MATEMATİK ÖĞRETİMİNDE GÖZDEN KAÇANLAR

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MATEMATİK ÖĞRETİMİNDE GÖZDEN KAÇANLAR"

Serkan Göllü
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 MATEMATİK ÖĞRETİMİNDE GÖZDEN KAÇANLAR Seyfullah HIZARCI Süheyla ELMAS Atatürk Üniversitesi K.KE.F, Matematik Bölümü Erzurum / TÜRKİYE ÖZET Bu çalışma matematik öğretiminde soru kurma ve çözme becerisi (sanatı) üzerinedir. Çalışmada soru kurmanın ne derece önemli olduğu vurgulanmaya çalışılmış, soru çözmede alışıla gelmiş formatların gelişi güzel kullanılmayacağı aşağıda çözülen sorularla kanıtlanmıştır. Anahtar Sözcükler: Matematik öğretimi WHAT IS MISSING IN TEACHING OF MATHEMATICS ABSTRACT This article is on the art of making questions and solving them in teaching of mathe-matics. The article focuses on the significance of asking questions, and it has been proved that traditional forms cannot be used at random in solving problems. Key Words: Teaching of mathematics 1. GİRİŞ Türkiye de Türk Matematik Derneği tarafından üç ayda bir çıkarılan Matematik Dünyası isimli (MD) 2004-Bahar sayısında yer alan aşağıdaki yazıdan bahsedeceğim. MD-2004 bahar sayısında yer alan (Yıl: 13 Sayı: 1 sayfa: ) Soru sorma sanatı mı? Kafa karıştırma sanatı mı? başlıklı eğitim köşesinde soru sor-mada ve soru çözmede ki hata ve aksaklıklardan bahsedilmiştir.(1) İlgili yazı-dan dolayı bir kaç da övgü içeren ileti aldık. Bu iletilerden de etkilenmiş olaca-ğız ki karşımıza çıkan her soruya acaba! kafa mı karıştırıyorlar yaklaşımıyla bakar olduk. Nitekim de Türkiye de ki ÖSS hazırlık kitaplarında eşitsizlik ve polinom konularında yıllardır bilinçli veya bilinçsiz yapılan, gözden kaçan ve de matematikselliği yok eden kafa karıştırmalardan bahsedeceğiz. Bu doğrultuda polinomlarla ilgili aşağıdaki ilk soruyu inceleyelim. Soru 1 : P(x) polinomu için, P (4 P(x 1) ) = 3 x + 4 ve P( 2 ) = 1 ise P ( 3 ) ün değeri nedir? Sorusu, önceki yıl bir gazetenin ekinde verilen ÖSS deneme kitapçığında yer alıyordu. Kitapçığın sonundaki cevap anahtarında verilen doğru cevap ise on üç idi. İlk anda özdeşlik kavramından x=3 yazıldığında göz aldanması ile doğruymuş gibi görülen bu sonuç veya bu çözüm yolu matematiksel düşünceye aykırıdır. Öyle ki :

2 P(2) = 1 ifadesinin gereksiz veri oluşunun yanında; P(4 P(x 1)) = 3x + 4 olacak şekilde tek değişkenli bir P(x) polinomu acaba mevcut ve kurula bilir mi? Yukarıda ki cebirsel işlemi asla çözüm yolu olarak kabullenemeyiz. Çünkü P(x) polinomunun P(X) = ax + b şeklinde olacağı açıktır. Bu kabul altında P(x 1) = ax a + b P(4 P(x 1 )) = P (4 ax + a b) = - a 2 x + a 2 - ab + b + 4a olur. Bu ifade de ; - a 2 x + a 2 - a b + b + 4 a = 3 x + 4 olmalıdır. a Є R için a 2 = 3 oluşu çelişki oluşturur. Bu ifade bizlere bu şartları taşıyan bir reel katsayılı P ( x ) polinomunun ve de P(4 P(x 1)) = 3x + 4 eşitliğinin olamayacığını gösterir.demek ki soru kurucusu ya kafa karıştırmıştır yada matematiksel bir hataya düşmüştür. Buna benzer hatalara veya kafa karıştırmalara eşitsizlikler konusunda da karşılaşa biliyoruz. Eşitsizliklerde karşılaştığımız aşağıdaki iki örneği inceleye-lim. Soru 2 : - 1 < x < 5 için x 2 2 x + 3 ifadesinin en küçük tam değeri kaçtır? Sorusuna benzer sorular Ülkemizdeki ÖSS ve LGS hazırlık kitaplarında oldukça yaygın. Ve de aşağıda ki gibi de çözüm sunmaktadırlar. Çözüm: < x < 5 açık aralığından, 0 x 2 < x < 2 ifadeleri elde edilir. Bu iki ifade taraf tarafa toplanır, çıkan ifadenin her üç tarafına 3 eklendiğinde ifade - 7 < x 2 2 x + 3 < 30 konumuna gelir. Buradan en küçük x Є Z tam sayısı x = -6 olur. Kullanılan metot doğru görünse bile Matematiksel düşüncede hata yapıl-mıştır. x 2 de ki x değerleri ile x in alacağı değerler aynı olmaya bilir.bu sebeple taraf tarafa toplama işlemi yapılamaz Bu keskin cümlemiz aşağıdaki eşitsizlik teoremini bir kez daha düşünmeye sevketmektedir. Teorem : a<b ve c<d ise a+c<b+d dir. (2) Bu teoremde a, b, c, d Є R olarak düşünülmüştür. a, b, c, d lerin sayı dışındaki değişken olma durumları göz ardı edildiği için yanlış sonuç bulun-muştur. Doğrun düşünme sanatı dediğimiz soyut düşünceyi yürürlüğe koyduğu-muzda aşağıdaki çözüm oluşur. Çözüm 2.2 x 2 2 x + 3 ifadesin de x li terimleri tek bir terim altında da toplayalım. Bu durumda x 2 2 x + 3 = ( x 1 ) şekline dönüşür. Bu ifade:

