Özdeflleflme ve Direkt Limit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Özdeflleflme ve Direkt Limit"

Transkript

1 Özdeflleflme ve Direkt imit X herhangi bir küme olsun. X in baz altkümelerinden oluflan bir aile alal m: (X i ) i. Bu altkümelerin bileflimini al p X in bir baflka altkümesini bulabiliriz elbet: X i. Bu yaz da yapacaklar m z iflte bu bileflim alma ifllemini genellefltirecek. 1. Özdefllefltirmek. Matematikte, her fleyi daha basit ve daha kullan fll k lan özdefllefltirmek diye bir fley vard r. S k s k baflvurulur özdefllefltirmeye, MD de de baflvurmufltuk geçmiflte. Bir A kümesi, bir baflka kümenin A ya çok benzeyen bir altkümesiyle özdefllefltirildi i, böylece eflit olamayan elemanlara eflit muamelesi çekildi i olur. Yap lan özdefllefltirme genellikle o kadar do ald r ki, ortalama bir vatandafl fark na varmaz bile. Örne in bir n tamsay s, n/1 kesirli say s yla özdefllefltirilir. Kesirli say lar infla ederken aynen bunu yapm flt k [MD-2006-IV, sayfa 39] ve böylece her tamsay bir kesirli say olarak görebilmifltik. Oysa tamsay lar kümesiyle kesirli say lar kümesini en baflta birbirinden ayr k kümeler olarak infla etmifltik. Bir baflka örnek: Her gerçel say hemen hemen her zaman sabit bir polinomla özdefllefltirilir. Sabit polinomlarla gerçel say lar aras nda bir ayr m gözetilmez, ki asl nda gözetilmesi gerekir, ne de olsa gerçel say gerçel say d r, polinom da polinom. iselerde her polinom (en az ndan katsay lar gerçel say lar kümesindeyse) bir fonksiyon olarak görülür. Burada da asl nda (gerçek matematikçiler aras nda pek ra bet görmeyen) bir özdefllefltirme sözkonusudur. Bir polinom asla bir fonksiyon de ildir. Ama her polinom bir fonksiyon yarat r ve kimi zaman polinomu yaratt fonksiyon olarak görmekte bir sak nca yoktur. Bir lise matematik kitab nda nin kümesinin altkümesi oldu u yaz yordu. Bu tamamen yanl flt r. Yazar n yapt yanl fl anlamak zor de il, yazar muhtemelen gençli inde karmafl k say lara biraz fazla odaklanm fl (gerçekten de r gerçel say s r + 0i karmafl k say s yla özdefllefltirilir) ve kimseye haber vermeden, le nin {0} altkümesini özdefllefltirmifl. Oysa le, örne in, {(x, x) : x} A a ƒ altkümesini de özdefllefltirebilirdi... Dolay s yla yazar hiç de bariz olmayan bu özel özdefllefltirmeyi yapt n söylemesi gerekiyordu. flöyle bir fleydir: A ve B iki küme olsun ve ƒ, A dan B ye giden birebir bir fonksiyon olsun. ƒ, elbette A ile ƒ(a) kümeleri aras nda bir eflleme tetikler. Bu eflleme kimi zaman öylesine do al olabilir ki, A n n bir a eleman yla B nin ƒ(a) eleman aras nda bir ayr m yapmak içimizden gelmez, tam tersine ayr m yapmak nerdeyse günah kategorisine girer. Bu durumda, B kümesi yerine (B \ ƒ(a)) A kümesi al n r, yani B den ƒ(a) kopar l p yerine A yap flt r l r. Eskiden ƒ(a) eleman n n B de gördü ü görevi, bu yeni kümede a eleman görür. Bu ifllemi, ƒ(a) y kesip yerine A y dikmek olarak ya da ƒ(a) daki elemanlar n adlar n de ifltirmek olarak görülebilir, hatta bu son yorum daha kullan fll d r. flin püf noktas flu: Eski B unutulur ve art k B yerine (B \ ƒ(a)) A kümesiyle çal fl l r, hem de sanki B eski B imiflçesine... Biraz saçma olacak ama, sanki ƒ(a) = a ve B = (B \ ƒ(a)) A eflitlikleri geçerliymifl gibi davran l r. Bu yap lana, A ile ƒ(a) kümelerini ƒ efllemesi kullanarak özdefllefltirmek denir (oysa asl nda altkümelerden öte elemanlar özdefllefltiriliyordur). fiimdi bir ad m daha gidelim. Afla daki flekilden izleyin. Sadece A ve B kümeleri ve ƒ : AB birebir fonksiyonu de il, bir de ayr ca C kümesi ve g : BC birebir fonksiyonu verilmifl olsun. A y ƒ(a) ile efllefltirip elde edilen yeni B yi g(b) ile efllefltirmek ifl- B ƒ(a) ƒ(a) 119

2 ten bile de ildir. Yukarda yapt m z iki defa yapmak yeterlidir. Böylece C nin g(ƒ(a)) eleman a eleman yla özdeflleflir ve g(b) \ g(ƒ(b)) nin bir g(b) eleman b ile özdeflleflir. A a E er üç yerine dört küme olursa, ifller belki biraz daha zorlafl r ama her seferinde zorlukla kolayca bafla ç kabiliriz. Daha karmafl k özdefllefltirmeler de olabilir. Diyelim A, B ve C diye adland r lm fl üç kümemiz ve ƒ : A C ve g : B C birebir fonksiyonlar - m z var. ƒ yi kullanarak A ve ƒ(a) kümelerini özdefllefltirebiliriz. g yi kullanarak B ve g(b) kümelerini de özdefllefltirebiliriz. Ama ƒ(a) g(b) nin elemanlar na ne olacak? Bu elemanlar A n n m yoksa B nin mi eleman yla özdeflleflecekler? Yan t: Her ikisiyle birden özdeflleflecekler. A B D E F ƒ A b a B ƒ h B ƒ(a) ƒ(a) b ƒ g C G g C ƒ(a) ƒ(a) g(b) g(b) k g C g(b) g(ƒ(a)) gƒ(a) g(b) H Afla daki flekildeki gibi çok daha karmafl k durumlar da olabilir. Afla daki durumda, imgeleri bir zaman sonra eflit olan elemanlar özdefllefltirilirler. Örne in aaile ddelemanlar g(ƒ(a)) = k(h(b)) eflitli ini sa l yorsa, A n n a eleman yla D nin d eleman efllefltirilmek istenebilir. Asl nda özdefllefltirmenin gerçekleflmesi için fonksiyonlar n birebir olmalar na gerek yok. Fonksiyonlar birebir olmasalar da özdefllefltirmeleri yapabiliriz. Hatta kümelerin birbirinden de iflik olmalar na da gerek yok, kümelerin hepsi ayn bile olabilirler. Yapmak istedi imiz flu: Baz kümeler ve bu kümeler aras nda baz fonksiyonlar verilmifl. Verilen tüm kümelerin bileflimini almak istiyoruz, ancak görüntüleri bir zaman ayn olan elemanlar bileflim kümesinde sanki tek bir elemanm fl gibi görmek, yani matematikte yayg n olarak kullan lan deyimle, bu elemanlar birbirleriyle özdefllefltirmek istiyoruz. Özdefllefltirmek yerine büzüfltürmek de diyebilirdik. Ama dikkat, gere inden fazla eleman özdefllefltirmek istemiyoruz. Örne in, abart p, tüm kümelerdeki tüm elemanlar tek bir elemana büzüfltürebilirdik... Özdeflleflmesi gereken elemanlar özdeflmeli ama özdeflleflmemesi gereken elemanlar da özdeflmemeli. Yani k vam tutturmal y z. ki örnek alal m. Birincisi uydurma bir örnek, ikincisiyse klasik. Örnek 1. I = olsun ve bildi imiz s ralamayla s ralanm fl olsun. Her iiiçin, X i = ve : X i X i+1 fonksiyonu (x) = x + 1 formülüyle tan mlanm fl olsun. Kümelerin ve fonksiyonlar n resimleri afla da:

3 X 0 n 0 eleman yla X 1 in 1 eleman ve X 2 nin 2 eleman ve X 3 ün 3 eleman ve genel olarak X n in n eleman özdefllefltirilecekler çünkü 0, X 0 n 0 eleman n X 1 in 1 eleman na götürüyor, 1, X 1 n 1 eleman n X 2 nin 2 eleman na götürüyor vs. Bunun gibi X 1 in 0 eleman yla X 2 in 1 eleman, X 3 ün 2 eleman, X 4 ün 3 eleman ve genel olarak X n in n1 eleman özdeflleflecekler. fiekillerdeki her okun üstünden geçti i noktalar birbirleriyle özdeflleflip nihai kümede (bileflim kümesinde) tek bir eleman olacaklar. Yani nihai kümede her ok için ayr bir eleman olacak Elde edilecek nihai küme, art 1 fonksiyonlar n da kale al nca, belli ki ye benzeyecek. X 0 daki (yani ilk kümesindeki) her eleman için nihai kümede bir eleman gerekiyor, çünkü bu elemanlar birbirleriyle özdeflleflemezler. Bir de nihai kümede, her i > 0 için, 0 X i eleman n n özdeflleflece i ayr bir eleman gerekiyor, çünkü bunlar ne aralar nda ne de daha öncekilerle özdeflleflebilirler. Resmi yukarda. Örnek 2: Prüfer p-grubu. Teoriye giriflmeden önce çok basit olmayan bir örnek verelim. Her k > 0 do al say s ve her x tamsay s için k ([x] k ) = [px] k+1 formülüyle tan mlanm fl olan k : /p k /p k+1 fonksiyonunu ele alal m. Burada [x] k, x in /p k kümesindeki imgesini temsil etmektedir. k fonksiyonlar n n birebir olduklar n kan tlamak zor de- ildir. Afla daki flekilde p = 2 ve k = 1, 2, 3 için k fonksiyonlar n göstermeye çal flt k. Amac m z, örne in, /2 nin [1] eleman n /4 nin [2] eleman n /8 nin [4] eleman n birbirleriyle özdefllefltirmek. (Gereksiz göstergeçleri att k.) Bunun gibi, /4 nin [3] eleman n /8 nin [6] eleman n /16 nin [12] eleman n... birbirleriyle özdefllefltirmek istiyoruz. Bir baflka deyiflle, /2 k kümelerinin tüm k lar için bileflimini al p, bu bileflimdeki her [a] k /2 k eleman n [2a] k+1 /2 k+1 eleman yla özdefllefltirmek istiyoruz. Her maksimum ok silsilesini tek bir eleman olarak görmek de diyebiliriz yapmak istedi imiz fleye; böylece bileflimdeki her eleman, içinde bulundu u (yegâne) ok silsilesiyle özdefllefltirebiliriz. Örne in, [24] 6 /2 6 eleman n [3] 2 [6] 4 [12] 5 [24] 6 [48] 7... maksimal ok silsilesiyle özdefllefltirebiliriz. (Tam bunu yapmayaca z ama yapabilirdik; buna çok benzer bir fley yapaca z.) Tam ne yapaca m z ç tlatal m: 0 a < 2 k için, /2 k kümesinin [a] k eleman n a/2 k kesirli say s yla özdelefltirece iz. Bafll yoruz: 2, [0, 1) aral ndaki, paydas 2 nin bir kuvveti olarak yaz labilen kesirli say lar kümesi olsun. Bir baflka deyiflle 2 = {a/2 k : k\ {0} ve a = 0, 1,..., 2 k 1} olsun. fiimdi her k ve her a = 0, 1, 2,..., 2 k 1 için /2 k kümesinin [a] k eleman n 2 kümesinin a/2 k eleman yla özdefllefltirelim. Söylediklerimiz daha iyi anlafl ls n diye, k : /2 k 2 fonksiyonunu 121

