ANAL IZ III Aras nav Sorular

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ANAL IZ III Aras nav Sorular"

Esin Ayral
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2) 2. (M; d) bir metrik uzay ve A M olsun. (a) A (A kümesinin içi) (A kümesinin s n r ) kümelerini tan mlay n z.(5) (b) A kümesi neden aç k kümesi neden kapal d r?(5) (c) A kümesi kapal kümesi aç k olan bir A kümesi bulunuz.(1) 3. (a) A R boş olmayan ve alttan s n rl bir küme olsun. inf (A) 2 A oldu¼gunu gösteriniz.(1) (b) (M; d) bir metrik uzay, A M ve x 2 M olsun. x 2 A ise x noktas na yak nsayan bir (x n ) A dizisinin bulunabilece¼gini gösteriniz.(1) 4. (a) Bir (M; d) metrik uzay nda her Cauchy dizisinin s n rl oldu¼gunu gösteriniz.(5) (b) (M; d) bir metrik uzay ve (x n ) bu uzay içinde bir Cauchy dizisi olsun. (x n ) dizisinin yak nsak bir alt dizisi varsa (x n ) dizisinin de yak nsak olaca¼g n gösteriniz.(5) (c) R nin d (x; y) = jx yj metri¼gine göre tam oldu¼gunu gösteriniz.(1) 5. (a) Kompakt küme tan m n yaz n z.(5) (b) Bir (M; d) ayr k metrik uzay n n her kompakt alt kümesinin sonlu oldu¼gunu gösteriniz.(15)

2 Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Final S nav Sorular Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) Bir (M; d) metrik uzay nda kapal ve s n rl olan her alt küme kompaktt r.(1) (b) (M; d) ve (N; ) birer metrik uzay ve f : M! N bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu sürekli ise düzgün süreklidir.(1) 2. (a) Tam metrik uzay tan m n yaz n z. (1) (b) Heine-Borel teoreminin ifadesini yaz n z. (1) 3. Aşa¼g daki serilerin yak nsak olup olmad klar n araşt r n z. (41) (a) 3 k 5 k2 (b) ( 1) k k k (c) sin k k 3=2 (d) sin (1=k) 1=k 4. (a) Ara de¼ger teoreminin ifadesini yaz n z. (1) (b) cos x = x olacak şekilde bir x 2 [; ] say s n n var oldu¼gunu gösteriniz. (Yol gösterme: f : [; ]! R; f (x) = x cos x fonksiyonunu kullan n z.) (1)

3 Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Bütünleme S nav Sorular (a) Bir metrik uzayda Cauchy dizisi tan m n yaz n z. (1) (b) Bolzano-Weierstrass teoreminin ifadesini yaz n z. (1) 2. Aşa¼g daki serilerin yak nsak olup olmad klar n araşt r n z. (215) (a) n e 3n n + 2 n=1 n 2 (b) n n (ln n) 2 3. (M; d) ve (N; ) iki metrik uzay ve f : M! N bir fonksiyon olsun (a) f fonksiyonunun bir x 2 M noktas nda sürekli olmas ne demektir? Tan mlay n z. (1) (b) f fonksiyonu x 2 M noktas nda sürekli ise, x k! x biçimindeki her (x k ) M dizisi için f (x k )! f (x) oldu¼gunu gösteriniz. (15) 4. Sürekli ve örten bir f : [; 1]! [; 1=2) [ (1=2; 1] fonksiyonu tan mlanabilir mi? Nedenleriyle aç klay n z. (25) n=2

4 ANAL IZ IV Aras nav Sorular nx 1; x 1=2n 1. (a) f n : [; 1]! R; f n (x) = fonksiyon dizisinin noktasal olarak 1 ; x > 1=2n yak nsad ¼g fonksiyonu bulunuz. (???) (b) Yak nsama düzgün müdür? Nedenleriyle aç klay n z. 2. oldu¼gunu gösteriniz. Z 1! (2k + 1) x k dx = 1 k 2 (k + 1) 3. (a) Yönlü türev ne demektir? Tan mlay n z. (b) f : R 3! R; f (x; y; z) = x 2 sin y + e xz2 fonksiyonunun (1; =2; 1) noktas nda 1= p 2; 1= p 2; vektörü yönündeki türevini bulunuz. 4. f (x; y; z) = x 2 +y 2 +z 2 fonksiyonunun z 2 = x 2 +y 2 konisi ile x 2z = 3 düzleminin arakesiti olan elips üzerinde ald ¼g maximum ve minimum de¼gerelerini bulunuz. 1.soru: (a) 15 p. (b) 1 p.; 2.soru: 25 p.; 3.soru: (a) 1 p. (b) 15 p.; 4.soru: 25 p. Süre: 8 dakika

5 ANAL IZ IV Final S nav Sorular denklem sistemi veriliyor. xy 2 + xzu + yv 2 = 3 x 3 yz + 2xv u 2 v 2 = 2 (a) Bu denklem sisteminden u ile v nin; (x; y; z; u; v) = (1; 1; 1; 1; 1) noktas komşulu¼gunda x; y ve z cinsinden çözülebilir oldu¼gunu gösteriniz. (b) (x; y; z; u; v) = (1; 1; 1; 1; 1) noktas türevlerini bulunuz. 2. 1R 1R cos x p x 2 y dxdy integralini hesaplay n z. 3. A = f(x; y) 2 R 2 : x 2 + y 2 1; x ; y g oldu¼guna göre ZZ 2xy x 2 + y dxdy 2 integralini hesaplay n z. 4. A = f(x; y) 2 R 2 : x 2 + y 2 < 1g ve B = f(x; y) 2 A : y = g olmak üzere, 1; (x; y) 2 B f : A! R; f (x; y) = ; (x; y) 2 AnB fonksiyonu veriliyor. A (a) f fonksiyonunun A kümesi üzerinde integrallenebilir oldu¼gunu gösteriniz. ZZ (b) f (x; y) dxdy integralini hesaplay n z. A 1. soru (a) 1 p. (b) 15 p.; 2. soru 25 p.; 3. soru 25 p.; 4. soru (a) 15 p. (b) 1 p. Süre: 8 dakika

6 ANAL IZ IV Bütünleme S nav Sorular denklem sistemi veriliyor. xe y + uz cos v = 2 u cos y + x 2 v yz 2 = 1 (a) Bu denklem sisteminden u ile v nin; (x; y; z; u; v) = (2; ; 1; 1; ) noktas komşulu¼gunda x; y ve z cinsinden çözülebilir oldu¼gunu gösteriniz. (b) (x; y; z; u; v) = (2; ; 1; 1; ) noktas türevlerini bulunuz. 2. Aşa¼g daki integralleri hesaplay n z. (a) Z 1 Z 1 y 1 dxdy (b) 1 + x4 Z 1 Z 1 y 2 y 3 sin x 3 dxdy 3. A = (x; y) 2 R 2 : 3 x 3; y p 9 x 2 oldu¼guna göre ZZ p x2 + y 2 dxdy A integralini hesaplay n z. 4. B; alttan ' = =6 konisi ve üstten r = 2 küresi ile s n rl bölge oldu¼guna göre ZZZ p x2 + y 2 + z 2 dv B integralini hesaplay n z. 1. soru (a) 1 p. (b) 15 p.; 2. soru (a) 15 p. (b) 15 p.; 3. soru 2 p.; 4. soru 25 p. Süre: 8 dakika

Benzer belgeler

Ad ve Soyad : Numaras : Analiz III Aras nav Sorular

Ad ve Soyad : Numaras : Analiz III Aras nav Sorular Analiz III Aras nav Sorular 30. 11. 2006 1. (a) A = fx 2 R : x 2 4x 5 < 0g ise sup A =? (b) A R boş olmayan ve üstten s n rl bir küme olsun. > 0 ise sup(a) = sup A oldu¼gunu gösteriniz. 2. A = f(x; y)