerçel saylardaki çözüm kümesi aadaki açk aralklarn
DetaylıCEB RSEL TOPOLOJ. Ders Notlar
CEB RSEL TOPOLOJ Prof. Dr. smet KARACA Ders Notlar çindekiler 1 HOMEOMORF ZM 2 2 DENT F KASYON UZAYLAR 11 3 BÖLÜM UZAYLARI 17 4 HOMOTOP 24 5 TEMEL GRUPLAR 32 6 ÖRTÜLÜ UZAYLAR 37 7 ÇEMBER N TEMEL GRUBU
DetaylıCHAPTER 1. Vektörler
iv CHAPTER 1 Vektörler Vektör kavram, ziksel kavram olarak ortaya çkm³ olsa da matematiksel sistemlerin temel kavram olmu³tur. Gerçekten vektör kavramn geli³imi matematikçilerden çok zikçiler ve kimyaclar
DetaylıTürevlenebilir Manifoldlara Giri³
Türevlenebilir Manifoldlara Giri³ Yldray Ozan Orta Do u Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü 7 Temmuz 2016 Sevgili anne ve babamn hatrasna Duydu umu unuturum. Gördü ümü hatrlarm. Yapt m anlarm. -Konfüçyüs
Detaylı1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
DetaylıSOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç
SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi FenEdebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Eylül 2010 çindekiler 1 Önermeler ve spat Yöntemleri 1 2 Kümeler 13
DetaylıTürevlenebilir Manifoldlara Giri³
Türevlenebilir Manifoldlara Giri³ Yldray Ozan Orta Do u Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü 2 Temmuz 2015 Sevgili anne ve babamn hatrasna Duydu umu unuturum. Gördü ümü hatrlarm. Yapt m anlarm. -Konfüçyüs
DetaylıDO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular. (n + 1) n n n + 1 = n(n + 1)
DO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular 1 1) a n = (n + 1) n + n n + 1 olmak üzere, a 1 + a + a 3 +... + a 99 toplamn bulunuz. 9 evap: 10 a n = (n + 1) n n n + 1 n(n + 1) n (n + 1) oldu
DetaylıA; e A; A kümelerini tan mlay n z. (x) = fb 2 B : x 2 Bg
Genel Topolojiye Giriş I Ara S nav Sorular 30 Kas m 2010 1 (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. 2 (a) Ikinci say labilir topolojik uzay ne demektir? Tan mlay n z. A; e A; A ve @A kümelerini tan mlay
Detaylı2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k
2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik
DetaylıB A. A = B [(A B) (B A)] (2)
Bölüm 5 KÜMELER CEB R Do a olaylarnn ya da sosyal olaylarn açklanmas için, bazan, matematiksel modelleme yaplr. Bunu yapmak demek, incelenecek olaya etki eden etmenleri içine alan matematiksel formülleri
DetaylıÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ. Nazl DO AN
STANBUL KÜLTÜR ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ Nazl DO AN 1109041005 Anabilim Dal: Matematik-Bilgisayar Program:
Detaylı1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d
DetaylıÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir?
1. lim a 1 üzere a+b toplam kaçtr? A)-8 B)-5 C)- C)1 E)4 b, a,b R olmak 4. +y=14 ise.y 5 çarpmnn değeri en fazla kaça eşittir? A)4 6.10 B)10.4 5 C)10 5. D) 5.10 7 E)16.10 5. bir cisim için hareket denklemi
DetaylıIV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR
Bölüm 1 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bir öceki bölümde bir yüzeyi oktalar yeterice küçük kom³uluklaryla ilgileebildik. Bu prosesi soyut realizasyou içi, souçta bizi diferesiyelleebilir maifold
Detaylıiv ÇINDEKILER 4 Açk Önermeler ÖNERME FONKS YONLARI Evrensel Belirteç Varlk Belirtec
çindekiler Önsöz................................. ix 1 MANTIK ve MATEMAT K 1 1.1 ÇA LARI A AN MATEMAT K.................. 1 1.1.1 Mantk tarihine ksa bir bak³................ 1 1.1.2 Matematiksel Mantk....................
