Sayıların Kısa Tarihçesi ve Sayı Sistemleri. Nuray Çalışkan Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi

Transkript

1 Sayıların Kısa Tarihçesi ve Sayı Sistemleri Nuray Çalışkan Dedeoğlu İlköğretim Matematik Eğitimi

2 Sayıların Kısa Tarihçesi Tarih öncesi (MÖ MÖ 3000) Mezopotamya Sümer (MÖ3300) Babil (MÖ MÖ500) Mısır (MÖ MÖ 330) Çin (MÖ MS 1300) Yünan (MÖ 700- MS 400) Maya (MÖ 300- MS 900) Roma (MÖ500- MS 400) Hint (MÖ 200- MS 1200) Belirtilen tarihler medeniyetlere ait matematiksel bulguları temsil etmektedir. Sunuda bazı dönemlere göre başlıca sayı sistemleri ele alınmaktadır.

3 Sayıların Kısa Tarihçesi Tarih öncesi: MÖ Çakıl taşları, kertik, parmak (büyük buluş) İlk medeniyetler: Mezopotamyalılar (Sümerler, Akadlar, Babilliler, Asurlar), Eski Mısırlılar, Mayalar Semboller, resimler (MÖ 2000 Babil, Mısır sayı sistemleri) 12 veya 60 taş yerine değişik objeler (paket paket sayma)-sümerliler: 1 için küçük koni 10 için bilye 60 için büyük koni 600 için delikli büyük koni 3600 için büyük küre delikli büyük küre En eski rakamlar: Sümer tabletleri (MÖ 3200) Harfler: yünan, roma, çin, araplar (MÖ 2000) Basamak kavramı ve sıfır (MÖ 2000 Babiller, Çinliler, MS 500 Mayalar, MS 628 Hintliler (Brahmagupta), MS 800 El Harezmi)

4 Tarih öncesi - MÖ : İshango kemiği Brükselde Musee d Histoire Naturelle de muhafaza edilmekte olan ve M.Ö. 20,000 yılına ait olduğu hesaplanan Ishango kemiği asal sayılar ile ilgili en eski bulguları içermektedir 1960 yılında bulunan İşango kemiği üzerinde üç sıra halinde çentikler oyulmuştur

5 MÖ 3000-Mısır Hiyeroglif sayı sistemi 1527 nin gösterimi: İlk kesirli ifadeler:

6 MÖ 1800: Babil Bilgin sayı sistemi 60 lık sistem Sadece iki sembol : 4325 in yazılışı: 1 tane 12 tane 5 tane 60 x 60 birlik 60 birlik 1 birlik

7 MÖ 300: Babillerde basamak yer tutucunun keşfi

8 MÖ 1300: Çin Bilgin sayı sistemi (Sayma çubukları) Ölenlerin eserleriyle birlikte (hatta kütüphaneleri ile) yakılma adetlerinden dolayı çok az bilgi günümüze kadar gelmiştir MÖ 200- Sunzi Suanjing Sayı dizgesi: Çin rakamları dikey ve yatay olmak üzere 18 sembolden oluşmaktadır Dikey semboller birler, yüzler ve onbinler, Yatay semboller onlar ve binler için kullanılmaktadır Sıfır bir boşlukla temsil edilmektedir Örnek: 8947 = Örnek: 8907 = Facsimile of Qing dynasty edition of The Mathematical Classic of Sun Zi al_classic_of_sunzi

9 MÖ 400: Yünan Alfabetik sayı sistemi Sayıyı oluştururken harflerin sıralı olmasının bir önemi yoktur 232

10 MÖ 500: Romen sayı sistemi Çetele fikrinden doğmuştur I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I V I I I I X I I I I V I I I I X I I

11 MÖ 500: Romen sayı sistemi 7 tane rakam vardır (romenharfleri) Romen rakamları yan yana üç defadan fazla yazılamaz V yan yana iki defa yazılamaz Romen rakamlarının soluna kendisinden küçük rakam yazıldığında büyük rakamdan çıkarılır Romen rakamlarının sağına kendisinden küçük rakam yazıldığında rakamlar toplanır Bir sayıda toplama ve çıkarma ilkelerinden ikisi varsa, önce çıkarma sonra toplama yapılır V, L, D sembolleri çıkarma amacıyla kendilerinden büyük rakamların soluna yazılamaz I, yalnız V ve X den çıkarılabilir X yalnız L ve C den çıkarılabilir C yalnız D ve M den çıkarılabilir Bir rakam veya rakamlar grubunun üzerine yatay bir çizgi çizildiğinde bu sayının 1000 katı, altı açık çerçeve içine alınırsa katı ile çarpılır LV = LV = CCCXLI CDLXIV MCLXIII XLV M CM XC IX V CM XC IX

12 MS 400: Hint sayı sistemi 628-Matematikçi ve gökbilimci Brahmagupta Brahmasphutasidddhanta eserinde 9 rakam ve sıfır (shunya: boşluk) kullanarak ondalık konumlu gösterimi kullanmıştır

13 MS 500: Mayalar da 20 li sayı sistemi Maya sayı sistemi 20 rakamdan oluşur. Rakamlarda 0 için kabuk resmi 1 için nokta 5 için yatay çizgi sembolleri kullanılmıştır Maya sayıları dikey yazılır, en alt basamak birlerden başlar ve yukarıya doğru yirmi ve yirminin kuvvetleri şeklinde ilerler Mayalarda 20 li sistemin kullanılmasının altında 20 günlük 18 aydan oluşan güneş takvimleri vardır. Takvim hesaplamalarında üçüncü basamaktan itibaren 18 x 20, 18 x , 18 x 20 3 değerlerini alır

14 Modern rakamların gelişimi: Harezmi nin rolü Muhammad ibn Musa al-khuwârizmi (Harezmi) Hint rakamları ile toplama ve çıkarma işlemlerini tanıtan eserini yazmıştır (773). Batı dillerine çevrilen bu kitap sayesinde sıfır ve işlemlerdeki rolü batı ülkeleri tarafından tanınmıştır. Hesaplama sanatı anlamına gelen algorithm al-khuwârizmi nin isminden gelmektedir.

15 Özet tablo Sayı Sistemi Mısır Hiyeroglif MÖ Sümer MÖ 3300 Roma MÖ 500 Yunan MÖ 400 Babil Bilgin MÖ 1800 Çin Bigin MÖ 200 Maya Bilgin MÖ 400 Modern MS 1400 Rakamlar 7 tane 6 tane 7 tane 27 tane 3 tane 18 tane 20 tane 10 tane Sembol sayısı x60 60x60 10x60x yatay ve dikey Dizge yönü > < > > > > Aşağıya > Dizge tipi Toplamalı Toplamalı Toplamalı Toplamalı Konumlu (ilk) Konumlu Konumlu Konumlu Taban Örnek (657) DCLVII 657 Sıfır gereği Yok Yok Yok Yok Var Var Var Var Sıfır imi Yok Yok Yok Yok MÖ 300 MS 800 Var Var

16 Sayıların yazılışı ve okunuşu Sayılama prensibi: Sayıları isimlendirmede kullanılan yöntem Sayı sistemleri Yığmalı:sembollerin ardı ardına yazılarak sayıların türetildiği sistem (Romen sayı sistemi) Karma: Hem toplama hem çarpmanın kullanıldığı sistem (Mezopotamya da 60 lık sistem, kilden objeler) Basamak değerli (Konumlu) (Babiller, Çinliler, Mayalar, Hintliler )

17 Sayıların yazılışı ve okunuşu: Eski Türk sayılaması MS. 8oo Moğolistan Türk yazıtları Sayılama prensibi onluk sisteme dayalıdır Karma : yirmi üç = 20-3 = 23 ; iki yüz on dört = = bir iki üç tört beş altı yeti sekiz tokuz on yegirmi on artuki bir on artuki iki otuz kırk elli altmış yetmiş sekiz on tokuz on yüz

18 Kavramlar Sayı Çoklukları aynı olan kümelerin ortak özelliği Onluk Sistem Sayı sistemi kurmanın esası gruplamaya dayanır. Onarlı gruplama ile onluk sistem oluşur. Sayıyı oluşturan her bir rakamın konumu önemlidir. On on onluk (Binlik) On onluk (Yüzlük) Onluk Birlik Basamak Konumlu saymada ardışık gruplamaların her biri. Rakam: Ardışık gruplamalardaki grup sayısı Taban: Her bir gruptaki eleman sayısı Basamak değeri: Bulunduğu basamağa göre rakamın değeri Sayı değeri: Bulunduğu basamağa bakılmaksızın rakamın değeri

