ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014"

Ayşe Talay
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem oluştuula. Soun iki cisim poblemidi. Yukaıdaki şekilde M kütleli bi cisim etafında dolanan m kütleli bi uydu gösteilmişti. Buna göe V; yöünge hızı, V θ teğetsel hız, V dikine (adyal) hız, ϕ ise yöünge hızının duum açısıdı. Şimdi elimizdeki paametelei ve denklemlei sıalayalım. Tanımla: Yaıçap vektöünün sayısal değei: Geçek ayıklık : ν Yöünge yaı-büyük eksen uzunluğu : a Yöünge dış mekezliği : e Eylemsizlik sabiti : µ Bu tanımlaın matematiksel ifadeleini yazalım: p Yöüngenin Genel Denklemi: = 1 +e cos ν Yöüngenin paametesi: p=a(1 e )=h / Eylemsizlik sabiti: =G( M+m) Alan sabiti: h= θ= ν Bu veilenle kullanılaak istenen teimle: V θ ; Teğetsel hız bileşeni, V ; Dikine hız bileşeni ve Vnin duum açısı ϕ di. Amacımız yöüngeye ait genel hız bağıntısını bulmaktı.

2 Diğe yandan teğetsel hızın V θ = { θ = dθ dt, dikine hızın ise V =ṙ= d olduğunu biliyouz. dt Önce V nin dış mekezlik ve yöünge paemetesi cinsinden ifade edilen değeini bulalım. Yükaıdaki denklemle vasıtasıyla, V =ṙ= p e sin θ θ (1+e cos θ) bulunu. h= θ denkleminden θ= h çekilip, ayıca p = 1+e cosθ bağıntısından (1+e cosθ) çekilip, kaesi alındıktan sona V denkleminde yeine konulusa, V = eh p sinθ (1) bulunu. Teğetsel hız ise V θ = { θ = h den V θ = h () bulunu. V =V +V θ denkleminde (1) ve () denklemlei yeine konulusa, V = e h p sin θ+ h (3) 1 cosθ) =(1+e p değeini (3) denkleminde yeine koyup geekli kısaltmala yapıldıktan sona V = h p ( e +1+e cosθ ) (4) elde edili. p=h bağıntısından µ çekilip (4) de yeine konulusa, V = p (e +1+ecosθ) bulunu. Bu denklemde e ve p teimleinin yok edilmesi geekmektedi. Bunun için p=a(1 e ) ifadesinden e çekili ve son bulunan V denkleminde yeine konusa, V = p (1 p +1+e cosθ) a V = p ( p +(1+e cos θ)) a (1+ecosθ) ifadesi p/ ye eşit olduğundan V = p (p p a ) sonuçta, V =( 1 a ) (5) elde edili. Bu (5) nolu denkleme Genel hız denklemi deni. Buaya kada yapılanlaı özetlesek, genel hız denkleminden biçok yöünge üyesini tespit etmek mümkündü. SONUÇ: µ,, a ve e değelei biliyosa V hızı bulunabili.

p=a(1 e ) denkleminden p değei, h =p denkleminden h değei, V = eh p sinθ denkleminden V teğetsel hız değei, V θ = h denkleminden V θ dikine hız değei, tg ϕ= V V θ denkleminden de V değei

3 p=a(1 e ) denkleminden p değei, h =p denkleminden h değei, V = eh p sinθ denkleminden V teğetsel hız değei, V θ = h denkleminden V θ dikine hız değei, tg ϕ= V V θ denkleminden de V değei hesaplanabili. (5) denklemini şimdi çeşitli yöünge tüleine uygulayalım. Çeşitli Yöüngelede Hız Bağıntılaı 1) Daiesel Yöüngele Daiede a = = sabit olduğundan, V =0, dolayısıyla ϕ=0 olduğundan, V c = (6) olu, dolayısıyla V θ =V c di. V c daiesel yöüngedeki cismin hızıdı. ) Eliptik Yöüngelele Eliptik bi yöüngede (elips) dolanan bi uydunun elipsin odaklaına olan uzaklığı devamlı değişmektedi. Odakladan biinde bi gezegen bulunmaktadı. Dolayısıyla uydunun hızı da yöünge üzeinde sabit olmayıp devamlı değişmektedi. Elips şeklindeki bi yöüngede peihel, apel, küçük eksen uçlaı ve hehangi bi yedeki hızla faklı olmaktadı. Yukaıdaki eliptik yöüngeledeki P, enbei (peihel), A enöte (Afel), M paameti ucu, B ise küçük eksen ucunu göstesin. Şimdi bu noktalada genel hız denkleminin ifadesini göelim. a) Enbei noktası:

4 ϕ 1 =0, 1 =a(1-e) ve V =0 olduğundan V ϑ =V 1 olu ve V 1 = a 1+e 1 e uydunun hızıdı. bulunu. V 1, enbeide b) Paamete ucundaki, (M noktasındaki) duum: tg ϕ = d, diğe yandan e= p d olduğundan, tg ϕ =e ve =p=a(1 e ) olduğundan V = 1+e a 1 e bulunu. V, M noktasında uydunun hızıdı. Hız bileşenlei ise şunladı. Radyal hız: V =V sin ϕ ve teğetsel hız ise V θ =V cos ϕ di. c) Yaı-küçük eksen ucunda, B noktasındaki duum sin ϕ 3 = c a = ae a =e ve 3 =a olduğundan V 3 = a V = eh p sin ν= eh p b a = eh 1 e a V p a = eh p 1 e = V =V 3 sin ϕ 3 a e di ve Vθ= h a d) En Öte noktasında, yani A noktasında, dı. Diğe taaftan bulunu. V nin başka bi ifadesi de, bulunu. ϕ 4 =0, 4 =a(1-e), V =0, V θ =V 4 olduğundan, V 4 = a 1 e 1+e olu. 3) Hipebolik yöüngelede genel hız bağıntısı: V 4 =( + 1 a ) di. 4) Paabolik yöüngelede: İkinci odak sonsuza gittiğinden a= olu. Buadan da V p = bulunu. Göülü ki V p =V c di. Hızdan Yöünge Hesabı Ye yöüngesine otutulmak istenen bi uydu, önce geçici bi yöüngeye otutulu. Bu geçici yöünge daie veya daieye yakın bi elipsti. Uydunun yeden uzaklığı oldukça azdı. Uydu bu geçici yöüngede belli bi süe tutulduktan sona istenilen kendi yöüngesine otutulu. Yöünge değişimi eski yöüngesindeki hız ve uydunun sahip olduğu potansiyel eneji göz önüne alınaak yapılı. Geçici yöüngesinin uygun bi yeinde (genellikle enbei noktasında) yöünge motolaı kısa süe çalıştıılaak yeni bi hız kazandıılı. Uydu yeni bi hız ve potansiyel enejisindeki değişimden dolayı kendine yeni bi yöünge çize. Bu yöünge uydunun geçekte otutulmak istendiği yöüngedi.

5 Veilenle: : Ye etafında elips yöüngeli bi uydunun yöüngesi üzeinde C noktasından ϕ 0 açısıyla ve hızıyla yapılan bi fılatma. Eylemsizlik sabiti: µ= G(M+m), M: Ye veya gezegen kütlesi, m: uydunun kütlesi Fılatma uzaklığı: 0 Fılatma hızı: Fılatma duum açısı: ϕ 0 Kullanılacak Fomülle: Alan sabiti: h= 0 cos ϕ 0 Paamete: p= 0 V 0 cos ϕ 0 Yaı büyük eksen: a= 0 (genel hız bağıntısından) 0 Dışmekezlik: e= 1 p/a Dolanma peyodu: P=π a3 Amaç: Veilen µ, 0, ve ϕ 0 değeleine göe yeni yöüngenin şeklinin belilenmesi. İlk işlem olaak V c = ve V p = 0 denklemleinden V c ve V p bulunu. 0 İkinci işlem, yaı büyük eksen bağıntısı a= 0 den a bulunu. 0 V c, V p ve a bilindiğine göe yöüngenin şekli hakkında bi kanıya vaabiliiz: =V p ise a =, yöünge bi paabol,

6 V p V c ise 0 < a < yöünge bi elips, V p ise a < 0 yöünge hipebol, =V c ise a = 0 yöünge daie ya da elipsti. Üçüncü adım: V 0 =V c açısına bakmak geeki. ise yöüngenin daie ya da elips olduğunu ayıt etmek için ϕ fılatma p=a(1 e ) ve p= 0 cos ϕ denklemleinden, e =1 0 a cos ϕ ve bu denklemden de e =1 0 a ( V 0 cos V c ) ϕ bulunu. Eğe = V c ise, a = 0 dı ve e =1 cos ϕ di. Buna göe ihtimalle: a) = V c olduğunda ϕ = 0 olusa, e = 0 olu. Yöünge daiedi. b) = V c olduğunda 0 < ϕ < 90 ise e < 1 olu. Yöünge elipsti. c) = V c iken ϕ = 90 ise (fılatma yaıçap doğultusunda), e = ±1 olu. Yöünge bozulmuş bi paaboldu. Dödüncü adım: Eğe fılatma yaıçapa dik yani ϕ = 0 ise, e =1 0 a ( V 0 V c ) bağıntısı elde edili. Bu duumda yeni yöünge elips, daie ve paabol yöüngele olabili. Aşağıdaki döt şekil faklı fılatma açılaına göe oluşabilecek yeni yöüngelei göstemektedi.

Benzer belgeler

Dairesel Hareket. Düzgün Dairesel Hareket

Dairesel Hareket. Düzgün Dairesel Hareket Daiesel Haeket Daiesel haeket, sabit bi mekez etafında olan ve yaıçapın değişmediği haekete deni. Daiesel haekette hız vektöünün büyüklüğü değişmese de haeketin doğası geeği, yönü haeket boyunca süekli