DetaylıPOL NOMLAR. Polinomlar
POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit
DetaylıT. C. NÖNÜ ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ
T. C. NÖNÜ ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ Ç FT D Z LER N I-YAKINSAKLI I ÜZER NE Erdinç DÜNDAR DOKTORA TEZ MATEMAT K ANAB L M DALI MALATYA 2010 Tezin Ba³l : Çift Dizilerin I-Yaknsakl Üzerine Tezi Hazrlayan
DetaylıKOMB NATOR K TOPOLOJ L SANS DERS NOTLARI Prof. Dr. smet KARACA
KOMB NATOR K TOPOLOJ L SANS DERS NOTLARI 2010 Prof. Dr. smet KARACA çindekiler 1 S MPLEKSLER 3 1.1 Ane Uzaylar........................... 3 1.2 Simpleksler Kompleksi...................... 12 2 HOMOTOP
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıAd ve Soyad : Numaras : Analiz III Aras nav Sorular
Analiz III Aras nav Sorular 30. 11. 2006 1. (a) A = fx 2 R : x 2 4x 5 < 0g ise sup A =? (b) A R boş olmayan ve üstten s n rl bir küme olsun. > 0 ise sup(a) = sup A oldu¼gunu gösteriniz. 2. A = f(x; y)
DetaylıA = {x Φ(x) p(x)} = {x (x E φ ) p(x)}
Bölüm 3 KÜME KAVRAMI Okuma Parças Bu derste, Kümeler Kuramn belitsel (aksiyomatik) incelemeyi amaçlamyoruz. Burada, küme kavramn, sezgiye dayal olarak belirli nesnelerin bir toplulu u diye tanmlayacak
DetaylıGENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE
ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.
Detaylı1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.
1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıDiziler. Tanım 9.1. a i0, a i1, a i2,..., a in,... (9.2)
2 86 Bölüm 9 Diziler Tanım 9. a 0, a, a 2,..., a n,... (9.) biçiminde sıralanmış sayılar kümesine dizi denilir. {a n }, (a n ) n=0, {a n} n=0 gibi gösterimler kullanılır. Bu gösterimlerde, i doğal sayısına
DetaylıIçindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64
Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt Fonksiyon 2 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 4 Fonksiyonun Gragi 7 Fonksiyon Çeşitleri 8 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon 25
DetaylıMATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)
MTEMTİ TESTİ (Mat ). u testte srasyla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için ayrlan ksmna işaretleyiniz.. armaşk saylar kümesi üzerinde işlemi,
DetaylıAnkara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve
DetaylıCebir II 2008 Bahar
MIT Açk Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.702 Cebir II 2008 Bahar Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm artlar hakknda bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıGEOMETR K TOPOLOJ. Ders Notlar
GEOMETR K TOPOLOJ Prof. Dr. smet KARACA Ders Notlar çindekiler 1 MAN FOLDLAR 4 1.1 Manifold.............................. 4 1.2 Diferensiyellenebilir Yaplar................... 5 1.3 Diferensiyellenebilir
DetaylıSOYUT CEB R DERS NOTLARI
SOYUT CEB R DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü A ustos 2012 e-posta: h_bilgic@yahoo.com çindekiler 1 Grup Tanm ve Temel
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
Detaylındrgemel Dzler Ders Notlar
ndrgemel Dzler Ders Notlar c wwww.sbelian.wordpress.com Bu ders notunda diziler konusunun bir alt konusu olan First Order Recursions ve Second Order Recursions konular anlatlm³ ve bu konularla alakal örnekler
Detaylı2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
Detaylı14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.