4 k ([a] k ) = a/2 k kural yla tan mlayal m ve /2 k kümesinin bir [a] k eleman n 2 kümesinin k ([a] k ) = a/2 k eleman yla özdefllefltirelim /2 1 /4 2 /8 3 / /2 k kümelerinin bir anlamda bileflimidir; k fonksiyonlar yla birbirlerine ba lant lanm fl elemanlar, 2 kümesinde tek bir elemanm fl gibi gösterilmifllerdir ler özdefllefltirme fonksiyonlar d r. Her k için k+1 k = k+1 eflitli i sa lan r. Böylece istedi imiz olur çünkü (yukardaki flekilden yapt klar m z takip edebilirsiniz), 1) Hem /2 k kümesinin [a] k eleman, hem de /2 k+1 kümesinin [2a] k eleman, 2 kümesinin ayn eleman yla, a/2 k eleman yla özdefllefltirilmifltir. 2) 2, k (/2 k ) kümelerinin bileflimidir. Bu yapt klar m z 2 den herhangi bir p asal na genellefltirmek iflten bile de ildir. Hatta p nin asal olmas na bile gerek yoktur. (Ama uygulamada p hep bir asald r.) Birazdan bütün bunlar kuramsal olarak yapaca z. Sayfan n en alt ndaki flekildeki gibi bir durum sözkonusu olacak ve fleklin en sa ndaki soru iflaretli kümeyi bulmaya çal flaca z. fiekilde ayn küme birçok kez belirebilir, her kümenin de iflik olmas na neden yok. Özdefllefltirmek diyen asl nda denklik iliflkisi der, çünkü a ile b elemanlar n n özdefllefltirildi ini absimgesiyle gösterirsek, belli ki flu önermeler do ru olur (ya da olmal ): aa, abise ba, abve bcise ac, ki bunlar da bir denklik iliflkisinin tanm n n koflullar d r. Okura yeterince sezgi kazand rd m z düflünerek art k matemati e geçelim. Elde edece imiz nihai kümeye kümeler ve fonksiyonlar sisteminin direkt ya da tümevar msal limit ad verilir. 2. Direkt imit. Önce verilerimizi toparlayal m. I yar s ral bir küme olsun, yani I üstünde, her i, j, ki için, i i, i j ve j ii= j, i j ve j ki k özelliklerini sa layan bir ikili iliflkisi olsun. (Yukarda verdi imiz örnekte I = ve s ralama da bildi- imiz s ralamayd.) Bir de ayr ca I n n yar s ralamas n n yönlendirilmifl oldu unu, yani her i, j I için, i k ve j k eflitsizliklerini sa layan bir k I oldu unu varsayal m. Bu I kümesi göstergeç kümemiz olacak. fiimdi de kümelerimizi ve aralar ndaki fonksiyonlar belirleyelim. (X i ) ii herhangi bir küme ailesi olsun. Her i j göstergeçi için : X i X j bir fonksiyon olsun. Ve bu ( ) ij fonksiyon kümesi...? 122

5 üzerine flu varsay m yapal m: Her i < j < k göstergeci için, i = Id Xi ve k = k. Tüm bu veri, (X i, ) i<ji olarak simgelenir ve ad na direkt sistem denir. Amac m z bu X i kümelerinin bileflimini almak ama fonksiyonlar alt nda ayn elemana giden elemanlar aras nda bir ayr m gözetmemek, yani bunlar birbirleriyle özdefllefltirmek. a b X i X j ik k a b c De iflik i ler için X i kümeleri kesiflebilirler, hatta Örnek 1 de oldu u gibi X i kümelerinin baz lar ayn küme olabilirler. Bunu engellemek için X i yerine X i {i} kümesini al p bu ayr k kümelerin bileflimini alal m. X = I (X i {i}) olsun. (Özdefllefltirmek yerine ayr flt rd m z n fark nday z, özdefllefltirmeye birazdan geçece iz. Amac m z de iflik göstergeçlerle ifade edilmifl X i kümelerinde bulunan ayn elemanlar özdefllefltirmek de il, bunu yapmak oldukça kolayd r, bunun için X i lerin bileflimini almak yeterdir; amac m z fonksiyonlar alt nda imgesi ayn olan, ya da imgesi bir zaman sonra ayn olan elemanlar özdefllefltirmek.) X kümesi üzerine flu ikili iliflkiyi tan mlayal m: (x, i) (y, j) ancak ve ancak i ve j den büyükeflit bir k için, k (x) = k (y) ise. E er i j ise (liflkisinin tan m nda k = j al n), (x, i) ( (x), j) iliflkisinin do ru oldu unu dikkatlerinize sunar z. Tan mlad m z bu iliflki bir denklik iliflkisidir. Nitekim: Her iiiçin i (x) = Id Xi (x) = x oldu undan, her xx i için (x, i) (x, i) olur. E er (x, i) (y, j) ise ve k i ve k j eflitsizliklerini sa layan bir k göstergeci için k (x) = k (y) oluyorsa, ayn k göstergeci (y, j) (x, i) denkli ini göstermek için de kullan labilir. X k c = k (a) = k (b) (x, i) (y, j) ve (y, j) (z, k) olsun. u ve v göstergeçleri u (x) = u (y) ve v (y) = kv (z) eflitliklerini sa las n. w I, hem u hem de v den büyük bir göstergeç olsun. O zaman, w (x) = ( uw u )(x) = uw (u (x)) = uw (u (y)) = ( uw u )(y) = w (y) = ( vw v )(y) = vw (v (y)) = vw ( kv (z)) = kw (z) olur, dolay s yla (x, i) (z, k) olur. Böylece liflkisinin bir denklik iliflkisi oldu u kan tland. (x, i) X i {i} eleman n n denklik s n f n [x, i] olarak gösterelim: [x, i] = {(y, j) : yx j ve (x, i) (y, j)}. Demek ki her i j için, [x, i] = [ (x), j] olur. Son olarak X/ kümesini alal m: X/ = {[x, i] : ii, xx i } flte bu, tam istedi imiz kümedir! Bu bölümün devam nda okuru buna ikna etmeye çal flaca z. X i kümesinin bir x eleman n, X/ kümesindeki [x, i] eleman yla özdefllefltirece iz. Bu özdefllefltirmeyi matematiksel olarak ifade edebilmek amac yla, : X i X/ fonksiyonunu (x) = [x, i] formülüyle tan mlayal m. X i nin x eleman n n X/ kümesinin (x) eleman yla özdefllefltirilmifl oldu- unu hayal edin. flte bu X/ kümesi arad m z kümedir. Yaz n n bafl nda amaçlad m z hedefe ulaflt - m z göstermek için iki fley kan tlamal y z: A1) E er fonksiyonlar birebirse, fonksiyonu da birebirdir. Nitekim x, yx j için (x) = (y) olsun. O zaman [x, i] = [y, i], yani (x, i) (y, i), yani bir k i için k (x) = k (y) olur. Ama k birebir oldu undan, bundan x = y ç kar. A2) X/ kümesi (X i lerin olmasa da) (X i ) lerin bileflimidir. Yani X/ = I (X i ) eflitli i geçerlidir. 123

6 Bunun do rulu u tan mlardan hemen ç k yor: X/ = {[x, i] : ii, xx i } = { (x) : ii, xx i } = I (X i ). Önemli bir özellik daha: A3) Her i ji için, =. X/ Nitekim her xx i için, ( )(x) = ( (x)) = [ (x), j] = [x, i] = (x) olur. Bu son özellikten flu ç kar: x X i eleman yla (x) X j eleman, X/ kümesinin ayn eleman yla, (x) eleman yla özdefllefltirilmifltir. X/ kümesine (X i, ) i<ji direkt sisteminin direkt ya da tümevar msal limiti ad verilir ve X/ yerine lim (X i, ) i<ji yaz l r. E er kolayl k olacaksa ve kar fl kl a neden olmayacaksa lim (X i, ) i<ji yerine lim X i yaz l r. Biz bir süre - gerçek tan m verinceye dek - X/ yaz l m n kullanaca z. fonksiyonlar na özdefllefltirme fonksiyonlar ad verilebilir. Yaz n n en son bölümünde direkt limitin tan - m n hafifçe de ifltirece iz ve yukardaki X/ kümesi direkt limitlerden sadece biri olacak. Okur, umar z, direkt limitin tan m n n ne kadar do al oldu unu görmüfltür. Nerdeyse bileflim kadar do al. O kadar do al ki tan m baflka türlü yap lamazd!.. Bu kadar do al bir tan m n baz ola anüstü sonuçlar olmal. 3. Evrensel Özellik. Yukardaki gibi bir (X i, ) i<ji direkt sistemi verilmifl olsun. X/ kümesi ve : X i X/ fonksiyonlar da bir önceki bölümde tan mland klar gibi olsun. Her i ji için, bir önceki bölümde kan tlad m z = X i X j Her i j için = eflitli i sa lan r. eflitli ini an msay n. Bütün bunlar n d fl nda herhangi bir Y kümesi ve her i ji için = eflitliklerini sa layan : X i Y fonksiyonlar verilmifl olsun. (Bkz. afla daki flekil.) X/ X i X j Öyle bir : X/Y fonksiyonu bulaca z ki, her iiiçin = eflitli i sa lanacak. (Bkz. afla daki flekil.) Y X/ Bu özellik, direkt limitin evrensel özelli i olarak bilinir. Sa lanmas n istedi imiz = eflitli i bize asl nda : X/ Y fonksiyonunun tek bir biçimde tan mlanmas gerekti ini söylüyor. Nitekim, madem ki = eflitli i sa lanmal, o zaman her xx i için (x) = ( )(x) = ( (x)) = ([x, i]) olmal, yani : X/Y fonksiyonu ([x, i]) = (x) formülüyle tan mlanmal. Bunun gerçekten bir tan m oldu unu gösterelim. xx i ve yx j için [x, i] = [y, j] olsun. O zaman (x, i) (y, j) olur ve tan ma göre i ve j den büyükeflit bir k I X i X j Y 124

7 için k (x) = k (y) olur. Demek ki, (x) = ( k k )(x) = k (k (x)) = k (k (y)) = ( k k )(y) = (y), yani (x) = (y). Sonuç olarak, [x, i] = [y, j] (x) = (y) önermesini kan tlad k. Bundan da, ([x, i]) = (x) formülünü yazmaya hakk m z oldu u ç kar. Böylece tan mlanan : X/ Y fonksiyonu elbette her iiiçin = eflitli ini sa lar. Direkt limitin dördüncü özelli ini kan tlad k: A4) E er bir Y kümesi ve = eflitliklerini sa layan : X i Y fonksiyonlar verilmiflse, o zaman her i I için = eflitli ini sa layan bir ve bir tane : X/Y fonksiyonu vard r. Örnek 3. Yaz n n ta bafl nda verdi imiz en basit örne e geri dönelim. X herhangi bir küme olsun. X in baz altkümelerinden oluflan bir aile alal m: (X i ) i. E er her i j için X i X j ise, : X i X j fonksiyonu (x) = x olarak tan mlans n. O zaman lim X i aynen X i kümelerinin bileflimidir ve (x) = x olarak tan mlan r. Örnek 4. E er I n n en büyük eleman varsa ve bu elemana m dersek, yukarda bulunan lim X i kümesinin bu X m den pek bir fark yoktur ve = m olarak al nabilir. Ana Teorem 1. i. Bir (X i, ) i<ji direkt sistemi verilmifl olsun. k k X i X j X k i = Id Xi Veri : i = Id Xi ve k = k Öyle bir kümesi ve her i ji için = eflitliklerini sa layan öyle : X i fonksiyonlar vard r ki, X i X j her M kümesi ve = eflitliklerini sa layan her : X i M fonksiyon ailesi için, = eflitliklerini sa layan bir ve bir tane : M fonksiyonu vard r. [Evrensel özellik] = X i X j M ii. E er (, : X i ) i ailesi yukardaki evrensel özelli i sa l yorsa ve : herhangi bir efllemeyse, o zaman (, : X i ) i ailesi de evrensel özelli i sa lar. Veri : = X i X j M X i X j 125

8 iii. E er (, : X i ) i ailesinin sa lad bu evrensel özelli i bir de ayr ca (, : X i ) i ailesi de sa l yorsa, o zaman öyle bir : efllemesi vard r ki, her iiiçin, = olur. Kan t: i. Teoremin birinci k sm n zaten kan tlam flt k: kümesi X/ olsun ve : X i fonksiyonlar n daha önce tan mlad m z gibi al n. ii. (, : X i ) i ailesi evrensel özelli i sa las n ve: bir eflleme olsun. (, : X i ) i ailesinin de evrensel özelli i sa lad n kan tlamak istiyoruz. Elbette, ( ) = ( ) = eflitli i sa lan r. fiimdi M bir küme ve : X i M fonksiyonlar = eflitliklerini sa las n. X i X j M X i X j 1 Yukardaki flekilden takip edin. 1 : M fonksiyonuna bakal m. Her i için, ( 1 ) ( ) = = olur. stedi imiz kan tlanm flt r. iii. fiimdi de hem (, : X i ) i ailesinin hem de (, : X i ) i ailesinin evrensel özelli- i sa lad n varsayal m. Birinci sistem evrensel özelli i sa lad ndan, evrensel özelli in tan m nda M = ve = alarak, = eflitliklerini sa layan bir : fonksiyonunun oldu unu buluruz. kinci sistem de evrensel özelli i sa lad ndan, evrensel özelli in tan m nda bu sefer M = ve = alarak, = eflitliklerini sa layan bir : fonksiyonunun oldu unu buluruz. X i X j fiimdi : fonksiyonu, her i için, ( ) = ( ) = =, yani ( ) = eflitli ini sa lar. Ayr ca Id : fonksiyonu da, her i için, Id = eflitli ini sa lar. X i X j Ama evrensel özelli e göre (tan mda M = ve = al n) bu tür eflitlikleri sa layan fonksiyon biriciktir. Demek ki = Id olmal. Ayn nedenden = Id olur. Demek ki ve birbirinin tersi efllemelerdir. = alal m. stenen = eflitli i elbette sa lan r. Verilmifl bir (X i, ) i<ji direkt sistemi için, bu özelli i sa layan bir (, : X i ) i ailesi ana teoremde görüldü ü gibi çok güçlü bir anlamda biriciktir. Böyle bir aileye (X i, ) i<ji direkt sisteminin direkt limiti ad verilir. Direkt limiti Id 126

9 lim (X i, ) i<ji olarak yazaca z (direkt limitlerden herhangi biri anlam nda). E er kolayl k olacaksa ve kar fl kl a neden olmayacaksa lim (X i, ) i<ji yerine lim X i yaz l r. Sonuç 2. Yukardaki varsay m ve yaz l mlarla, i. = I (X i ) eflitli i geçerlidir. ii. E er fonksiyonlar birebirse, fonksiyonlar da birebirdir. iii. ax i ve bx j olsun. (a) = (b) eflitli- i için yeter ve gerek koflul, hem i den hem de j den büyükeflit bir k için k (a) = k (b) eflitli inin geçerli olmas d r. Birinci Kan t: Tüm söylenenler = X/ ve (x) = [x, i] fonksiyonlar için geçerlidir. Dolay - s yla Ana Teorem den dolay ayn özellikler herhangi bir direkt limit için de geçerlidir. Bu kan t n ayr nt lar n okura b rak yoruz. (i) in bir baflka kan t : X i lerin en az birinin boflküme olmad n ve de 1 den fazla eleman oldu unu varsayabiliriz. = I (X i ) ve : X i fonksiyonu (x) = (x) eflitli iyle verilmifl olsun. Evrensel özelli e göre, = eflitli ini sa layan bir ve bir tane : vard r. E er olsayd, o zaman bir u\ çin, di er de erlere dokunmadan, (u) tan m n de iflik biçimlerde yapabilirdik ve = eflitli i bozulmazd ; ki bu da n n biricikli iyle çeliflir. Dileyen okur, direkt limitin kümesini en baflta tan mlad m z gibi X/ olarak alabilir; tabii o zaman (x) = [x, i] olarak tan mlanmak zorundad r. Afla da direkt limiti X/ olarak almayaca z, bunun yerine Sonuç 2 ye baflvuraca z. Do rusu direkt limiti X/ olarak alsayd k kan tlar m z birazc k daha somut ve anlafl l r olurdu. Cebirsel Yap larda Direkt imit. E er her X i kümesi üzerinde grup, halka, cisim, R-modül, R- cebiri gibi cebirsel bir yap varsa ve X i ler aras ndaki fonksiyonlar söz konusu olan yap ya göre birer morfizmaysa (eflyap fonksiyonlar ise), o zaman lim X i direkt limiti üzerine olabilecek en do- al biçimde ayn cebirsel yap tan mlanabilir ve bu yap ya göre bir önceki bölümde bulunan fonksiyonlar birer morfizma olur. Ayr ca geçen bölümde sözünü etti imiz evrensel özellik bu kapsama da uyum sa lar. Bir baflka deyiflle, Ana Teorem deki küme yerine grup, halka, modül gibi uygun olan cebirsel yap y yazarsak ve fonksiyon yerine uygun cebirsel yap n n morfizmas n yazarsak, teorem geçerlili ini korur. Bu sonucu sadece gruplar için yaz p kan tlayaca z. Di er yap lar için kan t çok benzerdir ve okura b rak lacakt r. Örnek 2 deki p (ki asl nda bir gruptur, Prüfer p-grubu olarak bilinir) asl nda yapacaklar m za verilebilecek en standart örnektir. Teorem 3. (X i, ) i<ji bir direkt sistem olsun. Ayr ca her X i nin bir grup oldu unu ve her : X i X j fonksiyonunun bir grup homomorfizmas oldu unu varsayal m. (, : X i ) i ailesi bu sistemin bir direkt limiti olsun. O zaman üzerine öyle bir ve bir tek grup yap s konulabilir ki : X i fonksiyonlar grup morfizmalar olur. Ayr ca her M grubu ve = eflitliklerini sa layan her ( : X i M) i grup morfizmas ailesi için öyle bir ve bir tane : M grup morfizmas vard r ki her iiiçin = olur. Ayr ca e er (, : X i ) i bu özelli i sa layan bir baflka sistemse, Ana Teorem iii te bulunan bir grup izomorfizmas olur. Kan t: üzerinde bir grup yap s tan mlayaca- z ve daha sonra lerin bir grup homomorfizmas olduklar n gösterece iz. Grup yap s tan mlamak biraz zaman alacak., olsun. diye bir eleman tan mlamak istiyoruz, ki üzerine bir grup yap s ndan bahsedebilelim. Önce bir sav: Sav 1., ise öyle bir iigöstergeci ve a, bx i elemanlar vard r ki,, (a) = ve (b) = a, b X olur. i Kan t: = I (X i ) eflitli ini an msayal m (A2 özelli i). Bu eflitlikten dolay öyle i, j I ve a i X i, b j X j vard r ki, (a i ) = ve (b j ) = olur. E er i = j olsayd ve kan t m z biterdi, ama öyle olmayabilir. Hem i den hem de j den büyük 127

10 bir kibulal m. O zaman, k (k (a i )) = (a i ) = ve k (k (b j )) = (b j ) = olur. fiimdi k (a i ), k (b j ) X k ve bu elemanlar n k imgeleri s ras yla ve ya eflit. Demek ki, k (a) = ve k (b) = eflitliklerini sa layan a = k (a i ) X k ve b = k (b j ) X k elemanlar bulduk. Sav m z kan tlanm flt r. Sav n Kan t na Dair Not: Burada önemli olan a ve b nin ayn X k kümesinde seçilmifl olmalar. (Daha önceki a i ve b j nin biri X i de öbürü X j deydi.) Sav 1 in varsay mlar ndan devam edelim. X i bir grup oldu undan, a ve b elemanlar n çarp p gene X i grubunda bir eleman elde edebiliriz ve bu çarp m n imgesini alarak den bir eleman bulabiliriz. Niyetimiz = (ab) tan m n yapmak ama önce böyle bir tan ma hak kazand m z kan tlamal y z, (ab) nin sadece ve ya göre de iflti ini, seçilen a, b ve i den ba ms z oldu unu kan tlamal y z. a X i, b X j k k k k k k (a) = a 1 a 1 b 1 X k k (b) = b 1, olsun. a X i ve b X j elemanlar (a) = ve (b) = eflitliklerini sa las n. k i, j olsun. a 1 = k (a) ve b 1 = k (b) olsun. O zaman k (a 1 ) = ve k (b 1 ) = olur. çarp m n k (a 1 b 1 ) olarak tan mlamak istiyoruz. Sav 2. a, bx i ve a 1, b 1 X j elemanlar, (a) = (a 1 ), (b) = (b 1 ) eflitliklerini sa las nlar. O zaman (ab) = (a 1 b 1 ) olur. Kan t: (a) = (a 1 ) oldu undan, Sonuç 2 ye göre, bir k i, j göstergeci için, k (a) = k (a 1 ) olur. Ayn nedenden, bir i, j göstergeci için, (b) = (b 1 ) 128 a, b, ab X i X j a 1, b 1, a 1 b 1 (a) = (a 1 ) (b) = (b 1 ) olur. fiimdi m k, olsun. Yukardaki iki eflitlikteki terimlerin s ras yla km ve m morfizmalar alt nda imgelerini alal m. Örne in birincisinden, m (a) = km (k (a)) = km (k (a 1 )) = m (a 1 ) elde ederiz. Benzer flekilde, ikinci eflitlik bize m (b) = m (b 1 ) verir. fiimdi, m (a), m (a 1 ), m (b), m (b 1 ) elemanlar n n hepsi X m grubunda. Dolay s yla m (ab) =m (a)m (b) =m (a 1 )m (b 1 ) =m (a 1 b 1 ) bulunur. Bundan da - gene Sonuç a göre (ab) = (a 1 b 1 ) ç kar. Sav m z kan tlanm flt r. fiimdi, için, Sav 1 e göre (a) = ve (b) = eflitliklerini sa layan herhangi bir i I göstergeci ve a, bx i elemanlar seçelim ve çarp m n = (ab) olarak tan mlayal m. Sav 2 ye göre tan m i nin ve a ve b nin seçimlerinden ba ms zd r. Bu ifllemin üzerine bir grup yap s tan mlad - çok belli. Ayr ca çarp m n tan m ndan dolay (a) (a) = = (ab) olur, yani : X i fonksiyonlar art k birer grup homomorfizmas olurlar. Böylece teoremin birinci k sm kan tland. Gelelim ikinci k sm na. M bir grup ve : X i M grup morfizmalar ve her i ji için = eflitliklerini sa las nlar. Öyle bir : M grup morfizmas bulaca z ki her iiiçin = olacak. = koflulundan dolay, e er, varsa, her xx i için (x) = (x), yani ( (x)) = (x) eflitli ini sa lamal. Dolay s yla, Sonuç a göre, y tan mlaman n tek bir yolu vard r: Verilmifl bir (ab) = (a 1 b 1 )

11 için önce = (x) eflitli ini sa layan bir xx i seçilir; sonra () = (x) olarak al n r. Demek ki, varsa ancak böyle tan mlanabilir. fiimdi yukardaki tan m n caiz oldu- unu, (x) = (y) için (x) = (y) oldu unu kan tlayal m. Nitekim, (x) = (y) oldu undan, Sonuç a göre, i ve j den büyük bir k için k (x) = k (y) olur. Her iki tarafa da k uygulayal m: k (k (x)) = k (k (x)) buluruz. ler üzerine yap lan varsay mdan dolay, bundan da (x) = (y) ç kar. Teorem tamamen kan tlanm flt r. Yukardakinin nerdeyse ayn s n n t pk s hemen hemen her türlü cebirsel yap da yap labilir: Halkalarda, cisimlerde, modüllerde (ayn halka üzerine)... Direkt limit de do al olarak ayn yap ya sahiptir. Hatta nesnelerimiz s ral kümeler, morfizmalar m z da s ralamay koruyan fonksiyonlar olabilir. Birinci örne imiz bu türden zaten. Dikkat ederseniz, o örnekte s ral bir küme olan yi elde ettik. Al flt rma. Her i do al say s için X i = 0 olsun. Her i < j için, ƒ ij (x) = x 2ji olsun. Bu verilerin bir direkt sistem tan mlad n kan tlay n. Direkt limiti bulun. Direkt limit üzerine Ana Teorem de kan tlanan do al grup yap s nedir? Direkt limit üzerine bir s ralama bulun. Göstergeçleri yerine de alsayd k ne de iflirdi? Topolojik Yap larda Direkt imit. fiimdi her X i kümesinin bir topolojik uzay ve her : X i X j fonksiyonunun sürekli oldu unu varsayal m. Teorem 1 in ya da 3 ün bir benzerini topolojik uzaylar ve sürekli fonksiyonlar için kan tlamak istiyoruz. Direkt limitin kümesi ve fonksiyonlar zorunlu olarak eskileri olacak Teorem 4. (X i, ) i<ji bir direkt sistem olsun. Ayr ca her X i nin topolojik bir uzay oldu unu ve her : X i X j fonksiyonunun sürekli oldu unu varsayal m. (, : X i ) i ailesi bu sistemin bir direkt limiti olsun. O zaman üzerine öyle bir ve bir tek topoloji yap s konulabilir ki : X i fonksiyonlar sürekli olur ve ayr ca her M topolojik uzay ve = eflitliklerini sa layan her ( : X i M) i sürekli fonksiyon ailesi için öyle bir ve bir tane : M sürekli fonksiyon vard r ki her iiiçin = olur. Ayr ca e er (, : X i ) i bu özelli i sa layan bir baflka sistemse, Ana Teorem iii te bulunan bir homeomorfizmad r. Bu teoremin kan t n ayr nt l vermeyece iz. nin topolojisini aç klamakla yetinece iz. Asl nda nin topolojisinin ne olmas gerekti i belli. Her fleyden önce tüm fonksiyonlar n sürekli k lan bir topoloji olmal. Öte yandan bu koflulun yeterli olmayaca da belli çünkü üzerine en kaba topolojiyi al rsak sadece fonksiyonlar de il, ye giden tüm fonksiyonlar sürekli olur; ayr ca bu topoloji X i lerin topolojisinden ba ms zd r; ki bu da kaba topolojinin koflullar sa layamayaca n n bir göstergesidir. nin evrensel özelli i (sürekli bir : M fonksiyonun bulunmas gereklili i) nin topolosinin çok kaba olmamas gerekti ini, hatta olabilecek en ince topoloji olmas gerekti ini kula m za f s ld yor olmal. Nitekim bu fikir problemi çözüyor. üzerine tüm fonksiyonlar n sürekli k lan en ince (yani en zengin) topolojiyi alal m. Daha net olarak nin bir V altkümesi, ancak ve ancak her i I için 1 (V) kümesi X i de aç ksa aç k olsun. Teoremde yazan her fleyin do ru oldu unun kan t n okura b rak yoruz. Merakl okur mutlaka yapmal. 129

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. 5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu

Detaylı

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir 20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand

Detaylı

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac

Detaylı

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir

Detaylı

4. yis ralamalar Hissetmek

4. yis ralamalar Hissetmek 4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü

Detaylı

Yan t Bilinmeyen Bir Soru

Yan t Bilinmeyen Bir Soru Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

14. Ordinallerde Çarpma fllemi

14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand 9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir 53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl 48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) 3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d

Detaylı

Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu

Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu 30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman

Detaylı

Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y

Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.

Detaylı

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi

11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi 11. Limit Ordinaller ve Ordinallerde Tümevar m lkesi yis ral kümelerde tümevar mla kan tlama yönteminden 6 nc bölümde sözettik. O bölümde flu teoremi kan tlad k: yis ralamalarda Tümevar m lkesi [Teorem

Detaylı

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl 1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru

Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru Üçüncü K s m: Kesirli Say lardan Gerçel Say lara Do ru 6A. Halkalar ve Cisimler Geçmiflte halkalardan sözettik, ileride de söz edece iz. Bu bölümde halkan n ne demek oldu unu aç klayaca z! nfla etti imiz

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

Afin ve zdüflümsel Düzlemler

Afin ve zdüflümsel Düzlemler Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç

Detaylı

22. Zorn Önsav na Girifl

22. Zorn Önsav na Girifl 22. Zorn Önsav na Girifl 22.1. mkâns z Bir Problem mkâns z bir problemle bafllayal m: Gerçel say lar kümesi nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çal flal m... Do ru anlad n z! Dedi imiz gibi imkâns

Detaylı

Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb.

Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb. Kapak Konusu: Halkalar, Asallar ve ndirgenemezler (2) Halkalar, S f rbölenler, Asallar, ndirgenemezler vb. Matematik Dünyas n n her say s n n önceki say lardan olabildi ince ba ms z olmas na dikkat etmeye

Detaylı

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte

Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte 11. Kesirli Temel Diziler Kesirli say dizileriyle çal flmaya devam ediyoruz. Geçmiflte (henüz var olmayan) 2 ye yak nsamak isteyen bir kesirli say dizisi örne i verdik. E er 2 orada olsayd, bu dizi kesirli

Detaylı

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.

Detaylı

TMD Yay nlar. Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram. Sabanc Üniversitesi. Bankalar Cad Karaköy stanbul

TMD Yay nlar. Ali Nesin Yar n n Matematikçisine Matematik I. Sezgisel Kümeler Kuram. Sabanc Üniversitesi. Bankalar Cad Karaköy stanbul Ali Nesin 1956 da stanbul da do du. lkokuldan sonra ortaokulu stanbul da Saint Joseph Lisesi nde, liseyi de sviçre nin Lozan kentinde tamamlayan Nesin 1977-1981 y llar aras nda Paris VII Üniversitesi nde

Detaylı

Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden

Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden 43. Toplama, Çarpma, S ralama ve Süreklilik Okur mutlaka e itim hayat boyunca x2/2 + sin x türünden ifadelere rastlam flt r. Bu ifade asl nda x 2 /2 ile sin x fonksiyonlar n n toplam n simgelemektedir.

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran 51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n

Detaylı

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,

Detaylı

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k.

Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. 2. Do al Say lar Yap s Bölüm 1C de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 say lar n tan mlad k. Ama, her say y teker teker tan mlamaya zaman m z yok. Bu yaklafl mla say lar n sonunu getiremeyiz... Demek ki baflka bir

Detaylı

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl

Detaylı

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan

Detaylı

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir.

Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Matematikte Biçim ve Sezgi Üzerine Bilindi i gibi, günümüzün matemati i biçimsellefltirilebilir. Yani öyle bir yaz l m (bilgisayar program ) yap labilir ki, bir kan t n do ru olup olmad bilgisayara sorulup

Detaylı

T k z Topolojik Uzaylar

T k z Topolojik Uzaylar Kapak Konusu: Metrik Uzaylar ve Topoloji T k z Topolojik Uzaylar Yaz n n uzunlu undan da anlafl laca üzere, bir topolojik uzay n t k z altkümeleri çok önemlidir. (Bu girifl yaz s daha ilginç bir cümleyle

Detaylı

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve

Detaylı

kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi

kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi kinci K s m: Tamsay lar Halkas ve Kesirli Say lar Cismi 139 5A. Say lar Yaratmak Geçen k s mda boflkümeden, yani hiç yoktan (!) yola ç - karak 0, 1, 2, 3, 4 gibi say lar içeren do al say lar kümesini yaratt

Detaylı

Fermat Ne Biliyordu? (I)

Fermat Ne Biliyordu? (I) Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

1. Her fiey S ralanamaz

1. Her fiey S ralanamaz Okuma Parças 1. Her fiey S ralanamaz Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A < B ve B

Detaylı

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin

Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin Kimin Kazand Bilinen Ama Nas l Kazand Bilinmeyen Bir Oyun Oyunumuz iki kifli aras nda ve n m boyutlu bir dikdörtgenin içindeki larla oynan yor. Örne in, 5 3 boyutlu bir oyun, afla daki fleklin en solundan

Detaylı

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,

Detaylı

Hiç K salmadan K salan Yol

Hiç K salmadan K salan Yol Hiç K salmadan K salan Yol ki metrelik bir yol, hiç uzay p k salmadan, bir metrelik bir yola dönüflebilir mi? u yaz da yan t n evet oldu unu görece- iz. ki metrelik bir yol, hepimizin gözleri önünde, bir

Detaylı

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam

Detaylı

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor. Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.

Detaylı

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C Önsöz Bu ders notlar, 1995 ten beri stanbul Bilgi Üniversitesi nde birinci s n f matematik ö rencilerine verdi im derslerden ortaya ç kt ve matemati i derinli i ve felsefesiyle ö renmek isteyen, çal flmaktan

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla

Detaylı

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun. Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru

Detaylı

Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne

Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne Çekirge Kaç S çrar ya da Rastgele Yürüyüfl Bir çekirge çok ama çok uzun bir yol üstünde. Çekirge öne ya da arkaya 1 metre s çrayabiliyor. Belli bir olas l kla öne, belli bir olas l kla arkaya s çr yor.

Detaylı

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak

Detaylı

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir. 1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;

Detaylı

Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli

Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli Sihirli Kareler (II) Bir önceki yaz da, n bir tek tamsay oldu unda n n sihirli karelerin nas l yap laca n ö renmifltik. Bu yaz da n nin çift oldu u n n boyutlu sihirli kareleri ele alaca z. Her zaman yapt

Detaylı

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt

Detaylı

4*. Peano Aritmeti i 4.1. Haz rl k

4*. Peano Aritmeti i 4.1. Haz rl k 4*. Peano Aritmeti i 4.1. Haz rl k P1, nin altkümelerinden hiç sözetmeyen, nin sadece elemanlar ndan sözeden ve sadece 0 ve S simgeleri kullan larak yaz labilen bir önerme. Nitekim S nin 0 de erini almayan

Detaylı

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i

Detaylı

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri M atematikçi bir arkadafl m n efli güle güle anlatt. Befl yafl ndaki o luna babas n n bahçede ne yapt n sormufl. Çocuk bahçeye ç k p bir de bakm fl ki, baba, bir

Detaylı

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken,

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, Aritmetik Diziler ve Ötesi Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, ö retmeni ö rencileri oyalamak için, 1 den 100 e kadar say lar yazarak toplay n der. Baflka bir deyiflle, 1 + 2

Detaylı

Bu k s mda Zorn Önsav n n çeflitli uygulamalar n verce iz.

Bu k s mda Zorn Önsav n n çeflitli uygulamalar n verce iz. 26. Zorn Önsav n n Birkaç Cebirsel Uygulamas Bu k s mda Zorn Önsav n n çeflitli uygulamalar n verce iz. Seviyesi teoremi anlamaya yetmeyen okur, sorun etmeden o bölümü atlas n, nas l olsa ileride kullan

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

Tasar mlar Sibel Özkan* / Selda Küçükçifçi** /

Tasar mlar Sibel Özkan* / Selda Küçükçifçi** / Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Tasar mlar Sibel Özkan* / ozkansi@auburn.edu Selda Küçükçifçi** / skucukcifci@ku.edu.tr v çocu un bulundu u bir anaokulunda ö retmen çocuklara ayn anda k çocu un oynayabilece

Detaylı

Pokerin Matemati i Ali Nesin* /

Pokerin Matemati i Ali Nesin* / Kapak Konusu: Sayma Pokerin Matemati i Ali Nesin* / anesin@bilgi.edu.tr Bu yaz da pokeri bahane ederek sayman n temellerini ele alaca z. Poker, en fazla dört oyuncuyla ve yediliden asa 3 iskambil kâ d

Detaylı

Tablo 2.1. Denetim Türleri. 2.1.Denetçilerin Statülerine Göre Denetim Türleri

Tablo 2.1. Denetim Türleri. 2.1.Denetçilerin Statülerine Göre Denetim Türleri 2 DENET M TÜRLER 2.DENET M TÜRLER Denetim türleri de iflik ölçütler alt nda s n fland r labilmektedir. En yayg n s n fland rma, denetimi kimin yapt na ve denetim sonunda elde edilmek istenen faydaya (denetim

Detaylı

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k 2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

Asli 1. Birinci K s m: Biraz Kümeler Kuram ve Do al Say lar

Asli 1. Birinci K s m: Biraz Kümeler Kuram ve Do al Say lar Asli 1 Birinci K s m: Biraz Kümeler Kuram ve Do al Say lar 0A. Gerçek Nedir Ne De ildir? Gerçek nedir, var m d r, varsa benden ba ms z m d r ve ona nas l ulafl l r? Do ru nedir? Anlamak ne demektir? Bir

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

32. Kardinal Say lar, Tan m ve lk Özellikler

32. Kardinal Say lar, Tan m ve lk Özellikler 32. Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler Her üei iyis ralaabilece ii a tla flt (Teore 24.1). Özel iyis ral üeler ola ordialleri de Bölü 10 da ta la flt. Ordiallerde iyis ralaa iliflisiyle verilir, yai bir

Detaylı

ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER

ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER ANALOG LABORATUARI İÇİN BAZI GEREKLİ BİLGİLER Şekil-1: BREADBOARD Yukarıda, deneylerde kullandığımız breadboard un şekli görünmektedir. Bu board üzerinde harflerle isimlendirilen satırlar ve numaralarla

Detaylı

Hiperbolik Fonksiyonlar

Hiperbolik Fonksiyonlar Matematik Dünas, 0-III Kapak Konusu: İntegral IV Hiperbolik Fonksionlar sinh olarak a z - lan kosinüs sinüs hiperbolik fonksionlar ndan geçmiflte k saca sö zet mifltik Bu az da bu fonksionlardan biraz

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

İçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir.

İçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir. 2. Niceleme Mantığı (Yüklemler Mantığı) Önermeler mantığı önermeleri nitelik yönünden ele aldığı için önermelerin niceliğini göstermede yetersizdir. Örneğin, "Bazı hayvanlar dört ayaklıdır." ve "Bütün

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYLAR Do al Say lar Parças ve fl n 6. SNF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YLLK PLAN Süre/ KAZANMLAR Ders AÇKLAMALAR 1. Do al say larla ifllemler yapmay gerektiren problemleri çözer ve kurar. Do al say

Detaylı

1 Bu hamle d2 d4 müydü bu hamle acaba?

1 Bu hamle d2 d4 müydü bu hamle acaba? N M D oktora yapt m okulun en büyük odas toplumsal etkinliklere ayr lm flt. Bu odan n hemen yan nda küçücük bir çay oca vard. Matematikçiler çal flmaktan bunald klar nda, sohbet etmek istediklerinde o

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYILAR Kümeler 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Bir kümeyi modelleri ile belirler, farkl temsil biçimleri ile gösterir. Belirli bir kümeyi temsil ederken afla da belirtilen bafll

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik

Detaylı

Matematik bölümlerinin birinci s -

Matematik bölümlerinin birinci s - Kapak Konusu: Analizden Konular Harmonik Serinin Iraksakl lham Aliyev* / ialiev@akdeniz.edu.tr Ayhan Dil* / adil@akdeniz.edu.tr Matematik bölümlerinin birinci s - n flar na okutulan analiz derslerinde,

Detaylı

Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ

Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ Basit Elektrik Devresi FEN VE TEKNOLOJ Temel Kaynak 5 Yaflam m zdaki Elektrik BAS T ELEKTR K DEVRES Devrede Ampullerin n Nas l De ifltirebiliriz? Basit bir elektrik devresinde pil ampul anahtar ba lant

Detaylı