19 Doğal sayıların kuruluşu Saymaya duyulan ihtiyaç Peano aksiyomları: Sıfır bir doğal sayıdır. Her N doğal sayısının, N+ olarak ifade edilecek bir ardışığı vardır Sıfır hiçbir doğal sayının ardışığı değildir. Her N doğal sayısının sadece bir tane ardışığı vardır. Başka bir ifadeyle M de bir doğal sayı olmak üzere, N+ = M+ ise N = M eşitliğine varılır. (Tümevarım aksiyomu) Sıfırı içeren ve her N sayısı için N+ ardışığını da içeren bir küme doğal sayılar kümesine eşittir. M.S. 700: negatif sayılar M.S. 1500: + ve semboleri M.S. 1600: x sembolü M.S. 1700:. sembolü

20 Sayı sistemleri

21 5 lik sistemde yazalım

22 Taban değiştirme (321) 4 = (?) 2 Başka bir deyişle, verilen sayıyı 2 li gruplar halinde yazdığımızda kaç grup oluşur? demektir. İki yol vardır: Sayıyı istenen taban cinsinden yazmak Onluk sisteme çevirip, 2 lik paketlere ayırmak 10 luk sayı sisteminden büyük sistemlerde rakamlar (latin alfabesi) A = 10 B = 11 C = 12 D = 13. Ondalık gösterimlerde taban değiştirme (21,3) 5 = (? ) 10

23 Aritmetik işlem

24 Mısır sayı sisteminde toplama/çıkarma işlemi Toplama çıkarma işlemleri elde ve onluk bozma işlemlerimize benzer bir şekilde gerçekleşiyordu. Toplama sembolü Çıkarma sembolü Örnek: = m

25 Babil sayı sisteminde toplama/çıkarma işlemi Toplama işleminde, birlikler on tane olduğunda onluk, onluklar altı tane olduğunda bir altmışlık devreder. Çıkarma işlemi de aynı mantıkla yürütülür

26 Babil sayı sisteminde çarpma işlemi: Alan metodu Babiller iki sayının çarpımını dikdörtgen alan hesabı şeklinde yorumlayarak, dikdörtgeni karesel bölgelere ayırıyorlardı. Daha sonra sayıların karesi listesinden yararlanarak çözüme gidiyorlardı Genel olarak, a x b işleminde b < a ise b = a + c yazılabilir. O halde a x b = a x (a + c) = a 2 + a x c Örnek: 41 x 7 Son olarak:

27 Maya sayı sisteminde toplama/çıkarma işlemi Sembollerle yapılan işlem 10 luk sistemdeki işlem mantığı ile aynı Ayrıca bölmeli bir zeminde çubuk ve taşlarla da işlem yaptıkları bilinmektedir

28 Gelosia çarpma metodu (Jaluzi, ızgara veya kafes) Hint kökenli olduğu ve 12. yüzyıla dayandığı düşünülmektedir. Al Kashi tarafından tanıtılmıştır. Bu metodta rakamları çarpma ve toplamayı bilmek yeterlidir Örnek: 345 x 437 =

29 Neper çubukları (kemikleri) ile çarpma işlemi İtalyan matematikçi Napier in logaritma değerlerini hesaplamak için gelosia metodundan esinlenerek geliştirdiği araçlardır. Örneğin 2732 x 7 işlemi için 2, 7, 3 ve 2 çubukları yan yana getirilir. 7 sayısıyla kesişimindeki sayılar gelosia metodundaki gibi hesaplanır.

30 Çinlilerde çarpma işlemi Çarpanlar yatay ve dikey yazıldıktan sonra, her bir rakamın karşısına değerleri kadar çizgi çekilir Kesişim noktaları hesaplanarak çapraz olarak toplanır. Çapraz toplamlar herbir basamağa karşılık gelmektedir Örnek: 123 x 21 =

31 Kaynaklar Ifrah, G. (2000). Rakamların evrensel tarihi (Çev. K. Dinçer). Ankara: Tübitak. (Orijinal çalışmanın yayın tarihi 1994). Zembat, İ. Ö., Özmantar, M. F., Bingölbalı, E., Şandır, H. ve Delice, A. (Eds.). (2013). Tanımları ve tarihsel gelişimleriyle matematiksel kavramlar. Ankara: Pegem Akademi.