14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda
DetaylıK NC DERECEDEN DENKLEMLER E TS ZL KLER ve FONKS YONLAR
KNC DERECEDEN DENKLEMLER ETSZLKLER ve FONKSYONLAR ÜNTE. ÜNTE. ÜNTE. ÜNTE. ÜNT kinci Dereceden Denklemler. Kazanm kinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin köklerini ve çözüm kümesini belirler.. Kazanm
Detaylı3 1 x 2 ( ) 2 = E) f( x) ... Bir sigorta portföyünde, t poliçe yln göstermek üzere, sigortal saysnn
SORU : Aada tanm verilen f fonksiyonlarndan hangisi denklemini her R için salar? f + = f t dt integral e A) f = e B) f = e C) f D) f = E) f = e ( ) = e ( ) SORU : Bir sigorta portföyünde, t poliçe yln
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıSOYUT CEB R DERS NOTLARI
SOYUT CEB R DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Mart 2013 e-posta: h_bilgic@yahoo.com çindekiler 1 Grup Tanm ve Temel
DetaylıKATEGOR TEOR S. Yüksek Lisans Ders Notlar Prof. Dr. smet KARACA
KATEGOR TEORS Yüksek Lisans Ders Notlar 2010 Prof. Dr. smet KARACA 1 çindekiler 1 KATEGORLER 5 1.1 Somut Kategori.......................... 8 1.2 Soyut Kategori.......................... 11 1.3 Di er Kategori
DetaylıT.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların
DetaylıÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Nuray GÜL İKİ TOPOLOJİLİ UZAYLARDA BAZI AYIRMA AKSİYOMLARI MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2011 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DetaylıFath Ünverstes Matematk Olmpyatlar
Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar - 007 www.sbelian.wordpress.com Fatih Üniversitesi Matematik Bölümü tarafndan ilki düzenlenen Liseleraras Matematik Olimpiyat'nn ilk snav 0 Ekim 007 tarihinde üniversite
DetaylıCEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Yıldıray ÇELİK
CEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Yıldıray ÇELİK Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü çindekiler 1 Gruplar Teorisi 1 2 Altgruplar, Kosetler ve Lagrange Teoremi 15 3 Normal Altgruplar
DetaylıOlas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
DetaylıCEB RSEL TOPOLOJ I L SANSÜSTÜ DERS NOTLARI Prof. Dr. smet KARACA
CEBRSEL TOPOLOJ I LSANSÜSTÜ DERS NOTLARI 2010 Prof. Dr. smet KARACA çindekiler 1 GR 3 2 TEMEL TOPOLOJK KAVRAMLAR 7 2.1 HOMOTOP........................... 7 2.2 KONVEKSLK, BÜZÜLEBLRLK VE KONLER...... 14
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
Detaylı1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI
Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,
DetaylıANAL IZ III Aras nav Sorular
Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular 26.11.27 1. x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2)
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran 2009. Matematik I Soruları ve Çözümleri E) 6 ). 6 5 = 25 6 =
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 4 Haziran 009 Matematik I Soruları ve Çözümleri. ( ).( + ) işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 6 C) D) 6 E) 6 Çözüm ( ).( + ) 0 ( ).( ) + ( 4 9 ). 6 36 6 36. 6 6. 0, 0,0 0,0 işleminin
DetaylıSoru Toplam Puanlama Alınan Puan
18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıTopolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine
S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 26 (2005) 43-50, KONYA Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine Kemal USLU 1, Şaziye YÜKSEL Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kampüs-Konya
DetaylıDördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s
Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini
DetaylıÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri
ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri ÇÖZÜMLER p q r q q p r q q. p r q q p r 5. p q q r r r, p q q r, r p, q q r q, q p q. p q p q p q p q p q q p p 6. p p q p p q p q p p p q
DetaylıBölüm 4 Button 4.1 Button Nedir? Button (dü me), tkinter içinde bir snftr; ba³ka bir deyi³le bir widget'tir. Üstelik, Button, öteki GUI araç çantalarnn hemen hepsinde ayn ad ile var olan standart bir widget'tir.
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıGerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı. Zafer ERCAN 1
Gerçel Sayılar Grubunda Tanımlı Grup Topolojilerin Sayısı Zafer ERCAN 1 Doğal sayılar kümesi, tamsayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi ve gerçel sayılar kümesi, her zaman olduğu gibi, sırasıyla, N, Z,
Detaylı1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?
1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü
DetaylıFen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi
EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com
DetaylıAfla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
DetaylıASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ
ASİMETRİK TOPOLOJİK UZAYLAR ASYMMETRIC TOPOLOGICAL SPACES ESRA KARATAŞ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ Lisansüstü Eğitim-Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin Matematik Anabilim Dalı için YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır.
DetaylıANAHTARLANMI DO RUSAL S STEMLERE G R
ANAHTARLANMI DO RUSAL S STEMLERE G R Ça da³ TOPÇU Ocak 2009 Proje Dan³man: Yrd.Doç.Dr. brahim Beklan KÜÇÜKDEM RAL YILDIZ TEKN K ÜN VERS TES ELEKTR K - ELEKTRON K FAKÜLTESi ELEKTR K MÜHEND SL BÖLÜMÜ PROJE
DetaylıÇ NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49
Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l
Detaylı