3 -1 < x < 5 ise -2 < x 1 < 4 ve 0 ( x 1 ) 2 < 16 olur. Bu ifadeden de 2 ( x 1 ) < 18 elde edilir ki, ifadenin en küçük değeri tam sayı ve iki olur. Bu çözüm tarzının doğruluğunu analitik düzleme taşıyarak bir kez daha kanıtlayalım. Çözüm 2.3 f(x) = (x 1) 2 +2 fonksiyonunun grafiğini - 1<x<5 aralığında şekil 1.1 de çizerek inceleyelim : Şekil 1.1 Grafikte görüldüğü gibi 1 < x < 5 açık aralığında f (x) fonksiyonunun en küçük tam sayı değeri iki olur. Bu sonuç da ilk çözümümüzün yanlış ikinci çözümün doğru olduğunu kanıtlar. Soru 3: -2<a+b<5 ve 2<a<4 olmak üzere b Є R sayısının tanım aralığı nedir? Sorusunu öncelikle ÖSS soru bankalarında ki mevcut olan çözüm yolun-dan sunalım. Çözüm < a < 4 ise - 4 < - a < - 2 olur. Bu ifade ile -2 < a + b < 5 eşitsizliği taraf tarafa toplandığında b Є R sayısı -6<b<3 aralığında olmuş olur. Yanlış olduğunu sağlama yaparak görelim: 2 < a < 4-6 < b < 3 ifadelerini topladığımızda - 4 < a + b < 7 olur ki, bu ifade hipotezimize aykırı olur.öyle ise çözüm yolu yanlıştır. Doğru çözümü oluşturalım. Çözüm < a + b < 5 ifadesinde a değişkenini yalnız bırakalım. Bu ifadeden 2 b < a < 5 - b elde edilir. Bu ifade, 2 < a < 4

4 ifadesi ile bire-bir eşlendiğinde - 4 < b < 1 aralığında olur ki doğru çözümü yapmış oluruz. Soru 4. 1 < x < 4 olmak üzere x + x 1 ifadesi kaç farklı tam değer alır? Sorusu çözülürken çözücünün aklına gelecek ilk yolu çözüm 4.1 olarak verelim. Çözüm < x < 4 ifadesinden < < 1 eşitsizliği elde edilir. 4 x 1 1 Her iki ifade taraf tarafa toplandığında 1 + < x + < x olur ki, x tamsayılarının kümesi 4 x {2, 3, 4} olur. İşlem sırası doğruymuş gibi görünse bile çözüm 2.1 de yapılan yanlışlığın aynısı yapılmıştır.

5 Çözüm 4.2 x R + olduğundan x = 1 için alt sınır, x = 4 için üst sınır oluşturulur ise x + ifadesi; 2 < x + < 4 + aralığında yer alır. x x 4 Bu durumda x tamsayılarının kümesi { 3, 4 } olur ki bu çözüm doğru olur.bu çözümün doğruluğunu aşağıdaki farklı çözüm ile pekiştirelim. Çözüm 4.3 Verilen bu ifadeyi ; 1 f ( x ) = x + x fonksiyonu gibi düşünerek Şekil 2.1 ile grafiğini oluşturalım. y = x Şekil 2.1 x = 0 ve y = x doğruları asimtot olmak üzere f ( x ) fonksiyonu 1 < x < 4 açık aralığında; 2 < f ( x ) < olur ki bu aralıkta { 3, 4 } tamsayı değerlerini aldığı açıkça görülür.

6 2. SONUÇ VE ÖNERİLER : Matematik eğitiminde alan eğitimi kadar,matematik sunucusunun alan bilgi ve becerisinin de yeterli düzeyde olması gerekir Aksi takdirde yukarıdaki hatalar kaçınılmaz olur. Hatta zaman zaman dinleyici ve sunucu arasında çatışma doğurur. Bu çatışma sonucunda matematik öğreticisi sınıf hakimiyetini ve dinleyenlerin güvenini kaybeder Böylece iyi bir öğrenme ve öğretme ortamı yok olmuş olur. Kafa karıştırmaların veya yapılan hataların arka planında ezbere dayalı bir eğitim siteminin olduğu, ilgili kişinin matematiğin bir alanı ile diğer konularını ilişkilendiremediği açıktır. Öğretmenlik veya matematik yapmaya çalışan birey ; Konuda geçen temel ilke ve kavramları mantıksal bir tutarlılıkla ilişkilendirebilmelidir. Konu ile ilgili ilke ve kavramları anlamlı bir şekilde bilmelidir. Konu ile ilgili soru kura bilme becerisi kazanmalıdır. KAYNAKÇA S.Hızarcı, S.Elmas, Matematik Dünyası, 2004-Bahar. İstanbul. Türkiye E.Beckenbach, R.Bellman, Çev: H.Yüksel, Eşitsizliklere Giriş Türk Matematik Derneği Yayınları. İstanbul. Türkiye

Benzer belgeler

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin